titulado: “texto: estadistica basica para estudiantes de administracion, economia y ... · 2017....
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
INSTITUCION DE INVESTIGACION
INFORME FINAL DE PROYECTO DE INVESTIGACION
TITULADO:
“TEXTO: ESTADISTICA BASICA PARAESTUDIANTES DE ADMINISTRACION,
ECONOMIA Y CONTABILIDAD”.
AUTOR:
ECO. SIMÓN BENDITA MAMANI
(PERIODO DE EJECUCION:
Del 01 de Abril del 2010 al 31 de Marzo del 2012
Aprobado mediante Resolución Rectoral No.452-10R.)
MARZO DEL 2012
CALLAO- PERU
ÍNDICE DE CONTENIDO
PREFACIO--------------------------------------------------------------------------------------IV
CAPITULO I
1.1 HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA ---------------------------------------------- 1
1.2 CONCEPTOS GENERALES DE ESTADÍSTICAS ----------------------- 4
1.3 DIVISION DE LA ESTADISTICA ------------------------------------------------ 6
1.4 LINEAMIENTOS PARA LA PRESENTACIÓN DECUADROS ESTADÍSTICOS ------------------------------------------------------ 8
1.5 COBERTURA TEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICA- 101.6 CONTENIDO DE LA PUBLICACIÓN ESTADÍSTICA-------------------- 101.7 NOTACIÓN DE SUMA --------------------------------------------------------- 12
CAPITULO II2.1 PRESENTACIONES DE LAS TABLAS: ------------------------------------- 192.2 TIPOS DE TABLAS DE FRECUENCIA -------------------------------------- 19CAPITULO III
3.1 REPRESENTACIONES GRAFICOS ----------------------------------------- 233.2 GRÁFICOS DE PUNTOS -------------------------------------------------------- 23
3.3 GRÁFICOS DE TALLO Y HOJA --------------------------------------------- 24
3.4 DIAGRAMAS DE BARRAS ----------------------------------------------------- 25
3.5 OTROS TIPOS DE GRAFICAS --------------------------------------------- 27
CAPITULO IV
4.1 ESCALAS DE MEDICIÓN ----------------------------------------------------- 35
4.2 SITUACIONES DE LAS ESCALAS DE MEDICIÓN ------------------ 36
4.3 TIPOS DE VARIABLES ------------------------------------------------------ 38
4.4 DATOS ---------------------------------------------------------------------------- 39
4.5 ORDENACION DE DATOS-------------------------------------------------- 40
CAPITULO V
5.1 .DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA------------------------------------------- 41
5.2 INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE ---------------------- 42
5.3 TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE ----------- 43
5.4 REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR LAS
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS POR INTERVALOS---------- 46
CAPITULO VI
6.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL --------------------------------- 50
6.2 TENDENCIA CENTRAL ---------------------------------------------------- 51
CAPITULO VII7.1 CUANTILES ---------------------------------------------------------------------- 72
7.2 TIPOS DE CUANTILES ---------------------------------------------------- 72
CAPITULO VIII
8.1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN ------------------------------------------------- 76
8.2 DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA --------------------------------------- 76
8.3 VARIANZA ---------------------------------------------------------------------- 77
8.4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR ------------------------------------------------- 78
8.5 SIMETRÍA ---------------------------------------------------------------------- 79
8.6 CURTOSIS --------------------------------------------------------------------- 808.7 OTRAS CONSIDERACIONES DE LAS MEDIDAS DE
DISPERSIÓN ABSOLUTAS ------------------------------------------------ 82CAPITULO IX
9.1 MEDIDAS DE FORMA -------------------------------------------------------- 89
9.2 MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN --------------------------------------- 92
9.3 PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS ------------------------- 95
BIBLIOGRAFIA ------------------------------------------------------------------------- 141
PREFACIOAl realizar el presente texto es debido a la inquietud de los estudiantes que
llevan el curso de estadística básica con el propósito de poner a disposición del
estudiante y docente de las especialidades de administración, economía y
contabilidad.
Las estadísticas siempre han sido importantes para las ciencias y para la
tecnología de diferentes materias y lo serán aun mas para aquellos docentes
que están compenetrados en la investigación del conocimiento moderno.
La motivación de sacar a la luz pública de este libro es precisamente para
ofrecer una primera descripción de lo que ha sido, el que hacer del curso de
estadística en las facultades de administración, economía y contabilidad, que
permita realizar una reflexión de la importancia de las estadísticas en la
aplicación y formación profesional.
Se decidió hacer este libro solamente una introducción para realizar estudios
más pormenorizados sobre el curso de estadística básica para de esta forma
buscar una mayor proyección de nuestro estudio.
La asignatura de estadística básica considerado base fundamental en sus
estudios, dado que es el inicio de los conocimientos para su desarrollo de las
asignaturas siguientes a estudiar como estadística aplicada a la empresa.
El texto de estadística básica para los estudiantes de administración economía
y contabilidad, constituirá como guía para elevar el nivela académico
El desarrollo del texto de estadística básica se considera importante porque
permite.
1. Establecer un adecuando contenido temático en el curso de estadística
básica para los estudiantes de administración, economía y contabilidad,
a fin de elevar el nivel académico para su formación profesional.
2. Aplicar una metodología estandarizada en la enseñanza a de la
estadística básica para los estudiantes de de administración economía y
contabilidad.
iv
3. El presente texto estadística básica para estudiantes de administración
economía y contabilidad es un texto básico que expone de manera
sucinta los temas teóricos correspondiente a la historia de la estadística,
definiciones de diferentes autores, tipos de tablas, representaciones
graficas, como realizar la distribución de frecuencias, las medidas de
centralización o tendencia central tanto para datos agrupados y no
agrupados; y finalmente las medidas de dispersión y asimetría.
los capítulos desarrollados, se realiza de manera didáctica y sencilla
,donde el estudiante pueda comprender y aplicar en la vida cotidiana
como en el campo profesional , en algunos casos se hará uso de las
leyes y principios estadísticos que se requieren sobre todo para resolver
los diferentes tipos de problemas que se presentan, de esta manera el
alumno obtendrá una solución inmediata a los problemas de estadística.
1
CAPITULO I
1.1 HISTORIA DE LA ESTADÍSTICA
La historia nos narra, que desde que el hombre empezó a comunicarse
por medio de lenguaje escrito, los pueblos del continente africano se
destacaron por hacer algunas anotaciones de mucha importancia en su diario
convivir.
Así, podemos destacar: Al español Confucio (551-479) A.D.C llevaba registros
referentes a la producción agrícola, al comercio, etc.
Les cupo la gloria a los chinos, desde la época del sabio Kung-futsé (2500
A.D.C.) que hicieron recolecciones.
Los egipcios (2500 años A.D.C.) cuando se encontraban gobernados por los
faraones, establecieron los márgenes del río Nilo. Estos, cada vez que se
producían las grandes inundaciones provocadas por el desbordamiento de
dicho río, ordenaban a los sacerdotes (sabios del palacio) a que realizaran las
respectivas mediciones de las tierras afectadas, a fin de que sus propietarios
pagaran el impuesto sólo de lo que les quedaba.
También fueron los griegos los y los romanos que en sus frecuentes acciones
bélicas, cuantificaban: soldados, vituallas, caballos, provisiones de armas,
como: lanzas, escudos, arcos, etc.
En el continente americano, se destacan los pueblos: maya, azteca e inca. Así,
los primeros tenían el calendario igual que los egipcios y los chinos, y los incas
racionaban los excesos de las cosechas para épocas que había escasez.
Se considera como fundador de la estadística a Godofredo Achenwall ( 1719 –
1772), economista alemán, quien siendo profesor de la universidad de Leipzig,
escribió el descubrimiento de una nueva ciencia que el mismo llamó
Estadística.
"Se dice que el análisis estadístico se inició con los estudios de un tendero
inglés, John Graunt (1620 –1674), quien intentó analizar las causas de las
defunciones en Londres alrededor de la primera mitad del siglo XVII.
2
Después de este sencillo inicio muchos matemáticos, algunos muy famosos
como: Laplace (1749 – 1827 y Gauss (1777- 1855) hicieron constantes
contribuciones a las ideas básicas de esta ciencia.
Además, el análisis de los datos numéricos es fundamental en tantos campos,
que bien se podría elaborar una larga lista de científicos, en áreas como: la
biología, la geología, la genética, que han contribuido ampliamente en este
estudio. Por citar: Charles Darwin (1809 – 1882 ), Gregory Mendel ( 1822-
1884, Karl Pearson (1857 – 1936).
Es de anotar que Adrenwall y sus seguidores estructuraron los métodos
estadísticos; los mismos que al inicio estuvieron orientados a: investigar, medir
y comparar las riquezas las naciones.
Como dijera Huntsberger: "La palabra estadística a menudo nos trae a la mente
imágenes de números apilados en grandes arreglos y tablas, de volúmenes de
cifras relativas a nacimientos, muertes, impuestos, poblaciones, ingresos,
deudas, créditos y así sucesivamente. Huntsberger tiene razón pues al instante
de escuchar esta palabra estas son las imágenes que llegan a nuestra cabeza.
La Estadística es mucho más que sólo números apilados y gráficas bonitas. Es
una ciencia con tanta antigüedad como la escritura, y es por sí misma auxiliar
de todas las demás ciencias. Los mercados, la medicina, la ingeniería, los
gobiernos, etc. Se nombran entre los más destacados clientes de ésta.
La ausencia de ésta conllevaría a un caos generalizado, dejando a los
administradores y ejecutivos sin información vital a la hora de tomar decisiones
en tiempos de incertidumbre.
La Estadística que conocemos hoy en día debe gran parte de su realización a
los trabajos matemáticos de aquellos hombres que desarrollaron la teoría de
las probabilidades, con la cual se adhirió a la Estadística a las ciencias
formales.
3
¿Qué es la estadística?
Esta palabra derivada de Staat, que significa gobierno, su fundador la definió
como "el conocimiento profundo de la situación respectiva y comparativa de
cada estado".
Conocemos que desde la más remota antigüedad el concepto de estadística se
identificó con el de "ciencia de los números y de las figuras".
Muchos la llaman como "la representación del pensamiento científico", puesto
que se basa en la investigación para llegar a conclusiones, análisis,
interpretaciones, abstracciones, deducciones, etc.
Pero también la concebimos como una ciencia auxiliar de otras disciplinas, sin
su aplicación no podríamos orientar muchos aspectos. Es decir es el hilo
conductor en todos los campos.
¿Para qué conocer esta ciencia?
La mayoría de las personas estamos familiarizadas con frases como éstas: Los
salarios de los militares aumentan en un 30%. El partido triunfador en las
elecciones próximas pasadas superó a lo que informaban las encuestadoras.
Por el fenómeno del niño tenemos que importar tales alimentos. El rendimiento
de los alumnos en esta materia esta por debajo de lo normal. 10 de cada 100
niños sufren problemas respiratorios. En este planeta el promedio de vida es de
70 años. La gran mayoría de emigrantes son de sexo masculino.
Todos los días experimentamos, manipulamos símbolos y palabras. Hasta
emitimos juicios de valor que seguro se basan en algo para una información
cualquiera; pero para una información estadística debemos estar ligados al
método estadístico, en su forma, organización, recopilación, presentación y
análisis de datos.
4
1.2 CONCEPTOS GENERALES DE ESTADÍSTICAS
Esta palabra derivada de Staat, que significa gobierno, su fundador la definió
como "el conocimiento profundo de la situación respectiva y comparativa de
cada estado".
Conocemos que desde la más remota antigüedad el concepto de estadística se
identificó con el de "ciencia de los números y de las figuras".
Muchos la llaman como "la representación del pensamiento científico", puesto
que se basa en la investigación para llegar a conclusiones, análisis,
interpretaciones, abstracciones, deducciones, etc.
Pero también la concebimos como una ciencia auxiliar de otras disciplinas, sin
su aplicación no podríamos orientar muchos aspectos. Es decir es el hilo
conductor en todos los campos.
Todos los días experimentamos, manipulamos símbolos y palabras. Hasta
emitimos juicios de valor que seguro se basan en algo para una información
cualquiera; pero para una información estadística debemos estar ligados al
método estadístico, en su forma, organización, recopilación, presentación y
análisis de datos.
Al respecto a continuación realizamos algunas definiciones de Estadística:
La Estadística es una ciencia que nos proporciona un método importante para
la toma de decisiones y resolver problemas en forma sistemática y
reproducible, a diferencia de otros métodos que difícilmente pueden ser
explicados o reproducidos hasta por la misma persona que lo ejecuta. Por lo
anterior es importante analizar detenidamente cada uno de los conceptos en
los que se fundamenta ésta para lograr acercarnos profundamente a su
conocimiento.
La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e
interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para
explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio
aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo
5
estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar
a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.
La estadística, en general, es la ciencia que trata de la recopilación,
organización presentación, análisis e interpretación de datos numéricos con el
fin de realizar una toma de decisión más efectiva.
La estadística es una ciencia que estudia la recolección, análisis e
interpretación de datos, ya sea para ayudar en la toma de decisiones o para
explicar condiciones regulares o irregulares de algún fenómeno o estudio
aplicado, de ocurrencia en forma aleatoria o condicional. Sin embargo
estadística es más que eso, en otras palabras es el vehículo que permite llevar
a cabo el proceso relacionado con la investigación científica.
Otros autores tienen definiciones de la Estadística semejantes a las anteriores,
y algunos otros no tan semejantes. Para Chacón esta se define como “la
ciencia que tiene por objeto el estudio cuantitativo de los colectivos”; otros la
definen como la expresión cuantitativa del conocimiento dispuesta en forma
adecuada para el escrutinio y análisis.
La más aceptada, sin embargo, es la de Mínguez, que define la Estadística
como “La ciencia que tiene por objeto aplicar las leyes de la cantidad a los
hechos sociales para medir su intensidad, deducir las leyes que los rigen y
hacer su predicción próxima”.
Los estudiantes confunden comúnmente los demás términos asociados con las
Estadísticas, una confusión que es conveniente aclarar debido a que esta
palabra tiene tres significados: la palabra estadística, en primer término se usa
para referirse a la información estadística; también se utiliza para referirse al
conjunto de técnicas y métodos que se utilizan para analizar la información
estadística; y el término estadístico, en singular y en masculino, se refiere a
una medida derivada de una muestra.
Los métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos
descriptivos, para organizar y resumir datos numéricos. La estadística
6
descriptiva, por ejemplo trata de la tabulación de datos, su presentación en
forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidas descriptivas.
Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en
mercadotecnia, contabilidad, control de calidad y en otras actividades; estudios
de consumidores; análisis de resultados en deportes; administradores de
instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y por otras
personas que intervienen en la toma de decisiones.
1.3 DIVISION DE LA ESTADISTICA
La estadística se divide en dos grandes áreas:
La estadística descriptiva, se dedica a la descripción, visualización y
resumen de datos originados a partir de los fenómenos de estudio. Los
datos pueden ser resumidos numérica o gráficamente. Ejemplos básicos
de parámetros estadísticos son: la media y la desviación estándar.
Algunos ejemplos gráficos son: histograma, pirámide poblacional,
clústers, entre otros.
La estadística inferencial, se dedica a la generación de los modelos,
inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión
teniendo en cuenta la aleatoriedad de las observaciones. Se usa para
modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la
población bajo estudio. Estas inferencias pueden tomar la forma de
respuestas a preguntas si/no (prueba de hipótesis), estimaciones de
características numéricas (estimación), pronósticos de futuras
observaciones, descripciones de asociación (correlación) o
modelamiento de relaciones entre variables (análisis de regresión).
Otras técnicas de modelamiento incluyen anova, series de tiempo y
minería de datos.
7
POBLACIÓN (N).- Conjunto de individuos, objetos, o fenómenos a observar y
que tienen alguna característica en común y que son motivo de una
investigación.
Por ejemplo: Habitantes del Ecuador, Las aves de nuestro archipiélago.
Universo de lagos.
La población puede ser finita o infinita:
En los ejemplos anteriores. ¿Cuál es finito y cual ejemplo pertenece a una
población infinita?
MUESTRA (n).- Es el subconjunto de una población, es un pequeño universo.
Se la usa cuando la población es infinita o sumamente grande y es imposible
observar todos sus elementos.
Ejemplo: Estatura de los empleados de una fábrica. Calificaciones de los
alumnos matriculados en Estadística en la Modalidad de Estudios a Distancia
ELEMENTO (e).- Se denomina a cada integrante de la población o muestra.
En estadística un elemento puede ser algo con existencia real. Por ejemplo: un
automóvil, o algo más abstracto, como un voto, la temperatura, el tiempo.
También puede ser unidades naturales: obreros, turistas, empleados,
emigrantes, etc.
PARÁMETRO.- Conjunto de características (resultados), o valores numéricos
cuando se han obtenido a partir de una población.
