tipler cap 1,2,3

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01~~:l2S- de :\ledida 1

--_ i ades ICo \'ersao de Unidades 3J: _ens6es das Grandezas Ffsicas 4_-0 ,ao Cienrlfica 5_ garismos Significativos e Ordens de Grandeza 6· es mo 8Ensaio Hans Christian von Baeyer, As Solufoes de Fermi 10- gesr6es para Ourras Leituras, Revisao e Problemas 13

, Jo 2 !en to em Uma Dimensao 18 i\>Iocidade Media e Deslocamento 18-elocidade Tnstantanea 21 4---"

_-\ elerac,;ao 2-1-c;_ ioyimento com Acelerac,;ao Constante 27./1-~ egrac,;ao 33~ umo 35

gesr6es para Outras Leituras, Revisao e Problemas 36

03ento em Duas e Tres Dimensoes 43o \-eror Deslocamento e a Adic,;aode Vetores 43_:J,. . i> ao de Vetores Mediante as Componentes 46-e ores Unitarios e Multiplicac,;ao de Vetores por Escalares 47

o -elor Ve10cidade 49o -e or Acelerac,;ao 51

-e!ocidade Relativa 52_"0 -imento dos Projeteis 53_ 0 -imento Circular 60· es 0 64_'_ges 6es para Outras Leiruras, Revisao e Problemas 65

0-4e :\e'O'ion I 72

_.:,.IT eira Lei de Newton: a Lei da Inercia 72~,,~ . lassa e a Segunda Lei de Newton 74_~_:=O~> da Grayidade: 0 Peso 77_-.~ ~r eira Lei de Newton 79_-..::=o~, da Tarureza 81

,6e a Resoluc,;aode Problemas 84• ="'~o 90= ~--:6e para Outras Leituras, Revisao e Problemas 91

Capitulo 5As Leis de Newton II 985.1 OAtrito 985.2 Forgas de Arraste 1065.3 Problemas com Dois ou Mais Corpos 1075.4 Pseudoforgas III5.5 Metodos Numericos 114

Resumo 116Sugestoes para Outras Leituras, Revisao e Problemas 117

Capitulo 6Trabalhoe Energia 1246.1 Trabalho e Energia Cinetica: Movimento Unidimens-iona1 com Fon;:as

Constantes 1246.2 Trabalho de uma Forga Variavel 1286.3 Trabalho e Energia em Tres Dimensoes e 0 Produto Escalar 1316.4 Trabalho e Energia em Sistemas de Partfculas: Energia Potencial 1366.5 Energia Potencial e Equilibrio em Uma Dimensao 1406.6 A Conservagao da Energia Mecanica 1436.7 A Conservagao do Trabalho-Energia 1496.8 A Conservagao da Energia 1546.9 Potencia 156


Capitulo 7Sistemas de Particulas e Conservac;ao do Momento 1687.1 0 Centro de Massa 1697.2 Movimento dl I~entm de Massa de urn Sistema 1737.3 A Conservagao do Momento 1767.4 0 Referencial do Centro de Massa 1807.5 Energia Cinetica de um Sistema de Partfculas 1817.6 CoJisoes em Uma Dimensao 1837.7 Colisoes em Tres Dimensoes 1937.8 Impulso e Media Temporal de uma Forga 1957.9 Propulsao a Jato 198

Resumo 201Ensaio Ralph A. Llewellyn, A Descoberta do Neutrino 203Sugestoes para Outras Leituras, Revisao e Problemas 205

Capitulo 8Rotac;ao 2118.1 Velocidade Angular e Aceleragao Angular 2118.2 Torque e Momento de Inercia 2158.3 Energia Cinetica de Rotagao 2198.4 Calculo do Momento de Inercia 2208.5 Momento Angular 2258.6 Corpos que Rolam 2318.7 A Natureza Vetorial da Rotac;ao e 0 Produto Vetorial 2378.8 Movimento de um Giroscopio 2428.9 Desequilibrio Estatico e Dinamico 243


Capitulo 9Equilibrio Estatico de um Corpo Rigido 2579.1 Condic;oes de Equilibrio 2579.2 0 Centro de Gravidade 2599.3 AlgunsExemplos de Equilibrio Estatico 2609.4 Pares 2649.5 Estabilidade do Equilibrio 264


- dicese isao de ~Iatematica 273"ni ades SI 293

D os umericos 294D F tares de Conversao 296.£ Tabela Peri6dica dos Elementos 297

ResP<>stas dos Problemas impares 299

Capitulo 1

Sistemas de Medida

o homem sempre foi curiosa a prop6-ito do mundo onde vi\OeoDesde os mais remotosregistros do seu pensamento, sempre se e\Oiden iou a tentativa de impor ordem a espantosadiversidade de eventos que se podem observar. Esta procura de ordem assumiu variadasformas: uma delas e a religiao, outra a arte e uma terceira a cienciao Embora 0 termo "cien-cia" tenha origem no verbo latino que significa "conhecer", a ciencia nao e apenas conheci-mento mas, particularmente, conhecimento do mundo natural. E, 0 que e importante, e co-nhecimento que se organiza de maneira sistematica e racional.

Pensamos, em geml, na ciencia dividida em varios campos separados, mas inter-rela-cionados. A biologia, pOl' exemplo, e 0 estudo dos organismos vivos. A qu[mica aborda ainterac;ao dos elementos e compostos. A geologia e 0 estudo da terra. Aastronomia, 0 estu-do do sistema solar, das estrelas e galaxias, do universo como um todo. A f(sica trata da materiae da energia. dos princfpios que governam 0 movimento das part(culas e das ondas, das in-tera<;6es das part[culas, das propriedades das moleculas, dos atomos e dos nt'icleos at6mi-cos, e das propriedades de sistemas macrosc6picos como os gases, os lfquidos e os s6lidos.Alguns consideram a fisica como a ciencia mais fundamental, pOI'constituir a base de todosos outros campos da ciencia.

1.1 UnidadesAs leis da ffsica exprimem rela<;6es entre grandezas ffsicas como comprimento, tempo, for-<;a,energia e temperatura. POI'isso. uma exigencia da ffsica e a capacidade de definir preci-samente estas grandezas e medi-Ias com exatidao. A medida de qualquer grandeza f(sicaenvolve a compara<;ao da grandeza com urn valor unitario da grandeza definido com preci-sao. Por exemplo, para medir a distiincia entre dois pontos, comparamos a distiincia comuma unidade padrao de distiincia, digamos, 0 metro. A afirma<;ao que uma certa distiincia ~de "25 metros" significa que ela e igual a 25 vezes 0 comprimento da unidade metro. Eimportante incluir a unidade "metro", depois do numero "25", na expressao da distiincia,pois existem outras unidades de comprimento, como 0 pe, ou a milha, que tambem saG tlsa-das correntemente. Dizer que uma certa distiincia e "25" nao faz qualquer sentido. A medidaque qualquer grandeza ffsica envolve sempre urn numero e uma unidade.

Todas as grandezas ffsicas podem ser expressas em termos de urn pequeno numero deunidades fundamentais. Por exemplo, a velocidade se exprime em term os de uma unidadede comprimento e de uma unidade de tempo, como metro por segundo ou qui16metros porhora. Muitas grandezas que iremos estudar - for<;a, momento, trabalho, energia e potencia- podem ser expressas em termos de tres grandezas fundamentais: comprimento, tempo emassa. A escolha das unidades padr6es destas grandezas fundamentais determina urn siste-ma de unidades. 0 sistema usado universal mente na comunidade cientffica e 0 Sistema

InternacionaI (SI).* No SI a unidade padrao de comprimento e 0 merro. au - ~ -",-de tempo e 0 segundo, e a de massa, 0 quilograma.

A unidade padrao de comprimento, 0 metro (simbolizada par m). foi ari.:=-::-'-==.:=definida par dois tra~os paralelos numa barra de liga de platina-iridio deposi . 0 3_ ~International des Poids e Mesures, em Sevres, Fran~a. Este comprimento foi e 0 -

modo que a distancia entre a linha do equador eo P610 Norte, medida sobre 0 illQ• - - ~- ::.=.

Paris, fosse igual a 10 milh6es de metros (Figura 1-1). 0 metro padrao define-se. 0- -:,,- ~

hoje, em terrnos da velocidade da luz, como a distancia percorrida pel a luz, no ,-;1 o.te urn intervalo de tempo igual a 1/299.792.458 segundos. (Com isto a velocida eexatamente, 299.792.458 m/s.) 0 metro padrao e usado para construirem-se padr6es -~ ~-danos que se usam para a calibra~ao de padr6es de medida em todo 0 mundo.

A unidade padrao de tempo, 0 segundo (s) foi definido, originalmente, em tel

rota~ao da terra como 0/60) X 0/60) X 0/24) do dia solar medio. 0 segundo defle--~.nos dias de hoje, em terrnos da luz. Todos os atomos, depois de absorverem energia. emi:e-luz com comprimentos de onda e freqiiencias caracteristicas do elemento particular. A ,.transi~ao de energia ha uma freqiiencia particular, e urn comprimento de onda pani ul -associados a transi~ao. Tanto quanto sabemos, estas freqiiencias permanecem constante .0segundo se define de modo que a freqiiencia da luz correspondente a uma certa transi~ao noatomo de cesio e igual a 9.192.631.770 ciclos por segundo. Com estas defini~6es, as unidadesfundamentais de comprimento e de tempo sao acessiveis aos laborat6rios em todo 0 mundo.

A unidade padrao de massa, 0 quilograma (kg), que e igual a 1.000 gramas (g), se definecomo a massa de urn corpo padrao que tambem estci depositado em sevres. Discutiremos 0conceito de mass a detalhadamente no Capitulo 4. Veremos que 0 peso de urn corpo, numcerto ponto da terra, e proporcional a sua massa. Entao, as massas de tamanhos usuais po-dem ser comparadas mediante a respectiva pessagem de cada uma delas. No Instituto Nacio-nal de Metrologia, Xerem, Rio de Janeiro, existe uma replica do corpo padrao de 1 kg.

Na investiga~ao de terrnodinamica e eletricidade, serao necesscirias tres outras unida-des ffsicas fundamentais: a unidade de temperatura, 0 kelvin (K) (antigamente denominadagrau Kelvin); a unidade de quantidade de uma substancia, 0 mol (simbolo mol); e a unidadede corrente eletrica, 0 ampere (A). Hciuma outra unidade fundamental, a candela (cd), paraa intensidade luminosa, que nao teremos ocasiao de usar neste livro. Estas sete unidadesfundamentais - 0 metro (m), 0 segundo (s), 0 quilograma (kg), 0 kelvin (K), 0 ampere (A),o mol (mol) e a candela (cd) - constituem 0 SI.

As unidades de toda grandeza ffsica podem ser express as em tLrmos das unidadesfundamentais. Algumas combina~6es freqiientemente usadas recebem nomes especiais. Porexemplo, a unidade SI de for~a, kg'm/s"e denominada newton (N). Analogamente, a unida-de SI de potencia, kg'm" /S3 = N'm/s, e denominada watt (W).

Na Tabela 1-1 estao listados os multiplos e submultiplos comuns das unidades SI. Estesmultiplos sac todos potencias de 10, e urn sistema assim organizado e urn sistema decimal.o sistema decimal baseado no metro e 0 sistema metrico. Os prefixos podem ser aplicadosa qualquer unidade SI. Por exemplo, 0,001 segundo e 1 milissegundo (ms); 1.000.000 wattse 1 megawatt (MW).

Outro sistema decimal ainda em use, mas gradualmente substituido pelo SI e 0 siste-ma cgs, baseado no centimetro, no grama e no segundo. 0 centimetro e definido como 0,01m. 0 grama se define, hoje, como 0,001 kg. Originalmente, 0 gram a era definido como amass a de urn centimetro cubico de agua. (0 quilograma era entao a massa de 1.000 centime-tros cubicos, ou urn litro, de agua.)

Outro sistema de unidades ainda usa40 em paises de lingua inglesa e 0 sistema inglesde unidades, no qual a unidade de for~a, a libra-for~a, e escolhida como unidade funda-mental. A libra-for~a e definida em terrnos da atra~ao gravitacianal da terra, num certo lo-cal, sobre urn corpo padrao. A unidade de massa se define entao em terrnos da libra-for~a.(Veremos, no Capitulo 4, que a massa e melhor escolha para unidade fundamental que afor~a, pois a massa e uma propriedade intrinseca de urn corpo que independe da sua locali-za~ao sobre a superffcie da terra.) A unidade fundamental de comprimento, neste sistema, eope (ft). 0 pe se define como exatamente urn ter~o dajarda (yd), que por sua vez se define,nos dias de hoje, em termos do metro:

ra 1-1 0 metro fei originalmente<-'do de modo que a distancia entre

or e 0 Polo Norte, ao longo doo de Paris, fosse igual a 107 m.

Simboloexa Epeta Ptera Tgjoa G~omega Mquilo khecto§ hdeca§ dadeci§ dcenti§ cmili ill

J.l.npfa

1 yd = 0,9144 m

1 ft =t yd = 0,3048 m

Co . o. le=ada (in) e exatamente igual a 2,54 em. A unidade fundamental de tempo e_. = -::co. def .do como no 51. Este sistema nao e urn sistema decimal. E menos convenien-

. := .c..e 0 51 0 01[[05 sistemas decimais, em virtude de os multi pi os comuns das unidades• ~ -~::-=w -e ias de 10. Por exemplo, I yd:=: 3 ft e 1ft:=: 12 in. As rela<;:6es entre as uni-

.,,,:cs 0 sis ema ingles de medidas e as do 51 estao no Apendice D .

.s as \'antagens e as desvantagens de se usar 0 comprimento do pr6prio bra<;:ocomo~~ ·0 de comprimento?em erto rel6gio and a sempre 10% mais nipido que 0 rel6gio padrao de cesio. Urn se-= do rel6gio tern uma marcha que varia aleatoriamente dentro de I %. Qual rel6gio se-ria urn padrao secundario mais conveniente para urn laborat6rio? Por que?

'iroos que a medida de uma grandeza ffsica deve incluir sempre urn numero e uma unidade.Quando se adicionam ou subtraem, ou multiplicam-se au dividem-se. estas grandezas, numaequa<;:ao algebrica, a unidade pode ser tratada como qualquer outra grandeza algebrica. Porexemplo, suponhamos que se queira achar a distiincia percorrida em 3 horas (h) por urn car-ro que se desloca com a velocidade constante de 80 quil6metros por hora (km/h). A distan-cia e 0 produto da velocidade v pelo tempo t:

80 kmx :=:vt :=:~ x;31l :=:240 km

Cancelamos a unidade de tempo, a hora, exatamente como 0 fariamos am qualquer outragrandeza algebrica, a fim de ter a distancia percolTida na unidade apropriada de comprimen-to, 0 quil6metro. Este metodo de tratar as unidades torna facil a conwrsao de uma unidadeem outra. 5uponhamos que se queira converter a nossa resposta, 2·W km. a milhas (mi).Usamos a informa<;:ao

Imi---:=:11,61km

Em virtude de ser possivel multiplicar qualquer grandeza pori sem alrerar a seu yalor. po·demos agora transformar os 240 km em mil has multiplicando pelo fator (I mi)/( 1.61 km):

240 km:=: 240JdTI x I mi :=:149 mi1,61JdTI

o fator (I mi)/(I,61 km) e urn fator de conversao. Todos os fatores de com'ersao tern 0

. or I e sac usados para converter a grandeza expressa numa unidade de medida na sua'iyalente expressa em outra unidade de medida. Escrevendo-se explicitamente as unioa-

es e cancelando-as apropriadamente, nao precisamos ficar hesitantes se devemos fazer a:n ltiplica<;:ao por 1,61, ou a divisao par 1,61, para transformar quil6merros em milhas, pais

nidades que restarem do cancelamenw nos dirao se escolhemos 0 fator correta au incor-:ctamente .

.-\ que equivale 90 km/h expresso em metros por segundo e em milhas por hora?

Vamos usar as infOlwa<;:6es 1.000 m:=: 1 km, 60 s:=: 1 min e 60 min:=: 1 h, a fimde onverter quil6metros pOl' hom a metros par segundo. Multiplicando 90 km/h pOl'

uma seqUencia de fatores de conversao, cada q al om 0 \. or 1. ce ;r.da velocidade nao se altera, obtemos:

90;6n 1.000 m JX Ipf1n---x---x---x--=A l,.Km 60j:l'f\n 60 s

Para converter esta velocidade a milhas por hora, usamos 0 fator de(1,61 km) = 1.

90.k1TI 1mi ~5 9 '/h--x---=) mlh 1,61)crn ,

ExercicioQual 0 equivalente a 65 mi/h em metros por segundo?(Resposta: 29,1 m/s).

A area de uma superffcie se encontra pel a multiplicaC;ao de urn certo comprimentotro. Por exemplo, a area de urn retangulo cujos lados SaG2 me 3 me A = (2 m)(3 m) = :::-=.A unidade de area e 0 metro quadrado. Em virtude de a area ser 0 produto de dais com :'-mentos, diz-se que a area tern as dimens5es de comprimento vezes comprimento, ou ow-primento aa quadrado, que se escreve, freqUentemente, como U. A ideia de dimen 5e- :=estende, com facilidade, as grandezas que nao SaGgeometricas. Por exemplo, a veloci -=

tern as dimens5es de comprimento dividido pelo tempo, ou l./T. As dimens5es das ou~-=grandezas, como forc;a au energia, escrevem-se em termos das grandezas fundan1enta" ~.:2-

comprimenta, de tempo e de massa.A adiC;aode duas grandezas ffsicas s6 tern sentido se as grandezas adicionadas tern -

mesmas dimens5es. Por exemplo, nao podemos somar uma area a uma velocidade e che=z:-a urn resultado·que tenha sentido. Se tivermos uma equuC;aocomo

as grandezas A, Bee devem ter todas as mesmas dimens5es. A adiC;aade B e de C tamb~rr.exige que estas grandezas estejam expressas nas mesmas unidades. Por exemplo, se B fo~uma area de 500 in2 e C uma area de 4 ft" devemos ou converter B a pes quadrados, ou Cpolegadas quadradas, a fim de poder somar as duas areas.

Muitas vezes podemos verificar a ocorrencia de enganos num calculo pela veri fica > - 0

das dimens5es, ou das unidades, das grandezas que figuram no calculo. Suponhamos.exemplo, que usamos, incorretamente, a f6rmula A = 2r.r para a area de urn drculo. Pooe-mos ver, sem dificuldade, que esta f6rmula nao pode ser correta, pois 0 segundo membro ill

equaC;ao,2'Tir, tern as dimens5es de comprimento, enquanto a area deve tel' as dimens5ecomprimento ao quadrado. Consideremos, como outro exemplo, a f6rmula para uma dis -:1-

r Cia x:

Ix = vt + -at

2

onde t e urn tempo, u uma velocidade, e a uma acelerac;ao, que tern (conforme veremos) -dimens5es ur. Podemos vel', mediante 0 exame das dimens5es de cada parcela, que e:'"f6rmula nao pode estar correta. Uma vez que x tern as dimens5es de camprimento,parcela no segundo membra da equaC;aotambem deve ter as dimens5es de comprimento. 0termo ut tern as dimens5es de comprimento, mas as dimens5es de atl2 SaG(ur)T = l./T.Uma vez que este termo nao tern as dimens5es corretas, a f6rmula naa pode ser correra. :\coerencia dimensional e uma condic;ao necessaria, mas nao suficiente, para que uma equ -C;aaseja correta. Uma equaC;aopode tel' as dimens5es corretas em cada urn dos seus termo-mas, mesmo assim, pode nao descrever qualquer situac;ao ffsica.

otacao Cientffica:>

.-\ill i. 1.-,,;0 de numeros muito grandes, ou muito pequenos, fica simplificada quando se-..,_O' 7-0 ien' ffica. Nesta nota<;;ao,urn numero se escreve como 0 produto de urn numero

en::e e lO e uma potencia de 10, como 102(= 100) ou lO3(~ 1.000). Par exemplo, 0 nume-_.000.000 e escreve 1,2 X 107; a distancia entre a terra eo sol e cerca de 150.000.000.000

e sc ~s e\-e 1,5 X 1011m. 0 numero 11, na potencia 1011eo expoente. Para numeros-euo~ s que 1 0 expoente e negativo. Por exemplo, 0,1 = 10-1 e 0,0001 = 10--1.0 diametro'e I ., \-irus. que e da ordem de 0,00000001 m, se escreve I X 10-8 m.

~ a muitiplica<;;ao,os expoentes se adicionam; na divisao, subtraem-se. Alguns exem-.0· simples vem a seguir, para evidenciar a utiliza<;;aodestas regras.

102

= ~ = ~ = 102-3 = 10-1

103 1.000 10

Em nota<;;aocientffica, 10°se define como 1. Podemos perceber a razao disto como segue.Suponhamos que se divida 1.000 por si mesmo. Temos

1.000 = 1O~= 103-3 = 100 = I1.000 10-'

(b) 3,00x106

=3.00xlO6-]-~)=2,00xlOIO1,50 X 10-1 1,50

ExerdcioCom a nota<;;aocientffica, calcular (2,50 X 107)(1,90 X 10-3).(Resposta: 4,75 X lO-It

Ao se elevar uma potencia a Olltra potencia, os expoentes se multiplicam. Por exem-pIo,

Lm litro e 0 volume de urn cubo que tern 10 cm por 10 cm por 10 em. Calcular 0 YO-

lume de urn litro em centfmetros cubicos e em metros cubicos.

o volume Vde 1111l cubo de aresta LeV'

10' 3 101 3 (10-2m)3 101 3 10-'im-' --IO--'m-'. cm == - cm X --- == - cm X _Icm 1 m:

! ~~serve que a elevac;ao do fator de conversao (que e igual a I) 3.ter eir~ra seu valor e nos possibilita cancelar as unidades.

E necessario to mar cuidado quando se adicionam, ou subtraem. numeros es rilO:~::;:;notac;ao cientffica e cujos expoentes nao sao identicos. Consideremos. por e;;emplo.

