titul new 2 -...

Федеральное агентство по образованию ГОУВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Рекомендовано Уральским отделением Учебно-методического объединения вузов РФ по образованию в области строительства в качестве учебного пособия для студентов всех форм обучения специальностей направления 6533500 – Строительство

Научный редактор доц., канд. физ.–мат. наук С.И. Тарлинский

Екатеринбург 2005

ББК 22.1я73 УДК 51(075.8) С54

Рецензенты:

кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университе-та (зав. кафедрой физики УГЛУ, д–р физ.-мат. наук, проф. М.П. Кащенко); д–р физ.-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, Институт физики металлов УрО РАН. С 54

А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко Математика: учебное пособие / А.Б. Соболев, А.Ф. Рыбалко. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 195 с. ISBN 5–321–00769–1

Курс лекций по дисциплине ЕН.Ф.01 «Математика» предназначен для

студентов строительных специальностей технических вузов, изучающих данную дисциплину в объеме 540–800 часов в течение 4 семестров. Содер-жание лекций соответствует ГОС и рабочим программам технических специ-альностей.

Вторая часть включает 16 лекций и содержит материал, обычно изучае-мый во втором семестре: исследование функций, неопределенный и опреде-ленный интегралы, дифференциальные уравнения, дифференциальное ис-числение функций нескольких переменных.

Электронная версия книги, используемая в аудиториях, сопровождается дополнительным иллюстративным материалом.

Наряду с курсом лекций существуют пособия, рассматривающие реше-ние типичных задач и способствующие усвоению понятий и методов.

ББК 51 (075.8) УДК 22.1я 73

ISBN 5–321–00769–1

© ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университете – УПИ», 2005

3

ПРЕДИСЛОВИЕ Курс лекций предназначен для студентов строительных специальностей

технических вузов и состоит из четырех частей, в которых излагается теоре-тический материал курса математики для инженеров.

Во второй части излагаются следующие разделы: исследование функ-ций, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные урав-нения, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

В начале каждой лекции приведены заголовки разделов. В совокупности эти заголовки образуют программу дисциплины и являются базой вопросов для тестовых и экзаменационных заданий. Звездочкой помечены разделы, предназначенные для более глубокого изучения. В конце каждой лекции при-веден список ключевых понятий.

В лекциях студент найдет основные определения, формулировки теорем, примеры, демонстрирующие методы решения типичных задач. Если отсутст-вуют доказательства каких–либо утверждений, то формулировки результатов сопровождаются примерами, разъясняющими их смысл.

В тексте приняты следующие условные обозначения:

- определение - теорема - следствие - замечание

О

Т

С

!

4

СОДЕРЖАНИЕ

ЧАСТЬ 2 Лекции 1–2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ…………………………………………...…. 10 1.1. Исследование функций без привлечения производных

1.1.1. Точки разрыва 1.1.2. Асимптоты графика функции 1.1.3. Вертикальные асимптоты 1.1.4. Горизонтальные асимптоты 1.1.5. Наклонные асимптоты

1.2. Исследование функций с помощью первой производной 1.2.1. Монотонность функции 1.2.2. Локальный экстремум функции 1.2.3. Необходимые условия экстремума 1.2.4. Достаточные условия экстремума 1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции

2.1. Исследование функций с помощью второй производной 2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум

с помощью второй производной 2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой

2.2. Общая схема исследования функции и построения графика 2.3. Примеры исследования функций Лекции 3–4 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ……………………………………………. 33 3.1. Комплексные числа. Основные определения.

Алгебраическая форма комплексного числа 3.2. Изображение комплексного числа на плоскости.

Тригонометрическая форма комплексного числа 3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа 3.4. Действия над комплексными числами

3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание 3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень 3.4.3. Комплексное сопряжение 3.4.4. Извлечение корня

3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента

5

4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена 4.2. Основная теорема алгебры 4.3. Примеры решения задач 4.4. Разложение правильных рациональных дробей 4.5. Примеры решения задач Лекции 5–6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ………………………………………… 53 5.1. Основные определения 5.2. Свойства неопределенного интеграла 5.3. Таблица основных интегралов 5.4. Методы интегрирования

5.4.1. Непосредственное интегрирование 5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле 5.4.3. Интегрирование по частям 5.4.4. Возвратное интегрирование

6.1. Интегрирование рациональных дробей 6.1.1. Интегрирование простейших дробей 6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби

6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции 6.2.1. Интегралы, содержащие произведение

тригонометрических функций вида sin cosm nx xdx∫ .

6.2.2. Интегралы вида cos cosx xdxα β∫ ;

cos sinx xdxα β∫ ; sin sinx xdxα β∫ . 6.3. Интегрирование иррациональных выражений

6.3.1. Линейные иррациональности 6.3.2. Дробно–линейные иррациональности 6.3.3. Квадратичные иррациональности –

тригонометрические подстановки 6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов 6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов

для интегрирования иррациональностей 6.3.6. Подстановки Эйлера

Лекции 7–8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ……………………………………………. 80 7.1. Определенный интеграл и его свойства.

Основные определения

6

7.2. Геометрический смысл определенного интеграла 7.3. Теоремы существования 7.4. Свойства определенного интеграла 7.5. Формула Ньютона–Лейбница 7.6. Замена переменной в определенном интеграле

7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций 7.7. Интегрирование по частям 8.1. Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах 8.1.2. Параметрическое задание линий 8.1.3. Вычисление площадей, фигур, граница

которых задана кривыми в параметрической форме 8.1.4. Полярные координаты на плоскости 8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми 8.1.6. Примеры уравнений линий

в полярной системе координат 8.1.7. Площадь криволинейного сектора

в полярной системе координат 8.2. Вычисление длины дуги кривой

8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах

8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме

8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме

8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой 8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах 8.2.6. Площадь поверхности вращения

8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным

площадям поперечных сечений 8.3.2. Вычисление объемов тел вращения

Лекция 9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ………………………………………. 104 9.1. Несобственные интегралы первого рода

(по бесконечному промежутку). 9.1.1. Основные определения 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона–Лейбница 9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость

7

9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) 9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от

неограниченных функций 9.2.2. Примеры решения задач

Лекции 10–11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ………………………………… 115 10.1. Основные понятия 10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУ–I)

10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными 10.2.2. Однородные ДУ первого порядка 10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка 10.2.4. Линейные ДУ первого порядка 10.2.5. Уравнение Бернулли 10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах 10.2.7. Таблица 1. Решения ДУ первого порядка 10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка

11.1. ДУ высших порядков 11.2. ДУ второго порядка (ДУ–II) 11.3. Некоторые типы ДУ второго порядка,

приводимые к ДУ первого порядка 11.3.1. ДУ ( )y f x′′ = 11.3.2. ДУ вида ( , )y f x y′′ ′=

11.3.3. ДУ ( ),y f y y′′ ′= 11.4. Таблица 2. Решения ДУ второго порядка, допускающих

понижение порядка 11.5. ДУ n–го порядка, допускающие понижение порядка

11.5.1. ДУ вида ( ) ( )ny f x=

11.5.2. ДУ вида ( )( ), ', ",..., 0nF y y y y =

11.5.3. ДУ вида ( ) ( )( ), ,..., 0k nF x y y = .

11.5.4. ДУ вида ( ) ( )( )1, , ',..., 0nd G x y y y xdx

− = .

8

Лекции 12–13 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ……………….. 134 12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений

высшего порядка. Определения и общие свойства 12.2. Решение ОЛДУ второго порядка

с постоянными коэффициентами 12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка 12.4. ОЛДУ n–го порядка с постоянными коэффициентами 12.5. Таблица 4. ОЛДУ n–го порядка 12.6. НЛДУ второго порядка 13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом

вариации произвольных постоянных 13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными

коэффициентами методом неопределенных коэффициентов 13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ ( )y py qy f x′′ ′+ + =

13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.3.2. Метод вариации произвольной постоянной 13.3.3. Принцип суперпозиции

13.4. НЛДУ высших порядков 13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных 13.4.2. Метод неопределенных коэффициентов

13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n–го порядка 13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной

Лекция 14 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ………………… 154 14.1. Основные понятия 14.2. Метод исключения неизвестных 14.3. Линейные системы ДУ 14.4. Однородные системы линейных ДУ

с постоянными коэффициентами 14.5. Неоднородные системы линейных ДУ

с постоянными коэффициентами

9

Лекции 15–16 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ…………………………... 167 15.1. Основные понятия 15.2. Предел функции двух переменных 15.3. Непрерывность функции двух переменных 15.4. Частное и полное приращения функции двух переменных 15.5. Частные производные первого порядка

функции двух переменных 15.6. Полный дифференциал функции 15.7. Частные производные высших порядков 15.8. Дифференциалы высших порядков 15.9. Формула Тейлора

15.10. Производная сложной функции. Полная производная

15.11. Инвариантность формы полного первого дифференциала

15.12. Производная от функции, заданной неявно 16.1. Локальные экстремумы функции двух переменных 16.2. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 16.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в области 16.4. Геометрические приложения функций двух переменных

16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента 16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой 16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение 16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

БИБЛИОГРАФИЯ…………………………………………………………... 194

Лекции 1 - 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Графическое описание поведения функции очень полезно, так как наглядность гра-фика делает его незаменимым вспомогательным средством исследования свойств функ-ции. Графики функций, получающиеся из графиков основных элементарных функций с помощью геометрических преобразований, очевидны. Графики сложных функций не мо-гут быть построены без использования дифференциального исчисления. В данных лекци-ях приводится общая схема исследования функций и ее теоретическое обоснование. По-следовательное применение этой схемы позволяет построить график любой сколь угодно сложной функции, возникающей в технических приложениях.

1.1. Исследование функций без привлечения производных 1.1.1. Точки разрыва 1.1.2. Асимптоты графика функции 1.1.3. Вертикальные асимптоты 1.1.4. Горизонтальные асимптоты 1.1.5. Наклонные асимптоты

1.2. Исследование функций с помощью первой производной 1.2.1. Монотонность функции 1.2.2. Локальный экстремум функции 1.2.3. Необходимые условия экстремума 1.2.4. Достаточные условия экстремума 1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции

2.1. Исследование функций с помощью второй производной 2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум с помощью второй производной 2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой

2.2. Общая схема исследования функции и построения графика 2.3. Примеры исследования функций

1.1. Исследование функций без привлечения производных

Построение графика функции ( )y f x= применяется, как правило, для возможно более точной характеристики хода изменения функции, точность расположения отдельных точек графика обычно представляет меньший ин-терес.

Исследование функций и построение графиков 11

1.1.1. Точки разрыва

Функция ( )y f x= называется непрерывной в точке 0x , если функция определена в точке x0 и существуют пределы

0 0lim ( )

x xf x

→ −=

=0 00

lim ( ) lim ( ),x x x x

f x f x→ + →

= и при этом 0

0lim ( ) ( ).x x

f x f x→

=

Точка 0x , в которой функция ( )y f x= обладает свойством непрерывно-сти, называется точкой непрерывности функции, в противоположном случае точка 0x называется точкой разрыва функции. Если односторонние пределы существуют, причем

0 0lim ( )

x xf x

→ −=

=0 0

lim ( )x x

f x→ +

и функция ( )y f x= не определена в точке 0x или нарушено

условие 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x→

= , то точка 0x называется точкой устранимого

разрыва.

Пример:

Исследовать поведение функции ( ) sinxf xx

= в точке 0 0x = .

В точке 0 0x = функция не определена, т.е. 0 0x = - точка разрыва.

В теории пределов был доказан 1-й замечательный предел 0

sinlim 1x

xx→

= ,

следовательно, 0 0

sin sinlim lim 1x x

x xx x→+ →−

= = и 0 0x = является точкой устрани-

мого разрыва. Чтобы функция стала непрерывной в точке 0 0x = , доопределим ее, по-ложив ( ) ( )

00 lim 1

xf f x

→= = (так называемое доопределение по непрерыв-

ности). Новая, доопределенная функция ( )sin 0

1 0

x , x ,f x x

, x

⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩

будет не-

прерывна на новой области определения – всей числовой оси.

Если односторонние пределы существуют, причем

0 00 0lim ( ) lim ( ),

x x x xf x f x

→ − → +≠ то точка х0 называется точкой разрыва 1-го ро-

да.

Пример:

Исследовать поведение функции x

yx

= в точке 0 0x = .

В точке 0 0x = функция не определена, так как знаменатель равен нулю, т.е. 0 0x = - точка разрыва.

О

О

О

Лекции 1 - 2 12

По определению модуля если 0если 0

x, x ;x

x, x .≥⎧

= ⎨− <⎩

Левый предел: ( )0 0 0

lim lim lim 1 1x x x

x xx x→− →− →−

−= = = − = − .

Правый предел: 0 0 0

lim lim lim 1 1x x x

x xx x→+ →+ →+

= = = = .

Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, следователь-но, точка 0 0x = является точкой разрыва 1-го рода.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бес-конечен, то точка 0x называется точкой разрыва 2-го рода.

Пример:

Определить точки разрыва функции ( )

1xf x e= и исследовать характер

разрыва. Решение: Функция разрывна в точке 0 0x = . Вычислим левый предел, учитывая,

что lim 0x

xe

→−∞= . Так как

0

1limx x→−

= −∞ , 1

0lim 0xx

e→−

= .

Вычислим правый предел, учитывая, что lim x

xe

→+∞= ∞ . Так как

0

1limx x→+

= +∞ , 1

0lim xx

e→−

= ∞ . Правый предел бесконечен, точка 0 0x = является точкой

разрыва 2-го рода.

1.1.2. Асимптоты графика функции

Если расстояние от точки, лежащей на кривой, до некоторой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат, то эта прямая называется асимптотой кривой. Асимптоты могут быть вертикальными, горизонтальными и наклонными.

1.1.3. Вертикальные асимптоты

Прямая 0x x= является вертикальной асимптотой графика функции ( )y f x= , если хотя бы одно из предельных значений ( )

0 0lim

x xf x

→ − или

( )0 0

limx x

f x→ +

равно +∞ или−∞ .

О

О

О


Так, график функции 1yx

= имеет вер-

тикальную асимптоту 0x = , поскольку

0 0

1limx x→ −

= −∞ , 0 0

1limx x→ +

= +∞ .

Для разыскания вертикальных асим-птот кривой ( )y f x= 1) находим на оси Ox точки разрыва функции ( )f x ; 2) выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции ( )f x (слева или справа) равен +∞ или −∞ . Пусть это будут точки 1 2, ,..., mx x x , тогда прямые

1x x= , 2x x= ,…, mx x= будут вертикальными асимптотами графика функции ( )y f x= .

Например, для кривой 2

11

yx

=−

вер-

тикальными асимптотами будут прямые 1x = − и 1x = . Вертикальная прямая 0x x=

может оказаться асимптотой графика функции ( )y f x= и в том случае, когда точка 0x является концом интервала, в ко-тором определена функция ( )f x . Это бу-дет тогда, когда 0x - левый конец интер-вала ( )

0 0lim или -

x xf x

→ += +∞ ∞ , либо когда 0x - правый конец интервала

( )0 0

lim или -x x

f x→ −

= +∞ ∞ . Например, функция lny x= определена в интер-

вале 0 x< < +∞ , и для нее 0 0

lim lnx

x→ +

= −∞ , так что прямая 0x = (ось Oy ) явля-

ется вертикальной асимптотой графика функции lny x= . 1.1.4. Горизонтальные асимптоты

Прямая y b= называется правой горизонтальной асимптотой графика функции ( )y f x= , если ( )lim

xf x b

→+∞= .

Прямая y b= называется левой горизонтальной асимптотой графика функции ( )y f x= , если ( )lim

xf x b

→−∞= .

Функция ( )f x в этом случае представима в виде ( ) ( )f x b xα= + , где ( )lim 0

xxα

→±∞= .


Возможны следующие ситуации:

1) не существует ни левой, ни правой горизонтальной асимптоты ( ( ) 2f x x= );

2) существует левая горизонтальная асимптота и не существует правой ( ( ) xf x e= , ( )lim 0

xf x

→−∞= , 0y = - ле-

вая горизонтальная асимптота);

3) существует правая горизонтальная асимптота и не существует левой ( ( ) xf x e−= , ( )lim 0

xf x

→+∞= , 0y = -

правая горизонтальная асимптота);

4) обе горизонтальные асимптоты существуют, но не

совпадают ( ( ) arctgf x x= , ( )lim2x

f x π→−∞

= − , 2

y π= − - ле-

вая горизонтальная асимптота; ( )lim2x

f x π→+∞

= , 2

y π= -

правая горизонтальная асимптота);

5) обе горизонтальные асимптоты существуют и сов-

падают ( ( ) 1f xx

= , ( ) ( )lim lim 0x x

f x f x→−∞ →+∞

= = , 0y = - урав-

нение обеих горизонтальных асимптот).

1.1.5. Наклонные асимптоты

Прямая y kx b= + называется правой наклонной асимптотой графика функции ( )y f x= , если ( )( )lim 0

xf x kx b

→+∞− − = .

В этом случае функция ( )f x представима в виде ( ) ( )f x kx b xα= + + , где ( )lim 0.

xxα

→+∞=

Существование асимптоты y kx b= + у кривой ( )y f x= при x →+∞ оз-начает, что при x →+∞ функция ( )y f x= ведет себя «почти как линейная


функция», т.е. отличается от линейной функции y kx b= + на бесконечно ма-лую функцию при x →+∞ .

Для того чтобы график функции ( )y f x= имел при x →+∞ наклонную асимптоту y kx b= + , необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела:

1) ( )limx

f xk

x→+∞= ; 2) ( )lim

xf x kx b

→+∞− =⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Доказательство: Необходимость. Пусть график функции ( )y f x= при x →+∞ имеет асимптоту y kx b= + , т.е. для ( )f x справедливо ( ) ( )f x kx b xα= + + , ( ) 0xα →

при +x → ∞ .

Тогда ( ) ( )

lim limx x

f x xbk kx x x

α→+∞ →+∞

⎡ ⎤= + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦,

( ) ( )lim lim .x x

f x kx b x bα→+∞ →+∞

− = + =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Достаточность. Пусть существуют оба предела k и b . Существование предела для b позволяет утверждать, что разность ( )f x kx b− − является бесконечно малой функцией при x →+∞ . Обозначив эту разность через ( )xα , получим ( ) ( )f x kx b xα= + + , где ( ) 0xα → при x →+∞ . Это оз-

начает, что график функции ( )y f x= имеет наклонную асимптоту y kx b= + . Аналогично исследуется случай x →−∞ .

Пример: Найти асимптоты графика функции

arctgy x x= + . arctg arctglim lim 1

x x

x x x xk kx x+ −→+∞ →−∞

+ += = = = ,

( )lim arctg2x

b x π+ →+∞= = ,

( )lim arctg2x

b x π− →−∞= = − , график имеет две

несовпадающие наклонные асимптоты: ле-

вую 2

y x π= − и правую

2y x π= + .

Т


Пример:

Построить график функции

232

2

2

−+−+

=xxxxy

без использования производной. Решение: Преобразуем выражение:

)2)(1()3)(1(

232

2

2

+−+−

=−+−+

xxxx

xxxx , ,

2

2

2 3 32 2

x x xx x x+ − +

=+ − +

( 1≠x ), 3 1 2 1 12 2 2

x ( x )x x x+ + +

= = ++ + +

,

т.е. 12

1+

+=

xy , ( 1≠x ). График этой функ-

ции получается смещением графика x

y 1= на две единицы влево, на од-

ну единицу вверх и выкалыванием точки графика с абсциссой 1x = . 1.2. Исследование функций с помощью первой производной. 1.2.1. Монотонность функции

Пусть функция ( )f x определена на отрезке [ ],a b . Если для любых [ ]1 2, ,x x a b∈ из условия 1 2x x< следует неравенство:

1) ( ) ( )1 2f x f x≤ , то функция ( )f x неубывающая на [ ],a b ; 2) ( ) ( )1 2f x f x< , то функция ( )f x возрастающая на [ ],a b ; 3) ( ) ( )1 2f x f x≥ , то функция ( )f x невозрастающая на [ ],a b ; 4) ( ) ( )1 2f x f x> , то функция ( )f x убывающая на [ ],a b . Функции всех этих типов носят общее название монотонных; возрас-тающие и убывающие функции называются строго монотонными.

Пусть функция ( )f x : 1) непрерывна на отрезке [ ],a b ; 2) имеет произ-водную ( )'f x по крайней мере на интервале ( ),a b . Для того чтобы функция ( )f x на отрезке [ ],a b была неубывающей (не-возрастающей), необходимо и достаточно выполнение условия ( )' 0f x ≥

О

Т


( ( )' 0f x ≤ ) для всех точек x из интервала ( ),a b . Доказательство: Необходимость. Пусть функция ( )f x является неубывающей на отрезке [ ],a b . Докажем, что на интервале ( ),a b производная

( )' 0f x ≥ . Возьмем точки x и x x+ ∆ в интервале ( ),a b . Так как по усло-вию ( )f x неубывающая, то при любом x∆ (положительном или от-рицательном) знак x∆ и ( ) ( )f x x f x+ ∆ − один и тот же, и поэтому

( ) ( ) 0f x x f x

x+ ∆ −

≥∆

.

Учитывая, что по условию в каждой точке x интервала ( ),a b существу-ет производная ( )'f x , из последнего равенства получим

( ) ( ) ( )0

' lim 0x

f x x f xf x

x∆ →

+ ∆ −= ≥

∆.

Итак, в любой точке интервала ( ),a b имеем ( )' 0f x ≥ . Достаточность. Пусть ( )' 0f x ≥ на интервале ( ),a b . Докажем, что функ-ция ( )f x - неубывающая на отрезке [ ],a b . Действительно, пусть 1 2x x< - любые две точки отрезка [ ],a b . По теореме Лагранжа ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1'f x f x f x xξ− = − , где 1 2x xξ< < . Так как ( )' 0f x ≥ в каждой точке x интервала ( ),a b , то и ( )' 0f ξ ≥ . Кроме того 2 1x x> . Поэтому ( ) ( )2 1f x f x≥ . Итак, из неравенства 1 2x x< следует неравенство ( ) ( )1 2f x f x≤ , а это и означает, что на отрезке [ ],a b функ-ция ( )f x неубывающая. Таким образом, интервалы знакопостоянства производной ( )'f x явля-

ются интервалами монотонности функции ( )f x . Справедливо следующее утверждение (достаточное условие возрастания

функции): если ( )' 0f x > на интервале ( ),a b , то ( )f x на отрезке [ ],a b воз-растает. Однако если ( )f x возрастает на [ ],a b , то отсюда не следует, что

( )' 0f x > всюду на интервале ( ),a b .

Пример: Функция ( ) 3f x x= возрастает на отрезке [ ]1,1− , однако ее производная

( ) 2' 3f x x= обращается в нуль в точке 0x = .

Рассмотрим возрастание или убывание функции в точке.


Функция ( )f x называется возрастающей в точке 0x x= , если существует такая окре-стность ( )0 0,x xδ δ− + точки 0x , в которой для всех 0x x< имеем ( ) ( )0f x f x< , а для всех 0x x> верно ( ) ( )0f x f x> . Функция ( )f x называется убывающей в точке 0x x= , если существует такая окрест-ность ( )0 0,x xδ δ− + точки 0x , в которой для всех 0x x< имеем ( ) ( )0f x f x> , а для всех 0x x> верно ( ) ( )0f x f x< .

Следующая теорема выражает достаточные условия возрастания и убы-вания функции в точке.

Пусть функция ( )f x в точке 0x x= имеет производную ( )'f x . Если ( )0' 0f x > , то функция ( )f x в точке 0x возрастает; если ( )0' 0f x < , то ( )f x в точке 0x убывает.

Доказательство: Пусть ( )0' 0f x > . Это означает, что

( ) ( )0 0

0lim 0x

f x x f xx∆ →

+ ∆ −>

∆.

Но тогда существует такое 0δ > , что для всех x∆ , удовлетворяющих условию 0 x δ< ∆ < , верно неравенство

( ) ( )0 0 0f x x f x

x+ ∆ −

>∆

.

Отсюда следует, что при 0 x δ< ∆ < величины ( ) ( )0 0f x x f x+ ∆ − и x∆ имеют один и тот же знак: если x∆ <0, то и ( ) ( )0 0f x x f x+ ∆ − <0, т.е. ( ) ( )0 0f x x f x+ ∆ < ; если же x∆ >0, то и ( ) ( )0 0f x x f x+ ∆ − >0, т.е. ( ) ( )0 0f x x f x+ ∆ > . Согласно определению, это и означает, что функция ( )f x в точке 0x возрастает.

Аналогично можно доказать, что если ( )0' 0f x < , то функция ( )f x в точке 0x убывает.

О

Т


Теорема дает достаточные, но не необхо-димые условия возрастания и убывания функции в точке. Так, функция, график которой приведен на рисунке, возрастает в точке 0x = , но в этой точке производная функции не существует. Функция ( ) 3f x x= возрастает в точке

0x = , но ее производная ( )'f x в точке 0x = обращается в нуль.

1.2.2. Локальный экстремум функции

Пусть функция ( )f x определена в некото-рой окрестности точки 0x , включая и саму точку 0x . Точка 0x называется точкой ло-кального максимума (минимума) функ-ции ( )f x , если существует такое 0δ > , что для всех x из интервала ( )0 0,x xδ δ− + верно неравенство:

( ) ( )0 0f f x f x∆ = − ≤ ( ( ) ( )0 0f f x f x∆ = − ≥ ). Значение функции ( )f x в точке максимума называется локальным максимумом, а значение функции в точке минимума - локальным ми-нимумом данной функции. Локальные максимум и минимум называются локальными экстрему-мами. Эти определения означают, что ( )0f x - ло-

кальный максимум функции ( )f x , если суще-ствует такой интервал ( )0 0,x xδ δ− + , в котором ( )0f x является наибольшим значением функ-

ции ( )f x , и ( )0f x - локальный минимум функ-ции ( )f x , если существует интервал ( )0 0,x xδ δ− + , в котором ( )0f x является наи-меньшим значением функции на этом интерва-ле.

Термин локальный (местный) обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. В дальнейшем слово «локальный» бу-

О

О

!


дем для краткости опускать. Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума.

Точка 0x называется точкой строгого максимума (минимума) функции ( )f x , если существует 0δ > такое, что для всех x , удовлетворяющих

условию 00 x x δ< − < , верно строгое неравенство ( ) ( )0 0f x f x− < (со-ответственно ( ) ( )0 0f x f x− > ). В приведенном определении не предпо-лагается непрерывности функции ( )f x в точке 0x .

Пример:

2 , 0,1, 0,x x

yx

⎧ ≠= ⎨

=⎩

В точке 0 - максимум, хотя в ней нет не-прерывности функции.

1.2.3. Необходимые условия экстремума

Функция ( )f x может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная ( )'f x либо равна нулю, либо не существует. Доказательство: Пусть в точке 0x функция ( )f x имеет производную и ( )0' 0f x ≠ . Пусть для оп-ределенности ( )0' 0f x > . Тогда функция ( )f x в точке 0x будет возрастающей. По-

этому найдется такое 0δ > , что для всех x из интервала ( )0 0,x xδ− верно нера-венство ( ) ( )0f x f x< , а для всех x из ин-тервала ( )0 0,x x δ+ верно неравенство ( ) ( )0f x f x> .

Из этого следует, что не существует окрестности точки 0x , в которой ве-личина ( )0f x была бы наибольшим или наименьшим значением функ-ции ( )f x , и поэтому точка 0x не будет ни точкой максимума, ни точкой минимума функции ( )f x . Аналогичными рассуждениями придем к то-му же выводу при ( )0' 0f x < .

О

Т


Итак, если в точке 0x существует произ-водная ( )0' 0f x ≠ , то в точке 0x не может быть ни максимума, ни минимума функции ( )f x . Следовательно, экстремум функции ( )f x мо-жет быть только в такой точке, в которой про-изводная ( )'f x либо равна нулю, либо не су-ществует, что показано на рисунке. Функция ( )y f x= имеет экстремумы в точках 1 2 3 4, , ,x x x x ; при этом в точках

1x и 4x производная ( )'f x не существует, а в точках 2x и 3x она равна нулю. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции ( )f x , называются критическими точками этой функции. Они определяются как корни уравнения ( )' 0f x = и как точки, где ( )'f x не существует (в частности, где ( )'f x - бесконечно большая функция). Корни уравнения ( )' 0f x = называют стационарными точками функ-ции ( )f x : скорость изменения ( )f x в такой точке равна нулю.

Утверждение, обратное к теореме, неверно: не в каждой своей критической точке функция ( )f x обязательно имеет максимум или минимум.

Например, для функции ( ) 3f x x= ( )' 0 0f = , поэтому точка 0x = явля-ется критической для данной функции. Но функция ( ) 3f x x= в точке 0x = экстремума не имеет: ( )0 0f = , для 0x < ( ) 0f x < , для 0x > ( ) 0f x > , так что в точке 0x = данная функция возрастает. Для функции

1sin , 0,( )

0, 0

x xf x x

x

⎧ ⎫⎛ ⎞ ≠⎪ ⎪⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭

в точке 0x = производная не существует, однако

экстремум отсутствует. 1.2.4. Достаточные условия экстремума

Пусть 0x x= – критическая точка для функции ( )f x и функция ( )f x непрерывна в точке 0x . Пусть существует такое 0δ > , что для всех x из интервала ( )0 0,x xδ− производная ( )' 0f x > , а для всех x из интервала ( )0 0,x x δ+ ( )' 0f x < , то есть при переходе x через точку 0x производная ( )'f x меняет знак с плюса на минус. Тогда в точке 0x функция ( )f x имеет максимум.

Т

О


Доказательство: Так как по условию ( )' 0f x > в интервале ( )0 0,x xδ− , то на отрезке [ ]0 0,x xδ− функция ( )f x возрастает; так как ( )' 0f x < в интервале

( )0 0,x x δ+ , то на отрезке [ ]0 0,x x δ+ функция ( )f x убывает. Следовательно, ( )0f x есть наи-

большее значение функции ( )f x в окрестности ( )0 0,x xδ δ− + точки 0x , а это означает, что ( )0f x есть локальный максимум функции ( )f x .

Пусть 0x x= – критическая точка для функции ( )f x и функция ( )f x непрерывна в точке 0x .

Пусть существует такое 0δ > , что для всех x из интервала ( )0 0,x xδ− производная ( )' 0f x < , а для всех x из интервала ( )0 0,x x δ+ имеем

( )' 0f x > , то есть при переходе x через точку 0x производная ( )'f x ме-няет знак с минуса на плюс. Тогда в точке 0x функция ( )f x имеет ми-нимум.

1.2.5. Правило отыскания экстремумов функции

Чтобы найти точки максимума и минимума функции ( )f x , надо:

1). Найти производную ( )'f x , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение ( )' 0f x = .

2). Найти точки, в которых производная ( )'f x не существует. Эти точки и корни уравнения ( )' 0f x = будут критическими точками для функции ( )f x .

3). Исследовать знак производной ( )'f x слева и справа от каждой критиче-ской точки. Если при переходе x через критическую точку 0x произ-водная ( )'f x меняет знак с плюса на минус, то в точке 0x функция ( )f x имеет максимум; если знак ( )'f x меняется с минуса на плюс, то в

точке 0x функция ( )f x имеет минимум. Если при переходе x через критическую точку 0x знак ( )'f x не меняется, в точке 0x функция ( )f x не имеет ни максимума, ни минимума.

Т


( )0f x x′ − ∆ ( )0f x′ ( )0f x x′ + ∆ Экстремум 0> 0, ,± ∞ ∃ 0> нет 0> 0, ,± ∞ ∃ 0< max 0< 0, ,± ∞ ∃ 0> min 0< 0, ,± ∞ ∃ 0< нет

2.1. Исследование функций с помощью второй производной 2.1.1. Исследование функций на максимум и минимум

с помощью второй производной

Пусть в точке 0x функция ( )f x имеет первую и вторую производные, причем ( )0' 0f x = , а ( )0'' 0f x ≠ . Тогда в точке 0x данная функция ( )f x имеет максимум, если ( )0'' 0f x < , и минимум, если ( )0'' 0f x > . Доказательство: Точка 0x является критической точкой для данной функции ( )f x , так как ( )0' 0f x = . Пусть ( )0'' 0f x < . Из этого следует, что в точке 0x первая производная ( )'f x убывает, то есть существует такая окрестность ( )0 0,x xδ δ− + точки 0x , что для всех x из интервала ( )0 0,x xδ− верно неравенство ( ) ( )0' ' 0f x f x> = , а для всех x из интервала ( )0 0,x x δ+ верно ( ) ( )0' ' 0f x f x< = . Таким образом, при переходе x через критическую точку 0x производ-ная ( )'f x меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, функция ( )f x в точке 0x имеет максимум.

Подобными же рассуждениями доказывается, что если в критической точке 0x вторая производная ( )0'' 0f x > , то функция ( )f x в точке 0x имеет минимум.

( )0f x′ ( )0f x′′ Экстремум 0 0< max 0 0> min 0 0

Т


2.1.2. Направление выпуклости и точки перегиба кривой

Пусть кривая задана уравнением ( )y f x= и пусть функция ( )f x в точке 0x имеет ко-нечную производную ( )0'f x , то есть в точке

( )( )0 0 0,M x f x существует касательная к дан-ной кривой, не параллельная оси Oy .

Если существует такая окрестность ( )0 0,x xδ δ− + точки 0x , что все точки данной кривой, абсциссы которых содер-жатся в этой окрестности, расположены выше касательной к кривой в точке 0M , то говорят, что выпуклость данной кри-вой в точке 0M направлена вниз. Если все точки кривой с абсциссами из некоторой окрестности точки 0x находят-ся ниже касательной к этой кривой в точ-ке 0M , то говорят, что выпуклость дан-ной кривой в данной точке направлена вверх. Будем говорить, что график функции ( )y f x= , дифференцируемой на интервале ( ),a b , имеет на этом интервале выпуклость, направленную вверх (вниз), если график этой функции в пределах интервала ( ),a b ле-жит не выше ( не ниже) любой своей касательной. О графике, выпуклом вверх, часто говорят как о просто выпуклом, график, выпуклый вниз, называется вогнутым. Если во всех точках интервала ( )a;b функция ( )f x имеет отрицатель-ную вторую производную ( ( ) ( ); '' 0x a b f x∀ ∈ < ), то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если ( ) ( ); '' 0x a b f x∀ ∈ > - график выпуклый вниз.

Точка ( )( )0 0 0,М x f x называется точкой перегиба кривой ( )y f x= , если: 1) в точке 0x существует касательная; 2) существует такая окрестность ( )0 0,x xδ δ− + точки 0x , что для 0x x< из

О

О

О

Т


этой окрестности выпуклость кривой направлена в одну сторону, а при 0x x> - в противоположную.

Точка ( )( )0 0 0,М x f x может быть точкой перегиба кривой ( )y f x= , только если ( )0'' 0f x = (или ( )0''f x не существует). Это условие не является достаточным. Так, например, для функции ( ) 4f x x= имеем ( ) 2'' 12f x x= и ( )'' 0 0f = , но точка ( )0,0O не является

точкой перегиба кривой 4y x= : в этой точке выпуклость кривой направ-лена вниз. Пусть функция ( )f x имеет вторую про-изводную в некоторой окрестности точки

0x , непрерывную в точке 0x . Если ( )0'' 0f x = и при переходе x через точку

0x вторая производная ( )''f x меняет знак, то точка ( )( )0 0 0,М x f x есть точка перегиба кривой ( )y f x= .

Обобщение. Пусть кривая ( )y f x= имеет в точке ( )( )0 0 0,М x f x каса-

тельную, параллельную оси Oy . Пусть функция ( )f x в некоторой окрестно-сти точки 0x , кроме, быть может, самой точки 0x , имеет непрерывную вто-рую производную. Если ( )''f x в точке 0x равна нулю или не существует и при переходе x через точку 0x производная ( )''f x меняет свой знак, то точ-ка ( )( )0 0 0,М x f x - точка перегиба кривой ( )y f x= .

( )0f x x′′ − ∆ ( )f x ( )0f x′′ ( )0f x x′′ + ∆ ( )f x Перегиб 0> вып. вниз 0, ∃ 0> вып. вниз нет 0> вып. вниз 0, ∃ 0< вып. вверх есть 0< вып. вверх 0, ∃ 0> вып. вниз есть 0< вып. вверх 0, ∃ 0< вып. вверх нет

Т

Т


2.2. Общая схема исследования функции и построения графика 1. Найти область определения функции; найти область значений функции;

найти точки пересечения графика с осями координат, указать интервалы знакопостоянства функции.

2. Проверить функцию на периодичность; проверить функцию на четность и нечетность.

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках; определить наличие гори-зонтальных, вертикальных и наклонных асимптот.

4. Вычислив первую производную, найти критические точки и интервалы монотонности функции, выделить точки локальных экстремумов.

5. Вычислив вторую производную, найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

6. Построить график. 2.3. Примеры исследования функций

Пример:

Найти экстремумы функции ( )2 233f x x x= − .

Решение:

( )3

12 2f x xx

′ = − , 1 23

2 2 0 1, 1x x xx− = ⇒ = − = ,

( ) 3 не существует в точке х 0f x′ = . х ( ); 1−∞ − -1 ( )1;0− 0 ( )0;1 1 ( )1;∞

( )f x 2 0 2 ( )f x′ + 0 – ∃ + 0 – max min max

Вид графика функции ( )2 233f x x x= − :

-2 -1 1 2

0.5

1

1.5

2


Пример: Построить график функции 4xy xe−= .

Решение: 1). ( )x - ,∈ ∞ ∞ , 0 00; 0х y= = - точка пересечения с осями. 2). Функция общего вида. 3). f(x) – непрерывна всюду ⇒ вертикальных асимптот нет.

1 14 4lim 0 lim 0x xx x

x xk be x e→∞ →∞

= = = = ,

1 0y = - наклонная (горизонтальная) асимптота при х→∞ ;

2 4k lim xx

xe x→−∞

= = ∞⇒ наклонных асимптот при х -→ ∞ нет.

4). ( )-4x 4 4 y e 4 1 4x xxe e x− −′ = − = − , 1104

y x′ = ⇒ = .

5). -4x 4 4 4y -4e 4 16 (16 8)x x xe xe e x− − −′′ = − + = − , 0y′′ = ⇒ 21x2

= .

х 1;4

⎛ ⎞−∞⎜ ⎟⎝ ⎠

14

1 1;4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12

1 ;2

⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠

у 14e

2

12e

y′ + 0 – – – y′′ – – – 0 + ∩ max ∩ перегиб ∪

Вид графика функции 4 xy xe−= :

Пример:

Исследовать функцию

3

22 ( 1)xyx

=⋅ +

и построить ее график.

Решение: 1). Функция определена всюду, кроме точки 1x = − . Найдём точки пересечения графика с координатными осями. Для этого

решим уравнения ( )

3

2 02 1

xx

=+

и 0=y . 0 00; 0х y= = - точка пересече-

ния с осями. 2). Функция общего вида. 3). Точка 1x = − является точкой разрыва 2-го рода. Отсюда следует, что график функции имеет вертикальную асимптоту 1−=x . Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:

21

)1(2lim)(lim 2

2

=+

==∞→∞→ x

xxxfk

xx;


.1)1(

2lim21)

21

)1(2(lim 2

2

2

3

−=+−−

=−+

=∞→∞→ x

xxxxxb

xx

121

−= xy является наклонной асимптотой.

4). Находим производную: 3

2

)1(2)3(

++

=′xxxy .

Знак производной определяется знаком дроби13

++

xx . Легко получить, что

при 3−<x и 1−>x 0>′y , а при 13 −<<− x 0<′y . Интервалы возрас-тания есть )1;( −−∞ и );1( ∞− ; интервал убывания )1;3( −− . В области оп-ределения функции производная существует всюду и обращается в нуль при 3−=x и 0=x . При 3−<x 0>′y , а при 3−>x 0<′y . Следовательно, точка 3−=x яв-ляется точкой максимума.

Находим значение функции при 3−=x : 33 273 3 375

8 8( )y( ) , .−

− = = − = −

При переходе через другую критическую точку 0=x производная знак не меняет, т.е. 0=x не является точкой экстремума.