Ejemplo: Edad promedio de los alumnos de la UNIVERSIDAD
ESTADÍSTICO.- Conjunto de características (resultados) cuando se han
obtenido a partir de una muestra.
Ejemplo: Alcaldes de la ciudad de GUAYAQUIL.
DATOS.- Son medidas, valores, o variables, o características susceptibles de
ser observados y contados.
8
DATO ESTADÍSTICO:.- Información numérica o cuantitativa que cumple
ciertos requisitos (un dato aislado que no se integra o que no muestra relación
significativa con otro, no es dato estadístico).
VARIABLE ESTADÍSTICA.- Es el objeto en estudio de una determinada
población. La misma que puede ser cualitativa y cuantitativa.
VARIABLE CUALITATIVA.- Cuando las variables se expresan mediante una
cualidad o característica. Aquellas que no se pueden medir.
Ejemplo: Color de los ojos de un determinado sector. El sexo de los miembros
de una familia.
VARIABLE CUANTITATIVA.- Todo aquello que se puede medir o expresar
mediante números.
Ejemplo: Número de Diputados del Ecuador. Profesores de la U.T.P.L. Una
variable cuantitativa puede ser: discreta y continua.
VARIABLE DISCRETA.- Cuando toma valores enteros ( no toma valores entre
dos números enteros).
Ejemplo: Alumnos de la carrera de Comunicación social. Edad en años de los
alumnos.
VARIABLE CONTINUA.- Cuando puede tomar valores intermedios entre dos
números enteros consecutivos.
Ejemplo: El peso, el sueldo.
1.4 LINEAMIENTOS PARA LA PRESENTACIÓN DE CUADROSESTADÍSTICOS
La información que se muestra en una publicación estadística deberá contar
con ciertas características que reflejen la realidad que se pretende medir. Debe
entenderse por información al conjunto de datos obtenidos a través de la
medición, cuantificación y registro de los fenómenos y hechos demográficos,
9
sociales y económicos que suceden en un espacio y tiempo determinados. Es
bueno recordar que esta información puede ser usada como un instrumento
básico para la planeación y la toma de decisiones, soporte para la investigación
o para el conocimiento en general, por lo que debe cumplir las siguientes
características:
a) Significación conceptual.- El concepto a cuantificar debe estar definido con
claridad y precisión en el documento.
b) Veracidad.- El dato, objeto de cuantificación, deberá ser obtenido
directamente de las unidades generadoras de información y debe reflejar la
realidad que pretende cuantificar, conforme a un marco conceptual y
metodológico previamente definido y validado.
c) Comparabilidad.- Independientemente de las fuentes que generan la
estadística, los resultados que se obtengan deben ser congruentes entre ellos
ya que su medición se debe desprender de esquemas conceptuales
homogéneos; si no es así, debe existir notas aclaratorias.
d) Oportunidad.- El tiempo entre el suceso, el registro del dato y la difusión de
la información, debe ser el mínimo posible, a fin de que esta no pierda vigencia
respecto de la realidad que describe o explica.
e) Integralidad.- Los cuadros con información estadística deben contener
todos los elementos básicos para facilitar su consulta e interpretación, relación
precisa entre cifras y conceptos, uso de totales, incorporación de notas y
llamadas técnicas y utilización de simbología homogénea.
f) Criterios específicos para el manejo de los datos.- Parte importante de las
características de la información la constituyen los criterios que deben ser
utilizados en la integración y presentación de los datos estadísticos para
obtener los resultados deseados. Los criterios específicos de los datos son
aquellos que tienen que cumplirse para obtener trabajos homogéneos que
faciliten la comprensión de la información por parte de los usuarios.
Ejemplos:
l Las cifras negativas deben tener el signo "menos" y no paréntesis.
l Las cifras deben ser separadas en miles mediante un espacio.
l Las llamadas de explicación deben ser colocadas siempre a la derecha de la
palabra.
10
1.5 COBERTURA TEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN ESTADÍSTICALa integración y publicación de información estadística referida a los diversos
ámbitos, sobre aspectos geográficos, sociales y económicos tiene como
propósito orientar acciones e identificar los problemas básicos que requieren
atención y solución. Bajo esta perspectiva, la información estadística que los
organismos públicos integren o generen estará orientada a la siguiente
cobertura temática, con la finalidad de manejar esquemas conceptuales
comunes:
Estadísticas geográficas.- Se refieren a las características generales del
medio físico a través de mapas y cuadros con datos geográficos básicos.
Estadísticas socio demográficas.- Corresponden a información relacionada
con la población. Comprende apartados como demografía, empleo y previsión
social, salud, educación, seguridad y orden público, entre otros, así como
estadísticas sociales derivadas como pobreza, nutrición, hábitat, condiciones
de vida, etc.
Estadísticas económicas.- Comprenden información relacionada con el
proceso de producción de bienes y servicios y de aquella que tiene algún tipo
de relación con dicho proceso (insumos, personal ocupado, inversión, crédito,
etc.). Generalmente consta de tres sectores económicos: extractivo (sector
primario), transformación (sector secundaria) y servicios (sector terciario), los
que a su vez se desagregan en ramas de actividad que deben seguir el orden
de la clasificación de actividades vigente en el país. El conjunto de datos de
esta temática está orientado a mostrar un panorama global del aparato
productivo del país. Comprende también estudios transversales a varias
actividades económicas tales como el turismo y medio ambiente.
Dentro de este grupo, también se muestran las estadísticas económicas
derivadas, tales como las relacionadas a las cuentas nacionales, precios,
finanzas públicas, sector financiero y cuentas con el exterior, etc.
1.6 CONTENIDO DE LA PUBLICACIÓN ESTADÍSTICAPara elaborar una publicación estadística debe considerarse lo siguiente:
Diseño de páginas.- Al diseñar un cuadro se debe tener presente el área de
impresión de la página, para que sea aprovechado totalmente, procurando que
11
no quede recargado ni escaso de información. Dependiendo del volumen de
datos que contiene el cuadro estadístico, en una página puede incluirse un solo
Cuadro. Asimismo puede presentarse un cuadro y un gráfico que destaque los
datos de mayor impacto del fenómeno que presenta el cuadro. También
pueden presentarse dos cuadros o incluirse comentarios.
Numeración de cuadros.- Si hay varios cuadros en un capítulo, cada cuadro
debe presentar el número del capítulo seguido de un punto y el número
ascendente correspondiente. La numeración se anotará en el extremo superior
izquierdo, en el mismo lugar del nombre del cuadro. Cuando el cuadro se
fraccione, la numeración aparecerá en cada una de sus partes, acompañado
del título.
Presentación e introducción.- La presentación debe mencionar, breve y
claramente, cuál es el propósito y fundamento de la publicación. Una gran parte
de la presentación debe escribirse en tiempo presente. Se sugiere las
siguientes reglas que debe observar una presentación:
• Presentar el título del documento y si es necesario la atribución normativa de
la institución para elaborarlo.
• Breve resumen del método o forma de recopilación de la información.
• El propósito u objetivo de la publicación.
• Opcionalmente, puede mencionarse el agradecimiento a las entidades o
personas que proporcionaron información. La introducción consiste en la
descripción del contenido de la publicación, conceptos y definiciones utilizados,
grado de confianza de los datos, omisiones advertidas en las series,
procedimientos empleados en las investigaciones y otros asuntos de interés
para la correcta interpretación de las cifras. También, de ser el caso, menciona
cualquier cambio en la metodología y cobertura geográfica respecto a
publicaciones anteriores.
Índice.- El índice contempla todas las partes de la publicación, que comprende
la lista de capítulos y subcapítulos del documento. Contiene también la lista de
anexos.
Abreviaturas, signos y símbolos.- Es conveniente disponer de las
abreviaturas, signos y símbolos convencionales que se aplican en toda la
publicación.
12
Conceptos, definiciones, notas explicativas y comentarios:Al inicio de la publicación o de cada subdivisión de la misma, generalmente se
incluye conceptos y definiciones, notas explicativas o comentarios referentes a
los cuadros que se publican.
Cuadros, gráficos y mapasDespués de las notas explicativas o comentarios se coloca los cuadros,
gráficos y en algunas ocasiones, mapas.
AnexosEn los anexos se incluye información que, por su volumen, se adjunta a fin de
que sirva de material de consulta como por ejemplo: diseño muestral, normas
legales, formatos, códigos o clasificaciones, tablas de conversión, directorios y
otros.
CréditosEn este acápite se considerará el nombre y oficina de las personas que
participaron en la elaboración del documento, según el grado de
responsabilidad que hayan tenido durante el proceso.
1.7 NOTACIÓN DE SUMA
En la operación de adición o suma, se presenta con frecuencia en la estadística
el símbolo (sigma) para denotar “tomar la suma de”. A continuación se
presenta un ejemplo donde se tiene un conjunto de valores n para alguna
variable X.
n
iiX
1, esta expresión indica que estos n valores deben sumarse. Por
consiguiente:
n
n
ii XXXXX
...321
1
Ejemplo Se encuentran cinco observaciones para la variable
75,1,0,2: 54321 XyXXXXX
.Por lo tanto:
13
1375)1(0254321
5
1
XXXXXXi
i
En estadística nos vemos involucrados muy a menudo con la suma de los
valores al cuadrado de una variable. Por lo tanto.
223
22
21
1
2 ... n
n
ii XXXXX
Y en nuestro ejemplo, tenemos:
79
4925104
75)1(02 22222
25
24
23
22
21
5
1
2
XXXXXXi
i
Se debe observar, aquí que
n
iiX
1
2 , la sumatoria de los cuadrados no es
igual a2
1
n
iIX , el cuadrado de la suma, esto es
2
11
2
n
ii
n
ii XX
En nuestro ejemplo, la sumatoria de los cuadrados es igual a 79. Esto no es
igual al cuadrado de la suma, cuyo resultado es 169132
Otra operación que se utiliza con frecuencia implica la sumatoria del producto.
Esto es, suponiendo que tenemos dos variables, X y Y, cada una con n
observaciones.
Entonces,
nni
n
ii YXYXYXYXYX
...3322111
Continuando con el ejemplo anterior, suponiendo que también se tiene una
segunda variable Y cuyos valores son
34,2,3,1 54321 YyYYYY Entonces,
14
452120202
)3)(7()4)(5()2)(1()3)(0()1)(2(
5544332211
5
1
YXYXYXYXYXYX ii
i
Al calcular i
n
iiYX
1
debemos tomar en cuenta que el primer valor de X por
el primer valor de Y más el segundo valor de X por el segundo de Y, y así
sucesivamente. Estos productos cruzados luego se suman con el propósito de
obtener el resultado deseado. Sin embargo, debemos observar en este punto
que la sumatoria de productos cruzados no es igual al producto de las sumas
individuales, es decir;
n
ii
n
iii
n
ii YXYX
111
En nuestro ejemplo, 934)2(31135
1
5
1
ii
ii YyX de modo que
117)9)(13(5
1
5
1
i
ii
i YX . Esto no es lo mismo que i
n
iiYX
1
, que es
igual a 45.
Antes de estudiar las cuatro reglas básicas para efectuar operaciones con
notación sigma, será de ayuda presentar los valores de cada una de las cinco
observaciones de X y de Y en forma de tabla:
15
Observación X i Y i
1
2
3
4
5
2
0
-1
5
7
1
3
-2
4
3
135
1
i
iX 95
1
i
iY
Regla 1: La sumatoria de los valores de dos variables es igual a la suma de los
valores de cada variable sumada.
n
ii
n
ii
n
iii YXYX
111
En nuestro ejemplo:
22913
22109)3(33
)37()45())2(1()30()12(
5
1
5
1
5
1
ii
ii
iii
YX
YX
Regla 2: La sumatoria de una diferencia entre los valores de dos variables es
igual a la diferencia entre los valores sumados de las variables.
16
n
ii
n
iii
n
ii YXYX
111
)(
Por consiguiente, en nuestro ejemplo,
49134
411)3(1
)37()45())2(1()30()12(
5
1
5
1
5
1
ii
ii
iii
YX
YX
Regla 3: La sumatoria de una constante por una variable es igual a la
constante que multiplica a la sumatoria de los valores de la variable.
n
ii
n
ii XccX
11
En la que c es una constante.
Por tanto, en nuestro ejemplo, c =2
26)13)(2(2
261410)2(04
)7)(2()5)(2()1)(2()0)(2()2)(2(2
5
1
5
1
5
1
ii
ii
ii
X
XcX
Regla 4: Una constante sumada n veces será igual a n veces al valor de la
constante.
nccn
i
1
17
En la que c es una constante. Así pues, si la constante c =2 se suma cinco
veces tendremos:10)2)(5(
10222225
1
i
cEn el caso de
que i 1 entonces n = (valor final - valor inicial)+ 1
Para ilustrar cómo se utilizan las reglas de la sumatoria, podemos mostrar una
de las propiedades matemáticas pertenecientes al promedio o media aritmética
n
i
iXX1
0
Esta propiedad establece que la sumatoria de las diferencias entre cada
observación y la media aritmética es cero. Esto se puede probar
matemáticamente de la siguiente manera:
1.- De la ecuación :
n
Xx
n
ii
1
Así pues, utilizando la regla 2 de la sumatoria, tenemos:
n
i
n
ii
n
ii XXXX
111
2.- Puesto que, para cualquier conjunto fijo de datos, X Puede ser
considerada como una constante, de la regla 4 de la sumatoria tenemos:
XnXn
i
1
Por consiguiente, XnXXXn
ii
n
ii
11
12)2(*)1)27((
122222227
2
i
c
18
3.- Sin embargo, de la ecuación (4.1), puesto que:
n
XX
n
ii
1 después n
n
iiXX
1
Por consiguiente,
n
ii
n
ii
n
ii XXXX
111
De esta manera se ha demostrado que:
01
n
ii XX
PROBLEMASuponiendo que se tienen seis observaciones de las variables X y Y tales que
3,7,2,1,0,42,1,3,5,1,2 65432654321 1 YYYYYyYXXXXXX
Calcule cada una de las siguientes sumatorias.
a)
6
1iiX b)
6
1iiY
c)
6
1
2
iiX d)
6
1
2
iiY
e) ii
iYX
6
1
f)
6
1iii YX
g)
6
1iii YX h)
6
1
223i
iii XYX
19
CAPITULO II
2.1 PRESENTACIONES DE LAS TABLAS:
Una tabla es un cuadro que consiste en la disposición conjunta, ordenada y
normalmente totalizada, de las sumas o frecuencias totales obtenidos en la
tabulación de los datos, referentes a las categorías o dimensiones de una
variable o de varias variables relacionadas entre sí.
Las tablas sistematizan los resultados cuantitativos y ofrecen una visión
numérica, sintética y global del fenómeno observado y de las relaciones entre
sus diversas características o variables. En ella, culmina y se concreta
definitivamente la fase clasificatoria de la investigación cuantitativa.
2.2 TIPOS DE TABLAS DE FRECUENCIA
Los tipos de tablas son:
Tabla de entrada de datos: Es una tabla en la cual solo aparecen los datos
que se obtuvieron de la investigación científica o del experimento. Es la tabla
más sencilla y se utiliza cuando no se necesita mayor información acerca de
los datos, estas tablas se construyen por medio de la tabulación de los datos,
este procedimiento es relativamente sencillo, para realizarlo nos ocupamos de
un conjunto de datos estadísticos obtenidos al registrar los resultados de una
serie de n repeticiones de algún experimento u observación aleatoria,
suponiendo que las repeticiones son mutuamente independientes y se realizan
en condiciones uniformes, es importante decir que el resultado de cada
observación puede expresarse de forma numérica, para este tipo de tablas de
entrada de datos se puede trabajar con una ó mas variables, de manera que
nuestro material estadístico consiste en n valores observados de la variable Xj.
Los valores observados se suelen registrar, en primer lugar en una lista, si él
numero de observaciones no excede de 20 ó 30, estos datos se registran en
orden creciente de magnitud.
Con los datos de esta tabla pueden hacerse diversas representaciones gráficas
y calcularse determinadas características numéricas como la media, la
mediana, etc.
20
EJ: Agrupar en una tabla de datos
10, 1, 6, 9, 2, 5, 7, 4, 3, 8
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tablas de frecuencias: Una tabla de frecuencia esta formada por las
categorías o valores de una variable y sus frecuencias correspondientes. Esta
tabla es lo mismo que una distribución de frecuencias. Esta tabla se crea por
medio de la tabulación y agrupación, la cual es un método sencillo como lo
habíamos empezado a ver en la tabla de datos, Se realiza el mismo
procedimiento de tabulación anteriormente descrito si el numero de valores
observados para la variable, se trabaja con una sola variable, descontando los
repetidos son pequeños, si existen repetidos la frecuencia f es el numero de
repeticiones de un valor de X dado, Sin embargo, cuando el conjunto de datos
es mayor, resulta laborioso trabajar directamente con los valores individuales
observados y entonces se lleva a cabo, por lo general, algún tipo de agrupación
como paso preliminar, antes de iniciar cualquier otro tratamiento de los datos.