A fim de achar a soma sem converter os dois numeros a forma decimal ordinaria. b ":~reescrever qllalqller urn deles de modo que a respectiva potencia de 10 seja a mesma que::.do outro. Por exemplo, podemos achar a soma escrevendo 1,200 X 10' == 1.200 X 10- cdepois aclicionando:

Se os expoentes forem muito diferentes, entao urn dos numeros e mllito menor que ooutrOe pode ser, muitas vezes, desprezado na adiC;ao ou na subtrac;ao. Por eXemplo,

(2 X 106) + (9 X 10-3) == 2.000.000 + 0,009

== 2.000.000,009'" 2 x 106

1.5 Algarismos Significativos e Ordens deGrandeza

Muitos numeros que aparecem na ciencia SaD 0 resllltado de medic;oes e. por isso. SaD co-nhecidos dentro dos limites de uma certa incerteza experimental. A grandeza da incertezadepende da habilidade do experimentador e do aparelho usado na medida e, muitas vezes.56 pode ser estimada. Uma indicac;ao grosseira da incerteza de uma medic;ao esta implfcitano numero de algarismos usados para exprimi-Ia. Por exemplo, se dissermos que uma mestern 2,50 m de comprimento, estamos querendo dizer que 0 seu comprimento esta entre 2.-+9-m e 2,505 m. IslO e. conhecemos 0 comprimento com aproximaC;ao de =0,005 m == =0.-cm. Se usarmos uma fita metrica com divisoes em milfmetros, e se fizermos a medida docomprimento da mesa com mllito cuidado. pocleremos estimar 0 comptimenro com apro;;i-mac;ao de =0,5 mm e nao de =0.5 cm. Indicarfamos esta precisao mediante quatro algari -mos, como por exemplo 2,503 m. para dar 0 comprimento. Urn algarismo (diferente dos ze-ros que localizam a vfrgula decimal) conhecido com confianc;a e um algarismo significati-vo. 0 numero 2,50 tern tres algarismos significativos; 2,503 tern quatro. 0 nLlmero 0.00 10::-tern tres algarismos significativos. (Os treS primeiros zeros nao SaG algarismos signifi a --vOS,.po is simplesmente localizam a vfrgula decimal.) Em notac;ao cientffica. este ul i • 0

numero se escreve 1,03 X 10-3. Um erro comum dos estudantes, especialmente depoi' .,generalizac;ao do uso de calculadoras eletronicas manuais, e 0 de guardar numa resposta muiiomais algarismos do que se pode garanrir. Suponhamos, por exemplo, que se mec;a a area 0

grande cfrculo central de um campo de futebol mediante a estimati va do raio e a f6rm IA == 1Tr. Se 0 raio estimado for 8 m, e se usarmos uma calculadora de 10 dfgitos para es ia area, obteremos 7T(8 m)" == 20 I ,0619298 m". Os algarismos depois da vfrgula decimal i: -dem quanto a exatidao com que se conhece a area. Em virtude de a medida do raio ter sic!o

'_-:".0' dmi ir que ela seja exata dentro de aproximadamente 0,5 m. Isto e, 0 raio-- ~ -~:- :5.0 =Ia de quanto 8,5 m, ou tao pequeno quanto 7,5 m. Se 0 raio for 8,5 m, a area

_ - xi == .• 6.9 00692 me, enquanto que se 0 raio for 7,5 m, a area sera 7T(7,5m)l==-- -:-.::". 1: ..-\ seguinte regra geral, a observar quando se multiplicam ou dividem diver-

:::"l1":-os. e:

funero de algarismos significativos no resultado da multiplica<;ao,ou da divisao,-~ 'llrio numeros nao pode ser maior que a men or numero de algarismos significati-

