tipuri de ecuatii diferentiale
TRANSCRIPT
Pagi
na
1
Tip
uri d
e ec
uaţii
dife
renţ
iale
de
ordi
nul 1
(I)
E
cuaţ
ii cu
var
iabi
le se
para
bile
=
+=′
0)
()
()
()
()
()
(dy
yQ
xP
dxy
Nx
My
gx
fy
Rez
olva
re: -
se se
pară
var
iabi
lele
de
o pa
rte şi
de
alta
a e
galu
lui
⇔=
⇔=
⋅⇒
=′
=′
⇔=′
dxx
fy
gdyx
fy
gdxdy
dxdyy
xf
ygy
yg
xf
y)
()
()
()
(1)
()
()
()
(∫
∫=f(x)dx
g(y)dy
Ecu
aţii
omog
ene
=+
=′
0)
,(
),
(dy
yx
Ndx
yx
Mxy
fy
M,N
= fu
ncţii
om
ogen
e de
gra
d k
Rez
olva
re: N
otăm
t
xy=
dtx
dxt
dytx
y⋅
+⋅
=⇔
=⇒
[]
0)
()
(=
⋅+
−⇔
=⋅
+⋅
⇒
=
⇔
=′
dtx
dxt
ft
dxt
fdx
tdt
xdx
xyf
dyxy
fy
[]
0)
(=
⋅+
−dt
xdx
tf
t e
ste
o ec
uaţie
cu
varia
bile
sepa
rabi
le
E
cuaţ
ii re
duct
ibile
la o
mog
ene
++
++
=′1
11
cy
bx
ac
byax
fy
Rez
olva
re:
I
=+
+=
++
00
11
1c
yb
xa
cby
ax e
ste
siste
m c
u so
luţia
uni
că
()
00,y
x
Se fa
ce sc
him
bare
de
varia
bilă
si d
e fu
ncţie
:
+=
+=
10
10
yy
yx
xx
′
=′=⇒
yy
xy
y 1
11
)(
Ecuaţia
dev
ine
ecuaţie
om
ogenă.
II
=+
+=
++
00
11
1c
yb
xa
cby
ax e
ste
siste
m in
com
patib
il
Se fa
ce sc
him
bare
de
funcţie
: ba
zy
yba
zx
zz
byax
z−′
=′⇒′
+=′
⇒=
⇒+
=)
(
Ecuaţia
dev
ine
ecuaţie
cu
varia
bile
sepa
rabi
le în
z(x)
Pagi
na
2
Rez
olva
re I:
⇒∫
⋅=
∫⋅
−∫
⋅⇒
⋅∫
⋅=
∫⋅
⇔
⇔∫
⋅=
∫⋅
⋅+
∫⋅′
⇒∫
⋅=
⋅+′
∫∫
⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅
x x
dxx
adx
xa
dxx
ax x
dxx
adx
xa
dxx
adx
xa
dxx
adx
xa
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
ex
be
xy
ex
ye
xb
ex
ydxd
ex
be
xa
ye
ye
xb
yx
ay
0
00
0
0
00
00
00
)(
)(
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
|)
()
(
)(
)(
|)(
)(
⇒∫
⋅
∫⋅
+=
⋅−
⋅
∫x x
x xdx
xa
x x
dxx
ae
ex
by
xy
0
0
0)
()
(
0)
()
(
E
cuaţ
ii lin
iare
)(
)(
xb
yx
ay
=⋅
+′
(a,b
funcţii
con
tinue
)
Rez
olva
rea
II:
M
etod
a va
riaţie
i con
stan
telo
r (La
gran
ge)
Pasu
l 1: s
e as
ocia
ză e
cuaţ
iei l
inia
re e
cuaţ
ia o
mog
enă:
0
)(
=⋅
+′y
xa
y, e
c cu
var
iabi
lele
sep
arab
ile
∫∫
∫⇒
⋅−
=⇒
⋅−
=⇔
=⋅
+′x x
x x
x xdx
xa
yxy
dxx
aydy
yx
ay
00
0
)(
)(
ln)
(0
)(
0
∫⋅
=⋅
−x 0x
dxa(
x)
0e
)(
yx
y oso
l
gene
rală
Pa
sul 2
: se
dete
rmină
o so
luţie
par
ticul
ară
a ec
uaţie
i neo
mog
ene
prin
met
oda
variaţie
i con
stan
tei l
ui
Lagr
ange
∫
⋅=
′⋅
−x 0x
dxa(
x)e
)(
)(
xc
xy p
şi se
det
erm
ină
c(x)
ast
fel î
ncât
ea
să v
erifi
ce e
cuaţ
ia.
