1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGÔ MINH TUẤN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC NỘI DUNG

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG TÍCH CỰC HÓA HOẠT

ĐỘNG NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

HÀ NỘI – 2011

2

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC, ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Người hướng dẫn khoa học : PGS. TS NGUYỄN VŨ LƯƠNG

Phản biện 1: PGS. TS. BÙI VĂN NGHỊ

Phản biện 2: TS. NGUYỄN VĂN QUỐC

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ

họp tại : Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội

Vào hồi 17 giờ 15 ngày 25 tháng 02 năm 2012

Có thể tìm hiểu luận văn tai:

- Trung tâm Thông tin – Thư viện , Đại học Quốc gia Hà Nội.

- Phòng Tư liệu Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV của Ban chấp hành Trung ương Đảng

Cộng Sản Việt Nam ( Khóa VII, 1993) đã chỉ rõ: “ Mục tiêu giáo dục – đào tạo

phải hướng vào đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực

giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện

mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ,

văn minh.”

Những sáng tạo trong nghiên cứu toán học phổ thông hiện nay hoặc

những kết quả nghiên cứu mới trong phạm vi kiến thức cơ bản của toán học phổ

thông là vô cùng khó khăn. Chính vì vậy nếu thiếu sáng tạo trong hoạt động

giảng dạy thì chắc chắn hiệu quả dạy học sẽ là rất hạn chế.

Bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng trong toán học, bất đẳng thức

không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong các mô hình

toán học liên tục cũng như rời rạc, trong lí thuyết phương trình, xấp xỉ . .

Nghiên cứu bất đẳng thức dưới nhiều hình thức và phương pháp khác

nhau có thể đem tới cho giáo viên cũng như học sinh nhiều cách tiếp cận, phát

huy tối đa tính sáng tạo và tư duy nghiên cứu khoa học thực sự cho học sinh.

Tuy vậy bất đẳng thức là một nội dung khó, chính vì thế nếu không có sự

lựa chọn kĩ càng và phương pháp phù hợp có thể sẽ dẫn đến việc truyền thụ một

chiều.

Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp dạy học nội

dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông theo hướng tích

cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh”.

2. Lịch sử nghiên cứu

Các sách viết về bất đẳng thức ở cấp trung học phổ thông đã có rất nhiều,

sự phong phú về nội dung của chúng đã được khẳng định qua các ấn phẩm của

các tác giả nổi tiếng trong nước như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương,

2

Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng, Trần Phương, Đặng Kim Hùng 3. Mục

tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận, hình thức và vận dụng được các phương pháp dạy

học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự nghiên cứu nội

dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.

4. Khách thể nghiên cứu và đối tượng nghiên cứu

4.1. Khách thể nghiên cứu

Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông và ôn thi đại

học.

4.2. Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy

học tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ

thông.

5. Phạm vi nghiên cứu

Hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy

học tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ

thông.

6. Giả thuyết khoa học

Áp dụng các hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự

án và dạy học tự nghiên cứu cho nội dung bất đẳng thức trong chương trình

trung học phổ thông có thể giúp cho học sinh nâng cao tư duy, hoàn chỉnh các

kĩ năng chứng minh bất đẳng thức, hình thành khả năng tự học, tự nghiên cứu,

tập luyện cho học sinh phương pháp làm việc nghiên cứu và sáng tạo.

7. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích các tài liệu về

phương pháp dạy học, dạy học tích cực, lí luận chung về dạy học theo mục tiêu

nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự nghiên cứu.

3

- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia, các

thầy cô giáo bộ môn Toán về bất đẳng thức và phương pháp dạy bất đẳng thức

trong chương trình trung học phổ thông.

8. Cấu trúc của luận văn.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài này gồm có 3

chương.

Chương 1: Cơ sở lí luận của đề tài

Chương 2: Xây dựng kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo hướng

tích cực.

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm và những đề xuất.

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

1.1. Dạy học tích cực

1.1.1. Khái niệm dạy học tích cực

Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ để chỉ

những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ

động, sáng tạo của người học

1.1.2. Đặc trưng của các phương pháp dạy học tích cực

1.1.2.1. Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh

Người học - đối tượng của hoạt động "dạy", đồng thời là chủ thể của hoạt

động "học".

1.1.2.2. Thông qua dạy và học rèn luyện phương pháp tự học, tự nghiên cứu

PPDH tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh

không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu

dạy học. Trong các phương pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học.

1.1.2.3. Học tập cá thể phối hợp với học hợp tác, nhóm nghiên cứu

4

Trong một lớp học mà trình độ kiến thức, tư duy của học sinh không thể

đồng đều tuyệt đối thì khi áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp nhận

sự phân hóa về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài

học được thiết kế thành một chuỗi công tác độc lập.

1.1.2.4. Phối hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò

Giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự

điều chỉnh cách học, cần tạo điều kiện thuận lợi để học sinh được tham gia đánh

giá lẫn nhau.

1.1.3. Các phương pháp và hình thức dạy học tích cực

Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ xin phép trình bày ba phương

pháp dạy học tích cực đó là dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học tự nghiên

cứu và dạy học theo dự án chủ đề bất đẳng thức.