de qualquer dos fatores, au divisores.

- ~~~mplo antelior, 0 raio do grande cfrculo so e conhecido com urn algarismo significa-" modo que a area so pode ser estimada com urn algarismo significativo. Deve ser

:-e-sa por :2 X 102 me, a que indica que esta entre ISO m2 e 250 m2

A preci5ao da soma, ou da diferen<;a, de duas medidas e tao boa quanta a precisao da-,,::10 precisa entre as duas medidas. Como regra geral a observar se tern: '

o resultado da adi<;iio,au da subtra<;ao, de dois numeros nao tern algarismos signifi-livos alem da ultima casa decimal na qual os dois numeros originais tern algarismos

ignificativos.

,-\char a soma de 1,040 com 0.2134.

o primeiro numero. 1,040, so tem tres algarismos significati\'os alem da vfrguladecimal. enquanto a segundo, 0,2134, tem quatro, De acordo com a regra. a soma sopode tel' tres algarismos significativos alem da vfrgula decimal. Obteremos assim

ExercicioAplicar a regra apropriada para c1eterminar a nLlInero de algarismos si=ni 1 ati \'OS eefetuar: (oj I,5S X 0,03. (bj 1,4 + 2.53 e (ej (2,34 X 102) + 4.93. [Respostas: ra)0.05, (b) 3.9, (ej 2,39 X 102]

Num livra-texto nao e camodo escrever cada nlimero com as algarismos significati-''-05 aprapriados. A maior parte dos exemplos e dos exercfcios, deste texto. el1\'oh'era nli-

eras com tres (as vezes com quatro) algarismos significativos; ocasionalmente iremos.r exemplo, que 0 tampo de uma mesa tem I m par 2 m em lugar de gastar tem 0 e espa > 0

_ a dizer que tem 1,00 m por 2,00 m. Qualquer dado que aparecer num exemplo. ou num~xercfcio, pode ser aceito como tendo tres algarismos significativos, salvo indica<;ao em

illiariO. -Ao se efetuarem calculos, ou compara<;oes aproximadas, arredondaremo . algumas

\·ezes. um numera a potencia de 10 mais aproximada. Este numero arredondado e a ordemde grandeza. Par exemplo, a altura de um pequeno inseto, uma formiga. digamos. pode er

X IO-J m = 10-3 m. Diremos entao que a ordem de grandeza da altura da fomliga e 10-.' m,a10gamente, embora a altura da maioria das pessoas seja proxima de 2 m. podemosedonda-Ia e dizer que a ordem de grandeza da altura das pessoas e 10° m, Nao estamoserendo dizer que a altura tfpica seja realmente de 1 m, mas que e mais proxima de I m do

_ ~ de 10m ou de 10-1 = 0, I m. Podemos dizer que urn set humano e, nos casas tfpicos, 3or en de grandeza mais alto que uma formiga tfpica, para exprimir que a razao entre as_ -pccti vas alturas e de aproximadamente 1.000 para 1. Uma ordem de grandeza nao pro-;x>rciona qualquer algarismo que seja conhecido com confian<;a. Pode-se imagina-Ia como

pra\'ida de qualquer algarismo significativo.As Tabelas 1-2 ate 1A apresentam alguns valores de ordens de grandeza tfpicas de

:n rimentos. massas e intervalos de tempo que se encontram na ffsica.

Tabela 1-2 Ordem deGrandeza de AlgunsComprimentos

Comprimento

Raio do prownRaio do :'itomoRaio de urn virusRaio de uma amebagi,,~m[eRaio de uma noz,-\ltura de uma pessoaAltura das montanhasmais elevadasRaio da terraRaio do solDistancia da terra ao solRaio do sistema solarDistancia a estrela maisproximaRaio da gahixia daVia LacteaRaio do universo visivel

10-15

10-10

10-7

Tabela 1-3 Ordem de Grandezade Algumas Massas

Tabela 1-4 Ordem de Grandeza eAlguns Intervalos de Tempo

IntervaloTempo para a luz atravessar 0 nucleoPerfodo de radiaqao luminosa visi\-elPerfodo das microondasMeia-vida do muonPerfodo do som audivel mais agudoPerfodo do batimento cardiacoMeia-vida de urn neutron li~Perfod~ de ~o da Te~Perfodo d~qao da TemYlano) ,Vidadeums~ ~Meia-vida do plutonio 239Vida de uma cordilheiraIdade da TerraIdade do universe

EletronProtonAminOlkidoHemoglobinaVirus da gripeAmeba giganteGota de chuvaFormigaSer humaneFoguete Satumo 5Piriimide do EgitoTerraSolGahixia da Via LacteaUniverso

10-30

10-27

10-25

10-22

10-19

10-8

10-6

10-2

102

106

1010

102•

1030

10-'11052

Em muitos casos, a ordem de grandeza de urn certo pariimetro ffsico pode ser e ti~::--da mediante hip6teses razoaveis e calcu\os simples. a ffsico Enrico Fermi era urn mesrre ~calculo de respostas aproximadas a quest5es que pareciam impossfveis de serem resolyiem virtude da informa~ao limitada em tome do problema. Estas quest5es sac con he icomo problemas de Fermi. A seguir, urn exemplo de problema de Fermi.

Qual a espessura da banda de borracha que e desgastada no pneumatico de urn car.oque percorre 1 km (0,6 mi)?

Vamos admitir que a espessura de banda de rodagem, num pneum<itico no -0.

seja 1 cm. Esta estimativa pode estar errada por urn fator de 2, mais ou menos, mas Imm e certamente muitopouco e 10 cm e excessivo. Vma vez que os pneum<iticosubstituem depois de rodarem cerca de 60.000 km (aproximadamente 37.000 rruJ_vamos admitir que a banda esteja completamente gasta depois de percorrida esta di -tancia. Em outras palavras, a taxa de desgaste e de 1 cm por 60.000 km de rodagem. _-\espessura desgastada por quil6metro e, portanto,

1cm -5----= 1,7x 10 em/km ""0,2 urn/km60. 000 km .

1. As medidas de grandezas ffsicas (por exemplo, comprimento, tempo, for~a e energi3exprimem-se como urn numero vezes uma unidade.

2. As unidades fundamentais no Sistema Internacional (51) sao 0 metro (m), 0 segundo ( .o quilograma (kg), 0 kelvin (K), a ampere (A), 0 mol (mol) e a candela (cd). Toda m i-da de grandeza ffsica pode ser expressa em termos destas unidades fundamentais_

3. As unidades, nas equa~5es, sao tratadas da meSilla forma que quaisquer outras entida -?S

algebricas.4. as dois membros de uma equa~ao tern que ter as mesmas dimens5es.5. as fatores de conversao, que sempre sac iguais a 1, proporcionam metoda com-e eIC~

para converter uma unidade em outra.6. Numeros muito pequenos, ou numeros muito grandes, sao aperados com maior fa ili -

de quando se escrevem como urn numero entre leI 0 vezes uma potencia de 10. Es· e =nota~ao cientffica. Quando se multiplicam dois numeros, os expoentes se adieionam: . - -

se iyidem, os expoentes se subtraem. Quando urn numero que tern urn expoente fore\"a 0 a outro expoente, os expoentes se multiplicam.

o nUmero de algarismos significativos no resultado de uma multiplica~ao, ou de umadiv;sao, mio e maior que 0 menor numero de algarismos significativos de qualquer fator,au divisor. 0 resultado da adi~ao au da subtra~ao de dois numeros nao tern algarismossiwficativos alem da ultima casa decimal onde os dois numeros iniciais tern algarismossi;ruficativos.

8, Urn numero arredondado a potenciade 10 que the for mais pr6xima e uma ordem de gran-deza. A ordem de grandeza de uma medida pode ser estimada, muitas vezes, mediantehip6teses razmiveis e calculos simples.

Capitulo 2

Movimento em Uma Dimensao

A descric;ao do movimento dos corpos e parte importante da descri<;ao do .-ffsico. Na realidade, e tema central do desenvolvimento da ciencia, de Aristoteles . .;leu. As leis do "como" da queda dos corpos foram descobertas muito antes de " 'e\\-:~= -crever 0 "porque" da queda. Urn dos enigmas cientfficos mais remotos era 0 do mo "-aparente do sol no cell e 0 do movimento sazonal dos planetas e das estrelas. C7- =-triunfo da meciinica newtoniana foi a descoberta de que 0 movimento da terra e .~planetas, em tomo do sol, se explicam em termos de uma forc;a de atrac;ao entre 0 = .-=planetas.

Neste capitulo, e no seguinte, vamos descrever 0 movimento (cinemati ) ==-preocuparmos com as respectivas causas. (Consideraremos as causas do mO\'irr,e;-- -Capitulo 4, ao estudar as leis de Newton.) Vamos limitar a discussao deste capitulovimento unidimensional, isto e, ao movimento que ocorre sobre uma reta. Exemplo =:-;:de movimento unidimensional e 0 de \1mcarro que se desloca ao longo de uma es ~:: -na, reta e estreita. Num movimento deste tipo, so existem duas direc;6es possf\·eis .. -= - •...tinguimos identificando uma delas como positiva e a outra, como negativa.

A fim de simplificar a discussao sobre 0 movimento, principiamos com o~posi<;aopode ser descrita pela localizac;ao de urn ponto. Este corpo e denominadola. Ha tendencia de se considerar particula urn corpo muito pequeno, mas na \'erd .e-""qualquer restric;aode tamanho implfcita no conceito de "partfcula". Par exemplo. e 0::.-te, algumas vezes, considerar a terra como uma particula que se desloca em tomo do =-ma trajetoria quase circular. (Com toda certeza, observada de urn planeta distante 0 ' .:=galaxia remota, a terra se assemelha a urn ponto.) Nestes casos, estamos intere -~; :mente no movimento do centro da terra e par isso desprezamos 0 tamanho real d2.:... _ -= _sua rotac;ao. Em alguns problemas astronomicos, todo 0 sistema solar, e ate mesmo i .:

galaxia, saD tratados como partfculas. Quando estivermos analisando a rota<;aoc<: - _ -po, ou a estmtura intema de urn corpo, nao mais podemos consideni-lo uma p<LC_' --rem, mesmo nestes casos, a investigac;ao do movimento de LImapartfcula tern uti\.!..•_-~ -;qualquer corpo, por mais complicado que seja, pode ser tratado como urn conjutema", de partfculas.

2.1 Velocidade Media e DeslocamentoTodos temos familiaridade com 0 conceito de velocidade. Definimos a velocid.aC~-de uma partfcula como a razao entre a distiincia total percorrida pela parti U.::. etotal consumido no percurso:

distiincia totalVelocidade media =

tempo total

'in de media e metros por segundo (m/s) e a unidade usual no sistema_ -- _ ~=~= n'o t' s): tambem muito comum e a unidade milhas por hora (mi/h). Inter-~--e:J:r.a unidade mais comum e quil6metros por hora (km/h). Se voce percorreu, num~) ill ~rn - horas a sua velocidade media foi (200 km)/(5 h) = 40 km/h. A velocidade-- ..•., .n.:orrna sobre os detalhes do percurso. E posslvel que voce tenha dirigido a veloci-

:=0= ...:;- -::e de -1-0km/h durante todas as 5 h, ou pode ter diligido com maior velocidade uma__'.i: 0 tempo. e com menor velocidade no restante do tempo; ou pode ter parado durante

2-__e epais dirigido com velocidades variaveis durante as outras 4 h.o ~o:- ei-o ffsico de velocidade e semelhante ao da velocidade trivial, mas dele difere por

- _ irer;iio do movimento. A firn de en tender 0 conceito, vamos introduzir a ideia de des-. ~:o. Principiemos por cons~ruir urn sistema de coordenadas mediante a escolha de urn

~ ~e erencia. sobre uma reta, como a origem O. A qualquer outro ponto da reta associa-- __ numero .:(que indica a distiincia entre 0 ponto e a origem. 0 valor de x depende da

-=-::= ~scolhida para medir a distancia (metro, quil6metro, etc.). 0 sinal de x depende da sua-~ em rela<;ao a origemO. A conven~ao que se adota usualmente e a de os pontos a direita

'~e:n erem valores positivos e os pontos a esquerda, valores negativos .. Figura 2-1 mostra urn carro (que podemos tratar como uma partfcula) que esta no

::.ill x .. num certo instap.te fl, e no ponto X2, no instante f2• A varia~ao da posi~ao da partf-x: - XI' e 0 deslocamento da purtleu'?!. E habitual adotar a letra grega maiuscula Ll

-=~':'::'I a indicar a varia~ao de uma grandeza. Entao, a varia<;ao de X se escreve ~x:

- :a,ao LlX (leia-se "delta x") representa uma unica grandeza, a Yaria~ao de x. Nao e 0

to de Ll por x, da mesma forma que cos 8nao e 0 produto de cos por e.A. velocidade e a taxa de varia<;ao da posi~ao. A velocidade media de uma partfcula

e:i e como a razao entre 0 deslocamento I1-t e 0 intervalo de tempo .:,.{= {2 - tl:

LlX x?-Xtv =-=----rn !1f f2-f,

-~j3que 0 deslocamento e a velocidade media podem ser positivos ou negati\·os. onforme-1": = ja maior ou menor que XI' Urn valor positivo indica movimento para a direita e urn valor- = i\'o indica movimento para a esquerda.

Urn caracol esta em XI = 18 mm, no instante tl = 2 s, e depois se encontra em x: = 1-1-mm.no instante fz = 7 s. Calcular 0 deslocamento e a velocidade media do car 01 nesteintervalo de tempo.

!1x x? -XI 14 mm-lS mm -4 mm 08 /vrn =-=----= =---=-. mm s!1t t2 - f I 7 s ~ 2 s 5 s

o deslocamento e a velocidade media sao negativos, 0 que indica ser para aesquerda 0 movimento do caracol.

1--L1x-1~ ~

x-Figura 2-1 Quando urn carro se desloca do ponto XI ate 0 ponto X2_ 0 seudeslocamento e ~x = X, - XI'

Observe que a unidade miifmetros par segundo e pane da r~-po-- ;;-~:. ~-media calculada no Exemplo 2.1. Em virtude de serem muitas as ou - e-;:o ---- ;J:es:~~:::::;das unidades de comprimento (pOl'exemplo, metros. quil6metro . ano--!Q e ~.:.=(pOl'exemplo, horas, dias, anos), e essencial incluir a unidade com are"!" S:2. =enunciado "a velocidade media da partfcula e -3" nao tern qualquer en i '0.

Qual a distancia coberta pOI'urn carro, em 5 min, se a sua velocidade medurante este intervalo de tempo?

Estamos interessados no deslocamento ocorrido no intervalo de tec?Q .:~= ~Pela Eq. 2-2, 0 deslocamento ~x e dado pOI'

Uma vez que 0 tempo esta em minutos e a velocidade media em quil6metro.: :-devemos ou converter 0 tempo a horas ou a velocidade media a quil6metro. ;~=-~to. Fazendo esta ultima conversao, obtemos

80 km 1 h 4 kmV =---x---=--

m 1 h 60 min 3 min

4 km~x = --x 5 min = 6,67 km

3 min

ExercicioUrn corredor tern a velocidade media de 0,25 km/min sobre uma pista retilfnea. Qur.:. "po levant para cobrir a distancia de 10 km':>(Resposta: 40 min.)

Urn cOlTedor percarre 100 m em 12 s e depois retorna 50 m. em dire<;ao aopartida, em marcha moderada, levando 30 s. Qual a velocidade media equal:1 ~dade media final?

A distancia total percOlTida foi 100 m + 50 m = 150 m e 0 tempo total o·do foi 42 s. A velocidade media, portanto, e (150 m)/(42 s) = 3,57 m/s. Obse:- ~ --;.-esta nao e a media entre as velocidades da corrida e da marcha, pois a corrida Cl.:. _.=-sea marcha, 30 s. A fim de calcular a velocidade media final vamos primeiro -:.~o deslocamento final. Se 0 ponto de partida XI for a origem, 0 ponto final a' _-.;esta a 50 m, de modo que 0 deslocamento final foi X2 - XI = 50 m. A velocid ce _:-final e, entao,

& 50mv =-=--=+119 m/sm ~t 42 s '

Outra vez esta nao e a media da velocidade d:,»corrida (+8,33 m/s) e da \'elmarcha (-1,67 m/s), pois os tempos de uma e outra foram diferentes.

A Figura 2-2 mostra urn grafico de X contra t num movimento arbitrano _OL~dos x. Cada ponto da curva tern uma certa ordenada x que e a localiza<;ao da pcerto instante, e tern uma certa abscissa t, que e 0 instante em que a partfcula e a\' - _ -ponto. No grafico, tra<;amos urn segmento de reta entre a posi<;ao identifica :1" _.::> ~_posi<;ao P2. 0 deslocamento ~x = X2 - XI' e 0 intervalo de tempo ~t = t2 - Ii epontos estao indicados no gnifico. 0 segmento de reta entre PI e P2 e a hi

At = X, -x,

i I JI II II I

~(XI' t,) I :____________ L _

I (, :I I

:' 6.t = '2- t, :I II II II I

t, '2Lli f' . I- = coe IClente angu ar = VOl6.t

triangulo retiingulo cujos catetos sac ~x e /:'t. A razao /:,xl/:,t eo coeficiente angular da hi-potenusa. Em termos geometricos, 0 coeficiente angular mede a inclina<;ao da reta no grMi-co. Para urn certo intervalo de tempo ~t, quanta mais inclinada for areta, maior sera 0 valorde /j,.x/~t. Uma vez que este coeficiente angular e exatamente a velocidade media no inter-valo de tempo ~t, temos assim uma representa<;ao geometrica da velocidade media.

A menos que a velocidade seja constante, a velocidade media dependera do intervalo de temposobre 0 qual est<i baseada. Por exemplo, na Figura 2-2, se escolhermos um inten'alo de tem-po menor, escolhendo um inst:l11te t'2 mais proximo de t" a velocidade media seria maior,conforme se ve pela maior inclina<;ao da reta que liga os pontos P, e P'2'

1. Qual 0 sentido, se e que tem, do seguinte enunciado: "a velocidade media de um carro,as 9 horas da manha, era 60 km/h"?

2. Sera posslvel que a velocidade media num certo intervalo seja nula mesmo que a velo-cidade media num intervalo de tempo incluldo no primeiro nao 0 seja0 Explique.

3. Qual a velocidade media dos carros durante uma corrida de formula I?

A primeira vista parece imposslvel que se possa definir a velocidade de uma p311lcula num cer-to instante, ou seja, num certo valor do tempo. No instante [, a partfcula esta no-unico ponto X,.Se esta neste unico ponto, como pode estill- em movimento? POI' outro lado, se nao esta emmovimento, nao deveria pennanecer no mesmo ponto? Este e urn paradoxo muito antigo, quepode ser resolvido quando se considera que, para observar urn movimento, e portanto para de-fini-Io, devemos observar a posi<;ao do movel em mais do que urn certo instante. E entao POSSI-vel definir a velocidade num instante mediante urn processo de passagem ao limite.

A Figura 2-3 e 0 mesmo grafico de x contra [da Figura 2-2, e mostra uma seqUenciade interval os de tempo /:'t" t:.t2, M3, ••• , cada qual menor que 0 anterior. Em cada intervalo detempo tit, a velocidade media e 0 coeficiente angular da reta correspondente ao intervalo. A

Figura 2-2 GrMico de X contra [ parauma partfcula que se desloca numadimensao. Os pontos P, e P, foramligados por urn segmento de reta. Avelocidade media e 0 coeficienteangular deste segmento, 6..xI6.t, quedepende do intervalo de tempo,con forme se ve pelo fato de a reta de P,para P', ter coeficiente angular maiorque a reta de P, ate Pc'

Figura 2-3 Grafico de x contra f daFigura 2-2. A medida que 0 intervalode tempo, que principia em f., vaidiminuindo, a velocidade media nointervalo se aproxima do coeficienteangular da reta tangente a curva noinstante f •. A velocidade instantanea sedefine como 0 coeficiente angular destareta.

II

•IIII

6.f3---'

______ 6.t,-----_

figura mostra que, a medida que 0 intervalo de tempo se torna menor, a reta fica cada ·~zmais inclinada, mas nunca ultrapassa'a inclina<;ao da tangente a cur~ no ponto tl' De t=.:-mos 0 coeficiente angular dest~ente como a velocidade instantanea no instante [I'

A velocidade instantfinea num certo ponto e 0 coeficiente angular da reta tangente acurva de x contra t neste ponto.

E importante ter em conta que 0 deslocamento ...1-, depende do intervalo de tempo ..1f. .;,medida que M tende a zero, fu tambem tende a zero (conforme se ve pela Figura 2-3) e :;;razao !:l,,;c.t se aproxima do coeficiente angular da reta tangente a curva. Vma vez que 0

coeficiente angular da tangente e 0 limite da razao ..1x/M, quando c.t tende a zero, podemo~reformular a defini<;ao anterior:

v = tim & = coeficiente angular da tangente a curva de x contra t61->0 ill

Este limite e a derivada de x em rela<;aoa t. Na nota<;aohabitual do calculo, a deriyasimbolizada por dx/dt:

I. L1X dx

V= 1m -=-61->0 L1t dt

Este coeficiente angi.Ilarpode ser positivo (x e crescente com t) ou negativo (x e decre ce ,ecom t). Por isso, a velocidade instantanea pode ser positiva ou negativa no movimento ,-'-dimensional. 0 modulo (valor absoluto) da velocidade instantanea e 0 que se denom:. :;;habitualmente velocidade instantanea.

A posi<;aode uma partfcula e dada pela curva que aparece na Figura 2-4. Calvelocidade instantanea no instante t = 2 s. Quando a velocidade e maior'> Qunula? Em algum instante e negativa?

Na figura, desenhamos a reta tangente a curva no instante t = 2 s. 0 coeficienteangular desta reta, medido na figura, e (4,5 m)/(3 s) = 1,5 mls. Entao v = 1,5 mls noinstante t = 2 s. Ainda de acordo com a figura, 0 coeficiente angular (e portanto a ve-locidade) e maior nas vizinhan~as de t = 4 s. A velocidade e nula nos instantes t = 0 et = 6 s, pois nestes instantes as tangentes a curva san horizontais e, por isso, tern coe-ficientes angulares nulos. Depois do instante t = 6 s, a curva tern coeficiente angularnegativo, 0 que indica ser negativa a velocidade. (0 coeficiente angular da tangente auma curva, num certo ponto, e denominado muitas vezes 0 "coeficiente angular dacurva" no ponto.)

.;

.; ---- ...•.•..•~/ ~

.; V "\1.;

.;.; )

~ i---/ 1 I I

'/ I I1/ I I.••..i-' I I

,I I!

x,m87

6

54

3

21o-I

A posi~ao de uma pedra que cai, a partir do repouso, do topo de um rochedo, e dadapor x = 5t2, com x em metros, medido para baixo, a partir da posic;ao inicial no instantet = 0, e tern segundos. Achar a velocidade em qualquer instante. (No c<llculo, vamosomitir a indica~ao explfcita das unidades, a fim de simplificar a notac;ao.)

A curva correspondente a x = St" aparece na Figura 2-5. As tangentes foramtra<;adasem pontos correspondentes a tres instantes diferentes, tl, '2 e t,. Os coeficien-tes angulares destas retas tangentes SaDdiferentes. A medida que 0 tempo passa, 0

coeficiente angular da curva aumenta, 0 que indi a 0 aumento da velocidade instan-tanea com 0 tempo. Podemos calcular a velocidade num certo instante t mediante 0

calculo da derivada dx/dt, a partir da definic;ao da Eq. 2-3. No instante t a posi<;ao e

x, 111

400 -350300250200150100

50

2 3 4 5 6 7 8 " s

Figura 2-4 Gnifico de x contra f noExemplo 2.4. A velocidade instantaneano instante t = 2 s pode ser encontradamediante 0 coeficiente angular cia retatangente a curva neste instante.

Figura 2-5 Grafico cia fun<;:aoxU) = 5Pdo Exemplo 2.5. As tangentes foramtra<;:adasnos instantes fl, fz e f3• Oscoeficientes angulares destas tangentescrescem continuadamente ao se passarde fl para f2 e para f3, 0 que indica 0aumento continuado da velocidacleinstantanea com 0 tempo.

Tabela 2.1 Deslocamento eVelocidade Media, comVarios Intervalos de TempoAt, Principiando Sempre emt = 2 s, com a Funsao x = 5t2

t:..x/M,M,s t:..x,m m/s

1,00 25 250.50 11,25 22,50,20 4,20 21,00,10 2,05 20,50,05 1,0125 20,250,01 0,2005 20,050,005 0,100125 20,0250,001 0,020005 20,0050,0001 0,00200005 20,0005

x(t + !1t) = 5(t+ !1t)2 = 5[;2 + 2t !1t + U~t)2 ]= 5[2 + lOl/':;.l+ 5(/':;.[)2

/':;.X = x(1 + /':;.1)- xU) = [512 + lOl/':;.l+ 5(/':;.1)2]- 512

= 101/':;.1+5(/':;.1)2

v =.6.x = lOt !1t + 5(!1t)2 = lOt + 5 !1tm!1t !1t

A medida que formos considerando intervalos de tempo cada vez mais curtos.a zero, e entao a segunda parcela, 5 t:..t, tambem tende a zero, enquanto a p --;:~ _parcela, 10 t,permanece inalterada. A velocidade instantanea no instante I e en':

. !1xv = hm - = lOt

"'1...•0 !1t

ljesteexemplo, a velocidade instantanea e proporcional ao tempo.Observe que se fizermos, no.Eq. 2-3, t:.t igual a 0, entao t:..x tambem sera i= ' . _

. 0 e a razao ~,/t:.tsera indeterminada. No entanto, a partir de uma equa~ao que e.:=-senta a dependencia entre x e t, calculamos exatamente 0 limite de t:..x/t:.tqua 0-':

tende a zero.

E instrutivo examinar, de forma numerica, 0 processo de passagem 0.0 limite, medi -te 0 calculo do.velocidade media sobre intervalos de tempo cada vez mais curtos. A T2.1 da a velocidade media, no Exemplo 2.5, ern t = 2 s, com diversos intervalos de terncada qual menor que 0 anterior. A tabela mostra que com interval os de tempo muito penos. a velocidade media e muito aproximadamente igual a velocidade instantilnea, que' ='m/s. A diferen~a entre ~r/D.t e lim (D.x/t:..t) pode ser arbitro.rio.mente pequeno. peb e co r:..

"'1...•0

de urn intervo.lo t:.t suficientemente pequeno.E importante distinguir cuido.dosamente entre velocidade media e velocidade in--',:-

tanea. No.linguagem comum, a palavra "velocido.de" isolada indica, possivelmente. a \'~:lJ

cidade instantanea.

4. Se a velocidade instantanea nao variar, as velocidades medias, correspondentes a in:e:--valos de tempo diferentes, serao diferentes?

5. Se vm = 0 num certo intervalo de tempo t:.t, a velocidade instantanea v deve ser n__num certo instante deste mesmo intervalo? Apoiar a resposta par meio de uma po's:"c:curva de x contra t que tenha D.x = 0 num certo intervalo de tempo t:..t.

2.3 Ace~a<;aoQuando a velocidade instant5.nea de uma partfcula se altera coni.0 tempo, como no Exe -2.5, diz-se que a partfcula esta acelerada. A acelerasao media sobre urn certo intervalo ..:~tempo D.t = t2 - t] se define como a razao D.v/D.t, onde t:.. v = Vz - VI e a varia~ao do.\.dade instantanea no intervalo de tempo:

ASdimens6es de acelerac;ao saD as de comprimento dividido por (tempo)". Unidades conve-nientes saD metros por segundo por segundo, que se diz mais compactamente metro par se-gundo ao quadrado (m/s"), ou pe por segundo ao quadrado (ft/s2). Por exemplo, se dissermosque uma partfcula esta com a acelerac;ao de 5 m/s2, queremos indicar que, se partir do repou-SO, tera a velocidade de 5 m/s depois de mover-se durante 1 s, e que depois de 2 s a sua ve-locidade sera 10 mis, e depois de 3 s estara se deslocando com a velocidade de 15 m/s eassim sucessivamente.

A acelera<;ao instantanea e 0 limite da razao t:.vi t:.t quando t:.t tende a zero. Se plo-tannOS a velocidade em func;ao do tempo, a acelerac;ao instantanea no instante t se definecomo 0 coeficiente angular da reta tangente a curva neste mesmo instante:

a = tirn L'l v = coeficiente angular da reta tangente a curva de v contra tL'lt ~ 0 M

A acelerac;ao e entao a derivada da velocidade em relac;ao ao tempo. A notac;ao do calculopara est3 derivada e dvldt, Uma vez que a velocidade e a derivada da posic;ao x em relac;aoao tempo t, a acelerac;ao e a derivada segunda de x em relac;ao a t, 0 que se escreve d2x/dt2.Podemos ver a razao desta notac;ao ao se escrever a acelerac;ao como du/dt e depois substi-tuir v por dx/dt:

dv d(dx I dt)a=-=----

dt dt

Se a velocidade for constante, a acelerac;ao e nula, pois t:.v = 0 para qualquer intervalo detempo. Neste caso, 0 coeficiente angular da curva de x contra t nao se al era. No Exemplo2.5 vimos que, com a func;ao posic;ao x = (5 m/s2)t2, a velocidade crescia linearmente com 0

tempo, de acordo com v = (10 m/52)t. Neste caso, a acelerac;ao e cons tan e e igual a 10 m/s"que e 0 coeficiente angular da curva de v contra t correspondente.

Veremos, no Capftulo 4, que a acelerac;ao e diretamente proporcional a forc;a resultan-te que atua sobre a partfcula.

Urn carro potente acelera de 0 ate 90 km/h, num intervalo de 5 s. Qual a acelerac;aomedia durante este perfodo') Compare esta acelerac;ao com a acelerac;ao em queda li-vre, devida a gravidade, e que e 9,81 m/s2.

a = L'lu = 90 km I h - 18 km I hs1/1 L'lt 5 s

A fim de comparar esta acelera<;ao com a acelerac;ao da gravidade. \'amos converte-Iaa metros por segundo ao quadrado, sabendo que 1 h = 3600 s = 3.6 ks, Entao

18 km x _1 _h_ = 5 m I s2

7 h·s 3,6 ks

-m carro se move a 45 km/h no instante t = O. A sua acelerac;ao e constante e igual a 10 kmlh . s. Qual a sua velocidade no instante t = 2 s? (Resposta: 65 km/h)

A posirrao de uma partfcula e dada por x = 03, onde C e uma conStaD:des m/s3• Caleular a velocidade e a acelerarrao em fun«ao do tempo.

Como no Exemplo 2.5, podemos caleular a velocidade mediante adt a partir da definjrrao lim (/::"x//::"t)(Eq. 2-3). Num certo instante t. a po::=-"

1'>1-,>0

= 03. Num instante posterior, t + /::,.t, a posirrao e

/::,.x= x(t + !1t) - x(t) = C(t + !1t)3 - Ct3

= 03 + 302!1t + 30(!1t)2 + C(!1t)3 - 03

= 302 !1t + 30(!1t)2 + C(!1t)3

Quando /::,.t ~ 0, as duas parcelas que tern /::,.t se aproximam de zero e a parcel _C:=-permanece invariavel. A velocidade instantanea no instante t e enta~

v = lim /::,.x = 302

1'>1-,>0 !1t

PodemoS'~ncontrar a acelerarrao pela repetirrao do processo e 0 caleulo da deriyadvem rel~rrao a t, que e a derivada segunda dex em reIa«ao a t. Vamos omitir p eoperarrad,aIgebrica desta dedurrao, pois e semelhante a que acabamos de ver. A moc.:-fica«ao da velocidade, no intervalo de tempo que vai de tate t + /::,.t e

!1vam = - = 60 + 3C !1t

!1t

I· !1v 6a= 1m -= Ct1'>1-,>0 !1t

Nos exemplos que vimos ate agora, caleulamos diretamente as derivadas a partir .,defini~iio, pel a passagem ao limite apropriada. E util examinar as diversas propriedacesdas derivadas e desenvolver regras que nos permitam caleuIar, com facilidade, as deri,' -das de muitas funrr6es, sem ter que aplicar, em cada caso, a definirrao fundamental. A.T -bela AA, Apendice A, arrola uma lista destas regras, e uma discussao resumida sobre :!S

respectivas origens. Usaremos, sem comentarios, estas regras, e deixaremos a im'estiga,:1detalhada de cada uma para 0 curso de caleulo.

A Regra 7 da Tabela AA e usada tantas vezes que vftmos repeti-la aqui. Se x for upotencia de t, como

dx d (C n) C n-l-=- t = ntdt dt

.::. . os aplica«6es desta regra. POl' exemplo, para a fun«ao posi«ao do Exemplo 2.7, x =..:.en ontramos v = dxldt = 3Ct2 e a = dvldt = 6Ct.

6. Dar um exemplo de movimento no qual a velocidacle seja negativa mas a acelera«aopositiva. POI' exemplo, fa«a um grafico cle v contra t .

. Dar um exemplo de movimento no qual a acelera<;:aoe a velocidade sejam negativas .

. :E posslvel que um corpo tenha velocidade nula mas acelera«ao diferente de zero?

Movimento com Aceleracao Constante. ~

o movimento de uma partfcula com acelera«ao constante (uniformemente acelerado) emovimento comum na natureza. POI' exemplo, 'rias vizinhan<;:asda superffcie cia terra todosos corpos livres caem com acelera<;:aoconstante, provocada peta gra\·idacle. desde que sepossa desprezar a resistencia do ar. A acelera<;:aociagravidade e simbolizada Ror g e tem osvalores aproximados