Las reglas para proceder a la agrupación son diferentes según sea la variable,
discreta o continua, para una variable discreta suele resultar conveniente hacer
una tabla en cuya primera columna figuren todos los valores de la variable X
representados en el material, y en la segunda, la frecuencia f con que ha
aparecido cada valor de X en las observaciones.
Para una variable continua, el procedimiento de agrupación es algo más
complicado. Se toma un intervalo adecuado sobre el eje de la variable que
contenga los n valores observados, y divídase el intervalo en cierto numero de
intervalos de clase. Todas las observaciones que pertenecen al mismo
intervalo de clase se agrupan y cuentan, y él numero que resulte representa la
frecuencia de clase correspondiente a dicho intervalo, luego se forma una
tabla, en cuya primera columna figuran los limites de cada intervalo de clase, y
en la segunda aparecen las correspondientes frecuencias.
21
Estas clases de tablas son las mas usadas y brindan mayor información de los
datos que las tablas de entradas de datos, efectivamente, una tabla de este
tipo dará en forma abreviada, una información completa acerca de la
distribución de los valores observados. Con estas se pueden utilizar mas a
fondo los métodos gráficos al igual que los métodos aritméticos.
Ej.: Agrupar en una tabla 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5
X F
1 2
2 4
3 3
4 1
5 1
S 11
Agrupar en una tabla las siguientes estaturas: 160, 168, 175, 183, 170, 164,
170, 184, 171, 168, 187, 161, 183, 175, 185, 186, 187, 164, 165, 175, 162, 188,
169, 163, 166, 172, 173, 167, 174, 176, 178, 179, 177
X F
160-165 6
265-270 6
22
170-175 6
175-180 7
180-185 3
185-190 5
S 33
Tablas de doble entrada: También llamadas tablas de contingencias, son
aquellas tablas de datos referentes a dos variables, formada, en las cabeceras
de las filas, por las categorías o valores de una variable y en las de las
columnas por los de la otra, y en las casillas de la tabla, por las frecuencias o
numero de elementos que reúnen a la vez las dos categorías o valores de las
dos variables que se cruzan en cada casilla. Para la tabulación de un material
agrupado de observaciones simultaneas de dos variables aleatorias
necesitaremos una tabla descrita como anteriormente lo describimos, las reglas
para agrupar son las mismas que en el caso de una sola variable.
Este tipo de tablas brindan información estadística de dos eventos relacionados
entre sí, es útil en casos en los cuales los experimentos son dependientes de
otro experimento, mas adelante aparecen más aplicaciones del análisis
estadístico .
Ej.:
T1/T2 SÍ NO
SÍ 12 2
NO 10 4
25
23
CAPITULO III
3.1 REPRESENTACIONES GRAFICOS
Un diagrama es una especie de esquemático, formado por líneas, figuras,
mapas, utilizado para representar, bien datos estadísticos a escala o según una
cierta proporción, o bien los elementos de un sistema, las etapas de un proceso
y las divisiones o subdivisiones de una clasificación. Entre las funciones que
cumplen los diagramas se pueden señalar las siguientes:
Hacen más visibles los datos, sistemas y procesos
Ponen de manifiesto sus variaciones y su evolución histórica o espacial.
Pueden evidenciar las relaciones entre los diversos elementos de un
sistema o de un proceso y representar la correlación entre dos o más
variables.
Sistematizan y sintetizan los datos, sistemas y procesos.
Aclaran y complementan las tablas y las exposiciones teóricas o
cuantitativas.
El estudio de su disposición y de las relaciones que muestran pueden
sugerir hipótesis nuevas.
Algunos de los diagramas más importantes son el diagrama en árbol, diagrama
de áreas o superficies, diagrama de bandas, diagrama de barras, diagrama de
bloques, diagrama circular, diagrama circular polar, diagrama de puntos,
diagrama de tallo y hoja diagrama, histogramas y otros.
3.2 GRÁFICOS DE PUNTOS:
Es una variación del diagrama lineal simple el cual esta formado por líneas
rectas o curvas, que resultan de la representación, en un eje de coordenadas,
de distribuciones de frecuencias, este construye colocando en el eje x los
valores correspondientes a la variable y en el eje de las ordenadas el valor
correspondiente a la frecuencia para este valor. Proporciona principalmente
información con respecto a las frecuencias. Este se usa cuando solo se
necesita información sobre la frecuencia.
Cuando la muestra se agrupa por intervalos se trabaja con la marca de clase
del intervalo de clase, la marca de clase es el punto medio del intervalo
24
EJ: Duración de tubos de neón
X(horas) Xm F
300-400 350 2
400-500 450 6
500-600 550 10
600-700 650 8
700-800 750 4
S 30
3.3 GRÁFICOS DE TALLO Y HOJA
Es una forma rápida de obtener una representación visual ilustrativa del
conjunto de datos, para construir un diagrama de tallo y hoja primero se debe
seleccionar uno ó más dígitos iniciales para los valores de tallo, el dígito o
dígitos finales se convierten en hojas, luego se hace una lista de valores de
tallo en una columna vertical. Prosiguiendo a registrar la hoja por cada
observación junto al valor correspondiente de tallo, finalmente se indica las
25
unidades de tallos y hojas en algún lugar del diagrama, este se usa para listas
grandes y es un método resumido de mostrar los datos, posee la desventaja
que no proporciona sino los datos, y no aparece por ningún lado información
sobre frecuencias y demás datos importantes.
3.4 DIAGRAMAS DE BARRAS
Nombre que recibe el diagrama utilizado para representar gráficamente
distribuciones discretas de frecuencias no agrupadas. Se llama así porque las
frecuencias de cada categoría de la distribución se hacen figurar por trazos o
columnas de longitud proporcional, separados unos de otros. Existen tres
principales clases de gráficos de barras:
Barra simple: se emplean para graficar hechos únicos
Barras múltiples: es muy recomendable para comprar una serie estadística
con otra, para ello emplea barras simples se distinto color o tramado en un
mismo plano cartesiano, una al lado de la otra
Barras compuestas: en este método de graficacion las barras de la
segunda serie se colocan encima de las barras de la primera serie en forma
respectiva.
El diagrama de barras proporciona información comparativa principalmente y
este es su uso principal, este diagrama también muestra la información
referente a las frecuencias
Ej:
CIUDAD TEMPERATURA
A 12
B 18
C 24
26
TIENDA Enero Febrero Marzo abril mayo Junio
A 800 600 700 900 1100 1000
B 700 500 600 1000 900 1200
27
3.5 OTROS TIPOS DE GRAFICAS
Para apreciar a golpe de vista la magnitud o posición de las variables, se
suelen efectuar una representación gráfica, los sistemas de gráficos más
usuales son:
Diagrama de sectores El área de cada sector es proporcional a la frecuencia
que se quiera representar, sea absoluta o relativa.
Para calcularlo podemos decir que el área depende del ángulo central,
mediante la siguiente proporción: ni/N=/360
Como resulta ni /N = fi , tendremos que 360*if
Este diagrama se utiliza para cualquier tipo de variable
Histograma.- Es una representación gráfica de una variable en forma de
barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de
los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y
en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las
marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los
datos.
Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o
altura de la muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es
decir, valores continuos. En los casos en los que los datos son cualitativos
(no-numéricos), como sexto grado de acuerdo o nivel de estudios, es
preferible un diagrama de sectores.
28
Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y
económicas que en ciencias naturales y exactas. Y permite la comparación de
los resultados de un proceso.
Ejemplo:
Marca de clase o valor medioSe determina calculando el promedio entre los límites inferior y superior. La
marca de clase representa a todos los datos pertenecientes al intervalo de
clase correspondiente
Diagrama de escalera: se utiliza para frecuencias acumuladas.
29
Pictograma: se suele utilizar para expresar un atributo. Se suelen utilizar
iconos que se identifiquen con la variable (ejemplo un coche) y su tamaño
suele guardar relación con la frecuencia.
Es un gráfico con dibujos alusivos al carácter que se está estudiando y cuyotamaño es proporcional a la frecuencia que representan; dicha frecuencia sesuele indicar.
EJEMPLO:
¿En qué mes se plantaron menos árboles?, ¿y en cuál se hicieron másplantaciones?
Cartograma se representa mediante un diagrama convencional insertado en
un mapa geográfico de una zona. Por ejemplo en un mapa de la Comunidad
30
Valenciana se puede utilizar el diagrama de tartas para representar la
producción industrial, agrícola etc.
Polígono de frecuencias, es la recta que une los extremos de las variables de
una distribución, un ejemplo clásico es el de la evolución de la temperatura de
un paciente
0123456
x1 x2 x3 x4 x5
Nota: Si la variable es cualitativa (rubio, moreno, alto bajo, etc.) se suelen
utilizar más los diagramas de sectores o pictogramas
Para realizar el polígono unimos los puntos medios de las bases superiores deldiagrama de barras o del histograma.
Si la variable es cuantitativa podemos tener dos casos: Variable discretao variable continua.
31
En el primer caso: variable discreta utilizaremos sin no piden nada concreto, el
diagrama de barras cuando se refiera a la representación gráfica de la
frecuencia absoluta (ni)
En cambio cuando nos estemos refiriendo a la frecuencia absoluta
acumulada optaremos por el diagrama de escalera
En el segundo caso: la variable continua, optaremos por el histograma para
las frecuencias absolutas y por el polígono de frecuencias en el caso de la
frecuencia acumulada.
Diagramas de caja: los pasos para construirlo son los siguientes:
dibujar y marcar un eje de medida horizontal
construir un rectángulo cuyo borde izquierdo esta arriba del cuarto
inferior y cuyo borde derecho esta arriba del cuarto superior
dibujar un segmento de recta vertical dentro de la caja arriba de la
mediana
prolongar rectas desde cada extremo de la caja hasta las observaciones
más lejanas que estén todavía a menos de 1.5fs de los bordes
correspondientes
dibujar un circulo abierto para identificar cada observación que caiga
entre 1.5fs y 3fs del borde al cual esta más cercano estas se llaman
puntos inusuales suaves
0
5
10
x1 x2 x3 x4 x5
32
dibujar un circulo de línea llena para identificar cada observación que
caiga a mas de 3fs del borde más cercano, estas se llaman puntos
inusuales extremos . donde fs= cuarto superior – cuarto inferior
Polígono: Hace evidente la forma de la distribución de frecuencias de los
datos. Solo representa datos cuantitativos. Es una gráfica de puntos y líneas.
Relaciona las marcas de clase con sus frecuencias o frecuencias relativas.
Como el área total de las barras del histograma debe mantenerse igual al área
debajo del polígono, el polígono empieza en una marca de clase anterior
y termina en una marca de clase posterior a las de la tabla de frecuencias.
Ojiva: Equivalen a los polígonos de frecuencia acumulada. Relacionan las
fronteras inferiores con los valores acumulados de frecuencia. Su aplicación se
concreta a responder preguntas como: ¿qué proporción acumulada le
corresponde a este dato?, ¿Qué dato corresponde a esta proporción
acumulada?. Hay dos criterios para construir ojivas:
1) Ojiva "Menor que": "¿cuántas observaciones son menores que esta
frontera?". Es una curva creciente que empieza en frecuencia cero y termina
en el total de observaciones.
2) Ojiva "O más": "¿cuántas observaciones hay iguales o mayores a esta
fronteras?". Es una curva decreciente que empieza en el total de observaciones
y termina en cero.
Pirámide de población.- Dependiendo de la información que estemos
estudiando, se pueden utilizar otros tipos de gráficos.
Uno de ellos es por ejemplo, la pirámide de población. Sirve para analizar
cómo va evolucionando (con respecto a su edad) una población determinada.
Consiste en dos diagramas de barras, uno de ellos para representar los datos
de los hombres y el otro para los de las mujeres, pero dispuestos de forma
horizontal y por edades.
33
Climograma.- Un caso particular de aplicación de los histogramas y los
polígonos de frecuencias es el climograma, que representa la marcha anual
de las temperaturas y de las lluvias medias, sobre un mismo sistema de
coordenadas:
34
¿Cuál es el mes menos lluviso?, ¿y el más caluroso?
Los cartogramas.-son gráficos realizados sobre mapas, en los que aparecen
indicados sobre las distintas zonas cantidades o colores de acuerdo con el
carácter que representan.
También se representa mediante un diagrama convencional insertado en un
mapa geográfico de una zona. Por ejemplo en un mapa de la Comunidad
Valenciana se puede utilizar el diagrama de tartas para representar la
producción industrial, agrícola etc.
En el siguiente cartograma observamos la urbanización en el mundo
atendiendo a la industrialización:
35
CAPITULO IV
4.1 ESCALAS DE MEDICIÓN
En cuanto a las escalas de medición la estadística cuenta con las siguientes:
Nominal; la cual se utiliza principalmente en los datos cualitativos y nos
permite manejar la información por su nombre, como en los casos de marcas
de diferentes productos, enfermedades, preferencias, etc.
Ordinal; aquella que utilizamos cuando necesitamos establecer orden entre
las diferencias de la población y sus datos son cualitativos, por ejemplo,
escalas de calidad (mala, regular, buena, muy buena), escalas de gusto (mu
y sabrosa, sabrosa, agradable, desagradable, muy desagradable), etc.
Intervalo; Se utiliza principalmente en datos cuantitativos y es una escala
que no cuenta con un cero absoluto o con un instrumento estandarizado, por
ejemplo, la temperatura se puede medir en grados centígrados, Fahrenheit y
kelvin dentro de las cuales los grados centígrados no cuentan con un cero
absoluto debido a que se basan en el punto de ebullición del agua, el cuál es
variable en diferentes altitudes, los Fahrenheit que tampoco cuentan con un
cero absoluto, ya que este también cambia con las altitudes con respecto al
nivel del mar, debido a que se sustenta en el punto de congelación del agua
y los kelvin que si cuentan con un cero absoluto ya que queda establecido al
vacío fuera de las diferencias provocadas por la altitud, otro ejemplo sería el
utilizar una cuerda con nudos para determinar una Distancia o un volumen
con vasija de barro, ya que al intentar comprobar esta distancia o este
volumen debemos contar con la misma cuerda o con la misma vasija.
Razón; Básicamente utilizada en datos cuantitativos que pueden ser
medidos con instrumentos estandarizados o con un cero absoluto como por
ejemplo una distancia medida en kilómetros, un volumen medido en
centímetros cúbicos, ventas medidas en pesos, etc.
36
4.2 SITUACIONES DE LAS ESCALAS DE MEDICIÓN
Situacion 1,es una escala en que se establece un número determinado de
clases o categorías de tal modo que cada elemento de la población pertenece
a una y sólo una clase. Matemáticamente se dice que se ha establecido una
relación de equivalencia entre los elementos de la población. Si sólo existen
dos clases se denomina escala dicotómica. La única operación matemática que
se puede realizar con las clases de cualquier escala nominal es determinar las
cantidades de elementos que les corresponden determinar sus frecuencias.
Por ejemplo:
Sexo: las clases son masculino o femenino.
Especialidad: las diferentes especialidades (carreras) del CRUSAM.
Número de cedula de identidad personal. Temperatura de una persona: sanguíneo, flemático, melancólico,
colérico.
Número de placa de automóviles del país.
a.-Escala Nominal:
Corresponde a la Situación 1, es decir, es una escala en que se establece un
número determinado de clases o categorías de tal modo que cada elemento de
la población pertenece a una y sólo una clase. Matemáticamente se dice que
se ha establecido una relación de equivalencia entre los elementos de la
población. Si sólo existen dos clases se denomina escala dicotómica. La única
operación matemática que se puede realizar con las clases de cualquier escala
nominal es determinar las cantidades de elementos que les corresponden
determinar sus frecuencias.
Por ejemplo:
Sexo: las clases son masculino o femenino.
Especialidad: las diferentes especialidades (carreras) del CRUSAM.
Número de cedula de identidad personal.
Temperatura de una persona: sanguíneo, flemático, melancólico,
colérico.
37
Número de placa de automóviles del país.
b.- Escala Ordinal:
Corresponde a la Situación 2. Es una escala nominal entre cuyas clases está
definido un orden, de modo que cualquiera que sean dos de ellas, una será
mayor o superior, en algún sentido, que la otra.
Por ejemplo:
Evaluaciones en un examen: 5, 4, 3 y 2.
Grado de satisfacción de una necesidad: alto, medio, bajo
Conocimiento de un idioma: excelente, bien, regular, mal
c.- Escala de Intervalos:
Corresponde a la situación 3 y no es más que una escala ordinal con una
distancia, una unidad de medida entre sus clases de modo tal que dado dos
puntajes cualesquiera se puede saber cuan distante está uno del otro. La
unidad de medida es arbitraria, pero común y el punto de inicio (cero) es
también arbitrario.