1.1.4. Vai trò của giáo viên và học sinh trong dạy học tích cực

1.1.4.1. Vai trò và điều kiện đối với giáo viên trong dạy học tích cực.

Giáo viên không phải là nhân vật trung tâm nhưng là người tạo điều kiện

về phương tiện, là người hướng dẫn, điều khiển, là trọng tài, cố vấn của học

sinh và luôn là người bạn đồng hành nhắc nhở, động viên học sinh tiến bộ.

1.1.4.2. Vai trò của học sinh trong dạy học tích cực

Học sinh đóng vai trò trung tâm, chủ động trong mọi hoạt động học. Đối

với phương pháp dạy học tích cực học sinh không những được tiếp thu kiến

thức mà còn chính là đối tượng tham gia vào quá trình chuyển giao kiến thức,

học sinh tự tìm ra con đường tiếp thu kiến thức dưới sự hướng dẫn, cố vấn của

giáo viên.

1.2. Dạy học theo mục tiêu nhận thức

1.2.1. Khái niệm “Dạy học theo mục tiêu nhận thức”

Dạy học theo mục tiêu nhận thức là một thuật ngữ dùng để chỉ những

phương pháp dạy học, giáo dục sử dụng các thang bậc đánh giá mức độ tư duy

5

của của Bloom, trong đó đặc biệt chú ý đến việc hình thành, phát triển các mức

độ tư duy bậc cao cho học sinh.

1.2.2. Những đặc điểm của bài học thiết kế theo mục tiêu nhận thức

- Ngoài các kiến thức bắt buộc, giáo viên cần thiết kế các hoạt động học

tập mang tính chất nâng cao, buộc học sinh vận dụng những kiến thức đã học ở

nhiều điều kiện khác nhau.

- Mỗi bài soạn thiết kế theo mục tiêu nhận thức phải phù hợp với từng

loại đối tượng học sinh.

- Có nhiều hình thức tổ chức lớp học theo mục tiêu nhận thức, tuy nhiên

trong tất cả các hình thức đó thì giáo viên phải giữ đúng vai trò là người hướng

dẫn, người tổ chức và cố vấn các hoạt động học tập.

- Việc tổ chức thiết kế các chuẩn học tập và kiểm tra, đánh giá trong bài

dạy theo mục tiêu nhận thức cũng cần hướng tới chuẩn chung của lớp, cấp học

và tạo điều kiện để đánh giá được mức tiến bộ, thành quả nghiên cứu và quá

trình học tập của từng (nhóm) học sinh ở một mức nhận thức cao hơn.

- Công nghệ có vai trò lớn trong hình thức dạy học này.

1.3. Dạy học theo dự án

1.3.1. Khái niệm “Dạy học theo dự án”

Dạy học theo dự án là một mô hình dạy học lấy học sinh làm trung tâm,

giúp phát triển kiến thức và các kỹ năng liên quan thông qua nhiệm vụ mang

tính mở, dạy học theo dự án chứa đựng nhiều kỹ thuật dạy học khác nhau.

1.3.2. Những đặc điểm của bài học được thiết kế theo dự án

Học sinh là trung tâm của quá trình dạy học.

Các nhiệm vụ của dự án kích thích khả năng ra quyết định, niềm cảm hứng,

say mê của học sinh trong quá trình thực hiện và tạo ra sản phẩm cuối cùng

Dự án tập trung vào những mục tiêu học tập quan trọng gắn với các chuẩn.

Dự án được phát triển dựa trên những nội dung cốt lõi của chương trình

đáp ứng các chuẩn quốc gia và địa phương. Dự án có các mục tiêu rõ ràng gắn

6

với các chuẩn và tập trung vào những hiểu biết của học sinh sau quá trình học.

Dự án được định hướng theo Bộ câu hỏi khung chương trình.

Câu hỏi khung chương trình sẽ giúp các dự án tập trung vào những hoạt

động dạy học trọng tâm. Có ba dạng câu hỏi khung chương trình: Câu hỏi khái

quát, Câu hỏi bài học và Câu hỏi nội dung.

Dự án đòi hỏi các hình thức đánh giá đa dạng và thường xuyên.

Học sinh sẽ được xem mẫu và hướng dẫn trước để thực hiện công việc có

chất lượng nhất. Cần phải rà soát, điều chỉnh việc đánh giá trong suốt quá trình

thực hiện dự án.

Dự án có liên hệ với thực tế.

Dự án phải gắn với đời sống thực tế của học sinh.

Học sinh thể hiện sự hiểu biết của mình thông qua sản phẩm hoặc quá trình

thực hiện.

Những sản phẩm cuối cùng này giúp học sinh thể hiện khả năng diễn đạt

và làm chủ quá trình học tập.

Công nghệ hiện đại hỗ trợ và thúc đẩy việc học của học sinh.

Học sinh được tiếp cận với nhiều công nghệ khác nhau giúp hỗ trợ phát

triển kỹ năng tư duy. Với sự trợ giúp của công nghệ, học sinh tự chủ hơn với

kết quả cuối cùng, có cơ hội “cá nhân hoá sản phẩm”.