Uma acelera«ao constante significa que 0 coeficiente angular da curva de v contra t e cons-tante; isto e, que a velocidade varia linearmente com 0 tempo. Se a velocidade for vo, noinstante t = 0, 0 seu valor v, num instante t posterior, sera dado por

Se a partfcula estiver em Xo no instante t = 0, e se a sua posi«ao for x no instante t, 0 desloca-mento 6x = x - Xo e dado par

(Esta e a Eq. 2-2, com t em lugar de 6:, pois 0 instante inicial t foi zero.) Com a acelera<;:aoconstante, a velocidade varia linearmente com 0 tempo e a velocidade media e igual a mediaentre os valores das velocidades inicial e final, conforme esta na Figura 2-6. * Se Vo for avelocidade inicial e va velocidade final, a velocidade media e Hva + v).

-- v = v + at10.

II I

---- -.----1--- V =- (v +v)I III ~ 0

I

----------~---VllII

Figura 2-6 Velocidade media quando aacelerac;:iiofor conslante.

Poclemos eliminar 0 tempo t nas Eqs. 2-9 e 2-12a e ter a rela<;ao entre 0 cleslacelera<;ao a, a velociclacle inicial e a velociclacle final. Resolvenclo a Eq. 2-9 e.e levando este resultado na Eq. 2-12a, obtemos

_ ,1. 2 _ ( v - vo) 1 (v - vo ")2.0..1: - VotT 2at - Vo--a- +"2a--a-

A Eq. 2-13 e util, por exemplo, quando queremos calcular a velocidacle final cle uma t-c'_que cai do repouso atraves de uma altura x, e nao estamos interessados em calcular 0 ~:::=-_cia queda.

Vamos agora analisar alguns exemplos de problemas de acelera<;ao constante. 0 ;:-:-meiro passo para solucionar urn destes problemas e a escolha de urn sistema de coorde ~conveniente. Quando for posslvel, a origem e escolhida como a localiza<;ao da parrlcub-=:::t = 0, de modo que.1:o = O. A escolha cia dire<;ao positiva no eixo dos x determina a dire>-positiva da velocidade e da acelera<;ao. Embora esta escolha seja arbitniria, uma e- o~judiciosa cia dire<;ao positiva pOlle tornar mais facil a resolu<;ao de urn problema. Por exeG-plo, se tivermos urn problema no qual uma bola cai de uma cerra altura. e mais facil es 01::-=-a dire<;ao positiva para baixo e nao para cima. Entao a acelera<;ao sera positiva (pois a a ;:.lera<;ao devida a gravidade esta sempreclirigida para baixo), e a velocidade tambem -~~positiva, pois a bola s6 se desloca para baixo. Por outro lado. se Jan<;armos uma bola ...• _cima. e usual mente mais conveniente escolher a dire<;ao para cima como a positiva. A 2- -

lera<;ao e entao negativa e a velociclade, positiva quando a bola sobe, e negativa, quando;:bola desce.

A etapa seguinte na resolu<;ao de urn problema de acelera<;ao constante e a de lis - 2-

inform~<;ao dada em termos de uma equa<;ao. Por exemplo, escreveremos Vo = 0 se a vel ,;.dade inicial for nula. Depois, relacionamos as grandezas que devem ser calculadas; par exec-pIo, v k ?, se 0 objetivo for calcular a velocidade final. Depois, escolhemos a equa<;ao (en:::-as Eqs\{-9 a 2-13) que contem as grandezas dadas e a desconhecida e a resolvemos na gr "":.deza desconhecida. Quando for posslvel, e sempre uma boa icteia resolver urn problema 0:duas formas diferentes, a fim de verificar a solu<;ao. Finalmente, verifica-se a resposta , ..•~verse parece razoavel. Por exemplo, se uma bola for lan<;ada para cima e voce calcular queela sobe ate 4.500 m antes de principiar a cair, provavelmente cometeu urn eITO nume:-:-ogrosseiro.

Uma bola e lan<;ada para cima com uma velocidade inicial de 30 m/s. Se a aceler >'0for de 10 m/s2, para baixo, quanta tempo lev ani a bola para atingir 0 ponto mais el~\~-do da trajet6ria, e a que altura estara este ponto? (Neste exemplo, vamos aproxim~;:acelera<;ao da gravidade para 10 m/s2 a fim de simpJificar os calculos.)

Vamos escolher a origem como a posi<;ao inicial da bola e tomar positi\"a a di;~-<;ao para cima. As grandezas dadas SaG Vo = 30 ~/s e a = -10 m/s2• A acelera,:!o ~negativa em virtude de estar dirigida para baixo. A medida que a bola so be (v e f-' -.-

ti\'a), a velocidade diminui des de 0 seu valor inicial ate chegar a zero. Quando a velo-cidade for zero, a bola esta no ponto mais elevado da trajet6ria. Principia entfio a caire a velocidade se torna negativa, 0 que indica 0 movimento da bola para baixo. Que-remos achar 0 tempo t = ? quando a velocidade v for nula. A Eq. 2-9 tem 0 tempo tdesconhecido em term os de grandezas conhecidas va' a e v:

v = Vo +at

0=30 m/s+(-10m/s2)t

t = 30 mJ~ - 3,0 s10 m/s-

Observe que as unidades foram corretamente canceladas.Pela Eq. 2-11 podemos achar a distancia percorrida. Uma vez que a velocidade

inicial"e +30mJs e a velocidade final, 0, a velocidade media no movimento ascenden-te e 15 m/s. A distancia coberta e entiio

Podemos tambem calcular L~x pela Eq. 2-12a, mas 0 calculo e um tanto mais compli-cado e, por isso, mais sujeito a erro. No entanto, vamos adotar este metodo para veri-ficar os nossos resultados.

6..1: = vat + !at2

=(30 m/s)(3,Os)+h-lO m/s2)(3,Os)2

= +90 m - 45,m

=45 m

Podemos admitir que a resposta seja 6 s pois se a bola leva 3,0 s para atingir45 m de altura levani, por simetria, 0 mesmo tempo para cair 45 m. A admissao estacorreta, Podemos tambem achar 0 tempo pela Eq. 2-12a, fazendo :ix = O.

t = _2 vo/=_~ 2(30 m/sl = 6 sG/ -10 m/s

A solu~ao t = 0 corresponde a cLdi~ao inicial, pois a bola estava em.1:o no instante t=0.

As Figuras 2-7 (l e b mostram as curvas de x contra t e de v contra t para 0 movimentocia bola nos Exemplos 2.8 e 2,9. Observe que no instante 3,0 s, a velocidade da bola e zero,mas 0 coeficiente angular da curva de u contra t nao 0 e, 0 coeficiente angular da curva deU Contra t tem 0 valor - 10 m/s2 neste instante, e em todos os outros instantes, pois a ace le-

)10 e constante, Observe tambem que quando a bola esta subindo, a sua velocidade e po-

v, m/s+30+20+10

Figura 2-7 (a) Curva de x contra t para 0 movimento da bola lan<;aclano ar, Exemplos _.::.= =-- -curva e uma parabola, x = (30 mls)t - 1/2(10 mls2)t'. (b) Curva de V contra t para os rr.=s-_~exemplos. A velociclade diminui continuamente desde 0 seu valor inicial 30 mls ate 0 \. C~-

- 30 mis, imediatamente antes de a bola chegar ao chao. No instante t = 3,0 s, quando a '- _seu ponto mais elevado, a velocidade e nula, mas a sua taxa de modifica<;ao e -10 m/s'. 2 -

que em qualquer outro instante.

sitiva e decrescente, de modo que 0 valor da velocidade diminui. Quando a bola e-:.ia velocidade e negativa e decrescente, de modo que 0 valor da velocidade aum n::!..

Urn carro acelera, a partir do repouso, a uma taxa constante de 8 m/s'. (a) Qual a sua \-e.I.J -depois de 10 s? (b) Que distancia teni percorrido nestes to s? (c) Qual e a sua velocidsobre 0 intervalo de tempo t = 0 ate t = to s? [Respostas: (a) 80 mis, (b) 400 m, (c) ~

Urn carro, com a velocidade de 30 m/s (aproximadamente 100 kmlh), da um:!:;-~para parar. Se a acelera<;ao na freada for - 5 mls2,qual a distancia que 0 carro pc _antes de parar? Esta dist5.ncia e a disHincia de frenagem.

Neste exemplo, vamos escolher a direyao inicial do movimento como a •positiva. A distancia de frenagem sera tambem positiva, mas a acelerayao e:" -~_ -tiva. (Uma acelerayao que provoca a c1iminuiyao do valor absoluto da \'eloci~--; =denominada, as vezes, desacelera~iio.) Neste problema, temos a velocidade i i .= 30 mis, a velocidade final v= 0, a acelera<;ao a = - 5 mis' e queremos en: -~ __dist5.ncia percorrida Lix = ? Nao precisamos conheeer 0 tempo que 0 carro Ie -:::.• __parar, de modo que a Eq. 2-13 e a mais conveniente. Fazendo V = 0 na Eq. _-1_. :.=-

v2 = v6 + 2aLix = 0

0=(30 mlS)2 +2(-5 mls2)Li.xLix = 90 m

Observe que esta e uma distiincia consideravel. A for<;aque provoca a dese a fon;a de atrito entre os pneumMicos do carro e a estrada. Num pavime 0

do, ou numa estrada de terra, a for<;ade atrito e menor que neste caso, e a de- :'~:__-<;aotern valor menor que 5 mis', 0 que leva a uma distiincia de frenagem maio:-calculada. ~~,

Qual a distancia de frenagem, nas mesmas condi~5es expostas no Exemplo 2.10, se avelocidade inicial do carro for 15 mls?

Pela Eq. 2-13, com v = 0, vemos que a distancia de frenagem e proporcional aoquadrado da velocidade inicial. Se duplicarmos 0 valor da velocidade inicial, a distan-cia de frenagem cresce por urn fator 4. Analogamente, se dividirmos por dois 0 valorda velocidade inicial, a distancia de frenagem se reduz por urn fator 4. A distancia defrenagem com a velocidade inicial de 15 mls sera, portanto, urn quarto da com a velo-cidade inicial 30 mis, ou seja (90 m)/4 = 22,5 m.

Algumas vezes, mesmo quando a acelera~ao nao for constante, e possivel ter valiosacompreensao sobre 0 movimento de urn corpo admitindo que as formulas da acelera~aoconstante sejam aplicaveis ao movimento e analisando 0 que ocorre neste caso idealizado.

Urn carro, com a velocidade de 100 kmlh (aproximadamente 62 mi/h), colide com urnmuro de concreto, que nao se desloca. Quanto tempo leva 0 carro para ficar em repou-so, equal e a sua acelera~ao durante a colisao?

~Neste exemplo, nao e exato tratar 0 carro como se fosse uma panf ula. poi panes

diferentes do carro tern acelera~5es diferentes. Alem disso, as acelera~5es nao ao cons-tantes. Apesar disso, vamos admitir que a colisao do carro possa ser descrita pela co-lisao de uma partfcula puntiforme, com acelera~ao constante. Pre isamos de omrainforma~ao a fim de estimar ou 0 tempo de frenagem ou a acelera > ao. A informao:;aoque falta e a da distancia de frenagem. Podemos estima-la a panir do conhecimentopratico de que dispomos. 0 centro do carro certamente se deslo a menos que a meta-de do comprimento do carro. (Assim nao fosse e 0 carro ficaria todo esmigalhado.)Uma estimativa razoavel para a distancia de frenagem estara. possi\'elmente, entre 0,5 me 1,0 m; vamos adotar 0,75 m como a estimativa. Podemo entao calcular 0 temponecessario para 0 carro parar, a partir de ~t' = vm~t, com um = uJ2 = 50 km/h = 14 mls.(Uma vez que estamos fazendo estimativas, saGsuficientes dois algarismos significa-tivos.) Entao

6.t = 6.x = 0,75 m = 0.05"+ svrn 14 mls

Uma vez que 0 carro passa de va = 100 km/h = 28 mls para 0 repouso, neste intervalode tempo, a acelera~ao e

a= 6.V = 0-28 mls --520 mls2

6.t 0,054 s

A fim de ter 0 sentimentb da grandeza desta acelera~ao, observamos que e maior que50 vezes a acelera~ao da gravidade.

Urn carro passa a 80 km/h diante de uma escola. Urn carro da polfcia parte do repouso,atras do infrator, e acelera a uma taxa constante de 8 km/h·s. (a) Quando 0 carro dapolfcia alcan~a 0 carro infrator? (b) Qual a velocidade do carro da polfcia ao atingir 0

carro infrator?

Este problema e urn tanto mais diffcil em virtude de serem dois os corpos emmovimento. Vamos tomar a origem na posi~ao original de ambos os carros, no infcioda persegui~ao, com a dire~ao positi va na ?ire~ao do movimento. Definimos t = 0 peloinstante em que 0 carro infrator passa pelo carro da polfcia.

-----//

Figura 2-8 Graficos de x contra t doarr8 i!~frator (xc! e do cano da polfcia

(x,) ~0 Exemplo 2.13. A curva para 0

carro da polfcia tern coeficiente angularn 10em t = 0, pois 0 CalTOparte dore ouso. 0 carro da policia pega 0C:lITOinfrator em [= 20 s. Observe queneste in-tame 0 coeficiente angular dexpl ) ~ maior que 0 de xJt). Em [ = 20 s.o rro da polfcia tem velocidade igualao dobro da \'elocidade do carroinfrator.

(a) Uma \'ez que 0 carro se move com \·etodada pela Eq. 2-12b, como Xu = 0 e a = 0:

Calclllaremos 0 instante em que os dois carros estao na mesma posi ,ii-o faze=:=e resolvendo a eglla<;ao em t:

t = 80 km/h = 20 s4 km/h·s

Entao, 0 calTO da polfcia pega 0 carro infrator no instante t = 20 s.(h) A velocidade do carro da polfcia e dada pela Eg. 2-9, com vI) = 0:

:1 i\'este instante, a velocidade do caiTO da polfcia e 0 dobro da do carro infra o~. C -. ~~ deve estar correto, pois a velocidade media do carro da polfcia e a metade da ~ :o-r locidade final, e como os do is carros cobrem a mesma distilncia, no mesmo in e=-~. ~d~ertempo, devem ter velocidades medias iguais. A Figura 2-8 mostra as ur"- ~ oX

~tra t para os dois carros.

9. Dois garotos. nu pome.jogam pedras no rio que corre embaixo. Jogam as pedras si-multaneamen e. m - uma del as bate na agua antes da outra. Como pode ser assim, se asduas ped- - e a mesma acelera~ao?

10. Uma bola e I" .,ada para cima. Qual a sua velocidade no topo da trajet6ria? Qual a suaa elera, -0 este ponto')

2.5 Integra<;aoVimos omo calcular, mediante a opera<;ao de deriva~ao, as fun<;6es velocidade e acelera-> ao a panir da fun~ao posi<;ao. 0 problema inverso e 0 de calcular a fun~1io posi~ao x dadasa \'elocidade ve a acelera~1io a. Para efetuar a opera<;:ao adota-se 0 procedimento da inte-gra~ao. Consideremos, pOl' exemplo, 0 problema de achar a velocidade e a posi<;:1ioa partirde uma dada acelera<;ao. Se conhecermos a acelera<;:ao em fun~1io do tempo, podemos cal-ular a velocidade descobrindo a fun<;:ao vet) cuja derivada e a acelera<;:ao. POl' exemplo, se

a acelera<;:1io for constante,

dv-==adf

a velocidade sera uma fun<;:ao do tempo qlle, quando derivada, reproduza esta constante. madestas fun<;:6es e

Esta nao e, no entanto, a expressao mais geral de u que satisfaz a dv/dr == a. Em particular,podemos adicionar qualquer constante ao produto af sem que seja alterado 0 valor da deri-vada em rela<;:ao ao tempo. Denominando esta constante vu, temos

A constante va e a velocidade inicial. A fun~ao posi~iio xc a fun~iio cuja deri\ada e a velo-cidade:

dr- == v == vn +atdf

Podemos operar separadamente com cada parcela do segundo membro. A fun<;:aocuja deri-vada e uma constante va e Vilt mais uma constante. A fun~:io cuja derivada e at e ar'/2 maisqualquer constante. (Esta afirma~iio e facil de verificar pOl' deri\"a~iio.) Combinando os doisresultados e escrevendo Xu para a combina~ao de constantes arbitrarias, temos para a fun<;:aoposi<;ao

Sempre 'que acharmos uma fun<;:ao a partir da sua derivada. devemos incluir uma constanteaditiva arbitniria a fun<;:ao gera\. Uma vez que efetuamos duas vezes 0 processo de integra-c;:110 para determinar xU), a pa"rtir da acelera<;:ao, aparecem duas constantes no resultado final.Estas constantes sac usualmente determinadas pela" velocidade e posic;:1ionum certo instan-te, que c usual mente escolhido como 0 instante inicial t == O. POl' isso, as duas condi<;:6es saodenominadas condi\oes iniciais. 0 problema "dada a(t), achar x(t)" e um problema de valorinicial. A solu<;:ao depende da forma da fun~1io a(t) e dos valores de ve de x num cel10 ins-tante. Este problema e especial mente importante na ffsica pois a acelera<;:1io de uma pal1fcu-la se determina pelas for<;:as que atuam sobre ela. Assim, se conhecermos as for<;:asque agemsobre uma partfcula, e conhecermos a posi<;ao e a velocidade da partfcula num certo instan-te. poderemos achar univocamente a sua posi<;:ao em todos os instantes.

o problema da integrac;:aoesta relacionado ao problema de calcular-se a area subten-dida pOl' uma curva. Consideremos 0 caso de velocidade constante va' A varia~ao da posi-

I, [,f- --j

6[ = [, - I,

Area sombreada = Vo 61 = vo(r, -[,)= Vol, - V,,r,=x, -x, = 6X

Figura 2-9 0 deslocamento nointervalo 6[ e medido pela areasLlbtendida pela curva da velocidacle emfLln"iiodo tempo correspondenle a esteintervalo. Com Vel) = Vo = conslante. 0cleslocamento e igLlal11area doret5ngLllo assinalado.

Figura 2-10 GraJico de uma curvageral de vet) contra t. 0 deslocamentono intervalo 6.t; e aproximadamenteigual a v;6.t;, que esta indicado pelaarea retangular assinalada. 0 desloca-mento total de t, ate t2 e a areasubtendida pela curva neste intervalo,que po de ser aproximada pela soma dasareas dos retangulos.

l.6.t,l.6.t21.6.tJ • I • l.6.t; I I' I • I • 1 • It, t2

<,:aofu durante urn certo intervalo de tempo C1t e igual a velocidade vezes 0 in e. -~- ==tempo:

Esta e a expressao da area subtendida pela curva de v em fun<,:ao de t, conformeFigura 2-9. Esta interpreta<,:ao grafica de 0 deslocamento ser representado pel a aredida pela curva de 1) em fun<,:ao de t e correta nao apenas para 0 caso de a velocid1i= =~constante, mas tambem para 0 caso de a velocidade ser variavel, como mostra a Fi= _ =.-10. Neste ultimo caso, a area subtendida pela curva pode ser aproximada pela di 'i~ -intervalo de tempo em varios subintervalos C1t,. C1tz, etc., sobre os quais se con oc-::retangulos correspondentes. A area do retangulo assinalado na figura e aproximadarr:.:=--=V;C1t;, que por sua vez mede, aproximadamente, 0 deslocamento C1..t:; da partfcula duo -:=-intervalo de tempo C1t;. Podemos fazer a aproxima<,:ao tao exata quanta queiramo . 0- -

do um numero suficiente de retanglllos e fazendo cada C1t muito pequeno. A soma das ~retangulares e, portanto, aproximadamente igllal a soma dos deslocamentos dura e 0: -tervalos de tempo e esta soma e aproximadamente igual ao deslocamento total do ins't, ate 0 instante t2.

Podemos escrever matematicamente este resultado assim

onde a letra grega ~ (sigma maiuscula) simboliza a "soma". No limite, quando os i .:c-:-;_::de tempo forem cada vez menmes, esta soma e igual a area subtendida pela cun-a. ql..e -;_sua vez e igual ao deslocamento. Este limite e denominado a integral e se escreye

Lix = lim L v C1t. == ['2 V dt61i--')O ill Jt,

E util pensar no sfmbolo de integral J como urn S alongado, simbolizando uma -limites t, e t2 indicam os valores inicial e final da variavel t.

A varia<,:ao de velocidade num certo intervalo de tempo pode tambem ser in'~=-=__ -como a area subtendida pela curva de a em fun<,:ao de t correspondente ao inte[\' 0: a ..,,-=se escreve

v = lim I. a Co"t. = r a dt..l!i----+O i I ( tl

=. -1....2::~media tern uma interpreta<;:ao geometrica simples em termos da areaUf\'a, Imaginemos a curva de v contra t da Figura 2-11, 0 deslocamento

~:ery lo':'r = r, - t1 esta indicado pela area sombreada, Pela defini~ao de ve-= -:"'a este inrervalo (Eq. 2-2), 0 deslocamento e 0 produto de vrn par M:

e media esta indicada na Figura 2-11 pela reta horizontal, que foi tra~ada de modo= _::e s btendida por ela, entre t1 e t" e igual a area subtendida pela curva real de v

_:. ,0 mesillo intervalo de tempo.

l"" a partfcula se desloca do repouso com a acelera<;:ao constante a. Mostrar, pelo cal-C" 10 da area subtendida peia curva de v conU'a t, que a velocidade media, sobre 0 mesmo'mervalo de tempo, principiando em t = 0, e igual a metade da velocidade final.

A Figura 2-12 mostra a curva de v contra t correspondente a este problema. 0deslocamento de t = 0 ate urn outro instante final testa indicado pela area sombreada.,-\ area deste triangulo e v,6.tl2, onde v, e a velocidade final. 0 deslocamento e entao

I

II

--""1--

III

Figura 2-11 Interpreta~ao geometricada velocidade media, Pordefini9ao urn

= ill/D.t. Entao, a area retangular um(t,-t,) deve ser igual ao deslocarnento nointervalo de tempo t, -tl' Vem entaoque a area retangular v",(t, -t,), e aarea sombreada subtendida pela curva,devem ser iguais.

.-\ velocidade media e entao igual a metade da velocidade final no intervalo de tempo. t,

!:it '1

L'.xv =-

m L'.t

A velocidade instantanea ve 0 limite desta razao quando 0 intervalo de tempo tende azero. Este limite e a derivada de x em rela~ao a r:

I. L'.x dx

V= Jm -=-1\1-->0 t<.t dr

A velocidade instantanea e representada graficamente pelo coeficiente angular da curvade x contra t. Em uma dimensao, a velocidade media e a velocidade instantanea podemser ou positivas ou negativas. 0 modulo da velocidade instantanea e 0 que se denominari\'ialmente velocidade,

3. ,-\ acelera~ao media e a razao entre a varia<;:ao da velocidade 6.v eo intervalo de tempo.':,t:

L'.va =-

m L'.t

,-\ acelera~ao instantiinea e 0 limite desta razao quando 0 inrervalo de tempo tende parazero. A acelera~ao instantiinea e a derivada de v em rela~ao a t, que por sua vez e a deri-\'ada segunda de x em rela~ao a r:

dv d2xa=-=--

dt dt2

Figura 2-12 Prova de urn = v,l2 no casode uma partfcula partindo do repouso emovendo-se com acelera9iio constante,o deslocamento e igual a areasubtendida pela curva, que por sua veze u,6.tl2, Tambem e igual a VrnD.r, eportanto urn = u/2.

v = Vo + at.ill = vn/ = ~(vo + v)t

.6.x = x - Xo = vot + ~at2

') ')

v- = vii +2a.6.'I:

A acelera~ao instantanea e representada graficamente pelo codi 'iene ::_::;~-=.::- - _de v contra t.

4. No caso especial de acelera~ao constante, valem as seguintes f6rmul ,.

Urn exemplo comum de movimento com acelera~ao constante (movimen-o ::=~mente acelerado) e 0 de urn corpo nas vizinhan~as da superficie da telTa. em q_:c-':-sob a a~ao da gravidade. Neste caso, a acelera~ao do corpo esta dirigida para b:::':.~:='~o m6dulo g = 9,81 m/s2 = 32,2 ft/s2•

5. 0 deslocamento representa-se graficamente como a area subtendida pela CUf\·n "'e ..

tra t. Esta area e a integral de v sobre um intervalo de tempo, principiandoinstante inicial t[ e terminando num certo instante final t2; escreve-se

Analogamente, a varia~ao de velocidade num certo intervalo de tempo esta reprgraficamente pela area subtendida pela curva de a contra t.

Drake, Stillman: "Galileo's Discovery of the Law of Free Fall," Scien-tific American, maio de 1973, pag 84.

o reexame, pelo auto r, de manuscritos impublicados, esclarece 0 de-senvolvimento das ideias de Galileo sobre 0 1/1Ovimento.

!\'Iagie, W. F.: A Source Book in Physics, McGraw-Hili, New York andLondon, 1935.

ESIa publica~'ao, bastante litil, contem pequena,\· biograjlus dOl gran-des jf.I'icos desde 0 tempo de GaWeo ate 0 ano de 1900, e extraros dealguns arrigo,l· ill1portantes.

U.S, Department of Transportation, National Highway Traffic SafetyAdministration: "Acceleration and Passing Ability: A Comparison of

Acceleration and Passing Ability for 1974 Passenger Cars and. rdes," COllsumer Aid Series, vol. I parte 3, 1974.

Tabelas do tempo e da distfll1cia necessdrios para velculos. qu ..fam nos Estadol Unidos. ultrapassarelll reboques com 0 COillpri

apro.rimado de 16 m (55fO.

u.S. Department of Transportation, National Highway Tr:tffi" _=.:.-._:\dministration: "Brakes: A Compa['ison of Braking Performar:~ :1974 Passenger Cars and Motorcycles," COllllllller Aid Series. " -parte I, 1974.

Tabelas da distflncia defrenagellllla ['efocidade de 60 mi/lz (apro"damente 100 km/h), para vercufos em circulw;ao 110SEstados C~'

A. Objetivos: Depois de estudar este capitulo voce deve:

1. Ser capaz de definir deslocamento, velocid:tde e acelera<;:ao.

2. Ser capaz de distinguir entre 0 conceito ffsico de " velocidade" eo que se denomina trivial mente velocidade.

3. Ser capaz de calclliar a velocidade instantanea a partir de llm gni-fico da posi<;:aoem flln<;:aodo tempo.

-to Ser capn de enunciar importantes equa<;:oesque relacionam 0 des-locamento, a velocidade, a acelera<;:ao e 0 tempo e que se aplicamquando a acelera<;:aofor con stante, e tambem ser capaz de usar estasrela<;:oespara Soillcionar problemas.

5. Ser capaz de calcular 0 desiocamento de uma partfcula a partirda cur\"a de v contra tea varia<;:aode velocidade de uma particula apartir de uma curv:t de a contra t, mediante a estimativa de areassubtendid:ts pelas curvas apropriadas.

B. Definir, explicar ou identificar de Olltra maneira:

PartfculaVelocid:tdeDeslocamentoVelocidade mediaVelocidade instantib~aCoeficiente angularDerivadaAcelera<;:aomediaAcelera<;:aoinstantaneaProblem:t de valor inicialIntegral

C. Certo ou errado: se a afirma<;:ao for con'eta, explique por ':~certa. Se for falsa, apresente urn contra-exemplo.

1. A equa<;:ao o.x = vat + ~at2 e correta para qualquer mo\'ime-- - ~uma dimensao.

e wi idade for nula num certo instante, a aceleras:ao deve'm ser nula neste instante.

3, e aceleras:ao for nula, 0 corpo nao pode estar em movimento.

4. Se a aceleras:ao for nula, a curva de x contra ( e uma re::!..5. A equas:ao ~x = Vm~1vale para qualquer mO\'imemo u. i :::e:-:-

sional.

_~ ,el:as de amra illdieariia, adale g = 9,81mls2 = 32,2flls2 para a aee-.~ r -0 da gravidade.

1. 'm corredor percorre 2 km em 5 min e depois leva 10 min para re-: mar ao ponto de partida. (a) Qual a velocidade media durante os pri-J::eiros 5 minutos? (b) Qual a velocidade media durante 0 intervalo de:e;n em que andou em marcha lenta? (c) Qual a velocidade media

m:lJ1te todo 0 deslocamento? (d) Qual a velocidade media final no des-ocamento?

_. Resolver 0 Problema I imaginando que 0 con'edor retorna so ate aoerade da corrida, em 10 min, e depois para.

3. Uma part(culaestaemx=+5 mem 1= 0, emx= -7 m em 1= 6 s, eemx = +2 m em 1= 10 s. Calcular a velocidade media da part(cula durante osintervalos (a) 1=0 al= 6 s, (b) 1= 6 s al= lOse (c) 1=0 a 1= 10 s.

~. Vma motorista principia uma viagem de 200 km a tardinha. (a) Numa\;agem, dirige sem parar e chega ao seu destino as 5 h 30 min. Calculara \'elocidade media nesta viagem. (b) Numa outra viagem, dirige du-ran e 3 h, para para descansar durante meia hora, e continua a dirigir,.begando ao seu destino as 5 h 30 min. Calcular a velocidade media desta

\;agem. (c) Depois de descansar durante 2 h no ponto de destino, retor-na ao ponto de partida, levan do 6 h para cobrir 0 retorno. Qual a veloci-dade media para 0 percurso de ida e volta? (d) Qual 0 deslocamento?

5. Urn carro desloca-se em linha reta com uma velocidade media de 80km/h, durante 2,5 h, e depois com uma velocidade media de 40 kmlh,durante 1,5 h. (a) Qual 0 deslocamento total nestas 4 h? (b) Qual a ve-locidade media sobre este deslocamento total?

6. Ao principiar uma viagem, a informas:iio de quilometragem diz quea estrada tem 400 km. Voce dirige direto, sem parar, ate atingir 0 quilo-me 0400, em 5 h. Entiio, resolve retornar 30 km para comer num res-!2urante da estrada. Este retorno leva 30 min. (a) Qual e a velocidade

edia, em quilometros por hora, na corrida de 400 km') (b) Qual a ve-locidade media ao chegar ao restaurante? (c) Qual a velocidade mediaos ultimos 30 km da viagem?

7. (a) Quanto tempo leva umjato supersonico, voando a 2,4 vezes a ve-idade do som, para cruzar os 5.500 km de largura do oceano Atlan-? Tomar a velocidade do som como 350 mls. (b) Quanto tempo levajato subsonico, voando a uma velociclade igual a 0,9 vezes a do som,

obrir a mesma clistancia? Admitindo que sejam necessarias 2 hada extrema clo percurso para embarcar, ou para apanhar a bag a-qual sera a velocidade media de urn passageiro, entre 0 aeroportouda eo de chegada no caso de estar viajando (c) no jato superso-

"':ro ou (d) no jato subs6nico?

Quando voce esta correndo numa auto-estrada, 0 seu velocimetro- uma pane. Voce me de a velocidade anotando 0 tempo de percurso

~::e o' marcos de quil6metros. (a) Quantos segundos decorrerao entre--. -- gens por do is marcos consecutivos, se a sua velocidade for 80

- ? (b) Qual a sua velocidade media, em quil6metros por hora, se 0e passagem por dois marcos for de 60 s?

• _ lI.Z tem a velocidade c = 3 X 108m/s. (a) Qual 0 tempo que a luz~ ".::z--c 0' rir a distancia de 1,5 X 1011m, entre 0 sol e a terra? (b)

-o:e po le"a a luz para vir da lua a terra, cobrindo uma distancia~:~ x lO'm? (c) Vm ano-luz e uma unidade de distancia igual 11

distancia percorrida pela luz durante 1 ano. Achar 0 equivalente da dis-tancia de I ano-Iuz em quil6metros e em milhas .

10. A estrela mais proxima da terra, a Proxima Centauri, esta disrante4,1 X 1013 km. (a) Quanto tempo leva urn sinalluminoso, emitido daterra, para atingir a Proxima Centauri? (b) Quantos anos uma nave es-paciaJ, deslocando-se com a velocidade 1O'·c, precisaria para chegar 11estrela majs proxima? (Ver 0 Problema 9.)

11. Um carro, que deve percorrer 100 km de estrada, faz os primeiros50 km a 40 km/h. Qual deve ser a sua velocidade, nos segundos 50 km.para atingir a media de 50 km/h?

2-2 Velocidade Instantanea

@ Em cada urn dos quatro grMicos de x contra t da Figura 2-13 (a),indicar se a velocidade no instante t,e maior que, menor que, ou igual avelocidade no instante tl e (b) indicar se a velocidade media no instantet, e major que, menor que ou igual a velocidade media no instante (I'

~;)ES-rAO DJ lJli Uj1t1~ x

/IT'; I c'I I'

13. Pelo grMico de x contra 1 da Figura 2-14, (a) calcular a velocida-de media entre os instanres 1 = 0 e t = 2 s. (b) Calcular a velocidadeinstantanea em t = 2 s pela medic;:iio do coeficiente angular da tangenteque esta tras:ada.

eta tangenteem (= 2 s

Figura 2-14 Grafico de x contra t, com uma tangente tras:ada em (= 2 s.Problema 13.

l·t Pelo !ITaficode x contra t da Figura 2-15, calcular a velocidade me-dia nos in~ervalos de tempo D.t= t2~- 0,75 s, quanclo t2 for 1,75 s, 1,5 s,1.25 s e 1.0 s. Qual e a velocidade instantanea em t = 0,75 s?