5). Находим вторую производную 4

31xy

( x )′′ =

+. Видим, что 0y′′ < при

1x < − , интервал 1( ; )−∞ − является областью выпуклости. 0y′′ < , также при 1 0x− < < - это тоже область выпуклости; 0y′′ > при 0x > - это об-ласть вогнутости. В области определения функции y ′′ существует всюду; 0=′′y при 0=x . Так как при переходе через эту точку y ′′ меняет знак, то 0=x есть абс-цисса точки перегиба. Находим .0)0( =y

х ( ); 3−∞ − 3− ( )3; 1− − 1− ( )1; 0− 0 ( )0;∞

у 278

− ∃ 0

y′ + 0 – ∃ + 0 + y′′ – – – ∃ - 0 + ∩ max ∩ ∩ перегиб ∪

График 3

22 ( 1)xyx

=⋅ +

имеет вид:


Пример:

Исследовать функцию 3

2 1xy

x=

− и построить её график.

Решение: 1). Функция определена всюду, кроме точек 1x = ± .

Точки пересечения графика с координатными осями: 3

2 01

xx

=−

⇒ 0x = ;

0=y - точка пересечения с осями.

2). Функция нечетная, ( ) ( )f x f x− = − , график симметричен относитель-

но начала координат, достаточно исследовать функцию при 0x ≥ . 3). Точка 1x = является точкой разрыва 2-го рода, график функции име-

ет вертикальную асимптоту 1x = , ( )1 0

limx

f x→ −

= −∞ , ( )1 0

limx

f x→ +

= +∞ .

Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы: ( ) 2

2lim lim 11x x

f x xkx x→+∞ →+∞

= = =−

; 3

2 2lim lim 01 1x x

x xb xx x→+∞ →+∞

⎛ ⎞= − = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠

, т.е. y x= яв-

ляется правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя).

4). Находим производную: ( )

( )

2 2

22

3

1

x xy

x

−′ =

−. Знак производной определя-

ется знаком 2 3x − . При 3x > 0>′y , а при 0 1x< < и 1 3x< < 0<′y .

Интервал возрастания - ( )3;∞ ; интервалы убывания - ( )0 1; и ( )1 3; .

В области определения функции производная обращается в нуль при

0=x и 3x = .

При 3x < 0<′y , а при 3x > 0>′y . Следовательно, точка 3x = яв-

ляется точкой минимума.

Находим значение функции при 3x = : ( ) ( )33 3 332 2

y = = .

При переходе через критическую точку 0=x производная знак не меня-ет, т.е. 0=x не является точкой экстремума.

5). Находим вторую производную ( )

( )

2

32

2 3

1

x xy

x

+′′ =

−. Видим, что 0y′′ < при

0 1x< < , на интервале ( )0 1; график функции выпуклый вверх. При

3x > 0y′′ > - график функции выпуклый вниз.

В области определения функции y ′′ существует всюду; 0=′′y при 0=x .


Так как при переходе через эту точку y ′′ меняет знак, то 0=x есть абс-

цисса точки перегиба. Находим .0)0( =y

х 0 ( )0;1 1 ( )1; 3 3 ( )3;∞

у 0 ∃ 3 32

−

y′ 0 – ∃ – 0 – y′′ 0 – ∃ + + +

перегиб ∩ ∪ min ∪

График 3

2 1xy

x=

− имеет вид:

Пример:

Исследовать функцию 3 322 xxy −= и построить её график.

Решение: 1). Функция определена при всех x . Для нахождения точек пересечения

с осями записываем уравнения 0=y и 023 32 =− xx ; получаем, что ось

Oy пересекается в точке с 0=y , а ось Ox - в точках 0=x и 2=x .

2). Функция общего вида. 3). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот.

112lim2lim)(lim 333 2

−=−=−

==∞→∞→∞→ xx

xxxxfk

xxx,

3 2 3 32lim 2 lim 1 1

x xb ( x x x ) x( )

x→∞ →∞= − + = + − =


2

3 3

2

1 22 21 1 3 10 2lim lim1 10 3x x

xx x

x x→∞ →∞

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+ − −

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −

.

При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для

раскрытия неопределённости типа ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

00 .

Итак, у графика есть наклонная асимптота; еe уравнение 2 .3

y x= − +

4). Находим производную: 23

4 3

3 (2 )

xyx x

−′ =−

. Знак производной опреде-

ляется знаком выражения 3

34x

x− . Видим, что в области 0<x 0<′y , при

340 << x 0y′ > и при

34

>x 0<′y .

Получаем, что в области 0<x функция убывает, при 340 << x - возрас-

тает и при 34

>x - убывает.

Находим критические точки. 0=′y при 34

=x , y′ не существует при

0=x , 2x = . При переходе через 0=x знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При 0=x производная не существует, значит, минимум острый.

.0)0( =y

При переходе через вторую критическую точку 34

=x производная ме-

няет знак с (+) на (-) , т.е. при 43

x = - максимум: 34 2 43 3

y ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

При переходе через 2x = знак производной не меняется, значит экстре-мума нет.

5). Находим вторую производную: 3

54

3)2(9

8

xxy

−−=′′ .


Видим, что 0<′′y при 0<x ; в этой области график выпуклый; 0<′′y при

0 2x< < , т.е. интервал )2;0( также является областью выпуклости.

При 2>x 0>′′y , следователь-

но, при 2>x график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при

0=x и при 2=x . При переходе через первую точ-ку знак y ′′ не меняется, а при

переходе через вторую – меня-ется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами 2=x ,

2 0y( ) = .

График 3 322 xxy −= имеет вид:

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия:

точки разрыва, асимптоты графика, экстремумы функции, точки перегиба.

Студент должен уметь: применять общую схему исследования функции, строить графики сложных функций.

Лекции 3 - 4 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧЛЕНЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ

Комплексные числа – расширение множества действительных чисел, широко приме-няющееся в естественных и прикладных дисциплинах. Использование комплексных чисел позволяет наиболее естественным образом описать многие процессы, в частности, колеба-тельные. Изучение функций комплексного переменного привело к углублению и расши-рению знаний о функциях действительных переменных и породило множество мощных вычислительных методов.

3.1. Комплексные числа. Основные определения. Алгебраическая форма комплексного числа

3.2. Изображение комплексного числа на плоскости. Тригонометрическая форма комплексного числа

3.3. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа 3.4. Действия над комплексными числами

3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание 3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень 3.4.3. Комплексное сопряжение 3.4.4. Извлечение корня

3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента 4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена 4.2. Основная теорема алгебры 4.3. Примеры решения задач 4.4. Разложение правильных рациональных дробей 4.5. Примеры решения задач

3.1. Комплексные числа. Основные определения.

Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом называют упорядоченную пару действительных чисел ( ),z x y= со следующими свойствами: 1) два комплексных числа ( )1 1 1,z x y= и ( )2 2 2,z x y= равны тогда и толь-ко тогда, когда 1 2x x= и 1 2y y= ; 2) сумма двух комплексных чисел ( )1 1 1,z x y= и ( )2 2 2,z x y= определяет-ся следующим образом:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, , ,z z x y x y x x y y+ = + = + + .

О


3) произведение двух комплексных чисел ( )1 1 1,z x y= и ( )2 2 2,z x y= опреде-ляется следующим образом:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1, , ,z z x y x y x x y y x y x y⋅ = ⋅ = − + .

Действительные числа содержатся в множестве комплексных чисел, все они являются парами вида ( ),0x . В дальнейшем будем обозначать ( ), 0x x= . Пары вида ( )0,y называются чисто мнимыми числами. Пара ( )0,1i = носит специальное название - мнимая единица. Согласно свойству 3) ( )1,0 1i i⋅ = − = − . Каждое комплексное число ( ),z x y= можно записать в виде суммы действительного числа ( ),0x x= и чисто мнимого числа ( )0,iy y= :

( ) ( ) ( ), ,0 0,z x y x y x iy= = + = + .

Действительное число Rex z= называется действительной частью комплексного числа z , действительное число Imy z= называется мни-мой частью z . Комплексное число 0z = , если Re 0x z= = и Im 0y z= = . Запись z x iy= + называется алгебраической формой комплексного числа.

3.2. Изображение комплексного числа на плоскости.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Так как z = (x, y) определяется как пара действительных чисел, то естественной геомет-рической интерпретацией является изображе-ние комплексного числа точкой М некоторой плоскости с координатами (x, y).

Такую плоскость называют комплексной, ось абсцисс - действительной осью, ось орди-нат – мнимой осью. При этом устанавливается взаимно-однозначное соот-ветствие между множеством всех комплексных чисел z = (x, y) и множеством точек М(x, y) или множеством радиус-векторов OM

uuuur.

О

О

О

О

О

С

!

Комплексные числа. Многочлены в комплексной области

35

Введем на плоскости XOY полярные координаты (r, ϕ). Длина вектора OMuuuur

называется модулем комплексного числа z и обозначается z или r : 2 2z r OM x y .= = = +

uuuur

Угол ϕ между радиус-вектором OMuuuur

и положительным направлением оси OX называют аргументом комплексного числа z: ( )Arg zϕ = . Угол ϕ определяется неоднозначно, с точностью до слагаемого 2 kπ . Удобно рабо-тать с приведенным аргументом ( )arg zϕ = , 0 2ϕ π≤ < (либо π ϕ π− ≤ < ). Для числа 0 0z i= + аргумент не определён. При этом аргумент комплексного числа определяется следующим образом:

arctg , если 0,

arctg , если 0, 0,

arctg , если 0, 0.

y xxy x yxy x yx

ϕ π

π

⎧ >⎪⎪⎪= + < >⎨⎪⎪ − < <⎪⎩

(для 0 2ϕ π≤ < ).

Практически, для определения arg( )zϕ = решают систему уравнений

cos xr

ϕ = , sin yr

ϕ = и изображают z вектором, чтобы определить, в каком

квадранте лежит точка. Так как cosx r ϕ= , siny r ϕ= , то комплексное число z x iy= + можно записать в следующем виде: (cos sin )z r iϕ ϕ= + , которое на-зывают тригонометрической формой записи комплексного числа. 3.3. Формула Эйлера. Показательная форма

комплексного числа

Используя формулу, полученную Эйлером: sinie cos iϕ ϕ ϕ= + (которая будет доказана позже, при изучении теории рядов), можно получить еще од-ну, показательную, форму комплексного числа: iz r e ϕ= . Комбинируя cos sinie iϕ ϕ ϕ= + и ( ) ( )cos sin cos sinie i iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− = − + − = − ,

можно получить выражения cos2

i ie eϕ ϕ

ϕ−+

= , sin2

i ie ei

ϕ ϕ

ϕ−−

= .


4πϕ −=

2=r

Пример: Записать число 2 2z i= − в различных формах. Дать геометрическую

интерпретацию. Решение: Алгебраическая форма: 2 2z i= − ; тригонометрическая форма: 2 2 2r z= = + = ;

2 7 2 7cos sin2 4 2 4

,π π= − = ,

откуда 7arg4

( z ) πϕ = = ,

2 2 7 72 2 cos sin2 2 4 4

z i iπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠;

показательная форма: 742z eπ

= . 3.4. Действия над комплексными числами

Операции в арифметической форме производятся в соответствии с усло-вием ( )1,0 1i i⋅ = − = − и с обычными правилами алгебры. Обозначим

( )1 1 1 1 1,z x y x iy= = + , ( )2 2 2 2 2,z x y x iy= = + .

3.4.1. Сравнение, сложение и вычитание

Сравнение чисел в алгебраической форме: 1 2z z= , если 1 2x x= и 1 2y y= . Если числа заданы в тригонометрической или пока-зательной форме: 1 1 1 1(cos sin )z r iϕ ϕ= + ,

2 2 2 2(cos sin )z r iϕ ϕ= + или 11 1

iz r e ϕ= , 22 2

iz r e ϕ= ,

то 1 2z z= , если 1 2

1 2

,2 ; .

r rk k Zϕ ϕ π

=⎧⎨ = + ∈⎩

Сложение в алгебраической форме: ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2,z z x x y y x x i y y+ = + + = + + + .

Вычитание определяется как действие, обратное сло-жению: пусть 1 2z z z= − , тогда

1 2z z z= + , ( )1 1 1 2 2z x iy x x i y y= + = + + + ,


37

откуда ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z x x i y y− = − + − .

С геометрической точки зрения сложение (вычитание) комплексных чисел равносильно сложению (вычитанию) изображающих их векторов. 3.4.2. Умножение, деление, возведение в целую степень Умножение в алгебраической форме:

( )( ) 21 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2z z x iy x iy x x ix y ix y i y y= + + = + + + =

= ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2 1x x y y i x y x y− + + . В тригонометрической форме:

1 2 1 2 1 1 2 2(cos sin ) (cos sin )z z r r i iϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = ⋅ + ⋅ + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(cos cos - sin sin ( sin cos cos sin )r r iϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + + =

= 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( ))r r iϕ ϕ ϕ ϕ+ + + , т.е.

1 2 1 2 1 2 1 2(cos( ) sin( ))z z r r iϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = ⋅ + + + . В показательной форме:

11 1

iz r e ϕ= , 22 2

iz r e ϕ= , ( )1 21 21 2 1 2 1 2

ii iz z r r e e r r e ϕ ϕϕ ϕ +⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ , т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей. Деление определяется как действие, обратное умножению:

( )( ) ( )1 11

2 2 2

,,

,x yzz x y

z x y= = = ,

откуда 1 2z z z= ⋅ . Запишем соответствующую формулу для алгебраической формы комплекс-ного числа:

( ) ( )1 2 1 1 2 2 2 2 , ,z z z x y xx yy xy x y= ⋅ = = − + , откуда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

2 2 1

2 2 1

xx yy xxy x y y

− =⎧⎨ + =⎩

Решаем, используя формулы Крамера:

1 2 2 1

2 2 1 2 2 12 2 2 2 2 2

2 2 2 2

x -y x x y

x 0; ;x x

xy y

y x yy y

∆ = + ≠ = =+ +

,

1 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 2

2 2 2 2 2x xz x x y y x y x yiz y y

+ −= +

+ +.


В тригонометрической форме:

1 11 2 1 2

2 2

[cos( ) sin ( )]z r iz r

ϕ ϕ ϕ ϕ= − + − ,

в показательной форме: 1 2( )1 1

2 2

iz r еz r

ϕ ϕ−= ,

т.е. модуль частного комплексных чисел равен частному модулей, а аргумент – разности аргументов делимого и делителя.

Возведение в целую степень выводится на основе обобщения операции умножения:

(cos sin )z r iϕ ϕ= + , 2 2(cos 2 sin2 )z z z r iϕ ϕ= × = + ; ...n

n

z z z z= × × =142432 (cos2 sin2 ) ...

n-2

r i z z zϕ ϕ+ × × =14243 (cos i sin )nr n nϕ ϕ+ ;

(cos sin )n nz r n i nϕ ϕ= + ; eiz r ϕ= , n n inz r e ϕ= .

Сравним последние две формулы: cos sin inе n i nϕ ϕ ϕ= + , с другой стороны: in i n n( ) (cos sin ) (cos sin ) cos sin nе е i i n i nϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = + ⇒ + = + . Послед-

нее соотношение называется формулой Муавра.

Пример: Найти 11z , если iz −= 1 .

Решение:

4arg;2 π

−== zz ( z расположено в IV квадранте).

Тогда 42πi

ez−

⋅= . 11 11

11 11 4 2

11 1152 2

11 11( 2) 2 cos sin4 4

3 3 2 22 cos sin 2 2 (1 ).4 4 2 2

iz e i

i i i

π π π

π π

− ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.4.3. Комплексное сопряжение

Комплексным числом, сопряженным к z x iy= + , называется комплекс-ное число z , отличающееся от z только знаком мнимой части: z x iy= − .

Свойства операции сопряжения: 1°. z z= ; 2°. z z= тогда и только тогда, когда z - действительное число;

О


39

z

z

3°. 1 2 1 2z z z z± = ± , 4°. 1 2 1 2z z z z⋅ = ⋅ ,

5°. ( )( )

11

2 2

zzz z

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠,

6°. 2 2z z x y⋅ = + . Докажем некоторые соотношения. В алгебраической форме: z = x +iy, z = x - iy . Вычислим: а) ( ) ( ) 2z + z = x +iy x iy x+ − = , следовательно, 2z z x+ = ; 2z z iy− = ; б) ( )( ) 2 2zz x +iy x iy x y= − = + , следовательно: 2 2z z x y⋅ = + . Тогда

( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 21 1 22 2

2 2 2 2 2

zz

x x y y i x y x yz zz z x y

+ + −⋅= = =

⋅ +

= 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2

x x y y x y x yix y x y+ −

++ +

В тригонометрической форме: (cos sin )z z iϕ ϕ= + ;

(cos sin ) (cos( ) sin( ))z z i z iϕ ϕ ϕ ϕ= − = − + − .

В показательной форме: iz z e ϕ= , iz z e ϕ−= .

Геометрически - комплексное сопряжение есть операция сим-метричного отражения вектора, соответствующего числу z от-носительно действительной оси.

Вывод: пользуясь алгебраической формой комплексного числа, можно производить операции сложения, умножения, вычитания по обычным прави-лам умножения многочленов. При делении комплексных чисел эффективно использовать прием умножения числителя и знаменателя на число, сопря-женное знаменателю. Свойства операций сложения и умножения: 1°. 1 2 2 1z z z z+ = + , 2°. ( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z+ + = + + , 3° 1 2 2 1z z z z= , 4°. ( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z= , 5°. ( )1 2 3 1 3 2 3z z z z z z z+ = + .


1

1

1z i= +

0α

Пример: Найти z и arg z для числа: 1z i= + .

Решение:

1z i= + , 1 1 2z = + = , arctg arctg14

yx

πα = = = .

3.4.4. Извлечение корня

Определяется как действие обратное возведению в степень. Число b называется корнем n-ой степени из числа z и обозначается nb z= , если nb z= . Пусть iz re ϕ= , а ib e θρ= и ,r ϕ известны. Найдем ,ρ θ . Два комплексных числа равны nb z= , если равны их модули n nr rρ ρ= ⇒ = и аргументы от-

личаются на 2kπ . 22 kn kn

ϕ πθ ϕ π θ += + ⇒ = ,

2

кin i n nre r e

ϕ πϕ

+

= или

окончательно 2( )

i kin n n nre r eϕ π

ϕ += .

Различных (неодинаковых) значений корней будет ровно n, и они будут

соответствовать значениям k = 0, 1, 2, …, n-1.

0

in nb r eϕ

= , 0k = , 2( )

1 in n nb r eϕ π+

= , 1k = , 2( 2 )

2 in n nb r eϕ π+

= , 2k = , 2( ( 1) )

1 i nn n n

nb r eϕ π+ −

− = , 1k n= − .

Если же, например, k n= , то 2( )

nin n n

nb r eϕ π+

= =( 2 ) 2

i i in nn nr e re eϕ ϕπ π+

= ⋅ =

0 1in nre bϕ

= ⋅ = → 0nb b= ,

аналогично 1 1 nb b+ = и т.д. Вывод: корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных

значений. Числа 0 1 1 , ,..., nb b b − имеют одинаковый модуль, и так как аргументы отличаются, следовательно, значения корня будут изображаться точками на окружности.

!


41

Пример:

Вычислить и изобразить на комплексной плоскости 4 i Решение: Запишем число i в показательной форме:

2i

w i eπ

= = ; 2 2444 2 4 2 8 22

i ki k k iiz w e e e e

π π π ππ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = = .

Возможно четыре различных значений корня, соответствующих

0,1, 2, 3k = : 80 , ( 0)

iz e k

π

= = , ( )

8 21 , ( 1)

iz e k

π π+

= = , ( )

82 , ( 2)

iz e k

π π+= = ,

( 3 )8 2

3 , ( 3)i

z e kπ π+

= = . 1z получен из корня 0z поворотом на р2

против ча-

совой стрелки, 2z из 0z поворотом на π и т.д.

Пример: Вычислить 6 1 3i+ ; изобразить схематично зна-

чения корня на комплексной плоскости. Решение:

31 3 2i

w i eπ

= + = ;

16 6

232 2 ; ; 0,1, 2,3, 4,5

6

kz k

π πθ

+= = = = .

Начальный аргумент при 0=k равен 18πθ = .

Значения корня: 7 13

6 6 618 18 181 2 32 , 2 , 2

i i iz e z e z e

π π π

= = = , 19 25 31

6 6 618 18 184 5 62 , 2 , 2

i i iz e z e z e

π π π

= = = .

Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шести-угольника на окружности радиусом 6 2 .

Пример:

Решить уравнение 012 =++ zz . Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая

1 i− = , получим: .2

31,2

3121

iziz −−=

+−=

Рассмотренное уравнение имело вещественные коэффициенты.


Пример: Решить уравнение 05)23(2 =−++−+ iziz .

По формуле корней квадратного уравнения 23 2 2 3 4 5 3 2 15 8

2 2( i ) ( i ) ( i ) i iz− − + + − − − − + − −

= = .

Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим

.815 iyxi +=−− Возводим обе части в квадрат и находим

ixyyxi 2815 22 +−=−− , откуда 1522 −=− yx ; 82 −=xy . Эта система имеет решения: ;4,1,4,1 2211 =−=−== yxyx поэтому

.12

)41(23,322

)41(2321 iiiziiiz +=

+−+−=−=

−+−=

3.5. Комплекснозначная функция действительного аргумента

Если каждому действительному t ставится в соответствие комплексное z, то z = ( )z t называют комплекснозначной функцией действительного аргумента.

iz e ϕ= - комплекснозначная функция действительного аргумента ϕ . В алгебраической форме: ( ) ( ) ( )z t x t i y t= + . Так как ( )z t соответствует вектору с координатами ( )х t и ( )y t , то задание функции ( )z t эквивалентно заданию вектор - функции скалярного аргумента.

Теория комплекснозначных функций скалярного аргумента совпадает с теорией векторных функций скалярного аргумента.

( ) = ( ) + ( )z' t x t iy t′ ′ - формула дифференцирования комплекснозначной функ-ции. 4.1. Многочлены в комплексной области. Корни многочлена

Многочленом называется функция вида: 2

0 2 1 0( ) ... ; 0nn n n nP z a z a z a z a a− −= + + + + ≠ ,

где n – степень многочлена (n – натуральное), а коэффициенты 0 ,..., na a могут быть как действительными, так и комплексными, z – комплексная переменная. При 0 1a = многочлен называется приведённым. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов

О

О

О


43

10 1 1

10 1 1

( ) ...( ) ...

m mm m m

n nn n n

P z b z b z b z bP z a z a z a z a

−−

−−

+ + + +=

+ + + +.

При m n< дробь называется правильной, при m n≥ дробь называется не-правильной. Неправильную дробь всегда можно разложить на сумму многочлена и правильной дроби; вид многочлена находится при делении «уголком» или по схеме Горнера. Свойство деления можно записать следующим образом:

( )( ) ( )( ) ( )

pml

n n

R zP z Q zP z P z

= + .

Здесь ( )lQ z , ( )pR z - многочлены степени l и p соответственно; ( )lQ z - частное (целая часть дроби); l m≤ , l + n = m , ( )pR z - остаток ( p < n ).

Пример:

3 2

2 2

2 3 6 3 3 42 11 1

z z z zzz z z z+ + − −

= + ++ + + +

.

Если ( ) 0pR z = ⇒ 1( ) ( )( )

m

n

P z Q zP z

= ; ( ) ( ) ( )m n lP z P z Q z= ⋅ . В этом случае го-

ворят о делении нацело.

Корнем многочлена ( )nP z называют число 0z , удовлетворяющее уравнению ( ) 0nP z = или в развёрнутом виде.

20 2 1 0... 0; 0n

n n na z a z a z a a− −+ + + + = ≠ .

Данное уравнение является алгебраическим уравнением n-й степени.

Теорема Безу. Остаток, получаемый при делении mP ( z )на (z-a), равен ( )mP a

Доказательство: По условию ( ) ( )1nP z P z z a= = − . По основному свойству:

( ) ( )1 1mQ z Q z−= , 0 0( ) ( )pR z R z R= = . Тогда 1 0( ) ( ) ( )m mP z Q z z a R−= ⋅ − + . Положим z a= , тогда получим равенство 0( )mP a R= , что и требовалось доказать. Для того чтобы многочлен ( )nP z делился на выражение ( )z a− без ос-татка, необходимо и достаточно, чтобы число z a= было корнем этого многочлена. Таким образом, если 0z z= - корень ( )nP z , то

0 1( ) ( ) ( )n nP z z z Q z−= − ⋅ . Другие корни ( )nP z следует искать из уравне-ния: 1( ) 0nQ z− = и т.д.

О

Т

С

!


Пример: Проверить, что 1=z является корнем многочлена

53)( 233 −++= zzzzP и найти другие корни многочлена.

Решение: Так как 05311)1(3 =−++=P , то 1=z является корнем многочлена

)(3 zP и многочлен )(3 zP делится на 1−z без остатка.

0 5555

2232

52z 1| 53

).522)(1()(3 2

2

223

23

−−

−

−+

−

++−−−++

−

++−=⇒

zzzzzz

zzzzzzz

zzzzP

Для отыскания других корней многочлена решим уравнение 052z 2 =++z : .21511 iz ±−=−±−= Итак, многочлен

53)( 233 −++= zzzzP имеет один действительный корень 11 =z и два

комплексно-сопряженных корня iz 212 +−= , .213 iz −−=

Если 0( ) ( ) ( )kn n kP z z z Q z−= − ⋅ , где n-k 0( ) 0,Q z ≠ то 0z называют корнем

кратности к многочлена ( )nP z .

Пример: 3 2 3

3( ) 3 3 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1) ;P z z z z z z z z= + + + = + + + = + 10 −=z - корень кратности 3.

4.2. Основная теорема алгебры

Любой многочлен ( )nP z при 1n ≥ имеет хотя бы один корень (действи-тельный или комплексный). 1). Каждый многочлен ( )nP z имеет ровно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. 2). Всякий многочлен n-й степени с учетом теоремы Безу разлагается на n линейных множителей вида kz z− и множитель, равный коэффициенту при nz : 0 1 2( ) ( ) ( )...( )n nP z a z z z z z z= ⋅ − ⋅ − − . Для случая кратных (повторяющихся) корней формула группируется следующим образом:

1 21 2( ) ( ) ( ) ...( ) mkk k

n n mP z a z z z z z z= ⋅ − ⋅ − −

О

Т

С


45

здесь iz – корни кратности ik , 1 2i , , ,m= K , 1 2 mk + k + ...+ k = n Рассмотрим случай многочленов с действительными коэффициентами.

Если многочлен ( )nP z с действительными коэффициентами имеет ком-плексный корень 0z = +iα β кратности к, то он имеет и комплексно-сопряженный корень 0z iα β= − той же кратности.

Вывод: комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами появляются сопряженными парами.

Многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линей-ные и квадратичные множители с действительными коэффициентами. Рассмотрим линейные множители вида lz z− , где lz - действительное

число, и объединим множители вида ( ) ( )l lz z z z− ⋅ − , где lz - комплексное число. Тогда 2( ) ( ) ( ) .l l l l l lz z z z z z z z z z− ⋅ − = − + + ⋅

Но ( ) ( ) 2 ,l lz z i iα β α β α+ = + + − = 2 2( ) ( )l lz z i iα β α β α β⋅ = + ⋅ − = + являются действительными числами, обозначим их p и q соответственно.

Тогда 2( ) ( )l lz z z z z pz q− ⋅ − = + + где p, q – действительные числа, а квадратный трехчлен имеет только комплексные корни и не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами. Таким образом, многочлен )(zPn с действительными коэффициентами имеет следующее раз-ложение:

1 20 1 2( ) ( ) ( ) ( )ss s i

n iP z a z z z z z z= − − −K 2 211 1( ) ( )

kk jj jz p z q z p z q+ + + +K ,

где 1 2 12 2i js s s k k n+ + + + + + =K K .

Данное выражение представляет собой произведение множителей двух ти-пов: 1). Линейные множители ( ) is

iz z− , где iz - действительный корень кратности is .

2). Квадратичные множители ( )2 jkz pz q+ + с действительными коэффициен-

тами p, q и отрицательным дискриминантом 2 4 0D p q= − < . Данные множи-

тели ( )2 ( ) ( )j jk k

j jz pz q z z z z⎡ ⎤+ + = − ⋅ −⎣ ⎦ соответствуют паре комплексно-сопряженных корней ,j jz z кратности jk .

Т

Т


Пример: Разложить на множители 3( ) 1P x х= + .

( ) 23 1 ( 1)( 1)P х х х х х= + = + − + , 1 1x = − -действительный корень, у квад-ратного трехчлена действительных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней:

2,31 1-4 1 3 1 3 1 1 3

2 2 2 2ix ± ± − ± ⋅ − ±

= = = = ,

( ) ( ) 1 3 1 312 2i iP x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞+ −= + − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

4.3. Примеры решения задач Пример:

Разложить на множители многочлен 1)( 44 += zzP .

Решение:

Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим ком-плексные корни:

24 4 41 0 1 0

i( k )iz i e ; i e ;

π ππ

+

= − + = − + = где .3;2;1;0=k

Корни многочлена: 47

44

5

34

3

24

1 ;;;ππππ iiii

ezezezez ==== .

Пары 41 , zz ; 32 , zz - сопряженные: );)()()((1 32414 zzzzzzzzz −−−−=+

объединим сомножители попарно:

4 2 21 4 1 4 2 3 2 31 ( ( ) )( ( ) )z z z z z z z z z z z z z+ = − + + − + + ,

1 47 7cos sin cos sin

4 4 4 4z z i iπ π π π+ = + + + = =

2 2 2 2 22 2 2 2

i i+ + − = ,

1 4 1z z⋅ = .

Аналогично, 2 3 2 32, 1z z z z+ = − ⋅ = .

Тогда ).zz)(zz(z)z(Pn 12121 224 +−++=+=


47

Пример: Дать геометрическое описание множества всех точек комплексной

плоскости, удовлетворяющих условиям: 1 5

0z ,

Im z .⎧ ≤ ≤⎨

≤⎩

Решение: Запишем z в алгебраической форме z x yi= + , тогда из условия :

2 2 2 22 2 1 51 500

x yx yyy

⎧ ⎧ ≤ + ≤⎪ ≤ + ≤ ⇒⎨ ⎨≤≤⎪ ⎩⎩

.

Искомое множество: нижняя половина кольца с внут-ренним радиусом R1 1= и внешним R2 5= .

Пример:

Представить в тригонометрической и показательной формах числа

z i z i z i1 2 3

22

22

5 12= + = − = −; ; .

Решение: 1

1 1 1 1iz x iy z e ϕ= + = ;

1 arctg4

yx

πϕ = = , z1

12

12

1= + = ; z e ii

14

4 4= = +

π π πcos sin ;

2 25 144 169 13z = + = = ;

212arctg ;5

ϕ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2ϕ − угол, лежащий в IV четверти.

z ei arctg

2

12513=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 12 1213 cos arctg sin arctg

5 5i⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

;

z3 1 0 1= + = ; 3 2πϕ = − ; z e i

i

32

2 2= = −

−π π π

cos sin .

Пример:

Выполнить действие:

ii i i

ii

ii9 8 7 2

2

2 11 22

+ + ++

++

+.

Решение: Поскольку 2 4 9 8 71; 1,... , 1, .i i i i i i i= − = = = + = −

2

9 8 7 2

2 1 22 11 2 2 11 1 2

i i i i ii i i i i i i i

+ − ++ + = + + =

+ + + + + − + − +

13 13i ii i= + − = .

x

y

515− 1− 0


Пример: Вычислить 2 24 + i .

Решение: 2

4 44ki

z z e ;ϕ π+

= ⋅ где 0; 1; 2; 3k = .

z = + =2 2 2; 2arctg ;42πϕ = = ϕ - угол, лежащий в I четверти.

9 17 254 4 4 416 16 16 16

1 2 3 42 ; 2 ; 2 ; 2i i i i

z e z e z e z eπ π π π

= = = = .

Пример: Разложить многочлен 4 3 26 25 68x x x x+ + + на множители с действи-

тельными коэффициентами. Решение: Очевидно, что x1 0= . Подбором среди делителей свободного члена на-ходим x2 4= − , с помощью деления “уголком” получаем:

4 3 226 25 68 2 17 4 4 17 0

4x x x x x x ; D

x( x )+ + +

= + + = − ⋅ <+

.

Тогда разложение имеет вид : 4 3 26 25 68x x x x+ + + 24 2 17x( x )( x x )= + + + .

Пример:

Решить биквадратное уравнение 4 24 3 0z z+ + = . Решение:

( ) ( )4 2 2 24 3 1 3 0z z z z+ + = + + = .

z i1 2 1 0, = − = ± ; z i3 4 3 0 3, = − = ± .

Пример:

Разложить многочлен на квадратные множители при условии, что задан один из корней.

4 3 218 21 8 20 4 2x x x x ; x i+ + + + = − + .

Решение: Так как для многочлена с действительными коэффициентами корни по-являются только сопряженными парами, то x i2 4 2= − − . Соответствую-щий квадратный трехчлен имеет вид:

( ) 2 21 2

2

( ) ( 4 2 )( 4 2 ) (( 4) 4 )

8 20

x x x x x i x i x i

x x .

− − = + − + + = + − =

= + +

Делением начального многочлена на 2( 8 20)x x+ + получаем: 4 3 2 2 28 21 8 20 ( 8 20)( 1)x x x x x x x+ + + + = + + + .


49

Пример: Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетво-

ряющих условию .1=− iz Решение:

1)1()1(1 22 =−+=−+=−+=− yxyixiiyxz ,

1)1( 22 =−+⇒ yx . Следовательно, искомое множество со-стоит из точек окружности единичного радиуса, центр кото-рой имеет координаты )1;0( .

4.4. Разложение правильных рациональных дробей

Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей четырех типов:

( ) ( )k 2 2 k

A A Bx +C Bx +C; ; ;x - a x - a x + px + q x + px + q

, 2 4 0p q− < .

При этом каждому действительному корню а кратности m в разложении знаменателя )(xPn соответствует сумма

( ) ( )1 2 m

2 m

A A A+ + ...+ .x - a x - a x - a

Каждой комплексно сопряженной паре корней ,i iz z кратности m соот-ветствует сумма

( ) ( )1 1 2 2 m m

2 2 2 2 m

M x + N M x + N M x + N+ + ...+ .x + px+ q x + px + q x + px + q

Коэффициенты i i iA ,M ,N находятся методом неопределённых коэффи-циентов при одинаковых степенях x в числителях после приведения к общему знаменателю правой части разложения.

Пример:

Разложить правильную дробь ( )( )2

1 2

xx x− −

на сумму простейших дро-

бей. Преобразуем знаменатель, пользуясь формулой разности квадратов: ( )( ) ( )( )( )2 1 2 1 1 2x x x x x− − = − + − ;

( ) 11 ,1

Axx

− ⇒−

( ) ( ) 321 , 21 2

AAx xx x

+ ⇒ − ⇒+ −

;

( )( )31 2

2 1 1 21 2AA Ax

x x xx x= + +

− + −− −.

1

0

y

x

Т


( )1 2 31 ( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x A x x A x x A x x= + − + − − + − + . Первый способ нахождения коэффициентов. Равенство справедливо для любого x , в том числе и для

2= 1: 1 ( 2)( 3)x A− − = − −

32: 2 (1) 3x A= = ⋅ ⋅

11: 1 2 ( 1)x A= = ⋅ ⋅ −

1 2 31 1 2, ,2 6 3

A A A⇒ = − = − =

Второй способ нахождения коэффициентов. Многочлены равны, когда равны коэффициенты перед одинаковыми степенями x.

21 2 3

11 2

01 2 3

1 2 3

: 0;

: 3 1;

: 2 2 01 1 2, , .2 6 3

x A A A

x A A

x A A A

A A A

+ + =

− − =

− + − = ⇒

⇒ = − = − =

Ответ: ( )( )2

1 1 22( 1) 6( 1) 3( 2)1 2

xx x xx x

= − − +− + −− −

.

Пример:

Разложить правильную дробь

2

2 2

1( 1)x

x x−+

на сумму простейших дробей.

Порядок многочлена ( )22 1x x + в знаменателе равен 5.

;Axx

⇒

( )22 1x + 1 1 2 22 2 2( 1) ( 1)

B x D B x Dx x+ +

⇒ ++ +

;

( )2

1 1 2 22 2 2 22

1( 1) ( 1)1x A B x D B x D

x x x xx− + +

= + ++ ++

;

( ) ( )2 2 2 21 1 2 21 ( 1) ( 1)x A x B x D x x B x D x− = + + + + + + ;

0 : 1x A= = − ; 4

1: 0x A B+ = ; 3

1: 0x D = ; 2

1 2: 2 1x A B B+ + = ;

1 2: 0;x D D+ =

1 1 2 21, 1, 0, 0, 2A B D D B⇒ = − = = = = .

( ) ( )2

2 222 2

1 1 211 1

x x xx xx x x

−= − + +

++ +.


51

Пример: Разложить рациональную дробь на сумму простейших, предварительно

выделив целую часть: 3

3 2

82 4

x xx x x

− +− + +

.

Решение:

Разделив «уголком», получим: 3 2

3 2 3 2

8 2 2 412 4 2 4

x x x xx x x x x x

− + − += +

− + + − + +.

Разложим на множители знаменатель: x1 1= − ; x x x

xx x

3 222 4

13 4

− + ++

= − + ;

x x x x x x3 2 22 4 1 3 4− + + = + − +( )( ). 2

2 22 2

2 2 4 3 4( 1)( 3 4) 1 3 4

x x A Bx C Ax Ax A Bx Bx Cx Cx x x x x x

− + += + = − + + + + +

+ − + + − +.

2

1

0

: 2 1;: 3 2 1;: 4 4 0.

x A B Ax A B C Bx A C C

+ = =⎫⎪− + + = − ⇒ =⎬⎪+ = =⎭

Искомый результат: 3

3 2 2

16 11 .2 4 1 3 4

x x xx x x x x x

− += + +

− + + + − +

4.5. Примеры решения задач

Пример: Разложить на сумму простейших дробей дробь

xx +3

10 .

Решение: Знаменатель xxxP += 3

3 )( , корни ix;x , ±== 00 321 . ).1()( 2

3 += xxxP 2 2

3 2 2

101 1

A Bx C Ax A Bx Cx .x x x x x( x )

+ + + += + =

+ + +

Приравняем числители и коэффициенты при одинаковых степенях x : ;10 22 CxBxAAx +++=

2

1

0

: 0 10;: 0 10;: 10 0,

x A B Ax C Bx A C

+ = =⎫⎪= ⇒ = −⎬⎪= =⎭

.

тогда искомое разложение имеет вид: 1

10101023 +

−=+ x

xxxx

.


Пример: Разложить неправильную дробь на сумму многочлена и простейших

дробей.

)3)(3(99

933933

223

234

++−

+=++++++

xxxx

xxxxxx .

33)3)(3(99

22 ++

++

=++

−x

CBxx

Axx

x .

.33399 22 CBxCxBxAAxx +++++=− 2

1

0

: 0 3;: 3 9 3;:3 3 9 0,

x A B Ax C B Bx A C C

+ = =⎫⎪+ = − ⇒ = −⎬⎪+ = =⎭

33

33

933933

223

234

+−

++=

++++++

xx

xx

xxxxxx .

Пример:

Разложить правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей 3

1 1

2

2 2

xx x x( ) ( )− + +

.

31 1 1 1 1

2

2 2 2 2

xx x x

Ax

Bx

Cx Dx x( ) ( ) ( )− + +

=−

+−

++

+ +=

=− + + + + − + + − +

− + +Ax A Bx Bx B Cx x Cx Dx Dx D

x x x

3 2 3 2 2

2 2

2 21 1( ) ( )

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х: 3

2

1

0

0 1;2 3 1;

2 0 1;0 0.

A C AxA C D BxB C D Cx

A B D Dx

+ = =⎫⎪− + = =⎪⇒⎬+ − = = −⎪⎪− + + = =⎭

.

Искомое разложение имеет вид: 3

1 11

111 1

2

2 2 2 2

xx x x x x

xx x( ) ( ) ( )− + +

=−

+−

−+ +

.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, у студентов должны сформироваться следующие понятия:

комплексные числа и формы их записи, действия над комплексными числами, многочлены в комплексной области.

Студент должен уметь: преобразовывать комплексные числа из одной формы в другую, сравнивать, складывать, вычитать, умножать, делить комплексные числа, возводить в целую степень, извлекать корни целых степеней в удобной для каждого действия форме;

разлагать рациональные дроби на сумму простейших дробей.

Лекции 5 - 6 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. В простейшей форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие он получил в 17-м веке, в тесной связи с возник-шим тогда же дифференциальным исчислением. В данных лекциях рассматривается пер-вая часть задачи – вычисление первообразной как операция, обратная дифференцирова-нию.