Kỹ năng tư duy là không thể thiếu trong làm việc theo dự án.

Làm việc theo dự án sẽ hỗ trợ phát triển cả kỹ năng tư duy siêu nhận thức

lẫn tư duy nhận thức như hợp tác, tự giám sát, phân tích dữ liệu, và đánh giá

thông tin.

1.3.3. Lập dự án và những quan điểm sai lệch về cách tiếp cận dự án

1.3.3.1.Lập dự án và các bước lập dự án

• Xác định mục tiêu học tập cụ thể bằng cách sử dụng các chuẩn nội dung và

những kỹ năng tư duy bậc cao mong muốn đạt được.

• Thiết lập Bộ câu hỏi khung.

7

• Lập kế hoạch đánh giá.

• Thiết kế các hoạt động.

1.3.3.2.Những quan niệm sai lệch về cách tiếp cận dự án

- Dạy học theo dự án dài và khó giữ được trọng tâm.

- Dạy học theo dự án có nghĩa là thay đổi hoàn toàn phương pháp giảng dạy.

- Dạy học theo dự án có nghĩa là có thêm nhiều việc phải làm.

1.3.4. Bộ câu hỏi khung chương trình

1.3.4.1. Đặt những câu hỏi thích hợp

Đặt được những câu hỏi mở, hấp dẫn là một cách hiệu quả để khuyến khích học

sinh suy nghĩ sâu hơn, tạo nên một ngữ cảnh hiệu quả đối với việc học.

1.3.4.2. Sử dụng Bộ câu hỏi khung chương trình

Bộ câu hỏi khung chương trình được thiết kế lồng ghép vào nhau. Câu hỏi

nội dung hỗ trợ cho Câu hỏi bài học và cho cả Câu hỏi khái quát.

1.3.5. Vai trò của giáo viên, học sinh và công nghệ trong dạy học dự án

1.3.5.1. Vai trò của giáo viên

Nếu lập kế hoạch dự án đòi hỏi giáo viên phải dành nhiều thời gian chuẩn

bị trước đó, thì khi thực hiện dự án, giáo viên sẽ đỡ mất công để chuẩn bị những

kiến thức cơ bản hàng ngày, thực hiện vai trò người hướng dẫn, người trợ giúp

trong suốt các hoạt động dự án.

1.3.5.2. Vai trò của học sinh

Học sinh được đưa ra nhiều quyết định, được cộng tác làm việc, được đưa

ra sáng kiến, được trình bày trước đám đông, và trong nhiều trường hợp, học

sinh được thiết lập kiến thức riêng cho bản thân.

1.3.5.3. Vai trò của công nghệ

Cùng học các kỹ năng mang tính kỹ thuật với học sinh hoặc nhờ học sinh

giúp đỡ như một người cố vấn kỹ thuật là một vài cách để vượt qua chướng

ngại về mặt công nghệ khi giáo viên không thành thạo.

8

1.3.6. Một số chú ý khi thực hiện dạy học dự án

Về hoạt động nhóm.

Làm việc theo nhóm là một kỹ năng sống và là một phần thiết yếu của

môi trường dạy học theo dự án.

Về các chuẩn học tập và Bài kiểm tra.

Các chuẩn được sử dụng nhằm giúp cho việc thiết kế dự án, việc đánh giá

được lên kế hoạch trước và xuyên suốt trong bài học, các bài kiểm tra chỉ là

một trong nhiều loại đánh giá. Phiếu tự đánh giá, Bản kiểm mục và các bài

kiểm tra được coi như các công cụ để đánh giá.

Về tổ chức lớp học.

Lớp học theo dự án là lớp học lấy học sinh làm trung tâm, nơi mà sự hợp

tác, trao đổi và di chuyển là cần thiết. Môi trường lớp học khiến học sinh cảm thấy

thoải mái để chia sẻ ý tưởng, quan điểm, kích thích tư duy bậc cao. Về thời gian

Dạy học theo dự án mất nhiều thời gian. Việc đầu tiên cần phải xác định

rõ ràng là: Dành nhiều thời gian cho phần kiến thức nào? Đáp án cho câu trả lời

này là chìa khóa cho việc quản lý thời gian hiệu quả.

1.4. Dạy học tự nghiên cứu

1.4.1. Khái niệm “Dạy học tự nghiên cứu”

Dạy học tự nghiên cứu có nghĩa là dạy học theo phương pháp nghiên

cứu khoa học, khi đó logic dạy học tuân thủ logic của phương pháp nghiên

cứu khoa học.

1.4.2. Những đặc điểm của dạy học tự nghiên cứu

Đảm bảo và phát huy tối đa tính tích cực, chủ động của người học. Hình

thành phương pháp làm việc khoa học và phát triển hứng thú nhận thức, thỏa

mãn nhu cầu tìm tòi, khám phá của người học. Bảo đảm tốt nhất yêu cầu cá biệt

hóa dạy học, gắn đào tạo với việc giải quyết các nhiệm vụ thực tiễn. Phù hợp

với điều kiện không gian và thời gian của việc đào tạo trong xã hội hiện đại.