15. Pelo grMico de x contra t que aparece na Figura 2-16, (a) estimar avelocidade media no intervalo t = ~ sate t = 5 s. (b) Estimar a velocida-de instantanea em t = 4 s. (e) Em que instante a velocidade da partfculae nula?

Reta tangenteem t = 4 s

Figura 2-16 GrMico de x contra t, com uma t:lngente tra<;:adaem t = 4s.Problema 15.

16. Urn carro esta trafegando a 45 km/h no instanre t = O. A sua acek-ra<;:aoe constante e igual a 10 km/h·s. (a) QU:lla velocidade do carro em[= 1 s? E em t = 2 s~ (b) Qual a velocidade media num instante Iqual-quer~

17. Em 1=5 s, urn corpo esta se mo~endo a 5 m/s. Em t = 8 S, SU:lve-locidade e -1 mls. Calcular a acelera<;:aomedia neste intervalo.

18. Dizer se a acelera<;:aoe positiva, negativa ou nula em cacla uma dasfun<;:6esposi<;:aox(1) da Figura 2-17.

19. Urn carro acelera do repouso, a uma taxa con stante de 8 m/s2. (a)Q al a sua \'elocidade depois de 10 s~ (b) Que distancia cobriu depoisde 10 s~ (e) Qual a velocidade media no intervalo 1= 0 a 1= 10 S7

20. em corpo. com a velocidade inicial de 5 mis, tern uma acelera<;:iioo stanle d; :2 mls2. Quando a sua velocidade media for 15 mis, qual a

dis an i3 que percorreu?

21. em corpa. com a acelera<;:iioconstante, tern a velocidade v = 10 mlsqu do est<!em x = 6 m e V = IS mls quando esta em x = 10 m. Qual asu aceler:! ~fro:

22. Urn corpo tern acelera<;:iiocon stante a = 4 m/s2• A sua velocid::':= ~1 mls em t = 0, quando esta em x = 7 m. Qual a sua velocidade q •.,---esti"er em x = 8 m? Em que instante atinge esta posi<;:iio~ ,

23. Quanto tempo leva uma partfcula para percorrer 100 m, se ~:::--=do repouso e acelera it taxa de 10 m/s2? Qual a sua velocidade dede cobrir os 100 m? Qual a velocidade media neste intervalo de ce=-po?

24. Uma bola e lan<;:adapara cima com velocidacle inicial cle 20 IP-S-

(a) Qual 0 tempo de permanencia no ar? (b) Qual e a maiar altura r.;::-gicla pela bola? (e) Em que instante a bola esta a 15 ill clo solo·J

25. Suponhamos que urn rifle clispare uma bOllapara cima com uma v'e-locidade inioial de 300 m/s. Desprezando 0 atrito do ar, qual a alto. .::.que a bala atinge?

26. A clistiincia mfnima para a frenagem controlada de urn carro. qe.eesta a 98 km/h, e de 50 m, a partir do infcio cia freada. Estimar a acel,,-ra<;:iio,admitindo que seja con stante, e exprimir 0 resultaclo como ue::fra<;:iiodOlacelera<;:aocle queda livre devida it gravidade. Quanto tem;xJleva 0 carro para parar?

27. Um supercarro de corrida pocle desacelerar a cerca cle I g. (Isto e."modulo de a e g.) (a) QlIanto tempo leva 0 carro para parar depois Ci:atingir uma velocidade recorcle de 885 km!h7 (b) Que distancia per O~·re ate parar?

28. A wlocidade de uma partfcula e v = 6t + 3, onde I esta em e-gllndos e U, em metros por segundo. (a) Desenhar a curva de VI'-contra t, e estimar a area subtendida pela curva sobre 0 inten'alo .-= 0 ate 1=5 s. (b) Achar a funyao geral da posi<;:iioX(I). Usaf es eresultado para calcular 0 deslocamento durante 0 intervalo 1= 0 a:e1 = 5 s.

29. A velocidade de uma partfcula, em metros par segundo, est:! d~"por U = 7 - 41, oncle t est,) em segundos. (a) Desenhar a curva decontra t e estimar a area entre a Cllrvae 0 eixo dos I, de 1= 2 sate i = 6 =.(b) Achar a fun<;:aoposi<;:aoX(I) por integra<;:aoe usa-Ia para calcubr cdeslocamento durante 0 intervalo 1= 2 sate 1= 6 s. (e) Qual a \'elocid2-de media neste intervalo?

30. A Figura 2-18 mostra a velocidade cle uma partfcula em '-!=-<;:iiodo tempo. (a) Qual a grandeza, em metros, da area do retAn: -10 assinalado? (b) Achar 0 deslocamento aproximado dOlpartf U."

nos intervalos de I s, principiando em 1= 1 seem 1= 2 s, (e) Q _a velocidade media aproximada sobre 0 intervalo de [= 1 s Ie; =3 s? .

31. A Figura 2-19 mostra a posiyao de uma partfcula em funyao do tem-. Achar a velocidade media nos intervalos a, b, e e d indicados na fi-

'" a.32. A posiyao de uma partfcula depende do tempo de acordo com a equa-¢o x = (l mN)t' -(5 mls)t + I m. (a) Achar 0 deslocamento e a velo-- 'ade media no intervalo t = 3 sate t = 4 s. (b) Achar a formula geralodeslocamento no intervalo de tempo que vai de tate t + 6.t. (e) Acharvelocidade instantanea em qualquer instante t.

33. A altura alcanyada por urn certo projetil esta relacionada com 0 tem-po por y = - 5(t - 5)' + 125, onde y esta em metros e t, em segundos.(a) Desenhar a curva de y contra t no intervalo t = 0 ate t = 10 s. (b)-Achar a velocidade media para cada intervalo de I s entre os valores- teiros de t, de t = 0 ate t = 10 s. Desenhar a curva de vm contra t. (e)A har a velocidade instantanea em funyao do tempo.

:>4. Uma partfcula se desloca com a velocidade dada por v = 8t - 7,onde vesta em metros por segundo e t, em segundos. (a) Achar a acele-rayao media nos intervalos de I s que principiam em t = 3 seem t = 4 s.') Trayar a curva de v contra t. Qual e a acelerayao instantiinea em qual-,uer instante?

35. A posiyao de uma partfcula com 0 tempo e dada por:

Plolar x contra t e trayar a curva interpolada de x(t). Indicar os instantes,os intervalos de tempo, nos quais (a) a velocidade media e a maior,

(0) a velocidade media e a menor, (e) a velocidade media e nula, (d) a

,m -

6

4 ./

21'\.. ~..•.. \\ If

2 4 6 8 10 I I t, S

-2 \ J

-4

-6.' I I fI--- a-;b --r-e-r-d~

velocidade media e constante, (e) a aceleraqao e positiva e (f) a acelera-yao e negativa.

36. A posiyao de urn corpo esta relacionada com 0 tempo pela equaqaox = At' - Bt + C, onde A = 8 mis', B = 6 mls e C = 4 m. Achar a velo-cidade instantanea e a acelerayao em funyao do tempo.

37. Uma bola cai de uma altura de 3 m e quica no piso ate uma alturade 2 m. (a) Qual a velocidade da bola ao colidir com 0 piso? (b) Qual avelocidade imediatamente depois de refletir-se no piso~ (e) Se 0 conta-to entre a bola e 0 piso for de 0,02 s, qual a grandeza e a direyao da ace-lerayao media durante este contato?

38. A velocidade de uma partfcula, em metros por segundo, esta dada. por v = 7t + 5, onde testa em segundos. Achar a posiqao geral x(t).

39. A aceleraqao de urn certo foguete e dada por a = Ct, onde C e umacon stante. (a) Achar a funyao geral que da a posiqao x(t). (b) Achar aposiqao e a velocidade em t = 5s, se x = 0 e v = 0 quando t = 0 e C = 3mls3

40. A Figura 2-20 mostra a aceleraqao de uma partfcula em funqao dotempo. (a) Qual a grandeza da area do retangulo assinalado? (b) A par-tfcula parte do repouso, em t = O.Achar a velocidade em t = 1,2 e 3 s,mediante a contagem dos retiingulos subtendidos pela curva. (e) Tra<;ara curva de v(t) contra t a partir dos resultados conseguidos na parte (b),e estimar a distiincia percorrida pela panfcula no intervalo de t = 0 ate t= 3 s.

a, mls-

4 , , ,I I

3I I

zy)(t< V I I2 V I I I

'" I II

./ I I./ I I

/' II 2 3 -+ t. S

41. A equa<;ao da curva que aparece na Fig. 2-1 e v = 0.5t'mls. Acharo deslocamento da partfcula no intervalo de t = I sate t = 3 s medianteintegra<;ao, e comparar a resposta com a que foi obtida no Problema 30.A velocidade media e igual it media entre as \'elocidades inicial e final,neste caso~

42. Urn carro, it velocidade con stante de 20 mis, passa por urn cruza-mento no instante t = 0, e 5 s depois urn outro carro passa pelo mesmocruzamento, com a velocidade de 30 mis, na mesma dire<;aoque 0 pri-meiro. (a) Desenhar as fun<;oes posi<;aoxl(t) e x,(t) de cada carro. (b)Achar 0 instante em que 0 segundo carro alcanqa 0 primeiro. (e) A quedistancia do cruzamento ocorre esta ultrapassagem?

43. A lebre e a tartaruga principiam uma conida de 10 km no instantet = O.A lebre corre a 4 mls e rapidamente deixa a·tartaruga para tras, quecorre al m/s (na realidade esta e uma velocidade IOvezes maior que a deuma tartaruga, mas serve para ilustrar 0 problema). Depois de 5 min deconida, a lebre para e cai no sono. A soneca dura 135min. Depois, acordae sai correndo, a 4 mls. mas perde a conida. Plotar as curvas de x contra tpara a lebre e a tartaruga, usando os mesmos eixos coordenados. Em queinstante a tanaruga alcanqa a lebre? A que distiincia da tanaruga esta a lebrequando aquela cruza a linha de chegada? Durante quanto tempo a lebrepode dormir e ainda assim ganhar a conida?

44. Uma particula se desloca com a aceleraqao constante de 3 mls'. Emt = 4 s, esta em x = 100 m. Em t = 6 s, tern a velocidade V = 15 m/s.Achar a posiyao da partfcula em t = 6 s.

~5. A Figura 2-21 mostra a posi<;ao de urn carro plotada em fun<;ao dotempo. Em que instantes entre [0 e [7 (a) a velocidade e negativa, (b) avelocidade e positiva, (e) a velocidade e nub, (d) a acelera<;ao e negati-va. (e) a acelera<;ao e positiva, (j) a acelera<;ao e nula"

Figura 2-21 GrMico da posi<;ao de um carro contra 0 tempo, do Proble-ma 45.

46. Observa-se que as galaxias se afastam da terra a uma velocidadeque e proporcional it respectiva distancia it telTa. Esta descoberta e co-nhecida como a lei de Hubble. A velocidade de uma galaxia a uma dis-tancia r da terra e dada pOl' v = Hr, onde He a constante de Hubble, quee igual a 1,58 X 1O-18S'I• Qual a velocidade de uma gahlxia (a) que estcla 5 X lO"m da terra e (b) de Olltra que esta a 2 X IO'Sm? (e) Se a velo-cidade das galaxias tiver sido constante, hit quanto tempo, no passado,estariam localizadas no mesmo ponto que a terra?

47. Em cada grafico da Figura 2-22. indicar (a) os instantes em que aacelera<;ao do corpo e positiva, negativa ou nula; (b) os instantes em quea acelera<;ao e constante; e (e) os instantes em que a velocidade instan-tanea e nula.

(b) t, s

Figura 2-22 GrMicos de (a) V contra t e (b) x contra t, do Problema 47.

~8. :\0 desmoronamento Blackhawk, na Calif6rnia, uma massa de ro-cha e lama caiu -1-60m montanha abaixo e depois percorreu 8 km na ho-rizo tal. sustentada pOl' um colchao de ar comprimido. Admitir que alama aiu em queda livre, com a acelera<;ao da gravidade, e depois des-lizou horizomalmente.com desacelera<;ao consrante. (a) Quanto tempole\"ou a .lassa de lama para cair da altura de 460 m') (b) Qual a veloci-dade desta m:1ssa ao atingir 0 solo? (e) Quanto tempo levou a lama paradeslizar horizonta!mente ao longo de 8 km?

49. Um carro da polfcia persegue urn apressa L:J:O':~. _ _ =A velocidade maxima do carro da polfcia e 190 :'":"'.:: =-:.~do repouso, com acelera<;ao constante de kf11.!h·-::.:~ _:::..... t::J-O:::C~atingir 190 km/h. Depois, con'e a velocidade COI'::::':=.carro de polfcia ultrapassa 0 apressadinho. na hip61~'~ c= _ =-~_principiaI' exatam~nte no instante em que este pa's:1 ::'o~-.::: ~~a distancia percorrida pelos carros') (e) Fazel' 0 =1' ":::0-=-=can·o.

50. Quando 0 carro da policia do Problema -1-9esta a 19'~ ~ -=-. .. ~atras do perseguido (que continua a 125 km/h). est~. ~r;::~::-:-=-;<;ao e pisa nos freios, bloqueando as rodas. (a) Com a hi ":=. ~ ~carros poderem Frear a 6 mis', e de 0 motorista do caITO d2.;- • ..:.no mesmo instante que 0 Olltro carro (isto e, sem t~mpo ~frenagem), mostrar que os dois carros colidirao. (bl Em .::::= -depois de principiar a frenagem, os dois carros colidem'~ Ie' 0- -~de tempo entre 0 instante em que 0 policial ve as luzes d f~ -".:....-can'o e 0 instante em que frefa e denominado 0 tempo de r <". ~ -:- ~ _

cutir como 0 tempo de rea<;ao afeta este problema. -

51. Um desliwdor desloca-se sobre um trilho de ar com :1 :.:~.constante a. A velocidade inicial em que e projetado no tr:~:,.;) _0) e vo' 0 instante t = 8 5, esul em x = 100 cm e se desloca ()::-~ ::--com a velocidade de -15 cm/s. Achar a velocidade inicial (, i': _ -= .ra<;ao a.

52. Urn guindaste suspende uma carga de tijolos, com a \'eloci~_tante de 5 mis, quando um dos tijolos cai a 6 m do solo. D~=-~ ~movimento do tijolo que cai, desenhando a curva de x(f). (amaior altura que 0 tijolo atinge em rela<;ao ao solo') Ib) Qua:::o'~leva 0 tijolo para atingir 0 solo? (e) Qual a velocidade do tijO~0 ~ ~.gir 0 solo?

53. Urn garoto que corre a 9 mls esta 40 m amls de Joao quaJ.l~o .:=_a partida nasua motoneta, com uma acelera<;ao de 0,9 m/s'. ( ,tempo leva 0 garoto para Ltltrapassar Joao? (b) Durante quan:o t~-:-garoto fica na frente de Joao?

54. Um caITO acelera. do repouso. a 2 m/s'. durante 20 s. A \ ~_ :=--=fica entao constante 20 s, depois do que a acelera<;ao do call'o e -:- - .ate 0 carro parar. Qual a distancia total percorrida?

55. Um vasa de flores cai da janela de um apartamento. L" 1r-que esta no apartamenlO de baixo. e que tern um cronometro. 0'--_.que 0 vaso leva 0,2 s para passar diante da sua janela. que ten .: ---:...=altura. Qual a distiincia entre 0 topo da janela de baixo e 0 peilO.:. ~_cima, de onde 0 vasa caiu"

56. Um piloto pula fora de Lun aviao em pane. sem p~lra-quedas ~ ."--=:a velocidade de 120 km/h antes de colidir com 0 solo. 0 piloro :breviver a uma desacelera<;ao de 35 g. POI' sorte, cai sobre um n: r:~:::=feno. Admitindo desacelerac;:ao uniforme ate 0 fundo do monte. qser a altura deste monte para que 0 piloto tenha chance de sobre\-j 'c.

57. Um parafuso se desprende de um elevador que esta subin_ovelocidade uniforme de 6 m/s. 0 parafuso atingc 0 fundo do p :0 Cvador em 3 s. (a) A que altura estava 0 elevador quando 0 p • '.desprendeu? (b) Qual a velocidade do parafuso ao atingir 0 fundo': ~ .

58. Um arqueiro dispara uma flecha que produz um barulho Ct"~·ao atingir 0 alvo. A velocidade media da flecha e 150 m/s. 0 -:-~~-clive 0 rufdo do impacto exatamente I s depois do disparo. Se 1 ,,:':

Llade do som for 340 mis, a que distancia est a 0 alvo?

l59. Desenhar uma dnica curva de v contra [ na qual exisramsegmentos, em que (a) a acelera<;ao e nula e constante enquamo _ - i': -cidade nao e nula; (b) a acelera<;ao e nub, porem nao cons ~_:~:velocidade e a acelera<;ao SaD ambas positivas: (d) a vel cid:! t" i': _ -:=-lera<;ao saD am bas negativas; (e) a velocidade e positi\'a t" a a-=:=._-:::'negativa; !j) a velocidade e negativa e a acelera<;ao. posi i':~: i':velocidade e nub, mas a acelera<;ao nao.

'-:::::-'0 1;]1 --:-0.11 \'elocidade VI' entra numa rua, 0 motorista per-~ 0,]:1"0 arro a uma \'elocidade menor V" 11 distancia d, (a) Mos-

__e. :J3r.! nao h wr colisao, a distancia d deve ser maior que (VI -~ - - 'r. e a e a acelcrac;:aomaxima que pode ser proporcionada pe-". f:';:: s. (b) Estimar esta distancia com VI = 90 km/h, v, = 45 km/h e.'-" (;::.'s=,(e) Estimar ou mediI' 0 seu tempo de reac;:aoe estimar 0 efei·:.,,_e :eria sobre a distancia estimada na parte (b),

G p sageiro con'e it sua velocidade maxima de 8 m/s para pegar;:<':]1. Quando esta it distancia d da porta de entrada, 0 trem plincipia a

de;. m a acelerac;:aocon stante a = 1,0 mls2, afastando-se. (a) Se d =_ e se 0 passageiro continua a correr, conseguira ounao pegar 0 trem')'. D=senhar a func;:aoposic;:aoXCI) do trem, com x = 0 em / = O. No mesmo=-i.."i o. desenhar a func;:aoXCI) do passageiro, com diversas distancias de- ~ ao inicial d, incluindo nestas a distancia d = 30 mea distancia cn-:..~ e'separac;:iiode que Ihe permite pegar 0 trem pOl'urn Mimo. (e) Com• - ancia clitica de separac;:aodc, qual a velocidade do trem quando 0

==eiro consegue pega-Io? Qual e a velocidade media do trem no in-~ 0 de tempo de / = 0 ate este instante? Qual 0 valor de ((?

Gm trem parte de uma estac;:aocom a aceJerac;:aoconstante OAO mls2•

. ~ passageira chega na plataforma da estac;:ao6,0 s depois de 0 final, uem ter passado pelo mesmo ponto. Qual a menor velocidade cons-

e em que a passageira deve COlTerpara pegar 0 trem') Trac;:aras cur-,-:ISdo movimento da passageira e do trem em func;:aodo tempo.

63. Uma bola A cai do topo de urn edificio no mesmo instante em quea bola B e lanc;:adavenicalmente para cima a partir do solo. Quando as

duas bolas colidem, estao movendo-se em direc;:6esopostas. e a velocida-de de A e 0 dobra da de B. Em que frac;:aoda altura do edificio ocone a

'sao?

6.t Resol ver 0 Problema 63 no caso de a colisao ocorrer quando as bo-!:lsestiverem com velocidades na mesma direc;:aoe a velocidade de .-\or 0 quadruplo da de B.

65. A Figura 2-23 mostl'a 0 grMico de v contra r no mO\'imento de umaparticula que se desloca sobre uma rera. A posic;:aoda particula no ins-tante / = 0 e Xli = 5 m. (a) Estimar.r em varios instantes / medi nte acontagem dos quadrados. e trac;:ara curva de x comra r. (bl Desen! arurva da acelerac;:aoa contra 0 tempo r.

v, m/s642o

/,5

Figura 2·23 GrMico de V contra r no Problema 65.

66. A Fi!!ura 2-24 mostra 0 grMico de x contra r no caso de um corpo.ue se de~loca em linha reta.-Oesenhar um grMico de v contra r e de aontra r para este movimento.

67. A posic;:aode um corpo que oscila suspenso a uma mola e dada porx = A sen wI, onde A e w sac constantes e tem os valores A = 5 cm e w =0,175 sol Desenhar x em func;:aode / num intervalo de / = 0 ate I = 36 s.(a) Medir 0 coeficiente angular da curva em / = 0 e estimar a velocidadeneste instante. (b) Estimar a velocidade media para uma sene de inter-valos que principiam em / = 0 e terrninam em / = 6, 3, 2,1,0,5 e 0,25 s.(e) Calcular dt/dr e achar a velocidade no instante / = O.

68. Um cano tem a acelerac;:aomaxima a, que permanece con stante emvelocidades elevadas e tem a desacelerac;:ao maxima 2a. 0 carro devecobrir uma pequena distancia L, principiando e terminando no repouso,num intervalo de tempo minima T. (A distancia e tao pequena que 0 carronunca pode atingir a velocidade maxima.) Depois de que frac;:aode L 0motorista deve tirar 0 pe do acelerador e apenar 0 freio? Qual a frac;:aodo tempo do percurso que deconeu ate este ponto? .

69. Na Tabela 2.2, aparecem alguns recordes mundiais de corridas cur-tas. Urn modelo simples para estas corridas admite que 0 corredor partado repouso. acelere com acelerac;:aoconstante (/ durante um curto inter-valo de tempo T. e depois corra com a ve10cidade constante Vo = aT. Deacordo com eSle modelo, nos tempos / maiores que T, a distancia x va-ria !inearmente com 0 tempo. (a) Fazer um griifico da distancia x emfunc;iiodo tempo r. a partir dos dados da tabela. (b) Estabelecer a equa-c;:aode x contra T. conforrne 0 modelo simples descrito anteriormente, emostrar que com i > T. x pode ser escrito como x = vo(t - T/2). (e) Li-gar os POntOS '0 =rafi 0 construido por meio de uma reta e determinaro codicie e an!! II I'e a ordenada it ori!!em desta reta. Em virtude de 0coeficiente ar.g ~l r ser Vo e de a orden-ada it origem voT/2, calcular aacelerac;:aoa, (d) 0 recorde ara uma conida de 200 m e 19.5 s. Discutira aplicabilidade 0 modele descrito a onidas de 200 m ou mais.

Tabela 2.2.Y

\,d ill t,s

50 5.150 5,5

60 5.960 6.5

100 9.1100 9,9

70. Um missil ABM pode ser acelerado a 100 g. Se urn missil ICBMfor detectado a uma altura de 100 km, deslocando-se numa trajetoliaretilinea para baixo. a uma velocidade constante de 3 X 10"km/h. e se amissil ABM for disparado para intercept,i-Io, em que instante e em quealtitude ocorrera a interceptac;:ao" Nota: neste problema, e possivel des-prezar a acelerac;:aoda gravidade; pOl'que"

71. A acelerac;:aode uma particula que cai sob a influencia da gravida-de e de uma forc;:aresistiva, como pOI'exemplo a resistencia do aI', e dadapor

dv(/ = - = g-bv

dr

onde g e a acelerac;:aodevida it gravidade e b e uma constante que de-pende da massa e da forma da particula e da natureza do meio. Supo-nhamos que uma particula pana do repouso, com velocidade nula noinstante / = O. (0) Discutir qualitativamente a variac;:aoda velocidade vcom 0 tempo a partir da informac;ao de a taxa de variac;:aode v, dv/d/,obedecer a equac;:aodada. Qual 0 valor da velocidade quando a acelera-

~ao for nulary Esta velocidade e denominada velocidade terminal. (b)Tra~JJ a soIu~ao vCr) contra t sem resolver a equa~ao. Operar assim: emr = O. e zero e 0 coeficiente angular, g. Trace urn segmento de reta,des, rezando a \'aria~ao do coeficiente angular,.sobre urn pequeno in-telyalo e tempo. 1\0 final deste intervalo, a velocidade nao e nula, dem '0 que 0 coeficiente angular e menor que g. Trace outro segmentode tela com uma inclina~ao menor que a do primeiro. Continue assima e hegar a urn coeficiente angular nulo e a velocidade ser igual 11 veIo-idade terminal.

n. Suponhamos que a acelera~ao seja uma fun~ao de x, a(x) = 2 x m/s2•

(a) Se a velocidade emx = I m for nuIa, qual e a velocidade em x = 3 m?(b) Quanto tempo decorre para ser percorrida a distancia de x = I a x =3 nl·?

73. Suponhamos que uma partfcula se desloque em linha reta e que, emqualquer instante t. a sua posi~ao, a sua velocidade e a sua acelera~ao tern,todas, 0 mesmo valor numerico. Dar a posi~ao x em fun<;:aodo tempo.

74. Urn autom6vel tfpico tern a desacelera~ao maxima a o~::.-~.m/s2 e 0 tempo de rea~ao tfpico para acionar os freios e O. -0 S•• .." ..:

~ao de uma escola estabelece urn limite de velocidade. em fr~;::.::~_cola, de modo que todos os carros possam parar numa distiln-ia .~.:_(a) Qual a velocidade maxima que pode ter. nestas circunst:ir.c·~-autom6vel t[pico? (b) Qual a fra<;:aodos 4 m devida ao tern ~ :-_<;:ao?

75. Urn corpo se move sobre uma reta e duplica a sua \·elocidade. a-segundo, durante os primeiros 10 s. Seja 2 m/s a velocidade ini i _Tra<;:aruma curva regular Vet) para a velocidade em fun<;:aodo ~:;;,:;(b) Qual e a velocidade media nos primeiros 10 s? .

76. Suponhamos que urn corpo que se desloque rapidamente en-o::....~uma resistencia tal que a sua velocidade seja reduzida it metade par2. ~segundo que se passe. Seja 1000 m/s a velocidade inicia1. (a) De-~ ~uma curva regular que de a velocidade VCt) em fun<;:aodo tempo. (b) Qo~a velocidade media nos primeiros 10 s?

Capitulo 3

Movimento em Duas eTresDimensoes

Vamos agora arnpliar a descri~ao do movimento de uma partfcula a duas e a tres di-mensoes. Nestes casos, 0 deslocamento, a velocidade e a acelera~ao sac grandezas que temuma dire~ao no espa~o, alem de uma magnitude. Estas grandezas sac vetores. Nos capitulosadiante, encontraremos rnuitas outras grandezas vetoriais, como for~a, momento e campoeletrico. As grandezas que so tem magnitude, mas nao tem uma dire~ao, como distancia,massa ou temperatura, sao denominadas escalares.

Neste capitulo, investigaremos as propriedades gerais dos vetores e as propriedadesparticulares dos vetOl'esdeslocamento, velocidade e acelera~ao. Muitos tra~os interessantesdo movimento em tres dimensoes tambem estao presentes no rnovimento em duas dimen-soes. Em virtude de 0 movimento bidimensional ser mais facil de ilustrar sobre uma folhade papel, ou num quadro-negro, a maior parte dos nossos exemplos sera limitada a duas di-mensoes. Dois casos especiais importantes, 0 movimento dos projeteis e 0 movimento cir-cular, serno detalhadamente discutidos.

3.1 0 Vetor Deslocamento e a Adi<;ao deVetores

Se voce perguntar a alguem onde fica a agencia de correio e receber a resposta que esta a 10quarteiroes, perguntanl, com certeza, em que dire~ao, antes de ir para ela. Faz bastante dife-ren~a se estiver 10 quarteiroes a leste, ou 10 para 0 norte, ou 6 para oeste e 8 para 0 suI (0que perfaz urn total de 14 quarteiroes para andar, embora apenas 10 "em v60 de abelha"). Agrandeza que da a distfmcia retilfnea e a dire~ao de um ponto do espa~o ate outro e um seg-mento de reta orientado que se denomina vetor deslocamento. Usamos os vetores desloca-mento para ilustrar os resultados gerais sobre os vetores pois, por defini~ao, os vetores siiograndezas que tern magnitude (modulo) e dire<;c1oe que se adicionam e subtraem como des-locamentos. Representa-se graficamente um vetor pOI'uma seta cuja dire~ao e a dire~ao dovetor e cujo comprimento e proporcional ao modulo do vetor. .

A Figura 3-1 rnostra a trajetoria de uma partfcula que se desloca do ponto PI ate 0 pontoP2 e depois ate urn terceiro ponto P3. 0 deslocarnento do ponto PI ate 0 ponto P2e represen-tado pela seta A. Observe que 0 deslocamento A nao depende da trajetoria percorrida pelapartfcula ao passar de PI a P2, e so depende dos pontos terrninais PI e P2 Um segimdo deslo-camento, de P2 a P3. esta indicado pela seta B. 0 deslocamento resultante, de PI a P3, estarepresentado pela seta C. 0 veto I'deslocamento resultante C e a soma dos dois deslocarnen-tos sucessivos, A e B:

Figura 3-1 A adi"ao de vetores. 0deslocamento C e equivalente a doisdeslocamentos sucessivos A e B; isto eC=A -;-B.

B4km

A3km

Figura 3-2 Os vetores deslocamento doExemplo ' .1. 0 modulo do desloca-mento resultante. veto I' C, pode sercal ulado pclo teorel11ade Pitagoras.

Quaisquer dois vetores (cujas unidades sejam as mesmas) podem ser somados =r ~ .-desta forma, colocando-se 0 pe de uma das setas na extremidade da outra.

Q vetor resultante vai, entao, do pe do primeiro vetor ate a extremidade do -~=vetor.

As grandezas vetoriais serao representadas pOl' tipos em negrito, como A. L: .-~esta convenqao em todo 0 texto, a fim de distinguir as grandezas vetoriais das = --~escalares, que sac simboJizadas par letras em italico. (Nos manuscritos, 0 vetar e -ir::'~ -do pOI' uma seta superposta ao sfmbolo. par exemplo If) 0 m6dulo de urn vetor A -~ ~= ._!AI ou simplesmente A. Ordinariamente, 0 m6dulo de urn vetor tern unidades ffsi- -=_ =--exemplo, 0 vetor deslocamento tern urn m6dulo que pode ser expresso em metros. 0

metros, ou qualquer outra unidade de distiincia.A soma dos m6dulos de A e de B nao e igual ao m6dulo de C a menos qu~ A = -

estejam na mesma direqao. lsto e, C = A + B nao acalTeta C = A + B.

Vm homem anda 3 km para leste e depois 4 km para 0 norte. Qual 0 deslresultante?

Os clois deslocamentos e 0 cleslocamento resultante aparecem na Figura :-._ -vez que os tres vetores formam um triangulo retilngllio. podemos achar 0 moc".cleslocamento resllitante mediante 0 teorema cle Pitagoras. que nos da

C2 = A2 + B2 = (3 km)c + (4 km)" = 25 km2

C = ~ 25 km" = 5 km

A fim de clescrever 0 deslocamento resllitante, precisamos ciaI' nao s6 o'eu I . -.,

mas tambem a sua clireqao. Se e for 0 iingulo entre 0 eixo leste e 0 deslocamen 0 ~~_-

tante, temos pela Figura 3-2

4 km--= 1,333 km

Poclemos achar e por uma tabua trigonometrica, ou pOl' uma calclliadora que di=i'de funq6es trigonometric as:

L. ssoa anda 3 km para leste e depois 4 km numa dire~ao a 60· ao norte do leste.Q a1 0 deslocamento resultante? .

Os vetores deslocamento deste exemplo aparecem na Figura 3-3. Neste caso, 0

'20",ulo formado pelos tres vetores nao e urn triangulo retangulo, de modo que 0 teo-rema de Pitagoras nao pode ser usado para calcular 0 deslocamento resultante. Na pro-xima se~ao, aprenderemos como achar 0 vetor resultante, num caso como este, pOI'moio das componentes do vetor. No momento, acharemos graficamente a resultante,

ediante 0 desenho em ~scala de cada deslocamento e a medi~ao do deslocamentoes Itanre, POI' exemplo, se 0 pnmeiro vetor deslocamento for desenhado como urn

se=mento de 3 em e 0 segundo como urn segmento de 4 em, poderemos estimar 0 vetorre ultante como urn segmento de 6 em. Entao, 0 modulo do deslocamento resultante e6 kID. 0 angulo entre 0 deslocamento resultante e a dire~ao leste pode ser medido comurn transferidor. E cerca de 35".

Uma vez que os vetores se definem somente pelo modulo e pel a dire~ao, dois vetores_ ,-0 iguais se tiverem 0 mesmo modulo e a mesma dire~ao, independentemente das

tivas origens. Num gratico, dois vetores serao iguais se tiverem 0 mesmo comprimentoforem paralelos urn ao outro. Assim, todos os vetores da Figura 3-4 SaD iguais. A Figura

~ ~a mostra dois vetores A e B cuja soma e c. Na Figura 3-Sb, deslocamos 0 vetor B.r- elamente a si mesmo, de modo a tel' a origem coincidente com a do vetor A. 0 vetor

raTIteC esta sobre a diagonal do paralelogramo formado por A e B. A adi~ao grafica de_ i' \'etares, mediante a coincidencia das origens e a determina~ao da diagonal dor-alelogramo formado pelos vetores, e conhecida como a regra do paralelogramo para a

di~o vetoriaI. Pela Figura 3-Sb, podemos vel' que nao faz diferen~a a ordem da adi~aos dois vetores, isto e, A + B = B + A.

Podemos subtrair 0 vetor B do vetor A, conforme esta na Figura 3-6a, pela adi~ao a A"e - B, que e urn vetor que tern 0 mesmo modulo de B mas dire~ao oposta. 0 resultado e C= A + (- B) = A-B. Outro metodo de subtra~ao, ilustrado na Figura 3-6b, e 0 de desenhar

is vetores A e B com as origens coincidentes e depois observar que 0 vetor C = A - Be'elOr que somado a B leva ao vetor resultante A.

1. 0 deslocamento de uma partfcula pode ter uma grandeza que seja menor que a grandezaa distancia percorrida pela partfcula sobre a sua trajetoria? Pode ter uma grandeza maiorue a grandeza da distancia percorrida? Explique.

De urn exemplo no qual a distancia percorrida seja significativa embora 0 deslocamentoorrespondente seja zero.

AC=A+B

(a)

AA+B=B+A=C ~(b)

A3 km

Figura 3-3 Os vetores deslocamento doExemplo 3.2, Vma vez que A e B naosao perpendiculares, 0 teorema dePitagoras nao pode ser usado para 0