5.1. Основные определения 5.2. Свойства неопределенного интеграла 5.3. Таблица основных интегралов 5.4. Методы интегрирования

5.4.1. Непосредственное интегрирование 5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле 5.4.3. Интегрирование по частям 5.4.4. Возвратное интегрирование

6.1. Интегрирование рациональных дробей 6.1.1. Интегрирование простейших дробей 6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби

6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции 6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических функций вида sin cosm nx xdx∫ . 6.2.2. Интегралы вида cos cosx xdxα β∫ ;

cos sinx xdxα β∫ ; sin sinx xdxα β∫ . 6.3. Интегрирование иррациональных выражений

6.3.1. Линейные иррациональности 6.3.2. Дробно-линейные иррациональности 6.3.3. Квадратичные иррациональности - тригонометрические подстановки 6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов 6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования иррациональностей 6.3.6. Подстановки Эйлера


5.1. Основные определения

Функция ( )F x называется первообразной для функции ( )f x на интер-вале ( ),a b , если ( )F x дифференцируема на ( ),a b и ( ) ( )F x f x′ = .

Пример:

( ) ( )2 =2 , (- , )F x x f x x= ∞ ∞ , ( ) sin ( )=cos( ), (- , )F x x f x x= ∞ ∞ ,

( ) 1 ( )=2

F x x f xx

= = , (0, )∞

Если ( )1F x и ( )2F x – две первообразные для функции ( )f x на интер-вале ( ),a b , то они могут отличаться лишь на постоянную, т.е. ( ) ( )1 2F x F x C= + , где C – постоянная. Доказательство: Положим ( ) ( ) ( )1 2x F x F xΦ = − .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 0x F x F x f x f xΦ′ ′ ′= − = − = , следовательно, по теореме Лагранжа ( )x CΦ = .

( )( ) ( ) ( ) ( )0F x C F x C f x f x′ ′ ′+ = + = + = .

Если ( )F x – одна из первообразных для функции ( )f x , то любая ее первообразная имеет вид: ( ) ( )x F x CΦ = + , где C – постоянная.

Совокупность всех первообразных для функции ( )f x на интервале ( ),a b называется неопределенным интегралом от функции ( )f x и

обозначается символом ( )f x dx∫ , где ∫ – знак интеграла, ( )f x – по-

дынтегральная функция, ( )f x dx – подынтегральное выражение.

Теорема об интегрируемости непрерывных и монотонных функций Если ( )f x - непрерывна или кусочно-монотонна на [ ]a,b , то она интег-рируема на [ ]a,b .

Т

Т

О

О

C

Неопределенный интеграл

55

5.2. Свойства неопределенного интеграла

Из определения следует, что неопределенный интеграл обладает сле-дующими свойствами: 1) ( ) ( )dF x f x dx= ;

2) ( ) ( )dF x F x C= +∫ ;

3) ( ) ( )Cf x dx C f x dx=⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ , где C – постоянная;

4) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ;

5) Если ( ) ( )f x dx F x C= +∫ , то 1( ) ( ) f ax b dx F ax b Ca

+ = + +∫ .

(Доказательство свойства 5 проведем позднее). 5.3. Таблица основных интегралов

0 , dx С dx x C= = +∫ ∫

1

( -1)1

xx dx Cα

α αα

+

= + ∀ ≠+∫

-1 lndxx dx x Cx

= = +∫ ∫

, 0, 1ln

xx aa dx C a a

a= + > ≠∫

x xe dx e C= +∫

sin cosxdx x C= − +∫

cos sin xdx x C= +∫

2 tgcos

dx x Cx= +∫

2 ctgsin

dx x Cx= − +∫

2 2

1 ln 2

dx x a Ca x a x a

+= +

− −∫

2 2arcsin ,dx x C x a

aa x= + <

−∫

2 2

2 2lndx x x a C

x a= + − +

−∫

( )2 2

2 2lndx x x a C

x a= + + +

+∫

( )2 2

1 arctg 0dx x C aa x a a

= + ≠+∫

shx dx∫ =chx C+

chxdx∫ =shx C+

2chdx

x∫ =thx C+

2shdx

x∫ = cthx C− +


Производная любой элементарной функции сама является элементарной функцией. Интегралы от некоторых элементарных функций не выража-ются через элементарные функции, они называются неберущимися.

Пример:

∫ − dxe x 2 – неберущийся интеграл.

5.4. Методы интегрирования 5.4.1. Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенных интегралов с помощью свойств интегралов, таблицы интегралов и алгебраических преобразований подынтегральной функции называется непосредственным интегрированием.

Пример:

1) 2 32 3 5x x x dx⋅ ⋅ =∫ ( ) ( ) ( )2 3 22502 3 5 2250

ln 2250

xx xdx dx C⋅ ⋅ = = +∫ ∫ .

2) ( )5 7 8x x x dx+ + =∫6 8 3/ 2 6 8 3/ 28 16 .

6 8 3/ 2 6 8 3x x x x x xC C+ + + = + + +

5.4.2. Замена переменной в неопределенном интеграле

Пусть функция ( )x tϕ= определена и дифференцируема на некотором множестве { }t и пусть { }x – множество всех значений этой функции. Пусть для функции ( )f x существует на множестве { }x первообразная

функция ( )F x , т.е. ( ) ( )f x dx F x C= +∫ . Тогда всюду на множестве { }t

для функции ( ) ( )f t t′ϕ ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦ существует первообразная функция, равная

( )( )F tϕ , т.е. ( ) ( ) ( )( )f t t dt F t Cϕ ϕ ϕ′ = +⎡ ⎤⎣ ⎦∫ . Доказательство: Пусть ( ) ( )F x f x′ = , ( ) ( )f x dx F x C= +∫ . По правилу дифференцирова-

ния сложной функции ( ) ( ) ( ) ( )dF xd dxF t f t tdt dx dt

ϕ ϕ ϕ′= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , значит,

( ) ( ) ( )( )dtf t t F t Cϕ ϕ ϕ′ = +⎡ ⎤∫ ⎣ ⎦ , что и требовалось доказать.

!

Т


57

Пример: Пусть ( ) ( )f t dt F t C= +∫ .

( ) ( )1 1, ,tf ax dx t ax x dx dt f t dta a a

⎧ ⎫= = = = = =⎨ ⎬⎩ ⎭∫ ∫

= ( ) ( )1 1F t C F ax Ca a

+ = + ,

( ) ( ) ( ) ( ),,

t x bf x b dx f t dt F t C F x b Cx t b

dx dt

= +⎧ ⎫⎪ ⎪+ = = = + = + += −⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭

∫ ∫ ,

( ) ( ) ( ) ( )

,1 1,

1

t ax bt b dtf ax b dx x f t F t C F ax b Ca a a a a

dx dta

⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎪ ⎪⎪ ⎪+ = = − = = + = + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ .

Пример:

1). ( ) ( )1sin 8x 2 dx cos 8x 2 C

8− = − − +∫ ;

2) ( )2 2

1,1 1, 1 2

2

t xx x dx x t t t t dt

dx t dt

⎧ ⎫= −⎪ ⎪

− = = + = + ⋅ ⋅ =⎨ ⎬⎪ ⎪=⎩ ⎭

∫ ∫

= ( )4 2 5 32 225 3

t t dt t t C+ = + + =∫ ( ) ( )5 32 21 15 3

x x C− + − + .

3) 22

2 ,1 tg tg,

1 cos 2 2cos2cos2 2

x tdx dx dt xx t C Ctxx t

dx dt

=⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= = = = + = +=⎨ ⎬+ ⎪ ⎪

=⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ ∫ .

Частным случаем замены является преобразование подынтегральной функции, связанное с подведением под знак дифференциала части по-дынтегральной функции. В этом случае замена носит характер переобозначения.

Пример:

1) ( )

{ }2

22 2

1 12 1

1 1

d xxdx t xx x

+= = = + =

+ +∫ ∫

= ( )21 1 1ln ln 12 2 2

dt t C x Ct= + = + +∫ .

2) ( ) ( ) ( ) =−−=−=− ∫∫∫ −− 2525

5125

252/12/1 xdxdxx

xdx

!


{ }1 2

1 21 1 25 2 5 25 5 1 2 5

// tt x t dt C x C

/−= = − = = + = − +∫ .

3) sin cos sin sinx xdx xd x= =∫ ∫ { }sint x=1 32 22

3t dt t C= = + =∫

= ( )32

2 sin 3

x C+ .

Дополнительные примеры:

Пример:

u cos xsin x dutg x dx dxdu sin x dxcos x u=⎧ ⎫

= = = − =⎨ ⎬= −⎩ ⎭∫ ∫ ∫ ln ln cosu C x C− + = − + .

Пример:

( ) ( ) ( )2 8 2 8

1 12 3 1 5 2

2 3 2 5

t x, x t ,x x dx dx dt , t t dt

x t

= − = −⎧ ⎫⎪ ⎪+ − = = − = − − =⎨ ⎬⎪ ⎪+ = − +⎩ ⎭

∫ ∫

( )8 9 10 9 10 1125 20 425 20 49 10 11

t t t dt t t t= − − + = − + − =∫

= ( ) ( ) ( )9 10 1125 41 2 1 19 11

x x x C− − + − − − + .

Пример:

,1

4sin cos 2 sin

4

t xdx dxx x x dt dx

π

π

⎧ ⎫= +⎪ ⎪= = =⎨ ⎬+ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪+ =⎩ ⎭⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

1 1ln tg ln tg2 2 82 2t xC Cπ⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Пример:

dx

xxsindx

xxxsin

))4342143421

21

11∫∫∫ −=

− .

1) Cxdxxdxx

+== ∫∫ −2/1

1 2/12/1 ;

2) ,

sin sin 2 2cos

2

x tx dx t dt t Cdxdtx

x

⎧ ⎫=⎪ ⎪= = ⋅ = + =⎨ ⎬

=⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ∫ 2cos x C+ .

Cxxdxx

x++=

−∫ cos22sin1 .


59

Пример: ( )

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

−

+=

−

+∫∫ dxedt

etdxe

eedxeee

x

x

x

xx

x

xx ,1

11

2

{ } =+−+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−=

−+

= ∫∫ Cttdtt

dttt 1ln2

121

11

Cee xx +−−−= 1ln2 .

Пример:

( )( )

2

ln tg ,ln tg 1 1 1

sin 2 tg cos sin cos2 1

sin 2 sin 2 2

t xx dxdx dt dx

x x x x xdx dx dt

x x

⎧ ⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪

⋅⎪ ⎪= = ⋅ = = =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪

= ⇒ =⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

221 1 ln tg

2 4 4tt dt C x C= + = +∫ .

Пример:

∫∫ =

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

=− 1cos

,sin

1

cossin tx e

dtdxxdt

xt

e

dxx

∫ =−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=12

22наинаьзнаменатели

числительразделимидомножимtt

t

tee

dtee

=+=+

=−

⋅=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+=⇒⇒−=

= ∫∫ Cuu

dudte

ee

dte

edu

ueeu

t

t

t

t

t

t

t

arctg21

212

12

12

,11

22

Ce x +−= 1arctg2 sin .

Пример:

( )( )

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−⋅=

=

=−

∫ dxxx

dt

xt

xx

dxx

22

1

1arccos

1arccosln

arccos1

arccosln

( )2

2t 1t dt C ln arccosx C2 2

= − = − + = − +∫ .


5.4.3. Интегрирование по частям

( ) ( ) ( )' 'd u v u v dx u v v u dx′⋅ = ⋅ = + = ' 'u vdx v udx vdu udv+ = + ;

( )d uv udv vdu= + ; ( )udv d uv vdu= − ; ( )udv d uv vdu= −∫ ∫ ∫ ;

udv uv vdu= −∫ ∫ - формула интегрирования по частям. Эта формула используется в тех случаях, когда новый интеграл проще ис-ходного. 1. В интегралах вида ( ) x

kP x e dx∫ ; ( )sinkP x xdx∫ ; ( )coskP x xdx∫ за u обозна-чается многочлен порядка k ( )kP x ;

Пример:

sinsin

cosu x dv xdx

x xdxdu dx v x= =⎧ ⎫

= ⎨ ⎬= = −⎩ ⎭∫

-x cos cos cos sinx xdx x x x C= + = − + +∫ .

Формулу интегрирования по частям можно применять повторно.

Пример: 2

2 coscos

2 sinu x dv x dx

x x dxdu xdx v x⎧ ⎫= =

= =⎨ ⎬= =⎩ ⎭

∫

=−= ∫ dxxxxx sin2sin2

( )( )2sinsin 2 cos cos

cosu x dv x dx

x x x x x dxdu dx v x

= =⎧ ⎫= = − − − − =⎨ ⎬= = −⎩ ⎭

∫

Cxxxxx +−+= sin2cos2sin2 .

Пример: 2

2 2ln2

x

x x

u x dv dxx dx

du dx v

⎧ ⎫= = ⋅⎪ ⎪⋅ = =⎨ ⎬

= =⎪ ⎪⎩ ⎭∫

( )22 2 2 2

ln2 ln2 ln2 ln2

x x x xx xdx C⋅ ⋅− = − +∫ .

Пример:

shsh

chu x dv x dx

x x dxdu dx v x

= =⎧ ⎫= =⎨ ⎬= =⎩ ⎭

∫ ch ch ch shx x x dx x x x C− = − +∫ .

2. В интегралах вида ( ) lnkP x x dx∫ , ( )arcsinkP x xdx∫ , ( )arccoskP x xdx∫ ,

( )arctgkP x xdx∫ , ( )arcctgkP x xdx∫ за u обозначается логарифм или обратная тригонометрическая функция.

!


61

Пример:

2

arctg ,arctg

,1

u x dv dxx dx dxdu v x

x

= =⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬

= =⎪ ⎪+⎩ ⎭∫

( )22

1arctg arctg ln 11 2

xdxx x x x x Cx

− = − + ++∫

Пример:

( )

( )=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=⋅=

===∫ xv

xdx

xdu

dxxdvxudxxx cos

costg1

sintglntglnsin

2

( ) ( ) ( ) =+−=⋅−−−= ∫∫ xdxxx

xdx

xxxx

sintglncos

costg1costglncos 2

= ( )cos ln tg ln tg2xx x C− + + .

5.4.4. Возвратное интегрирование

Так называемое возвратное интегрирование применяется при вычис-лении интегралов вида: cosaxe bx dx∫ , sinaxe bxdx∫ , ( )cos ln x dx∫ ,

( )sin ln x dx∫ и подобных.

Пример: sinaxe bx dx∫ .

Обозначим ∫= dxbxeI ax sin . Тогда

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−==

===∫

bbxcosvdxaedu

dxbxsindveudxbxsine ax

ax

ax

11 1cos cos cosax ax axa ae bx e bx dx e bx Ib b b b

= − + = − +∫ .

Полученный интеграл 1I возьмем по частям:

1

cos 1cos cossin

sin 1 sinsin cos .

ax

ax axax

ax ax ax ax

u e dv bx dxI e bx dx e bxbx bdu ae dx v

ba bx a a bx ae e bx dx e bx e Ib b b b b b b

⎧ ⎫= =⎪ ⎪= = = − +⎨ ⎬

= =⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − = − + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∫

∫

То есть Ibabxe

babxe

bI axax

2

2

2 sincos1−+−= . Выразим отсюда искомый

интеграл I : ( ) Cba

bxbbxaedxbxeax

ax ++

−=∫ 22

cossinsin .


6.1. Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется отношение двух алгебраических многочленов

10 1 1

10 1 1

( ) ...( ) ...

m mm m m

n nn n n

P x b x b x b x bR x a x a x a x a

−−

−−

+ + + +=

+ + + +.

6.1.1. Интегрирование простейших дробей

Правильные дроби четырех типов:

1) Ax a−

;

2) ( )k

Ax a−

, где k – целое положительное число, 1>k ,

3) 2

Ax Bx px q

++ +

;

4) ( )2 k

Ax B

x px q

+

+ +, где 2x px q+ + – квадратный трехчлен

с отрицательным дискриминантом 2

04p q− < , называют

простейшими дробями. Методы интегрирования простейших дробей

1. ( ) lnd x aAdx dxA A A x a C

x a x a x a−

= = = − +− − −∫ ∫ ∫ ;

lnAdx A x a Cx a

= − +−∫ .

2. ( )

( ) ( ) ( ) 1

1

nn

n

x aAdx A x a d x a A Cnx a

− +− −

= − − = + =− +−∫ ∫

( ) ( ) 11

1 nA C

n x a −⋅ +− −

;

( ) ( ) 11

1n nAdx A C

nx a x a −= ⋅ +−− −∫ .

3. Для вычисления интеграла 2

Ax B dxx px q

++ +∫ разобьем его на два интеграла,

первый из которых aI в числителе содержит дифференциал знаменателя, а второй bI не содержит x в числителе. Обозначим ( )2 2u x px q du x p dx= + + ⇒ = + .

О

О


63

2

Ax B dxx px q

++ +∫ 2 2

2 / 22

a bI I

A x p B Apdx dxx px q x px q

+ −= +

+ + + +∫ ∫144424443 1442443

;

2ln ln2 2aA AI u C x px q C= + = + + + ,

2 222

2 4

bAp dxI B

p px px q

⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ .

Здесь мы выделили полный квадрат в знаменателе и учли, что 2

04pq − > .

Сделаем замену переменной 2

/ 2,,

/ 4 .

t x pdt dx

a q p

⎧ ⎫= +⎪ ⎪⎪ ⎪=⎨ ⎬⎪ ⎪

= −⎪ ⎪⎩ ⎭

,

тогда

2 2 2 2

/ 2 / 2arctg2 / 4 / 4

bAp dt B Ap x pI B C

t a q p q p− +⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟ +⎝ ⎠ − −

∫ .

4. Рассмотрим интеграл ( )2 k

Ax B dxx px q

+

+ +∫ .

Аналогично тому, как это было сделано для интеграла 3, заменим

( )2 2u x px q du x p dx= + + ⇒ = + .

Разобьем интеграл на два интеграла:

( ) ( )( )( )2 2 2

/ 222

a b

k k k

I I

B ApAx B A x pdx dx dxx px q x px q x px q

−+ += +

+ + + + + +∫ ∫ ∫

144424443 144424443

.

( ) ( )( )1

12

12 2 1 2 1

k

a kk

A du A u AI C Cu k k x px q

− +

−= = ⋅ + = − ⋅ +− − + +

∫ .


( ) 22

/ 2,

2 / 4b k

t x pAp dxI Ba q px px q

= +⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ = −+ + ⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

( )2 22 2 kkAp dt ApB B I

t a⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠+

∫ , где ( )2 2k k

dtIt a

=+

∫ .

Вычислим

( )2 2k kdtI

t a= =

+∫

2 2

2 2 1

1 ( )

- 2 ( )

k

k

u dv = dtt a

k tdtdu v tt a +

⎧ ⎫=⎪ ⎪+⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪= =⎪ ⎪+⎩ ⎭

2 2 2

2 2 2 2 1

( )2( ) ( )k k

t t a ak dtt a t a +

+ −+ =

+ +∫

22 2 2 2 2 2 12 2

( ) ( ) ( )k k k

t dt dtk kat a t a t a += + −+ + +∫ ∫ .

Имеем 2

2 2 2 2( )k k k+1k

tI kI ka It a

= + −+

;

1 2 2 2 2

2 12 ( ) 2k kk

t kI Ika t a ka+

−= +

+.

Получена рекуррентная (возвратная) формула, выражающая значение инте-грала от 1k + - й степени через значение интеграла от k - й степени. Зная

1 2 2

1 arctgdt tI Ct a a a

= = ++∫ , по формуле можно найти 2I , затем, используя 2I ,

найти 3I и т.д.

Пример:

∫++

− dxxx

x1

12 .

Правильная дробь типа 3).

( )=

++

−−+

++

+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=++==

++

−∫∫∫ dx

xxdx

xxx

dxxdtxxtdx

xxx

12/11

112

21

121

11

22

2

2

4434421321ba II

xxdx

tdt

∫∫ ++−=

123

21

2 .

CxxCtIa +++=+= 1ln21ln

21 2 ,


65

( ) ( )=

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=

=++

−= ∫∫ 2222/32

3,2/1

4/32/123

v

dvdxdv

xv

xdxIb

( )1/ 2 23 22 3 3

xarctg C

+ ⋅= − ⋅ + .

Ответ: Cxxx ++

−++3

12arctg31ln21 2 .

6.1.2. Общая схема интегрирования рациональной дроби ( )( )

m

n

P x dxP x∫

1. Если дробь ( )( )

m

n

P xP x

неправильная ( m n≥ ), то путем деления числителя на

знаменатель получают многочлен и правильную рациональную дробь: ( )( ) ( )

( ) ( )pm

ln n

R xP x Q xP x P x

= + , где ( )lQ x , ( )pR x - многочлены степени l и p соот-

ветственно; ( )lQ x - частное (целая часть дроби); , l m l n = m≤ + , ( )pR x - остаток ( <p n ).

2. Находят корни знаменателя правильной рациональной дроби и разлага-ют знаменатель на квадратичные и (либо) линейные множители с веще-ственными коэффициентами.

3. Записывают разложение полученной правильной дроби на простейшие. 4. Интегрируют каждую простейшую дробь. Вывод: интеграл от рациональной дроби выражается через элементарные

функции: рациональные дроби, ( )arctg x и ( )ln x .

Пример:

Вычислить( )( )2

1 2xdx

x x− −∫

Решение:

Разлагаем правильную дробь ( )( )2 1 2

xx x− −

на сумму простейших:

( )( )2 1 2x

x x− − ( ) ( )( -1) 1 2A B C

x x x= + +

+ −;

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x A x x B x x C x x= + − + − − + − + ; 11:1 2 ,2

x A A= = − = − ;

11: 1 ( 2)( 3),6

x B B= − − = − − = − ;

22 : 2 (1)(3),3

x C C= = = .


( )2

1 1 2( 1)( 2) 2 1 6( 1) 3( 2)

xx x x x x

= − − +− − − + −

.

По свойству линейности:

2

1 1 2( 1)( 2) 2 1 6 1 3 2

x dx dx dxdxx x x x x

= − − + =− − − + −∫ ∫ ∫ ∫

1 1 2ln 1 ln 1 ln 22 6 3

x x x C= − − − + + − + .

Пример:

Вычислить

( )6 4 2

22

2 2 1

1

x x x dxx x

+ + −

+∫ .

( )6 4 2

22

2 2 1

1

x x x

x x

+ + −

+ - неправильная дробь.

Выделим целую часть: 6 4 2 2

2 2 2 2

2 2 1 1( 1) ( 1)

x x x xxx x x x

+ + − −= +

+ +.

Разложим правильную дробь на сумму простейших

( ) ( )2

1 1 2 222 2 2 2

-1( 1) 1 1

B x D B x Dx Ax x x x x

+ += + +

+ + +.

2 2 2 21 1 2 2-1 ( 1) ( 1) ( ) ( )x A x x x B x D x B x D= + + + ⋅ + + + ;

4 4 41 1 1

31

21 2 2

1 2 2

0 : 1 ;: 0, 0, 1;: 0;

: 2 1, 2;: 0, 0;

x Ax Ax B x A B Bx D

x A B B Bx D D D

= − =

+ = + = =

=

+ + = =+ = =

( )2

2 2 2 22

-1 1 2( 1) ( 1)1

x x xx x x xx

= − + ++ ++

;

( )6 4 2

22

2 2 1

1

x x x dxx x

+ + −=

+∫

( ) ( )22 22

1 1

dx x xxdx dx dxx x x

= − + + =+ +

∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

( )( )

2 22

22 2

1 11ln2 2 1 1

d x d xx xx x

+ += − + + =

+ +∫ ∫

( ) ( )2

22

1 1ln ln 12 2 1x x x C

x= − + + − +

+.


67

6.2. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

6.2.1. Интегралы, содержащие произведение тригонометрических

функций вида ∫sin cosm nx xdx . 1. Пусть n и m - четные, неотрицательные числа. 2 , 2 , ,m k n l k l= = ∈Ν . В подынтегральной функции степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу:

2 1 cos 2cos2

xx += ; 2 1 cos2sin

2xx −

= ;

1sin cos sin22

x x x= .

Пример:

24 1 cos 2cos

2xxdx dx+⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ 21 1 1cos2 cos 24 2 4

dx xdx xdx+ + =∫ ∫ ∫

( )1 1sin 2 1 cos44 4 8x x x dx= + + + =∫

1 1sin 2 sin 44 4 8 32x xx x C+ + + + .

Пример: == ∫∫ xdxxxxdxx 2242 cos)cos(sincossin

=+=+

= ∫∫∫444 3444 214434421

2

2

1

22

2cos2sin812sin

81

2)2cos1(

42sin

I

xdxx

I

xdxdxxx

CxxdxxI +−=−

= ∫ 644sin

1624cos1

81

1 .

∫ +== CxxxdI 2sin481)2(sin2sin

161 32

2 .

3sin 4 1 sin 216 64 48x x x C= − + + .

2. Пусть хотя бы одно из чисел n и m - нечетное положительное.

От нечетной степени отщепляется один сомножитель и заносится под знак дифференциала d, а оставшаяся подынтегральная функция выражается через функцию, стоящую под знаком дифференциала по формуле

2 2sin cos 1x x+ = .


Пример: 3 5 3 4sin cos sin cos cosx xdx x x xdx= =∫ ∫

( )23 4 3 2sin cos sin sin 1 sin sinx xd x x x d x= = − =∫ ∫

3 5 7(sin 2sin sin ) sinx x x d x= − + =∫ 4 6 81 1 1sin sin sin4 3 8

x x x C− + + ;

( )23 2

5 5 5

1 cos cossin sin sincos cos cos

x d xx x xdxdxx x x

−⋅= = − =∫ ∫ ∫ 4 2

1 1 14 cos 2cos

Cx x

⋅ − + .

3. Пусть n и m - таковы, что 2m n k+ = − , где k∈Ν , то есть сумма m n+ является четным отрицательным целым. Используется подстановка tgx t= , с

использованием формулы: 22

11 tgcos

xx

+ = .

( )3 3 4

35 3 2

3 5 2sin sin tgtg tgtgcos cos cos 4

xdx x dx xx d x Cx tx x x

− = −⎧ ⎫= = = ⋅ = +⎨ ⎬=⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

6.2.2. Интегралы вида cos cosx xdxα β∫ ; cos sinx xdxα β∫ ; sin sinx xdxα β∫ . Для вычисления следует перейти к сумме функций и сумме интегралов:

( ) ( )1cos cos cos cos2

x x x xα β α β α β= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

( ) ( )1cos sin sin sin2

x x x xα β α β α β= − + +⎡ ⎤⎣ ⎦ ,

( ) ( )1sin sin [cos cos ]2

x x x xα β α β α β= − − + .

6.2.3. Универсальная тригонометрическая подстановка

Интегралы вида (sin , cos )R x x dx∫ , где ( ) ( )sin ,cos ,R x x R u v= – рацио-нальная функция двух переменных, sin , cosu x v x= = , вычисляются с помо-щью так называемой универсальной тригонометрической подстановки

2xt tg= . Подстановка

2xt tg= сводит указанный интеграл к интегралу от

дробно-рациональной функции от одной переменной t .


69

Рассмотрим:

22 2 22 2

2 sin cos 2 sin cos 2 22 2 2 2 2sin1cos sin 1cos 1

2 2 22 2

x x x x xtg tx x x xx x ttgtg= = = =

+⎛ ⎞+ ++⎜ ⎟⎝ ⎠

;

2 22 22

22 2 2 2

cos 1cos sin 12 22 2cos1cos sin cos 1

2 2 2 2

x xx x tgtx x x x x ttg

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = =+⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

;

2

22arctg ,1

dtx t dxt

= =+

.

Формулы универсальной тригонометрической подстановки имеют вид:

2

2 2 2

2 2 1; sin ;cos1 1 1

dt t tdx x xt t t

−= = =

+ + +; 2

21

ttgxt

=−

;

( )2

2 2 2

2 1 2sin ,cos ;1 1 1

t t dtR x x dx Rt t t

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

∫ ∫ .

Пример:

( )( )

2 2

2

2

2 2tg , , sinsin 2 1 1

2 1ln tg .

21 2

dx x dt tt dx xx t t

dt t dt x Ctt t

⎧ ⎫= = = = =⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

+= = = +

+

∫

∫ ∫

Пример:

=

⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+−

=

=

=++∫

2

2

2

2

121

2sin

11cos

2tg

5sin3cos4

tdtdx

ttx

ttx

xt

xxdx


2

2 2 2 2 2

2 2 2

2

22 21

1 2 1 4 4 6 5 5 6 94 3 51 1 1

2 22 .( 3) 3 tg 3

2

dtdt dtt

t t t t t t t tt t t

dt C Cxt t

+= = = =− + − + + + + ++ ++ + +

= = − + = − ++ + +

∫ ∫ ∫

∫

Если подынтегральная функция ( )sin , cosR x x является четной функци-

ей sin x , cos x , то более эффективной, чем подстановка tg2xt = , является

подстановка tgt x= . Пример:

( )

{ }

22 2 2 2 22 2 2 22

2

222

2

1 tgsin cos cos tg tg

1 1tg arctg

dx dx d xba x b x ax a x b xa

dt att x Cba ab bta

= = =+ + +

= = = = + =+

∫ ∫ ∫

∫

1 tgarctg a x Cab b

⋅= +

Вообще говоря, перечисленные методы не исчерпывают всех способов вычисления интегралов от тригонометрических функций.

Пример:

∫∫∫ =−

== dxx

xdxx

xx

dx22 sin1

coscoscos

cos

sincos

x tdt xdx

=⎧ ⎫=⎨ ⎬=⎩ ⎭

2

1 1 11 2 1 1

dt t ( t ) dtt ( t )( t )

+ + −= =

− + −∫ ∫ =+

+− ∫∫ t

dtt

dt12

112

1 1 12

ln t− − +

1 1 112 2 1

tln t C ln Ct+

+ + + = + =−

1 12 1

sin xln Csin x+

+ =−

.42

tgln

2cos

2sin

2cos

2sin

ln21

2

2

CxCxx

xx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=π

.42

tglncos

Cxx

dx+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒ ∫

π

!


71

6.3. Интегрирование иррациональных выражений 6.3.1. Линейные иррациональности

Рассмотрим интегралы вида

1 2

1 2 , ( ) , ( ) ,..., ( )k

k

mm mnn nR x ax b ax b ax b dx

⎧ ⎫⎪ ⎪+ + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

∫ ,

где ( )i

i

mnax +b - линейные иррациональности - корни порядка ni, а ( ...) R x,y,z, -

дробно-рациональная функция своих аргументов.

Пусть s – общий знаменатель дробей 1 2 k

1 2 k

m m m, , ..., n n n

, тогда подстановка

st ax +b= сводит указанный интеграл к интегралу от дробно-рациональной функции одного аргумента.

Пример:

34

(2 -1)

(2 -1) 1

xdx

x=

+∫

44 31 3 1, , 4, 2 1 ; ; 2

2 4 2tS t x x dx t dt

⎧ ⎫+= = − = = =⎨ ⎬

⎩ ⎭

2 3 2 3 22

3 3 3

2 ( 1 1)2 2 - 2 1 1 1

t t dt t t t dtdt t dtt t t

+ −= = = =

+ + +∫ ∫ ∫ ∫ 3

3 3 33

2 2 2 2- ln 13 3 1 3 3

dtt t t ct

= − = + + =+∫

3 34 42 2(2 -1) ln (2 -1) 1

3 3x x c= − + + .

6.3.2. Дробно-линейные иррациональности

Интегралы вида 1

1, , ... ,k

k

mmn nax b ax bR x dx

cx d cx d

⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ , где ( , ,...)R x y –

дробно-рациональная функция, вычисляются при помощи подстановки Sax b t

cx d+

=+

, где S – общий знаменатель дробей 1

1

,..., k

k

m mn n

.


Пример: 1 1

1 12

x dx( x ) -x

+=

+∫

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

1 , 1 , 1, (1 ) 1,1-

1 1 2 2 4, 1 ,1 1 1 (1 )

x t x t xt x xt t x t tx

t t tx x dx dtt t t t

+⎧ ⎫= + = − + = − + = −⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬− + − −⎪ ⎪= = = + =⎪ ⎪+ + + +⎩ ⎭

2

2 2 2 2 2 22

2

1 4 4t(1 t ) ( 1 1)11

1

tdt t dtt tt

t

= ⋅ ⋅ = =+ + + −⎛ ⎞−

+⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ ∫

2

2 2 2

4 1 1-(2 ) 1

t dt dt xc ct t t x

= = = − + = − ++∫ ∫ .

6.3.3. Квадратичные иррациональности - тригонометрические

подстановки Интегралы вида ( )2,R x ax bx c dx+ +∫ , где 2ax bx c+ + - квадратичная

иррациональность, а ( , )R u v - дробно-рациональная функция своих аргумен-тов, выделением полного квадрата в квадратном трехчлене и заменой

2bu = x+a

приводятся к интегралу одного из следующих трех типов:

1) ( )2 2,R u l u du−∫ ;

2) ( )2 2,R u l u du+∫ ;

3) ( )2 2,R u u l du−∫ ,

к которым применяют тригонометрические подстановки соответственно: 1) sinu l t= или thu l t= , 2) tgu l t= или shu l t= ,

3) cos

lut

= или chu l t= ,

после чего подынтегральная функция сводится к тригонометрической. Пример:

2 2 5 2 - 5 ( 2 )x x dx x x dx+ = − − =∫ ∫ 2 25 - ( -1) 1 6 - ( -1) x dx x dx+ = =∫ ∫

2-16 -

x uu du

dx du=⎧ ⎫

= = =⎨ ⎬=⎩ ⎭∫


73

6 sin , 6 cos ; arcsin6

uu t du t dt t⎧ ⎫= = = = =⎨ ⎬⎩ ⎭

2 2 66 - 6 sin 6 cos 6 cos (1 cos 2 )2

t t dt t dt t dt= = = + =∫ ∫ ∫

3 -1 3 -13 sin 2 3 arcsin sin 2arcsin 2 26 6

x xt t c c= + + = + + =

-1 3 3arcsin sin 2 26

x cα= + + = { }sin 2 2 sin cos α α α= =

2-1 3 -1 ( -1)3arcsin 2 12 66 6

x x x c= + − + .

Частные случаи квадратичных иррациональностей

1. Интегралы вида 2

dxax bx + c+∫ выделением полного квадрата в знаме-

нателе сводятся к табличным.

Пример:

2 22 5 2 1 4dx dx

x x x x= =

+ + + + +∫ ∫

2

2 2

( 1) ln 1 2 5( 1) 2

d x x x x cx

+= = + + + + +

+ +∫

2. Для интегралов вида 2

Ax B dxax bx c

+

+ +∫ в числителе выделяется произ-

водная квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и интеграл сво-дится либо к табличному, либо к рассмотренному ранее.

Пример:

2

5 - 32 8 1

x dxx x

=+ +

∫

2 2 2

5 (4 8) -13 5 (4 8)4 -1342 8 1 2 8 1 2 8 1

x x dx dxdxx x x x x x

+ += = =

+ + + + + +∫ ∫ ∫

2

22

5 (2 8 1) 134 2 12 8 1 4 4 4

2

d x x dxx x x x

+ += − =

+ + + + + −∫ ∫

2

2

5 13 ( 2)2 2 8 14 2 7( 2)

2

d xx xx

+= + + − =

+ −∫

2 25 13 12 2 8 1 ln 2 44 22

x x x x x c= + + − + + + + + .


Пример:

( )∫ ∫ =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=

=

=+ 3

2

2

2

2

222

22/322

cos

cos

cos

,cos

,tg

ta

tdta

taax

tdtadx

tax

ax

dx

2 2

1 1cos sint dt t Ca a

= = + =∫

2 2 2 2 2

11

tg t xC Ca tg t a a x

= + = ++ +

.

Интегралы вида ( ) 2k

dxx a ax bx c− + +∫ , где 2k ≤ , подстановкой

2

1 1;x a dx dtt t

− = = − приводятся к предыдущему случаю.

Пример:

2 1

dxx x

=+

∫ 2

1 -1 1; ; x dx dt tt t x

⎧ ⎫= = = =⎨ ⎬⎩ ⎭

2

22

22

1-

1 1 11

dt dttt ttt t

= = −++

∫ ∫ 2

2ln 1

1dt t t c

t= − = − + + + =

+∫

2

1 1ln 1 cx x

− + + + .

6.3.4. Интегрирование дифференциальных биномов Выражение вида ( ) pm nx a bx dx+ , где , ,m n p - рациональные дроби,

,a b const− , называется дифференциальным биномом.

Интеграл от дифференциального бинома приводится к интегралу от ра-циональной функции в трех случаях подстановками Чебышева. В ос-тальных случаях интеграл не вычисляется через элементарные функции. Случай 1: p - целое число. Используется подстановка sx t= , где s – НОК знаменателей дробей m и n (НОК - наименьшее общее кратное).

!

Т


75

Случай 2: 1mn+ - целое число.

Используется подстановка n sa bx t+ = , где s – знаменатель дроби p .

Случай 3: 1m pn+

+ - целое число.

Используется подстановка n sax b t− + = , где s – знаменатель дроби p .

Пример: ( )

11 2 2

21

1dx x x dx

x x

−−= ++

∫ ∫ , 11, 2,2

m n p= − = = − .

1 0mn+

= - целое - случай 2, используется замена

2 2 2 2 2

2

21 , 1, 1,2 1

tdtx t x t x t dxt

⎧ ⎫+ = = − = − =⎨ ⎬

−⎩ ⎭.

2 22 2

2

2

1 1ln1 1 2 11 1

1 1 1ln ln .1 1 1

t dt dt dt t ct t tt t t

t xc ct x

⋅ += = − = − + =

− − −− − ⋅

− + −= + = +

+ + +

∫ ∫ ∫

6.3.5. Метод неопределенных коэффициентов для интегрирования

иррациональностей

В общем случае интегралы вида ( )2

nP x

ax bx c+ +∫ можно вычислить, ис-

пользуя следующую формулу: ( ) ( ) 2

12 2 n

n

P x dxdx Q x ax bx cax bx c ax bx c

λ−= + + ++ + + +∫ ∫ ,

где ( )1nQ x− - многочлен степени n-1 с коэффициентами, подлежащими опре-делению. Число λ и неопределенные коэффициенты многочлена ( )1nQ x− на-ходятся дифференцированием вышеприведенной формулы.

Пример: 2

2

2 2( ) 1

1 1x dxdx Ax B x x

x x x xλ= + + + +

+ + + +∫ ∫ .

Дифференцируем по х ( )2

2

2 2 2

( ) 2 1 111 2 1 1

Ax B xx A x xx x x x x x

λ+ +

= + + + ++ + + + + +

.

Находим неопределенные коэффициенты.


( )2 2 11 ( )2

x A x x Ax B x λ⎛ ⎞= + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2 0: 2 1; : 0; : 0,2 2A Bx A x A B x A λ= + + = + + =

1 3 3,2 2 4

AA B= = − = − , 1 8

λ = − .

22

2 2

1 3 112 4 81 1

x dx dxx x xx x x x

⎛ ⎞= − + + − =⎜ ⎟⎝ ⎠+ + + +

∫ ∫

2 21 3 1 11 ln 12 4 8 2

x x x x x x C⎛ ⎞− + + − + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Интегралы виды ( ) 2k

dxx a ax bx c− + +∫ , где k – любое, подстановкой

1x at

− = , 2

1dx dtt

= − приводятся к предыдущему случаю.

Пример:

( ) 23 2

1 11 ;1 3 1

dx x dx dtt tx x x

⎧ ⎫= − = = − =⎨ ⎬⎩ ⎭− + +

∫

3 2

2 22 5 5 11 13 1

t dt t dtt tt tt

t t

= − = − =+ ++ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

2

2

3 5 5 110 20 10 5 5 1

t A dtt tt t

⎛ ⎞= − − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ + +

∫ .

6.3.6. Подстановки Эйлера

В общем случае интегралы вида 2( , )R x ax bx +c dx+∫ можно вычис-

лить, используя подстановки Эйлера. Указанные подстановки классифицируются по виду коэффициентов a, b, c. Предполагается, что квадратный трехчлен не имеет равных действительных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выра-жением.

!


77

Первая подстановка Эйлера: a > 0

Используется замена 2ax +bx + c = t ± ax . Выберем для определенности знак +. Возведем в квадрат и выразим

2

2t cx

b t a−

=−

. Поскольку x - рациональная функция от t, то dx и t + ax есть

также рациональные функции от t.