9

1.4.3. Vai trò của giáo viên, học sinh và công nghệ trong dạy học tự nghiên

cứu

1.4.3.1. Vai trò của giáo viên

Đối với dạy học tự nghiên cứu, giáo viên giữ vai trò tổ chức, hướng dẫn

và cố vấn, các bước mà họ cần phải làm bao gồm:

- Tổng kết các kiến thức cơ bản cần thiết một cách chi tiết.

- Từ những nội dung đó, biên soạn các nội dung cần tự học và các bài

toán có tính thách thức.

- Hướng dẫn học sinh các kĩ năng chính để giải các bài toán được đặt ra

mà không đưa ra lời giải chi tiết.

- Hướng dẫn học sinh tìm tài liệu tham khảo.

1.4.3.1. Vai trò của học sinh.

Học sinh vừa đóng vai trò người được giảng dạy và được truyền thụ kiến thức

vừa đóng vai trò chủ thể đi tìm hướng giải quyết vấn đề tự nghiên cứu.

1.4.3.1. Vai trò của công nghệ

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tiếp cận với những kiến thức, phương

pháp, kĩ thuật mới bằng cách sử dụng các công nghệ họ có thể có.

1.4.4. Kiểm tra và đánh giá

Trong dạy học tự nghiên cứu, việc kiểm tra, đánh giá diễn ra thường

xuyên và có hệ thống. Liên tục kiểm tra, nhắc nhở và động viên học sinh là điều

rất quan trọng để tạo sức ép cũng như khuyến khích họ tiếp tục công việc tự học

của mình.

1.4.5. Một số chú ý khi thực hiện dạy học tự nghiên cứu

- Giáo viên thực sự phải là người hướng dẫn, tố chức và cố vấn trong tất

cả các khâu của quá trình dạy học.

- Học sinh phải là đối tượng chủ động, tích cực tự học và có khả năng

cũng như mong muốn nghiên cứu vấn đề được giáo viên đưa ra.

- Quá trình dạy học cần rất nhiều tài liệu cũng như thời gian để học sinh

có thể hoàn thành các yêu cầu của bài học.

10

CHƯƠNG 2

XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI DẠY NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC

THEO HƯỚNG TÍCH CỰC

2.1. Kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo mục tiêu nhận thức

2.1.1. Kế hoạch dạy học, kiểm tra và đánh giá

KẾ HOẠCH DẠY HỌC

a. Môn học: Đại số

b. Chương trình: Nâng cao

c. Bài học: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (4 tiết)

d. Họ và tên giáo viên: ……………………., điện thoại: ………………

e. Địa điểm văn phòng bộ môn: ………………………….

f. Các chuẩn của bài học: ( Theo tiêu chuẩn do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban

hành)

g. Yêu cầu về thái độ

Giúp học sinh thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức trong giải

phương trình và bất phương trình cũng như trong các lĩnh vực khác của Toán

học. Giáo dục học sinh đức tính cần cù, cẩn thận, không ngại khó, phương pháp

làm việc khoa học, khả năng tư duy nhạy bén và sáng tạo. Hình thành và phát

triển năng lực tự học, tự nghiên cứu.

h. Mục tiêu chi tiết

1. Ôn tập và bổ

xung tính chất của

bất đẳng thức

2. Bất đẳng thức

về giá trị tuyệt đối

3. Bất đẳng thức

Cô – si

4. Bài tập

i. Khung phân phối chương trình:

11

Dựa theo khung PPCT của Bộ Giáo dục và đào tạo.

Nội dung bắt buộc/ số tiết Tổng

số tiết

Ghi

chú Lý

thuyết Bài tập

Thực

hành Ôn tập

Kiểm

tra

2 2 0 0 0 4

k. Lịch trình chi tiết của bài học:

Dựa theo phân phối chương trình lớp 10 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội.

l. Kế hoạch kiểm tra, đánh giá:

- Kiểm tra thường xuyên: (Có /Không cho điểm) Vấn đáp trên lớp, phiếu học

tập, sử dụng các kĩ thuật kiểm tra, đánh giá nhanh.

- Kiểm tra định kì: Không.

2.1.2. Các phiếu điều tra

Quan điểm của học sinh về nội dung bất đẳng thức.

2.1.3. Bài soạn chi tiết

Tiết 45 - 46. §1 BẤT ĐẲNG THỨC

a. Mục tiêu

a.1. Kiến thức

− Hiểu được các khái niệm, tính chất của bất đẳng thức.

− Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản và tính chất của chúng.

a.2. Kĩ năng

− Chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản

− Vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi,

từ đó giải được các bài toán về chứng minh bất đẳng thức.