Cuando se tiene una escala de intervalo se pueden realizar las operaciones de
adición y sustracción, pero no necesariamente la multiplicación y división
dentro de la escala.
Por ejemplo:
La temperatura del aire. (caluroso, fresco, agradable, etc.)
d.- Escala de Razones:
Corresponde a la situación 4 y es una escala de intervalos donde existe un
cero absoluto que marca la ausencia total del atributo en estudio. La proporción
entre los atributos de dos individuos cualesquiera es independiente de la escala
de medida utilizada. En ella la razón entre dos clases (puntajes) cualesquiera
permanece invariable ante toda la transformación de la escala de razón, o sea
38
ante toda transformación del tipo y=Φ(x). De aquí que siempre el cero de la
escala transformada coincide con el cero de la escala original.
En las escalas de razones es posible realizar todas las operaciones aritméticas
con los puntajes.
Por ejemplo:
Estatura de los alumnos: la estatura en metros es proporcional a la
estatura en pulgadas.
Peso de los alumnos: (en libras o kilogramos)
El tiempo invertido en una prueba de velocidad en educación física
4.3 TIPOS DE VARIABLES
Para poder realizar una estadística también es necesario identificar la
naturaleza de los datos que conforman a la población, con el objeto de
establecer las variables que se deben manejar, pudiendo encontrarnos con
datos cuantitativos y datos cualitativos.
Los datos cuantitativos son aquellos que resultan de una medida o de un
conteo por lo que los podemos diferenciar en continuos y en discretos
respectivamente, es decir, que se pueden obtener datos cuantitativos que
debido a un instrumento podemos especificar valores enteros y decimales de
tal forma que sus diferencias serán establecidas dependiendo de la exactitud
del instrumento al medir distancias, volúmenes, superficies, etc. y otros datos
que solo se puedan contar, como es el caso del número de automóviles en
circulación en cierta ciudad, número de empleados en una empresa, etc. Los
datos cualitativos resultan de aquellas poblaciones en las que sus elementos
no pueden ser medidos debido a su naturaleza y que por lo tanto solo se les
pueden observar atributos y diferencias.
Aquí será bueno recordar cuantas veces has requerido de este tipo de
información, ya sea, al preparar un pastel o una bebida, al describir a un amigo
o al querer explicar las características de una ciudad a la que visitaste.
39
4.4 DATOS
La toma de datos es la obtención de una colección de los mismos que no han
sido ordenados numéricamente. Un ejemplo es el conjunto de alturas de 100
estudiantes, sacados de una lista alfabética de una universidad.
Para la toma de datos debemos tener en cuenta las siguientes caracteristicas:
Características o números que son recolectados por observación. No
son otra cosa que el producto de las observaciones efectuadas en las
personas y objetos en los cuales se produce el fenómeno que queremos
estudiar
Los datos estadísticos pueden ser clasificados en cualitativos,
cuantitativos, cronológicos y geográficos
Datos Cualitativos: cuando los datos son cuantitativos, la diferencia entre
ellos es de clase y no de cantidad. Ejemplo: Si deseamos clasificar los
estudiantes que cursan la materia de estadística I por su estado civil,
observamos que pueden existir solteros, casados, divorciados, viudos.
Datos cuantitativos: cuando los valores de los datos representan
diferentes magnitudes, decimos que son datos cuantitativos. Ejemplo:
Se clasifican los estudiantes del Núcleo San Carlos de la UNESR de
acuerdo a sus notas, observamos que los valores (nota) representan
diferentes magnitudes.
Datos cronológicos: cuando los valores de los datos varían en diferentes
instantes o períodos de tiempo, los datos son reconocidos como
cronológicos. Ejemplo: Al registrar los promedios de notas de los
Alumnos del Núcleo San Carlos de la UNESR en los diferentes
semestres.
Datos geográficos: cuando los datos están referidos a una localidad
geográfica se dicen que son datos geográficos. Ejemplo: El número de
estudiantes de educación superior en las distintas regiones del país
40
4.5 ORDENACIÓN DE LOS DATOS
Una ordenación es una colocación de los datos numéricos tomados, en orden
creciente o decreciente de magnitud. La diferencia entre el mayor y el menor de
los números se llama recorrido o rango de los datos. Por ejemplo, si la altura
mayor de los 100 estudiantes es 74 pulgadas y la menor es de 60 pulgadas, el
rango es 74 - 60 = 14 pulgadas.
41
CAPITULO V
5.1 .DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA
Definiremos como frecuencia de un dato el número de veces que este aparece
en el colectivo; consecuentemente, si una variable estadística toma r valores,
cada uno de los cuales puede repetirse un cierto número de veces, podríamos
decir que el número de datos representado por la variable serían N, siendo N la
suma de las respectivas frecuencias de cada dato (N=ΣXi).
Este valor N será denominado como frecuencia total, mientras que la frecuencia
de cada dato recibirá el nombre de frecuencia absoluta o
simplemente frecuencia (fi).
La frecuencia absoluta nos habla del número de veces que un dato aparece en
un colectivo, más ello no nos dice demasiado en orden al establecimiento de
comparaciones sobre la importancia de este dato. Para obtener una idea de la
importancia que un dato posee en el seno de un colectivo, puesto que no es
suficiente concepto de frecuencia, se utiliza el concepto frecuencia relativa, que
se definirá como: el coeficiente entre la frecuencia absoluta del dato
considerado y la frecuencia total (fr=fi/ΣXi).
Para efectos prácticos, asumiremos las siguientes definiciones de frecuencias:
frecuencias absolutas: es el número de veces que aparece en
la muestra dicho valor de la variable y se representa por fi.
frecuencias relativas: es el cociente entre la frecuencia absoluta y el
tamaño de la muestra. La denotaremos por fri
frecuencias absoluta acumulada: para poder calcular este tipo de
frecuencias hay que tener en cuenta que la variable estadística ha de ser
cuantitativa o cualitativa ordenable. En otro caso no tiene mucho sentido
el cálculo de esta frecuencia. La frecuencia absoluta acumulada de un valor
de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un
valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por fa, se
puede acumular, en la tabla estadística) en orden ascendente (fa↑) o
descendente (fa↓).
42
frecuencia relativa acumulada: al igual que en el caso anterior se calcula
como el cociente entre la frecuencia absoluta acumulada dividido por el
tamaño de la muestra (N) y la denotaremos por fra.
5.2 INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE
La longitud, tamaño o amplitud de un intervalo de clases (C) es la diferencia
entre los limites superior e inferior (C=lim sup – lim inf). El Recorrido (R) es la
diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto da datos en estudio
(R=Xn – X1)
Un intervalo de clase que, al menos teóricamente, no tiene límite superior o
inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por ejemplo, al referirse a la
edad de grupos de individuos el intervalo de clase, «mayores de 65 años» es un
intervalo de clase abierto.
LÍMITES REALES DE CLASES
Si las alturas se registran con aproximación de pulgada, el intervalo de clase 60
- 62 teóricamente incluye todas las medidas desde 59,5000... a 62,5000 …
pulgadas. Estos números, representados brevemente por los números exactos
59,5 y 62,5, se conocen como límites reales de clase o límites verdaderos de
clase; el menor de ellos, 59,5, es el límite real inferior y el mayor de ellos, 62,5,
es el límite real superior.
Prácticamente, los límites reales de clase se obtienen sumando al límite
superior de un intervalo de clase el límite inferior del intervalo de clase contiguo
superior y dividiendo por 2.
A veces, los límites reales de clase se utilizan para simbolizar las clases. Por
ejemplo, las diferentes clases de la primera columna de la Tabla 1 podrían
indicarse por 59,5 - 62,5, 62,5 - 65,5, etc. Sin embargo, con tal notación
aparece una ambigüedad, pues los límites reales de clase no coincidirían con
las observaciones reales. Así si una observación fuese 62,5 no sería posible
discernir si pertenece al intervalo de clase 59,5 - 62,5 o al 62,5 - 65,5.
43
5.3 TAMAÑO O ANCHURA DE UN INTERVALO DE CLASE
El tamaño o anchura de un intervalo de clase es la diferencia entre los límites
reales de clase que lo forman y se conoce como anchura de clase, tamaño de
clase o longitud de clase. Si todos los intervalos de clase de una distribución de
frecuencias tienen igual anchura, esta anchura común se representa por c. En
tal caso, c es igual a la diferencia entre dos sucesivos límites de clase inferiores
o superiores.
Marca de clase
La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene
sumando los límites inferior y superior de la clase y dividiendo por 2. Así, la
marca de clase del intervalo 60 - 62 es (60 + 62)/2 = 61. La marca de clase se
llama también punto medio de la clase.
Para análisis matemáticos posteriores, todas las observaciones pertenecientes
a un intervalo de clase dado se suponen coincidentes con la marca de clase.
Así, todas las alturas en el intervalo de clase 60 - 62 pulgadas se considerarán
como de 61 pulgadas.
En el caso de variables continuas será necesario fijar intervalos de frecuencias
para llegar a un resumen efectivo de la información original. A menudo es
necesario representar una clase, o más particularmente, un intervalo por un
único valor, este representará a todo el intervalo y se denominará marca de
clases.
Matemáticamente el punto medio de cada intervalo corresponde a lo que
denominamos marca de clase, se denotará por Xi, y constituirá el valor
representativo de cada intervalo. El número de observaciones que
correspondan a cada intervalo se denominará frecuencias absolutas.
44
Tabla #1: Variables Continuas
Intervalos
(C)
Marcas de Clases
Xi
Frecuencias Absolutas
fi
X1-X2 X1 f1
X2-X3 X2 f2
… … …
… … …
Xn-1-Xn Xn fn
Donde
N = Σfi = Número de observaciones
C = X’ – X" = Amplitud del intervalo
Por último, en el caso de variables no mensurables, dicha tabla adoptará una
forma como la siguiente:
45
Tabla #2: Variable Ordinales
Variable Frecuencias
Característica A fA
Característica B fB
… …
… …
Característica Z fZ
INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE
La longitud, tamaño o amplitud de un intervalo de clases (C) es la diferencia
entre los limites superior e inferior (C=lim sup – lim inf). El Recorrido (R) es la
diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto da datos en estudio
(R=Xn – X1)
Un símbolo que define una clase, tal como 60 - 62 de la tabla anterior, se
conoce como intervalo de clase. Los números extremos, 60 y 62, son loslímites
de clase; el número menor 60 es el límite inferior de la clase y el mayor 62 es
el límite superior. Los términos clase e intervalo de clase se utilizan a menudo
indistintamente, aunque el intervalo de clase es realmente un símbolo para la
clase.
Un intervalo de clase que, al menos teóricamente, no tiene límite superior o
inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por ejemplo, al referirse a la
edad de grupos de individuos el intervalo de clase, «mayores de 65 años» es
un intervalo de clase abierto.
46
LÍMITES REALES DE CLASES
Si las alturas se registran con aproximación de pulgada, el intervalo de clase 60
- 62 teóricamente incluye todas las medidas desde 59,5000... a 62,5000 …
pulgadas. Estos números, representados brevemente por los números exactos
59,5 y 62,5, se conocen como límites reales de clase o límites verdaderos de
clase; el menor de ellos, 59,5, es el límite real inferior y el mayor de ellos, 62,5,
es el límite real superior.
Prácticamente, los límites reales de clase se obtienen sumando al límite
superior de un intervalo de clase el límite inferior del intervalo de clase contiguo
superior y dividiendo por 2.
A veces, los límites reales de clase se utilizan para simbolizar las clases. Por
ejemplo, las diferentes clases de la primera columna de la Tabla 1 podrían
indicarse por 59,5 - 62,5, 62,5 - 65,5, etc. Sin embargo, con tal notación
aparece una ambigüedad, pues los límites reales de clase no coincidirían con
las observaciones reales. Así si una observación fuese 62,5 no sería posible
discernir si pertenece al intervalo de clase 59,5 - 62,5 o al 62,5 - 65,5.
5.4 REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR LAS DISTRIBUCIONES DEFRECUENCIAS POR INTERVALOS
1. A = ( X1, X2, … , Xn )
2. Efectuar el arreglo ordenado (Ascendente o Descendente) de la
población o muestra
3. Obtener la frecuencia absoluta mediante la tabulación o conteo de los
datos (homogenizar los datos)
R = (valor mayor – valor menor) = Xn – X1
Encontrar el rango o recorrido (R) de los datos:
4. Encontrar el número de clases o intervalos de clases (K). El número de
clases debe ser tal que se evite el detalle innecesario, pero que no
conduzca a la perdida de más información de la que puede ser
47
convenientemente ignorada. Para este cálculo se utiliza la formula de
Sturges
K = 1 + 3.322(log. N)
5. Determinar la amplitud de la clase ( C ):
R
C = --------
K
Nota: el resultado siempre se aproxima al siguiente entero si excede al
número entero obtenido, no importa el monto de la fracción excedida al
entero
˜ C = se lee "se aproxima a…"
6. El dato menor (X1) será el limite inferior de la primera clase. A él se le
suma C y se obtiene el limite superior de la primera clase que también será
el limite inferior de la segunda clase. Luego se suma nuevamente C y se
obtiene el limite superior del segundo intervalo e inferior del tercero. Y así
sucesivamente hasta que el limite superior corresponda o supere
ligeramente el valor mayor ( Xn ), la cantidad de clases obtenidas deberá
corresponder con el número K calculado mediante la formula de Sturges.
7. Una vez construidos los intervalos se calculan, mediante tabulación de
acuerdo a los limites inferiores y superiores de las clases, las frecuencias
absolutas, relativas, porcentuales y acumuladas correspondientes.
8. Con los datos obtenidos se procede a construir la tabla de distribución
de frecuencia.
CURVAS DE FRECUENCIAS. OJIVAS SUAVIZADAS
El conjunto de datos puede considerarse normalmente como perteneciente a
una muestra extraída de una población grande. A causa de las muchas
observaciones que podemos realizar en la población es posible teóricamente
(para datos continuos) elegir los intervalos de clase muy pequeños y todavía
tener un número adecuado de observaciones dentro de cada clase.
48
Así se tiene que el polígono de frecuencias o el de frecuencias relativas para
una población grande puede estar formado por muchos pequeños segmentos
rectos que aproximan el conjunto a una curva, las curvas de este tipo pueden
llamarse curvas de frecuencias o curvas de frecuencias relativa.
Es razonable esperar que tales curvas teóricas provengan de la suavización de
los polígonos de frecuencias o de los polígonos de frecuencias relativas de la
muestra, la aproximación es tanto más exacta conforme aumenta el tamaño de
la muestra. Por esta razón una curva de frecuencias se conoce como
un polígono de frecuencias suavizado.
De una forma análoga las ojivas suavizadas provienen de la suavización de los
polígonos de frecuencias acumuladas u ojivas. Normalmente es más sencillo
suavizar una ojiva que un polígono de frecuencias.
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIA
Las curvas de frecuencia presentan determina das formas características que
les distinguen como se indica en la Figura.
49
(a) Las curvas de frecuencia simétricas o bien formadas se caracterizan por el
hecho de que las observaciones que equidistan del máximo central tienen la
misma frecuencia. Un ejemplo importante es la curva normal.
(b) En las curvas de frecuencia moderadamente asimétricas o sesgadas la cola
de la curva a un lado del máximo central es mayor que al otro lado. Si la cola
mayor se presenta a la derecha de la curva se dice que ésta está sesgada a la
derecha o que tiene sesgo positivo, mientras que si ocurre lo contrario se dice
que la curva está sesgada a la izquierda o que tiene un sesgo negativo.
(c) En las curvas en forma de J o de J invertida, el máximo se presenta en un
extremo.
(d) Las curvas de frecuencias en forma de U tienen el máximo en ambos
extremos.
(e) Una curva de frecuencias bimodal tiene dos máximos.
(f) Una curva de frecuencias multimodal tiene más de dos máximos.
50
CAPITULO VI
6.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
El objetivo principal de las medidas de tendencia central es poder
representar por medio de un solo número al conjunto de datos, es decir, dan
valores representativos de la distribución de frecuencias, situados en algún
lugar intermedio, alrededor del cual, se encuentran los otros valores. Nos
indican dónde tienden a concentrarse los valores.
Existen tres medidas de tendencia central generales, que son, la Media
aritmética, la Mediana y la Moda; así como otras que se utilizan en casos
particulares como la Media ponderada, la Media Armónica, la Media
Geométrica, la Media Cuadrática.
En este tema y los dos siguientes vamos a obtener unos números que
cuantifiquen las propiedades fundamentales de la distribución de frecuencias.