calculo do modulo de C. Em lugardeste teorema, C pode ser estimadograficamente.

Figura 3-4 Vetores iguais tem 0mesmo modulo e a mesma dire~ao.Todos os vetores nesta figura sa,iguais.

Figura-3·5 (a) Os ,etores A + B = C..Em (b) 0 \'etor B foi deslocadoparalelamente a si mesmo, de modoque A e B ficaram com a mesmaorigem. 0 vetor resultante C = A + Besta sobre a diagonal do paralelogramoformado quando A e B estao com asorigens coincidentes, Vemos, pOI'estafigura, que a ordem da adi~ao eindiferente, isto e, que A + B e igual aB + A.

Figura 3-6 Subtra<;iio de vetores. (a)Testegrafico. C = A - B e determina-

do pela adi<;ao de - BaA. (b) Ummetodo alternati\"o de calcular A - Beachar 0 \"etor C que somado a B da 0\"etor A.

Figura 3-7 A componente A, do vetorA, na dire<;ao de uma reta no espa<;o. seencontra pela proje<;iiodo vetor sobre areta.

Figura 3-8 As componentes cartesianasde um vetar A estiio relacionadas '10modulo A e ao angulo 8 pelas formulasA, = A cos 8 e.4, = A sen 8"

Figura 3-9 Componentes x e y dos\"etores A. Bee = A + B. Vemos, pelafigura. que C, = A, -L B, e C, = A," + B,""

Adi~ao de Vetores Mediante asComponentes

Podemos somar ou subtrair analiticamente vetores mediante a decomposiqao dedeles nas respectivas componentes. A componente de urn vetor numa certa dire~ao e :!: -

jec;:aodo vetor sobre uma reta que suporta esta direc;:ao,e que se obtem baixando-·~perpendicular da ponta do vetor areta, conforme esta na Figura 3-7. Exemplo impor: --~ ~o da projec;:aode urn vetar sobre urn eixo de urn sistema cartesiano ortogonal. Esta ro~=~e uma componente cartesiana do vetor. A Figura 3-8 mostra urn vetar A no plano ,ty.. -'suas componentes cartesian as sac A, e A,_ Em geral, as componentes podem ser ou po·' -. _ou negativas. Por exemplo, se 0 vetor Aapontar na direc;:aonegativa dos x, A, sera ne.:..•...Se e for 0 angulo entre 0 vetor A e 0 eixo dos x, vemos pela figura que

onde r\ eo modulo de A. Podemos, pOl'tanto,determinar analiticamente as componellie· -";A por intermedio do modulo A e do angulo e, com as formulas

Inversamente. se conhecermos as componentes A, e A,", podemos achar 0 angulo e eb::-:3.20 e 0 modulo A pelo teorema de Pitagaras: "

A Figura 3-9 ilustra 0 usa das componentes na adic;:aode dois vetores A e B quno plano ,\y. Aparecem na figura as componentes cartesianas de cada vetor e da re- r- ---

x soma C = A + B. Podemos ver na figura que C = A + B acarreta

Exercicioarro percorre 20 kID numa dire<;ao que faz urn angulo de 30" ao norte do oeste .

.-\' ·rindo que 0 eixo dos x se oriente de oeste para Ieste e que 0 dos y do suI para 0

none, como na Figura 3-10, achar as componentes x e y do vetor deslocamento do carro.(Respostas: A, = -17,3 km, A, = + IO km)

N~",\~~""'~ill~\.Q, '0.. \les.s.aa andau, inicialmente, 3 km na dire«ao Ieste. Se A for 0

';,"'-"- ~",-~",~ .•..'&..",-"",-", ,"'- '>,"'- '-"''&.. .•..~'''<;, ~ ~\.'\...~ "'~ Q\.,-<:,<::,,~~ \.<:.<;,\.<:., ~'" <:"~ill.':I.<::>\:\.<:'\:\.\.<:'''' ~e '!'... i'<'..<::>

Depois, a pessoa andou 4 km fazendo urn angulo de 60" com a dire<;1ioIeste, para 0

norte. 0 vetor B que representa este deslocamento tern as componentes

B, = (4 km) cos 60" = (4 km)(O,S) = 2 km

B, = (4 km) sen 60" = (4 km)(0,866) = 3,46 km

c2 = C2 + COx ):

De modo que

c = ~37,0 km2 = 6,1 km

Os resultados concordam com os do Exemplo 3.2, dentro da exatidao das medi<;5esfeitas naquele exempio .

.J Vetores Unihirios e Multiplica<;ao deVetores por Escalares

·e or A pode ~er multiplicado por urn escalar s. 0 resultado e 0 vetor B = sA, que aponra,ao de A e tern 0 m6dulo sA. As dimensoes de B sao as dimens5es de s multiplicadas

2S'. ens5es de A.

Figura 3-10 Geometria do exercfcioproposto.

Podemos exprimir convenientemente urn vetor em termos das suas com o-e;::-~:.intermedio dos vetores unitarios. Urn vetor unihirio e urn vetor adimensional que .=-=..modulo igua1 ale aponta numa certa dire<;ao. Par exemplo, sejam i,j e k as vetore· ~- '.rios nas dire<;6es positivas dos eixos cartesianos, x, y e z, respectivamente. 0 vetor A) §.produto da componente Ax pelo vetor unitario i.E urn vetor que e paralelo ao eixo do· xantiparalelo se A, for negativo) e tern a modulo iAJ Urn vetor A qualquer pode en ao -_escrito como a soma de tres vetores, cada urn de1es paralelo a urn eixo de coordenad

k

(a)

//

//

/

f---1III1I1

/1// I

/ I/ I

11I

A soma vetoria1 da Eq. 3.-7 esta i1ustrada na Figura 3-11. A adi~ao de dais vetOl'es A e Bpode ser escrita em term s dos verores unitirios como

I /I //I /__________ ...v

A + B =: (A) + AJ + A,k) + (B) + BJ + B,k)=: (Ax + B,)i + (A, + BJj + (A, + B)k

ExercicioDados os dois vetores A =: (4 m)i + (3 m)j e B = (2 m)i - (3 m)j, calcular (a) A, (h)B, (c) A + Be (d) A-B. [Respostas: (a) A =: 5 m, (b) B =: 3,61 m, (c) A + B = (6 m)i.(d) A - B = (2 m)i + (6 m)j]

Figura 3-11 (a) Os vetoresunitarios i, je k de urn sistema cartesianoortogonal.(b) 0 vetor A pode ser escrito emtermos dos vetoresunitarios como A =:A) + A,j + A,k. As propriedades gerais dos vetores que foram discutidas ate agora estao resumidas D2

Tabela 3.1.

Explica<;ao

A =: B se IAI =: IBI e asdire90esforem coincidentes

Representa<;ao nascomponentes

Ax=B,A, = By,{=B,

C,=Ax+ BxC,.=Ay + B,C,=A, + B,

A = - B se IBI = IAI e asdire90esforem opostas .

A =-Bx xAy = -ByA,= -B,

C =A - B.r x x

C,.=A,. - B,C,=A, - B,

~u]tipli a9ao parurnescaJarpositivo

B = sA se IBI = siAl e adire9aode B forcoincidente com adeA

Bx = sAxB,=sA,.B~= sA;

----'"'=e=...,, •..••••.•••••••iiiiOOi-----==~====----__:-----------------·~-· - - _.-----~- -

3- Como se poderia subtrair dois vetores mediante 0 metodo das componentes?.. -\ componente de urn vetor pode ter urn modulo maior que 0 modulo do vetor? Ern que

ir unstancias a componente de urn vetor tern urn modulo igual ao modulo do vetor?:. em \"etor pode ser igual a zero e ter uma, ou mais, componentes, nao nula?

_-\ componentes de C = A + B sao necessariamente maiores que as componentes corres-pondentes de A ou de B?

uponhamos que voce esteja dirigindo um carro a 50 krn/h conforme a indica<;:aodo veloel-elf0, na dire<;:aosuI, indicada por uma bussola. 0 veloelmetro da 0 modulo da velocidade,

e a bussola a dire<;:aoda velocidade. 0 vetor velocidade instantanea e um vetor que apontaa dire<;:ao,domovimento e tern 0 modulo igual ao que se denomina trivialmente velocidadeo carro. E igual a taxa de varia<;:aodo vetor des]ocamento.

A Figura 3-]2 mostra uma particula que se desloca ao longo de uma curva no espa<;:o.(A curva constitui a trajetoria realmente seguida pela partfcu]a. Nao pode ser confundidaom a curva de x ern fun<;:aode f, que vimos no capitulo anterior.) Definimos a posi<;:aode

uma partfcula mediante 0 seu vetor deslocamento, tendo a origem em O. Este vetor des]oca-mento e denominado 0 vetof posi~ao f. Se a partfcula estiver num ponto (x,y), 0 vetor posi-,ao e

. -um certo instante f" a partfcu]a esta no ponto P,. Este ponto fica localizado pe]o vetor posi<;:aofJ que vai da origem ate P,. Num instante posterior f2, a partlcula esta no ponto P2 e 0 seu-eror posi<;:aoe f2• 0 vetor desloca-mento e a varia<;:aodo vetor posi<;:ao:

_ ill defini<;:aoe analoga a defini<;:aono caso unidimensional, do Capitulo 2, quando 0 des-~ amento era a varia<;:aoda coordenada de posi<;:aox.) 0 novo vetor posi<;:aof2 e igual a- ma do vetor posi<;:aoinicial f, com 0 vetor deslocamento ~r, conforme aparece na figura._• razao entre 0 vetor deslocamento e 0 intervalo de tempo ~f = f2 - f, eo vetor velocidade

Mia:

Figura 3·12 Partfcula que se deslocasobre uma curva arbitniria no espa<;:o,com os vetores posi<;:aof, e f2 em doisinstantes diferentes f, e f2• 0 vetordeslocamento /ir e a diferen<;:aentre osdois vetores posi<;:ao,/if = f2 - f, .

Figura 3-13 A medida que se cons ide-ram intervalos de tempo cada vezmenores, 0 valor do vetor deslocamentose aproxima da distancia real perconidasobre a trajet6ria, e a dire"ao do vetordeslocamento se aproxima da dire"iiocla reta que e tangente a trajet6Iia noponto PI'

Defini~ao do vetor velocidadeinstantanea

Observamos, pela Figura 3-12, que 0 m6dulo do vetor deslocamemo nao e := .~. - ':-_'realmente percorrida pela partfcula, 6.s, medida sobre a trajet6ria. f\'a realio2-'e. e-~esta distancia (a menos que a partfcula percorra uma reta ao passar do pon 0 p! _entanto, se considerarmos intervalos de tempo cada vez menores. conform~ a i. -'i -. -:. -Figura 3-13, 0 valor do deslocamento se aproxima da distancia real percorri a ~I ,..::...:.....

sobre a trajet6ria, e a dire<;ao de 6.r se aproxima da dire9ao da reta tangente a trajet6ri :::ponto PI' 0 vetor velocidade instantanea e 0 limite do vetor velocidade media qua c,,-intervalo de tempo 6.t se aproxima de zero:

I, 6.r1m -

L'lr--->O 6.t

o vetor velocidade instantanea e entao a derivada do vetor posi<;aoem rela<;aoao tempo .. '-sua dire<;aoe a da reta tangente a curva percorrida pela partfcula no espa<;o.Este vetor.tanto, aponta na dire<;ao do movimento da partfcula. 0 m6dulo da velocidade instantanea eo que se chama trivialmente velocidade ds/dt, onde sea distancia percorrida sobre a traj~:6-ria.

A fim de calcular a derivada na Eq. 3-12, devemos exprimir 0 vetar posi<;aoem ie:-mos das suas componentes, como na Eq. 3-9:

6.r = f2 - fl = (x2 - xl)i + (Y2 - Yl)j

v = lim 6.r lim 6.x i + 6.y jL'lr--->O 6.t L'lr--->O 6.t

l' (6.X i)1m --"'/--->0 6.t

dy+ j

dt

Um veleiro tem as coordenadas iniciais (XI' y,) = (lOa m, 200 m). Dois minutos-<'.e-pois, as suas coordenadassao (xz,Yz) = (120 m, 210 m). Quais as componentes. 0 m6d!.-_lCe a dire9ao da ve10cidade media neste interva10 de 2,00 min?

120 - 100 m2,00 min

210 - 200 m

2,00 min

5,0 m/min10,0 m/min

o Vetor Aceleradio"

o vetor acelera~ao media e definido como a razao entre a varia<;:iiodo ,-etor velocidadeinstantanea Do ,- e 0 intervalo de tempo ~t:

o vetor acelera~ao instantanea e 0 limite desta razao quando 0 inten-alo de tempo tende azero. Isto e, 0 vetor acelera<;:aoinstantanea e a derivada do vetor velocidade em rela<;:aoaotempo:

~vJim

!'>I->O 6.t3-14 Defini~iio do vetaI' acelera~iio

illstn Iltii Ilea

A fim de calcular a acelcra~ao instantanea, exprimimos v em termos das suas componentescartesianas:

u) v,jdx + dy

jv + dl dl

Entao

dv, du,j

d2x d2yja + df2 +

dl2df dt

E especialmerite importante observar que 0 vetor vefocidade pode variar em modulo,em dire<;:aoou em ambos. Se 0 vetor velocidade varia, de qualquer forma, a partfcula estaa elerada. Estamos mais habituados com uma acelera<;:ao na qual a velocidade varia emmodulo, isto e, uma acelera<;:aocom a qual se altera 0 valor da velocidade. No entanto, umapartfcula pode estar em movimento com velocidade de modulo constante (valor constante)e ainda assim estar acelerada, se a dire<;:aodo vetor velocidade estiver se alterando. Urn casoe-pecialmente importante desta situa<;:aoe 0 do movimento circular, que sera discutido naSe<;:ao3-8. Este tipo de acelera~ao e tao real quanto aquele que provoca modifica~ao do va-lor da velocidade.

Figura 3-14 Vetores velocidade do .Exemplo 3.5.

Um carro esta indo a 60 km/h para leste. Entra numa curva e, 5 s depois. e-·"para 0 norte, a 60 km/h. Achar a acelera~1io media do carro.

A Figura 3-14 mostra os vetores velocidade inicial e final v I = 60 -m,c i e _~60km/h j. A varia~1io de velocidade e

que tambem aparece na figura. (Observe que desenhamos a figura de modo que~v = "2.) A acelera~1io media e dada por

60 km/h j - 60 km/h5 s

I ? ? I( ) ( )'a = <0; + a; = If -12 km/h·s - + 12 km/h·s - = 17,0 km/h-s

Observe, neste exemplo, que 0 carro sofre acelera~1ioembora 0 modulo da sua \·eldade permane~a constante.

7. No movimento arbitrario de dada partfcula, a dire~ao do vetor velocidade tem uma CCl1:l

rela~ao especial com a dire~1iodo vetor posi~1io?8. D~ exemplos nos quais as dire~6es dos vetores velocidade e posi~ao sejam (a) opost _

(b) coincidentes e (c) mutuamente perpendiculares.9. Como e possfvel que uma partfcula que se desloca com velocidade que tem 0 modulo

constante esteja acelerada? Uma partfcula pode ter a velocidade constante e ao me rr.otempo estar acelerada?

10. E possfvel que um carro fa~a uma curva sem acelerar?11.0 vetor velocidade pode mudar de dire~1iosem mudar de modulo? Se pode, de um exem-

pia.

3.6 Velocidade RelativaA velocidade de um corpo, algumas vezes, e medida em rela~1ioa um sistema de coordena-das que, par sua vez, esta em movimento num outro sistema de coordenadas. Por exemplo.imaginemos que uma pessoa esteja caminhando sobre a plataforma de um carro ferrovianocom llma velocidade Vpc em rela~1io ao carro, enquanto este se move com a velocidade ".0-em reb~ao ao solo, conforme esta na Figura 3_1 S. A velocidade da pessoa em rela~1io 0

solo vps e igual a soma das duas velocidades:

A adi~1iodas velocidades relativas e feita da mesma forma que a a~i~1iode deslocamen: :-- graficamente, colocando-se a origem de um vetor na extremidade do outro, ou anaJi . _-mente, mediante as componentes vetoriais.

t: vc,~-----------

Figura 3-15 (n) Em rela<;iioao carro ferroviario, a pessoa tern a velocidade Yre· (b) A velocidade do carro em rela<;iioao solo e vc<' (c) Emrelaqiio ao solo, a velocidade da pessoa e vp, = vp' + vc,' onde v" e a velocidade do carro em rela<;ao ao solo.

Urn rio corre de oeste para leste com a velocidade escalar de 3 m/s. Um garoto nadapara 0 norte, transversal mente a cOlTente, com uma velocidade escalar de 2 m/s emrelaqao a agua. Qual a velocidade do garoto em relaqao as margens')

A Figura 3-16 mostra os vetores velocidade deste problema. A velocidade dogaroto em relaqao as margens e iguaI a soma vetorial da velocidade do garoto em re-laqao a agua vga e a velocidadeda agua relativa as margens ""n!' con forme mostra afigura. 0 modulo desta velocidade e

Figura 3.16 Os vetores velocidade doExemplo 3.6.

Vga 2 m/s

vam 3 m/s

3.7 Movimento dos ProjeteisInteressante aplicaqao do movimento bidimensional e a de um projetil, isto e, de um corpoue e lan<;adono ar e depois move-se livremente sob a aqao da gravidade. 0 movimento de

urn projetil real e complicado pela resistencia do ar, pela rotaqao da terra e pelas variaq5esa eleraqao devidas a grav,idade. Para ter simplicidade, vamos desprezar estas complica-

> Oes.0 projetil, entao, tern uma aceleraqao constante, dirigida vertical mente para baixo, com

Figura 3-17 (0) Uma bola e lan<;ada\-enicalmente, no ar. por uma pessoaque esta num carrinho m6ve1- Emrela<;aoao carrinho, a bola se desloca\-erticalmente para cima e depois cai,retornando it posi<;ao original. (b) Emrela<;ao ao solo, a bola tern umavelocidade inicial hori?C'!1tal,igual itvelocidade do carrinho. e por isso sedesloca sobre urna trajet6ria parab6lica.

Figura 3-18 As componentes davelocidade inicial de urn projetil sao un,= Vo cos ()e Uo,' = VI) sen () onde ()e.oangulo entre v,;e 0 eixo horizontal dos x_

o modulo g = 9,81 m/s2 = 32,2 ft/s2• No movimento de um projetil, as componen:cs:- _- --tal e vertical do movimento sao independentes. Por exernplo, consideremos um~' -=- _ ~seja lan<;ada de um carrinho que se movimenta horizontalrnente com velo idad~ o---"-·~conforme a ilustra<;ao da Figura 3-17. Se a bola for lan«;ada na vertical para ic;ao ao carro, atinge 0 ponto mais elevado da sua trajetoria, que depende da svertical inicial, e depois retorna (Figura 3-17a). Este tipo de movimento \-erti I. o,.~_lera<;iio constante para baixo foi cliscutido no Capftulo 2. Nada tern a ver com 0 mo -i7._horizontal do carrinho sobre 0 solo_ 0 movimento horizontal cia bola em rela> -0 0:: ~: =um movimento com velocidade constante, a velocidacle do carrinho. Nacla tern a \'e~ 0::;:-movimenro vertical da bola. Em relac;ao ao solo; a bola clescreve uma trajetoria p31 00:':_(Figura 3-17b), que e caracterfstica clo movimento cle urn projetil.

..-,-,-/

//

II

~I

~~A

Trajet6ria vistapor urn observadorno carrinho

Trajet6ria vistapor urn observadorno solo A-

Consideremos uma partfcula que e lanc;acla com uma certa velociclade inicial que te u

componentes vertical e horizontal em rela<;ao a uma origem fixa. Se tomarmos 0 eixo do ycomo a \-ertical com a clire<;ao po~itiva para cima, e 0 eixo clos x como a horizontal, comdire<;ao positiva na clire«;ao da componente horizontal original cia velociclade clo projetil, te-mos para a acelerac;ao

Suponhamos que 0 projetil seja lanc;aclo cia origem com uma velocidacle escalar ini i'"vo, fazendo um angulo e com 0 eixo horizontal (Figura 3-18). A velocidacle inicial tern entioas componentes

----

vax va cos e 3-1-;~

vo\' Vo sen e 3-1-'

e equa > ao identic a a Eq. 2-9, com a = - g.) As componentes do deslocamento do pra-sao

voxtvoyf - tgt2

3-19a

3-19b

Vma bola e lan~ada no ar, com velocidade inicial de 50 mis, fazendo urn angulo de3T com a horizontal. Achar 0 tempo total de permanencia da bola no ar e a distilnciahorizontal total que ela percorre, adotando como apraxima~ao g = 10 mls2•

Vax (50 mls) cos 3T = 40 mls

• VOy (50 mls) sen 3T = 30 mls

o tempo total de permanencia da bola no ar pode ser achado pela Eq. 3-19b, fazendot.y = 0 e reso1vendo em t:

2 (30 m/s)

10 m/s2

Este resultado e 0 mesmo que encontramos no Exemplo 2.9, no qual a acelera~ao ver-tical e a velocidade inicial vertical da bola eram identic as as que vimos. Conformeaquele exemplo, 0 tempo total de permanencia da bola no ar e igual ao dobra do tem-po t1 que leva a bola para atingir 0 ponto mais elevado da sua trajet6ria, que pode serdeterminado por v, = 0, na Eq. 3-18b:

V,. = VOy

VOyt1 =

gtj = 0

30 m I s10 m I S2

Vma vez que a boOlase desloca horizontalmente com a velocidade constante de40 mis, a distancia horizontal total coberta no movimento e

Esta distancia e denominada 0 alcance do prajetil.A Figura 3-19 mostra 0 grafico da altura y contra 0 tempo t correspondente a

este exemplo. A curva e identica a da Figura 2-7a, dos Exemplos 2.8 e 2.9, pois emtodos os tres exemplos as acelera~6es verticais foram as mesmas e as velocidadesyerticais foram as mesmas. Vma vez que 0 projetil se desloca horizontal mente 40 mdurante cada segundo, podemos interpretar esta curva como urn gnifico de y contra x seallerarmos a escala de tempo do eixo horizontal numa escala de distancia, pela multipli-

> ao dos valores do tempo por 40 mls. A curva de y em fun~ao de x e uma parabola.

Figura 3-19 Gnifico de y contra t, e de y contra x nomovimento da bola do Exemplo 3.7. A escala detempo pode ser convertida numa escala horizontal dedistancia pela multiplica~ao de cada valor do tempopor 40 mis, pois a rela~ao entre x e t e x = (40 m/s)t.

Figura 3-20 Trajet6ria de um projetil com as vetOl'es velocidade e a- -U2:

componentes cartesian as assinaladas em diversos instantes. A distancihorizontal total percorrida e 0 alcance R.

A equaC;aogeral da trajet6ria y(x) pode ser obtida das Eqs. 3-19a e b pel a elimina,:::da variavel t entre as equac;oes. Fazendo Xu = Yo = 0 e t = x/uux na Eg. 3-19b, obtemo

(vOv J 1 ( g J 2y= --' x---J-X

VOx 2 VOx

Esta equaC;ao tern a forma y = ax + bx~,que e a equac;ao de uma parabola que passa pc:_origem. A Figura 3-20 mostra a trajet6ria de urn projetil com 0 vetor velocidade, e as su::scomponentes cartesianas, indicadas em diversos pontos.

ExercicioUma bala e disparada horizontal mente, de uma altura de 2 m, com a velocidade ini 1::-de 200 m/s. Qual a distfmcia horizontal que percorre antes de atingir a solo? Usar g =9,Sl 'm/s2 (Res posta: 129 m)

No Exemplo 3.7, achamos a aJcance do projetil mediante a calculo do tempo tota t.:~a mesmo permanecia no ar, feito a partir da componente vertical da velocidade, e depo::usando este tempo, e a componente horizontal da velocidade, para calcular a dist5.ncia ho :-zontal coberta pelo projetil. Este metoda opera guer 0 projetil alcance a solo na mesma el~-vac;ao, ou em e!evaC;aodiferente daquela em que foi projetado.

A bola no Exemplo 3.7 e projetada com a mesma velocidade inicial mencionada. m~"da borda de pm penhasco, 55 m acima do solo horizontal (Figura 3-21). Onde a bol:!atinge 0 solo?

Neste caso, a tempo que a bola leva para atingir a altura maxima continua =::;~3 s, mas 0 tempo de queda e mais dilatado, pois a queda corresponde a uma altura ale:-Primeiro, vamos caJcular a altura maxima atingida pela bola, como fizemos no Exe--pIa 2.8. A componente vertical da velocidade e inicialmente 30 mis, e na alturama atingida pela bola e nula. A velocidade media vertical, pata cima, para que a bo _em 3 s, atinja a sua altura maxima, e portanto 15 m/s e a altura maxima da bola e 0 =(15 m/s)(3 s) = 45 m. Depois de chegar a esta altura maxima, a bola cai 4 - m aoe •..~

Do = 50 m/s

_~J}~O............,,,,,,

\\,,

\\\\\

"

Qar ao plano do lan~amento inicial e cai ainda mais 55 mate 0 plano inferior, de modoque a distiincia total de queda e 45 m + 55 m = 100 m. 0 tempo necessario para quea bola caia do "repouso" (quando a componente vertical da velocidade e nula no topoda trajetoria) ao longo de lOa m verticais, encontra-se pela formula do movimentouniformemente acelerado:

6.)'

100 m

1 2vOyt - 'Igt

a - !CIa m/s2)t2

o tempo total que a bola permanece no ar e, entao, 3 s + 4,5 s = 7,5 s. A distiinciahorizontal coberta durante este intervalo de tempo e 300 m

Poderiamos ter usado diretamente a Eq. 3-19b para calcular 0 tempo, sem dividir 0

problema em duas partes. Uma vez que a bola atinge 0 solo a 55 m abaixo do ponto departida, podemos fazer i1y = - 55 m. 0 tempo entao se encontra por

Sao duas as raizes desta equa~ao do segundo grall, t = - 1,5 set = +7,5 s. 0 temponegativo corresponde ao instante em que a bola deveria ser lan~ada, de y = - 55 m,para atingir 0 ponto inicial em)' = a no instante t = 0, com uma componente vertical davelocidade igual a 30 rn/s ao passar pelo ponto y = 0, conforme mostra a Figura 3-22.

Figura 3-21 Bola lanc;;adade urnpenhasco, Exemplo 3.8. 0 alcance secalcula pel a determinac;;ao inicial dotempo total que a bola permanece no are depois pela multiplicac;;ao deste tempopela componente x da velocidade dabola.

Figura 3-22 A soluc;;aot = -1,5 s, quese encontra fazendo-se 6.y = - 55 m noExemplo 3.8, descreve a situac;;aoqueocorreria se a bola fosse projetada de \0

= - 55 m, de modo a atingir y = 0 noinstante [ = O. Esta soluc;;aomate mati ae abandonada pois nao descreye 0

problema proposto.

No caso especial em que as eleva~5es inicial e final SaG i~uais. poCi:= --=f6rmula geral para 0 alcance de urn projetil em termos do. sua velocida c - -_-~:= - -de proje~ao. 0 tempo que 0 projetilleva para atingir a altura maxima sc e::~_~_ -=se a componente vertical do. velocidade igual a zero:

2v (~)Oxg

2( va cos e)( va sen e)

g

2 v~ sen e cos eg

Esta f6rmula pode ser simplificada mediante a identidade trigonometrica do seno do a:duplo (Apendice A):

v2..-Q.. sen 2 eg

Uma vez que 0 valor maximo de sen 28e 1, quando 28 = 90° ou 8= 45°,0 alcance e maximoe igual a u6/g quando 8 = 45°:-

A Eq. 3-21 e util para se calcular 0 alcance nos problemas sobre projeteis, quando as ele-va~5es inicial e final SaG as mesmas. Observe porem que a f6rmula nao poderia ser usada 0

Exemplo 3.8, pois as eleva~5es nao eram as mesmas. Mais importante ainda, a Eq. 3-21 e urilpois nos informa algo sobre a dependencia entre 0 alcance e 0 angulo inicial de proje~ao. Parexemplo, acabamos de ver que 0 alcance e maximo quando 0 angulo do.proje~ao for 4Y.

Observamos que a distancia horizontal coberta pelo projetil e igual 0.0 produto entrecomponente horizontal inicial do. velocidade vox e 0 tempo que 0 projetil permanece no <if.

que por sua vez e proporcional a vOv' 0 alcance maximo ocorre quando as componenteshorizontal e vertical SaGiguais, 0 que significa ser 4Y 0 angulo de lan~amento. N as aplica-~5es pniticas SaG importantes outras considera~5es. Por exemplo, no lan~amento que anah-samos, as eleva~5es inicial e final nao eram iguais, pois a bola era lan~ada de uma alrurainicial 2 m acima do nivel do solo, que era atingido por ela no final do. trajet6ria. A al rninicial extra aumenta urn tanto 0 tempo de permanencia no ar. Neste casa, 0 alcance e maxi-mo quando vox for urn tanto maior que vo,' isto e, quando 0 angulo de lan~amento for uUinto menor que 4Y (Figura 3-23). A investiga~ao detalhada do. forma dos melhores Ian, -mentos mostra que 0 alcance maximo ocorre com urn angulo de lan~amento vizinho a -+ _ '.No caso de tiros de artilharia, e necessario levar em conta a resistencia do ar, a fim de pre-ver-se 0 alc;ance com exatidao. A resistencia do ar reduz 0 alcance para urn dado angulo cproje~ao. Tambem diminui ligeiramente 0 angulo 6timo de proje~ao.

De acordo com a nossa analise do movimento de urn projetil, urn corpo que cai ceuma altura h acima do solo levani 0 mesmo tempo para atingir 0 solo que urn outro corp<>lan~ado horizontalmente, do. mesma altura. Em cada caso, a distancia de queda do corp<>e

Quando as eleva~iies iniciale final forem iguais,a trajet6ria de 450

correspondera ao maior alcance

--------~

Eleva~iiofinal

da por y = grZ/2 (com y rnedido para baixo, a partir da altura inicial). Este fato notavelpode ser dernonstrado com facilidade. Foi cornentado, pela prirneira vez, durante 0 Renasci-mento, por Galileo Galilei (1564-1642), a prirneira pessoa a dm uma descri~ao modern a,uantitativa, do rnovirnento dos projeteis que discutirnos. No trecho seguinte, Galileo ilus-

tra a validade do tratarnento, como rnovirnentos independentes, das cornponentes horizontale vertical do rnovirnento de urn projetil:"

Imagine 0 navio parado, e que 0 tempo de queda de uma pedra, do alto do mastro, seja de duasbatidas do pulso. Deixe, entao, 0 navio mover-se e largue a mesma pedra, do mesmo lugar; doque dissemos, ela levanl duas pulsw;:6es para chegar ao tombadilho. Durante estas duas pulsa-~6es, 0 navio andou, digamos, vinte jardas, de maneira que 0 movimento natural da pedra foiuma linha diagonal muito maior que a do primeiro movimento, que era uma linha reta e perpen-dicular, medindo apenas a altura do mastro. Agora, admitindo que 0 navio ande mais depressa,a pedra ao cair deve seguir linha diagonal ainda maior que a outra: a \'elocidade do navio podeser aumentada de qualquer quantidade, e a pedra ao cair descrevera linhas diagonais sempremaiores e maiores, percorrendo-as sempre no tempo d::)s duas pulsa<;6es. Da mesma maneira,caso urn canhao, num nlvel perfeito, em cima de uma torre, dispare paralelamente ao horizonte,de nada importa tel' uma carga pequena ou grande, de modo a fazer a bala cair a mil jardas, oua quatro mil, ou a seis mil, ou a dez mil, ou mais; todos estes tiros le\ariam 0 mesmo tempo ecada tempo seria igual ao que a bala levaria da bbca do canhao ate 0 solo. caindo retamente parabaixo, sem qualquer impulso.

Urn guarda de urna reserva florestal deseja atingir urn mac<1COque esta pendurado numgalho de arvore com llm dardo tranqUilizante. 0 guarda visa diretamente 0 macaco,sern lembrar que 0 dardo descrevenl uma trajet6ria parab6lica e ira passar abaixo dornacaco. Este porem, percebendo 0 disparo, larga 0 galho e cai na vertical, tentandoevitar 0 dardo. Mostrar que o'macaco sera atingido, independentemente da velocidadeinicial do dardo, desde que esta velocidade tenha modulo suficiente para 0 dardo co-brir a distancia horizontal ate a arvore, antes de atingir 0 solo, e que 0 macaco largueo galho no instante em que 0 dardo for disparado.

Esta situa~ao pode ser dernonstrada, experiinentalrnente, com urn alvo suspen-so pOI' urn eletrofrna. Quando 0 dardo deixa 0 cano da arrna, 0 circuito do sistema e'aberto e 0 alvo cai. Seja x a distancia horizontal ate a arvore, e h a altura inicial dornacaco, conforme esta na Figura 3-24. 0 dardo e disparado sob urn angulo dado pOI'tan e = h/x. Se nao houver gravidade, 0 dardo atingira a-altura h, no instante t em que teracoberto a distancia horizontal x:

Figura 3-23 Se um projetilatinge urn ponto com ek\a<;aomenor que a eleva~ao do disparoinicial. 0 alcance e ma"imoquando 0 angulo de proje<;ao forum tanto menor que 45'.

Figura 3-24 0 macaco e 0 dardo,Exemplo 3.9. A altura do dardo, emqualquer instante, e y = voJ - gt'l2. Aaltura do macaco, em quaiquer instantee h - gt'l2, que ea mesma do darclo,pois h = voJ. 0 dardo, portanto, sempreatingira 0 macaco, desde que ele caiano instante em que 0 dardo fordisparado.

No entanto, em vit1ude da gravidade, 0 dardo tern uma aceleras:ao wniNo tempo t = X/Do" 0 dardo atinge a altura y dada por

Esta altura e menor que h e a diferens:a e 8(2/2, que e exatamente a distancia que 0

macaco cai no mesmo inten'alo de tempo. Nas demollstra~6es correntes, em classe.velocidade inicial do dardo e variada, de modo que com valores grandes de Do 0 al '0

e atingido nas proximidades da altura inicial, e com valores pequenos de Do e atingidoquase ao cair no piso. '