Пример: 2 2 2 2

2; 1 ; 1 2

1dx x x t x x xt t

x+ = + + = + +

+∫ ,

2 2

2 2

1 1 1 1 1;2 2 2 2 2 2

t t tx dx dt dtt t t t

− +⎛ ⎞= = − = − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

,

2 2 2 22 1 1 2 11

2 2 2t t t tx tt t t

− − + ++ = + = = .

2

2

2 2

112 ln ln

1 12

t dt dtt t c ct t x xt

+

− = − = − + = ++ + −

∫ ∫ .

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби под знаком лога-

рифма, умножив числитель и знаменатель на выражение 2 1x x+ + , то-

гда: ( ) ( )

22

22 2 2

1 1ln ln ln 11 1

x x x xx x x x

+ += = + +

+ − + −.

Вторая подстановка Эйлера: c>0

Используется замена 2ax bx c xt c+ + = ± . Выберем для определенно-сти знак «+».

Пример: 2

2; 1 1

1dx x xt

x+ = +

+∫ , 2 2 2 2 2 2 21 2 1; 2 ; 2x x t xt x x t xt x xt t+ = + + = + = + ,

( )( ) ( )

( )( )

2 22 2

2 2 22 2 2 2

2 1 2 2 2 12 2 2 4;1 1 1 1

t t t tt t tx dx dt dt dtt t t t

− + ⋅ +− += = = =

− − − −,

2 2 22

2 2 2

2 2 1 11 11 1 1t t t t tx

t t t⋅ + − +

+ = + = =− − −

,

( )2

2 222 2

2

2 1 12 ln(1 ) 1 11 (1 )(1 )

t dtdx dt tt t tx tt

+ += = = =

+ − −+ −−

∫ ∫ ∫


=

2

2

2 2

1 1 1 1 1ln ln1 1 1 11

xx xx

x x xx

+ −+ + − +

=+ − + − −

−

.

Третья подстановка Эйлера

В этом случае квадратный трехчлен имеет действительные корни α и β .

Используется замена ( )2ax bx c x tα+ + = − .

Пример:

2 1dx

x −∫ ; ( ) ( )2 1 1 1x x x− = − + , ( )2 1 1x x t− = − ,

( )( ) ( )2 21 1 1x x x t− + = − , ( ) ( ) 21 1x x t+ = − ,

2 2 21 1; ; 11 1

x xt t x xt tx x+ +

= = + = −− −

,

( ) ( )( ) ( )

2 22

2 22 2 2

2 1 2 11 4;1 1 1

t t tt tx dx dt dtt t t

− − ++= = = −

− − −,

( )2

22 2

1 21 1 11 1

t tx x t tt t⎛ ⎞+

− = − = − =⎜ ⎟− −⎝ ⎠,

( )

( )

22

2 22

2

41

2 22 1 111

t dttdx dt dt

t t txt

−

−= =− = =

− −−−

∫ ∫ ∫ ∫

1 12 1 1 11ln ln ln2 1 1 1 11

1

xt x xxt x x x

x

++

+ + + −−= = = =− + + − −

−−

( )22 2 11 2 1 1ln ln

1 1 2

x xx x xx x

+ −− + − + += = =

+ − + 2ln 1x x c+ − + .

На самом деле во всех возможных случаях достаточны первая и третья подстановки. Действительно, если квадратный трехчлен имеет действи-тельные корни, то применима третья подстановка. Если действительных корней нет, т.е. дискриминант 2 4 0b ac− < , то трехчлен

!


79

( )2 2 21 ( ) ( 4 )4

ax bx c ax b b aca

+ + = + − − при всех значениях x имеет знак a.

Случай a<0 нас не интересует, так как радикал в этом случае вовсе не имеет вещественных значений, значит проходит первая подстановка для a>0.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать:

таблицу основных интегралов; основные методы интегрирования (непосредственное интегрирование, за-мена переменной, интегрирование по частям).

Студент должен уметь: вычислять интегралы от основных типов функций (рациональные дроби, выражения, содержащие тригонометрические функции, иррациональные вы-ражения).

Лекции 7 - 8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Развитая в прошлой лекции техника вычисления первообразных находит конкретные геометрические и механические приложения в виде определенного интеграла, вычисление которого через основную формулу интегрального исчисления (формулу Ньютона – Лейб-ница) сводится к вычислению первообразных.

7.1. Определенный интеграл и его свойства/ Основные определения 7.2. Геометрический смысл определенного интеграла 7.3. Теоремы существования 7.4. Свойства определенного интеграла 7.5. Формула Ньютона-Лейбница 7.6. Замена переменной в определенном интеграле

7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций 7.7. Интегрирование по частям 8.1. Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах 8.1.2. Параметрическое задание линий 8.1.3. Вычисление площадей, фигур, граница которых задана кривыми в

параметрической форме 8.1.4. Полярные координаты на плоскости 8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми 8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат 8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат

8.2. Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах 8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме 8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметриче-

ской форме 8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой 8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах 8.2.6. Площадь поверхности вращения

8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений 8.3.2. Вычисление объемов тел вращения

Определенный интеграл

81

7.1. Определенный интеграл и его свойства. Основные определения

Пусть на [ ],a b задана непрерыв-ная функция ( )f x . Разобьем [ ],a b на n частей точками деле-ния: 0 1 2 ... na x x x x b= < < < < = . Обозначим: 1 1 0x x x= − ,

2 2 1x x x= − ,… 1i i ix x x −= − …. В каждом из отрезков [ ]1 ,i ix x− возьмем по точке [ ]1 ,i i ix xξ −∈ .

Составим сумму: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21

...n

n n n i ii

S f x f x f x f xξ ξ ξ ξ=

= + + + =∑ .

Геометрически nS есть алгебраическая сумма площадей прямоугольни-ков, имеющих основания ∆хi и высоты f (ξi). nS называют интеграль-ной суммой для ( )f x на [ ],a b .

nS зависит от способа разбиения [ ],a b на отрезки [ ]1 ,i ix x− и от выбора точек iξ внутри [ ]1 ,i ix x− . Каждому разбиению соответствует своя nS . Таким образом, получается последовательность { }nS . Обозначим max ix - наибольшую из длин отрезков разбиения и устремим max 0ix → . Если при любых разбиениях [ ],a b таких, что max 0ix → , и при любом

выборе точек iξ ( )1

n

n i ii

S f xξ=

=∑ стремится к одному пределу S, то этот

предел называется определенным интегралом от ( )f x на [ ],a b и обо-

значается ( )b

a

f x dx∫ . Таким образом, по определению

( ) ( )0 1

limi

b n

i imax x ia

f x dx f x→

=

= ξ∑∫ ;

а называется нижним пределом интеграла, b – верхним пределом.

Если ∃ ( )b

a

f x dx∫ , то ( )f x называется интегрируемой на [ ],a b .

y

0x 1ξ 1x ... 1−nxx

nx–

+

+

Рис. 1.1

О

О

О


7.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Геометрически определённый интеграл ( )b

a

f x dx∫ представляет собой ал-

гебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции у =f(х), осью Ох и прямыми х = а и х = b, причем площади, расположенные выше оси Ох, входят со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ох, - со знаком минус. 7.3. Теоремы существования

Если ( )f x непрерывна на [ ],a b , то она интегрируема на [ ],a b . Если ( )f x кусочно-непрерывна на [ ],a b (имеется конечное число точек разрыва первого рода), то она интегрируема на [ ],a b . Если ( )f x монотонна на [ ],a b , то она интегрируема на [ ],a b .

В определении ( )b

a

f x dx∫ пределы удовлетворяют ограничению a b< .

Снимем это ограничение. Если a b< , то ( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx= −∫ ∫ . Пусть

также ( ) 0a

a

f x dx =∫ .

Пример:

Вычислить

b

a

kxdx∫ как предел интегральных сумм.

Решение:

ib ax x

n−

= = ;

0

1 0

2 1 0

;;

2 .

x ax x xx x x x x

== += + = +

Пусть 1i ixξ −= (левые концы каждого отрезка)

1 0xξ = ; 2 1xξ = и так далее.

( ) ( )1 1

1 1 1

n n n

n i i i ii i i

k b ab aS f x kx xn n

ξ − −= = =

−−= = ⋅ =∑ ∑ ∑ =

( ) ( ) ( )1i

k b a b aa i

n n− −⎛ ⎞

= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Т

Т

Т

!


83

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11

2i i

k b a b a k b a b a n na i na

n n n n− − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + − = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑

( ) ( ){ }2 2

.2

an bn b a nk b an n

+ − −−=

Пусть ( )0n x→∞ → , ( )2 2lim2nn

kS b a→∞

= − , ( )2 2

2

b

a

kkxdx b a= −∫

7.4. Свойства определенного интеграла 1. Независимость величины интеграла от обозначения переменной интег-

рирования: ( ) ( )b b

a a

f x dx f t dt=∫ ∫ .

2. Линейность определенного интеграла. Если 1f и 2f интегрируемы на [ ],a b и А, В – произвольные числа, то

[ ]1 2 1 2

b b b

a a a

Af Bf dx A f dx B f dx+ = +∫ ∫ ∫ .

Доказательство: Для интеграла в левой части

( ) ( )1 21

n

n i i ii

S Af Bf xξ ξ=

= + =⎡ ⎤⎣ ⎦∑

= ( ) ( )1 21 1

n n

i i i ii i

Af x Bf xξ ξ= =

+ =∑ ∑

= ( ) ( )1 21 1

n n

i i i ii i

A f x B f xξ ξ= =

+∑ ∑ .

По условию ( ) ( )1 11

bn

i ii a

f x f x dxξ=

→∑ ∫ , ( ) ( )2 21

bn

i ii a

f x f x dxξ=

→∑ ∫ .

Таким образом, max 0

limix →

∃ правой части 1 2

b b

a a

A f dx B f dx+∫ ∫ ⇒ max 0

limix →

∃ ле-

вой части [ ]1 2 1 2

b b b

a a a

Af Bf dx A f dx B f dx+ = +∫ ∫ ∫ , что и требовалось доказать.

3. Аддитивность (разбиение промежутка интегрирования на части). Для любых трех чисел a , b , c справедливо равенство:

( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

при условии, что все три интеграла существуют.


Доказательство:

Пусть a c b< < . Составим b

a∑ для

b

a∫ где c - точка деления [ ],a b .

c

a∑ соответствует

c

a∫ ;

b

c∑ соответствует

b

c∫ ,

b c b

a a c

= +∑ ∑ ∑ ⇒ пе-

рейдем к пределу при max 0ix → : ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

Если a b c< < , то c b c

a a b

= +∫ ∫ ∫ ; b c c c b

a a b a c

= − = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .

Теоремы об оценке определенного интеграла

Сохранение интегралом знака функции. Пусть 1) ( )f x интегрируема

на [ ],a b ; 2) ( ) 0f x ≥ для любых [ ],x a b∈ , тогда ( ) 0b

a

f x dx ≥∫ .


( )1

0 lim 0n

n i i nni

S f x Sξ→∞

=

= ≥ ⇒ ≥∑ , то есть ( ) 0b

a

f x dx ≥∫ , что и требовалось

доказать.

Интегрирование неравенств. Пусть 1) ( )f x , ( )g x интегрируемы на [ ],a b ; 2) ( ) ( )f x g x≥ для любых

[ ],x a b∈ , тогда: ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx≥∫ ∫ .


( ) ( ) ( ) ( )0 0b

a

f x g x f x g x dx− ≥ ⇒ − ≥⎡ ⎤⎣ ⎦∫ .

( ) ( ) ( ) ( )0b b b b

a a a a

f x dx g x dx f x dx g x dx− ≥ ⇒ ≥∫ ∫ ∫ ∫

Теорема об оценке. Пусть 1) ( )f x интегрируема на [ ],a b ; 2) m и M -наименьшее и наибольшее значения функции ( )f x , тогда

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫ .

Т

Т

Т


85

Доказательство: Из условия теоремы ( )m f x M≤ ≤ . Интегрируем неравенство 1:

( )b b b

a a a

mdx f x dx Mdx≤ ≤∫ ∫ ∫ .

Из линейности ( )b b

a a

mdx m dx m b a= = −∫ ∫ .

Теорема о среднем. Если ( )f x непрерывна на [ ],a b , то [ ],c a b∃ ∈ такая,

что ( ) ( ) ( )b

a

f x dx b a f c= −∫ .


Из теоремы об оценке ( ) ( )1 b

a

m f x dx Mb a

≤ ≤− ∫ , то есть

( ) ( )1 b

a

f x dxb a

µ=− ∫ , где m Mµ≤ ≤ .

Так как ( )f x непрерывна, то она принимает все промежуточные значе-ния между m и M. Следовательно, при некотором значении с [ ]( ),c a b∈

( )f c µ= , то есть ( ) ( ) ( )b

a

f x dx b a f c= −∫ .

Число ( ) ( ) ( )b

a

1f c f x dxb - a

= ∫ называется средним значением функции

( )f x на отрезке [ ],a b .

Пример:

Оценить интеграл ∫+

1

0 41 x

dx .

Решение: Имеем 1 ≤ 1 + х4 ≤ 2 при 0 ≤ х ≤ 1,

11

12

14≤

+≤

x,

т.е. m = 2

1 , М = 1, b − а = 1.

Следовательно, 2

1 ≤ ∫+

1

0 41 x

dx ≤ 1.

Т

!


Пример:

Определить знак интеграла ∫

−

1

1

3 dxex x , не вычисляя его.

Решение:

Разобьём интеграл на два ∫−

1

1

3x exdx = ∫−

0

1

3x exdx + ∫1

0

3x exdx =

={поменяем в первом интеграле пределы}=

= ∫−

−1

0

3x ехdx + ∫1

0

3x ехdx =

={заменим в первом интеграле х → (−х), тогда:}=

= ( )∫ −−1

0

3x е−х d(−x) + ∫1

0

3x ехdx = ∫−1

0

3x e−xdx + ∫1

0

3x ехdx =

= ∫1

0

3x (ex − e−x) dx, на отрезке х∈[0, 1], х3 ≥ 0, ех − е−х ≥ 0,

следовательно, ∫1

0

3x (ex − e−x) dx ≥ 0, т.е. знак интеграла - плюс.

Производная интеграла по верхнему пределу (теорема Барроу) Рассмотрим некоторый промежуток [ ],a b , ( )f x - функция, интегрируе-мая на [ ],a b , d – фиксированная точка из [ ],a b , х – любая точка из [ ],a b . Из интегрируемости ( )f x на [ ],a b следует интегрируемость ( )f x на [ ],d x . Ес-

ли верхний предел меняется, то меняется и значение интеграла ( )x

d

f t dt∫ , т.е.

можно сказать, что на [ ],a b задана функция ( )F x : ( ) ( )x

d

F x f t dt= ∫ .

Функция ( )F x называется интегралом с переменным верхним преде-лом.

Если ( )f x непрерывна на [ ],a b , то ( ) ( ) ( )x

d

F x f t dt f x′⎧ ⎫

′ = =⎨ ⎬⎩ ⎭∫ - произ-

водная от интеграла по переменному верхнему пределу равна результа-ту подстановки значения верхнего предела в подынтегральную функцию ( )f x . Доказательство:

По определению производной ( ) ( ) ( )0

limx

F x x F xF x

x→

+ −′ =

О

Т


87

( ) ( ) ( ) ( )x x x

d d

F x x F x f t dt f t dt+

+ − = −∫ ∫ = {из свойства аддитивности}=

= ( ) ( ) ( )x x x x

d x d

f t dt f t dt f t dt+

+ − =∫ ∫ ∫ ( ) ( )x x

x

f t dt f xµ+

=∫ , x x xµ< < + ,

( ) ( ) ( )0 0

lim limx x

F x x F xf

xµ

→ →

+ −= , так как xµ → при 0x → , то

( ) ( ) ( )0

lim limx x

f f f xµ

µ µ→ →

= = ⇒ ( ) ( )F x f x′ = .

Теорема Коши. Всякая непрерывная на [ ],a b функция ( )f x имеет в

этой области первообразную ( ) ( )x

a

F x f t dt= ∫ или, так как первообразная

определяется с точностью до константы, ( ) ( )x

a

F x f t dt C= +∫ , C const− .

(Обобщение теоремы Барроу). Если функции ( )xϕ и ( )xψ дифферен-цируемы в точке х ∈ [ ],a b и ( )f t непрерывна при ( ) ( )a t bϕ ψ≤ ≤ , то

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )x

x x

f t dt f x x f x xψ

ϕ

ψ ψ ϕ ϕ′⎛ ⎞

′ ′= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

Пример:

I(х) = ∫ −

22

0

xte dt, найти I′(х).

Решение: Учтём ϕ(х) = 0, т.е. ϕ′(х) = 0, ψ(х) = х2.

I′(х) = ( )22xe− (х2)′ = 2х 4xe− . 7.5. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть ( )f x непрерывна на [ ],a b , тогда

( ) ( ) ( ) ( )b

ba

a

f x dx F b F a F x= − =∫ .

Доказательство: По теореме Коши из условия непрерывности ( )f x следует существова-

ние ( ) ( )x

a

F x f t dt C= +∫ .

Т

!

Т


Положим, x a= ⇒ ( ) ( )a

a

F a f t dt C= +∫ , то есть ( )C F a= . Положим,

x b= ⇒ ( ) ( ) ( )b

a

F b f t dt F a= + ⇒∫ ( ) ( ) ( ) ( )b b

a a

f t dt f x dx F b F a= = −∫ ∫ , что и

требовалось. Таким образом, для вычисления определенного интеграла от непрерыв-ной функции ( )f x нужно: 1) не обращая внимания на пределы интегрирования найти первооб-разную ( )F x для подынтегральной функции (по правилам вычисления неопределенного интеграла); 2) вычислить ( ) ( )F b F a− .

Пример:

1) ( )

22 2

2 2

b bba

a a

x kkxdx k xdx k b a= = = −∫ ∫ .

2) 00

sin cos cos cos0 2xdx xπ

π π= − = − + =∫ .

Пример:

Вычислить ∫

2

ln

e

e xxdx .

Решение:

∫2

ln

e

e xxdx = ( )

∫2

lnlne

e xxd = ln

2

lne

ex = ln(ln e2) − ln(ln e) = ln 2 ≈ 0,69.

Пример:

Вычислить ∫

π

π

4

62 xcos

dx .

Решение: 4

2

6cos

dxx

π

π∫ = 4

6tgx

π

π = tg4π − tg

6π = 1 − 3

3.

7.6. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть 1) ( )f x непрерывна на [ ],a b ; 2) ( )x g t= - непрерывно диффе-ренцируема на [ ],α β ([ ],a b - область значений ( )g t при изменении

Т


89

[ ],t α β∈ ); 3) ( )a g α= , ( )b g β= , тогда ( ) ( )( ) ( )b

a

f x dx f g t g t dtβ

α

′=∫ ∫ - форму-

ла замены переменной под знаком определенного интеграла. Доказательство:

Левая часть ( ) ( ) ( )b

a

f x dx F b F a= −∫ .

Здесь ( ) ( )( )F x F g t= .

( )( ) ( )t x tF F x F g t g t′ ′ ′ ′ ′= ⋅ = ⋅ ;

( )( ) ( ) ( ) ( )( )F g t F x f x f g t′ ′= = = .

Таким образом, ( )( ) ( )' 'tF f g t g t= ⋅ , следовательно, ( )( )F g t является перво-

образной для функции ( )( ) ( )'f g t g t⋅ на [ ],α β .

Правая часть ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )'f g t g t dt F g F gβ

α

β α⋅ = −∫ , то есть

( )( ) ( ) ( ) ( )'f g t g t dt F b F aβ

α

⋅ = −∫ . Левая часть равна правой части, что и тре-

бовалось доказать.

Пример:

2 2

0

sin , 0= sin , 0

cos , = sin ,2

r x r t rr x dx

dx r tdt r r

α απβ β

= =⎧ ⎫⎪ ⎪− = =⎨ ⎬

= =⎪ ⎪⎩ ⎭∫

( )/ 2 / 2 / 22

2 2 2 2 2

0 0 0

sin cos cos 1 cos 22rr r tr tdt r tdt t dt

π π π

= − = = + =∫ ∫ ∫

2 220

1 sin 22 2 4r rt t

π π⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Пример:

2

221

1 dt 1 1 1 , dx=- ,1= , 1,2 , =t 21

dx xtx x

α βα β

⎧ ⎫= = = = =⎨ ⎬⎩ ⎭+

∫

( )1

122 1

12 21 21 222

=ln t+ 1 = 1 1tdt dt t

t ttt

= − = ++ +

∫ ∫ ( ) 1+ 5ln 1+ 2 -ln2

.


7.6.1. Интегралы от четных и нечетных функций на [ ],a a−

1) ( )f x - четная ( ) ( )( )f x f x− = .

( ) ( ) ( )0

0

a a

a a

f x dx f x dx f x dx− −

= +∫ ∫ ∫ .

( )0 ,

,0 , 0a

x t dx dtf x dx a aα α

β β−

= − = −⎧ ⎫⎪ ⎪= − = − = =⎨ ⎬⎪ ⎪= − =⎩ ⎭

∫

( ) ( ) ( )0

0 0

a a

a

f t dt f t dt f x dx= − − = =∫ ∫ ∫ ,

( ) ( )0

2a a

a

f x dx f x dx−

=∫ ∫ .

2) ( )f x - нечетная функция ( ) ( )( )f x f x− = − .

( ) ( ) ( )0

0

a a

a a

f x dx f x dx f x dx− −

= +∫ ∫ ∫ .

( )0 ,

,0 , 0a

x t dx dtf x dx a aα α

β β−

= − = −⎧ ⎫⎪ ⎪= − = − = =⎨ ⎬⎪ ⎪= − =⎩ ⎭

∫

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0

a a

a a

f t dt f t dt f t dt f x dx= − − = = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ,

( ) 0a

a

f x dx−

=∫ .

7.7. Интегрирование по частям

Пусть ( )u x и ( )v x имеют на [ ],a b непрерывные производные, тогда

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b

ba

a a

u x v x dx u x v x u x v x dx′ ′= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫ .

Или: так как ( )'v x dx dv= , ( )'u x dx du= , то b b

ba

a a

udv uv vdu= −∫ ∫ .

Т


91


( ) ' ' 'uv uv vu= + , [ ] ( )' ' 'b b

a a

uv vu dx uv dx+ =∫ ∫ , ' 'b b

ba

a a

uv dx vu dx uv+ =∫ ∫ ,

b bba

a a

udv uv vdu= −∫ ∫ , что и требовалось доказать.

Пример:

( )

1

0 2

1 2 10 0

arcctgarcctg

11 1arcctg ln 1 ln22 4 2

u x, dv dxx dx dxdu , v x

x

x x x .π

= =⎧ ⎫⎪ ⎪= =⎨ ⎬

= − =⎪ ⎪+⎩ ⎭

= + + = +

∫

Пример:

Вычислить ∫ −

1

0dxxe x .

∫ −1

0dxxe x {= u = x, dv = e-xdx, du = dx, v = -e-x} =

= 1

0xxe−− + ∫ −

1

0dxe x = -е-1 1

0xe−− =

ee 2− .

8.1. Геометрические приложения определенного интеграла.

Вычисление площадей плоских фигур 8.1.1. Вычисление площади в прямоугольных координатах

1) ( ) 0f x ≥ , ( )b

a

S f x dx= ∫ .

2) ( ) 0f x ≤ , ( )b

a

S f x dx= −∫ .


3) ( ) ( )1 2f x f x≥ , ( ) ( )1 2

b

a

S f x f x dx= −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ .

1)* ( ) 0f y ≥ , ( )d

c

S f y dy= ∫ .

2)* и 3)* аналогичны 2) и 3).

Пример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной пара-

болой у = х2, прямыми х = -1 и х = 2 и осью абс-цисс . Решение:

2y x= .

Используем формулу 3.1 S = 2

2

1

x dx−∫ =

23

13x

−

= 3.

Пример: Вычислить площадь сегмента, отсекаемого прямой у = -х

от параболы у = 2х − х2. Решение: y x= − . Преобразуем уравнение параболы у = 2х − х2 = − (х2 − 2х + 1) + 1, (у − 1) = = − (х − 1) 2. Находим абсциссы точек пересечения (А и В), имеем:

21

2

2 , 0,, 3.

y x x xy x x

⎧ = − =⎨

= − =⎩

S = ( ) ( )3

2

0

2 x x x dx⎡ ⎤− − −⎣ ⎦∫ = ( )3

2

0

3x-x dx∫ =

32 3

0

3 12 3

x x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 92

.


93

Пример:

Вычислить площадь эллипса 2 2

2 2 1x ya b

+ = .

2

21 xy ba

= ± − ,

2

20

4 1 sin , 0,2

a

элxS b dx x a ta

πα β⎧ ⎫= − = = = = =⎨ ⎬⎩ ⎭∫

[ ]2

2 20

0

4 cos 2 sin 2ab tdt abt ab t ab

ππ

π= = + =∫ , элS abπ= .

8.1.2. Параметрическое задание линий Параметрические уравнения линий задаются в виде зависимости коор-динат x и y от некоторого параметра t: ( ), ( )x x t y y t= = . При изменении пара-метра t текущая точка M(x, y) описывает некоторую кривую на плоскости. Исключением параметра уравнение линии приводится к уравнению в декар-товых координатах и, наоборот, линия, заданная в декартовых координатах, может быть приведена к виду кривой, заданной параметрическими уравне-ниями. 8.1.3. Вычисление площадей фигур, граница которых задана

кривыми в параметрической форме Пусть кривая задана параметрическими уравнениями:

( )( )

,

,

x x t

y y t

=⎧⎪⎨

=⎪⎩ tα β≤ ≤ , ( )a x α= , ( )b x β= .

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ), = 'b b

a a

S f x dx ydx x x t dx x t dt y t x t dtβ

α

′= = = = =∫ ∫ ∫ ;

( ) ( )'S y t x t dtβ

α

= ∫ .

Пример:

Вычислить площадь эллипса. Уравнения эллипса в параметрической форме имеют вид:

cossin

x a ty b t=⎧

⎨ =⎩, 0 2t π≤ ≤ .


Решение:

( )

22

0

220

0

4 4 sin

sin 22 1 cos 2 2 .2

S S ab tdt

tab t dt ab t ab

π

ππ

π

= = =

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

Пример:

Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды х = а (t − sin t); у = а (1 − cos t) и отрезком оси абсцисс. Решение: Точкам О и А соответствуют значения параметра tО = 0 и tА = 2π, поэтому искомая площадь равна

S= ( ) ( )2

0

1 cos 1 cosa t a t dtπ

− −⎡ ⎤⎣ ⎦∫ = ( )2

22

0

1 cosa t dtπ

−∫ =

=2

2

0

1 cos 21 2cos2

ta t dtπ +⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ = а2 2

0

3 12sin sin 22 4

t t tπ

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 3πa2.

8.1.4. Полярные координаты на плоскости

Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси ρ . Координаты точки М в полярных координатах за-даются длиной радиус-вектора OM ρ=

uuuur этой точки

и углом его наклона к полярной оси. При этом 0 , 0ρ ϕ≤ < ∞ ≤ ≤ ∞ . 8.1.5. Связь полярных координат с декартовыми

Совместим начало декартовой системы с по-люсом полярной системы координат, а ось Оx с по-лярной осью ρ . Найдём связь координат точки M(x,y) и M( ρ ,ϕ). Она выражается следующей сис-темой уравнений:

2 2 ,cos ,

sin , tg .

x yxyyx

ρρ ϕρ ϕ ϕ

= +=⎧⎨ = =⎩

a2 y

aπ2aπx


95

8.1.6. Примеры уравнений линий в полярной системе координат Уравнение вида ( )ρ ρ ϕ= , задающее ρ как функцию ϕ , определяет на

плоскости некоторую кривую.

Пример: Архимедова спираль: ρ =аϕ, 0 0,ϕ ρ< < ∞ ≥ .

Решение:

ϕ 0 2π π 2π

52π

ρ 0 2

a π⋅ a π⋅ 2aπ

52aπ

Кривая представляет собой путь, описываемый точкой, движущейся с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса О, с по-

стоянной скоростью ω : vaω

= .

Пример:

Окружность со смещенным центром: cosaρ ϕ= . Решение:

ϕ 0 4π

2π π 3

2π 7

4π 2π

cosϕ 1 22

0 -1 0 22

1

ρ a 22

a 0 0 0 22

a a

Координата ρ принимает только положительные значения.

Поскольку cosaρϕ = значит, угол ОМА - прямой.

Вывод: уравнение cosaρ ϕ= задает окружность с центром в точке (a/2,0) и радиусом a/2. Преобразуем: cosaρ ϕ= , cosaρ ρ ρ ϕ⋅ = ⋅ ;

2 2

2 cosx y

aρ ρ ϕ+

=678

;

2 2x y ax+ = ; 2 2 2 2 0x y ax a a+ − + − = . 2 2

2

2 2a ax y⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ - каноническое уравне-

ние окружности с центром в точке (2a

,0) радиусом 2a

.

!


8.1.7. Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат Пусть ( )ρ ρ ϕ= - непрерывная функция. Опре-

делим площадь криволинейного сектора, ограничен-ного кривой ( )ρ ρ ϕ= и лучами ϕ α= , ϕ β= . Разобьем указанный сектор лучами на сектора вели-

чины iϕ . Пусть i iρ ρ→

= - величина радиус-вектора

для произвольного [ ]1,i i iϕ ϕ ϕ +∈ .

Лемма: Площадь кругового сектора равна 2

2rSα α= .

Доказательство следует из пропорции: 2

круга 2 ;

;

S r

Sα

π π

α

= →

→

2 2

2 2r rSα

απ απ

= = .

Тогда площадь кругового сектора iS равна 21

2i i iS ρ ϕ= ; сумма 2

1

12

n

i ii

Q ρ ϕ=

= ∑ - площадь ступен-

чатого сектора, спрямляющего криволинейный сек-тор. При n →∞ Q S→ , Q - интегральная сумма, то-

гда 212

S dβ

α

ρ ϕ= ∫ - площадь криволинейного сектора.

Пример: Вычислить площадь круга 2 cosaρ ϕ= .

В силу симметрии достаточно вычислить 1/2 искомой площади.

( )/ 2 / 2 / 2

22 2 2

0 0 0

/ 2 / 22 2 / 2 / 2

0 00 0

2 2 2

2 1 cos 22 cos 42 2

cos 2 14 4 sin 22 2 2 4

1 14 0 sin sin 0 4 .4 4 4 4

S d a d a d

da d a

a a a

π π π

π ππ π

ϕρ ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕϕ ϕ

π ππ π

+= = = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= − + − = =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫


97

Пример: Найти площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли

ρ2 = а2 сos2ϕ . Решение: В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади:

S41 = ∫

4

0

2 2cos21π

ϕϕda = 4

0

2

22sin

2

πϕ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛a =

4

2a ,

откуда S = а2. 8.2. Вычисление длины дуги кривой 8.2.1. Вычисление длины плоской кривой в прямоугольных координатах

( ):L y f x= . Разобьем [ ],a b на части

0 1 2 ... na x x x x b= < < < < = . На кривой обозначим точки 1 1, ,..., ,nA M M B− . Со-единим их хордами. Получим ломаную, состоя-щую из n хорд.

22 2 1 i

i i i ii

yl x y xx

⎛ ⎞= + = + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ - длина i - хорды,

1

n

n ii

l l=

=∑ - длина ломаной. По теореме Лагранжа ( ) ( ) ( )( )( )'f b f a f c b a− = −

имеем: ( )'ii

i

y fx

ξ= , [ ]1,i i ix xξ −∈ , ( ) 2

1

1 'n

n i ii

l f xξ=

= + ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ .

Пусть max 0ix → , nl l→ , следовательно, ( ) 21 '

b

a

l f x dx= + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ .

8.2.2. Вычисление длины плоской кривой в параметрической форме

( )( )

:x x t

Ly y t

=⎧⎪⎨

=⎪⎩ tα β≤ ≤ ( ) ( )( );a x b xα β= = ;

( ) [ ] ( ){ }2 21 ' 1 ' , 'b b

xa a

l f x dx y dx x x t dx x dt= + = + = = = =⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ∫

[ ] ( ) ( ) ( )2 22 '1 ' ' ' ' ''

tx x

t

dy yy x t dt y x t y t dtdx x

β β

α α

⎧ ⎫= + = = = = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎩ ⎭∫ ∫ ,

a2x

y

a


( ) ( )2 2' 'l x t y t dt

β

α

= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ .

Если кривая задана в полярных координатах, то 2 2l dβ

α

ρ ρ ϕ′= +∫ .

8.2.3. Вычисление длины дуги пространственной кривой в параметрической форме

( )( )( )

:

x x t

L y y t

z z t

=⎧⎪

=⎨⎪ =⎩

tα β≤ ≤ , ( ) ( ) ( )2 2 2' ' 'l x t y t z t dt

β

α

= + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ .

Пример: ( )2 1: ln 1 ; 0, ; ?

2L y x a b l= − = = −

( )

1 112 22 2202 22

0 0

4 1 1 11 ln ln 31 1 21

x x xl dx dx xx xx

+ ⎡ + ⎤= + = = − + = −⎢ ⎥− −⎣ ⎦−∫ ∫ .

Пример:

cossin

2

x a ty a t

cz tπ

⎧⎪ =⎪

=⎨⎪⎪ =⎩

- винтовая линия. виткаl =?

2 222 2

0

24 4c cl a dt a

π

ππ π

= + = +∫ .

8.2.4. Дифференциал длины дуги кривой

( ) ( ) 21 '

x

l x f x dxα

= + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ ; ( ) ( ) 2' 1 'l x f x= + ⎡ ⎤⎣ ⎦ ;

( ) 21 'dl f x dx= + ⎡ ⎤⎣ ⎦ .

В параметрической форме: ( ) ( )2 2' 'dl x t y t dt= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .


99

8.2.5. Длина кривой, заданной в полярных координатах Пусть уравнение кривой в полярных координатах ( )ρ ρ ϕ= . Можно рас-

сматривать уравнения cossin

xy

ρ ϕρ ϕ

=⎧⎨ =⎩

как параметрические уравнения линии L,

имеющей длину 2 2' 't tl x y dtβ

α

= +∫ , ( ) ( )2 2' 'l x y d

β

α

ϕ ϕ ϕ= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ .

' 'cos sinx ϕ ρ ϕ ρ ϕ= − , ' 'sin cosy ϕ ρ ϕ ρ ϕ= + .

( ) ( )2 22 2 2 2' ' 'cos sin 'sin cos 'x yϕ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ρ+ = − + + = + ,

( ) ( )2 2 2 2' ' 'l x y d dβ β

ϕ ϕα α

ϕ ρ ρ ϕ= + = +∫ ∫ .

Пример:

Вычислить длину окружности 2 cosaρ ϕ= .

( )/ 2 / 2

2 2 2 2 2

0 0

/ 2/ 2

00

2 2 sin 4 cos 4 cos sin

4 4 4 2 .2

L a a d a d

a d a a a

π π

ππ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

πϕ ϕ π

= − + = + =

= = ⋅ = =

∫ ∫

∫

8.2.6. Площадь поверхности вращения

Вычислим xQ – площадь поверхности, образованной вращением кривой ( )y f x= вокруг оси Ох). Разделим отрезок [ ],a b точками деления ix .

Точке ix соответствует точка на кривой iM . Соединим точки на кривой хордами ( )il .

При вращении каждая хорда описывает усечен-ный конус. Площадь его поверхности:

122

i ii i

y yQ lπ − += ;

( ) 212 1 '2

i ii i i

y yQ f xπ ξ− += + ⎡ ⎤⎣ ⎦ ;

1

n

n ii

Q Q=

=∑ ;

max 0ix → ; n xQ Q→ .

( ) ( ) 22 1 '

b

na

Q f x f x dxπ→ + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Лекции 7 - 8 100

( ) ( ) 22 1 '

b

xa

Q f x f x dxπ= + ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ - площадь поверхности, образованной враще-

нием кривой, заданной функцией у = ( )f x , а ≤ х ≤ b . Если дуга задана параметрическими уравнениями х = х (t), у = у (t), t1 ≤ t ≤ t2 ,

то Qх = 2π ( ) ( ) ( )2

1

2 2t

t

y t x t y t dt′ ′+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ .

Если дуга задана в полярных координатах ρ = ρ (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β,

то Qх = 2π ( ) ( ) 22sin dβ

α

ρ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ϕ′+ ⎡ ⎤⎣ ⎦∫ .

Пример:

Найти площадь поверхности, образованной вращением астроиды х2/3 + у2/3 = а2/3 вокруг оси Ох. Решение:

у = (а2/3 − х2/3)3/2, у′ = 23 (а2/3 − х2/3)½( −

32 х−1/3) =

( )1 22 3 2 3

1 3

a xx−

− ,

32

32321

xxa −

+ = 31

31

x

a .

Следовательно Qх = 2⋅2π ( )3 2 1 3

2 3 2 31 3

0

a aa x dxx

−∫ =

= ( )3 2

1 3 2 3 2 3 1 3

0

4a

a a x x dxπ −−∫ = − 4πа1/3 ( ) axa

0

253232

2523 − =

512 πа2.

Пример:

Найти площадь поверхности, образованной вращением одной арки цик-лоиды х = а (t − sin t), у = а (1− cos t) вокруг оси Ох. Решение: Дифференцируем х′ = а (1 − cos t), у′ = а (sin t),

( ) ( )2 2x y′ ′+ = ( )22 2 21 cos sina t a t− + = а ( )tcos12 − = 2а sin2t .

Qх = 2π ( )2

0

1 cos 2 sin2ta t a dt

π

−∫ = 8πа22

2

0

1 cos sin2 2t t dt

π ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ =

= − 16πа2

23

0

cos2cos

2 3

tt

π⎡ ⎤⎢ ⎥⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= 3

64 πа2.


101

Пример:

Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды ρ = 2а (1+ cosϕ) вокруг полярной оси. Решение: Имеем ρ′ = −2а sin ϕ,

( )( )2 2ρ ρ′ + = ( )22 2 24 1 cos 4 sina aϕ ϕ+ + = 4а сos2ϕ .

Qх =2π ( )0

2 1 cos sin 4 cos2

a a dπ ϕϕ ϕ ϕ+ ⋅ ⋅∫ =

= 64 πа2 4

0

cos sin2 2

dπ ϕ ϕ ϕ∫ = 2128

5aπ .

8.3. Вычисление объемов тел 8.3.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений

Пусть имеем некоторое тело Т. Предполо-жим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох. Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, то есть является функцией х: ( )S S x= . Пусть ( )S x непрерывна на [ ],a b . Разобьем [ ],a b точками деления 0 1 2 ... na x x x x b= < < < < = ; через точки ix проведем сечения, перпендикулярные оси Ох. Площади соответствующих поперечных сечений - ( )iS x .

Составим сумму: ( )1

n

n i ii

V S xξ=

=∑ , [ ]1,i i ix xξ −∈ , ( )i iS xξ - объем цилинд-

ра с площадью основания ( )iS ξ и высотой ix . Пусть max 0ix → , тогда nV V→ (объем тела). С другой стороны,

( )b

na

V S x dx→ ∫ ( nV - интегральная сумма для непрерывной функции ( )S x ).

Таким образом, ( )b

a

V S x dx= ∫ .

Пример: Найти объём тела, основание которого - круг радиусом а, а сечение

плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, есть равнобедренный треугольник высотой h. Решение:

Лекции 7 - 8 102

Выберем систему координат, начало кото-рой совпадает с центром круга. Тогда сечение тела плоскостью, перпенди-кулярной оси Ох, есть равнобедренный тре-угольник с основанием 2у = 2 2 2a x− и вы-сотой h;

имеем S(х) = 2 21 22

a x h⋅ − = 2 2h a x− ,

V = 2 2a

a

h a x dx−

−∫ = 2 2

0

2a

h a x dx−∫ =

=2

2 2

0

2 arcsin2 2

ax a xh a x

a⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 2

2a hπ .

8.3.2. Вычисление объемов тел вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой у = ( )f x , а ≤ х ≤ b, вращается вокруг оси Ох, то объём тела вращения вычисляется по фор-муле:

( ) ( ) ( ){ } ( )2 2b b

xa a

V S x dx S x f x f x dxπ π= = = =∫ ∫ .

Если криволинейная трапеция, ограниченная

кривой ( )x f y= , c ≤ y ≤ d, вращается вокруг оси Оу, то ( )2d

yc

V f y dyπ= ∫ .