Estos números podemos clasificarlos en:
Medidas de localización (posición). Son coeficientes de tipo promedio que
tratan de representar una determinada distribución, pueden ser de dos tipos:
1.-CENTRALES:
Medias:
Aritmética
Geométrica
Armónica
Medianas
Moda
2.-NO CENTRALES:
Cuantiles:
Cuartiles
Deciles
Centiles o percentiles
51
Medidas de dispersión.Son complementarias de las de posición en el sentido que señalan la
dispersión en conjunto de todos los datos de la distribución respecto de la
medida o medidas de localización adoptadas.
Medidas de dispersión absoluta: Recorrido
Medidas de dispersión relativa : Recorrido intercuartílico, desviación
media, varianza, desviación típica.
Coeficiente de variación PEARSON.
Diagrama de caja.
Medidas de formaEstudian la asimetría- simetría y deformación (apuntamiento,
aplastamiento) respecto de una distribución modelo denominada
distribución NORMAL
Coeficiente de asimetría y coeficiente de Curtosis.
Medidas de concentración
Estudian la concentración de una distribución frente a la uniformidad
6.2 TENDENCIA CENTRAL
MEDIA ARITMÉTICA: Es la suma de todos los valores de la variable
dividida entre el número total de elementos.
n
x
n
xxxxxX
n
ii
nn
11321 ....
Si el valor xi de la variable X se repite ni veces, aparece en la
expresión de la media aritmética de la forma:
52
n
nxX ii , que será la expresión que consideraremos definitiva de la
media aritmética.
ComoNnf i
i otra posible expresión será i
n
ii fxX
1
Ejemplo:
Si tenemos la siguiente distribución, se pide hallar la media aritmética, de
los siguientes datos expresados en kg.
xi ni xi ni
54 2 108
59 3 177
63 4 252
64 1 64
10 601
1,6010601
n
nxX ii kg
NOTA: A la media aritmética se la denomina también CENTRO DEGRAVEDAD de la distribución.
Si la variable esta agrupada en intervalos (variable continua), se asignan las
frecuencias a las marcas de clase y se procede como si la variable fuera
discreta. En el futuro consideraremos indistintamente ci = xi
53
Ejemplo:
[Li-1,Li) xi = ci ni ci ni
[30 , 40) 35 3 105
[40 , 50) 45 2 90
[50 , 60) 55 5 275
10 470
4710470
n
nxX ii
Datos No Agrupados:
X =X
n
ii 1
n
Ejemplo: Calcular la media aritmética de los números 10,12,36,25,58
2.245
121
5
5825361210
x
Datos Agrupados:
n
*Xf=X
k
1iii
X= cualquier dato
Número total dedatos
Frecuencia por la marca de clase decualquier renglón
Número total dedatos
Añadimos lascolumnassegún lasnecesidades
54
donde: k = última clase
Nota: La media muestral se denota X , la media poblacional se conoce como .
Ejemplo: calcular el salario promedio de :
Como nf 82 sustituimos en la formula y se obtiene:
70.670,20$
82
1695000
82
29*2500035*2000018*15000
x
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA: En ocasiones no todos los valores de la
variable tienen el mismo peso. Esta importancia que asignamos a cada
variable, es independiente de la frecuencia absoluta que tenga. Será como un
aumento del valor de esa variable, en tantas veces como consideremos su
peso.
Es la media aritmética que se utiliza cuando a cada valor de la variable (xi) se
le otorga una ponderación o peso distinto de la frecuencia o repetición. Para
poder calcularla se tendrá que tener en cuenta las ponderaciones de cada uno
de los valores que tenga la variable
Se la suele representar como:
ii
iii
nw
nwxwX
Siendo wi la ponderación de la variable xi y iw la suma de todas las
ponderaciones.
Salario
(X)
No. De emp.
(F)
$15,000 18
$20,000 35
$25,000 29
55
Ejemplo:
Un estudiante realiza 3 exámenes de complejidad creciente, obteniendo los
siguientes resultados: 5, 8 y 7.
El primer examen lo hizo en ½ hora, el segundo en 1 hora y el tercero en hora
y media, por lo que se les atribuye una ponderación de 1, 2 y 3
respectivamente. Se pide calcular la nota media.
Xini Wi xi wi
5 1 1 5
8 1 2 16
7 1 3 21
3 N = 6 42
Si calculamos la media aritmética tendremos que :
67,63
785
nnx
X ii .
Ahora bien, si calculamos la media ponderada, obtendremos:
7
642
621165
321372815
xxxxw
56
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
PROPIEDAD 1: La suma de las desviaciones de los valores de la variable con
respecto a la media aritmética es 0.
Veamos que resulta al operar la siguiente expresión:
n
ii Xx
1)( . Tendremos que
0101.
1111)()(1
ii
iiii
iii
iiii
iiii
iiii
i
in
ii
nnn
nnxnx
nnXnx
nnXnx
nnXnx
nnXnx
nnXx
PROPIEDAD 2: La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de
los valores de la variable con respecto a una constante cualquiera se hace
mínima cuando dicha constante coincide con la media aritmética (Teorema deKÖRING).
00122
nnprop
nnxx
nnkxkD iiiii
Para xk (media aritmética) el valor de las desviaciones será mínima.
PROPIEDAD 3: Si a todos los valores de la variable se le suma una misma
cantidad, la media aritmética queda aumentada en dicha cantidad:
Supongamos que tenemos una variable x de la que conocemos su media.
Supongamos ahora que tenemos otra variable, que se calcula a partir de la
anterior de la siguiente forma: kxy ii . Si ahora queremos calcular la media
de esta segunda variable:
kn
nxnkn
nnx
nnk
nnx
nnknx
nknnx
nnkx
n
nyy
iiii
iiiiiiiiiii
n
iii
1
57
como Xn
nx ii si sustituimos tendremos kXY que es lo que
pretendíamos demostrar.
PROPIEDAD 4: Si todos los valores de la variable se multiplican por una
misma constante la media aritmética queda multiplicada por dicha constante .
La demostración se realizaría de manera análoga a la anterior.
NOTA: De las dos propiedades anteriores se deduce que la resta y la
división se realizarían de igual manera para la propiedad 3 y 4
respectivamente.
Corolario: Si una variable es transformación lineal de otra variable
(suma de un número y multiplicación por otro), la media aritmética de la 1ª
variable sigue la misma transformación lineal con respecto a la media
aritmética de la 2ª variable, siendo yi = a xi + b , donde a y b son números
reales:
bxannb
nnxa
nbnnax
nnbax
nny
y iiiiiiiiii
)()(
Podemos utilizar esta metodología para calcular la media de la siguiente
distribución.
Xi ni
38432 4
38432 8
38436 4
38438 3
38440 8
58
Si efectuamos un cambio de variable238436
ii
xy tomando como nueva
variable el valor más centrado, tendremos::
xi ni yi yi ni
38432 4 (38432 - 38436)/2 = -2 -8
38432 8 (38432 - 38436)/2 = -1 -8
38436 4 (38436 - 38436)/2 = 0 0
38438 3 (38438 - 38436)/2 = 1 3
38440 8 (38440 - 38436)/2 = 2 16
n = 27 3
91
273
n
nyy ii
Como2
38436
xy , entonces 222,3843638436222,038436912384362 yx
PROPIEADAD 5: - Si en un conjunto de valores se pueden obtener 2 ó más
subconjuntos disjuntos, la media aritmética del conjunto se relaciona con la
media aritmética de cada uno de los subconjuntos disjuntos de la siguiente
forma:
nnx
X ii
Siendo ix la media de cada subconjunto y Ni el núm. de elementos de
cada subconjunto.
59
Veamos la demostración de la propiedad: Sea la distribución x1, x2, x3, x4,
…… xn, xn+1, xn+2 ……….xk, observando que habrían como dos
subconjuntos de n y k-n elementos cada uno. Si consideramos la media
aritmética de la distribución: nnx
X ii y calculamos los sumatorios para los
dos subconjuntos, la expresión de la media quedaría:
n
nx
n
nx
n
nxnxX
k
nrrr
n
jjj
k
nrrr
n
jjj
1111
Si multiplicamos numerador y denominador de cada una de las fracciones
por una misma cantidad el resultado no varía, por tanto, multiplicaremos la
primera por N1 que es su número de elementos del primer subconjunto y la
segunda por N2 que es el correspondiente, la expresión quedará:
n
N
nxN
n
N
nxN
nN
nxN
nN
nxNX
n
jjj
n
jjj
k
nrrr
n
jjj
2
12
1
11
2
12
1
11
como 11
1 xN
nxn
jjj
y 2
2
1 xN
nxkn
nrjrrj
son la media del primer y segundo
subconjunto, la expresión la podemos expresar de la siguiente manera:
nNXNX
nNX
nNXX 22112
21
1
que es lo que queríamos demostrar ya que si las
frecuencias se multiplican o dividen por un mismo número, la media no varía
IMPORTANTE: Hay que tener en cuenta que la media aritmética es muy
sensible a los valores extremos, es decir, a valores numéricos muy diferentes,
(tanto por lo grandes, o pequeños que sean), al resto de la muestra. Esto
puede resultar un problema. Hay formas de resolverlo, que veremos más
adelante.
60
MEDIANA: Me.- La mediana o valor mediano será el valor de la variable
que separa en dos grupos los valores de las variables, ordenadas de menor a
mayor. Por tanto es una cantidad que nos indica orden dentro de la
ordenación.
El lugar que ocupa se determina dividiendo el nº de valores entre 2:2n
Cuando hay un número impar de valores de la variable, la mediana será justo
el valor de orden central, aquel cuya frecuencia absoluta acumulada coincida
con2n . Es decir: iii xMeNnN 21 . Por tanto la mediana coincide con un valor
de la variable.El problema está cuando haya un número par de valores de la
variable. Si al calcular2n resulta que es un valor menor que una frecuencia
absoluta acumulada, el valor de la mediana será aquel valor de la variable cuya
frecuencia absoluta cumpla la misma condición anterior:
iii xMeNn
N 21 . Por el contrario si coincide que iNN
2, para obtener
la mediana realizaremos el siguiente cálculo:2
1 ii xxMe
Ejemplo: Sea la distribución
xi ni Ni
1 3 3
2 4 7
5 9 16
7 10 26
10 7 33
13 2 35
n = 35
61
Lugar que ocupa 5,17235
2
n
Como se produce que iii xMeNnN 267,171621 , por lo tanto
Me = 7
El otro caso lo podemos ver en la siguiente distribución:
xi ni Ni
1 3 3
2 4 7
5 9 16
7 10 26
10 6 32
n= 32
Lugar que ocupa = 32/2 = 16 ==> 62
752
11
ixxMe
Notar que en este caso se podría haber producido que hubiera una frecuencia
absoluta acumulada superior a 16.
Datos No agrupados: En los datos ordenados se aplica la siguiente
relación, para encontrar la posición de los datos.
21
nposición ; en donde n = número total de datos
Entonces podemos tener sólo dos alternativas
a) El valor de la posición puede ser entero y lo único que debemos hacer es
contar el número de lugares que nos indica esta formula.
62
El valor de la posición nos da un valor decimal (.5) y entonces debemos: sumar
los valores involucrados y dividirlos entre 2. Por ejemplo; si tenemos los valores
5, 7, 8, 13 entonces la posición nos da 2.5 por que tendremos que seleccionar
a los números 7 y 8 para luego sumarlos (15) y dividirlos entre 2 (7.5)
Datos agrupados, hay que determinar el intervalo mediano ii LL ,1 , la forma
de hacerlo será calcular el valor de la mitad de n, y observar que intervalo tiene
una frecuencia absoluta acumulada que cumpla ii NnN 21 .
Después de saberlo haremos el siguiente cálculo:
ii
i
i an
NN
LMe1
12
Siendo: [ Li-1, Li) el intervalo que contiene a la frecuencia acumulada N/2
ai = amplitud de dicho intervalo.
Ejemplo:
[ Li-1, Li) ni Ni
[20 , 25) 100 100
[25 , 30) 150 250
[30 , 35) 200 450
[35 , 40) 180 630
[40 , 45) 41 671
N = 671
63
671/2 = 335.5 ; Me estará en el intervalo [30 - 35 ). Por tanto realizamos el
cálculo:
138,325*200
2505,33302 11
ii
i
i an
Nn
LMe
MÉTODO PROYECTIVO
Con base en el método proyectivo, se puede obtener la mediana para datos
agrupados de la siguiente forma:
1. Tomar el número total de frecuencias y dividirlo entre dos.
2. Restar a ese número el total de frecuencias de las clases
anteriores a la clase mediana.
3. Usar el número obtenido para hacer un cambio del doble superior
de escala entre las frecuencias de la clase mediana y sus rangos
para obtener la distancia parcial
4. Sumamos la distancia parcial obtenida a el límite inferior de la
clase.
1. El número total de frecuencias es de; (3+5+2)/2 = 10/2 = 5
2. El total de frecuencias anteriores es 2; (5 - 2) = 3
3. Hacemos el cambio de escalas:
64
Resolviendo:
la mediana es la suma de todos los datos
dividido entre el número de datos
4. Se suma la distancia parcial al límite inferior:
LA MODA (MO.).- A veces es importante conocer cuál es el valor que más
prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia se le
conoce como moda. La moda es la medida de tendencia central especialmente
útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal.
En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número que
ocurre con más frecuencia
Ejemplo:
En el siguiente conjunto de números 1, 5, 5, 9, 12, 12, 12, 14. La moda es igual
a 12, por cuanto que es el número que más se repite (tres veces)
La Moda para datos agrupados (Mo.):
La Moda puede deducirse de una distribución de frecuencia o de un histograma
a partir de la fórmula.
Mo. = Li + [ ( ∆1 / ∆1+∆2 ) ] C
Donde;
Li = límite inferior de la clase modal (clase de mayor frecuencia absoluta (fa)
∆1 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y premodal.
∆2 = diferencia de las frecuencias absolutas de la clase modal y postmodal
C = amplitud de la clase modal.
65
Ejemplo:
Para encontrar la moda es necesario, en primer lugar, identificar la clase
modal; que será aquella que posea la mayor frecuencia absoluta. En el ejemplo
de cuentas por cobrar de Cabrera`s y Asociados la clase modal será la primera,
por cuanto que tiene la mayor frecuencia absoluta.
A partir de esto se puede reemplazar en la formula anterior los datos, a saber
:
Li =7.42 C=14.415 f1 = 10 (frecuencia absoluta de la clase modal)
f0 = 0 (frecuencia absoluta de la clase premodal)
f2 = 4 (frecuencia absoluta de la clase postmodal)
∆1 = 10–0 = 10 ∆2 = 10-4 = 6
Mo. = 7.42 + [ (10/10+6) 14.415 ] = 7.42 + [ (10/16) 14.415] =
= 7.42 + [ 0.625 (14.415) ] = 7.42 + 9.01 = 16.53
Propiedades de la moda
La moda se puede determinar en todos los tipos de mediciones
(nominal, ordinal, de intervalos, y relativa).
La moda tiene la ventaja de no ser afectada por valores extremos.
Al igual que la mediana, puede ser calculada en distribuciones con
intervalos abiertos.
Desventajas de la moda
- En muchas series de datos no hay moda porque ningún valor aparece
más de una vez.
- En algunas series de datos hay más de una moda, en este caso uno
podría preguntarse ¿cual es el valor representativo de la serie de
datos?
66
Relación empírica entre la media, la mediana y la moda
En distribuciones totalmente simétricas, la media, la mediana y la moda
coinciden, localizándose en un mismo valor. En cambio, en distribuciones
moderadamente asimétricas, la siguiente relación se mantiene
aproximadamente:
Media – Moda = 3(Media – Mediana
Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda para curvas de
frecuencias asimétricas a derecha e izquierda respectivamente, para curvas
simétricas los tres valores coinciden
LA MEDIA ARMÓNICA, denominada H, de una cantidad finita de números es
igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos
valores y es recomendada para promedia velocidades.
Así, dados n números x1, x2, ... , xn la media armónica será igual a:
67
La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados
valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio
sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de que exista algún valor nulo.
Propiedades
1. La inversa de la media armónica es la media aritmética de los inversos
de los valores de la variable.
2. Siempre se puede pasar de una media armónica a una media aritmética
transformando adecuadamente los datos.
3. La media armónica siempre es menor o igual que la media aritmética, ya
que para cualesquiera números reales positivos :
Ventaja
Considera todos los valores de la distribución y en ciertos casos, es más
representativa que la media aritmética.
Desventajas
La influencia de los valores pequeños y
El hecho que no se puede determinar en las distribuciones con algunos
valores iguales a cero; por eso no es aconsejable su empleo en
distribuciones donde existan valores muy pequeños.