12. Qual a aceleras:ao de urn projelil no topo dOlsuA trajetoria')13.. A velocidacle de urn carpo pode muclar de dires:ao enquanto a sua aceleras:ao permanec~

,'constante, em modulo e em dires:ao? Se puder. d@urn exemplo.

o movimento circular e comum na natureza e tambem na nossa experiencia cotidiana .. -\terra desloca-se numa orbita quase circular em tomo do sol; a lua, em tomo da terra. As rdas giram em cfrculos, os CatTOSdescrevem arcos de circunferencia de cfrculo ao fazerer::curvas, e assim por diante. Nesta ses:ao, vamos considerar uma partfcula que descreve ucircunferencia de cfrculo com velocidade cte modulo constante. Na linguagem diaria, takadissessemos.que, em virtude de 0 valor cia velociclacle ser constante,.a partfcula niio e 1<W2.

acelerada. Porem, definimos a aceleras:ao como a taxa de varias:ao do vetor velocida e. ~quando uma partfcula se desloca numa circunferencia de cfrculo, 0 seu.vetor velociclade m~C::.continuamente de clires:ao ..

Newton foi urn dos primeiros a reconhecer a importiincia do movimento cir .:!:'".Mostrou que quando uma partfcula descreve um cfrculo de raio r, com uma velocida e e:-calar con stante D, a sua aceleras:ao tern 0 modulo D'/ r e esta sempre dirigida para 0 cen ro Cl.'cfrculo. Esta acelet;a~ao e denominada acelera<;ao centripeta.

Consideremos um satelite que se move numa 6rbita circular em tomo cia terra. P =-que 0 satelite nao cai na tetTa? A resposta nao e a de. que a fors:a da gravidade nao alua so' =-<=o satelite. A 200 km da superffcie da terra, a far~a gravitacional que atua sobre urn a ell:£' ecerca cle 9490 da for~a que atuaria se 0 satelite estivesse na superficie da terra. 0 sah~li e. -

..-r----- ¥i'5G7

·.. para a terra, mas, em virtude da sua velocidade tangencial, evita continua-queda. A fim de perceber este efeito, consideremos a Figura 3c25. Se 0 satelite nao

om acelera«ao, iria do ponto P, ate 0 ponto Pz, num certo intervalo de tempo t.hega ao ponto Fz, na sua orbita circular. Assim, num certo sentido, 0 satelite "cai"

:::scin ia h que aparece na figura. Se 0 intervalo de tempo t for muito pequeno, os pontos Pz e- . estarao sobre uma mesma reta radial, con forme esta na figura, e podemos usar a aproxima--- e I por ser muito menor que 0 raio da orbita r. (Pela figura, podemos ver que quanto menor

nzzrmos 0 intervalo de tempo t, menor sera a distancia ut e menor sera h, para qualquer raioiral r que for dado.) Podemos entao calcular h no triangulo retangulo cujos lados SaDut, r e

~ h. VOla vez que r + he a hipotenusa do triangulo retangulo, 0 teorema de Pitagoras da

(r + h)2 ( vt)2 + )r-

r2 + 2hr + h2 v2t2 + )r-

h(2r + h) ? ?= vcr

Com interval os de tempo t muito curtos, h sera muito menor que r e podemos desprezar hem compara«ao com 2r, no fator entre parenteses. Entao,

hi (v2 J 2'" - - t2 r

A compara<;:ao entre esta formula e a expressao do movimento com acelera > 500 constante h =atz/2 mostra que 0 modulo da acelera<;:ao do satelite e

A dire«ao do vetor acelera<;:ao e radial, para 0 centro do circulo.Podemos mostrar que este resultado vale, em geral, para 0 movimenro ir ul com velo-

cidade de valor constante, analisando os vetores posi<;:ao e velocidade (Figura? -_6). 0 \'etorvelocidade inicial V, e perpendicular ao vetor posi<;:ao inicial f" Vol curto inr~l\' 10 de tempodepois, a velocidade e vz, perpendicular a fz. 0 angulo entre os vetores velocid de e igual aoangulo entre os vetores posi<;:ao, pois os deslocamentos angulares dos vetores posi ,ii.o e \"eloci-dade devem ser iguais, a tlm de pennanecerem mutuamente perpendiculares. e omarmo 0

intervalo de tempo como muito pequeno, 0 m6oulo do deslocamento lilf: e aproxima amenreigual a distancia percorrida sobre 0 arco ils. A acelera<;:ao media e razao en re \. ri ·0 dvelocidade ilv = Vz - V, eo intervalo de tempo ilt. Pela figura, vemos que com..i mu' 0 .

no, a varia<;:ao de velocidade (e, portanto, a acelera«ao media) e aproximadamen e.. dicu-lar aos vetores velocidade e esta dirigida para 0 centro do circulo. Podemos achar 0 mooacelera<;:ao media pelo angulo tlenos triangulos semelhantes da Figura 3-26. Temos

onde reo raio do circulo e u e a velocidade escalar da partfcula. Se escre\'ermos agora que..is = u tlt, temos

~-....","

'", ,, ,; ,

; ,, ,I \I \I II II II J, ,, I\ I, I\ I, I, ,, .-'... '........•.. ~.".'"..... __ .•........

Figura 3-25 Satelite que se move coma velocidade escalar constante v, numa6rbita circular de raio r, em tomo daterra. Se 0 satelite nao uvesse umaacelera~ao dirigida para a terra,descreveria uma reta do ponto P, ate 0ponto P" no intervalo cle tempo t. Em.virtude da acelera~iio, 0 satelite cai adistilncia h durante este intervalo detempo. Com t pequeno.h = ~(v2/r)t2 = ~at2.

---•...... .............

... .•..•.

I,, v,,,,

I,,,,,.;

Figura 3-26 Os vetores posi~1ioevelocidade de uma particula que sedesloca sobre uma circunferencia decirculo. 0 ilngulo !l8entre v, e v, eigual ao ilngulo entre r, e r,. Com 0

intervalo de tempo muito pequeno, avaria~1iocia velocidade 6.v e aproxima-clamente perpendicular a v e apontapara dentro, para 0 centro do circulo.

Urn sate lite se move, com velocidade con stante, numa orbita circular em tomo do centroda terra, nas vizinhan<;:as da superffcie da terra. Se a sua acelera<;:ao for 9,8 m/s2, quala sua velocidade e quanta tempo leva para efetuar uma revolu<;:ao completa?

A acelera<;:ao e a mesma que a de qualquer corpo que cai livremente nas vizi-nhan<;:as da terra. Tomaremos 0 raio da terra, cerca de 6.370 km, como 0 raio aproxi-mado da orbita. (as satelites reais sao postos em orbita a algumas centenas de quil6-metros acima da superffcie da terra, eo raio da orbita e, conseqiientemente, urn tantomaior. Por isso, a acelera<;:ao e urn tanto menor que 9,81 m/s2, em virtude da diminui-<;:aoda for<;:agravitacional com a distancia ao centro da terra.) A velocidade do satelitepode ser calculada pel a Eq. 3-22:

v2 rg = (6.370 km)(9,81 m/s2)

v 7,91 km/s

2nrv

2n(6.370 km)7,91 km/s

A Figura 3-27 e urn desenho do System of the World, de Newton, e ilustra a liga<;:aoentre 0 movimento de urn projetil e 0 movimento de urn satelite. A descri<;:ao de Newton e aseguinte:*

Que os planetas, mediante for9as centrfpetas, podem ficar retidos em certas ... orbitas, podemoscompreender facilmente, ao considerarmos os movimentos dos projeteis. Pois uma pedra que elan9ada e for9ada, pela pressao do seu proprio peso, a sair da trajetoria retilfnea que deveria terseguido, pela exclusiva a9ao do lan9amento, e a descrever uma linha curva no ar; e, ao longo destecaminho curvo, acaba finalmente no chao; e quanto maior a velocidade com que for projetada, maislonge in!, antes de cair na terra. Podemos, portanto, admitir que se a velocidade for sucessivamenteaumentada, eladescre"eria arcos de 1,2,5, 10, 100, 1.000 milhas antes de chegar ao chao; ate que,ao cabo, ultrapassando os limites da terra, ela entraria no espa90, sem atingir 0 solo.

Se uma partfcula se move num cfrculo, com uma velocidade escalar variavel, h<iumacomponente da acelera<;:ao que e tangente ao cfrculo e tambem uma acelera<;:ao centrfpetadirigida para 0 centro. A componente tangencial da acelera<;:ao e simplesmente a taxa devaria<;:aoda velocidade escalar, enquanto a componente radial para dentro tern 0 modulo u2/

r. Em qualquer movimento geral sobre uma curva, podemos tratar uma parte da curva comourn arco de cfrculo (Figura 3-28). A partfcula tern entao uma acelera<;:ao centrfpeta u2/r, di-rigida para 0 centro de curvatura, e se a velocidade escalar for variavel, uma acelera<;:ao tan-gencial com 0 valor du/dt.

~;

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;;,,,,,,,,

I,,

':-;eMon. System oJthe World. Londres. 1728. Edi,ao modem a em Newton. Principia. tradu,ao de Andrew Motte. University ofCalifornia Press. Berkeley. 1960. Com autoriza,ao de The Regents of the University afCalifornia.

Figura 3-27 Desenho estampado noSystem of the World, de Newton,mostrando a liga9ao entre 0 movimentode urn projetil e 0 movimento de urnsatelite.

Figura 3.28 Pode-se imaginar que umaparticula que se desloca sobre umacurva qualquer esteja em movimento,durante urn pequeno intervalo detempo, sobre urn arco circular. 0 vetoracelera9aO instantiinea tern uma .componente a" de valor 1)2/r, dirigidapara 0 centro de curvatura do arco dacurva, e uma componente a" de valordv/dt, tangente 11 curva na dire9ao domovimento.

1. As grandezas que tern magnitude e dire<;ao, como deslocamento, veloci<;ao,sao grandezas vetoriais.

2. Os vetores podem ser somados graficamente, colocando-se a origem detremidade do outro e tra<;ando0 vetor resultante da origem do primeiro ate e:c_do segundo. A subtra<;ao de um vetor B e analoga a adi<;aode - B, onde - B e -com valor igual a B mas com dire<;aooposta.

3. Os vetores se adicionamanaliticamente mediante 0 calculo inicial das compon~-~ -vetores, dadas por

Ax A cos eAy A sen e

onde e eo angulo entre A e 0 eixo dos x. A componente x do vetor resultante e a -0

componentes x dos vetores individuais, e a componente y, a soma das componente- ...~vetores individuais.

4. 0 vetor posi<;ao r aponta de uma origem arbitraria para a posic;:aoda partfcula. 1\0 ._..~-vain de tempo C!..t, r se altera por C!..r.0 vetor velocidade ve a taxa de variac;ao do 'cposi<;ao. 0 seu valor e a velocidade escalar e a sua dire<;ao e a direc;:aodo moviQ~'-sobre a tangente a trajet6ria ao Iongo da qual a partfcula se desloca. 0 vetor veloci :o-~

instantanea e dado pOl'

j. L\r1m -

£11-->0 L\t

5. 0 vetor acelerac;:aoe a taxa de variac;:aodo vetor velocidade. 0 vetor acelerac;:aoinst mi-nea e dado por

1. L\v1m -

£11-->0 L\t

Vma partfcula esta acelerada se 0 seu vetor velocidade esta mudando de m6dulo, ou d=dire<;ao,ou de ambos.

6. Se uma partfcula se desloca com a velocidade vpA em relac;:aoa um sistema de coorden::.-das, que por seu tumo se desloca com a velocidade VAS em rela<;aoa outro sistema c.=coordenadas B, a velocidade da partfcula em relac;:aoa B e

7. No movimento de um projetil, os movimentos horizontal e vertical sao independente .0movimento horizontal tem a velocidade constante que e igual a componente horizonda velocidade inicial:

Vr vox = Vo cos eL\x voxt

o movimento vertical e semelhante ao movimento unidimensional, com a acelerac;ao "gravidade g dirigida para baixo:

A distancia total, coberta pelo projetil, denominada alcance R, encontra-se pelo al .0

inicial do tempo total que 0 projetil fica no ar e depois pela multiplicac;:aoentre e te tee-

e omponente horizontal constante da velocidade. No .caso especial de as elevac;5esial e final serern as rnesrnas, 0 alcance esta relacionado ao angulo de projec;ao por

V6 sen 28

• e e moLx.irnocom 8 = 45'.Quando urn corpo se move sobre urn drculo, com velocidade uniforme, tern uma acele-ra,ao, pois a sua velocidade tern direc;ao variavel. Esta acelerac;ao e a acelerac;ao centri-petu, e aponta para 0 centro do drculo. A magnitude da acelerac;ao centripeta e

Sugestoes para Outras Leituras

Drake, Stillman e James MacLachan: "Galileo' s Discovery of the Para-bolic Trajectory," Scientific American, man;o de 1975, pag. 102.

2. Ser capaz de calcular as componentes de urn vetor e usa-las parasomar e subtrair vetores,

3. Ser capaz de exprimir vetores arbitrarios em termos dos vetoresunitarios.

4. Ser capaz de combinar as velocidades relativas a fim de exprimira velocidade de uma partfcula em rela"ao a urn sistema decoordenadas que esta em movimento em rela"ao a urn outro sistemade coordenadas. .

S. Saber que no movimento de urn projetil, os movimentos horizon-tal e vertical sac independentes, e ser capaz de usar esta informa<;aopara resolver problemas de projeteis.

6. Saber que quando uma partfcula se move sobre urn cfrculo comvelocidade constanCe(velocidade circular uniforme) tern uma acele-ra"ao centrfpeta que vale u2/r, dirigida para 0 centro do cfrculo.

VetoresEscalares

etor deslocamentoRegra do paralelogramo para adi"ao vetorialComponentes cartesianas de urn vetor

Galilell sabia, 30 ar as ames de pllblicar a resllitado, que um corpocademe. com 1II1lacOlnponeme hori~omal da \'elocidade, descreve umapar'abola, confonne mos/Talll manllscritos ainda n(IOpublicados, (Verrambelll as re erh/cias do Cap/wlo 2,)

Veror unitarioVetor posi<;aoVetor velocidadeVeror acelera"aoVelocidade relativaAlcanceAcelera<;ao centrfpeta

C. Cerro ou errado: se a atirma<;ao for correta, explique 0 porque. Sefor falsa, de urn contra-exemplo.

1. 0 modulo da soma de dois vetores deve sempre ser maior que 0

modulo de qualquer dos vetOl'es parcela,

2. 0 vetor velocidade instantiinea esta sempre na dire<;aodo movi-mento.

3. 0 vetor acelera"ao instantiinea esta sempre na dire<;aodo movi-mento.

7.0 tempo necessaria para que uma bala, disparada horizontalmen-te, atinja a solo e igual ao tempo que ela leva, em queda livre, damesma altura que a disparo.

1. Um urso anda 10 m na dire"iio nordeste e depois 10 m na dire"iio leste.Mostrar graficamente cada deslocamento e achar 0 vetor deslocamentoresultante.

2. (a) Urn homem anda ao longo de urn arco circular, da posi"iio x == 5m, y == 0, ate a posi"iio final x== 0, y== 5 m. Qual 0 seu deslocamento? (b)Urn segundo homem anda, a partir da mesma posi~iio inicial, sobre 0

eixo dos x ate a origem, e depois sobre 0 eixo dos y ate y == 5 me x == O.Qual 0 seu deslocamento?

3. Uma trajetoria circular tern 0 raio de 10 m. Urn sistema de coordena·das xy tern a origem sobre a circunferencia de circulo e sobre 0 eixo dosy positivos esta 0 centro do c(rculo. Uma mulher principia a andar, naorigem, e percorre a circunferencia do cfrculo, com marcha constante,retomando a origem exatamente I min depois da partida. (a) Achar 0

modulo e a dire~iio do deslocamento em rela~iio a origem 15,30,45 e60 s depois da partida. (b) Achar 0 modulo e a direqiio do deslocamentoem cada um dos quatro deslocamentos sucessivos a cada IS s de mar-chao (c) Como se relaciona 0 deslocamento nos primeiros 15 s ao deslo-camento nos segundos IS s? (d) Como esta relacionado 0 deslocamentonos segundos IS s ao deslocamento no ultimo intervalo de 15 s?

4. Com os dois vetores A e B que aparecem na Figura 3-29, achar gra-ficamente 0 seguinte: (a) A + B, (b) A - B, (c) 2A + B, (d) B - A, (e)2B - A.

S. Urn campista anda 2 km para leste, a partir do acampamento, depoisdobra a esquerda e anda 2 km ao longo de urn arco de c(rculo centradono acampamento, e finalmente anda"l km em linha reta para 0 acampa·mento. (a) A que distancia do acampamento esta 0 campista? (b) Quala dire"iio da posi"iio do campista, fixada em rela"iio ao acampamento?(c) Qual a raziio entre 0 deslocamento final e a distancia total percorridapelo campista?

6. Uma excursionista parte, as 8 horas da manhii, para uma caminhadaem terreno plano. As 9 horas esta a 2 km a leste do ponto de partida. As10 horas esta a I km a noroeste de onde estava as 9 horas. As II horases • a 3 km ao norte de onde estava as 10 horas. -(a) Fazer urn desenhoffiosrrando, com vetores, os sucessivos deslocamentos, com a origem

~2 vetor principiando na extremidade do vetor anterior. Quais oso e as dire,,6es destes deslocamentos? (Identificar a dire~iio de

" -e or pelo iingulo que faz com a dire"iio leste.) (b) Quais siio as

componentes norte e leste destes deslocamentos? (c) A que - ±..~a excursionista, as II horas, do ponto de partida? Em que du'~.c-j)e~~(d) Desenhar, em escala, os tres vetores deslocamento. e OJIl2- - ~ficamente. Os segmentos de reta sucessivos represemarn a L ~ ':"

seguida real mente pela excursionista? A distancia percorrida pe'~cursionista e igual a soma dos modulos dos tres vetores des!ClCal::;.."'-'"

7. Achar as componentes cartesianas dos vetores que estiio no ptern 0 modulo A e fazem urn angulo e com 0 eixo dos x, co '0=',"Figura 3-30, no caso dos seguintes valores de A e de e: (a) A = 10== 30'; (b) A == 5 m, e == 45'; (c) A == 7 km, e == 60'; (d) A == - .'90';(e) A == IS km/s, e == ISO'; (j) A == 10 mis, e == 240'; e (g) A ==S2, e == 270'.

8. Urn plano esta inclinado 30' em relayiio ao plano horizontal. Escolhaurn eixo dos x sobre 0 plano, apontando para baixo, e urn eixo dos "perpendicular ao plano. Achar as componentes x e y da acelera"iio Czgravidade, cujo modulo e 9,81 mls2 e esta dirigida verticalmente ambaixo.

9. Os vetores deslocamento A e B que aparecem na Figura 3-29 t~c::.ambos 0 modulo 2 m. (a) Achar as componentes x e y. (b) Achar ascomponentes, 0 modulo e a dire"iio da soma A + B. (c) Achar as com,ponentes, 0 modulo e a direqiio da diferenqa A-B.

3-3 Vetores Unitarios e Multiplicaqao de Vetores porEscalares

10. Achar 0 modulo e a direqao dos seguintes vetores: (a) A == 5i + ~j.(b) B == lOi - 7j e (c) C == -2i - 3j + 4k.

11. Achar 0 modulo e a direqiio de A, de B e de A + B, com (a) A == -':'j- 7j, B == 3i - 2j e (b) A == Ii - 4j, B == 2i + 6j.

12. Urn cubo tem a aresta de 2 m e tern as faces paralelas aos pIanos ~coordenadas cartesianas, com urn vertice na origem. Uma forrniga 2:'-

te da origem e percorre tres arestas ate chegar ao vertice mais afasda origem. Escrever 0 vetor deslocamento da fomliga mediante os ve,tores unitarios i,j ek, e achar 0 modulo do seu deslocamento.

13. Descrever os seguintes vetores mediante os vetores unit:irios ie j:(a) a velocidade de 10 mls com urn angulo de elevaqiio de 60': (b) u.::::vetor de modulo A == 5 me e == 225'; e (c) urn deslocamento a p if Czorigem ate 0 ponto x == 14 m, y == - 6 m.

14. Com 0 vetor A == 3i + 4j, achar outros Ires vetores B, tamDeplano xy, que tenham A == B mas A ¥- B. Escrever os vetores rn 31::::as respectivas componentes e exibi-Ios num grafico.

1 5eA =-i - 4j e B = -7,5i + 6j, escreveruma equa~ao que relacioneA~B.

1. ill vetor A(t) tern modulo con stante mas a sua dire~ao se altera deeira uniforme. Desenhar os vetores A(I + !11) e ACt),para urn inter-

,-alode tempo pequeno, e achar graficamente !1A = ACt + !11) - A(t).Como esta a dire~ao de!1A relacionada a A, quando 0 intervalo de tem-po for pequeno?

18. Consideremos a trajetoria de uma partfcula que se desloca no espa-~. (a) Como esta 0 vetor velocidade relacionado geometricamente atiajetoria da partfcula? (b) Desenhar uma trajetoria curva e desenhar 0

• vetor velocidade em diversas posi~6es da partfcula sobre a trajetoria.

19. Urn operador de radar estaciomirio determina que urn navio estaLOkm aosul de onde se encontra. Uma hora depois, 0 navio esta a20 km a sudeste da sua posi~ao. Se 0 navio se deslocar a velocidade cons-tante, sempre na mesma dire~ao, qual a sua velocidade neste intervalode tempo?

.20. As coordenadas de posi~ao (x, y) de uma partfcula sao (2 m, 3 m)em/=O; (6m, 7 m)em 1=2 s; e (13 m, 14 m)em/= 5 s. (a) Acharvm

entre I ==0 e I = 2 s. (b) Achar vm de I = 0 ate t = 5 s.

.21.0 vetor posi~ao de uma partfcula e dado por r = 5ri + lOrj, onde (esta em segundos e r em metros. (a) Desenhar a trajetoria da partfculano plano xy. (b) Achar as componentes de v e 0 respectivo modulo.

~2. Uma bola e lan~ada diretamente na vertical, para cima. Considere-~os 0 intervalo de tempo de 2 s, !1r = t2 - II> onde I, e 0 instante I santerior aquele em que a bola atinge 0 seu ponto mais elevado, e 12 e 0ipstante I s posterior ao instante em que a bola esta no ponto mais ele-vado. Achar (a) a varia~ao da velocidade escalar, (b) a varia~ao da ve-locidade e (e) a acelera~ao media, tudo neste intervalo de tempo.

23. A Figura 3-31 mostra a trajetoria de urn automovel que e constitufdapor segmentos de reta e arcos circulares. 0 automovel parte do repouso,no ponto A. Depois de atingir B, roda a velocidade constante ate chegar aE. Ao atingir F, esta em repouso. (a) Qual a dire~ao do vetor velocidadeem cada ponto medio dos segmentos AB, BC, CD, DE e EF? (b) Em quepontos,entre os mencionados, 0 automovel tern uma acelera~ao? (e) Como.se comparam os modulos das acelera~6es sobre os arcos BC e DE?

24. Uma partfcula se move, inicialmente, na dire~ao oeste, com a velo-cidade de 40 m/s, e 5 s depois se desloca para 0 norte com a velocidadede 30 m/s. (a) Qual a varia~ao do modulo da velocidade da particuladurante este intervalo de tempo? (b) Qual foi a varia~ao da diie~ao davelocidade? (e) Quais sao 0 modulo e a dire~ao de!1v sobre este inter-valo de terripo? (d) Qual 0 modulo e a dire~ao de 3m neste intervalo?

25. Em 1= 0, uma particula esta na origem com uma velocidade escalar de40 m/s e 8= 45'. Em 1= 3 s, a partfcula esta emx= 100 m e y= 80 m, comvelocidade escalar de 30 m/s e 8 = 50'. Calcular (a) a velocidade media e(b) a acelera"ao media da particula durante este intervalo de tempo.

26. Uma nadadora cruza transversalmente urn rio, nadando a 1,6 m/sem rela~ao a agua parada. Atinge urn ponto 40 m ajusante do ponto damargem diretamente em frente daquele de onde partiu. A largura do rioe 80 m. (a) Qual e a velocidade da correnteza do rio? (b) Qual a veloci-dade da nadadora em rela"ao as margens? (e) Em que dire"ao deverianadar de modo a chegar ao ponto da margem oposta diretamente emfrente daquele de onde partiu?

27. ma aeronave voa a velocidade de 250 kmJh em rela"ao ao ar quies-cente.. Ha urn vento que sopra a 80 km/h na dire"ao nordeste (isto e, 45'a leste da dire~ao norte). (a) Qual deve ser a dire"ao do voo para que aaerona\'e se desloque para 0 norte? (b) Qual e a velocidade da aeronaveem rela,ao ao solo?

28. Urn missi!. disparado de urn jato. tern inicialmente uma acelera~aode 500 m/s' e que dura 3 s. A velocidade do jato e 500 m/s, dirigida paraleste. (a) Quais sao a posi~ao , a velocidade e a acelera~ao do mfssil,observadas pelo piloto do jato, 2 s depois do disparo? (b) Quais sac aposi~ao e a \'elocidade do missil, observadas por uma pessoa no solo, 2 sdepoi do disparo? (Desprezar a acelera~ao da gra\·idade.)

29. lima bala e disparada horizontal mente com uma velocidade inicialde 2.+5m/s. A arma esta 1,5 m acima do nlvel do solo. Quanto tempofica a bala no ar?

30. Urn trans porte supersonico voa horizontal mente, a uma altitude de20 km. com a velocidade de 2.500 km/h, quando urn motor se despren-de. (a) Quanto tempo leva 0 motor para atingir 0 solo? (b) Qual a dis-tancia horizontal coberta pelo motor ate atingir 0 solo? (e) Qual a dis-tancia entre 0 motor e a aeronave (admitindo que esta continue a voarcomo se nada tivesse acontecido) quando 0 motor atinge 0 solo? Des-prezar a resistencia do ar.

: 31. Urn canhao esta com urn angulo de eleva~ao de 45' e dispara uma""£:alacom a velocidade de 300 m/s. (a) A que altura ascende a bala? (b)Quanto tempo permanece a bala no ar? (c) Qual 0 aldmce na horizontal?

32. Urn projetil e arremessado com a velocidade uO' num angulo 80 coma horizonta!. Achar uma expressao para a altura maxima que atinge acicma do ponto de partida em termos de ua' 80'e g.

33. Urn projetil e disparado com a velocidade inicial de 30 m/s. numiingulo de 60' com a horizontal. Qual a velocidade do projetil no pontomais elevado da trajetoria? Equal entao a sua acelera~ao?

34. Uma bola e arremessada a 140 kmJh visando atingir urn alvo a 18,4 mde distancia. Desprezando a resistencia do ar (0 que pode nao ser bas-tante justificavel), estimar 0 caimento da bola provocado pela gravida-de no instante em que chega ao alvo.

35. Uma particula percorre uma trajetoria circular, de raio 5 m, com\'elocidade constante de 15 mls. Qual 0 modulo da sua acelera<;:ao?

36. Urn piloto de aviao sai de urn mergulho seguindo uma curva em arcode circulo cujo raio e 300 m. No fundo da curva, quando a sua velocida-de for 180 km/h, qual a dire<;:aoequal 0 modulo da acelera<;:ao?

37. Urn corpo percorre com a velocidade constante u uma trajetoria cir-cular de raio r. (a) Se u for duplicada, como se altera a acelera<;:aoa? (b)Se r for duplicado, como sera a alterada? (c) Por que e impossivel queurn corpo fa<;:auma volta perfeitamente aguda?

38. Na Figura 3-32, as particulas deslocam-se no sentido anti-horariosobre cfrculos de raio 5 m, com velocidades que podem ser variaveis.Em certos instantes, aparecem indicados os vetores acelera<;:ao.Em cadaurn dos instantes mencionados, achar os valores de u e de du/dl.

---jV a=20...." "I ," \I a'

I \, r=5m / II • I1 I1 I\ I\ I, ,, ,

" "...... _- ... -;'

v••••~--- a = 30 mis'

", a I"I /'

, 30° "I / \I / 1: r=5m • II I\ I\ I\ I" ,, ,

"..... ;,'.... _- ..---

...... .•, ..I '

I ', \

I ":r=5mi \I • a I1 I\ I\ 1\ I, I

" "'.....••. _- •.•.."";'

"39:"Um garoto faz girar uma bola presa a urn fio num cfrculo horizontal''lIe/raio I m. Quantas voltas por minuto deve a bola fazer para que a

acelera<;:aodirigida centripetamente tenha 0 mesmo modulo que a ace-lera<;:aodevida :1 gravidade? '

~O.Uma partfcula percorre urn circulo de raio 4 em, eleva 8 s para com-letar uma volta. Tra<;:arem escala a trajetoria da partfcula e indicar a

posis-ao da particula em int\!rvalos de I s. Desenhar os vetores desloca-men 0 em cada urn destes intervalos de 1 s. Estes vetores tambem indi-

os verores velocidade media nestes intervalos. Achar graficamentea \'aria,ao da velocidade media t.v em dois intervalos consecutivos deI _Comparar ~ v/6,,1, estimado graficamente, com a acelera<;:aoinstan-ii ea -ulada a partir de a, = u'lr.

~~....•• --

41. Uma partfcula se desloca no plano.q com a a elet = 0 a partfcula esta em r = 4 m i + 3 m j, Em t = _ s..para r = 10 m i - 2 m j, e a sua velocidade e v = -Qual e a acelera<;:aoda partfcula? (b) Qual a \'elociem fun<;:iio'do tempo? (c) Qual 0 vetor posis-ao da panido tempo?

42. Uma particula se desloca no plano xy com a acelera,-oNo instante zero, a particula esta em x = 4 m. v = 3 m. A a ele,dada pelo vetor a = 4 mIs' i+ 3 mis' j. (a) A~-har0 \'eror \'doc: -i -=~1= 2 s. (b) Achar 0 vetor posi<;:aoem 1= 4 s. Dar na resposta 0-e as dire<;:6es.

43. Nas gravuras (a) ate (c), da Figura 3-33, as particulas se c'esem trajetorias circulares, com velocidades vari,iveis. Apare eguns instantes, os vetores velocidade. Achar 0 vetor acelera -0entre cada parde posi<;:6esdado em cada caso. '

1 = 0V = 20 mls

..--,..,I,,

1I,I1\\ 1\ ," ,, " v = 60 m/s"..... --,,'"""'-- .. ---

"',,\,

\,1 = 2 s

1 = 0V = 20 mts

,,--..,I,,

1I,I,\\\

"," '_- '

1= 0V = 20 m/s

.•-- 1=1,16s,,; ~" '\ v = 43,2 mls, ,

I \I ,

: Il' I\ I\ I\ ," ,, I, ..'.... ,.'.... _-----

4-t roa particula percorre, com velocidade constante, uma trajet6riade raio 5 ro, localizada com centro na origem. Em t = 0 ela esta em x =>[Jl, y = 0, eleva 100 spara completar uma volta. (a) Qual a velocidade(fa partfcula? (b) Dar 0 m6dulo e a direr;ao do vetor posir;ao r nos ins-taJltes t = 50 s, t = 25 s, t = 10 set = O. (e) Achar 0 m6dulo de vm eQIOStrargraficamente a sua direr;ao em cada urn dos"seguintes interva-losdetempo: t=Oat= 50 s, t= 0 a 1= 25 s e 1=0 al= 10 s. (d) Comparari"•• no intervalo 1= 0 a t = 10 s, com a velocidade instanranea em t = O.

45. Uma particula tern 0 vetor posir;ao dado por r = 30ti + (40t - 5t2)j,onde r esra em metros e t em segundos. Achar os vetores velqcidadeiDStanraneae acelerar;ao instantanea"em funr;ao do tempo t.

46. Uma partfcula tern a acelerar;ao constante a = 6i + 4j mls2. No ins-tantet= 0, a velocidade e nula e 0 vetorposir;ao e ro= (10 m)i. (a) Acharos vetores velocidade e posir;ao em qualquer instante t. (b) Achar a equa-yiioda trajet6ria da partfcula no plano xy, e desenhar a trajet6ria.

47. Uma pedra e arremessada horizontal mente, do topo de uma torre, eatinge 0 solo a distancia de 18 m medida da base da torre. (a) Achar avelocidade com que a pedra foi arremessada, sabendo que a torre tern24 m de altura. (b) Calcular a velocidade da pedra ao atingir 0 solo.

48. Urn trem de carga est a se movendo com a velocidade constante de10 mls. Urn homem, sobre urn vagao-plataforma, lanr;a no ar uma bolae a apanha quando ela cai. Em relar;ao ao vagao-plataforma, a velocida-deinicial da bola era 15 mis, vertical mente para cima. (a) Qual 0 m6du-10e qual it direr;ao da velocidade inicial da bola vista por urn outro ho-roem que estajunto da via ferrea? (b) Quanto tempo fica a bola no ar, deacordo com 0 homem que esta no trem? E de acordo com 0 homem queesra fora do trem, no solo? (e) Qual a distiincia horizontal que a bolapercorre entre 0 lanr;amento e 0 retorno, de acordo com 0 homem notrem? E de acordo com 0 homem fora do trem, no solo? (d) Qual a ve-loeidade minima da bola durante 0 seu vao, de acordo com 0 homem notrem? E de acordo com 0 homem no solo? (e) Qual a acelerar;iio da bolade acordo com 0 homem no trem? E de acordo com 0 homem no solo?

49. Urn projetil e disparado do topo de urn penhasco de 200 m, sobran-'ceiro a urn vale (Figura 3-34). A velocidade inicial e de 60 mls e faz urnangulo de 60' com a horizontal. Desprezando a resistencia do ar, onde 0projetil atinge 0 solo?

·T200m

J

---- ...",.-.-,,,

/uo= 60m/s1~60°