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой ( )ρ ρ ϕ= и лучами

ϕ α= и ϕ β= , вращается вокруг полярной оси, то 32 sin3

V dβ

α

π ρ ϕ ϕ= ∫ .

Величина Vу может быть также вычислена интегрированием по х: Vу =

( )2b

a

x f x dxπ ∫ ,

Пример: Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ог-

раниченной кривой у2 = (х − 1)3 и прямой х = 2 Решение:

Vх = 2

2

1

y dxπ ∫ = ( )2

3

1

1x dxπ −∫ = 14π .

!


103

Пример:

Найти объем тела эллипсоида 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = .

Решение:

( )0

2a

V S x dx= =∫

( )

2 2 2 2 2

2 22 2 21 1

2 2

1 12 2

2

1 1 2

для фиксированного имеем эллипс

1 или 1

где 1 1

1

xy z x y z ,b c a b c

x xb b , c c ,a a

xS x b c bca

π π

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ = − + =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬

= − = −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎛ ⎞

= = −⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

2 3

02 20

42 1 23 3

aax xbc dx bc x abc

a aπ π π

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − = − =⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ,

43элV abcπ= , 34

3сфV Rπ⎛ ⎞=⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Пример:

Найти объем конуса с высотой Н и радиусом основания R. Решение:

Ry xH

=

2 2 32 2

02 20

13 3

HH

xR R xV x dx R HH H

ππ π= = ⋅ =∫

213конV R Hπ= .


формулу Ньютона-Лейбница; особенности применения основных методов интегрирования при вычисле-нии определенных интегралов;

геометрические приложения определенного интеграла.

z

x

y

a

Лекция 9 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что отрезок [a,b] – конечный, а функция f(x) ограничена на этом отрезке. При нарушении хотя бы одного из этих условий вводят обобщение определенного интеграла – несобственные интегралы.

9.1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку). 9.1.1. Основные определения 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница 9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость

9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) 9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций 9.2.2. Примеры решения задач

9.1. Несобственные интегралы первого рода

(по бесконечному промежутку) 9.1.1. Основные определения

Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [a,∞ ). Тогда она непрерыв-на на любом промежутке [ ],a b , где b>a, и существует интеграл

( )b

a

f x dx∫ . Несобственным интегралом первого рода называется предел

lim ( )b

ba

f x dx→∞ ∫ и обозначается ( )

a

f x dx∞

∫ . Таким образом,

limb

ba a

f ( x )dx f ( x )dx∞

→∞=∫ ∫ .

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл и для промежутка

(−∞ ,b]: limb b

aa

f ( x )dx f ( x )dx→−∞

−∞

=∫ ∫ , если этот предел существует и коне-

О

О

Несобственные интегралы

105

чен. Для функции ( )f x , непрерывной на промежутке (−∞ ,+∞ ), несобствен-

ный интеграл ( )f x dx+∞

−∞∫ определяется равенством:

c

c

f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx+∞ +∞

−∞ −∞

= +∫ ∫ ∫ ,

где с – любое число. Несобственный интеграл в левой части называется схо-дящимся, если сходится каждый несобственный интеграл в правой части. 9.1.2. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница

Пусть F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке [a,∞ ). Вос-

пользуемся формулой Ньютона-Лейбница для интеграла b

a

f ( x )dx∫ .

Тогда

( ) lim ( ) lim[ ( ) ( )] lim ( ) ( )b

b b ba a

f x dx f x dx F b F a F b F a∞

→+∞ →+∞ →+∞= = − = −∫ ∫ .

Если обозначить lim ( )b

F b→+∞

через F(+∞ ), то можно записать:

aa

f ( x )dx F( ) F( a ) F( x )|∞

+∞= +∞ − =∫ .

Аналогично b

bf ( x )dx F( x )|−∞−∞

=∫ , f ( x )dx F( x )|+∞

+∞−∞

−∞

=∫ , где F(-∞ ) = limx

F( x )→−∞

.

Пример:

Исследовать сходимость интеграла p

a

dxx

+∞

∫

Решение:

При 1p ≠ pa

dxx

∞

∫ = limb

p

ba

x dx−

→+∞ ∫ = 11lim1

bp

ba

xp

− +

→+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎝ ⎠

=

= 1 11 1lim1 1

p p

bb a

p p− + − +

→∞−

− + − +.

Пусть р > 1, тогда 1 0p− + < и 1lim p

bb− +

→+∞= 0, p

a

dxx

+∞

∫ = 111

pap

− +−− +

, значит,

при р > 1 интеграл сходится.

Пусть р < 1, тогда 1 0p− + > и 1lim p

bb− +

→+∞= ∞, т.е. интеграл p

a

dxx

+∞

∫ при р < 1

расходится.

Лекция 9

106

При 1p = : pa

dxx

∞

∫ = ( ) ( )lim ln lim ln lnb

ab bx b a

→∞ →∞= − = ∞ . Интеграл расходится.

Пример: Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся:

1) 21

dxx

+∞

∫ ; 2) 1

dxx

+∞

∫ ; 3)0

cosxdx+∞

∫ ; 4) 0

xe dx−∞∫ ; 5) 21

dxx

+∞

−∞ +∫ .

Решение: Воспользуемся обобщенной формулой Ньютона-Лейбница:

1) 121

1 0 1 1dx | ( )x x

+∞∞= − = − − =∫ (интеграл сходится).

2) 11

ln lim lnx

dx x | xx

+∞∞

→∞= = = ∞∫ (интеграл расходится).

3) 00

cos sin lim sinx

xdx x | x+∞

+∞

→+∞= =∫ . Этот предел не существует, поэтому

0

cosxdx+∞

∫ - расходится.

4) 0

0 0 lim 1 0 1x x x

xe dx e | e e−∞ →−∞

−∞

= = − = − =∫ (интеграл сходится).

5) 2 arctg1 2 2

dx x | ( )x

π π π+∞

+∞−∞

−∞

= = − − =+∫ (интеграл сходится).

Выясним геометрический смысл несобст-

венного интеграла 1-го рода. Пусть 0f ( x )≥ на промежутке [a,+∞ ).

Тогда b

a

f ( x )dx∫ численно равен площади фи-

гуры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ox, сверху – линией ( )y f x= , слева и справа – прямыми x = a и x = b. При возрастании b прямая x = b, ограничивающая эту фигуру,

двигается вправо, а интеграл b

a

f ( x )dx∫ стре-

мится к интегралу a

f ( x )dx∞

∫ . Поэтому величи-

ну интеграла a

f ( x )dx∞

∫ естественно принять за

площадь бесконечной фигуры, ограниченной


107

снизу осью Ох, сверху графиком функции ( )y f x= , слева – прямой x = a.

Аналогично b

f ( x )dx−∞∫ для случая f(x)≥0 численно равен площади бесконеч-

ной фигуры, ограниченной снизу осью Oх, сверху кривой ( )y f x= , справа прямой x=b. Пример:

Вычислить площади бесконечных фигур, ограниченных осью Ох, линией y = f(x), прямой x = a, если

а) ( ) 2

1f xx

= , a = 1, 1x ≥ ;

б) ( ) 1f xx

= , a=1, 1x ≥ ;

в) ( ) xf x e= , a=0, 0x ≤ ;

г) ( ) 2

11

f xx

=+

, ( , )x∈ −∞ +∞ .

Решение: Построим фигуры, ограниченные данными линиями

А В

Б Г

Воспользуемся результатами примера 1.

а) 21

1dxSx

+∞

= =∫ ; б) 1

dxSx

+∞

= = ∞∫ ;

Фигура, изображенная на рис.б), имеет бесконечную площадь.

в) 0

1xS e dx−∞

= =∫ ; г) 21dxS

xπ

+∞

−∞

= =+∫ .

Лекция 9

108

9.1.3. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами Признаки сравнения

1. Пусть при а ≤ х < +∞, 0 ≤ f(х) ≤ g(х). Если ( )a

g x dx+∞

∫ сходится, то сходит-

ся и ( )a

f x dx+∞

∫ , причем ( )a

f x dx+∞

∫ ≤ ( )a

g x dx∞

∫ . Если расходится ( )a

f x dx+∞

∫ ,

то расходится и ( )a

g x dx+∞

∫ .

2. Если при а ≤ х < +∞, f(х) > 0, g(х) > 0 и существует конечный предел ( )( )

lim 0x

f xg x→+∞

≠ , то интегралы ( )a

f x dx+∞

∫ , ( )a

g x dx+∞

∫ сходятся или расходят-

ся одновременно. 9.1.4. Абсолютная и условная сходимость

Если сходится ( )a

f x dx+∞

∫ , то сходится и ( )a

f x dx∞

∫ . В этом случае

( )a

f x dx∞

∫ называется абсолютно сходящимся.

Если ( )a

f x dx∞

∫ сходится, а ( )a

f x dx+∞

∫ расходится, то ( )a

f x dx∞

∫ называет-

ся условно сходящимся. Из первого признака сравнения можно получить следующее утвержде-ние.

Если при х → + ∞ функция f(х) > 0 является бесконечно малой порядка

α по сравнению 1x

, то интеграл ( )a

f x dx+∞

∫ сходится при α > 1 и расхо-

дится при α ≤ 1. Признак сходимости Абеля Пусть f(х) >0 и g(х) определены и ограничены при а ≤ х < +∞, причем

1) ( )a

f x dx∞

∫ сходится;

2) g(х) монотонна и ограничена, constg( x ) k≤ = .

Т

О

О


109

Тогда сходится и интеграл ( ) ( )a

f x g x dx∞

∫ .

Пример:

Вычислить 3

0

xe dx+∞

−∫ .

Решение:

Имеем 3

0

xe dx+∞

−∫ = 3

0

limb

x

be dx−

→+∞ ∫ = 3

0

1lim3

bx

be−

→+∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( )31 lim 13

b

be−

→+∞− = 1

3.

Несобственный интеграл сходится.

Пример:

Вычислить 1

2

dxx

−

−∞∫ .

Решение: 1

2

dxx

−

−∞∫ =

1

2lima

a

dxx

−

→−∞ ∫ = 1

1lima

ax

−

→−∞

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ = 1lim 1

a a→−∞

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1, т.е. предел существу-

ет. Следовательно, искомый несобственный интеграл сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл 22 ln

dxx x

+∞

∫ .

Решение:

22 ln

dxx x

∞

∫ = 22

limln

b

b

dxx x→∞ ∫ =

2

1limln

b

b x→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

= 1ln 2

,

т.е. несобственный интеграл сходится.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл ( )3

1

1xdx

x

+∞ +∫ .

Решение:

Имеем: ( )3 3

1 1x xxx x

+≥ = ,

a

dxx

∞

∫ = 12a

dx

x

∞

∫ расходится (здесь р = 12< 1).

Следовательно, по признаку сравнения расходится и исходный интеграл.

Лекция 9

110

9.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)

Пусть функция ( )f x непрерывна на ин-тервале [a,b) и неограниченна вблизи b. Тогда функция непрерывна на любом отрезке [a,b1], где а ≤b1<b и, следова-

тельно, существует интеграл 1

( )b

a

f x dx∫ .

Рассмотрим 1

1 0lim ( )

b

b ba

f x dx→ − ∫ . Этот предел

называется несобственным интегра-лом второго рода и обозначается

( )b

a

f x dx∫ . Таким образом,

1

1 0( ) lim ( )

bb

b ba a

f x dx f x dx→ −

=∫ ∫ .

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном слу-чае несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично для функции f(x), непрерывной на промежутке (a,b] и неог-

раниченной вблизи а, несобственный интеграл ( )b

a

f x dx∫ определяется

следующим образом:

11

0( ) lim ( )

b b

a aa a

f x dx f x dx→ +

=∫ ∫ .

Если этот правосторонний предел существует и конечен, то несобствен-ный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходя-щимся. Пусть теперь функция ( )f x непрерывна на отрезке [a,b] всюду, кроме некоторой точки c (a<c<b), и неограниченна вблизи с.

Несобственный интеграл ( )b

a

f x dx∫ опре-

деляется равенством: ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ .

О


111

Если каждый из интегралов в правой части равенства сходится, то не-

собственный интеграл ( )b

a

f x dx∫ называется сходящимся, в противном

случае – расходящимся. Пусть ( )F x – первообразная для функции ( )f x на промежутке [a,b) и ( )f x не ограничена вблизи b.

Тогда 1

1 1 11 10 0 0

( ) lim ( ) lim [ ( ) ( )] lim ( ) ( )bb

b b b b b ba a

f x dx f x dx F b F a F b F a→ − → − → −

= = − = −∫ ∫ .

Если обозначить 1

10lim ( )

b bF b

→ − через F(b), то получим следующий аналог

формулы Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго ро-да:

( ) ( ) ( ) ( ) |b

ba

a

f x dx F b F a F x= − =∫ , где F(b)= 0

lim ( )x b

F x→ −

.

Аналогично для функции ( )f x , не ограниченной вблизи а,

( ) ( ) |b

ba

a

f x dx F x=∫ , где 0

( ) lim ( )x a

F a F x→ +

= .

Пример:

Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся:

1) 2

0 2dx

x−∫ ; 2) 1

1

dxx−

∫ .

Решение:

В первом интеграле подынтегральная функция ( ) 12

f xx

=−

не ограни-

чена при x=2, поэтому интеграл 2

0 2dx

x−∫ является несобственным. При-

меним обобщенную формулу Ньютона-Лейбница: 2 2

2 00

0 0

(2 ) 2 2 | (0 2 2) 2 22 2dx d x x

x x−−

= − = − − = − − =− −∫ ∫ .

Во втором интеграле подынтегральная функция f(x)= 1x

не ограничена

вблизи x=0. Поэтому, по определению, 1 0 0 1

1 1 0 0

dx dx dxx x x

−

− − +

= +∫ ∫ ∫ .

Рассмотрим интеграл 0

0

11

lndx xx −

−

= = ∞∫ . Этот интеграл расходится, по-

этому и интеграл 1

1

dxx−

∫ - расходится. Отметим, что если бы мы стали вы-

числять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынте-гральной функции в точке x = 0, то получили бы неверный результат.

Лекция 9

112

Рассмотрим геометрический смысл несобственного интеграла 2-го рода. Пусть ( )f x ≥ 0 и ( )f x – непрерывна на [a,b) и не ограничена вблизи b. То-

гда 1

( )b

a

f x dx∫ (b1 < b) равен площади фигуры, ограниченной снизу отрезком

[a,b1] оси Ох, сверху – линией ( )y f x= , слева и справа – прямыми x=a, x=b1. При стремлении b1 к b, прямая x=b1 cтремится к прямой x=b. Поэтому

1

1 0lim ( ) ( )

b b

b ba a

f x dx f x dx→ −

=∫ ∫ естественно принять за площадь бесконечной фигу-

ры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ох, сверху линией y = ( )f x , слева и справа – прямыми x = a и x = b. 9.2.1. Признаки сходимости несобственных интегралов

от неограниченных функций Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных

функций аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл

( )

b

a

dxb x β−∫ , (β > 0),

который сходится при β < 1 и расходится при β ≥ 1.

Пример:

Исследовать на сходимость интеграл 2

1 lndx

x∫ .

Решение:

При х → 1 функции 1ln x

и ( )

11x −

- эквивалентны, т.к.

1

1lnlim1

1x

x

x→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

= ( )

1

1lim

lnx

xx→

− =

по правилуЛопиталя

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= ( )1

1lim1x

x→

= 1, интеграл

( )

2

1 1dx

x −∫ расходится (β =1), следовательно, и 2

1 lndx

x∫ расходится.


113

9.2.2. Примеры решения задач

Пример:

Исследовать сходимость интеграла ( )

1 2

230

cos

1

x dxx−

∫ .

Решение: Подынтегральная функция неограниченно возрастает при х → 1, пред-ставим подынтегральную функцию в виде

( )f x = 2

3 3cos 1

1 1xx x⋅

+ − =

( )

2

133

cos 11 1

xx x⋅

+ −.

Первый сомножитель особенности при х → 1 не даёт, а следовательно,

сравнение с ( )

11x −

при х → 1 даёт α = 31 < 1. Следовательно, интеграл

сходится.

Пример:

Вычислить (или установить расходимость)

2

cos xdxπ

+∞

∫ .

Решение: По определению,

( )22 2

cos lim cos lim sin lim (sin 1) 1 lim sinB

B

B B B Bxdx xdx x B B

ππ π

+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = = − = − +∫ ∫ .

Так как lim sinB

B→+∞

не существует, то исследуемый несобственный инте-

грал расходится.

Пример:

Исследовать на сходимость 33 2 2

dxx x

+∞

+ +∫ .

Решение:

Рассмотрим ( )f x = 3

12 2x x+ +

. Наибольшая степень многочлена в зна-

менателе равна 3. Поэтому для сравнения возьмем функцию g (х) = 3

1x

,

тогда ( )( )

limx

f xg x→∞

= 3

3lim2 2x

xx x→+∞ + +

= 1 ≠ 0 и по предельному признаку

сравнения исследуемый несобственный интеграл и интеграл ( )3

g x dx+∞

∫ =

= 33

dxx

+∞

∫ сходятся или расходятся одновременно. Последний интеграл схо-

дится (р > 1), следовательно, исследуемый интеграл тоже сходится.

Лекция 9

114

Пример:

Исследовать на абсолютную сходимость интеграл 21

cos 21

xdxx

+∞

+∫ .

Решение:

Здесь ( )f x = 2

cos 21

xx+

;⏐f (х)⏐ = 2

cos 21

xx+

= 2

cos 21

xx+

, так как для любых х

⏐сos 2х⏐ ≤ 1, то ⏐f (х)⏐ 2

11 x

≤+

= g(х).

Рассмотрим

( )1

g x dx+∞

∫ = 21 1

dxx

+∞

+∫ = ( )1lim arctg b

bx

→+∞= limarctg limarctg1

b bb

→+∞ →+∞− =

=2 4 4π π π− = , следовательно, ( )

1

g x dx+∞

∫ сходится.

Тогда по признаку сравнения сходится интеграл ( )1

f x dx+∞

∫ , а исследуе-

мый интеграл сходится абсолютно.

Пример:

Вычислить (или установить расходимость) 1

20 1

dxx−

∫ .

Решение:

Функция ( )f x = 2

11 x−

непрерывна для х ∈ [0, 1) и ( )1 0

limx

f x→ −

= +∞ .

Тогда 1

20 1

dx

x−∫ =

1

200

lim1

dx

x

ε

ε

−

→+ −∫ = ( )1

00lim arcsin x ε

ε

−

→+=

= ( )0

lim arcsin 1 arcsin 0ε

ε→+

− −⎡ ⎤⎣ ⎦ = 2π − 0 =

2π , т.е. интеграл сходится.

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен знать:

понятие несобственного интеграла первого и второго рода, признаки сходимости несобственных интегралов.

Студент должен уметь: исследовать несобственные интегралы на сходимость.

Лекции 10 - 11 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию, ее производные и известные функции независимого аргумента, начали исследоваться одновременно с воз-никновением дифференциального и интегрального исчислений. Важность таких уравне-ний обусловлена тем, что в очень большом количестве случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчет течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

10.1. Основные понятия 10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка (ДУ-I)

10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными 10.2.2. Однородные ДУ первого порядка 10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка 10.2.4. Линейные ДУ первого порядка 10.2.5. Уравнение Бернулли 10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах 10.2.7. Таблица 1. Решения ДУ первого порядка 10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка

11.1. ДУ высших порядков 11.2. ДУ второго порядка (ДУ-II) 11.3. Некоторые типы ДУ второго порядка,

приводимые к ДУ первого порядка 11.3.1. ДУ ( )y f x′′ = 11.3.2. ДУ вида ( , )y f x y′′ ′= 11.3.3. ДУ ( ),y f y y′′ ′=

11.4. Таблица 2. Решения ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка

11.5. ДУ n - го порядка, допускающие понижение порядка 11.5.1. ДУ вида ( ) ( )ny f x=

11.5.2. ДУ вида ( )( ), ', ",..., 0nF y y y y =

11.5.3. ДУ вида ( ) ( )( ), ,..., 0k nF x y y = .


− = .

10.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связы-вающее между собой независимую переменную х, искомую функцию

( )y f x= и ее производные ( n )y , y ,...y′ ′′ .

О

Лекции 10 - 11 116

Например, скорость тела v , движущегося под действием силы F, может быть

найдена из второго закона Ньютона, т.е. из ДУ dvm Fdt

= , где m - масса тела,

t - время. ДУ с одной независимой переменной называется обыкновенным.

Порядок наивысшей производной, входящей в уравнение, называется порядком ДУ. Общий вид ДУ n-го порядка:

0( n )F( x, y, y , y ,...y )′ ′′ = .

Например, 1. 2 siny y xx

′ + = , 2. 0y yy′′′ ′+ = .

Решением или интегралом ДУ называется всякая функция y f ( x )= , которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой. Основная задача интегрального исчисления заключается в нахождении решения ДУ y f ( x )′ = , т.е. y f ( x )dx c= +∫ .

Пример:

Найдите решение ДУ 0y′′ = . Решение:

10y ( y ) y c′′ ′ ′ ′= = → = , 1 2 1 2y c dx c c x c= + = +∫ .

Общим решением ДУ 0( n )F( x, y, y ,..., y )′ = называется такое решение

1 2 ny f ( x,c ,c ,...,c )= , которое содержит столько независимых произволь-ных постоянных ic , 1 2i , ,...n= , каков порядок этого ДУ.

Если общее решение задано в неявном виде 1 2 0n( x,y,c ,c ,...,c )Φ = , оно называется общим интегралом ДУ. Всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных, называется частным решением этого ДУ.

Пример:

Найдите решение ДУ 0y y′′ + = . Решение: Так как (sin ) sinx x′′ = − , (cos ) cosx x′′ = − , функция вида 1 2sin cosy c x c x= + ; будет удовлетворять уравнению. Если 1 2c = , 2 5c = , то 1 2sin 5cosy x x= + ; если 1 0c = , 2 4c = − , то

2 4cosy x= − .

О

О

О

О

Дифференциальные уравнения 117

10.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

Рассмотрим ДУ вида 0F( x,y, y )′ = или y ( x, y )ϕ′ = . Общим решением является y f ( x,c )= . Геометрически решение представ-ляет собой однопараметрическое семейство кри-вых. Значение y′ в точке M( x,y ) : tg y α′ = .

Задача Коши для ДУ формулируется сле-дующим образом: найти решение y f ( x )= ДУ y ( x, y )ϕ′ = , удовлетворяющее началь-ному условию: 0 0y f ( x )= . Геометрически задача Коши заключается в нахождении частного решения ДУ, прохо-дящего через заданную точку с координа-тами 0 0( x ,y ) . Общее решение y f ( x,c )= становится ча-стным 0y f ( x,c )= , если 0 0y f ( x ,c )= , от-куда можно найти 0c c= .

Теорема Коши (теорема существования и единственности решения ДУ первого порядка, разрешенного относительно производной). Если функ-ция ( x, y )ϕ непрерывна в области, содержащей точку 0 0( x ,y ) , то су-ществует функция y f ( x )= , удовлетворяющая уравнению y ( x, y )ϕ′ = и обращающаяся в 0y при 0x x= . Если, кроме того, непрерывна и частная производная y( x,y )ϕ′ , то реше-ние будет единственным.

10.2.1. ДУ с разделяющимися переменными

ДУ y ( x, y )ϕ′ = удобно записать в виде: dy P( x,y )dx Q( x,y )

= или 0P( x, y )dx Q( x, y )dy− = .

ДУ 1 1 0X ( x )Y ( y )dx X ( x )Y ( y )dy+ = называется ДУ с разделяющимися переменными.

Разделим уравнение на 1 0Y( y ) X ( x )⋅ ≠ , тогда 1

1

0X ( x ) Y ( y )dx dyX ( x ) Y ( y )

+ = .

x x0α

),( yxMС

1С2С3Сy

0x x0

),( 00 yxM

y

0y

О

О

Т

Лекции 10 - 11 118

Обозначим входящие в это уравнение функции через P( x ) и Q( y ) , тогда получим ДУ 0P( x )dx Q( y )dy+ = с разделенными переменными. Общий интеграл этого ДУ имеет вид:

P( x )dx Q( y )dy c+ =∫ ∫ .

Пример:

Найдите решение ДУ yyx

′ = .

Решение: dy ydx x

= , xdy ydx= , умножая уравнение на

1xy

, последовательно получаем dy dxy x= ,

dy dxy x=∫ ∫ , ln ln lny x c= + , где постоянная

интегрирования представлена в логарифмической форме, значит, ln ln| y | | cx |= , | y | | cx |= , 0x ≠ .

10.2.2. Однородные ДУ первого порядка

Функция F( x,y ) называется однородной функцией n-го порядка, если для любого числа k имеет место тождество nF( kx,ky ) k F( x, y )≡ .

Например, если 3 33F( x,y ) x y= + , то F( kx,ky ) = 3 33 ( kx ) ( ky )+ =

= 3 33k x y+ , значит, F( x,y ) является однородной функцией первого по-рядка. Функция x yF( x, y ) e −= не является однородной. ДУ y f ( x, y )′ = называется однородным уравнением первого поряд-ка, если f ( x, y ) есть однородная функция нулевого порядка, то есть f ( kx,ky ) f ( x, y )= .

Решим однородное уравнение dy f ( x,y )dx

= .

Преобразуем функцию ( , )f x y к виду ( , ) 1, yf x y fx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, считая 1kx

= . Решаем

ДУ 1dy yf ,dx x

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

. Сделаем подстановку yux

= , тогда y u x= ⋅ , dy duu xdx dx

= + ⋅

и уравнение примет вид: 1duu x f ( ,u )dx

+ = - ДУ с разделяющимися перемен-

0 x

y|| cxy =±1=C

2=C

О

О


ными. 1dux f ( ,u ) udx

= − , 1

du dxf ( ,u ) u x

=−

, 1

du dx cf ( ,u ) u x

= +−∫ ∫ .

Пример:

Найдите решение ДУ ln 1y yy

x x⎛ ⎞′ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Решение: Это ДУ является однородным, т.к. правая часть есть функция только от-

ношения yx

.

Положим y ux= , y ux= , тогда y u x u′ ′= + и уравнение принимает вид:

( )ln 1u x u u u′ + = + , lnu x u u′ = , ln

du dxu u x

= , ln ln ln lnu x c= + , lnu cx= ,

откуда cxu e= , значит, cxy xe= . 10.2.3. Обобщенные однородные ДУ первого порядка

ДУ вида 1 1 1

2 2 2

a x b y cy fa x b y c

⎛ ⎞+ +′ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ называется обобщенным однородным

ДУ первого порядка и решается путем сведения к однородному ДУ преобра-зованием параллельного переноса координат с помощью замены переменных

x X ,y Y ,

αβ

= +⎧⎨ = +⎩

при условии, что 1 1 1

2 2 2

00

a b c ,a b c .α βα β+ + =⎧

⎨ + + =⎩

Проиллюстрируем решение обобщенных однородных ДУ первого по-рядка на примере. Найдем общий интеграл дифференциального уравнения

22 4

yyx y

+′ =+ −

.

Сведение к однородному достигается преобразованием параллельного пере-носа системы координат, x X α= + , y Y β= + .

При этом dy d(Y ) dYdx d( X ) dX

βα

+= =

+, и в новых переменных уравнение принимает

вид: 2

2 2 4dY Y ( )dX X Y ( )

βα β

+ +=

+ + + −.

Выбирая постоянные α и β из условия 2 0

2 4 0,

,βα β+ =⎧

⎨ + − =⎩

Лекции 10 - 11 120

получаем 3α = , 2β = − ; т.е. искомое преобразование переменных имеет вид:

3x X= + , 2y Y= − ,

а уравнение упрощается

2dY Y .dX X Y

=+

(1)

Поделив числитель и знаменатель в правой части на Х (при 0≠X ), получаем однородное уравнение

2dY Y XdX Y X

=+

, при 0X ≠ . (2)

Используя подстановку Y X u( x )= , получаем

2

2du u uXdX u

− −=

+. (3)

Разделяя переменные, приходим к уравнению:

2

2 u dXduu u X+

= −+

; ( 0u ≠ , 1u ≠ − , 0X ≠ ).

Интегрируя, находим общий интеграл в форме:

2 2

2 1 2u ( u ) udu duu u u u+ + −

=+ +∫ ∫ 12ln ln 1 ln|u | | u | | X | C⇒ − + + = ,

0 1 0( u , u , X )≠ ≠ − ≠ .

Случай 0X = следует проверить подстановкой в уравнение (1), а случаи 0u = и 1u = − - подстановкой в уравнение (3), поскольку возможна потеря

решений. Находим, что 0X = не является, а 0u = и 1u = − являются реше-ниями уравнения (1).

Таким образом, уравнение (3) имеет следующие решения:

12ln ln 1 ln|u | | u | | X | C− + + = (общий интеграл), (4а)

0u = , (4б)

1u = − (частные решения). (4в)


Возвращаясь к старым переменным, получаем:

12 22ln ln 1 ln 33 3

y y | x | Cx x+ +

− + + − =− −

, (5а)

2 0y + = , (5б)

2 13

yx+

= −−

. (5в)

После упрощения общий интеграл (5а) принимает вид:

2ln 2 ln 1| y | | x y | C+ − + − = . (6)

Ответ: общий интеграл имеет вид: 2ln 2 ln 1| y | | x y | C+ − + − = . Замечание: общий интеграл (6) можно представить также в форме:

( )2

1

2ln

1y

Cx y

+=

+ − или ( )2

2

21

yC

x y+

=+ −

, 12

CC e= ± .

Тогда частные решения (5б) и (5в) получаются при 2 0C = и 2C = ∞ соответ-ственно. 10.2.4. Линейные ДУ первого порядка

Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное отно-сительно неизвестной функции y и ее производной y′ : y P( x )y Q( x )′ + = , где P( x ) , Q( x ) – непрерывные функции. Ищем решение в виде произведения двух функций y u( x ) ( x )υ= ⋅ , одна

из которых считается произвольной ( )υ , а другая находится из уравнения.

Если y u υ= ⋅ , то y u uυ υ′ ′ ′= + , то есть dy d duudx dx dx

υ υ= + и уравнение прини-

мает вид: d duu Pu Qdx dxυ υ υ+ + = , d duu P Q

dx dxυ υ υ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠. (*)

В силу произвольности выберем υ такой, что 0d Pdxυ υ+ = , тогда d Pdxυ

υ= − ,

1ln lnPdx cυ = − +∫ , значит 1Pdx

c eυ−∫= .

О

Лекции 10 - 11 122

Положим 1 1c = , получим Pdx

eυ−∫= . Подставляя полученное для υ выраже-

ние в ДУ (*), найдем u :

du( x ) Q( x )dx

υ = , du Q( x )dx ( x )υ

= , ( )( )

Q xu dx cxυ

= +∫ .

В итоге общее решение имеет вид:

( )( )( )

Q xy x dx cx

υυ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ .

Пример: Найдите решение ДУ 3)1(

12

+=+

− xyxdx

dy , 1x ≠ − .

Решение: Полагая υuy = , получим, что υυ

⋅+=dxdu

dxdu

dxdy ,

3)1(1

2+=

+−⋅+ xu

xdxdu

dxdu υυυ , 3)1(

12

+=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+− x

dxdu

xdxdu υυυ .

Найдем υ из ДУ 01

2=

+− υυ

xdxd ,

12+

=x

dxdυυ , 2 1ln ln xυ = + ,

откуда 2)1( += xυ .

Найдем u из ДУ: 32 )1()1( +=+ xdxdux , )1( += x

dxdu , cxu +

+=

2)1( 2

.

Общее решение примет вид: 24

)1(2

)1(++

+= xcxy .

10.2.5. Уравнение Бернулли

ДУ ( ) ( ) ndy P x y Q x ydx

+ = , где ( )P x , ( )Q x – непрерывные функции или

постоянные, называется уравнением Бернулли.

При 0n = оно линейное, при 1n = с разделяющимися переменными.

Считаем, что 0, 1n ≠ . Разделим ДУ на ny , получим 1n ndyy Py Qdx

− − ++ = .

Сделаем замену переменной 1nz y− += , тогда получим ( 1) ndz dyn ydx dx

−= − + ⋅ ,

( 1) ( 1)dz n Pz n Qdx

+ − + = − + - линейное уравнение.

Пример:

Найдите решение ДУ 3 3dy xy x y

dx+ = .

О


Решение: Здесь ( )P x x= , 3( )Q x x= , 3n = .

Умножив уравнение на 31y

, получим 3 2 3y y xy x− −′ + = .

Заменяя 1 2nz y y− + −= = , получаем 32dz dyydx dx

−= − , 32 2dz xz xdx

− = − .

Полагая z uυ= , dz d duudx dx dx

υ υ= + , 32 2d duu xu xdx dxυ υ υ+ − = − ,

32 2d duu x xdx dxυ υ υ⎛ ⎞− + = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, приходим к линейному ДУ для

:υ 2 0d xdxυ υ− = , 2d xdxυ

υ= , откуда 2ln xυ = ,

2xeυ = .

Тогда уравнение для u принимает вид: 2 32x due x

dx= − ,

2 32 xdu e x dx−= − ,

откуда 2 32 xu e x dx−= − =∫ (по частям)=

2 22 x xx e e c− −= + + , 22 1 xz u x ceυ= = + + ,

22 2 1 xy x ce− = + + , 22

1

1 xy

x ce=

+ +.

Заметим, что уравнение Бернулли можно решить как линейное, сразу сделав замену y uυ= .

10.2.6. Уравнение в полных дифференциалах Уравнение ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ = называется уравнением в полных дифференциалах, если ( , )P x y и ( , )Q x y – непрерывные дифференци-

руемые функции, для которых P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂, причем P

y∂∂

и Qx

∂∂

непрерывны

в некоторой области. Для того чтобы выражение Pdx Qdy+ было полным дифференциалом некоторой функции двух переменных ( , )u x y , необходимо и достаточно,

чтобы P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂.

Докажем необходимость этого условия. Пусть du Pdx Qdy= + , тогда по определению дифференциала функции

двух переменных uPx∂

=∂

, uQy∂

=∂

. Вычислим 2P u

y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂

и 2Q u

x x y∂ ∂

=∂ ∂ ∂

.

Известно, что вторые смешанные производные функции двух перемен-ных равны друг другу, если они непрерывны.

Т

О

Лекции 10 - 11 124

Так как Py

∂∂

и Qx

∂∂

непрерывны по условию:2 2u u

x y y x∂ ∂

=∂ ∂ ∂ ∂

, следователь-

но, P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂ и 0Pdx Qdy+ = , 0du = , откуда ( , )u x y c= .

Основываясь на вышеизложенном, решим ДУ в полных дифференциа-лах.

Пример:

Решить ДУ 2 2

3 4

2 3 0x y xdx dyy y

−+ = .

Решение:

Здесь 3

2xPy

= , 2 2

4

3y xQy−

= .

1). Проверим, является ли полным дифференциалом выражение, стоящее

в левой части ДУ. Вычислим 4

6P xy y

∂= −

∂, 4

6Q xx y

∂= −

∂.

Видим, что P Qy x

∂ ∂=

∂ ∂, значит,

2 2

3 4

2 3x y xdx dy duy y

−+ = .

2). Так как выражение, стоящее в левой части уравнения, является пол-

ным дифференциалом, значит, u udu dx dyx y∂ ∂

= +∂ ∂

, и 3

2 2

4

2 ,

3 .

u xx yu y xy y

∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂ −⎪ =

⎪∂⎩

3). Интегрируя первое из уравнений системы, получаем: 2

3 3

2( , ) ( ) ( )x xu x y dx y yy y

ϕ ϕ= + = +∫ , где постоянная интегрирования по x

представляет собой функцию ( )yϕ . 4). Для нахождения ( )yϕ продифференцируем по y полученное для

( , )u x y выражение: 2

4

3 ( )u x yy y

ϕ∂ ′= − +∂

.

5). Второе уравнение системы дает: 2 2 2

4 4

3 3 ( )y x x yy y

ϕ− ′= − + ,

откуда 2

1( )yy

ϕ′ = , 11( )y cy

ϕ = − + , значит, 2

13

1( , ) xu x y cy y

= − + и общим

интегралом ДУ является выражение 2

3

1x cy y

− = .


10.2.7. Таблица 1. Решение ДУ первого порядка

Вид уравнения Тип уравнения Метод решения

1. ( ) ( ) 0P x dx Q y dy+ = с разделяющимися переменными

непосредственное интегрирование

2. yy fx

⎛ ⎞′ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

однородное yux

= , y u x= ⋅ ,

y u x u′ ′= ⋅ +

3. 1 1 1

2 2 2

a x b y cy fa x b y c

⎛ ⎞+ +′ = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ обобщенное

однородное

,;

x Xy Y

αβ

= +⎧⎨ = +⎩

1 1 1

2 2 2

0,0;

a b ca b cα βα β+ + =⎧

⎨ + + =⎩

dYy YdX

′ ′= =

4. ( ) ( )y P x y Q x′ = + линейное по ( )y x y uy u u

υυ υ

= ⋅′ ′ ′= +

5. ( ) ( )x P y x Q y′ = + линейное по ( )x y x ux u u

υυ υ

= ⋅′ ′ ′= +

6. ( ) ( ) ny P x y Q x y′ + = ⋅ Бернулли y u υ= ⋅

7. ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy+ =

( , ) 0

P Qy x

du x y

∂ ∂=

∂ ∂=

уравнение в полных дифференциалах

интегрирование системы

( , ),

( , )

u P x yxu Q x yy

∂⎧ =⎪∂⎪⎨∂⎪ =∂⎪⎩

Лекции 10 - 11 126

10.2.8. Особые решения ДУ первого порядка

Если ДУ первого порядка не разрешено относительно производной, т.е. имеет вид 0),,( =′yyxF , то через некоторые точки плоскости ),( yx может про-ходить не одна интегральная кривая, т.е. для некоторых начальных значений может нарушиться единственность решения.

Линия L называется огибающей однопа-раметрического семейства линий

( , , ) 0x y cΦ = , если она в каждой точке каса-ется той или иной линии семейства, причем в различных точках линии L ее касаются различные линии данного семейства. Для определения огибающей служат следующие два уравнения:

( , , ) 0,( , , ) 0.c

x y cx y c

ΦΦ

=⎧⎨ ′ =⎩

Пусть ДУ ( , , ) 0F x y y′ = (*) имеет общий интеграл ( , , ) 0x y cΦ = (**). Если это семейство интегральных кривых имеет огибающую, то оги-бающая также является интегральной кривой ДУ.

Уравнения ( , , ) 0,( , , ) 0,c

x y cx y c

ΦΦ

=⎧⎨ ′ =⎩

после исключения параметра c , определяют

функцию ( )y xψ= . Если эта функция удовлетворяет ДУ (*) и не принадлежит семейству

(**), то она называется особым решением ДУ. В каждой точке особого ре-шения нарушается единственность решения. Пример:

Решите ДУ ( )2 2 21y y R′+ = .

Решение: 2 2R ydy

dx y−

= ± , 2 2

ydy dxR y

=± −

, 2 2

( ) ydyx cR y

− = ±−

∫ .

Вычислим

2 2

1 22

ydy

R y=

−∫

2 2

2R y tdt ydy⎛ ⎞− =⎜ ⎟= −⎝ ⎠

12

dtt

= − =∫1

1 22 221 1

12 22

tt dt t R y−

= − = − = − = − −∫ .

x0

yО


Итак, 2 2x c R y− = ± − , ( )2 2 2x c R y− = − .

Значит, ( )2 2 2 0( x, y,c ) x c y RΦ = − + − = , 2 1 0( x c )( )− − = , 2 2 2( x c ) y R

x c⎧ − + =⎨

=⎩ 2 2y R⇒ = , откуда y R= ± , 1 2y R, y R= = − .

Итак, y R= ± – огибающие, которые удовлетворяют ДУ, являются особыми решениями.

11.1. ДУ высших порядков ( )1( n ) ( n )y f x,y,y ,..., y −′=

Задача Коши заключается в нахождении решения ДУ n-го порядка,

удовлетворяющего заданным начальным условиям:

( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

′=′=

−− .