−Vận dụng các bất đẳng thức Cô – si , Bđt chứa GTTĐ để giải các bài toán

liên quan

a.3.Thái độ: Tự giác, tích cực trong học tập

b. Phương pháp: Đàm thoại, gợi mở vấn đáp và thảo luận nhóm

12

c. Phương tiện: Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách tham khảo.

d. Tiến trình dạy học:

d.1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số

d.2. Bài mới

Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung

Hoạt động 1: Ôn tập và khái niệm bất đẳng thức

Hoạt động 2: Ôn tập bất đẳng thức hệ quả, tương đương

Hoạt động 3: Ôn tập các tính chất của BĐT

Hoạt động 4: Tìm hiểu các bất đẳng thức Cô – si

Hoạt động 5: Tìm hiểu các ứng dụng của BĐT Cô – si

Hoạt động 6: Tìm hiểu bất đẳng thức chứa dấu GTTĐ

e. Củng cố và hướng dẫn về nhà:

− Tóm tắt nội dung bài.

Tiết 47 - 48. §1 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

a. Mục tiêu

a.1. Kiến thức

a.2. Kĩ năng

− Chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản, đon giản

− Vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi,

từ đó giải được các bài toán về chứng minh bất đẳng thức.

− Hiểu và áp dụng các kĩ thuật biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cô – si

trong các bài tập.

a.3. Thái độ:

b. Phương pháp: Luyện tập, thảo luận nhóm, làm phiếu học tập.

c. Phương tiện: Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách tham khảo.

d. Tiến trình dạy học:

d.1. Ổn định tổ chức:

d.2. Bài mới

13

BĐT Cô-si: Với n số không âm bất kì: 1 2; ;... ( 2)

na a a n ≥ ta luôn có:

1 21 2

......n n

n

a a aa a a

n

+ + +≥ (I)

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1 2

...n

a a a= = = .

e. Các bài tập

Dạng 1: Sử dụng kĩ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức Cô – si.

Bài 1: Cho a > b > 0 chứng minh rằng

2

2

11.1) 3

( )4

1.2) 3( )( 1)

11.3) 2 2.

( )

ab a b

aa b b

ab a b

+ ≥−

+ ≥− +

+ ≥−

Giải:

1.1) Theo BĐT (I) ta có: 31 1

( ) 3 .( ). 3( ) ( )

b a b b a bb a b b a b

+ − + ≥ − =− −

(đpcm).Dấu

bằng xảy ra khi 1; 2.b a= =

1.2) Theo BĐT (I) ta có:

2

42 2

1 1 4 1 4( ) 4 ( )

2 2 2( )( 1) ( )( 1) 4

b b bV T a b a b

a b b a b b

+ + += − + + + ≥ −

− + − + =

Dấu bằng xảy ra khi 1; 2.b a= =

1.3) Theo BĐT (I) ta có:

2

42 2

1 1 44 2 2

2 2 2( ) ( ) 2

a b a b a bV T b b

b a b b a b

− − −= + + + ≥ = =

− − (đpcm). Dấu

bằng xảy ra khi 3 2 2

; .2 2

a b= =

Bài 2: Cho 0x y> ≥ . Chứng minh: 2

322 5

( )(2 3)x

x y y+ ≥

− +.

14

Giải: Ta có:

4

2

64.4(4 4 ) (2 3) (2 3) 6 4 64.4 6

(4 4 )(2 3) = 16 6 10

x y y yx y y

− + + + + + − ≥ −− +

− =

Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi:

3 14 4 2 3 4 ;

2 2x y y x y− = + = ⇔ = = .

........................................................................

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhờ BĐT Cô – si và kĩ thuật

thêm bớt.

Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức: 2 2 2 1.a b c+ + =

Chứng minh:

3ab bc ca

Sc a b

= + + ≥ .

Giải:

Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 ( ) ( ) ( ) 3( )

2 6( ) 6 3 3

a b b c c a a b a c b cS b a c a b c

c a b c b aS a b c S S

= + + + + + + + + + + +

⇒ ≥ + + = ⇒ ≥ ⇔ ≥

(đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi 3

3a b c= = = .

…………………………………….

Bài 7: Cho x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 3; 0 4x y≤ ≤ ≤ ≤ . Tìm

GTLN của biểu thức:

(3 )(4 )(2 3 )A x y x y= − − + .

Giải:

Theo BĐT (I) ta có:

3(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )

2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 63

x y x yx y x y

− + − + +− − + ≤ =

36 6 36A A⇔ ≤ ⇔ ≤ .

Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.

15

2.1.4. Kiểm tra, đánh giá

Giáo viên tổ chức việc kiểm tra học sinh trong giờ học không cho điểm

thông qua các bài tập trên. Sau khi kết thúc 2 giờ bài tập, giáo viên phát phiếu

học tập ở nhà cho các nhóm học sinh. Sau khi các nhóm hoàn thành bài tập,

giáo viên kiểm tra, chỉnh sửa và yêu cầu các nhóm trao đổi phiếu học tập và lưu

lại thành tài liệu tham khảo.

Hệ thống bài tập trong các phiếu học tập và đáp án của chúng

Hoàn thành các bài tập dưới đây bằng cách sử dụng các công cụ đã được

học trong bài vừa qua và viết thành một bài báo cáo chi tiết. Hạn nộp báo cáo

sau 01 tuần.

Bài 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: 6x y+ ≥ .

Tìm GTNN của biểu thức:

6 83 2P x y

x y= + + + .