~~~""" ... ... ...,,,,,,,,,

\,\\\\\

'.'\1\I

50. Urn carro corre ao longo de uma estrada, a 25 mls. Ao passar poruma transversal perpendicular a estrada, urn passageiro do carro arre-messa fora uma latinha, com urn angulo de elevar;ao igual a 45', num• lano perpendicular ao movimento do carro. A velocidade inicial daIatinha, em relar;iio ao carro, e 10 mis, e ela e lanr;ada de uma altura de1,2 m acima do solo. (a) Escrever a velocidade inicial da latinha (emrela~o a estrada) em termos dos vetores unitarios i, j e k. (b) Onde a

. a atinge 0 solo?

51. Urn carro A esta rodando para leste, a 20 mls. Quando 0 carro A passapela encruzilhada que aparece na Figura 3-35, 0 carro B parte do repou-so, a 40 m ao norte da encruzilhada, e se desloca para 0 sui com a ace-lera~ao constante de 2 mls2• (a) Qual a posir;ao de B em relar;ao aA, 6 sdepois de A ter passado pela encruzilhada? (b) Qual a velocidade de Bem relar;ao a A em t = 6 s? (e) Qual a acelerar;ao de B em relar;ao a A em1 = 6 s?

52. L"rn o. . _0 re 0 e uador terrestre. tern uma acelerar;iio para 0centro da e "e vinu e da rotac;ao da terra e uma acelerar;ao para 0sol em \inu e da translac;aoda terra em tomo do sol. Calcular os m6du-los de d a elera .iio e exprimi-los em terrnos de frac;oes da acelera-c;aoda gTIl\'i de g.

53. em bola de basebal e arremessada para umjogador. com uma velo-i de inici Ide 20 mls. fazendo urn iingulo de 45' com 0 plano horizon-

tal. '\0 momenta em que a bola e arremessada, a distancia entre os doisjo:adores e 50 m. Qual deve ser a velocidade (em m6dulo e direc;iio)doc:uo 0 jo:ador para pegar a bola na mesma altura em que foi lanr;ada?

"-5-1.A har 0 angulo de projec;ao de urn projetil de modo que a alturamaxima aringida seja igual ao alcance.

55. Uma moto de competic;ao chega a uma vala que deve transpor. Paraque a moto possa saltar sobre a vala, foi construfda uma rampa com ainclinar;iio de 10'. Qual deve ser a velocidade da moto, ao deixar a ram-pa, para sa!tar a distancia de 7 m, que e a largura da vala?

onde w = 2 S-I. (a) Mostrar que a trajet6ria do movimento e uma cir-cunferencia de cfrculo. Qual 0 raio do cfrculo? A partfcula percorre 0cfrculo no sentido honirio ou no anti-horario? (b) Qual 0 m6dulo davelocidade da panicula? (e) Qual 0 intervalo de tempo necessario paraa partfcula completar uma revoluc;ao?

57. Urn operario, trabalhando no telhado de uma casa, deixar cair urnmartelo, que escorrega telhado abaixo com a velocidade constante de 4mls. 0 telhado faz urn angulo de 3D' com a horizontal, e 0 seu pontomais baixo esta a 10m do solo. Qual a distancia horizontal coberta pelomartelo desde que cai do telhado ate chegar ao solo?

58. Uma lancha principia uma travessia para chegara uma ilha que esta1 km a leste e 3 km ao none da sua posic;iioinicial. Depois de 45 min, 0timoneiro percebe que a lancha esta'desviada para leste da ilha. Inverte

entao 0 seu curso e 45 min depois esta 6 km a leste da posic;ao inicial.a) Qual a velocidade da corrente marinha? (b) Qual a velocidade da

Ian ha em rela<;ao a agua, nos 45 primeiros minutos? (c) Qual a veloci-dade da lancha, em rela<;ao a ilha, nos 45 primeircis minutos?

59. Uma arma dispara balas que saem da sua boca com a velocidade de250 m/s. Para que uma bala atinja urn alvo, a 100 m de distlincia, emnivel com a boca da arma, e necessario fazer a pontaria num ponto aci-ma do alvo. A que altura fica este ponto, em rela<;ao ao alvo? (Despre-zar a resistencia do ar.) .

60. Galileu mostrou que se for desprezada a resistencia do ar, os alcan-ces dos projeteis, disparados com lingulos de projec;ao simetricos emrela<;ao a reta que tern inclina<;ao de 4Y com a horizontal, sao iguais.Provar esta afirma<;ao.

61. Uma partfcula se desloca no sentido horario, num circulo de raio 1 m,com 0 centro em (x,y) = (I m, 0). A particula parte do repouso, na origem,no instante t = O. A sua velocidade aumenta a taxa constante (TrI2) m/s2•

(a) Quanto tempo leva a partfcula para percorrer a metade do circulo? (b)Qual a sua velocidade escalar, neste instante? (c) Qual a dire<;ao da suavelocidade neste instante? (d) Qual e, entao, a sua acelera<;ao radial? E asua acelera<;ao tangencial? (e) Quais sao 0 m6dulo e a dire<;ao da acelera-<;ao total, no ponto correspondente a metade da circunferencia?

62. Urn jogador esta a 4 m de uma parede vertical e arremessa uma bolacontra ela (Figura 3-36). A bola sai da mao do jogador a 2 m acima dosolo, com a velocidade inicial v = 10 m/s i+ 10 m/s j. Quando a bolaatinge a parede, a componente horizontal da sua velocidade se inverte ea componente vertical permanece constante. Onde a bola atinge 0 solo?

..----------- .."..- ....-.,.......... ...........;"

,,'(',t'lI'",

63. Uma bola de tenis passa com pouca folga por cima de uma paredeque esta a 120 m do ponto de partida. Qual deve ser a velocidade ini-cial da bola se ela parte com urn lingulo de 45° e a 1,2 m acima dosolo? Fazer, novamente, a hip6tese pouco realista de a resistencia doar ser ignorada.

~. Vma bola de tenis e atingida pel a raquete e, depois de 3 s, e rebatida'0 m de dist5.ncia. (a) Se a bola estiver a I m do solo quando for bat ida,

e tmnbem rebatida, qual a altura maxima da sua trajet6ria em rela<;ao aosolo? (b) Quais as componentes horizontal e vertical da sua velocidadequan 0 foi ba[ida pela raquete') (c) Qual a sLiavelocidade ao atingir a ra-

quete do rebatimento? (d) Com que lingulo em rela<;ao a horizOD:! "-.partiu no primeiro golpe? (Desprezar a resistencia do ar.)

65. Urn disco de hoquei, atingido no nfvel do campo. passa comfolga por cima de uma parede que tern 2;80 m de altura. 0 tempO '~ •.'

'do disco, ate este ponto, e 0,650 s ea distlincia horizontal coberta '_0-Achar'(a) a velocidade escalar inicial do disco e (b) a altura maxirnz -~~. .66. Durante urn intervalocte tempo curto, qualquertrajet6ria ~.seconsiderada urn arco de circunferencia de circulo. Como e possivel .~_terminar 0 raio de curvatura de urn ~egmento de uma trajet6ria medicte a velocidade instantlinea e a acelera<;ao instantanea? Considere~urn projetil no topo da sua trajet6ria. Indicar 0 vetor ve10cidade urn jXlt!i:tJ

antes e urn pouco depois deste ponto. A velocidade escalar esta varido? Qual 0 raio de curvatura do segmento da trajet6ria nas vizinhan~deste ponto? .

onde testa em segundos. (a) Mostrar que a trajet6ria da particula e ucirculo com raio de 4 m e centro na origem. (b) Calcular a vetor veloci,dade. Mostrar que vlv, = -y/x. (c)Calcular 0 vetor acelera<;ao e mo.>,trar que esta na dire<;ao radial e tern 0 m6dulo V'lr.

onde testa em segundos. (a) Plotar a trajet6ria da particula no plano xy.(b) Achar 0 vetor velocidade. (c) Achar 0 vetor acelera<;ao e mostrar quea sua direc;ao coincide com a de r; isto e, a acelera<;ao e radial. (d) Acharos instantes em que a velocidade passa por urn maximo, ou por urn mi-

. "mmo .

69. Na Figura 3-37, uma mota fora da estrada so be um<,lrampa, com 0angulo de inclina<;ao e, para saltar urn valao de largurax e atingir 0 OUlrolado, que esta a uma altura H. (a) Dados e e x, qual e 0 limite superiorde H para que a moto tenha chance de efewar a travessia? (b) Com Hmenor que este limite superior, qual e a velocidade minima de partidada rampa inicial Uo necessaria para efetuar-se a travessia? (Desprezar 0

tamanho da mota e admitir que a cobertura da distancia horizontal x e asupera<;ao da distlincia vertical H sejam suticientes para 0 saito do valao.)

70. Duas bolas sao arremessadas, com velocidades iguais. do topo deurn penhasco de altura H. Uma das bolas e lan<;adapara cima, fazendo·um lingula ex com a horizontal. A outra bola e lan<;ada para baixo. fa-zendo urn lingulo 13 com a horizontal. Mostrar que cada bola chega aosolo com a mesma velocidade escalar. e achar esta velocidade em [ef,mas de He da velocidade escalar inicial uo'

tipler cap 1,2,3

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