,,

)1(00

)1(

00

00

nn yxy

yxyyxy

M

Теорема Коши (существования и единственности решения ДУ n-го по-рядка). Если в ДУ ( )1( n ) ( n )y f x, y, y ,..., y −′= функция ( )1( n )f x, y, y ,..., y −′

и ее частные производные по аргументам 1( n )y, y ,..., y −′ непрерывны в некоторой области, содержащей значения 0x x= , 0y y= , 0y y′ ′= , ….,

1 10

( n ) ( n )y y− −= , то существует и притом единственное решение y y( x )= ДУ, удовлетворяющее начальным условиям: 0 0y( x ) y= , 0 0y ( x ) y′ ′= , …,

1 10 0

( n ) ( n )y ( x ) y− −= . Общим решением ДУ n-го порядка называется функция

1 2 ny ( x,c ,c ,...,c )ϕ= , которая удовлетворяет ДУ при любых значениях постоянных.

Т

О

Лекции 10 - 11 128

Частное решение ДУ (решение задачи Коши) может быть найдено из обще-го решения ДУ по заданным начальным условиям 0 0y( x ) y= , 0 0y ( x ) y′ ′= , …., 1 1

0 0( n ) ( n )y ( x ) y− −= , из которых получаем систему уравнений:

( )( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

′=′

=

−− )1(0

0010

)1(

000

10

000

10

,...,

. . . .,,...,

,,...,

nn

n

n

n

yccxy

yccxy

yccxy

для определения постоянных 0 0 01 2 nc ,c ,....c .

Решение задачи Коши для ДУ n-го порядка имеет вид:

0 0 01 2 ny ( x,c ,c ,...,c )ϕ= .

11.2. ДУ второго порядка

Решением ДУ y f ( x, y, y )′′ ′= является функция 1 2y ( x,c ,c )ϕ= , пред-ставляющая совокупность интегральных кривых. Задача Коши заключается и нахождении решения ДУ, проходящего че-рез точку ( )0 0 0M x , y : ( )0 0y x y= в заданном направлении: ( )0 0 0tg y x yα ′ ′= = . 11.3. Некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые

к ДУ первого порядка 11.3.1. ДУ y f ( x )′′ =

Двукратное интегрирование дает:

1y f ( x )dx c′ = +∫ , ( ) 1 2y f ( x )dx dx c x c= + +∫ ∫ .

11.3.2. ДУ вида y f ( x, y )′′ ′=

Уравнение 2

2

d y dyf x,dxdx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

явно не содержит y(x). Сделаем замену пере-

менной: ( ) dyp xdx

= , тогда 2

2

dp d ydx dx

= и уравнение принимает вид

dp f ( x, p )dx

= , откуда ( )1p p x,c= , ( )1 2y p x,c dx c= +∫ .


Пример:

Решите уравнение 2xy x y′′ ′= − , если при 1x = 12

y = , 1y′ = .

Решение:

Если y p′ = , dpydx

′′ = , то 2dpx x pdx

= − , xp

dxdp

−= 2 – однородное уравне-

ние первого порядка.

Тогда p ux= , p ux= , p u x u′ ′= + , и уравнение 2 pp

x′ = − принимает вид:

2u x u u′ + = − .

2(1 )2(1 ), du uu x udx x

−′ = − = , 11, ln ln(1 )

2(1 ) 2du dx c x u

u x= = − −

−,

11

1c x

u=

−, 1 1 1pc x

x− = , 2 2

1

11 px c x

− = , 2 21

11px c x= − , 2

1

1p x yc x

′= − = ,

21

dxdy xdxc x

= − , откуда 2

221

1 ln2xy x c

c= − + .

Тогда 21

1( )y x xc x

′ = − .

Из начальных условий:

22

22 11

1 1 0,,1(1) , 2 212 1 0.1 1(1) 1

ccy

y cc

⎧ == + ⎧⎧ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ =⎪ ⎪ ⎪= −′ =⎩ ⎩⎪⎩

Значит, 2

2xy = .

11.3.3. ДУ ( )y f y, y′′ ′=

Уравнение явно не содержит независимую переменную x. Пусть

y p( y )′ = , т.е. ( )( )dy p( y ) p y xdx

= = является сложной функцией y , следова-

тельно: dp dp dy dpy pdx dy dx dy

′′ = = ⋅ = ⋅ . Уравнение принимает вид: dpp f ( y, p )dy⋅ = ,

откуда 1p p( y,c )= .

Для нахождения y получили уравнение ( )1dy p y,cdx

= , ( )1

dy dxp y,c

= и общий

интеграл имеет вид 1 2 0( x, y,c ,c )Φ = .

Пример:

Решите ДУ ( )y

yy2′

=′′ .

Лекции 10 - 11 130

Решение:

Пусть )( ypy =′ , тогда dydppy ⋅=′′ и

yp

dydpp

2=⋅ , 0=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yp

dydpp .

Это уравнение равносильно совокупности решений ⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

.

,0

yp

dydpp

Решением первого уравнения совокупности 0dydx

= является 1y c= .

Найдем решение второго: dp pdy y

= , dp dyp y= , 2ln ln lnp y c= + 2 0( c )≠ ,

2dyp c ydx

= = , 2dy c ydx= , 2dy c dxy= , 2 3ln lny c x c= + 3 0( c )≠ , 2

3c xy c e= .

Ответ: 1 1y c= , 22 3

c xy c e= . 11.4. Таблица 2. Решение ДУ второго порядка,

допускающих понижение порядка

Вид ДУ Метод решения 1. ( )y f x′′ = Последовательное интегрирование

2. ( ),y f x y′′ ′= ( )p x y′= , p y′ ′′=

3. ( ),y f y y′′ ′= ( )p y y′= , dpy pdy

′′ = ⋅

4. 2

y xyyx

′−′′ = ypx

= , 2

y xypx

′−′ =

5. 2yy y x′′ ′+ = p yy′= , 2p y yy′ ′ ′′= +

11.5. ДУ n-го порядка, допускающие понижение порядка 11.5.1. ДУ вида ( ) = ( )ny f x . Общее решение получается путем n-кратного интегрирования. Принимая во внимание, что

( )( ) ( 1) 'n ny y −= , ( 1)1( )ny f x dx C− = +∫ ,

( )( 2)1 2( )ny f x dx dx C x C− = + +∫ ∫ , …,

1 21 2... ( ) ... ...

( 1)! ( 2)!

n n

nC x C xy f x dx dx Cn n

− −

= + + + +− −∫ ∫ .


Пример: Найдите частное решение ДУ 2xy e′′′ = , удовлетворяющее начальным ус-

ловиям: 0 1y = , 0 1y′ = − , 0 0y′′ = при 0 0x = . Решение: Последовательное интегрирование дает:

21

12

xy e c′′ = + , 21 2

14

xy e c x c′ = + + , 2

21 2 3

18 2

x xy e c c x c= + + + .

Из начальных условий (0) 1y = , (0) 1y′ = − , (0) 0y′′ = , что приводит к сис-теме для определения постоянных 1 2 3, ,c c c :

3

2

1

11 ,8

11 ,4

10 ,2

c

c

c

⎧ = +⎪⎪⎪− = +⎨⎪⎪ = +⎪⎩

откуда

1

2

3

1 ,25 ,4

7 ,8

c

c

c

⎧ = −⎪⎪⎪ = −⎨⎪⎪ =⎪⎩

и 2 21 1 5 78 4 4 8

xy e x x= − − + .

Пример:

Найдите общий интеграл уравнения " sin( )y kx= и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 0 0| 0, ' | 1x xy y= == = .

1 11' sin cosy kxdx C kx Ck

= + = − +∫ ,

1 21 cosy kx C dx Ck

⎛ ⎞= − + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

1 2 1 22

1 1cos sinkxdx C dx C kx C x Ck k

= − + + = − + +∫ ∫ - общее решение. Из

условия 0| 0xy = = находим 20 С= .

Из условия 0' | 1xy = = находим: 1 11 11 1C Ck k

= − + → = + .

Таким образом, частное решение имеет вид: 2

sin 11kxy xk k

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

11.5.2. ДУ вида ( )( ), ', ",..., 0nF y y y y =

Уравнение не содержит в явном виде независимую переменную x . Порядок уравнения понижается на единицу подстановкой:

( )' , " , '"dP dP dy dP d dPy P y y P y Pdx dy dx dy dx dy

⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

22 22

2 2

d P dy dP dy dP d P dPP P Pdy dx dy dx dy dy dy

⎛ ⎞= + = + ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Лекции 10 - 11 132

Пример: Найдите общий интеграл уравнения 2' 2 " 0y yy+ = .

Подстановка ( )' , " dPy P y y Pdy

= = в уравнение дает:

( ) ( ) ( )( )

20, ;

2 02 0;

dyP y y constdP y dxP y y P y

dPdy P ydy

⎡ = = =⎢⎢+ = ⇒⎢ + =⎢⎣

112

1 112 , , ln ln ln ,

2 2dP dP dy Cy P P y C P C ydy P y y

−= − = − = − + = = ,

31 2

1 1 22; ;3

dy C ydy C dx y C x Cdx y

= = = + .

11.5.3. ДУ вида ( ) ( )( ), ,..., 0k nF x y y =

Уравнение не содержит в явном виде функцию y и ее производные до ( )1k − порядка включительно. Порядок уравнения понижается на k единиц с

помощью замены ( )( )ky P x= . Имеем ( )( ), , ',..., 0n kF x P P P − = . Если для по-

следнего уравнения найдено решение ( ) ( )1 2, , ,..., n kP x x C C Cϕ −= , то искомая функция ( )y x получается путем k - кратного интегрирования функции ( ) ( )1 2, , ,..., n kP x x C C Cϕ −= .

Пример:

Найдите общий интеграл уравнения '" " 1 0xy y x+ − − = . В уравнении явно не содержатся функции , 'y y .

Сделаем замену ( )" '" dPy P x ydx

= → = . Подстановка приводит к линей-

ному уравнению: 1' 1PPx x

+ = + .

Решение ищем в виде:

( ) ( ) ( ) 1, ' ' ' , ' ' 1uP x u x x P u u u ux xυυ υ υ υ υ= = + + + = + ,

1' ' xu ux xυυ υ +⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠,

' 0, ;d d dxx dx x xυ υ υ υυ

υ+ = = − = − ,

1 1 1 1ln ln ln , 1 , ' , 'x xx C C u ux x x x

υ υ υ + += − + = → = = = ,

( )2 2

1 11' 1 , 1 , , ,

2 2x xu x du x dx u x C P u P x C

xυ

⎛ ⎞= + = + = + + = = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠,


1 1 121 , " 1 , ' 1

2 2 2x C x C x CP y y dx C

x x x⎛ ⎞= + + = + + = + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

2

1 2ln4x x C x C= + + + ,

2

1 2 3ln .4xy x C x C dx C

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( )

ln1

1ln ln ln ln 1 ;

u x

du dxxdx x x x dx x x x x xx

xd dxx

υυ

=

== = − = − = −

==

∫ ∫

( )3 2

1 2 3ln 112 2x xy C x x C x C= + + − + + .


− =

Левая часть ДУ такого вида может быть представлена в виде полной производной по x от некоторой функции. Покажем, что интегрирование по x понижает порядок уравнения на единицу.

Пример:

( )2 2

1'" " 1 0, " ' ', "2 2x xxy y x xy x xy x C

⎛ ⎞+ − − = = + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠,

1" 12x Cy

x= + + .

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны различать и уметь решать: основные типы ДУ первого порядка, некоторые типы ДУ второго порядка, приводимые к ДУ первого порядка, ДУ n-го порядка, допускающие понижение порядка.

Лекции 12 - 13 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В лекции рассмотрены линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) и методы их решения. Особое внимание уделено линейным ДУ с постоянными коэффициентами, воз-никающим как простейшая математическая модель явления при рассмотрении многих за-дач естественных и прикладных наук.

12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений высшего порядка. Определения и общие свойства

12.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка 12.4. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами 12.5. Таблица 4. ОЛДУ n-го порядка 12.6. НЛДУ второго порядка 13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации

произвольных постоянных 13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными

коэффициентами методом неопределенных коэффициентов 13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ ( )y py qy f x′′ ′+ + =

13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.3.2. Метод вариации произвольной постоянной 13.3.3. Принцип суперпозиции

13.4. НЛДУ высших порядков 13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных 13.4.2. Метод неопределенных коэффициентов

13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n-го порядка 13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной

12.1. Общая теория линейных дифференциальных уравнений

высшего порядка. Определения и общие свойства Линейным называется ДУ, содержащее функцию у и ее производные в первой степени. Неоднородным линейным дифференциальным уравнением (НЛДУ) n-го порядка называется ДУ вида:

( ) ( 1)1 ... ( )n n

ny a y a y f x−+ + + = ,

О

О

Линейные дифференциальные уравнения

135

где ( )1,2,...,ia i n= и ( )f x - непрерывные функции от х или постоянные, причем правая часть ( ) 0f x ≠ . Линейное ДУ называется однородным (ОЛДУ), если ( ) 0f x = . Рассмотрим ОЛДУ второго порядка:

1 2 0y a y a y′′ ′+ + = .

Пусть 1 1( )y y x= и 2 2 ( )y y x= - частные решения ДУ. Два решения ДУ 1y и 2y называются линейно независимыми, если их линейная комбинация 1 1 2 2 0c y c y+ = лишь в случае 1 2 0c c= = . Решения 1y и 2y будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда

2 1y cy= . Например, функции 1

xy e= и 2 3 xy e= - линейно зависимы, а функции

1xy e= и 2

xy e−= - линейно независимы.

Если 1y и 2y являются функциями x , то определитель

( ) 1 21 2 1 2 1 2

1 2

W ,y y

y y y y y yy y

′ ′= = −′ ′

называется определителем Вронского.

Если функции 1y и 2y линейно зависимы на [ , ]a b , то ( )1 2W y , 0y ≡ ,

[ , ]x a b∈ . Доказательство:

2 1 2 1y y y yλ λ′ ′= → = и ( ) 1 2 1 1 1 11 2

1 2 1 1 1 1

W y , 0y y y y y y

yy y y y y y

λλ

λ= = = =

′ ′ ′ ′ ′ ′.

Если решения 1y и 2y ДУ линейно независимы на [ , ]a b , то

( )1 2W y , 0, [ , ]y x a b≠ ∈ . Доказательство: Допустим противное: ( )1 2W y , 0y = , тогда 1 2 1 2 0y y y y′ ′− = . Для 1 0 :y ≠

1 2 1 22

1

0y y y yy′ ′−

= , т.е. 2

1

0yy

′⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

и 2

1

constyy= , что противоречит условию,

значит, W 0≠ . Если 1y и 2y - линейно независимые частные решения ОЛДУ второго порядка 1 2 0y a y a y′′ ′+ + = , то общее решение ДУ равно линейной ком-

О

О

Т

Т

Т

О

Лекции 12 – 13

136

бинации этих частных решений 1 1 2 2y c y c y= + , где 1 2,c c - произвольные по-стоянные. Доказательство:

1 1 1 2 1 2 1 2 2 20, 0y a y a y y a y a y′′ ′ ′′ ′+ + = + + = . Подставим решение в виде 1 1 2 2y c y c y= + в исходное уравнение:

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2c y c y a c y c y a c y c y″ ′+ + + + + =

( ) ( )1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 20 0 0c y a y a y c y a y a y c c′′ ′ ′′ ′= + + + + + = ⋅ + ⋅ = ,

значит, 1 1 2 2y c y c y= + - общее решение ОЛДУ при любом выборе посто-янных.

Пример:

Решите уравнение ( )1 0x y xy y′′ ′− − + = . Решение: Подстановкой в уравнение убеждаемся, что функции 1 2, xy x y e= =

удовлетворяют уравнению, причем 2

1

constyy≠ , т.е. они линейно незави-

симы, значит 1 2xy c x c e= + .

Если известно одно частное решение ОЛДУ 2-го порядка 1y , то второе частное решение, линейно независимое с первым, находится интегриро-ванием линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) первого поряд-ка. Доказательство: Пусть 1 2 0y a y a y′′ ′+ + = ; 1y - частное решение, значит,

1 1 1 2 1 0y a y a y′′ ′+ + = . Второе частное решение ищем в виде 2 1( )y u x y= , где ( )u x - неизвестная функция.

Подставим 2y в ДУ: ( ) ( )1 1 1 2 1 1 1 1 12 0y a y a y u y u y a y u′′ ′ ′′ ′ ′+ + ⋅ + + + = , ( )1 1 1 12 0y u y a y u′′ ′ ′+ + = . Заменой u p′ = , приходим к ДУ первого порядка

для нахождения функции р: ( )1 1 1 12 0y p y a y p′ ′+ + = , интегрирование ко-торого позволяет найти функцию ( )u x и 2 1( )y u x y= , т.е.

1

2 1 21

a dxey y dx

y

−∫= ∫ .

Т


137

12.2. Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

0y py qy′′ ′+ + = . (*) Ищем его решение в виде kxy e= (подстановка Эйлера), найдем значения k . Продифференцируем y : kxy ke′ = , 2 kxy k e′′ = . Подстановка такого вида реше-ния в ДУ дает: 2 0kx kx kxk e pke qe+ + = , 2 0k pk q+ + = .

Уравнение

2 0k pk q+ + = (**)

называется характеристическим уравнением ОЛДУ для определения k . Решения характеристического уравнения имеют вид:

2

1,2 2 4p pk q= − ± − .

Возможны следующие виды решений:

1). Если 2

04pD q= − > , то характеристическое уравнение имеет два действи-

тельных различных корня 1k и 2k , 1 2k k≠ . В этом случае ОЛДУ имеет два линейно независимых ( 1 2k k≠ ) различных ча-стных решения 1 2

1 2,k x k xy e y e= = . Общее решение ДУ имеет вид:

1 21 2

k x k xy c e c e= + , где 2

1,2 2 4p pk q= − ± − .

Пример: Найдите решение ОЛДУ 082 =−′−′′ yyy .

xx ececykkkk 22

4121

2 ,2,4,082 −+=−===−− .

2). Если 2

04pD q= − = , то 1 2k k= и характеристическое уравнение имеет ко-

рень 2pk = − кратности два. Одно частное решение имеет вид: 2

1

p xy e

−= . Вто-

рое линейно независимое частное решение ищем в виде:

22 1 ( )

p xy y u x e u

−= ⋅ = ⋅ ,

О


138

тогда 2 2 2

2 2 2

p p px x xp py e u e u e u u− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= ⋅ + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠,

22 2 2

2 2 2 2 4

p p px x xp p p py e u u e u u e u pu u− − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′ ′ ′ ′′ ′= − − − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠.

После подстановки в ОЛДУ и сокращения на 2p x

e−

получим 2 2

04 2p pu pu u pu u qu′′ ′ ′− + + − + = , и уравнение для ( )u x принимает вид:

2

04pu q u

⎛ ⎞′′ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

В рассматриваемом случае равных корней характеристического уравнения 2

04pD q= − = , и тогда 10, ,u u C′′ ′= = 1 2u C x C= + , ( ) 2

2 1 2

p xy C x C e

−= + . По-

ложим, 1 21, 0C C= = , тогда 22

p xy xe

−= .

Общее решение ОЛДУ в случае 1 2k k k= = имеет вид:

( )1 2kxy e c c x= + , где

2pk = − .

Убедиться в том, что выражение 2kxy xe= является вторым линейно не-

зависимым решением дифференциального уравнения при условии, что

2pk = − является решением характеристического уравнения, можно не-

посредственной подстановкой.

Пример: 096 =+′−′′ yyy .

( ) xexccykkkk 32121

2 ,3993,096 +==−±===+− .

3). Если 2

04pD q= − < , то характеристическое уравнение имеет два сопря-

женных комплексных корня 2

1,2 2 4p pk i q= − ± − , 1 2,k i k iα β α β= + = − , где

2

,2 4p pqα β= − = − .

!


139

Частные решения имеют вид:

( ) ( )1 2,i x i xy e y eα β α β+ −= = .

Общее решение ( )( ) ( )1 2 1 2

i x i x x i x i xy c e c e e c e c eα β α β α β β+ − −= + = + , где 1c и 2c - та-

кие комплексные постоянные, что у – действительная функция. По формуле Эйлера: cos sini xe x i xβ β β= + , cos sini xe x i xβ β β− = − , тогда

( ) ( )1 2 1 2cos sinxy e c c x i c c xα β β⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦ . Полагая 1 2 1c c c+ = , ( )1 2 2i c c c− = ,

1 2,c c - действительные постоянные, получим общее решение ОЛДУ в виде

( )1 2cos sinxy e c x c xα β β= + , где 2

1,2 2 4p pk i q iα β= − ± − = ± .

4). В частном случае 2 0y yβ′′ + = , когда 20, , 0p q β α= = = , 1,2k iβ= ± , об-щее решение имеет вид: 1 2cos siny c x c xβ β= + .

Пример: 0136 =+′−′′ yyy .

2,3,23,01362 ==±==+− βαikkk , ( )xcxcey x 2sin2cos 213 += .

12.3. Таблица 3. Решение ОЛДУ второго порядка

′′ ′ 0 02y + py + qy = , k + pk + q =

Корни характеристического уравнения Вид общего решения

1. 2

11,2

2

0,2 4

kp pD k k qk⎡

> = = − ± − = ⎢⎣

-

действительные, разные.

1 21 2

k x k xy c e c e= +

2. 1 2 2pk k k= = = − -

действительные, равные, кратность 2. ( )1 2

kxy c c x e= +

3. 2

1,2 , ,2 4p pk i qα β α β= ± = − = − -

комплексные. ( )1 2cos sinxy e c x c xα β β= +

4. 1,2 , 0k iβ α= ± = 1 2cos siny c x c xβ β= +


140

12.4. ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами ( ) ( ) 0 constn n-1

1 n iy + a y + ...+ a y = , a =

Функции 1 2( ), ( ),..., ( )nx x xϕ ϕ ϕ называются линейно независимыми, если никакая из них линейно не выражается через другие для всех

[ , ]x a b∈ , т.е. 1 1 2 2 ... 0n nc c cϕ ϕ ϕ+ + + ≠ , если ic - постоянные, не все рав-ные нулю.

Если функции 1 2, ,..., ny y y являются линейно независимыми частными решениями ОЛДУ n-го порядка, то его общее решение есть

1 1 2 2 ... n ny c y c y c y= + + + , где ic - произвольные постоянные. Число ли-нейно независимых частных решений ДУ равно степени характеристи-ческого уравнения или порядку ОЛДУ. Найдя n частных решений, мож-но записать общее решение ОЛДУ. Составим характеристическое уравнение ОЛДУ n-го порядка с постоян-ными коэффициентами: 1 2

1 2 ... 0n n nnk a k a k a− −+ + + + = . Найдем его корни

1 2, ,..., nk k k . В зависимости от корней характеристического уравнения частные ли-нейно независимые решения ОЛДУ имеют разный вид.

1). Каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение вида kxy e= . 2). Каждому действительному корню k кратности r соответствует r линей-но независимых решений:

1

22

3

1

,,,

...................

kx

kx

kx

r kxr

y e

y xey x e

y x e−

⎡ =⎢

=⎢⎢ =⎢⎢⎢

=⎢⎣

3). Каждой паре комплексных корней 1,2k iα β= ± соответствуют два частных решения:

1

2

cos ,

sin .

x

x

y e x

y e x

α

α

β

β

⎡ =⎢

=⎣

О

Т


141

4). Каждой паре комплексных корней 1,2k iα β= ± кратности µ соответствует 2µ частных решений:

1

2

1

1

2

12

cos ,

cos ,..........

cos ,

sin ,

sin ,..........

sin .

x

x

x

x

x

x

y e x

y xe x

y x e x

y e x

y xe x

y x e x

α

α

µ αµ

αµ

αµ

µ αµ

β

β

β

β

β

β

−

+

+

−

⎡ =⎢

=⎢⎢⎢

=⎢⎢

=⎢⎢ =⎢⎢⎢

=⎢⎣

12.5. Таблица 4. ОЛДУ n-го порядка

( ) ( ) ( ) 0n n-1 n-21 2 ny + a y + a y + ...+ a y = , constia = ,

= 0n n-1 n-21 2 nk + a k + a k + ...+ a

Корни характеристического уравнения Вклад указанных корней в общее решение ДУ

1. Действительные, разные 1 2 3 ... nk k k k≠ ≠ ≠ ≠

1 21 2 ... nk xk x k x

ny c e c e c e= + + +

2. Действительные, кратности r n≤ 1 2 3 ... rk k k k k= = = = = ( )2 1

1 2 3 ... r kxry c c x c x c x e−= + + + +

3. Комплексные, разные 1 1 1 2 2 2

1 2

1 2

, ,......, , ... ,

... .n n n n

n

k i k ik iα β α β

α β α α αβ β β

= ± = ±= ± ≠ ≠ ≠

≠ ≠ ≠

( )( )( )

1

2

1 1 2 1

3 2 4 2

2 1 2

cos sin

cos sin ...

cos sin .n

x

x

xn n n n

y e c x c x

e c x c x

e c x c x

α

α

α

β β

β β

β β−

= + +

+ + + +

+ +

4. Комплексные, кратности 3r = 1 2 3k k k iα β= = = +

( )( )

21 2 3

24 5 6

[ cos

sin ]

xy e c c x c x x

c c x c x x

α β

β

= + + +

+ + +


142

Пример:

Решите уравнение 0y y′′′ − = . Решение: Характеристическое уравнение: ( )( )3 21 0, 1 1 0k k k k− = − + + = ,

откуда 1 1k = , 2,31 32 2

k i= − ± .

Частные решения имеют вид: 21 2

3, cos2

xxy e y e x

−= = , 2

33sin

2

x

y e x−

= .

Общее решение имеет вид: 21 2 3

3 3cos sin2 2

xxy c e e c x c x

− ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦.

12.6. НЛДУ второго порядка

НЛДУ второго порядка имеет вид: 1 2 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = , где ia и ( )f x - известные функции.

Общее решение НЛДУ . .O Hy y= равно сумме общего решения . .O Oy y= соответствующего однородного уравнения 1 2 0y a y a y′′ ′+ + = и частного решения . .Ч Нy y= % данного неоднородного уравнения

1 2 ( )y a y a y f x′′ ′+ + =% % % , то есть y y y= + % . Доказательство: Для y , y% справедливо: 1 2 0,y a y a y′′ ′+ + = 1 2 ( )y a y a y f x′′ ′+ + =% % % . Сложим

эти уравнения почленно: ( ) ( ) ( )1 2 ( )y y a y y a y y f x″ ′+ + + + + =% % % , значит, y y y= + % является общим решением НЛДУ.

13.1. Решение НЛДУ второго порядка методом вариации

произвольных постоянных Пусть известно общее решение ОЛДУ . . 1 1 2 2O Oy c y c y= + , где

1 2,c c const− . Найдем общее решение НЛДУ методом вариации произвольных постоянных. Будем искать общее решение НЛДУ в виде

. . 1 1 2 2( ) ( )O Hy c x y c x y= + , считая 1c и 2c неизвестными функциями x . Найдем 1 2( ), ( )c x c x . Вычислим производную: 1 1 1 1 2 2 2 2y c y c y c y c y′ ′ ′ ′ ′= + + + . Подберем 1( )c x и 2 ( )c x так, чтобы 1 1 2 2 0c y c y′ ′+ = , тогда 1 1 2 2y c y c y′ ′ ′= + , а

1 1 1 1 2 2 2 2y c y c y c y c y′′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′= + + + .

Т


143

Подстановка этих выражений в НЛДУ дает:

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 ( )c y c y c y c y a c y c y a c y c y f x′′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′+ + + + + + + = ,

( ) ( )1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 ( )c y a y a y c y a y a y c y c y f x′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + + + = .

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как 1y и 2y - частные реше-ния соответствующих ОЛДУ. Значит, 1 1 2 2 ( )c y c y f x′ ′ ′ ′+ = . Получаем, что

. . 1 1 2 2( ) ( )O Hy c x y c x y= + , если 1( )c x и 2 ( )c x удовлетворяют системе:

1 1 2 2

1 1 2 2

0,( ).

c y c yc y c y f x′ ′+ =⎧

⎨ ′ ′ ′ ′+ =⎩

Для линейно независимых функций 1y и 2y определитель системы ( )1 2, 0W y y∆ = ≠ , и можно найти решение системы: 1 1 2 2( ), ( )c x c xϕ ϕ′ ′= = и

искомые функции 1 1 1 2 2 2( ) ( ) , ( ) ( )c x x dx c c x x dx cϕ ϕ= + = +∫ ∫% % .

Пример:

Найдите решение НЛДУ: yy xx′

′′ − = .

Найдем решение ОЛДУ: 0yyx′

′′ − = , xy

y 1=

′′′ , ln ln lny x c′ = + ,

y cx′ = , 2. . 1 2O Oy c x c= + .

Частные решения ОЛДУ: 21 2, 1y x y= = .

Найдем . . 1 1 2 2( ) ( )O Hy c x y c x y= + . 2

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1 2

0, 1 0,( ), 2 0 .

c y c y c x cc y c y f x c x c x′ ′+ = ′ ′⎧ ⋅ + ⋅ =⎧

⇔⎨ ⎨′ ′ ′ ′+ = ′ ′⋅ + ⋅ =⎩ ⎩

Отсюда 3

21 2 1 1 2 2

1 1, , ,2 2 2 6

x xc c x c c c c′ ′= = − = + = − +% % .

3 3 32 2

. . 1 2 1 212 6 2 6O Hx x x xy c x c c x c

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + − + ⋅ = − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

% % % %3

21 2.

3x c x c+ +% %

13.2. Решение НЛДУ второго порядка с постоянными

коэффициентами методом неопределенных коэффициентов ′′ ′ ( )y + py + qy = f x

Ранее (п. 12.6) доказано, что общее решение НЛДУ имеет вид:

. . . . . .O H O O Ч Нy y y y y= + = + % , где y - общее решение соответствующего ОЛДУ,


144

характеристическое уравнение которого 2 0k pk q+ + = , а y% - частное реше-ние НЛДУ.

Частное решение НЛДУ y% может быть найдено методом неопределен-ных коэффициентов для некоторых видов функции ( )f x в правой части уравнения и корней характеристического уравнения его левой части.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если ( ) , 0xf x ae aα= ≠ , то y% нужно искать в виде xy Aeα=% , где А – произвольная постоянная, подлежащая определению. Последовательное дифференцирование дает: xy A eαα′ =% , 2 xy A eαα′′ =% . Подставляя эти выражения в НЛДУ и сокращая на xeα , получим

( )2A p q aα α+ + = . (*)

1). Если α не является корнем характеристического уравнения, т.е. 2 0p qα α+ + ≠ , то уравнение (*) имеет решение 2

aAp qα α

=+ +

и xy Aeα=% .

2). Если α является корнем характеристического уравнения, то y% нужно искать в другом виде. Так, если α - простой (однократный) корень характе-ристического уравнения, то xy Axeα=% ; если α - двукратный корень характе-ристического уравнения, то 2 xy Ax eα=% .

Пример: Найдите решение НЛДУ xeyyy =+′−′′ 65 .

Решение: Для ОЛДУ 065 =+′−′′ yyy , 0652 =+− kk , 2,3 21 == kk и xx ececy 2

23

1 += . Для xexf =)( 1=α , так как α≠21,kk , то xAey =~ . Найдем А. xx AeyAey =′′=′ ~,~ .

Подстановка в уравнение дает: xxxx eAeAeAe =+− 65 , откуда 21,12 == AA и

xey21~ = .

Окончательно, xxx eececyyy21~ 2

23

1 ++=+= .

2. 2

2( ) ( )f x ax bx c P x= + + = . Частное решение ищем в виде 2

2 ( )y Q x Ax Bx C= = + +% ; найдем A, B, C.

2 22 , 2 , 2 2y Ax B y A A Apx pB Aqx Bqx Cq ax bx c′ ′′= + = + + + + + = + +% % ,

2 2(2 ) (2 )Aqx Ap Bq x A Bp Cq ax bx c+ + + + + = + + .


145

Неопределенные коэффициенты находятся из системы:

,2 ,2 .

Aq aAp Bq bA Bp Cq c

=⎧⎪ + =⎨⎪ + + =⎩

1). Если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то 2y Ax Bx C= + +% ;

2). Если число «0» является простым корнем характеристического уравне-ния, тогда частное решение нужно искать в виде ( )2y x Ax Bx C= + +% . 3). Если число «0» является двукратным корнем характеристического урав-нения, тогда 2 2( )y x Ax Bx C= + +% .

Пример: Решите ДУ 2y x y′′ = + , если (0) 2, (0) 1y y′= − = .

Решение Для ОЛДУ 2

1 20, 1 0, 1, 1y y k k k′′ − = − = = = − и 1 2x xy c e c e−= + .

Так как 2( )f x x= , 2y Ax Bx C= + +% . Значит, 2 22 ( )A Ax Bx C x− + + = .

1,0,

2 0,

ABA C

− =⎧⎪− =⎨⎪ − =⎩

откуда 1, 0, 2A B C= − = = − и 2 2y x= − −% .

21 2 ( 2)x xy y y c e c e x−= + = + − +% , 1 2 2x xy c e c e x−′ = − − .

При 0x = (0) 2, (0) 1y y′= − = ,

1 2

1 2

2 2;1 ,

c cc c

− = + −⎧⎨ = −⎩

откуда 1 21 1,2 2

c c= = − .

Общее решение НЛДУ имеет вид: ( ) ( )21 22

x xy e e x−= − − + .

3. Если ( ) ( )nf x P x= , 0α = , то решение y% нужно искать в следующем ви-де: 1) если число «0» не является корнем характеристического уравнения, то

( )ny Q x=% ; 2) если число «0» является простым корнем характеристического уравне-

ния, то ( )ny xQ x=% ; 3) если число «0» является двукратным корнем характеристического урав-

нения, то 2 ( )ny x Q x=% , где ( )nQ x - многочлен n-го порядка с коэффици-ентами, подлежащими определению.


146

4. Если ( ) ( ) xnf x P x eα= , где ( )nP x - многочлен n-го порядка, то решение y%

нужно искать в следующем виде в зависимости от значений корней характе-ристического уравнения: 1) если α не является корнем характеристического уравнения, то

( ) xny Q x eα=% , где nQ - многочлен n-ой степени с неопределенными ко-

эффициентами, подлежащими определению подстановкой в НЛДУ; 2) если α - простой (однократный) корень характеристического уравнения,

то ( ) xny xQ x eα=% ;

3) если α - двукратный корень характеристического уравнения, то 2 ( ) x

ny x Q x eα=% . 5. ( ) cos sinf x M x N xβ β= + . Будем искать частное решение в виде cos siny A x B xβ β= +% , найдем А и В.

sin cosy A x B xβ β β β′ = − +% , 2 2cos siny A x B xβ β β β′′ = − −% . Подстановка в НЛДУ дает: ( ) ( )2 2cos sin cos sinA Bp Aq x B Ap Bq x M x N xβ β β β β β β β− + + + − − + = + .

Из системы ( )

( )

2

2

;A q Bp M

Ap B q N

β β

β β

⎧ − + =⎪⎨− + − =⎪⎩

найдем А и В. 1). Если число iβ не является корнем характеристического уравнения, то

cos siny A x B xβ β= +% ; 2). Если число iβ является корнем характеристического уравнения, то

( )cos siny x A x B xβ β= +% .

Пример: Решите уравнение 4 4 cosy y y x′′ ′− + = .

Решение: 4 4 0y y y′′ ′− + = , 2 4 4 0k k− + = , 1,2 2 4 4 2k = ± − = , ( ) 2

1 2xy c c x e= + .

1,21, kβ β= ≠ : cos siny A x B x= +% . Найдем А и В.

sin cos , cos siny A x B x y A x B x′ ′′= − + = − −% % ; ( ) ( ) ( )cos sin 4 sin cos 4 cos sin cosA x B x A x B x A x B x x− − − − + + + = ;

( ) ( )4 4 cos 4 4 sin cosA B A x B A B x x− − + + − + + = ; 3 4 1, 3 4 3 4, cos sin4 3 0, 25 25 25 25

A BA B y x x

A B− =⎧

→ = = − ⇒ = −⎨ + =⎩% ;

( ) 21 2

3 4cos sin25 25

xy c c x e x x= + + − .


147

Пример:

Найдите решение НЛДУ 4 cos 2y y x′′ + = . Решение:

21,24 0 2k k i+ = → = ± . yyy ~+= .

1 2cos 2 sin 2y c x c x= + . Так как 2i является корнем характеристического уравнения:

( )cos 2 sin 2y x A x B x= +% ,

( )2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2y x A x B x A x B x′ = − + + +% ,

( ) ( )4 cos 2 sin 2 4 sin 2 cos 2y x A x B x A x B x′′ = − − + − +% . Подстановка в уравнение дает:

( ) ( )4 4 4 cos 2 4 4 4 sin 2 cos 2Ax B Ax x Bx A Bx x x− + + + − − + = , откуда

4 1, 10,4 0, 4B

A BA=⎧

→ = =⎨− =⎩, sin 2

4xy x=%

и

1 2cos 2 sin 2 sin 24xy c x c x x= + + .

6. Если ( ) ( ) cos ( ) sinx x

n mf x P x e x Q x e xα αβ β= + , то y% в зависимости от кор-ней характеристического уравнения нужно искать в виде: 1) если число iα β+ не является корнем характеристического уравнения,

то ( ) cos ( ) sinx xp py R x e x V x e xα αβ β= +% , где ( )pR x и ( )pV x - многочлены с

неопределенными коэффициентами, степень которых равна наивысшей степени многочленов ( )nP x и ( )mQ x , max( , )p n m= ;

2) если число iα β+ является корнем характеристического уравнения, то [ ( ) cos ( ) sin ]x x

p py x R x e x V x e xα αβ β= +% .

Указанный вид частного решения сохраняется и в тех случаях, когда один из многочленов равен нулю, т.е. ( ) ( ) cosx

nf x P x e xα β= или ( ) ( ) sinx

mf x Q x e xα β= .

Пусть НЛДУ таково, что его правая часть представляет собой сумму не-скольких, например, двух функций 1 2 1 2( ) ( )y a y a y f x f x′′ ′+ + = + . Тогда если 1y% - частное решение 1 2 1( )y a y a y f x′′ ′+ + = , а 2y% - частное решение

1 2 2 ( )y a y a y f x′′ ′+ + = , то частное решение исходного НЛДУ есть сумма этих двух решений: 1 2y y y= +% % % .

Т

!


148

13.3. Таблица 5. Решение НЛДУ ′′ ′ ( )y + py + qy = f x %O.O. Ч.Н.y = y + y = y + y

13.3.1. Метод неопределенных коэффициентов

( )f x Корни

характеристическогоуравнения

Вид . .Ч Нy y= %

1. ( )nP x а) 0 – не корень б) 0 – корень кратно-сти r (r =1,2)

( )ny Q x=% ( )r

ny x Q x=%

2. ( )xne P xα

а) α – не корень б) α – корень крат-

ности r (r =1,2)

( )xny e Q xα=%

( )r xny x e Q xα=%

3. cos sinA x B xβ β+ а) iβ – не корень б) iβ – корень

1 cos siny A x B xβ β= +% ( )1 1cos sinry x A x B xβ β= +%

4. ( )cosnP x xβ + ( )sinmR x xβ+

а) iβ – не корень б) iβ – корень

cos sink ky Q x M xβ β= +% , [ cos sin ]r

k ky x Q x M xβ β= +% , max( , )k n m= .

5. [ ( )cosxne P x xα β + ( )sin ]mR x xβ+

а) iα β+ – не корень б) iα β+ – корень кратности r (r =1,2)

[ cos sin ]xk ky e Q x M xα β β= +% , [ cos sin ]r x

k ky x e Q x M xα β β= +%

Здесь Q и M – многочлены с неизвестными коэффициентами. 13.3.2. Метод вариации произвольных постоянных

. . 1 1 2 2( ) ( )O Hy c x y c x y= + , если 1y и 2y - частные решения ОЛДУ и

1 1 2 2

1 1 2 2

0,( ).

c y c yc y c y f x′ ′+ =⎧

⎨ ′ ′ ′ ′+ =⎩

13.3.3. Принцип суперпозиции

Если 1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nf x f x f x f x= + + + , то 1 2 ... ny y y y= + + +% % % .


149

13.4. НЛДУ высших порядков ( ) ( 1)

1 ... ( ), ( 1,2,..., )n nn iy a y a y f x a i n−+ + + = = , ( )f x – непрерывные функ-

ции или постоянные. Пусть известно общее решение 1 1 2 2 ... n ny c y c y c y= + + + соответствующего ОЛДУ: ( ) ( 1)

1 ... 0n nny a y a y−+ + + = .

13.4.1. Метод вариации произвольных постоянных Общее решение НЛДУ имеет вид 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny c x y c x y c x y= + + + , где

iy (i =1,2,…, n) – частные решения ОЛДУ, а ( )i ic c x= (i =1,2,…, n) – функции, производные которых удовлетворяют системе уравнений:

1 1 2 2

1 1 2 2

( 2) ( 2) ( 2)1 1 2 2

( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2

... 0,

... 0,..............................................