Giải bài 1: Theo BĐT (I) ta có:

3 6 8 3 3 3 6 8 32. . 2. . .6

2 2 2 2 2 2 2

x y x y x yP

x y x y= + + + + + ≥ + +

6 4 9 19= + + = . Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.

..........................................................................

Bài 11: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

*( , )m n m n m n

n n n

m m m

a b ca b c m n N

b c a

+ + +

+ + ≥ + + ∈

Giải bài 11: Theo BĐT (I) ta có:

( ) ( ) ( )

nm n m n

n n m nm nm m

a an mb m n b m n a

b b

+ +

+

+ ≥ + = +

.

Tương tự ta cũng có: ( ) ; ( )m n m n

n n n n

m m

b cn mc m n b n ma m n c

c a

+ +

+ ≥ + + ≥ + . Cộng các

BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

16

Chú ý: Nếu 1m n= = thì ta có BĐT : 2 2 2

.a b c

a b cb c a+ + ≥ + +

………………………………………..

Bài 20: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT:

3

2

xy yz zx

xy z yz x zx y+ + ≤

+ + +.

Giải bài 20:

Do ( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z+ = + + + = + + nên theo BĐT (I) ta có:

1.

2

xy x y x y

xy z x z y z x z y z

= ≤ + + + + + +

.

Tương tự ta cũng có:

1

2

yz y z

yz x x y x z

≤ + + + +

; 1

2

xz x z

xz y x y y z

≤ + + + +

Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi 1 / 3x y z= = = .

Đề kiểm tra (Dùng để thực nghiệm)

Bài 1: Cho ba số không âm a, b, c.

Chứng minh: 3 3 3 2 2 2a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + .

Bài 2: Ba số thực a, b, c thỏa mãn hệ thức: 6 6 6 3a b c+ + = .

Hãy tìm GTLN của biểu thức 2 2 2S a b c= + +

Bài 3: Cho x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 3; 0 4x y≤ ≤ ≤ ≤ .

Tìm GTLN của biểu thức: (3 )(4 )(2 3 )A x y x y= − − + .

Đáp án

Đáp án bài 1: Theo BĐT Cô – si ta có:

( )43 3 3 3 3 3 264 6 6a b c a b c a bc+ + ≥ = ;

Tương tự ta cũng có: 3 3 3 2 3 3 3 24 6 ; 4 6b c a b ca c a b c ab+ + ≥ + + ≥

Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu

bằng xảy ra khi a = b = c.

17

Đáp án bài 2: Theo BĐT (I) ta có:

6 2 6 2 6 21 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S+ + ≥ + + ≥ + + ≥ ⇒ ≥ ⇔ ≥

Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.

Đáp án bài 3: Theo BĐT (I) ta có:

3(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )

2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 63

x y x yx y x y

− + − + +− − + ≤ =

36 6 36A A⇔ ≤ ⇔ ≤ .

Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.

2.2. Kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo dự án

2.2.1. Kế hoạch bài dạy

KẾ HOẠCH BÀI DẠY THEO DỰ ÁN

Người soạn

Họ và tên

Huyện

Thành Phố

Trường

Tổng quan về bài dạy

Tiêu đề bài dạy

Các kỹ năng chứng minh bất đẳng thức

Tóm tắt bài dạy

Bài dạy nhằm giúp học sinh hệ thống và thực hành các kỹ năng giải quyết một

số dạng bài toán thuộc dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kì thi đại học,

thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố hoặc quốc gia.

Lĩnh vực bài dạy

- Toán học

Cấp/ Lớp: Lớp 12 nâng cao, trường THPT.

Thời gian dự kiến: 1 tháng

Chuẩn kiến thức cơ bản

18

Chuẩn nội dung và quy chuẩn

Hệ thống được một số kỹ năng giải quyết các bài toán bất đẳng thức thường

gặp trong các kì thi đại học hay thi học sinh giỏi các cấp trong nước và

phương pháp giải cụ thể được nêu kèm ví dụ minh họa.

Mục tiêu đối với học sinh/ kết quả học tập

- Tổng kết và phân loại được các kỹ năng cơ bản, các phương pháp giải tổng

quát hay một lớp các dạng bài tập bất đẳng thức đại số hoặc lượng giác.

Bộ câu hỏi định hướng:

Câu hỏi khái quát: Làm thế nào để chinh phục được các bài toán bất đẳng

thức trong các kì thi học sinh giỏi ?

Câu hỏi bài học: Những kỹ năng nào thường được sử dụng khi giải các bài

toán bất đẳng thức trong các bài thi đại học hoặc học sinh giỏi?

Câu hỏi nội dung:

1. Có phương pháp chung để giải các bài toán bất đẳng thức đại số không? Có

thể có những dạng bài toán bất đẳng thức đại số nào có chung một kỹ năng

giải giống nhau ? Phương pháp giải của chúng?

2. Các bài toán bất đẳng đại số có thể quy về các bất đẳng thức lượng giác

được hay không? Có mối liên hệ nào để nhận ra điều đó?