∫⋅
=⋅
−x 0x
dxa(
x)e
)(xc
y pct
xb
xc
xb
yx
ay
xa
xc
xc
yx x
p+
∫⋅
=⇒
=⋅
+′
∫⋅
⋅−
∫⋅
′=
′⇒
∫⋅
−⋅
−⋅
−
0
x 0x
x 0x
x 0xdx
a(x)
dxa(
x)dx
a(x)
e)
()
()
()
(
e)
()
(e
)(
)(
)(
)(
xy
xy
xy
po
+=
→so
luţia
gen
erală
a ec
uaţie
i om
ogen
e
Ecu
aţii
Ber
noul
li α y
xb
yx
ay
⋅=
⋅+′
)(
)(
, 1,0
≠α
Rez
olva
re:
)(
1)
(:
)(
)(
1x
by
xa
yyy
yx
by
xa
y=
⋅+
′⇒
⋅=
⋅+′
−α
αα
α
Notăm
)
(1)
(1x
yx
z−
=α
(sch
imba
re d
e fu
ncţie
) α
αyy
xz
′⋅
−−
=′
⇒)1
()
(
→
⋅−
=⋅
⋅−
+′⇒
)(
)1(
)(
)1(
xb
zx
az
αα
ecu
aţie
lini
ară
in z
Pagi
na
3
Ecuaţii
Ric
cati
)(
)(
)(
2x
cy
xb
yx
ay
=⋅
+⋅
+′
⇒
=⇒
=0
)(
0)
( xbx
c
Rez
olva
re: d
acă
se c
unoaşt
e o
soluţie
par
ticul
ară
a ec
uaţie
i (y 1
(x))
, atu
nci y
(x)=
z(x)
+y1(
x) tr
ansf
ormă
ecuaţia
într-
o ec
uaţie
Ber
noul
li as
tfel:
[]
[]
{}
[]
[]
→=
⋅+
⋅⋅
⋅+
+′
⇔=
⋅+
⋅+
′+
⋅+
⋅⋅
⋅+
+′
⇔
⇔=
++
⋅+
⋅+
′+
′⇒
′+
′=
′
0)
()
()
()
()
(2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2)
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
(
21
2 11
12
1
21
11
1
xz
xb
xz
xy
xb
xa
xz
xc
xy
xb
xy
xa
xy
xz
xb
xz
xy
xb
xa
xz
xc
xy
xz
xb
xy
xa
xz
xa
xy
xz
xy
xz
xy
Ec
uaţii
cu
dife
renţ
iale
tota
le
xNyM
DC
NM
dyy
xN
dxy
xM
∂∂=
∂∂∈
=+
)(
,;0
),
()
,(
1
Rez
olva
re :
RD
UxN
yM→
∃⇔
∂∂=
∂∂:
de
clasă
C2 a
î ⇒
⋅∂∂
+⋅
∂∂=
⋅+
⋅=
dyyU
dxxU
dU
dyy
xN
dxy
xM
dU)
,(
),
(
=∂∂
=∂∂
),
(
),
(
yx
NyU
yx
MxU
Ecu
aţia
dev
ine
⇒=
0dU
soluţia
ecu
aţie
i est
e U
=con
stan
t.
Ecuaţii
car
e se
rezo
lva
cu m
etod
a fa
ctor
ului
inte
grân
d
xNyM
dyy
xN
dxy
xM
∂∂≠
∂∂=
⋅+
⋅0
),
()
,(
Rez
olva
re: c
aut
),
(y
xλ
aî e
cuaţ
ia în
mulţită
cu
),
(y
xλ
să d
evină
cu d
evină
cu d
ifere
nţia
le to
tale
?0
),
()
,(
),
()
,(
=⇒
=⋅
⋅+
⋅⋅
λλ
λdy
yx
Ny
xdx
yx
My
x a
î )
()
(N
xM
y⋅
∂∂=
⋅∂∂
λλ
⇔
→=
∂∂−
∂∂+
∂∂
−∂∂
0x
Ny
MxN
yMλ
λλ
ec c
u de
rivat
e pa
rţial
e ⇒
[]
[]
yMxN
Ny
xx
My
xy
yMxN
Nx
My
∂∂−
∂∂=
⋅⋅
∂∂−
⋅∂∂
⇔∂∂
−∂∂
=⋅
∂∂−
⋅∂∂
),
ln(
),
ln(
λλ
λλ
I [
]→
∂∂−
∂∂=
⇒=
),
(1)
(ln
)(
yx
NxN
yMx
dxdx
λλ
λe
posib
il)
,(1y
xN
xNyM
∂∂−
∂∂⇔
este
funcţie
de
x
II[
]→
∂∂−
∂∂=
⇒=
),
(1)
(ln
)(
yx
MyM
xNy
dydy
λλ
λe
posib
il)
,(1y
xM
yMxN
∂∂−
∂∂⇔
este
funcţie
de
y
Ec B
erno
ulli
cu
2=
α
Ecuaţie
lini
ară
Ecuaţie
Ber
noul
li cu
α=2
Pagi
na
4
Ec
uaţii
car
e nu
se p
ot p
une
Sub
form
a no
rmală
)
,(y
xf
y=′
ci
se v
or p
une
sub
form
a :
),
(y
xf
y′
=
Rez
olva
re: M
etod
a pa
ram
etru
lui :
notăm
→
=⇒
′==′
),
()
,(
px
fy
yx
fy
py
dxp
dyp
y⋅
=⇒
=′
⇒=
),
(p
xf
y (d
ifere
nţie
re)
⇒∂∂
=
∂∂
−⇒
∂∂+
∂∂=
⋅⇔
=dppf
dxxf
pdppf
dxxf
dxp
dfdy
→=
)(px
xa
doua
par
amet
rică
a so
luţie
i
prim
a ec
uaţie
par
amet
rică
a so
luţie
Pagi
na
5
Ecu
aţii
dife
renţ
iale
de
ordi
n su
peri
or
I.