... 0,

... ( ),

n n

n n

n n nn n

n n nn n

c y c y c yc y c y c y

c y c y c y

c y c y c y f x

− − −

− − −

⎧ ′ ′ ′+ + + =⎪′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + =⎪

⎪⎨⎪ ′ ′ ′+ + + =⎪⎪ ′ ′ ′+ + + =⎩

(*)

т.е. являются решением этой системы 1 2{ ( ), ( ),..., ( )}nc x c x c x′ ′ ′ при ( )1 2, ,..., 0nW y y y∆ = ≠ для линейно независимых частных решений

1 2, ,..., ny y y и имеют вид:

1 1 1

2 2 2

( ) ,

( ) ,

...............................

( ) .n n n

c x c dx c

c x c dx c

c x c dx c

⎡ ′= +⎢⎢ ′= +⎢⎢⎢

′= +⎢⎣

∫∫

∫

%

%

%

Доказательство: Продифференцируем у n раз, учитывая (*):

1 1 2 2 ... n ny c y c y c y= + + + ,

1 1 2 2 ... n ny c y c y c y′ ′ ′ ′= + + + ,

(остальные члены равны нулю из первого уравнения системы для ic′ (*)).

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 2 2 ...n n n n

n ny c y c y c y− − − −= + + + ,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... ( )n n n n

n ny c y c y c y f x= + + + + .

Т


150

Умножим полученные выражения для производных на коэффициенты ia ( 1,2,..., )i n= и сложим их почленно. Суммы по вертикальным столбцам равны нулю, так как 1 2, ,..., ny y y - частные решения ОЛДУ, ненулевыми остаются слагаемые ( ) ( 1)

1 ... ( )n nny a y a y f x−+ + + =% % % , значит y% - решение

НЛДУ. Пример:

Найдите решение НЛДУ 1

siny y

x′′′ ′+ = .

Решение: 1. Найдем частные решения ОЛДУ:

0y y′′′ ′+ = , 3 0k k+ = , 1 0k = , 2,3k i= ± . Значит, 1 1y = , 2 3cos , siny x y x= = . 2. Установим вид . .O Oy y= : 1 2 3cos siny c c x c x= + + . 3. Запишем вид . .O Hy : 1 2 3( ) ( ) cos ( )siny c x c x x c x x= + + . 4. Составим систему уравнений для определения )(xci′ :

1 2 3

2 3

2 3

1 cos sin 0,sin cos 0,

1cos sin .sin

c c x c xc x c x

c x c xx

⎧⎪ ′ ′ ′⋅ + + =⎪

′ ′− + =⎨⎪⎪ ′ ′− − =⎩

Решением этой системы являются: 1 2 31 cos, , 1

sin sinxc c c

x x′ ′ ′= = − = − .

5. Найдем ( )ic x : 1 1( ) ln tgsin 2dx xc x c

x= = +∫ ,

2 2 3 3cos( ) ln sin , ( )sin

xc x dx x c c x x cx

= − = − + = − +∫ .

6. Запишем решение:

( ) ( )1 2 3

1 2 3

xln tg ln | sin | cos sin2

ln tg cos ln | sin | sin cos sin .2

y c x c x x c x

x x x x x c c x c x

= + + − + + − + =

= − − + + +

13. 4.2. Метод неопределенных коэффициентов

Частное решение НЛДУ y% может быть найдено методом неопределен-ных коэффициентов для некоторых видов функции ( )f x в правой части уравнения и корней характеристического уравнения его левой части.

Рассмотрим следующие случаи: I. ( ) ( ) xf x P x eα=

1). Если α не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде % ( ) xy R x eα= , где ( )R x - многочлен с неизвестными ко-эффициентами, степень которого совпадает со степенью ( )P x ;


151

2). Если α корень кратности µ характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде % ( ) xy x R x eµ α= . Пример: 3 1IVy y x− = + .

Характеристическое уравнение 4 41 0, 1k k− = = , 1 2 3 41, 1, ,k k k i k i= = − = = − .

Общее решение однородного уравнения:

1 2 3 4cos sinx xy C e C e C x C x−= + + + .

Правая часть уравнения ( ) 3 1f x x= + имеет вид:

( ) xnP x eα , где 3, 0n α= = ,

корни характеристического уравнения не совпадают с α .

Частное решение ищем в виде: % ( ) ( ) ( ) %0 3 2 2

3 0 1 2 3 0 1 2, ' 3 2 ,x xny R x e R x e A x A x A x A y A x A x Aα= = = + + + = + +

% % 3 2 30 1 0 0 1 2 3" 6 2 , '" 6 , 0, 1IVy A x A y A y A x A x A x A x= + = = − − − − = + .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , получим:

0 01, 1A A− = = − , % 31 2 30, 0, 1, 1A A A y x= = = − = − − .

Общее решение: 31 2 3 4cos sin 1x xy C e C e C x C x x−= + + + − − .

II. ( ) ( ) ( )cos sinx xf x P x e x R x e xα αβ β= +

1). Если iα β+ не является корнем характеристического уравнения, то ча-стное решение ищем в виде % ( ) ( )cos sinx xy u x e x x e xα αβ υ β= + , где ( ) ( ),u x xυ - многочлены, степень которых равна наивысшей степени ( )P x и ( )R x .

2). Если iα β+ является корнем характеристического уравнения кратности µ , то частное решение: % ( ) ( )cos sinx xy x u x e x x e xµ α αβ υ β⎡ ⎤= +⎣ ⎦ .

Пример:

6sinIVy y x− = .

Характеристическое уравнение: 4 1 0k − = , 1 2 3 41, 1, ,k k k i k i= = − = = − .

Общее решение однородного уравнения

1 2 3 4cos sinx xy C e C e C x C x−= + + + , ( ) 6sinf x x=

имеет вид:


152

( ) ( ) ( ) ( ) 0cos sin , 0, 1, 0, 1x x xf x P x e x R x e x P x eα αβ β α β= + = = = = ,

( )0 6, 0 1R x i i iα β= + = + ⋅ = совпадает с корнем 3k → решение ищем в виде: % ( ) %0 0 0 0 0 0cos sin , ' cos sin sin cosy x A x B x y A x A x x B x xB x= + = − + + , %

0 0 0 0" 2 sin 2 cos cos siny A x B x A x x B x x= − + − − , %

0 0 0 0'" 3 cos sin 3 sin cosy A x A x x B x B x x= − + − − , %

0 0 0 04 sin cos 4 cos sinIV

y A x A x x B x B x x= + − + .

Подстановка этих значений в исходное уравнение дает

0 04 sin 4 cos 6sin ,A x B x x− = ,

откуда 0 0 06 34 6, , 04 2

A A B= = = = и

%1 2 3 4

3 3cos , cos sin cos2 2

x xy x x y C e C e C x C x x x−= = + + + +

13.5. Таблица 6. Решение НЛДУ n-го порядка

( ( ) ( ) ( )n) n-1 n-21 2 ny + a y + a y + ...+ a y = f x , O.H. O.O. Ч.Н.y = y + y

13.5.1. Метод неопределенных коэффициентов

Вид правой части Корни

характеристического уравнения

Вид частного решения

1. ( ) ( )nf x P x= - многочлен степени n

а) число 0 не является корнем

б) число 0 является корнем кратности r

( )ny Q x=% ( )r

ny x Q x=%

2. ( ) ( )xnf x e P xα=

а) число α не является корнем

б) число α является корнем кратности r

( )xny e Q xα=%

( )r xny x e Q xα=%


153

3. ( ) cosf x A xβ= + sinB xβ+

а) число iβ не являет-ся корнем

б) число iβ является корнем кратности r

1 1cos siny A x B xβ β= +%

1( cosry x A xβ= +% 1 sin )B xβ+

4. ( ) ( )cosnf x P x xβ= + ( )sinmR x xβ+

а) число iβ не являет-ся корнем

б) число iβ является корнем кратности r

cosky Q xβ= +% sin , max( , )kM x k n mβ+ =( cosr

ky x Q xβ= +% + sin )kM xβ

5. ( ) [ ( )xnf x e P xα= ⋅

cos ( )sin ]mx R x xβ β⋅ +

а) число iα β+ не яв-ляется корнем

б) число iα β+ явля-ется корнем кратно-сти r

[ cossin ]

xk

k

y e Q xM x

α ββ

= ++

%

[ cossin ]

r xk

k

y x e Q xM x

α ββ

= ++

%

Здесь , ,Q R M - многочлены с неопределенными коэффициентами. 13.5.2. Метод вариации произвольной постоянной

( ). . 1 1 2 2( ) ( )O H n ny c x y c x y c x y= + + +K ,( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 21 1 2 2

1 1 11 1 2 2

0,

0,

0,

.

n

n

n n nn n

n n nn n

c y c y c

c y c y c

c y c y c y

c y c y c y f x

− − −

− − −

′ ′ ′+ + + =⎧⎪

′′ ′ ′ ′+ + + =⎪⎪⎨⎪ ′′ ′+ + + =⎪⎪ ′′ ′+ + + =⎩

K

K

K

K

K

1 1 1 2 2 2, , n n nc c dx c c c dx c c c dx c′ ′ ′= + = + = +∫ ∫ ∫K .

Если 1 2( ) ( ) ( ) ( )kf x f x f x f x= + + +K , то частное решение представляет сумму частных решений, соответствующих каждому слагаемому в пра-вой части.


основные понятия и методы решения ОЛДУ и НЛДУ; специальные методы решения ОЛДУ и НЛДУ с постоянными коэффициентами.

!

Лекция 14 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В лекции рассмотрены системы дифференциальных уравнений (ДУ) и методы их решения. Особое внимание уделено линейным системам с постоянными коэффициентами, которые возникают при решении многих задач механики и электротехники.

14.1. Основные понятия 14.2. Метод исключения неизвестных 14.3. Линейные системы ДУ 14.4. Однородные системы линейных ДУ

с постоянными коэффициентами 14.5. Неоднородные системы линейных ДУ

с постоянными коэффициентами 14.1. Основные понятия

Система n ДУ первого порядка с n неизвестными функциями 1 2, ,..., nx x x от одной переменной t вида

1 1 1

2 2 1

1

( , ,..., ),( , ,..., ),

..............................( , ,..., ),

n

n

n n n

x f t x xx f t x x

x f t x x

′ =⎧⎪ ′ =⎪⎨⎪⎪ ′ =⎩

называется нормальной системой обыкновенных ДУ.

Общим решением системы называется совокупность n функций от t и n произвольных постоянных:

1 1 1 2

2 2 1 2

1 2

( , , ,..., ),( , , ,..., ),

..................................( , , ,..., ),

n

n

n n n

x x t c c cx x t c c c

x x t c c c

=⎧⎪ =⎪⎨⎪⎪ =⎩

которые удовлетворяют всем уравнениям системы. Любая система ДУ может быть приведена к нормальному виду. Пусть, например, система состоит из n уравнений порядка m :

!

О

О

Системы дифференциальных уравнений

155

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 11 1 1 1 1 1 2 2 2

1 1 12 2 1 1 1 1 2 2 2

11 1 1 1 2

m m m mn n n

m m m mn n n

m mn n

x f t ,x ,x ,x ,...,x , x ,x ,...,x , ..., x ,x ,...,x ,

x f t ,x ,x ,x ,...,x , x ,x ,...,x , ..., x ,x ,...,x ,

..............................

x f t ,x ,x ,x ,...,x , x ,

− − −

− − −

−

′ ′′ ′ ′=

′ ′′ ′ ′=

′ ′′ ′= ( ) ( )( )1 12 2

m mn n nx ,...,x , ..., x ,x ,...,x .− −

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪

′⎪⎩

Переобозначим функции: 1 0 1 2 0 2 0, , n , nx x , x x , ..., x x= = = и введем допол-нительные:

( )

( )

( )

111 1 1 2 1 1 1 1

12 1 2 2 2 2 2 1 2

11 2 1

m, , ,m

m, , ,m

mn, n n, n n ,m n

x x , x x , ..., x x ,

x x , x x , ..., x x ,.....................................................

x x , x x , ..., x x .

−−

−−

−−

′ ′′= = =

′ ′′= = =

′ ′′= = =

В новых обозначениях уравнения системы принимают вид:

( )

1 0 11

11 1 2

1 2 1 1

1 1 1 1 0 11 1 2 1 1 2 0 2 1 2 1 0 1 1

2 0 2 1

2 1 2 2

2 2 2 1

2 1 2

, ,

, ,

,m ,m

,m , , , ,m , , ,m n, n , n ,m

, ,

, ,

,m ,m

,m

x x ,x x ,...............x x ,

x f t ,x ,x ,x ,...,x ,x ,x ,...,x ,...,x ,x ,...x ,

x x ,x x ,...............x x ,

x f t ,x

− −

− − − −

− −

−

′ =′ =

′ =

′ =

′ =′ =

′ =

′ = ( )1 0 11 1 2 1 1 2 0 2 1 2 1 0 1 1

0 1

, , , ,m , , ,m n, n, n ,m

n, n,

,x ,x ,...,x ,x ,x ,...,x ,...,x ,x ,...x ,

.......................................................................................................................x x ,

− − −

′ =

( )

1 2

2 1

1 2 1 0 11 1 2 1 1 2 0 2 1 2 1 0 1 1

n, n,

n ,m n,m

n,m , , , ,m , , ,m n, n, n ,m

x x ,...............x x ,

x f t ,x ,x ,x ,...,x ,x ,x ,...,x ,...,x ,x ,...x .− −

− − − −

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ′ =⎪⎪⎪ ′ =⎪⎪ ′ =⎪⎩

Вместо системы n уравнений порядка m получена нормальная система из n m× уравнений.

Лекция 14

156

14.2. Метод исключения неизвестных Нормальная система n ДУ первого порядка сводится к одному ДУ n-го

порядка методом исключения неизвестных. Проиллюстрируем этот метод решения на примерах.

Пример:

Найдите решение системы

2 sin ,

.2

dx y tdtdy xdt y

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

Решение:

Продифференцируем первое уравнение: 2

2 2 cosd x dy y tdt dt

= + ;

подставим dydt

из второго уравнения: 2

2 cosd x x tdt

= + ;

получим НЛДУ второго порядка для ( )x t : 2

2 cosd x x tdt

− = .

Его решение

x x x= + % , 012 =−k , 1±=k , 1 2t tx c e c e−= + , 1 cos

2x t= −% ,

1 21 cos2

t tx c e c e t−= + − , 1 21 sin2

t tdx c e c e tdt

−= − + ,

21 2

1sin sin2

t tdxy t c e c e tdt

−= − = − − .

Ответ: 1 2

1 2

1 2

1 cos ,2

1 sin .2

t t

t t

x c e c e t

y c e c e t

−

−

⎧ = + −⎪⎪⎨

⎛ ⎞⎪ = − −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

В качестве примера решим систему уравнений второго порядка.

Пример:

Решите систему

2

2

2

2

,

.

d x ydtd y xdt

⎧=⎪⎪

⎨⎪ =⎪⎩

Решение:

Дважды продифференцируем первое уравнение 2 4

2 4

d y d xdt dt

= ,

подставим во второе 4

4

d x xdt

= , (4) 0x x− = , 4 1 0k − = , 1,2 1k = ± , 3,4k i= ± .

Ответ: 1 2 3 4

1 2 3 4

cos sin ,

cos sin .

t t

t t

x c e c e c t c t

y x c e c e c t c t

−

−

⎡ = + + +⎢

′′= = + − −⎢⎣


157

14.3. Линейные системы ДУ Нормальная линейная система ДУ с n неизвестными функциями

1 2, ,..., nx x x от одной переменной t имеет вид:

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ,... ,

.............................................................. ,

n n

n n

n n n nn n n

x a x a x a x bx a x a x a x b

x a x a x a x b

′ = + + + +⎧⎪ ′ = + + + +⎪⎨⎪⎪ ′ = + + + +⎩

где коэффициенты ika и ib - известные функции t или постоянные, , 1,2,...,i k n= .

Система называется неоднородной, если хотя бы одна из функций ( )ib t ( 1,..., )i n= отлична от нуля для ( , )t a b∈ ; в противном случае система называется однородной.

14.4. Решение линейных однородных систем ДУ

с постоянными коэффициентами

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

1 1 2 2

... ,... ,

..................................................... .

n n

n n

n n n nn n

x a x a x a xx a x a x a x

x a x a x a x

′ = + + +⎧⎪ ′ = + + +⎪⎨⎪⎪ ′ = + + +⎩

14.4.1. Метод исключения неизвестных Из уравнений системы, а также из уравнений, получающихся дифферен-

цированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные (n-1) функции, кроме одной kx , для которой получают одно ДУ более высокого порядка: ( ) ( 1) ( 2)

1 2 ... 0n n nk k k n kx a x a x a x− −+ + + + = .

Интегрируя это уравнение, находят одну из неизвестных функций, а ос-тальные (n-1) неизвестные функции определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся при дифференцировании, без интегрирования.

Рассмотрим однородную систему двух уравнений:

11 12

21 22

,,

x a x a yy a x a y′ = +⎧

⎨ ′ = +⎩

где ( ), ( )x t y t - искомые функции, а ija - постоянные.

О

Лекция 14

158

Покажем, что эта система может быть сведена к ДУ второго порядка для

функции ( )x t . Продифференцируем первое уравнение 2

11 122

d x dxa a ydt dt

′= + ,

подставим y′ из второго уравнения, тогда 2

11 12 21 222 ( )d x dxa a a x a ydt dt

= + + , отку-

да 2

11 22 11 22 12 212 ( ) ( ) 0d x dxa a a a a a xdt dt

− + + − = .

Это уравнение является ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффи-циентами, его характеристическое уравнение имеет вид:

211 22 11 22 12 21( ) ( ) 0k a a k a a a a− + + − = ,

а решение ( )x x t= зависит от корней характеристического уравнения. Пример:

Найдите решение системы:

,

,

.

dx ax ydtdy x aydt

a const

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = − +⎪⎩=

Решение: Перепишем систему в других обозначениях:

,,

x ax yy x ay′ = +⎧

⎨ ′ = − +⎩ где dxx

dt′ = , dyy

dt′ = .

Продифференцируем первое уравнение x ax y′′ ′ ′= + , подставим значение y ′ из второго уравнения, тогда 22 (1 ) 0x ax a x′′ ′− + + = , 2 22 (1 ) 0k ak a− + + = , откуда k a i= ± и ( )1 2( ) cos sinatx t e C t C t= + . Из первого уравнения найдем

( )1 2cos sinty x ax ae C t C t′= − = + +

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2sin cos cos sin sin cosat at ate C t C t ae C t C t e C t C t+ − + − + = − + .

Ответ: ( )( )

1 2

2 1

( ) cos sin ,

( ) cos sin .

at

at

x t e C t C t

y t e C t C t

⎡ = +⎢

= −⎢⎣

Пример:


3 2 ,3 4 .

x x yy x y′ = −⎧

⎨ ′ = −⎩

Решение: 3 2 3(3 2 ) 2(3 4 ) 3 2 3 3 6x x y x y x y x y x x x x x′′ ′ ′ ′ ′= − = − − − = + = + − = − ,

6 0x x x′′ ′+ − = , 2 6 0k k+ − = , 1 2k = , 2 3k = − . Корни действительные, разные.

2 31 2

t tx C e C e−= + , 2 312

3 32 2

t tx x Cy e C e−′−= = + .


159

14.4.2. Непосредственное решение Рассмотрим однородную систему трех ЛДУ с постоянными коэффици-

ентами для трех неизвестных функций

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,,.

x a x a y a zy a x a y a zz a x a y a z

′ = + +⎧⎪ ′ = + +⎨⎪ ′ = + +⎩

(*)

Сформулируем некоторые общие свойства таких систем:

1. Если функции { , , }x y z являются решением системы, то функции { , , }Cx Cy Cz , где С – любое постоянное число, также являются решением системы.

2. Если 1 1 1{ , , }x y z и 2 2 2{ , , }x y z - решения системы, то 1 2 1 2 1 2{ , , }x x y y z z+ + + являются решением системы. Справедливость этих свойств устанавливается непосредственной под-становкой в систему.

3. Из вышеприведенных свойств следует, что если 1 1 1{ , , }x y z , 2 2 2{ , , }x y z и 3 3 3{ , , }x y z являются решениями системы, то их линейные комбинации 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3{ , , }C x C x C x C y C y C y C z C z C z+ + + + + + также являются

решением системы. Будем искать ненулевые решения системы (*) в виде: ktx eα= , kty eβ= ,

ktz eγ= (**), где , ,α β γ и k - некоторые числа, которые нужно подоб-рать так, чтобы функции (**) удовлетворяли системе (*). Подставляя функции (**) и их производные в систему, получим:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

,

kt kt kt kt

kt kt kt kt

kt kt kt kt

ke a e a e a e

ke a e a e a e

ke a e a e a e

α α β γ

β α β γ

γ α β γ

⎧ = + +⎪

= + +⎨⎪ = + +⎩

↔11 12 13

21 22 23

31 32 33

( ) 0,( ) 0,

( ) 0.

a k a aa a k aa a a k

α β γα β γα β γ

− + + =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + + − =⎩

Получили однородную систему с тремя неизвестными ,α β и γ . Для то-го, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю. Таким образом, число k должно удовлетворять уравнению:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0a k a aa a k aa a a k

−− =

−.

Лекция 14

160

Это уравнение называется характеристическим уравнением системы. Оно является уравнением третьего порядка относительно k . Имеет три корня

1 2,k k и 3k . Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение систе-мы 1 1 1, ,α β γ ; 2 2 2, ,α β γ ; 3 3 3, ,α β γ , а значит, и ненулевое решение исходной сис-темы дифференциальных уравнений имеет вид:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

, , ,

, , ,

, , .

k t k t k t

k t k t k t

k t k t k t

x e y e z e

x e y e z e

x e y e z e

α β γ

α β γ

α β γ

⎡ = = =⎢

= = =⎢⎢ = = =⎣

Линейные комбинации этих функций с произвольными коэффициента-ми:

31 2

31 2

31 2

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

,

,

,

k tk t k t

k tk t k t

k tk t k t

x C e C e C e

y C e C e C e

z C e C e C e

α α α

β β β

γ γ γ

⎡ = + +⎢

= + +⎢⎢ = + +⎢⎣

также будут решением системы. Пример:


2 ,4 3 .

x x yy x y′ = +⎧

⎨ ′ = +⎩

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид:

1 20

4 3k

k−

=−

, 21 24 5 0 5, 1k k k k− − = → = = − .

Корни характеристического уравнения действительные, разные. Решение ищем в виде: 5 ,t tx e y eα β −= = . При этом 55 ,t tx e y eα β −′ ′= = − . Подстановка решения такого вида в ис-ходную систему дает:

1) 5k = : (1 5) 2 0,4 (3 5) 0

α βα β− + =⎧

⎨ + − =⎩ 4 2 0α β→ − + = , 2β α= , коэффициент α ос-

тается произвольным. Полагая 1Cα = , получим 5 51 1 1 1, 2t tx C e y C e= = .

2) 1k = − : (1 1) 2 0,

2 2 0,4 (3 1) 0

α βα β β α

α β+ + =⎧

→ + = = −⎨ + + =⎩, коэффициент α ос-

тается произвольным. При 2Cα = : 2 2tx C e−= , 2 2

ty C e−= − .

Общее решение имеет вид: 5

1 25

1 2

,2 .

t t

t t

x C e C ey C e C e

−

−

⎡ = +⎢

= −⎢⎣


161

Пример:

Решите систему ,

3 ,3 .

x y zy x zz x y

′ = +⎧⎪ ′ = +⎨⎪ ′ = +⎩

Решение: Ищем решение в виде , ,kt kt ktx e y e z eα β γ= = = . Система для нахождения неопределенных коэффициентов ,α β и γ име-ет вид:

0,3 0,3 0.

kk

k


− + + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩

Характеристическое уравнение: 1 1

3 1 03 1

kk

k

−− =

−, 3 7 6 0k k− − = , 1 1k = − , 2 2k = − , 3 3k = .

Корни характеристического уравнения действительные, разные. Подста-вим в систему для нахождения ,α β и γ полученные значения k :

1) 1 1k = − : 0,

3 0,3 0,


+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

откуда 0,α β γ= = − , γ - любое число;

если 1γ = , получим 1 0x = , 1ty e−= − , 1

tz e−= .

2) 2 2k = − : 2 0,3 2 0,3 2 0,


+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

2 ,3 2 ,α β γα β γ+ = −⎧

⎨ + = −⎩ ,α γ β γ= − = , γ - любое

число; если 1γ = , то 22

tx e−= − , 22

ty e−= , 22

tz e−= .

3) 3 3k = : 3 0,

3 3 0,3 3 0,


− + + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩

3 ,

3 3 ,α β γ

α β γ− + = −⎧⎨ − = −⎩

откуда 2,3

β γ α γ= = ,

где γ - любое число; если 3γ = , то 2, 3α β= = , 3γ = и 3 3 3

3 3 32 , 3 , 3t t tx e y e z e= = = . Общее решение системы принимает вид:

2 32 3

2 31 2 3

2 31 2 3

2 ,

3 ,

3 .

t t

t t t

t t t

x C e C e

y C e C e C e

z C e C e C e

−

− −

− −

⎡ = − +⎢

= − + +⎢⎢ = + +⎣

Пример:


,3 .

x x yy x y′ = −⎧

⎨ ′ = +⎩

Решение: Характеристическое уравнение:

Лекция 14

162

1 10

1 3k

k− −

=−

, 2 4 4 0k k− + = , 1 2 2k k= = .

Корни характеристического уравнения действительные, равные. Решение ищем в виде: 2 2

1 1 2 2( ) , ( )t tx t e y t eα β α β= + = + . Для него 2 2

1 1 1 2 2 2( 2 2 ), ( )t tx e t y e tβ α β α β β′ ′= + + = + + . Подстановка этих выражений в исходную систему дает два равносиль-ных уравнения вида 1 1 1 1 1 2 22 2 t t tα β β α β α β+ + = + − − .

Приравнивая коэффициенты в этом уравнении, получаем: 2 1

2 1 1

,,

β βα α β

= −⎧⎨ = −⎩

при этом коэффициенты 1α и 1β остаются произвольными. Положим, 1 1 1 2,C Cα β= = , тогда общее решение имеет вид:

( )( )

21 2

21 2 2

,

.

t

t

x C C t e

y C C C t e

⎧ = +⎪⎨

= − + +⎪⎩

Пример:


7 ,5 .

x x yy x y′ = − +⎧

⎨ ′ = − −⎩

Решение: Характеристическое уравнение:

7 10,

2 5k

k− −

=− − −

2 12 37 0k k+ + = , 1,2 6k i= − ± .

Корни характеристического уравнения комплексные. Ищем решение в виде ,kt ktx e y eα β= = . Возьмем одно из комплексно-сопряженных значений 6k i= − + :

( 7 6 ) 0,2 ( 5 6 ) 0,

ii

α βα β

− + − + =⎧⎨− + − + − =⎩

0,

2 0,i

iα α βα β β

− − + =⎧⎨− + − =⎩

уравнения равносильны, (1 )iβ α= + , α и β остаются произвольными, пусть, например, 1 iβ = + , тогда ( 6 )i tx e − += , ( 6 )(1 ) i ty i e − += + . По формуле Эйлера

( ) (cos sin )i te e t i tα β α+ = + , поэтому

6 (cos sin )tx e t i t−= + , 6(1 ) (cos sin )ty i e t i t−= + + = = 6 (cos sin )te t t− − + 6 (cos sin )tie t t− + .

За системы частных решений можно взять отдельно действительные и отдельно мнимые части:

61 costx e t−= , 6

2 sintx e t−= ; 61 (cos sin )ty e t t−= − , 6

2 (cos sin )ty e t t−= + . Этих функций достаточно, чтобы составить общее решение системы в виде:

61 2

61 2

( cos sin ),[ (cos sin ) (cos sin )].

t

t

x e C t C ty e C t t C t t

−

−

⎧ = +⎪⎨

= − + +⎪⎩


163

Пример:

Решите систему 5 ,

2 .x x yy x y′ = −⎧

⎨ ′ = −⎩

Характеристическое уравнение

1 50

2 1k

k− −

=− −

, 21,29 0, 3k k i+ = = ± .

Воспользуемся 3k i= . Ищем решение в виде 3itx eα= , 3ity eβ= , подста-новка такого решения в исходную систему приводит к системе:

(1 3 ) 5 0,3 2 0,iiα β

β β α− − =⎧

⎨ + − =⎩

двух равносильных уравнений, поэтому α и β остаются произвольны-

ми, так как 1 35

iβ α −= , положим, например, 5α = , i31−=β .

Следовательно, 35 5(cos3 sin 3 )itx e t i t= = + , 3(1 3 ) (1 3 )(cos3 sin 3 )ity i e i t i t= − = − + .

Действительная и мнимая части этого решения также являются реше-ниями исходной системы, а их линейная комбинация с произвольными коэффициентами является общим решением:

1 2

1 2

5 cos3 5 sin 3 ,(cos3 3sin 3 ) (sin 3 3cos3 ).

x C t C ty C t t C t t= +⎡

⎢ = + + −⎣

14.4.3. Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование некоторых систем вида 1

2

( , , ),( , , )

x f t x yy f t x y′ =⎧

⎨ ′ =⎩ осуществляется

путем подбора интегрируемой комбинации, т.е. дифференциального уравне-ния, являющегося следствием уравнений системы, но уже легко интегри-рующегося.

Пример:

Решите систему: ,

.

dx ydtdy xdt

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

.

Решение: Складывая почленно данные уравнения, получаем

Лекция 14

164

( ) ( ), ,d x y d x yx y dtdt x y+ +

= + =+ 1ln | | lnx y t C+ = + , 1

tx y C e+ = .

Вычитая уравнения, получаем ( ) ( )d x y x y

dt−

= − − , ( )d x y dtx y−

= −−

, 2ln | | lnx y t C− = − + , 2tx y C e−− = .

Из системы 1

2

,t

t

x y C ex y C e−

⎧ + =⎪⎨

− =⎪⎩ получаем решение в виде:

( )

( )

1 2

1 2

1 ,21 .2

t t

t t

x C e C e

y C e C e

−

−

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

Пример:

Решите систему: 21 ( ) 1

dx dy dzz z x x

= =− − −

.

Решение:

Составим интегрируемые комбинации: 2

,1 1

( ) ,( )

dx dzz xd z x dy

x z z x

⎧ =⎪ − −⎪⎨ −⎪ =

− −⎪⎩

откуда ( 1) ( 1) ,( ) ( ) ,x dx z dzz x d z x dy− = −⎧

⎨ − − = −⎩

2 21

22

( 1) ( 1) ,2 2 2

( ) .2 2

x z C

C z xy

⎧ − −= +⎪⎪

⎨−⎪− + =⎪⎩

Решением системы является линия пересечения поверхностей,

задаваемая системой: 2 2

12

2

( 1) ( 1) ,2 ( ) .x z Cy z x C

⎧ − − − =⎪⎨

+ − =⎪⎩


165

14.5. Неоднородные линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородную систему:

11 12 1

21 22 2

( ),( ),

x a x a y b ty a x a y b t′ + + =⎧

⎨ ′ + + =⎩

где ( )ib t - известные функции, ija - постоянные, ( ), ( )x t y t - искомые функ-ции.

Продифференцируем по t первое уравнение: 11 12 1x a x a y b′′ ′ ′ ′+ + = , откуда

1 11

12

b a x xya

′ ′ ′′− −′ = ;

из первого уравнения 1 11

12

b a x xya

′− −= , подстановка во второе уравнение дает:

1 11 1 1121 22 2

12 12

b a x x b a x xa x a ba a

′ ′ ′′ ′− − − −+ + = ,

11 22 22 11 12 21 1 22 1 12 2( ) ( )x a a x a a a a x b a b a b′′ ′ ′+ + + − = + − - уравнение 2-го порядка с одной неизвестной функцией ( )x t .

Интегрируя это уравнение, получаем 1 1 2( , , )x f t C C= , подставляя это вы-ражение и его производную в первое уравнение, найдем вторую искомую функцию 2 1 2( , , )y f t C C= .

Пример:


2 sin ,4 2 cos ,

x x y ty x y t′ + + =⎧

⎨ ′ = + +⎩

если 2, 12 2

x yπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Решение: Продифференцируем первое уравнение: 2 cosx x y t′′ ′ ′+ + = , подставляя в него sin 2x t y x′ = − − из первого уравнения, получим 2sinx t′′ = − . Характеристическое уравнение 2 0k = имеет решение 1 2 0k k= = . x x x= + % , 1 2x C C t= + , x~ ищем в виде sin cosx A t B t= +% , тогда cos sinx A t B t′ = −% , и sin cos 2sinx A t B t t′′ = − − = −% , откуда 2A = , 0B = , 2sinx t=% . Решение имеет вид:

1 2 2sinx C C t t= + + . При этом 2 2cosx C t′ = + и

2 1 2sin 2 sin ( 2cos ) 2( 2sin )y t x x t C t C C t t′= − − = − + − + + =

Лекция 14

166

= 1 2 2( 2 ) 2 3sin 2cos .C C C t t t− − − − −

Итак, общее решение системы ДУ имеет вид:

1 2 2sinx C C t t= + + , 1 2 22 2 3sin 2cosy C C C t t t= − − − − − .

Найдем частное решение из начальных условий:

2,2

1,2

x

y

π

π

⎧ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠⎨

⎛ ⎞⎪ =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

1 2

1 2 2

2 2,2

2 2 3 1,2

C C

C C C

π

π

⎧ + + =⎪⎪⎨⎪− − − − =⎪⎩

1 2

1 2

0,2

2 (1 ) 4,

C C

C C

π

π

⎧ + =⎪⎨⎪− − + =⎩

1 2

1 2

0,2

2 ( 1) 4,

C C

C C

π

π

⎧ + =⎪⎨⎪ + + = −⎩

1 22 , 4C Cπ= − = − .

Тогда 2 4 2sin ,

4 4 8 3sin 2cos .x t ty t t t

ππ

= − +⎡⎢ = − + + − −⎣

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студенты должны знать: основные понятия и методы решения произвольных систем ДУ; методы решения однородных и неоднородных систем линейных ДУ

с постоянными коэффициентами.

Лекции 15 - 16 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Во многих случаях функциональная зависимость не может быть сведена к функции одной переменной и приходится рассматривать функции, зависящие от нескольких аргу-ментов. Основные особенности анализа таких функций удобно рассмотреть на примере функций двух переменных: этот случай легко интерпретируется геометрически и содер-жит все основные отличия, возникающие при переходе от одной к нескольким перемен-ным.

15.1. Основные понятия 15.2. Предел функции двух переменных 15.3. Непрерывность функции двух переменных 15.4. Частное и полное приращения функции двух переменных 15.5. Частные производные первого порядка функции двух переменных 15.6. Полный дифференциал функции 15.7. Частные производные высших порядков 15.8. Дифференциалы высших порядков 15.9. Формула Тейлора 15.10. Производная сложной функции. Полная производная 15.11. Инвариантность формы полного первого дифференциала 15.12. Производная от функции, заданной неявно 16.1. Локальные экстремумы функции двух переменных 16.2. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 16.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в области 16.4. Геометрические приложения функций двух переменных

16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента 16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой 16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение 16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

15.1. Основные понятия

Если каждой точке на плоскости или паре значений двух независимых переменных величин DyxM ∈),( соответствует определенное число z , то говорят, что на множестве D определена функция двух переменных

)(),( Mfyxfz == .

Множество точек Dyx ∈),( значений независимых переменных x и y , при которых функция z имеет определенное действительное значение, называется областью определения функции двух переменных.

О

О

Лекции 15 - 16 168

Например, 1) площадь прямоугольника S xy= , , 0x y > ; 2) объем параллелепипеда V xyz= , , , 0x y z > ; 3) дальность полета тела, брошенного под углом α к горизонту со скоро-

стью υ : 2 sin 2l

gυ α

= , 0,2πα ⎛ ⎞∈⎜ ⎟

⎝ ⎠, 0υ > .

Геометрически область определения функ-ции двух переменных может быть изображена на плоскости ( , )x y областью D с границей L , точ-ка 1M D∈ , 1M L∈ – внутренняя, а 2M L∈ – гра-ничная точка области.

Область определения называется замкнутой, если ей принадлежат все точки границы.

Пример: Областью определения функции 2 24z x y= − −

является множество точек, определяемое неравенст-вом 04 22 ≥−− yx , и представляет собой замкнутую область: 422 ≤+ yx - внутренность круга с радиусом 2 и центром в точке )0,0( , включающую границу об-ласти.

Пример:

Областью определения функции 4

122 −+

=yx

z явля-

ется незамкнутое множество 0422 ≥−+ yx , которое и представляет собой внешность круга без точек грани-цы.

Геометрическое изображение функции двух переменных

Функция ),( yxfz = определяет в про-странстве поверхность S , проектирующуюся на плоскость Oxy в область определения D .

0

z

x

y

)0,,( yxN

),,( zyxM S

D

y

x0

2

0

D 1M

2ML

x

y

0 2

y

x

О

Функции нескольких переменных 169

Пример:

Поверхность, задаваемая ра-

венством 2 2

2 2

sin x yz

x y

+=

+.

15.2. Предел функции двух переменных

Пусть ),( yxfz = , Dyx ∈),( , DyxM ∈),( 000 .

Множество точек, удаленных от точки 0M не больше, чем на r , называ-ется −r окрестностью точки 0M , задается неравенством ( ) ( ) 22

02

0 ryyxx <−+− и геометрически представляет открытый круг радиусом r с центром в точке 0M . Число A называется пределом функции ( , ) ( )f x y f M= в точке 0M при стремлении точки M к точке 0M , если для 0>∀ε найдется такое r , что ε<− Ayxf ),( ( )( )f М A ε− < при всех ( yx, ), принадлежащих r - окрестности точки 0M rxx <− 0 , ryy <− 0 .

00

lim ( , )x xy y

A f x y→→

= =0

lim ( )M M

f M→

.

Пример:

2 20

2

3 4 0 4 4lim4 1 31x

y

xx y→

→

+ += =−+ −

.

Пример:

Выясните, имеет ли функция 2 2

2xyzx y

=+

предел при 0→x , 0→y .

Решение: Пусть точка ),( yxM стремится к точке )0,0(0M . Рассмотрим изменение x и y вдоль прямой kxy = .

Получим, что 2222

2

000 1

22limlimkk

xkxkxz

xyx +

=+

=→

→→

.

Результат имеет различные значения в зависимости от выбранного k , т.е. зависит от пути приближения к )0,0( , и поэтому функция не имеет предела в точке (0,0).

О

О

Лекции 15 - 16 170

15.3. Непрерывность функции двух переменных

Функция ),( yxf называется непрерывной в точке ),( 00 yx , если пре-дельное значение этой функции в точке 0M существует и равно частно-му значению ),( 00 yxf : ),(),(lim 00

00

yxfyxfyyxx

=→→

.

Для непрерывности )(Mf в точке 0M необходимо выполнение следую-щих условий:

1) )(Mf определена в точке 0M и вблизи нее; 2) ∃ предел )(Mf при стремлении точки M к точке 0M произвольным

способом; 3) )()(lim 0

0

MfMfMM

=→

.

Функция )(Mf , непрерывная в каждой точке области D , называется непрерывной в этой области. Функция )(Mf разрывна в точке 0M , если не выполняется какое-либо из условий непрерывности. Например, функция 22 yxz += – непрерывна на всей плоскости xОy ;

функция 22

2yx

xyz+

= не определена в точке )0,0( , которая является точкой

разрыва. Разрыв не устраним, так как предел функции z в точке )0,0( не су-ществует. 15.4. Частное и полное приращения функции двух переменных

Пусть ),( yxfz = , Dyx ∈),( . Дадим переменной x приращение x∆ , оставляя переменную y неиз-менной, тогда разность ),(),( yxfyxxfzx −∆+=∆ называется частным приращением ),( yxf по x , а разность ),(),( yxfyyxfzy −∆+=∆ – ча-стное приращение z по y . Полное приращение функции ),( yxfz = равно ),(),(),( yxfyyxxfyxfz −∆+∆+=∆=∆ .