Se suele utilizar para promediar velocidades, tiempos, rendimientos, etc
LA MEDIA GEOMÉTRICA.- Se define como la raíz de índice de la
frecuencia total cuyo radicando es el producto de las potencias de cada valor
de la variable elevado a sus respectivas frecuencias absolutas, se denota por
g; suele utilizarse cuando los valores de la variable siguen una progresión
68
geométrica. También para promediar porcentajes, tasas, nº índices, etc.
siempre que nos vengan dados en porcentajes y se calcula mediante la
siguiente fórmula
g = n√(X1 * X2 * …* Xn
Fórmula que algunas veces es conveniente expresarla en forma logarítmica. Ellogaritmo de la media geométrica es la media aritmética de los logaritmos
de los valores de la variable. El problema se presenta cuando algún valor es
0 ó negativo y exponente de la raíz par ya que no exista raíz par de un número
negativo, entonces la fórmula anterior se presenta de la siguiente manera:
log Xg = 1/N (log X1 + log X2 + … + log Xn)
Ejemplo;
Encontrar la media de los siguientes números 2, 4, 8. obsérvese que entre ellos
existe una razón o proporción constante, cada uno de ellos es el doble del
anterior, por tanto la media a utilizar es la media geométrica, de la siguiente
manera
g = 3√ (2) (4) (8) = 3√ 64 = 4
Respuesta: la media geométrica de los datos es 4
PROPIEDADES DE LA MEDIA GEOMÉTRICA (
La media geométrica esta basada en todas las observaciones, por lo
que está afectada por todos los valores de la variable. Sin embargo, da
menos pesos a los valores extremadamente grandes que el que les da la
media aritmética.
La media geométrica es igual a cero si algunos de los valores es cero, y
se puede volver imaginaria si ocurren valores negativos. Con la excepción
de estos dos casos, su valor siempre es definitivo y está rígidamente
definido.
La media geométrica es la que se debe utilizar cuando lo que se va a
promediar son tasas de cambios o proporciones, y se intenta dar igual peso
a tasas de cambios iguales.
69
Datos No Agrupados:
nn21 Y**Y*YG
Ejemplo:
Si los precios de la acción “Anáhuac” en los últimos cuatro días fueron; 4.75,
5.23, 4.78 y 6.32 calcula el factor de crecimiento promedio y el crecimiento
porcentual promedio.
Existen dos formas de resolverlo:
De la forma ortodoxa:
099869493.1330526316.178.4
32.6*
23.5
78.4*
75.4
23.5Y**Y*YG 33n
n21
Lo que acabamos de obtener es factor de crecimiento promedio y para obtener
el crecimiento se aplica la siguiente formula:
%9869.9100*)099869493.11(100*)1( Gocrecimient
Otra forma es
099869493.1330526316.175.4
32.6
primero
último 331-datosdenúmero G
Datos Agrupados:
n fk
f2
f1
k21 Y**Y*YG
donde: k = última clase
Nota: Se puede demostrar que X G .
También puede calcularse la media geométrica ponderada.
70
Ejemplo:
Supóngase que se cuenta con la información diaria de los incrementos
porcentuales de una acción y que se representan en la siguiente tabla:
a) Calcular los factores de crecimiento.
1001
porcentualocrecimienty
b) Calcular el factor de crecimiento promedio
2415965.130.1*20.1*10.1Y**Y*YG 77 481514n fk
f2
f1
k21
MEDIA CUADRÁTICA (MC).- La media cuadrática nació con el objetivo de
poder obtener el promedio de valores positivos y negativos al mismo tiempo,
además de ser una gran ayuda para poder calcular las dispersiones promedio
de los datos (ver medidas de dispersión).
Datos no agrupados:
n
xMC
n
ii
1
2
Crecimientoporcentual
(%)
Frecuenciasen días
10 14
20 15
30 48
71
Ejemplo:
Supóngase que se obtienen las ganancias y pérdidas del precio de una acción
durante una semana; - 4.00, - 3.50, 2.35, 6.20, 3.25 Calcular el promedio:
186691.35
775.50
5
25.32.635.2)5.3()0.4( 222221
2
n
xMC
n
ii
Datos agrupados:
n
xfMC
n
iii
1
2
Ejemplo:
Ahora deseamos obtener el promedio de una tabla de distribución de
frecuencias pero con datos positivos y negativos.
5239.641
75.12*275.2*14)25.7(*25 2221
2
n
xfMC
n
iii
Ganancias ypérdidas del
precio deuna acción
(x)
No. Dedías
(f)
-7.25 25
2.75 14
12.75 2
72
CAPITULO VII
7.1 CUANTILES
Son medidas de localización similares a las anteriores. Se las denomina
CUANTILES (Q). Su función es informar del valor de la variable que ocupará la
posición (en tanto por cien) que nos interese respecto de todo el conjunto de
variables.
Podemos decir que los Cuantiles son unas medidas de posición que dividen a
la distribución en un cierto número de partes de manera que en cada una de
ellas hay el mismo de valores de la variable.
7.2 TIPOS DE CUANTILES
Las más importantes son:
CUARTILES, dividen a la distribución en cuatro partes iguales (tres
divisiones). C1,C2,C3, correspondientes a 25%, 50%,75%.
DECILES, dividen a la distribución en 10 partes iguales (9
divisiones).D1,...,D9, correspondientes a 10%,...,90%
PERCENTILES, cuando dividen a la distribución en 100 partes (99
divisiones).P1,...,P99, correspondientes a 1%,...,99%.
Existe un valor en cual coinciden los cuartiles, los deciles y percentiles es
cuando son iguales a la Mediana y así veremos
10050
105
42
En las distribuciones sin agrupar, primero hallaremos el lugar que ocupa:
Entonces tendremos que :
Ni=1 < (%) . n < Ni Q = xi
en el supuesto que (%).n = Ni 2
1 ii xxQ
73
Primero encontraremos el intervalo donde estará el cuantil:
lugar Ni=1 < (%) n< Ni Intervalo [Li-1, Li) , en este caso:
i
ii
nNNLQ 1
1%
ai
Ejemplo:
DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: En la siguiente distribución
xi ni Ni
5 3 3
10 7 10
15 5 15
20 3 18
25 2 20
n = 20
Calcular la mediana (Me); el primer y tercer cuartil (C1,C3); el 4º decil (D4) y el
90 percentil (P90)
Lugar que ocupa la mediana lugar 20/2 = 10
Como es igual a un valor de la frecuencia absoluta acumulada, realizaremos es
c
PRIMER CUARTIL (C1)
Lugar que ocupa en la distribución ( ¼). 20 = 20/4 = 5 Como Ni-1 < (25%).n <
Ni , es decir 3 < 5 < 10 esto implicara que C1 = xi =10
74
TERCER CUARTIL (C3)
Lugar que ocupa en la distribución (3/4).20 = 60/4 = 15, que coincide con un
valor de la frecuencia absoluta acumulada, por tanto realizaremos el cálculo:
5,172
20152
13
ii xxC
CUARTO DECIL (D4)
Lugar que ocupa en la distribución (4/10) . 20 = 80/10 = 8. Como Ni-1 < (%).n
< Ni ya que 3 < 8 < 10 por tanto D4 =10.
NONAGÉSIMO PERCENTIL (P90)
Lugar que ocupa en la distribución (90/100). 20 = 1800/100 = 18. que coincide
con un valor de la frecuencia absoluta acumulada, por tanto realizaremos el
cálculo: 5,222
25202
190
ii xxP
Ejemplo:
DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el primer cuartil, el cuarto decil y el
90 percentil de la siguiente distribución:
[Li-1 , Li) ni Ni
[0 , 100) 90 90
[100 , 200) 140 230
[[200 , 300) 150 380
[300 , 800) 120 500
n = 500
75
Primer cuartil (C4)
Lugar ocupa el intervalo del primer cuartil: (1/4). 500 = 500/4 = 125. Por tanto
C4 estará situado en el intervalo [100 – 200).Aplicando la expresión
directamente, tendremos: 125100140
901251004
C
Cuarto decil (D4)
Lugar que ocupa: (4/10) . 500 = 200 . Por tanto D4 estará situado en el
intervalo [100 – 200). Aplicando la expresión tendremos:
57,178100140
902001004
D
Nonagésimo percentil (P 90)
Lugar que ocupa: (90/100) . 500 = 450, por tanto P90 estará situado en el
intervalo [300 – 800). Aplicando la expresión tendremos:
67,59150012070300500
12038045030090
P
76
CAPITULO VIII
8.1 MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Rango (o Intervalo):Es la distancia que existe entre el menor y mayor valor de
los datos.
Datos No Agrupados:
minmaxrango
Datos Agrupados:
1k LILSrango
donde k = última clase
Rango Semi-Inter Cuartil (Q): (o Desviación Cuartil)
Mide el rango promedio de una cuarta parte de los datos (evita los valores
extremos)
2
QQQ 13
8.2 DESVIACIÓN MEDIA ABSOLUTA (DM): (O DESVIACIÓN ABSOLUTA
PROMEDIO)
Es la distancia promedio de los datos a su media.
Datos No Agrupados:
DM =X X
n
ii 1
n
Datos Agrupados:
DM =f X X
n
i ii 1
k
77
8.3 VARIANZA
Poblacional (2): Es el promedio del cuadrado de la distancia de los datos a
su media
Datos No Agrupados:
2
N
1i
2i
2
N
1i
2i
2
N
X
N
X=
Datos Agrupados:
2
k
1i
2ii
2
k
1i
2ii
2
N
*Xf
N
Xf=
Muestral (S2 ): La suma de las distancias al cuadrado se divide entre en
número de datos menos uno:
Datos No Agrupados:
1n
xn
1-nS
1-n
xx=S
2
n
1i
2
2
n
1i
2
i2
ix
78
Datos Agrupados:
1-n
xn
1-n
xfS
1-n
xxf=S
2
k
1i
2ii
2
k
1i
2
ii2
Nota: S2 para muestras "chicas". Para muestras grandes S2 o 2 prácticamente
no difieren.
8.4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Mide la variación de los datos en términos absolutos. Es la raíz cuadrada
positiva de la varianza.
Poblacional: 2
Muestral: S = S2
La desviación estándar se interpreta construyendo intervalos alrededor del
promedio:
a) Teorema de Chebyshev. Si la distribución no es simétrica y unimodal.
- Al menos el 75% de los valores cae dentro de 2 desviaciones estándar
alrededor de la media: 2SX
- Al menos el 89% de los valores caen dentro de 3 desviaciones estándar
alrededor de la media: 3SX
b) Regla Empírica. Si la distribución es una curva acampanada, unimodal y
simétrica:
- Aproximadamente el 68% de los datos (población) se encuentran a una
desviación estándar alrededor de la media: SX
79
- Aproximadamente el 95% de los datos (población) se encuentran a 2
desviaciones estándar alrededor de la media: 2SX
- Aproximadamente el 99% de los datos (población) se encuentran a 3
desviaciones estándar alrededor de la media: 3SX
Coeficiente de Variación (CV): Mide la variación relativa de la variable con
respecto a su promedio. Mide la magnitud de la desviación estándar en relación
con la magnitud de la media. Se expresa en por cientos.
CV =S
X1 00
8.5 SIMETRÍA
Esta medida nos permite identificar si los datos se distribuyen de forma
uniforme alrededor del punto central (Media aritmética). La asimetría presenta
tres estados diferentes ,cada uno de los cuales define de forma concisa como
están distribuidos los datos respecto al eje de asimetría. Se dice que la
asimetría es positiva cuando la mayoría de los datos se encuentran por encima
del valor de la media aritmética, la curva es Simétrica cuando se distribuyen
aproximadamente la misma cantidad de valores en ambos lados de la media y
se conoce como asimetría negativa cuando la mayor cantidad de datos se
aglomeran en los valores menores que la media.
Figura 5-1
El Coeficiente de asimetría, se representa mediante la ecuación matemática,
80
Donde (g1) representa el coeficiente de asimetría de Fisher, (Xi) cada uno de
los valores, ( ) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los
resultados de esta ecuación se interpretan:
(g1 = 0): Se acepta que la distribución es Simétrica, es decir, existe
aproximadamente la misma cantidad de valores a los dos lados de la
media. Este valor es difícil de conseguir por lo que se tiende a tomar los
valores que son cercanos ya sean positivos o negativos (± 0.5).
(g1 > 0): La curva es asimétricamente positiva por lo que los valores se
tienden a reunir más en la parte izquierda que en la derecha de la media.
(g1 < 0): La curva es asimétricamente negativa por lo que los valores
se tienden a reunir más en la parte derecha de la media.
Desde luego entre mayor sea el número (Positivo o Negativo), mayor será la
distancia que separa la aglomeración de los valores con respecto a la media.
8.6 CURTOSIS
Esta medida determina el grado de concentración que presentan los valores en
la región central de la distribución. Por medio del Coeficiente de Curtosis,
podemos identificar si existe una gran concentración de valores (Leptocúrtica),
una concentración normal (Mesocúrtica) ó una baja concentración (Platicúrtica).
81
Para calcular el coeficiente de Curtosis se utiliza la ecuación:
Donde (g2) representa el coeficiente de Curtosis, (Xi) cada uno de los valores,
( ) la media de la muestra y (ni) la frecuencia de cada valor. Los resultados de
esta fórmula se interpretan:
(g2 = 0) la distribución es Mesocúrtica: Al igual que en la asimetría es
bastante difícil encontrar un coeficiente de Curtosis de cero (0), por lo
que se suelen aceptar los valores cercanos (± 0.5 aprox.).
(g2 > 0) la distribución es Leptocúrtica
(g2 < 0) la distribución es Platicúrtica
Cuando la distribución de los datos cuenta con un coeficiente de asimetría (g1
= ±0.5) y un coeficiente de Curtosis de (g2 = ±0.5), se le denomina Curva
Normal. Este criterio es de suma importancia ya que para la mayoría de los
procedimientos de la estadística de inferencia se requiere que los datos se
distribuyan normalmente.
La principal ventaja de la distribución normal radica en el supuesto que el 95%
de los valores se encuentra dentro de una distancia de dos desviaciones
estándar de la media aritmética es decir, si tomamos la media y le sumamos
dos veces la desviación y después le restamos a la media dos desviaciones, el
95% de los casos se encontraría dentro del rango que compongan estos
valores.
82
Desde luego, los conceptos vistos hasta aquí, son sólo una pequeña
introducción a las principales medidas de Estadística Descriptiva; es de gran
importancia que los lectores profundicen en estos temas ya que la principal
dificultad del paquete SPSS radica en el desconocimiento de los conceptos
estadísticos.
Las definiciones plasmadas en este capítulo han sido extraídas de los libros
Estadística para administradores escrito por Alan Wester de la editorial
McGraw-Hill y el libro Estadística y Muestreo escrito por Ciro Martínez editorial
Ecoe editores (Octava edición). No necesariamente tienes que guiarte por
estos libros ya que en las librerías encontraras una gran variedad de textos que
pueden ser de bastante utilidad en la introducción a esta ciencia.
8.7 OTRAS CONSIDERACIONES DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓNABSOLUTAS
VARIANZA ( s2 ): es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada
observación y la media aritmética del conjunto de observaciones.
Haciendo operaciones en la fórmula anterior obtenemos otra fórmula para
calcular la varianza:
Si los datos están agrupados utilizamos las marcas de clase en lugar de Xi.
DESVIACIÓN TÍPICA (S): La varianza viene dada por las mismas unidades
que la variable pero al cuadrado, para evitar este problema podemos usar
como medida de dispersión la desviación típica que se define como la raíz
cuadrada positiva de la varianza
83
Para estimar la desviación típica de una población a partir de los datos de una
muestra se utiliza la fórmula (cuasi desviación típica):
RECORRIDO O RANGO MUESTRAL (Re). Es la diferencia entre el valor de
las observaciones mayor y el menor. Re = xmax - xmin
MEDIDAS DE DISPERSIÓN RELATIVAS
COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON: Cuando se quiere comparar el
grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas
unidades o que las medias no son iguales se utiliza el coeficiente de variación
de Pearson que se define como el cociente entre la desviación típica y el valor
absoluto de la media aritmética
CV representa el número de veces que la desviación típica contiene a la media
aritmética y por lo tanto cuanto mayor es CV mayor es la dispersión y menor la
representatividad de la media.
Medidas de Forma
Comparan la forma que tiene la representación gráfica, bien sea el histograma
o el diagrama de barras de la distribución, con la distribución normal.
MEDIDA DE ASIMETRÍA
Diremos que una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su
media aritmética coinciden.
Diremos que una distribución es asimétrica a la derecha si las frecuencias
(absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la
izquierda.
Si las frecuencias descienden más lentamente por la izquierda que por la
derecha diremos que la distribución es asimétrica a la izquierda.
84
Existen varias medidas de la asimetría de una distribución de frecuencias. Una
de ellas es el Coeficiente de Asimetría de Pearson:
Su valor es cero cuando la distribución es simétrica, positivo cuando existe
asimetría a la derecha y negativo cuando existe asimetría a la izquierda.