3. Có phân loại được các dạng bài tập bất đẳng thức không và chia chúng theo

nhóm phương pháp hay kỹ năng nào?

Kế hoạch đánh giá

Lịch trình đánh giá

Trước khi bắt đầu

dự án

Học sinh thực hiện dự án và

hoàn tất công việc

Sau khi hoàn tất

dự án

Tổng hợp đánh giá

19

Công cụ đánh giá:

- Xây dựng các rubric đánh giá bài viết.

- Xây dựng các rubric đánh giá tinh thần làm việc

( hợp tác theo nhóm, Nếu làm việc theo nhóm)

- Xây dựng rubric đánh giá việc trình bày kết quả.

Người đánh giá:

- Giáo viên và học sinh.

Thời điểm đánh giá:

- Kết thúc bài dạy (Sau 1 tháng).

Minh chứng đánh giá:

- Bài viết của học sinh.

- Biên bản làm việc nhóm.

Chi tiết bài dạy

Các kĩ năng thiết yếu

- Các kĩ năng cần thiết để giải toán

- Kĩ năng nghiên cứu và tổng hợp tài liệu

- Kĩ năng trình bày khoa học và logic.

Các bước tiến hành bài dạy

Bước 1: Giáo viên nêu tên dự án , thống nhất tiêu chí đánh giá sản phẩm.

Bước 2: ( Thời gian 2 tuần - ở nhà)

- Mỗi nhóm học sinh đọc tài liệu tham khảo, giải, hệ thống các dạng toán,.

- Giáo viên đôn đốc, tư vấn, hỗ trợ.

Bước 3: ( Thời gian 90’)

- Học sinh trình bày dự án đã hoàn thành. Các nhóm thảo luận góp ý kiến.

Bước 4: (Thời gian 90 phút)

- Đánh giá hiệu quả làm việc của từng nhóm bằng một bài kiểm tra.

Bước 5: ( Thời gian 90 phút)

Giáo viên tổng kết thành cách giải quyết hiệu quả nhất cho dự án.

20

Nhiệm vụ của học sinh.

- Làm bài tập và các nhiệm vụ giáo viên giao.

Điều chỉnh phù hợp đối tượng

Học sinh tiếp thu chậm Không dành cho học sinh tiếp thu chậm

Học sinh học kém tiếng Anh Giáo viên hỗ trợ trong quá trình đọc hiểu

Học sinh có năng khiếu Toán Chủ động tìm thêm tài liệu, phát triển

hướng nghiên cứu tiếp theo.

Công nghệ - Phần cứng ( Đánh dấu vào các thiết bị cần thiết )

Công nghệ - phầm mềm ( Đánh dấu vào những phần mềm cần thiết)

Yêu cầu khác Nếu có

2.2.2. Tài liệu hỗ trợ học sinh (Bài giảng hỗ trợ kĩ năng)

*Kĩ thuật đồng bậc hóa bất đẳng thức

- Khái niệm bất đẳng thức đồng bậc.

- Phương pháp đồng bậc và các ví dụ.

* Kĩ thuật chuẩn hóa bất đẳng thức

Xét bất đẳng thức dạng ( ) ( )1 2 1 2, , ..., , , ...,

n nf x x x g x x x≥ trong đó f và g là hai đa

thức thuần nhất đồng bậc. Khi đó ta có thể chuyển bất đẳng thức đã cho trở thành

dạng: ( )1 2, , ...,

nf x x x α≥ với điều kiện: ( )1 2

, , ...,n

g x x x α=

Việc làm như vậy được gọi là chuẩn hóa bất đẳng thức. Sau đó xét một số ví

dụ chuẩn hóa bất đẳng thức.

* Kĩ thuật sử dụng bộ 3 biến đối xứng pqr

Tất cả các BĐT đối xứng ba biến số đều có thể quy về hàm đối xứng

, ,p x y z q xy yz xz r xyz= + + = + + =

Sau đó xét một số ví dụ chứng minh bất đẳng thức bắng cách đưa về bộ ba biến

đối xứng và sử dụng bất đẳng thức Schur.

* Kĩ thuật lượng giác hóa

21

Sử dụng kĩ thuật này nhằm biến một bất đẳng thức đại số thành một bất

đẳng thức lượng giác và lợi dụng các tính chất đặc biệt của các hàm số lượng

giác để làm cho chúng “dễ chứng minh hơn”.Cụ thể bằng việc xét các ví dụ

minh họa.

2.2.3. Kiểm tra, đánh giá sau dự án

2.2.3.1. Đề thi đánh giá hiệu quả làm việc của học sinh sau dự án.

2.2.3.2. Biên bản làm việc nhóm

Đây là căn cứ để giáo viên đánh giá nhiệm vụ và mức hoàn thành nhiệm

vụ của từng thành viên trong các nhóm.

2.2.3.3. Rubric đánh giá sự hợp tác

- Phiếu tự đánh giá làm việc nhóm

2.2.3.4. Phiếu đánh giá bài báo cáo

2.2.3.5. Phiếu đánh giá bài trình bày báo cáo bằng lời

2.2.3.6. Phiếu hỏi ý kiến học sinh sau dự án.

2.3. Kế hoạch bài dạy tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức

2.3.1. Kế hoạch bài dạy

- Giáo viên tổng kết các nội dung cơ bản cần nắm được về tính chất của tiếp

tuyến và hàm lồi, lõm trên một khoảng.