Пример: Для функции yxz ⋅= частные приращения равны:

yxxyyxxzx ⋅∆=−∆+=∆ )( ; yxzy ∆⋅=∆ ; полное приращение равно:

( )( ) x yz x x y y xy x y x y x y z z x y∆ = + ∆ + ∆ − = ∆ ⋅ + ⋅∆ + ∆ ⋅∆ = ∆ + ∆ + ∆ ⋅∆ . Видим, что zzz yx ∆+∆≠∆ .

О

О

О

О


15.5. Частные производные первого порядка функции двух переменных

Частной производной по x от функции ),( yxfz = называется предел

=∆

−∆+=

∆∆

→∆→∆ xyxfyxxf

xz

x

x

x

),(),(limlim00

x

yxfyxfxzz xx ∂

∂=′=

∂∂

=′),(),( .

Аналогично:

y yz f ( x, y )z f ( x, y )y y∂ ∂′ ′= = = =∂ ∂

0 0

lim limy

y y

z f ( x, y y ) f ( x, y )y y∆ ∆

∆ ∆∆ ∆→ →

+ −= .

Пример:

3 4sinz x y y= + .

yxxz sin3 2=∂∂ ; 33 4cos yyx

yz

+=∂∂ .

Геометрический смысл частных производных

Пусть ),( yxfz = , ∈M поверхно-сти S . Положим consty = . Кривая xГ есть се-чение поверхности S плоскостью, па-раллельной плоскости Oxz .

MK – касательная к кривой xГ в точке )z,y,x(M , а угол, который она состав-

ляет с осью Ox , равен α .

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

∂∂

dxdz

xz consty = , αtg=

∂∂xz .

Итак, частная производная xz∂∂ численно

равна тангенсу угла наклона касатель-ной к кривой, получающейся в сечении поверхности )y,x(fz = плоскостью

consty = . Аналогично βtg=∂∂yz .

0M

z

xy

S

x

z

y

0

MS

x

z

yx βK ′

0M

S

x

z

y

Kα

xΓ

О

Лекции 15 - 16 172

15.6. Полный дифференциал функции

Пусть )y,x(fz = , тогда полное приращение функции равно ( , ) ( , )z f x x y y f x y∆ = + ∆ + ∆ − .

Рассмотрим две точки: )y,x(M и )yy,xx(M ∆+∆+′ , отстоящие друг от дру-га на расстоянии 22 )y()x( ∆+∆=ρ . Устремим точку M ′ к точке M , при этом 0→ρ .

Если при 0→ρ можно подобрать не зависящие от x∆ и y∆ величины A и B так, что выражение )yBxA( ∆⋅+∆⋅ будет отличаться от z∆ на величину более высокого порядка малости по сравнению с ρ , то оно на-зывается главной линейной частью полного приращения функции

γρ+∆⋅+∆⋅=∆ yBxAz , где 0→γ при 0→ρ 0→∆x( , )y 0→∆ . Дифференциалы независимых переменных рав-ны их приращениям: xdx ∆= , ydy ∆= .

Полным дифференциалом )y,x(fz = называ-ется главная линейная часть полного прираще-ния функции: yBxAdz ∆+∆= , где , constA B − .

Например, для xyz = геометрически проиллю-

стрируем разницу между z∆ и dz . yxdzyxyxxyxy)yy)(xx(z ∆∆+=∆⋅∆+∆+∆=−∆+∆+=∆ ,

так как xdyydxdz += – главная (большая) линейная часть приращения функ-ции.

Дифференциал функции равен сумме произведений частных производ-ных этой функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных. Доказательство: Пусть )y,x(fz = . По определению yBxAdz ∆+∆= , а

yxyBxAz ∆+∆+∆+∆=∆ βα , где ,α β – бесконечно малые при 0→∆x и 0→∆y .

Положим 0=∆y , тогда xxAzx ∆+∆=∆ α , откуда α+=∆∆

Axzx .

Устремим 0→∆x , тогда Axz

xzx

x=

∂∂

=∆∆

→∆ 0lim .

Аналогично: yzB∂∂

= , значит, dyyzdx

xzdz

∂∂

+∂∂

= .

dz

z∆y∆

y

x x∆

О

О

О

Т


Если ),( yxfz = обладает непрерывными частными производными

),( yxfxz

y′=∂∂ и ),( yxf

yz

y′=∂∂ в данной области, то она дифференцируема

в этой области.

Геометрический смысл полного дифференциала функции ),( yxfz = : dz в точке ),( 00 yx изображается приращением аппликаты точки

касательной плоскости, проведенной к поверхности ),( yxfz = в точке ),( 000 yxM .

Пример:

Найдите дифференциал функции yxz = . Решение:

dyyzdx

xzdz

∂∂

+∂∂

= ,

так как 1−=

∂∂ yyxxz , xx

yz y ln⋅=∂∂ ,

то xdyxdxyxdz yy ln1 += − .

С точностью до бесконечно малых более высокого порядка: dzz ≈∆ . Значит, y

yyxfx

xyxfyxfyyxxf ∆

∂∂

+∆∂

∂+≈∆+∆+

),(),(),(),( .

Это равенство используется в приближенных вычислениях.

Пример:

Вычислите приближенное значение 02,2)01,2( . Функция имеет вид: yxz = . Из приближенного равенства

yyzx

xzyxzyyxxz

yxyx

∆∂∂

+∆∂∂

+≈∆+∆+),(),(

0000

0000

),(),(

при 20 =x , 20 =y , 01,0=∆x , 02,0=∆y получаем 42),( 200 ==yxz ,

1−=∂∂ yyxxz , 422

)2,2(

=⋅=∂∂xz ;

xxyz y ln=∂∂ , 2ln22

)2,2(

⋅=∂∂yz ,

получаем =+=⋅+⋅+≈ )2ln02,001,1(402,02ln401,044)01,2( 02,2 4,04 0,08ln 2+ .

О

Лекции 15 - 16 174

15.7. Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка от функции двух переменных

),( yxfz = , равные ),( yxfxz

x′=∂∂ и ),( yxf

yz

y′=∂∂ , в свою очередь являются

функциями переменных x и y , и от них можно снова находить частные про-изводные второго порядка:

),(2

2

yxfxz

xxz

xx′′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂ ; ),(

2

2

yxfyz

yyz

yy′′=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂ ;

2

( , )yxz z f x y

x y x y⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ′′= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

; 2

( , )xyz z f x y

y x y x∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′′= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Две последние производные по разным переменным называются сме-шанными.

Если функция ),( yxf определена в области D , в которой существуют производные xf ′ , yf ′ , xxf ′′ , yyf ′′ , xyf ′′ , yxf ′′ и смешанные производные xyf ′′ и

yxf ′′ непрерывны в точке Dyx ∈),( 00 , то смешанные производные не за-висят от порядка дифференцирования, т.е. равны друг другу:

),(),( 0000 yxfyxf yxxy ′′=′′ . Запомним эту теорему.

Пример:

yxz = , 0>x . 1yz y x

x−∂

= ⋅∂

; 2

1 1lny yz yx x xy x

− −∂= +

∂ ∂;

xxyz y ln⋅=∂∂ ;

21 1lny yz yx x x

x y− −∂

= +∂ ∂

, значит, xyz

yxz

∂∂∂

=∂∂

∂ 22

.

Пример:

xyz ln⋅= .

xy

xz=

∂∂ ; x

yz ln=∂∂ , 22

2

xy

xy

xxz

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∂∂ , ( ) 0ln2

2

=∂∂

=∂∂ x

yyz ,

2 1z yy x y x x∂ ∂ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

.

О

Т


Пример:

Вычислите производную восьмого порядка

8

5 3

zx y∂

∂ ∂ функции

1097432 2 yyxxxxxz +++++= . Решение: Последовательно вычисляем:

987 109 yyxyz

+⋅=∂∂ ; 877

2

2

91089 yyxy

z⋅+⋅=

∂∂ ;

7673

3

8910789 yyxyz

⋅⋅+⋅⋅=∂∂ ; 66

3

4

7789 yxyxz

⋅⋅⋅=∂∂∂ ;

6532

5

67789 yxyxz

⋅⋅⋅⋅=∂∂

∂ ; 6433

6

567789 yxyxz

⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂

∂ ;

6334

7

4567789 yxyxz

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂

∂ ;

626235

8

2!9734567789 yxyx

yxz ⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂

∂ .

15.8. Дифференциалы высших порядков

Пусть ),( yxfz = , Dyx ∈),( . В предположении о существовании непрерывных частных производ-

ных второго порядка вычислим дифференциал zd 2 второго порядка функции z как дифференциал первого порядка от дифференциала функции dz при ус-ловии, что dz является функцией только x и y . При вычислении дифферен-циала от dz dx и dy считаются постоянными, при вычислении

дифференциала от xz∂∂ и

yz∂∂ приращения x и y берутся равными dx и dy .

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

== dyyzddx

xzddy

yzdx

xzddzdzd )(2

=∂∂

∂+

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= dydxxyzdy

yzdxdy

yxzdx

xz 2

22

222

2

2

= 22

222

2

2

2 dyy

zdxdyyxzdx

xz

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂ , где 22 )(dxdx = , 22 )(dydy = .

Итак, 22

222

2

22 2 dy

yzdxdy

yxzdx

xzzd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= .

Лекции 15 - 16 176

Использование символа dyy

dxx

d∂∂

+∂∂

= позволяет записать zd 2 как резуль-

тат действия этого оператора на z в виде: zdyy

dxx

zd2

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

= .


( )( ) zdyy

dxx

dzddzddzd3

23 )( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=== , ( ) zdyy

dxx

zddzdn

nn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

== −1 .

Пример:

Найдите zd 2 , если xyz sin= . Решение:

22

222

2

22 )(2)( dy

yzdxdy

yxzdx

xzzd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= , yxyxz

⋅=∂∂ cos , xxy

yz

⋅=∂∂ cos ,

22

2sin yxy

xz

⋅−=∂∂ ,

22

2

z sin xy xy∂

= − ⋅∂

, xyxyxyyxz cossin

2+⋅−=

∂∂∂ ,

22222 sin)sin(cos2sin xydyxdxdyxyxyxyxydxyzd −−+−= . 15.9. Формула Тейлора

По аналогии с функцией одной переменной формула Тейлора для двух переменных имеет вид:

20 0 0 0 0 0

1 11 2

f ( x, y ) f ( x , y ) df ( x , y ) d f ( x , y ) ....! !

= + + + +

( )( )0 0 0 01 n nd f ( x , y ) o x, y;x , yn!

ρ+ + .

Пример: Записать формулу Тейлора для функции xyez = в окрестности точки )1,1(P

до членов 1-го порядка включительно. Вычисляем частные производные xyeyxf =),( в точке (1,1), получаем:

2 2

1 1 1 1

1 11 1 1 1 2 1 11 2

xy

[ ( x )][ ( y )]

e e e[( x ) ( y )] e[( x ) ( y ) ( x )( y )]! !

e .θ θ+ − + −

= + − + − + − + − + − − ⋅

⋅

15.10. Производная сложной функции. Полная производная

Рассмотрим сложную функцию ),( υuFz = , где ),( yxu ϕ= , ),( yxψυ = ,

т.е. [ ]),(),,( yxyxFz ψϕ= . Пусть функции ),( υuF , ),( yxϕ , ),( yxψ имеют непрерывные частные

производные по всем своим аргументам.


Вычислим xz∂∂ и

yz∂∂ . Дадим x приращение x∆ при постоянном y , тогда

u примет значение uu x∆+ , а υ примет значение υυ x∆+ . Полное приращение функции z принимает вид:

υβαυυ xxxx uFu

uFz ∆+∆+∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ ,

где ,α β – бесконечно малые функции при 0→∆x .

xxu

xF

xu

uF

xz xxxx

∆∆

+∆∆

+∆∆

∂∂

+∆∆

∂∂

=∆∆ υ

βαυ

υ.

Устремим x∆ к нулю, при этом 0→∆ ux и 0→∆ υx в силу непрерывно-

сти u и υ . Так как xz

xz

x ∂∂

=∆∆

→∆ 0lim ,

xu

xux

x ∂∂

=∆∆

→∆ 0lim ,

xxx

x ∂∂

=∆∆

→∆

υυ0

lim ,

0limlim00

==→∆→∆βα

xx, то

xF

xu

uF

xz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂ υ

υ.


yF

yu

uF

yz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂ υ

υ.

Пример: ( )υ+= 2ln uz ,

2yxeu += , yx += 2υ .

Вычислим xz∂∂ и

yz∂∂ .

υ+=

∂∂

2

2u

uuz ,

υυ +=

∂∂

2

1u

z ;

2yxexu +=∂∂ ,

2

2 yxyeyu +=∂∂ ;

xx

2=∂∂υ , 1=

∂∂

yυ ;

( )xeuu

xu

eu

uxz yxyx +⋅

+=⋅

++

+=

∂∂ ++ 22

222

2212υυυ

;

( )141122 22

222 ++

=+

++

=∂∂ ++ yxyx uye

uuye

uu

yz

υυυ.

Полная производная Пусть ),( yxFz = , где )(xfy = .

xy

yF

xx

xF

dxdz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

= , т.е. dxdy

yF

xF

dxdz

∂∂

+∂∂

= .

Если ),( yxFz = , где )(txx = , )(tyy = , то dtdy

yF

dtdx

xF

dtdz

∂∂

+∂∂

= .

Лекции 15 - 16 178

15.11. Инвариантность формы полного первого дифференциала

Пусть ),( υuFz = , где ),( yxuu = , ),( yxυυ = . Покажем, что форма пер-вого дифференциала не меняется и υυdzduzdz u ′+′= . Действительно,

( ) ( ) =′′+′′+′′+′′=′+′= dyzuzdxzuzdyzdxzdz yyuxxuyx υυ υυ

( ) ( ) υυυ υυ dzduzdydxzdyudxuz uyxyxu ⋅′+⋅′=′+′′+′+′′= . 15.12. Производная от функции, заданной неявно

Уравнение 0),( =yxF неявно задает функцию одной переменной )(xyy = .

Если ),( yxF и ее частные производные ),( yxFx′ и ),( yxFy′ определены и непрерывны в некоторой области, содержащей точку ),( yx , 0),( =yxF

и 0),( ≠′ yxFy , то ),(),(

yxFyxFy

y

xx ′

′−=′ .

Доказательство: Пусть 0),( =yxF . Дадим x приращение x∆ , тогда y примет значение

yy ∆+ . По условию 0),( =∆+∆+ yyxxF , следовательно, полное при-ращение 0),(),( =−∆+∆+=∆ yxFyyxxFF , значит по определению

F∆ : 0=∆+∆+∆∂∂

+∆∂∂ yxy

yFx

xF βα , где βα , – бесконечно малые функ-

ции при 0, →∆∆ yx .

Тогда 0=∆∆

++∆∆

∂∂

+∂∂

xy

xy

yF

xF βα .

Отсюда β

α

+∂∂

+∂∂

−=∆∆

yF

xF

xy .

При 0→∆x : 0, →βα ; 0≠∂∂

yF по условию, и

),(),(

yxFyxF

yFxF

dxdy

y

x

′′

−=

∂∂∂∂

−= )(∗

Т


Рассмотрим уравнение 0),,( =zyxF . Оно неявно определяет функцию двух

переменных ),( yxz . Найдем xz∂∂ и

yz∂∂ .

При отыскании xz∂∂ считаем y постоянным, поэтому применима формула )(∗ ,

если зависимой переменной считать x , а функцией – z : z

Fx

Fzx

∂∂

∂∂

−=′ .

Аналогично: z

Fy

Fz y

∂∂

∂∂

−=′ .

Пример: Если 02222 =−++ Rzyx .

zx

zx

xz

−=−=∂∂

22 ;

zy

zy

yz

−=−=∂∂

22 .

16.1. Локальные экстремумы функции двух переменных

Функция ),( yxfz = имеет локальный максимум в точке ),( 000 yxM , если для всех точек ),( yx , близких к 0M , выполня-ется неравенство ),(),( 00 yxfyxf > .

),( 00max yxfz =

),( yxfz = имеет локальный минимум в точке ),( 000 yxM , если ),(),( 00 yxfyxf < для всех точек ),( yx , близких к 0M .

),( 00min yxfz =

Необходимые условия экстремума. В точке экстремума функции двух переменных ее частные производные первого порядка либо равны нулю, либо не существуют. Доказательство: Пусть ),( yxfz = имеет максимальное значение ),( 00 yxf . Зафиксируем 0yy = , получим функцию одной переменной ),( 01 yxfz = , которая имеет максимум при 0xx = .

z

x

y

),( 000 yxM

z

x

y

),( 000 yxM

О

О

Т

Лекции 15 - 16 180

Из теории экстремума функции одной переменной 0),( 001

0

=′==

yxfdxdz

xxx

или

не существует. Аналогично: 0),( 00 ==′ yxf y или ∃ . В случае минимума доказательство аналогично. В точке экстремума

),( 000 yxM дифференцируемой функции ),( yxf производные не существуют

или равны нулю: 0 0

0 0

( , ) 0;( , ) 0.

x

y

f x yf x y′ =⎧

⎨ ′ =⎩

Точки, в которых частные произ-водные первого порядка некоторой функции равны нулю или не суще-ствуют, называются критически-ми.

Геометрический смысл заключается в том, что в точке 0M , лежащей выше (ниже) всех соседних, поверхность ),( yxfz = либо имеет горизонтальную касательную плоскость, либо не имеет никакой касательной плоскости.

Достаточные условия экстремума. Пусть в некоторой области, содер-жащей точку ),( 000 yxM , функция ),( yxfz = имеет непрерывные ча-стные производные до второго порядка включительно. Пусть точка ),( 000 yxM является критической точкой ),( yxf , т.е.

0),( 00 =∂

∂x

yxf , 0),( 00 =

∂∂

yyxf

.

Введем обозначения: Ax

yxf=

∂∂

200

2 ),(, B

yxyxf

=∂∂

∂ ),( 002

, Cy

yxf=

∂∂

200

2 ),(.

Составим дискриминант 2BACCBBA

−==∆ .

Тогда: 1) если 0>∆ , то функция имеет экстремум в точке ),( 00 yx , причем это максимум при 0<A и минимум при 0>A ; 2) если 0<∆ , то экстремума нет; 3) если 0=∆ , то требуется дополнительное исследование. Доказательство: По формуле Тейлора второго порядка

)()(!2

1)()()( 202

00 MRMfdMdfMfMf +++= .

xy

),( 000 yxM

zО

Т


В критической точке 0),(),( 0000 =′=′ yxfyxf y ,

0),(),(),( 000000 =′+′= dyyxfdxyxfyxdf yx ,

),(),(),( 0000 yxfyxfyxf ∆=− и формула Тейлора принимает вид:

),(),(21),( 200

200 yxRyxfdyxf +=∆ .

Остаточный член ),(2 yxR является бесконечно малой более высокого порядка, чем ),( 00

2 yxfd , поэтому знак ),( 00 yxf∆ совпадает со знаком 2

0 0( , )d f x y в окрестности точки ),( 00 yx . Исследуем знак ),( 00

2 yxfd :

+∂∂

∂+

∂∂

= dxdyyx

yxfdxx

yxfyxfd ),(2

),(),( 00

22

200

2

002

=++=∂

∂+ 222

200

2

2),(

CdyBdxdyAdxdyy

yxf

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ CdydxB

dydxAdy 2

2

2 .

Выражение в квадратных скобках является квадратным трехчленом с дис-криминантом ∆−=−= 444 2 ACBD .

1). Если 0>∆ , то 0<D и знак квадратного трехчлена совпадает со знаком старшего коэффициента A , значит, знак ),( 00

2 yxfd и, следовательно, знак ),( 00 yxf∆ совпадает со знаком A , то есть

а) если 0<A , 0),( 00 <∆ yxf и ),( 00 yx – точка максимума; б) если 0>A , 0),( 00 >∆ yxf и ),( 00 yx – точка минимума.

2). Если 0<∆ , то 0>D и знак квадратного трехчлена меняется в окре-стности точки ),( 00 yx и функция 0 0( , )f x y не имеет экстремума в точке

),( 00 yx . 3). Если 0=∆ , то 0=D и достаточный признак не дает ответа, нужно

выяснить сохраняется ли знак разности ),(),(),( 0000 yxfyxfyxf −=∆ непо-средственно. Схема исследования ( )f x, y на экстремум:

1) определите критические точки; 2) проанализируйте выполнение достаточных условий; 3) вычислите .экстрz .

Лекции 15 - 16 182

Пример: Исследуйте на экстремум функцию 12322 +−++−= yxyxyxz .

1) 32 +−=∂∂ yxxz , 22 −+−=

∂∂ yxyz .

⎩⎨⎧

=−+−=+−

,022,032

yxyx

откуда 34

0 −=x ; 31

0 =y .

2) 231;

34

2

2

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xzA , 1

31;

34

2

−=∂∂

∂=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

yxzB , 2

31;

34

2

2

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

yzC ,

2 22 2 ( 1) 3AC B∆ = − = ⋅ − − = .

Итак, 0>∆ , 0>A , значит, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

31;

34 – точка минимума,

34

min −=z .

Пример:

Исследовать на экстремум функцию 1

22

2222 ++++= xyyxyxz .

1).

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=∂∂

=++=∂∂

02

,02

2

2

xyyxxz

yxxyxz

000 ==⇒ yx ; 1)0,0( =z .

2). 112)0,0(

2

)0,0(2

2

=+=∂∂

= yxzA ; 114

)0,0()0,0(

2

=+=∂∂

∂= xy

yxzB ;

112)0,0(

2

)0,0(2

2

=+=∂∂

= xyzC ;

2 1 10

1 1AC B∆ = − = = .

Достаточный признак ответа не дает. Исследуем значения ),( yxz .

1)(21)(1

22),( 22

2222 +++=++++= yxxyxyyxyxyxz , значит 1),( >yxz ,

если 0≠x , 0≠y . Получили, что ( , ) (0,0) 1z x y z> = , значит, )0,0( – точка минимума.

16.2. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Найдем экстремум функции ),( yxfz = , если переменные x и y связа-ны условием 0),( =yxϕ .


Пример:

Исследуйте на экстремум функцию 22 yxz += при условии 1=+ yx . Условие связи позволяет исключить из функции

),( yxz переменную xy −=1 , что сводит задачу к исследованию функции одной переменной

122 2 +−= xxz .

4 2 0dz xdx

= − = в точке 21

0 =x , при этом

21

0 =y . Так как 2

2 4 0d zdx

= > , то эта точка является точкой минимума.

Таким образом, ),( yxz достигает минимума на прямой 1=+ yx в точке

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

21 , при этом min

1 1 1,2 2 2

z ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Метод Лагранжа

Если из уравнения связи трудно выразить y через x , то критические точки можно найти методом множителей Лагранжа. В предположении о его существовании найдем экстремум функции ),( yxz при условии 0),( =yxϕ .

При этом ))(,(),( xyxzyxz = и необходимое условие экстремума прини-мает вид:

0dz z z dydx x y dx

∂ ∂= + =∂ ∂

.

Продифференцируем уравнение связи, тогда 0d dydx x y dxϕ ϕ ϕ∂ ∂= + =∂ ∂

.

Умножим второе уравнение на неопределенный множитель λ и сложим его с первым, получим, что

0dyz zx x dx y y

ϕ ϕλ λ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂+ + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

.

Выберем коэффициент λ таким, чтобы 0=∂∂

+∂∂

yyz ϕλ , тогда необходимыми

условиями экстремума являются

0

0

0

z ,y yz ,x x( x, y ) .

ϕλ

ϕλ

ϕ

∂ ∂⎧ + =⎪∂ ∂⎪∂ ∂⎪ + =⎨∂ ∂⎪

=⎪⎪⎩

0

z

x

y

Лекции 15 - 16 184

Если ввести функцию Лагранжа: ),(),(),( yxyxfyxL λϕ+= , то задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа и необходимые условия экстремума принима-ют вид:

00

0

x

y

L ( x,y ) ,L ( x,y ) ,

( x, y )ϕ

⎧ ′ =⎪⎪⎪⎪ ′ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

00

0

x x

y y

f ( x, y ) ( x,y ) ,f ( x, y ) ( x,y ) ,

( x, y ) ,

λϕλϕ

ϕ

⎧ ′ ′+ =⎪⎪⎪⎪ ′ ′⇒ + =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎩

откуда находятся критические точки ),( 00 yx . Пусть ( )0 0x ,y - координаты критической точки, 0λ - любое из решений

системы,

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

' 'x 0 0 y 0 0

' '' ''x 0 0 xx 0 0 0 xy 0 0 0' '' ''y 0 0 xy 0 0 0 yy 0 0 0

0 x ,y x , y

x ,y L x ,y , L x ,y ,

x ,y L x ,y , L x ,y ,

ϕ ϕ

∆ ϕ λ λ

ϕ λ λ

=− .

Заметим, что 2 '' 2 '' '' 2xx xy yyd L L dx 2L dxdy L dy= + + .

Достаточные условия в методе Лагранжа формулируются следующим образом: если 20 0( d L )∆> > , в точке условного экстремума – минимум, если

20 0( d L )∆< < – максимум, если Ld 2 не сохраняет знак, то в критической точке экстремума нет.

Пример:

Исследуйте на экстремум функцию xyyxz 322 −+= при условии 01=++ yx . 2 2( , ) 3 ( 1)L x y x y xy x yλ= + − + + + .

λ+−=′ yxLx 32 , λ+−=′ xyLy 32 .

2 3 0,2 3 0,

1 0

x yy x

x y

λλ

− + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + + =⎩

2 ,0,1 0

x yx yx y

λ = +⎧⎪⇒ − =⎨⎪ + + =⎩

21

0 −=⇒ x ; 21

0 −=y , 012

λ =− .

0 1 11 3 1 2

1 2 3 5 5 101 2 1 3

1 3 2.∆

−=− − = − = + =

−−

В точке ( )1 12 2,− − 0∆> , т.е. в этой точке – минимум ( )z x,y .


Пример: Исследуйте на экстремум функцию yxz 346 −−=

при условии, что 0122 =−+ yx . Решение:

)1(346),( 22 −++−−= yxyxyxL λ

xxL λ24+−=∂∂ ; y

yL λ23+−=∂∂ .

Необходимые условия экстремума:

2 2

2 4 0,2 3 0,

1

xy

x y

λλ

⎧ − =⎪

− =⎨⎪ + =⎩ 2 2

2

32

1

x ,

y ,

x y ,

λ

λ

⎧⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒ =⎨⎪⎪⎪⎪ + =⎪⎪⎪⎪⎩⎪

откуда 25

±=λ .

Критические точки:

25

1 =λ . ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

53;

54),( 1111 MyxM ;

25

2 −=λ . ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

53;

54),( 2222 MyxM .

Проверим выполнение достаточных условий:

λ22

2

=∂∂

xL ; λ22

2

=∂∂

yL ; 0

2

=∂∂

∂yx

L ,

)(2 222 dydxLd += λ , 0)(5)( 221

2 >+= dydxMLd , 0)(5)( 22

22 <+−= dydxMLd , значит,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

53;

54

1M – точка минимума, 1)( 1 =Mz ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

53;

54

2M – точка максимума 11)( 2 =Mz .

16.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в области

Наибольшее и наименьшее значение функции (глобальный экстремум) достигается либо в критических точках функции внутри области, либо на границах области определения функции. Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ),( yxz в области Dyx ∈),( следует: 1) найти критические точки внутри D , вычислить в них 0 0( , )z x y ; 2) найти наибольшее и наименьшее значения функции ),( yxz на гра-

нице; 3) сравнить найденные значения и выбрать среди них наибольшее и

наименьшее.

Т

Лекции 15 - 16 186

Пример:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 23 362 yxyxz +−= в области, ограниченной осью Oy ,

прямой 2=y и параболой 2

2xy = .

Решение:

1).

26 6 0,

6 6 0

z x yxz x yy

∂⎧ = − =⎪∂⎪⎨∂⎪ = − + =∂⎪⎩

)0,0(1M⇒ , )1,1(2M . Точка )1,1(2M – внутренняя точка области, 1)1,1(1 −=z . 2). Рассмотрим поведение функции на границе области.

2.1) [ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=∈

функция, аявозрастающ - 3,0

,2,0

2yzxy

0)0,0(2 =z ; 12)2,0(3 =z .

2.2)[ ]

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

=∈

,12122,2

,2,0

3 xxzyx

26 12 0dz xdx

= − = ; [ ]2 0,2x = ∈ .

Найдем значения 2812)2,2(4 −=z ; 4)2,2(5 =z .

2.3)

[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈

−=

=

,2,0

,43

,2

34

2

x

xxz

xy

3 23 3 0dz x xdx

= − = 01 =→ x , 12 =x , 41

21,16 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=z .

3). Сравнивая полученные значения z , находим . (1,1) 1наимz z= = − , . (0, 2) 12наибz z= = .

0

2

21M

2M

y

x


16.4. Геометрические приложения функций двух переменных 16.4.1. Производная векторной функции скалярного аргумента r OM=

uuuurv , r xi yj zk= + +rr rr .

Пусть проекции вектора rv являются функциями параметра t :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

),(),(),(

tzztyytxx

тогда ( ) ( ) ( )r x t i y t j z t k= + +rr rr , ( )r r t=

r r . При изменении t изменяются проекции и конец вектора OM

uuuur описывает

в пространстве линию, называемую годографом вектора.

Указанные уравнения называются пара-метрическими уравнениями линии в пространстве. ( )r r t=

r r является векторной функцией скалярного аргумента. Найдем производную векторной функции

скалярного аргумента. Возьмем фиксированное значение t , соответст-вующее точке M на кривой и значению ( )r tr .

Дадим t приращение t∆ , получим вектор ( )r t t+ ∆r , соответствующий

точке 1M . Тогда

( ) ( )r r t t r t∆ = + ∆ − =r r r

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x t i y t t y t j z t t z t k= + ∆ − + + ∆ − + + ∆ −rr r

,

0lim ; ;

t

r dx dy dz dr dx dy dzi j kt dt dt dt dt dt dt dt∆ →

∆ ⎧ ⎫= + + ⇒ = ⎨ ⎬∆ ⎩ ⎭

v vvv v,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r t x t t x t y t t y t z t t z ti j kt t t t

∆ + ∆ − + ∆ − + ∆ −= + +

∆ ∆ ∆ ∆

r rr r

– вектор производной вектора ( )r tr по скалярному аргументу t . Выясним его направление. При 0→∆t точка 1M стремится к точке M , а на-правление секущей 1MM в пределе дает направление касательной, т.е. вектор drdt

r направлен по касательной к кривой в точке M .

z

x

y

),,( zyxM

rr

O

О

Лекции 15 - 16 188

16.4.2. Уравнение касательной к пространственной кривой

1). Если линия задается параметрическим уравнением ( )r r t=r r

, то уравнение касательной к кривой ( )r tr в точке ),,( 0000 zyxM записывается как уравнение

прямой, проходящей через точку 0M параллельно вектору 0M

drdt

r. Направ-

ляющий вектор касательной { }0 0 0, ,x x y y z z− − − и вектор

0 0

, ,M M

dydr dx dzdt dt dt dt

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

r параллельны.

Условие параллельности заключается в том, что компоненты этих век-торов пропорциональны, эти равенства и представляют уравнение каса-тельной:

000

000

MMM dtdz

zz

dtdy

yy

dtdx

xx −=

−=

− *)

2). Пусть кривая в пространстве задана как линия пересечения двух поверх-

ностей: 1

2

00

( x, y,z ) ,L :

( x, y,z ) ,ΦΦ

=⎧⎨ =⎩

где )(txx = , )(tyy = , )(tzz = .

Итак, [ ][ ]

1

2

0

0

x( t ), y( t ),z( t ) ,

x( t ), y( t ),z( t ) .

Φ

Φ

=⎧⎪⎨

=⎪⎩

Продифференцируем эти уравнения:

1 1 1

2 2 2

0

0

dx dy dz ,x dt y dt z dt

dx dy dz .x dt y dt z dt

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ

∂ ∂ ∂⎧ + + =⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎨∂ ∂ ∂⎪ + + =⎪ ∂ ∂ ∂⎩

Получим систему двух уравнений с тремя неизвестными dtdx ,

dtdy ,

dtdz .

Найдем решение системы:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂Φ∂

−=∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

−=∂Φ∂

+∂Φ∂

.

,

222

111

dtdz

zdtdy

ydtdx

x

dtdz

zdtdy

ydtdx

x


По формулам Крамера

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∆∆

=

∆∆

=

,

,

2

1

dtdydtdx

где

1 1

2 2

x y

x y

Φ Φ

Φ Φ

∂ ∂∂ ∂

∆ =∂ ∂∂ ∂

,

1 1 1 1

12 2 2 2

z y y zdz dzdt dt

z y y z

Φ Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∆ = − =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

,

1 1 1 1

22 2 2 2

dz dzx z z xdt dt

x z z x

Φ Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∆ = − =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

.

Итак,

1 1

2 2

1 1

2 2

y z

y zdx dzdt dt

x y

x y

Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

=∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

;

1 1

2 2

1 1

2 2

z x

dy dzz xdt dt

x y

x y

Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ

Φ Φ

∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂=∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

.

Решение может быть записано в виде:

1 1 1 1 1 1

2 22 2 2 2

dx dy dzdt dt dt

y z z x x y

z xy z x y

Φ Φ Φ Φ Φ Φ

Φ ΦΦ Φ Φ Φ

= =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

Подставляя выражения для dtdx ,

dtdy ,

dtdz в уравнение касательной *), получим

его в виде:

00 0

0 0 0

1 11 1 1 1

2 22 2 2 2

z xy z x y

z xy z x yMM M

x x y y z z− − −= =

′ ′′ ′ ′ ′Φ ΦΦ Φ Φ Φ′ ′′ ′ ′ ′Φ ΦΦ Φ Φ Φ

,

если хотя бы один из определителей не равен нулю. Если все определители равны нулю, то точка называется особой точкой кривой.

Лекции 15 - 16 190

16.4.3. Нормальная плоскость и ее уравнение

Прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к кривой в данной точке. Множество нормалей к кривой лежит в плос-кости, перпендикулярной к касательной и об-разует нормальную плоскость.

Уравнение плоскости, которая перпендикулярна касательной к кривой имеет вид уравнения плоскости, проходящей через точку 0 0 0( , , )x y z с нормальным

вектором 0Mdt

dr :

а) в случае параметрического задания:

0)()()( 000

000

=−⋅+−⋅+−⋅ zzdtdzyy

dtdyxx

dtdx

MMM

;

б) если кривая задана как линия пересечения двух поверхностей:

00

1 1 1 10 0

2 2 2 2

y z z x

y z z x MM

( x x ) ( y y )Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ′ ′ ′ ′

− + − +′ ′ ′ ′

0

1 10

2 2

0x y

x y M

( z z )Φ ΦΦ Φ′ ′

− =′ ′

.

16.4.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Пусть поверхность задана уравнением 0),,( =zyxF )∗ . Точка ),,( zyxM называется обыкно-венной, если все три частные производ-

ные xF∂∂ ,

yF∂∂ ,

zF∂∂ существуют,

непрерывны и хотя бы одна из них от-лична от нуля.

Точка ),,( zyxM называется особой точкой поверхности, если все три частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существу-ет. Прямая линия называется касательной к поверхности в точке

),,( zyxM , если она является касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности и проходящей через точку M . Все касательные прямые к данной поверхности в ее обыкновенной точке M лежат в одной плоскости.

nr

ar

L

M

О

О

О

О

Т


Рассмотрим на поверхности линию:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

).(),(),(

:tzztyytxx

L )∗∗

Касательная к этой кривой будет касательной и к поверхности. Уравнения касательной в точке ),,( 0000 zyxM имеют вид:

000

000

MMM dtdz

zz

dtdy

yy

dtdx

xx −=

−=

−.

Подставим уравнения L )∗∗ в уравнение поверхности )∗ :

[ ] 0)(),(),( =tztytxF .

Продифференцируем полученное тождество по t , получим, что

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

dtdz

zF

dtdy

yF

dtdx

xF .

Рассмотрим вектор касательной , ,dr dx dy dzadt dt dt dt

⎧ ⎫= = ⎨ ⎬⎩ ⎭

rr и вектор

, ,F F Fnx y z

⎧ ⎫∂ ∂ ∂= ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭

r .

Скалярное произведение этих векторов равно:

( ) F dx F dy F dzn ax dt y dt z dt

∂ ∂ ∂⋅ = + +

∂ ∂ ∂r r .

Выше показано, что это выражение равно нулю, значит, действительно, вектор nr перпендикулярен вектору ar в точке ),,( zyxM .

Итак, , ,F F Fnx y z

⎧ ⎫∂ ∂ ∂= ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎩ ⎭

r – вектор нормали к поверхности 0),,( =zyxF .

Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к линиям на поверхности, проходящим через данную точку, называется касательной плоскостью к поверхности.

Уравнение касательной плоскости к поверхности 0F( x, y,z ) = в точке

),,( 0000 zyxM имеет вид:

0 00

0 0 0( ) ( ) ( ) 0M MM

F F Fx x y y z zx y z

∂ ∂ ∂− + − + − =

∂ ∂ ∂.

О

Лекции 15 - 16 192

Если поверхность задана явно: ),( yxfz = , то

0z f ( x, y )− = , fFx x

∂∂= −

∂ ∂, F f

y y∂ ∂

= −∂ ∂

, 1Fz

∂=

∂

и уравнение касательной принимает вид:

0 0

0 0 0( ) ( )M M

f fz z x x y yx y∂ ∂

− = − + −∂ ∂

.

Прямая, проведенная через точку ),,( zyxM поверхности, перпендику-лярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности. Уравнения нормали имеют вид:

000

000

MMM zF

zz

yF

yy

xF

xx

∂∂−

=

∂∂−

=

∂∂− ,

1000

00

zz

yf

yy

xfxx

MM

−=

∂∂

−

−=

∂∂

−

− .

Пример:

Напишите уравнение касательной и нормальной плоскости к винтовой линии:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

.,sin,cos

amtztaytax

tadtdx sin−= , ta

dtdy cos= , am

dtdz

= .

Уравнения касательной: am

amtzta

taytatax −

=−

=−−

cossin

sincos .

Уравнение нормальной плоскости: 0)()sin(cos)cos(sin =−+−+−− amtzamtaytataxta .

Пример:

Найдите уравнения касательной и нормаль-ной плоскости к линии пересечения сферы

2222 4rzyx =++ и цилиндра ryyx 222 =+ в точке )2,,(0 rrrM .

Здесь 2 2 2 21 4( x, y,z ) x y z rΦ = + + − ,

ryyxzyx 2),,( 222 −+=Φ .

xx

21 =∂Φ∂ , y

y21 =

∂Φ∂ , z

z21 =

∂Φ∂ ;

xx

22 =∂Φ∂ , ry

y222 −=

∂Φ∂ , 02 =

∂Φ∂z

.

Значения производных в точке M :

rx

21 =∂Φ∂ , r

y21 =

∂Φ∂ , 221 r

z=

∂Φ∂ ;

yr2

z

O

x

О


rx

22 =∂Φ∂ , 02 =

∂Φ∂y

, 02 =∂Φ∂z

.

Уравнения касательной: 1

220 −

−=

−=

− rzryrx .

Уравнение нормальной плоскости: 0)2()(2 =−−− rzry .

Пример: Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

шара 14222 =++ zyx в точке )3,2,1(P .

014),,( 222 =−++= zyxzyxF . xxF 2=∂∂ ; y

yF 2=∂∂ ; z

zF 2=∂∂ .

В точке )3,2,1(P : 2=∂∂

xF ; 4=

∂∂

yF ; 6=

∂∂

zF .

Уравнение касательной плоскости: 014320)3(6)2(4)1(2 =−++↔=−+−+− zyxzyx .

Уравнения нормали:

33

22

11

63

42

21 −

=−

=−

↔−

=−

=− zyxzyx .

В результате изучения материала, изложенного в этих лекциях, студент должен уметь:

вычислять частные производные функций, заданных явно, неявно, параметрически;

находить точки экстремумов и условных экстремумов; владеть геометрическими приложениями

(касательная плоскость и нормаль к поверхности и т.д.)

Учебное издание

Александр Борисович Соболев Александр Федорович Рыбалко

МАТЕМАТИКА

Часть 2

Редактор Н.П. Кубыщенко Компьютерная верстка Е.В. Денисюк

Подписано в печать 07.02.2005 Формат 60х84 1/16Бумага писчая Печать цифровая Усл. печ. л. 11,33 Уч.-изд. л. 10,83 Тираж 200 экз. Заказ №_____ Цена «С»

Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19

Отпечатано с готового оригинал-макета

в Отделении полиграфии ИВТОБ 620002, г. Екатеринбург, ул. Мира 19,

тел. (343) 375 –41–43

titul new 2 -...

Documents