Dacă
0)
,...
,,
()
()1
()
(=
+n
kk
yy
yx
F, e
cuaţ
ie d
e or
din
n
atu
nci s
e fa
ce sc
him
bare
de
funcţie
)
(k yz
=
se
obţ
ine
o ec
uaţie
de
ordi
n n-
k în
)
(xzz
=
II
. Dacă
0)
,...
,(
)(
=′
ny
yy
F, a
dică
ecu
aţia
de
ordi
n n
nu c
onţin
e ex
plic
it pe
x
a
tunc
i loc
ul v
aria
bile
i ind
epen
dent
e po
ate
fi lu
at d
e y ⇒
pp
dxdydydp
dxy
dpdxyd
y⋅′
=⋅
==′
=′′)
(
se
obţ
ine
o ec
uaţie
de
ordi
n n-
1 în
p=p
(y)
III.
Dacă
ecuaţia
est
e om
ogenă
in
)(
,...
,n
yy
y′
(înl
ocui
nd
,,)
()
(i
yk
yi
i∀
⋅→
ecuaţia
nu
se sc
him
bă)
a
tunc
i se
face
schi
mba
rea
de fu
ncţie
y
zy
⋅=′
se o
bţin
e o
ecuaţie
de
ordi
n m
ai m
ic în
)
(xzz
=
IV. D
aca
ecuaţia
est
e om
ogenă
în g
ener
al (î
nloc
uind
Atu
nci s
e fa
ce sc
him
bare
a �
de v
aria
bilă
t e
x=
�
de fu
ncţie
mt
etz
y⋅
=)
(
se
obţ
ine
o ec
uaţie
de
ordi
nul I
I,
adi
că n
u va
conţin
e va
riabi
la t,
dec
i ord
inul
ei p
oate
fi scăz
ut
V. E
cuaţ
ia s
e po
ate
aran
ja a
stfe
l înc
ât d
e o
parte
şi d
e al
ta a
ega
lităţ
ii să
se găs
ească
dife
renţ
iala
cât
e un
ei
funcţii
′
⋅=′′=′
pp
yy
py
)(
′′⋅
→′′′
⋅→′
⋅→→
−−
....
......
....
......
....
21
yk
yy
ky
yk
ykx
x
mmm
ecuaţia
nu
se sc
him
bă
Form
e ge
nera
le:
1.
0)
,...
,,
,(
)(
=′′
′n
yy
yy
xF
,
:R
DF
→
2+⊆
nR
Ddo
men
iu
2.
),..
.,
,,
()1
(−
′′′
ny
yy
yx
F
,:
1R
Df
→
11
+⊆
nR
D d
omen
iu
Ecuaţii
lini
are:
+
+⋅
+⋅
+−
−...
)(
)(
22
)1(
1)
(n
nn
yx
ay
xa
y
)(
)(
)(
1x
by
xa
yx
an
n=
⋅+′
⋅+
−
na
aa
,...,
,2
1 ş
i ,
:R
Ib
→co
ntin
ue
RI
⊂ i
nter
val
y =
funcţie
nec
unos
cută
Pagi
na
6
1.
Ecu
aţii
linia
re n
eom
ogen
e cu
coe
ficie
nţi v
aria
bili
: )
()
()
(...
)(
1)1
(1
)(
xb
yx
ay
xa
yx
ay
nn
nn
=⋅
+′⋅
++
⋅+
−−
I.
Ecuaţii
om
ogenă
ataş
ată
cu so
luţia
gen
erală
y o
0)
()
(...