MEDIDA DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS
Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda.
Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:
Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor
de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución
normal). Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración
alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución platicúrtica:
presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales
de la variable.
EJEMPLO 1
El número de diás necesarios por 10 equipos de trabajadores para terminar 10
instalaciones de iguales características han sido: 21, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60,
71, y 80 días. Calcular la media, mediana, moda, varianza y desviación típica
SOLUCIÓN:
La media: suma de todos los valores de una variable dividida entre el número
total de datos de los que se dispone:
La mediana: es el valor que deja a la mitad de los datos por encima de dicho
valor y a la otra mitad por debajo. Si ordenamos los datos de mayor a menor
observamos la secuencia:
15, 21, 32, 59, 60, 60,61, 64, 71, 80.
85
Como quiera que en este ejemplo el número de observaciones es par (10
individuos), los dos valores que se encuentran en el medio son 60 y 60. Si
realizamos el cálculo de la media de estos dos valores nos dará a su vez 60,
que es el valor de la mediana.
La moda: el valor de la variable que presenta una mayor frecuencia es 60
La varianza S2: Es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada
valor de la variable y la media aritmética de la distribución.
Sx2=
La desviación típica S: es la raíz cuadrada de la varianza.
S = √ 427,61 = 20.67
El rango: diferencia entre el valor de las observaciones mayor y el menor
80 - 15 = 65 días
El coeficiente de variación: cociente entre la desviación típica y el valor
absoluto de la media aritmética
CV = 20,67/52,3 = 0,39
EJEMPLO 2
El precio de un interruptor magentotérmico en 10 comercios de electricidad de
una ciudad son : 25, 25, 26, 24, 30, 25, 29, 28, 26, y 27 Euros. Hallar la media,
moda, mediana, (abrir la calculadora estadística, más abajo) diagrama de
barras y el diagrama de caja.
SOLUCIÓN:
Utilizar la calculadora de debajo)
86
El diagrama de cajas: caja desde Q1 a Q3 (50% de los datos), bigotes el
recorrido]
COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON
El coeficiente de asimetría de Pearson mide la desviación respecto de la
simetría expresando la diferencia entre la media y la mediana en relación con la
desviación estándar del grupo de medidas. Las fórmulas son:
En una distribución simétrica, el valor del coeficiente de asimetría será siempre
de cero, porque la media y la mediana son iguales entre sí en valor En una
distribución asimétrica positiva, la media siempre es mayor que la mediana; en
consecuencia, el valor del coeficiente es positivo. En una distribución
asimétrica negativa, la media siempre es menor que la mediana; por lo tanto, el
valor del coeficiente es negativo.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN - VARIANZA Y DESVIACIÓN
Así como las medidas de tendencia central nos permiten identificar el punto
central de los datos, las Medidas de dispersión nos permiten reconocer que
tanto se dispersan los datos alrededor del punto central; es decir, nos indican
cuanto se desvían las observaciones alrededor de su promedio aritmético
(Media). Este tipo de medidas son parámetros informativos que nos permiten
conocer como los valores de los datos se reparten a través de eje X, mediante
un valor numérico que representa el promedio de dispersión de los datos. Las
medidas de dispersión más importantes y las más utilizadas son la Varianza y
la Desviación estándar (o Típica).
VARIANZAEsta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada
uno de los valores respecto a su punto central (Media ). Este promedio es
calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de
eliminar los signos negativos), y calculando su promedio o media; es decir,
sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la
87
media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se
tengan. Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de
un conjunto), la ecuación sería:
Donde ( ) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( )
representa la media poblacional y (N) es el número de observaciones ó tamaño
de la población. En el caso que estemos trabajando con una muestra la
ecuación que se debe emplear es:
Donde (S2) representa la varianza, (Xi) representa cada uno de los valores, ( )
representa la media de la muestra y (n) es el número de observaciones ó
tamaño de la muestra. Si nos fijamos en la ecuación, notaremos que se le resta
uno al tamaño de la muestra; esto se hace con el objetivo de aplicar una
pequeña medida de corrección a la varianza, intentando hacerla más
representativa para la población. Es necesario resaltar que la varianza nos da
como resultado el promedio de la desviación, pero este valor se encuentra
elevado al cuadrado.
Desviación estándar o Típica
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación de
los datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da
como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia
que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta
con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
88
Para comprender el concepto de las medidas de distribución vamos a suponer
que el gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los
pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta
por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos
tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos
respectivamente.
Por lo que su media es:
La varianza sería:
Por lo tanto la desviación estándar sería:
Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507
gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en
12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuanto es el
promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da
las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
89
CAPITULO IX
9.1 MEDIDAS DE FORMA
Proporcionan un valor numérico para saber hacia qué lado de la
distribución hay mayor acumulación de frecuencias y si la concentración central
de frecuencias es mayor que en los extremos o viceversa sin tener que graficar
los datos.
Momento Respecto de la Media: El r-ésimo momento respecto a la media
aritmética es:
Datos No Agrupados:
n
xxm
n
1i
r
i
r
Datos Agrupados:
n
xxfm
n
1i
r
ii
r
El primer momento respecto a la media (r=1) siempre es igual a cero.
El segundo momento respecto a la media (r=2) es la varianza poblacional.
Sesgo: Es el grado de asimetría que tiene la distribución. La distribución puede
ser:
- Insesgada: Si tiene forma de campana y el área acumulada del centro de la
distribución a la derecha es igual a la que se acumula a la izquierda.
Moda=Mediana=MediaInsesgada
90
- Con sesgo positivo o a la derecha: Si tiene la mayor acumulación de
frecuencias a la izquierda y una cola larga a la derecha.
- Con sesgo negativo o a la izquierda: Si la mayor acumulación está a la
derecha y tiene una cola larga a la izquierda.
Coeficiente Momento de Sesgo (a 3): se calcula dividiendo el tercer momento
respecto a la media entre la desviación estándar al cubo:
Datos No Agrupados:
3
n
1i
3
i
33
3 ns
xx
S
ma
Datos Agrupados:
3
k
1i
3ii
33
3 ns
xxf
Sma
91
Curtosis: Mide qué tan puntiaguda es una distribución, con respecto a la
Normal.
La distribución puede ser:
- Mesocúrtica: solo la distribución Normal (es el término medio).
- Leptocúrticas: Las distribuciones más puntiagudas que la Normal.
- Platocúrticas: Las distribuciones menos puntiagudas que la Normal.
Coeficiente momento de curtosis (a4): se calcula dividiendo el cuarto
momento respecto a la media entre la varianza al cuadrado (o la desviación
estándar a la cuarta).
Coeficientemomentode sesgo
Sesgo
a3 = 0 No hay sesgo. Ladistribución esinsesgada
a3 > 0 La distribución tienesesgo positivo o a laderecha.
a3 < 0 La distribución tienesesgo negativo o a laizquierda.
92
Datos No Agrupados:
3
n
1i
4
i
44
4 ns
xx
S
ma
Datos Agrupados:
4
k
1i
4ii
44
4 ns
xxf
Sma
9.2 MEDIDAS DE CONCENTRACIÓN
En una distribución, ni la media ni la varianza son explicativas de la
mayor o menor igualdad en el reparto; para esto usamos las medidas de
concentración.
Consideremos que la variable en cuestión es el salario. Una distribución muy
concentrada indica que pocos individuos reciben la mayor parte del total,
mientras que poca concentración supone que todos los individuos tienen un
reparto igualitario.
Coeficientemomentode curtosis
Curtosis
a4 = 3 La distribución esMesocúrtica.
a4 > 3 La distribución esLeptocúrtica.
a4 < 3 La distribución esPlatocúrtica.
93
Indice de Gini:
1k
1ii
1k
1iii
p
qpIg
donde:
k = número de clases, renglones o categorías
pi = la proporción acumulada de individuos = f
n100i = fra x 100
qi = la proporción acumulada del total del producto de fi* xi
0 Ig 1
Si Ig=0, la variable está menos concentrada (mejor repartida).
Si Ig=1, la variable está más concentrada (peor repartida).
Curva de Lorenz: Se grafican los valores de la proporción acumulada de
individuos (p) y la proporción acumulada del total de la variable (q).
La función identidad representa la igualdad absoluta, es decir, a la variable
cuando no está concentrada (la recta a 45 grados). La desigualdad absoluta o
máxima concentración de la variable indicaría que un solo individuo tenga el
total de la variable (el triángulo inferior).
Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz a la diagonal, mas igualitario será
el reparto (Ig = 0). Cuanto más se acerque la Curva de Lorenz al triángulo
inferior, mas concentrada esta la variable (Ig = 1).
94
El Indice de Gini calcula el área entre la diagonal y la Curva de Lorenz, como
un porcentaje del área del triángulo inferior de la gráfica (mide la desigualdad
relativa).
Ejemplo:
La información que se presenta a continuación representa el salario de los 300
empleados de una empresa y nos interesa saber la concentración de los datos.
0391.0
67.9633.6309.117.5
p
qpIg 1k
1ii
1k
1iii
Como podemos observar el resultado
refleja que no hay mucha concentración de los datos, es decir, los datos se
encuentran bien distribuidos.
Salario
Mensual (en miles)
No. deempleados
Marca declase
F * x Fra = P H Q P - Q
8 - 10 190 9 1710 63.33 58.163 58.16 5.17
10 - 12 100 11 1100 96.67 37.42 95.58 1.09
12 - 14 10 13 130 100.00 4.42 100.00 0
95
9.3 PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
Ejemplo #1:
Variable Continua:
La tienda CABRERA’S Y ASOCIADOS estaba interesada en efectuar
un análisis de sus cuentas por comprar. Uno de los factores que más
interesaba a la administración de la tienda era el de los saldos de las cuentas
de crédito. Se escogió al azar una muestra aleatoria de 30 cuentas y se anotó
el saldo de cada cuenta (en unidades monetarias) como sigue:
77.97 13.02 17.97 89.19 12.18 8.15 34.40 43.13 79.61 90.99
43.66 29.75 7.42 93.91 20.64 21.10 17.64 81.59 60.94 43.97
32.67 43.66 51.69 53.40 68.13 11.10 12.98 38.74 70.15 25.68
Solución:
1. A= ( 7.42, 8.15, …, …, …, 90.99, 93.91 )
donde: X1 = valor mínimo = 7.42
Xn= valor máximo = 93.91
2. Efectuar el arreglo ordenado de la población o muestra:
R = valor mayor – valor menor = Xn – X1 = 93.91 – 7.42 = 86.49
3. Encontrar el rengo o recorrido de los datos: "R"
K=1+3.322(log N)
Nota: en el ejemplo en estudio N=30 por cuanto que son 30 clientes en la
muestra:
K = 1 + 3.322 (log 30)
= 1 + 3.322 (1.477) el log fue obtenido según calculadora
= 1+ 4.9069
= 5.9069 ~6 aproximado al siguiente entero
4. Encontrar en número de clases "K" , según la fórmula de Sturges:
96
5. Determinar la amplitud de la clase: "C"
Nota: obsérvese que se va a trabajar con una cifra significativa más cómoda, o
sea como los datos están dados en centésimos, se calculo C hasta los
milésimos para evitar que algún dato coincida con el límite de clases
Clases P.M.
Xi
fi fr fa↓ fa↑ fra↓ fra↑
7.420 – 21.835 14.628 10 0.33 10 30 0.33 1.00
21.835 – 36.250 29.043 4 0.13 14 20 0.46 0.67
36.250 – 50.665 43.458 5 0.17 19 16 0.63 0.54
50.665 – 65.080 57.873 3 0.10 22 11 0.73 0.37
65.080 – 79.495 72.288 3 0.10 25 8 0.83 0.27
79.495 – 93.910 86.703 5 0.17 30 5 1.00 0.17
Total XXX 30 1.00 XXX XXX XXX XXX
Simbología utilizada:
XI = Punto medio o marca de clases
fi = frecuencia absoluta
fr = frecuencia relativa
fa↓ = frecuencia absoluta acumulada descendente
fa↑ = frecuencia absoluta acumulada ascendente
fra↓ = frecuencia relativa acumulada descendente
97
fra↑ = frecuencia relativa acumulada ascendente
Nota:
i. Obsérvese que el límite inferior de la primera clase es el valormínimo ( X1=7.42 ) y el límite superior es el resultado de X1+C =
7.42+14.415 = 21.835.ii. El límite inferior de la siguiente clase es igual al límite superior de la
clase anterior y el límite superior es el resultado de adicionarlenuevamente la amplitud de la clase ( C ).
iii. Obsérvese que el límite superior de la última clase es igual al valormayor ( Xn=93.91 )
OTROS PROBLEMAS
Problema #1: Variable Continua
En la siguiente tabla se presentan los pesos de 40 estudiantes de
la Universidad de Panamá, con una aproximación de una libra.
138 164 150 132 144 125 149 157
146 164 140 147 136 148 152 144
168 126 138 176 163 118 154 165
146 173 142 147 135 153 140 135
161 145 135 142 150 156 145 126
a. Construya una tabla de distribución de frecuencias, indicando las
frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas
acumuladas.
b. Construya un histograma, un polígono de frecuencias y una ojiva de la
distribución.
98
Problema #2: Variable Discreta:
Una encuesta entre un grupo de madres-solteras, para analizar
los problemas económicos que enfrentan, en determinada comunidad; arrojó
los siguientes resultados acerca del número de niños en el hogar.
1 4 2 3 5 3 5 3 3 5
1 1 2 1 4 1 2 1 4 1
2 1 1 2 1 2 3 2 3 3
3 1 3 4 1 1 3 5 4 2
2 5 1 4 2 3 1 2 5 1
a. Construya una tabla de distribución de frecuencias y sus respectivas
representaciones gráficas.
Problema #3:
Una compañía de transmisiones electrónicas registro como sigue el número de
recibos de servicios prestados por cada una de sus 20 sucursales en el último
mes:
808 641 628 731 641 446 342 545 910 568
335 459 727 848 229 347 309 649 575 757
La compañía piensa que una tienda realmente no puede esperar alcanzar
financieramente el punto de equilibrio con menos de 456 servicios prestados
mensualmente. Además su política es dar un bono financiero al gerente que
genere más de 683 servicios al mes. Disponga los datos en una arreglo e
indique cuántas sucursales no están consiguiendo el punto de equilibrio y
cuántas ganan el bono.
99
Problema #4:
Una agencia de viajes ofrece precios especiales en ciertas travesías por el
Caribe. Planea ofrecer varios de estos paseos durante la próxima temporada
invernal en el hemisferio norte y desea enviar folletos a posibles clientes. A fin
de obtener el mayor provecho por cada unidad monetaria gastada
enpublicidad, necesita la distribución de las edades de los pasajeros de
travesías anteriores. Se consideró que si participaban pocas personas de un
grupo de edad en los paseos no sería económico enviar un gran número de
folletos a personas de ese grupo de edad. La agencia seleccionó una muestra
de 40 clientes anteriores de sus archivos y se registró sus edades, como sigue:
77 18 63 84 38 54 50 59
54 56 36 50 50 34 44 41
58 58 53 62 62 43 52 53
63 62 62 61 61 52 60 60
45 66 83 63 63 58 61 71
a. Organice los datos en una tabla de distribución de frecuencias de las
edades de los clientes en la muestra
b. ¿Cuál grupo de edad presenta la mayor frecuencia relativa? ¿Cuál la
menor frecuencia relativa?.
c. Saque conclusiones que puedan ayudar a la agencia a planear una
campaña de publicidad para los paseos invernales
OTROS PROBLEMAS RESUELTOS
1. El siguiente cuadro muestra las calificaciones del Segundo Año de
Educación
Básica de la asignatura de Lenguaje en un Centro Educativo
100
19 18 14 20 16
15 19 18 17 18
18 20 19 16 18
18 17 20 17 19
19 20 19 18 18
Procedamos a presentar los datos en un cuadro estadístico, ordenado en forma
descendente.
Calificaciones del Segundo Año de Educación Básica de la asignatura de
Lenguaje en un Centro Educativo:
¿Cómo lo hicimos?
n = 25
Ejemplo:
Estas son las estaturas en cm de un grupo de jóvenes
150 153 156 150 154 154 155 152 154
149 158 154 161 159 152 149 150 146
155 162 145 157 148 161 149 154 151
101
Como podemos observar las estaturas son muy variadas. ¿Qué hacer para una
mayor comprensión?.
Usted tiene la respuesta. Agruparlas en intervalos
Para ello agrupemos en intervalo de 3, en forma ascendente
TENGA PRESENTE QUE:
Que en este tipo de distribuciones que si un valor corresponde al límite entre
dos intervalos, debemos anotarlo en el intervalo superior.