- Giáo viên gợi ý các tài liệu tham khảo.

- Giáo viên phát phiếu học tập trong đó bao gồm các bài toán cần giải.

- Giáo viên hướng dẫn các kĩ năng giải bài toán.

2.3.2. Hợp đồng học tập, kiểm tra và đánh giá

- Hợp đồng học tập

- Kiểm tra, đánh giá.

- Các bài tập bổ xung

22

CHƯƠNG 3

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM VÀ NHỮNG ĐỀ XUẤT

3.1. Thực nghiệm sư phạm và các kết quả so sánh đối chứng

3.1.1. Mục đích, nhiệm vụ, phương pháp và hình thức thực nghiệm

3.1.1.1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu quả

của đề tài trên thực tế áp dụng đồng thời bổ xung trở lại nội dung của đề tài

cũng như đề xuất các cải tiến trên các phương diện liên quan đến quá trình dạy

học và giáo dục trong nhà trường.

3.1.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm

- Thực hiện giảng dạy theo các phương pháp bao gồm dạy học theo mục

tiêu nhận thức, dạy học tự nghiên cứu, dạy học theo dự án nội dung bất đẳng

thức ở 3 lớp bao gồm 1 lớp 10 và 2 lớp 12 với những đối tượng có trình độ khác

nhau để đánh giá tính khả thi của đề tài trong thực tế.

3.1.1.3. Phương pháp và hình thức thực nghiệm

Giảng dạy trực tiếp trên các lớp với các thiết kế bài giảng đã trình bày ở

chương 2 của luận văn này.

3.1.2. Quy trình thực nghiệm và các kết quả

Các bước tiến hành thực nghiệm đối với lớp 10A1 bám sát kế hoạch bài

giảng. Bài kiểm tra đánh giá thực nghiệm tiến hành với lớp đối chứng là 10A2

- Biểu đồ so sánh kết quả đối chứng. 10A2 ; 10A1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yếukém

TrungBình

Khá Giỏi

23

Một số kết luận:

- Lựa chọn phương pháp dạy học có vai trò quan trọng có liên quan chặt

chẽ với nội dung dạy học.

- Vệc dạy thực nghiệm đã đạt kết quả tốt và thiết kế bài giảng có tính

khả thi.

3.1.2.1. Một số kết quả báo cáo của học sinh sau dự án

* Sử dụng các kĩ thuật đồng bậc, chuẩn hóa, pqr, lượng giác hóa …. để chứng

minh một số bất đẳng thức đại số:

3.1.2.2. Một số kết quả tự nghiên cứu của học sinh

* Sử dụng bất đẳng thức Jensen và các hệ quả để chứng minh một số bất đẳng

thức đại số và lượng giác.

3.2. Các đề xuất

3.2.1. Về phương diện phương pháp, hình thức và quản lí

3.2.1.1. Về phương diện phương pháp

Nói chung trong tình hình dạy học hiện nay, các phương pháp dạy học

tiên tiến, hiện đại cũng đã được giáo viên cố gắng khai thác, áp dụng và chỉnh

sửa để phù hợp đối tượng học sinh Việt Nam cũng như cơ sở vật chất, trang

thiết bị chúng ta có.

3.2.1.2. Về phương diện hình thức và quản lý

Mỗi hình thức, phương pháp dạy học đều cần một cách quản lí tương

thích.

3.2.2. Về phương diện nội dung

Không phải nội dung nào trong chương trình cũng có thể áp dụng một

hay tất các các phương pháp dạy học kể trên, tùy vào tình hình học sinh cụ thể,

mức độ đáp ứng của cơ sở vật chất và khả năng của giáo viên mà ta có thể linh

hoạt áp dụng một phương pháp dạy học tích cực với một nội dung dạy học nào

đó.

24

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN

Trong xu thế hội nhập và phát triển mạnh mẽ như hiện nay, phương pháp

dạy học cũng đang tiếp cận chuẩn quốc tế.

2. Luận văn đã trình bày được những khái niệm, tính chất và các đặc điểm

của phương pháp dạy học tích cực cụ thể là phương pháp dạy học theo mục tiêu

nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự nghiên cứu.

3. Luận văn đã xây dựng được các thiết kế bài dạy theo mục tiêu nhận

thức, kế hoạch bài dạy theo dự án và kế hoạch bài dạy tự nghiên cứu nội dung

bất đẳng thức, đồng thời thiết kế các công cụ khảo sát, kiểm tra, đánh giá thích

hợp với từng nội dung của bài dạy.

4. Luận văn cũng đã trình bày một số kết quả tự nghiên cứu và trích một

số kết quả trong các bài báo cáo cuối dự án của học sinh. Điều này bước đầu thể

hiện khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh. Đồng thời cũng là thước đo

cho sự thích hợp của phương pháp và tính khả thi của đề tài.