tipo identidade como o tipo de caminhos computacionais
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Tipo Identidade Como o Tipo de Caminhos Computacionais
Defesa de DissertaçãoAluno: Arthur Freitas Ramos
Orientador: Ruy de Queiroz
Avaliadores: Rafael Dueire Lins
Edward Hermann Haeusler
Motivação
• Matemática cada vez mais abstrata e complexa: necessidade de verificadores de prova
• ZFC: Não construtiva e extensional
• Teoria dos Tipos: Tipo Identidade como ponte entre computação e matemática
• Abordagem mais intuitiva para o tipo identidade proposta por Ruy de Queiroz e Anjolina de Oliveira em 2011.
Teoria dos Tipos
• Teoria construtiva proposta por Martin-Löf em 1971
• Utilizada em verificadores automáticos de provas matemáticas
• Tipo como entidade básica
• Notação básica: a : A
• Exemplos: 2 : ℕ, 2 : épar(2)
• Família de tipos: épar
Igualdade proposicional vs definicional
• Definicional: f(x) ≡ x², f(3) ≡ 3²
• f(3) ≡ 9?
• Proposicional: Evidência p estabelece (f(3) ≡ 3²) =p 9 : ℕ
• Evidência p é elemento de um tipo conhecido como tipo identidade. Notação: p : Idℕ (3²,9).
Tipo Identidade Intensional
• Tipo das evidências p que servem como prova de igualdade proposicional entre dois objetos do mesmo tipo
• Conexão com a matemática: ligação do extensional com o intensional
• Teoria Homotópica dos Tipos: conexão semântica com a homotopia (caminhos)
• HOFMANN - STREICHER 1994: Estrutura de Grupóide refuta princípio da unicidade de provas da igualdade
• LUMSDAINE 2009: Estrutura de fraca
Tipo Identidade: Construção Formal
Tipo Identidade: Nova Abordagem
• Proposto por Anjolina de Oliveira e Ruy de Queiroz em 2011
• Objetivo de ser mais intuitiva que a abordagem clássica
• Baseada em Caminhos Computacionais, entidade proposta por Gabbay e Ruy de Queiroz em 1994
• Caminhos como estrutura sintática: Cálculo (ou álgebra) de caminhos
• Principais objetivos: Detalhar essa nova abordagem e que o novo tipo identidade também induz uma estrutura de grupóide
Beta Igualdade
• Dado termos P e Q do diz-se que se:
• Redução :
• Reduçao juntamente com : Teoria da
Teoria da Lambda-Beta-Eta Igualdade
• Axiomas:
• Regras de inferência:
Caminhos Computacionais
• Composição de axiomas e regras de inferência s que estabelecem a igualdade proposicional entre dois termos a : A e b : A
• Notação: a =s b : A
• Composição feita através da regra de transitividade
Caminhos Computacionais: Exemplo
• Caminho entre e :
De obtemos o caminho
De obtemos o caminho
Para obtermos o caminho completo entre e , basta concatenar os dois caminhos usando a transitividade, obtém-se:
Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos Computacionais: Formalização
Tipo Identidade como o Tipo de Caminhos Computacionais: Formalização
Exemplo de Uso: Simetria
• Construção de :
Exemplo de uso: Transitividade
• Construção de :
Sistema de Reescrita de Termos – LNDEQ-TRS
• Reduções entre caminhos diferentes
• Exemplos básicos: e ; e
• Anjolina (1994) e Ruy & Anjolina (2011): Sistema de Reescrita de termos – LNDEQ-TRS
• Total de 39 regras de redundância – 7 relevantes no presente trabalho
Redundâncias envolvendo simetria e reflexividade
• Regras obtidas:
Redundâncias envolvendo transitividade
• Regras obtidas:
Redundâncias envolvendo transitividade
• Regra Obtida:
Igualdade rw
• Cada regra de LNDEQ-TRS é chamada de regra rw (rw – reescrita)
• De s para t em 1 regra:
• De s para t em várias regras:
• Igualdade rw s =rw t: sequência R0, ....., Rn ,com tal que:
• Igualdade rw é relação de equivalência (é o fecho simétrico, reflexivo e transitivo)
LNDRW-TRS2 – Redundâncias de caminhos de caminhos• Redundâncias causadas pela igualdade rw
• Possui uma versão para todas as reduções já vistas anteriormente.
• Exemplo:
Igualdade rw2
• Igualdade rw2: semelhante à igualdade rw
• Rw2 é classe de equivalência (análogo a rw)
• Regra especial cd2:
Categoria Arw Induzida por Caminhos Computacionais• Objetos: termos a: A
• Morfismos: Caminhos s entre objetos a,b: A. sse a =s b
• Composição:
• Identidade:
• Categoria Fraca: Igualdade apenas a nível de igualdade rw
• Associatividade:
• Leis de identidade:
ARW é grupóide fraca
• Provar que toda seta é isomorfismo
• Basta provar que todo morfismo s tem inversa t
• Faça :
Estrutura de segunda ordem: 2 - Arw
• Categoria A2rw(a,b) para cada par de objetos de Arw
• Objetos de A2rw(a,b) são caminhos s: a =s b e morfismos entre caminhos s, r são o conjunto de igualdades rw s =rw r
• Associatividade e transitividade sustentadas fracamente a partir das regras rw2 (análogo a Arw)
• Considerando classes de equivalência de rw2, igualdade se sustenta estritamente no segundo nível. Estrutura [2 – Arw]
• [2 – Arw] forma uma bicategoria? E uma 2-grupóide fraca?
Bicategoria
• Composição horizontal
• Associatividade e identidade da composição horizontal
• Lei da troca
• Leis de coerência: Pentágono e triângulo de Mac Lane
[2 – Arw] é uma bicategoria
• Composição horizontal :
Dados:
Definimos:
[2 – Arw] é uma bicategoria
• Associatividade assoc de : Isomorfismo natural entre
Dado por isomorfismo entre cada componente:
• Identidade :
Basta checar cada componente:
Análogo para : basta usar trr
[2 – Arw] é uma bicategoria
• Lei da troca:
[2 – Arw] é uma bicategoria
• Leis de coerência:
[2 – Arw]: Resultados
• Provado que [2 – Arw] é bicategoria
• De [2 – Arw] ser uma bicategoria, A2rw grupóide fraca e Arw grupóide, conclui-se que [2 – Arw] é uma 2-grupóide fraca
• Possível pensar em categorias fracas com maior número de níveis. Eventualmente alcançando uma categoria com infinitos níveis, a
fraca
Conclusão
• Teoria dos tipos importante como fundamento para computação e matemática
• Tipo identidade como entidade central da teoria dos tipos
• Nova abordagem para o tipo identidade baseada em caminhos computacionais
• Grupóide induzida a partir de caminhos computacionais
• Categorias de alta ordem induzidas por caminhos computacionais
• Resultados compatíveis com os obtidos por Hofmann-Streicher para o tipo identidade tradicional
Trabalhos Futuros
• Mapeamento de todas as regras rw2
• Estudo de possíveis categorias induzidas de ordem maior que 2
• Obter, para o tipo identidade baseado em caminhos, resultados semelhantes ao obtidos por Lumsdaine. Ou seja, mostrar que é possível induzir uma fraca