)(
1)1
(1
)(
=⋅
+′⋅
++
⋅+
−−
yx
ay
xa
yx
ay
nn
nn
−
Se c
unos
c n-
1 so
luţii
: y1,y
2�y n
-1
− Se
înce
arcă
găs
irea
soluţie
par
ticul
are
de fo
rmă
polin
omia
lă
se c
aută
a n
-a so
luţie
a e
cuaţ
iei
ai (y
1,y2�
y n-1
,yn}
= s
istem
fund
amen
tal d
e so
luţie
∫=
−
−−
−
dxx
a
n nn
n
nn
ec
yy
y
yy
yy
yy
xW
)(
1
)1(
)1( 2
)1( 1
11 2
1 1
21
1
......
......
.........
)(
→
II.
Soluţie
par
ticul
ară
a ec
uaţie
i neo
mog
ene
y p
Met
oda
variaţie
i con
stan
telo
r {y
1,y2,�
y n}=
sist
em fu
ndam
enta
l de
soluţie
i ale
ecu
aţie
i om
ogen
e
)(
),...
(),
(
)(
)(
...)
(...
0)
(...
)(
)(
0)
(...
)(
)(
21
)1(
1)1
( 11 1
11
1 21 2
1 11 1
12
1 21
1 1
xc
xc
xc
xb
yx
cy
xc
yx
cy
xc
yx
c
yx
cy
cc
yx
c
n
n nn
n
nn
nn
⇒
=+
+
=+
++
=+
++
−−
∑ =∈
=n i
ii
io
Rc
yc
y1
, ────
>
poy
yy
+=
<────
∑ =
⋅=
n jj
jp
yx
cy
1
)(
2.
E
cuaţ
ii lin
iare
neo
mog
ene
cu c
oefic
ienţ
i con
stanţi
: )
(...
1)2
(2
)1(
1)
(x
by
ay
ay
ay
ay
nn
nn
n=
⋅+′
⋅+
+⋅
+⋅
+−
−−
I.
Ecuaţia
om
ogenă
ataş
ată
cu so
luţia
gen
erală
y o
0...
1)2
(2
)1(
1)
(=
⋅+′
⋅+
+⋅
+⋅
+−
−−
ya
ya
ya
ya
yn
nn
nn
Ec
uaţia
car
acte
ristică:
0
...1
11
=+
⋅+
+⋅
+−
−n
nn
na
aa
λλ
λcu
-
rădă
cini
:
λ 1
, λ2,�
λm
- or
dinu
l de
mul
tiplic
itate
ν1, ν 2
,� ν
m
pent
ru fi
ecar
e ră
dăci
nă se
aso
ciază
o fu
ncţie
, for
mân
du-s
e un
sist
em
fund
amen
tal d
e so
luţii
pen
tru e
cuaţ
ia o
mog
enă
⋅⋅
⋅→
⋅−
=
⋅⋅
⋅→
⋅+
=→
ℜ∈
⋅⋅
⋅→
ℜ∈
−−
−
xe
xx
ei
xe
xx
ei
C
ex
ex
ex
e
kx
kx
kk
k
kx
kx
kk
kk
xx
xx
j
kk
k
kk
k
jj
jj
j
ββ
βα
λβ
ββ
αλ
λλ
αυ
α
αυ
α
λν
λλ
λ
sin
,...,
sin
cos
,...,
cos
\
,...
,,
11
12
II.
Soluţia
par
ticul
ară
a ec
uaţie
i om
ogen
e y p
Se
det
erm
ină
o so
luţie
par
ticul
ară
in fu
ncţie
de b(
x)
a)
xm
sp
xm
ex
Qx
ye
xP
xb
αα
⋅⋅
=→
=)
()
()
(
s = o
rdin
ul d
e m
ultip
licita
te a
lui λ
= α
in e
cuaţ
ia c
arac
teris
tică
b)
xe
xQ
xe
xP
xb
xk
xr
ββ
αα
sin
)(
cos
)(
)(
⋅⋅
+⋅
⋅=
}
,m
ax{
],si
n)
(co
s)
([
kr
mx
ex
Ux
ex
Tx
yx
mx
ms
p=
⋅⋅
+⋅
⋅⋅
=β
βα
α
s = o
rdin
ul d
e m
ultip
licita
te a
lui λ
=α±iβ
în e
cuaţ
ia c
arac
teris
tică
c)
b(x)
=ba)
(x)+
b b)(x
) de
tipul
a) ş
i b)
y p=
y 1p+
y 2p
∑ =∈
=n i
ii
io
Rc
ky
cy
1),
( ────
>
poy
yy
+=
<────
py
Ecuaţie
neo
mog
enă
linia
ră d
e or
din
n-1