ACTIVIDADES:
1. Los siguientes datos se obtuvieron al preguntar a las alumnas del 10mo. año
de
Educación Básica su edad:
15 16 14 13 12 17 12 14 15 16 13 15 16 16 13 14 16
12 14 16 12 13 16 14 15 13 12 12 13
a) Ordene los datos en forma ascendente y descendente b) Calcule la amplitud
c) Elabore una tabla de frecuencia
d) Halle el porcentaje de las alumnas que tienen 17 años
e) Conteste: ¿Cuántas alumnas tienen 15 años?
2. Llene los espacios en blanco de la siguiente tabla correspondiente a
estaturas en cm.
102
SERIE I: MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA SIMPLE
Supongamos que en un curso de 10 alumnos las calificaciones en la asignatura
de matemáticas fueron: 20, 15, 12, 18, 12, 17, 15, 16, 19, 17. Encontremos la
media aritmética.
SOLUCIÓN.
La media aritmética simple se obtiene con la fórmula:
SERIE 2.MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE
FRECUENCIA
Para determinar la media aritmética de una serie estadística de frecuencia
multiplicamos
la variable por la frecuencia respectiva, posteriormente sumamos estos
productos y
Dividimos por el número de casos, su fórmula es:
103
Ejemplo
Los datos del siguiente cuadro estadístico corresponden a estaturas en cm. de
25 alumnos
de la especialidad de Físico Matemáticas de la UTPL.
SERIE 3. MEDIA ARITMÉTICA DE UNA SERIE ESTADÍSTICA DE
INTERVALOS
Para determinar la media aritmética de una serie estadística de intervalos
podemos seguir el siguiente procedimiento:
? Obtenemos los puntos medios de la serie
? Multiplicamos las frecuencias por las marcas de clase o puntos medios
? Sumamos los productos por las marcas de clase o puntos medios
? Por último dividimos la suma obtenida por el número de elementos de la serie
Ejemplo:
La presente tabla de frecuencia muestra de calificaciones de 35 alumnos del
9no año de
Educación Básica de un Centro educativo de la ciudad de Loja.
104
EJEMPLOS DE CUANTILES
En una clínica de la ciudad de Loja, por medio de una encuesta se pregunto la
edad a los enfermos, se tabulo la información y se obtuvieron los siguientes
resultados.
Determine;
a) El segundo cuartil b) El sexto decil
c) El centil 50
Desarrollo:
a) Primero encuentre la posición del cuartil 2
2 N/4 = 2.105/4 = 52.5
Este valor se localiza en la frecuencia acumulada (próximo mayor).
Observamos que
el intervalo donde se encuentra este valor es (30 – 34 ) y para el calculo
matemático se emplea la fórmula.
105
Quiere decir que Quiere decir que el 50 % de enfermos tienen una edad inferior
a 30,75 años.
b) Calculamos la posición del 6 decil
6N/10 = 6.105/10 = 63
Este valor esta localizado en el mismo intervalo del cuartil 2, para su cálculo
matemático se aplica la fórmula.
106
Es decir el 60% de los enfermos tienen edades inferiores a 33 año.
¿El cálculo del Cserá igual al de la mediana? Justifique su respuesta
AUTOEVALUACIÓN
1. En el paréntesis correspondiente escriba una C o una I si el enunciadoes correctoo incorrecto.
a) El cuartil 50 divide a la serie en dos partes iguales ( )
b) El decil 5 de la siguiente serie: 18,17,15,14,13,12 es 14 ( )
c) El centil 50 de la serie anterior es 3.5 ( )
d) El valor de la mediana es igual al cuartil 2 ( )
2. En los cuadros siguientes determine el valor correspondiente a lasmedidas anotadas
107
OTROS EJEMPLOS DE MEDICION CENTRAL
a) Serie Simple Tipo(I)
Medidas centrales
Mdn =N/2= 7/2 = 3.5(corresponde a 95) Mo ( No hay)
Medidas de dispersión
Rango = VM-Vm 98 – 92 = 6
b) Serie de frecuencias Tipo (II)
Medidas centrales
Mdn=N/2= 40/2 = 20 17 Mo = 16
108
Para el Modo(a) observe en el cuadro que la mayor frecuencia es 12 y que
corresponde a la variable 16. En cambio en el caso anterior no existe puesto
que no hay casos que se repiten.
Medidas de dispersión
Rango = VM-Vm 20 -15 = 5
c) Serie de intervalos o Tipo (III)
Evaluación final de estadística descriptiva
1. Como estadístico residente de Pigs and People (P & P) Airlines, el director
de la división de análisis estadístico le pide recolectar y agrupar los datos sobre
el número de pasajeros que han decidido viajar con P&P. Tales datos
correspondientes a los últimos 50 días aparecen en la siguiente tabla.
68 71 77 83 79
72 74 57 67 69
50 60 70 66 76
109
70 84 59 75 94
65 72 85 79 71
83 84 74 82 97
77 73 78 93 95
78 81 79 90 83
80 84 91 101 86
93 92 102 80 69
a) Realice la tabla de distribución de frecuencia con 6 clases. ¿Está trabajando
con datos continuos o discretos?
b) Construya un Histograma, Polígono de frecuencia y Ojiva
2) Su firma esta introduciendo un nuevo chip de computador del cual se
promociona que realiza cálculos estadísticos mucho más rápidamente que los
que actualmente se encuentran en el mercado. Se hacen 20 cálculos
diferentes, produciendo los tiempos en segundos que se ven más adelante.
Aunque usted no puede tergiversar su producto, usted desea presentar los
resultados de la manera más favorable para su empresa. Determine la media,
la mediana y la moda.
3.2 4.1 6.3 1.9 0.6 5.4 5.2 3.2 4.9 6.2
1.8 1.7 3.6 1.5 2.6 4.3 6.1 2.4 2.2 3.3
2. Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para
empresas de Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares.
58 76 89 45 67 34
64 76 34 65 45 39
79 74 56 71 85 87
74 38 69 79 61 71
69 62 56 38 69 79
71 54 31 69 62 39
110
65 79 47 46 77 66
55 75 62 57 77 36
73 72 64 69 51 50
40 50 74 61 69 73
c) Realice la tabla de distribución de frecuencia con n clases. ¿Está trabajando
con datos continuos o discretos?
d) Construya un Histograma, Polígono de frecuencia y Ojiva
2) Su firma esta introduciendo un nuevo chip de computador del cual se
promociona que realiza cálculos estadísticos mucho más rápidamente que los
que actualmente se encuentran en el mercado. Se hacen 20 cálculos
diferentes, produciendo los tiempos en segundos que se ven más adelante.
Aunque usted no puede tergiversar su producto, usted desea presentar los
resultados de la manera más favorable para su empresa. Determine la media,
la mediana y la moda.
52 43 30 38 30 42 12 46 39 37
34 46 32 18 41 5
3. Los siguientes datos son los ingresos de 60 ejecutivos de marketing para
empresas de Estados Unidos. Los datos están expresados en miles de dólares.
58 76 89 45 67 34
64 76 34 65 45 39
79 74 56 71 85 87
74 38 69 79 61 71
69 62 56 38 69 79
71 54 31 69 62 39
65 79 47 46 77 66
55 75 62 57 77 36
73 72 64 69 51 50
111
40 50 74 61 69 73
e) Realice la tabla de distribución de frecuencia con n clases. ¿Está trabajando
con datos continuos o discretos?
f) Construya un Histograma, Polígono de frecuencia y Ojiva
2) Su firma esta introduciendo un nuevo chip de computador del cual se
promociona que realiza cálculos estadísticos mucho más rápidamente que los
que actualmente se encuentran en el mercado. Se hacen 20 cálculos
diferentes, produciendo los tiempos en segundos que se ven más adelante.
Aunque usted no puede tergiversar su producto, usted desea presentar los
resultados de la manera más favorable para su empresa. Determine la media,
la mediana y la moda.
52 43 30 38 30 42 12 46 39 37
34 46 32 18 41 5
LABORATORIO PARA LA EVALUACION
(Resolver y entregar en grupos de tres estudiantes, equivalen a nota deun parcial)
Problema #1:
Una guardería es una institución elegible para recibir un subsidio destinado a
los servicios sociales del corregimiento, a condición de que la edad promedio
de sus niños no llegue a 9 años. Si los datos siguientes representan la edad de
todos los niños que actualmente asisten a ella:
8 5 9 10 9 12 7 12 13 7 8
a. ¿Llena el requisito para recibir el subsidio?
14,500 15,600 12,500 8.000 7,800
6,500 5,900 10,200 8,800 14,300
13,900
112
b. La guardería del ejemplo anterior puede continuar siendo subvencionada
por la oficina de servicios sociales de la Junta Comunal, mientras el
ingreso anual promedio de la familia cuyos asisten a esa institución no
llegue a B/.12,500.00. El ingreso familiar de los padres de los niños es;
c. ¿Llena esta institución los requisitos para recibir apoyo financiero de la
Junta Comunal del Corregimiento?
d. Si la respuesta a (c) es negativa, ¿cuánto debe disminuir el ingreso
familiar para cumplir esa condición?
e. Si la respuesta a (c) es afirmativa, ¿cuánto puede aumentar el ingreso
familiar promedio, sin que la institución pierda su elegibilidad para recibir el
subsidio?
Problema #2:
Una granja ganadera registro durante febrero el nacimiento de 29 terneros,
cuyos pesos al nacer (en kilogramos) fue el siguiente:
22 31 33 34 35 36 37 38 38 39
40 40 40 41 41 42 42 42 42 42
43 43 44 45 46 46 46 46 50
Los datos anteriores al ser dispuestos en una tabla de distribución de
frecuencias se obtuvo la siguiente tabla resultante.
clases fi
21.5 – 26.5 1
26.5 – 31.5 1
31.5 – 36.5 4
36.5 – 41.5 9
113
41.5 – 46.5 13
46.5 – 51.5. 1
Total 29
Calcule en las dos variantes (datos no agrupados y datos agrupados) la media
aritmética, la mediana y la moda.
Problema #3:
El peso en kilogramos de un grupo de estudiantes del sexo masculino en un
curso de educación física, son los siguientes:
clases fi
52.5 – 57.5 8
57.5 – 62.5 9
62.5 – 67.5 6
67.5 – 72.5 4
72.5 – 77.5 2
77.5 – 82.5. 1
Total 30
Encuentre la media, la mediana y la Moda. Compare los resultados utilizando la
fórmula señalada anteriormente en el texto relativa a la correspondencia entre
estas tres medidas de tendencia central.
114
Problema #4:
Un profesor ha decidido utilizar un promedio ponderado al calcular las
calificaciones finales de los estudiantes que asistieron a su seminario. El
promedio de las tareas hechas en casa representan el 20% de cada
calificación, el examen parcial, 25%; el examen final, 35%; el examen
trimestral, 10% y los problemas de practica, 10%. Con los datos anexos calcule
el promedio final de los cinco estudiantes que asistieron al seminario
Alumno Tarea
escolar
Problemas Examen
trimestral
Examen
parcial
Examen
final
1 85 89 94 87 90
2 78 84 88 91 92
3 94 88 95 86 89
4 82 79 83 84 93
5 95 90 92 82 88
Problema #5:
En 1996 se invirtió un fondo de B7.30,000.00 y durante diez años se
reinvirtieron todos los intereses y dividendos. Al final de los diez años el valor
total del fondo era de B7.49,783.64 ¿Cuál fue la tasa de rendimiento promedio,
computada anualmente sobre la inversión inicial?
Problema #6:
Los siguientes tres automóviles obtuvieron el kilometraje por litro de gasolina
que se indica abajo, después de cubrir un trayecto de 600 km, en una pista de
prueba. ¿Cuál es el promedio de kilómetros por litros para los tres
automóviles?.
115
Automóvil A 12.5 km/lt
Automóvil B 15.6 km/lt
Automóvil C 19.4 km/lt
Problema #7:
Suponga que cada uno de los tres automóviles del problema #6 tenía 10 litros
de gasolina en el tanque. Los autos fueron rodados hasta que se le acabó la
gasolina y los kilómetros por litro fueron los mismos señalados en el problema
anterior. ¿Cuál es el número promedio de kilómetros para los tres
automóviles?. Compare esta respuesta con los que se obtuvieron en el
problema #6.
Problemas de práctica de sumatorias
I. Si x1=4; x2=8; x3=10; x4=12; x5=15; x6=5; x7=4; x8=14; x9=16 lleva a cabo
las siguientes operaciones
II. Dado que
x1=4; x2=6; x3=-5; x4=1;
y1=2; y2=3; y3=5; y4=7;
z1=3; z2=8; z39; z4=10
116
Halla
Respuestas
I.-
1) 22
2) 49
3) 179
4) 73
5) 7(88) = 616
6) 12
II-.
1) 30
117
2) 23
3) 6 + 17 = 23
4) 5(47) = 235
5) 17 + 30 = 47
6) 53
7) 5(8) = 40
8) 1(10) = 10
OTROS PROBLEMAS RESUELTOS
1.-El gerente de una empresa de alimentos desea saber que tanto varían los
pesos de los empaques (en gramos), de uno de sus productos; por lo que opta
por seleccionar al azar cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos
tienen los siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos
respectivamente.
Por lo que su media es:
Con lo que concluiríamos que el peso promedio de los empaques es de 507
gramos, con una tendencia a variar por debajo o por encima de dicho peso en
12 gramos. Esta información le permite al gerente determinar cuanto es el
118
promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los empaques y le da
las bases para tomar los correctivos necesarios en el proceso de empacado.
2.-Ejemplo: Desviación estándar para datos no agrupados
Calcular la desviación estándar al siguiente conjunto de datos muéstrales.
220 215 218 210 210
219 208 207 213 225
213 204 225 211 221
218 200 205 220 215
217 209 207 211 218
PASO 1: Calcular la media aritmética.
PASO 2: Calcular la varianza
En este punto, la varianza es identificada por S2.
PASO 3: Calcular la desviación estándar a partir de la raíz cuadrada de la
varianza.
Los datos se alejan en promedio de la media aritmética en 6,5516 puntos.
3.- Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de
números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
119
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
4.-Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños
de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1
120
Calcular la desviación típica.
5.-.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4
Calcular la desviación típica.
121
6.-Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada
por la siguiente tabla:
122
7.-Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
123
8.-Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la
tabla:
Altura[170,
175)
[175,
180)
[180,
185)
[185,
190)
[190,
195)
[195,
2.00)
Nº de
jugadores1 3 4 8 5 2
Calcular la desviación típica
124
9.-Dada la distribución estadística:
[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 8)
fi 3 5 7 8 2 6
Calcular la desviación típica.
Media
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del
último intervalo.
125
Desviación típica
Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.
10.- Calcular la desviación típica de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Ejercicios de varianza
1.-Calcular la varianza de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
2.-Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
126
3.-Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de
números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
127
4.-Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la
tabla:
Altura[170,
175)
[175,
180)
[180,
185)
[185,
190)
[190,
195)
[195,
2.00)
Nº de
jugadores1 3 4 8 5 2
Calcula la varianza.
xi fi Fi xi · fi xi2 · fi
[1.70, 1.75) 1.725 1 1 1.725 2.976
[1.75, 1.80) 1.775 3 4 5.325 9.453
[1.80, 1.85) 1.825 4 8 7.3 13.324
128
[1.85, 1.90) 1.875 8 16 15 28.128
[1.90, 1.95) 1.925 5 21 9.625 18.53
[1.95, 2.00) 1.975 2 23 3.95 7.802
23 42.925 80.213
5.-Determinar la media o valor esperado de la distribución cuya función
densidad de probabilidad está por la regla de correspondencia:
Solución:
6.-Calcular la varianza para la función densidad
Solución:
129
7.- calcular la varianza de la altura de varios perros
Las alturas (de los hombros) son: 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm.
130
BIBLIOGRAFIA
Bibliográfica Básica
Estadística aplicada a los negocios. Autor: Dr. Mauricio Lefcovich. -2006.
Estadística para negocios – Hanke – Editorial Irwin – 1995
Estadística para Administración y Economía: Mason Lind –2001
Estadística Aplicada : Kazmier -2000
Estadística para Negocios : Heinz Kohler –2000
Estadística : Shaum –2000
*Estadística económica y empresarial : A.M. Montiel –2000
Estadística para Administradores: Richard Levin -2001
BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
Estadística Básica en Administración: Mark Berenson –2000
Métodos de Pronósticos – Makridakis – Editorial Limusa – 1998
Informática para Gestores y Economistas – Casas Luengo / García –
Editorial Anaya – 2000
Estadística Básica en Administración : Mark Berenson –2000
Estadística Fácil : Murria Spiegel -2000
Cálculo de Probabilidades : Rufino Moya -2000
Sierra Bravo. R. Diccionario Practico de Estadística, Ed Paraninfo S.A.
Madrid. España,
Serrano Rodríguez, Javier. Introducción a la Estadística. Ed universitaria
de América LIDA,
Devore, Jay L. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias, Ed
Thomson, 4ta Edición,