téma 1 - fakulta stavební - fakulta...
TRANSCRIPT
Pružnost a plasticita II., 3.ročník bakalářského studia, přednášky
Téma 1Základní rovnice teorie pružnosti
1
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
• Základní informace o výuce a hodnocení předmětu PP II• Úvodní poznámky a základní předpoklady• Napětí a deformace• Analýza napjatosti a deformace v okolí bodu tělesa• Rovnice rovnováhy• Geometrické rovnice• Fyzikální rovnice
Základní informace
Předmět:228-0211/01 - Pružnost a plasticita IIPřednášející:
2
Přednášející:Ing. Vladimíra Michalcová , Ph.D.Spojení:
tel: 59 732 1348e-mail: [email protected]
Přednášky a informace:http://fast10.vsb.cz/michalcova
Osnova přednášek
1. Základní rovnice teorie pružnosti.2. Rovinný problém, stěnová rovnice. 3. Metody řešení stěn.4. Desky, technická teorie tenkých desek, tlusté desky.
3
4. Desky, technická teorie tenkých desek, tlusté desky.5. Desky, metody řešení desek. 6. Kruhové desky.7. Skořepiny.8. Modely podloží, pružný poloprostor.9. Stabilita prutových konstrukcí, Eulerovo řešení.10.Nelineární chování materiálů, podmínky plasticity.11.Rámy s plastickými klouby.
Osnova cvičení
1. Úvodní cvičení, transformace složek napětí2. Řešení stěn pomocí Airyho funkce3. Řešení stěn pravoúhlých metodou sítí, zadání 1. programu4. Řešení pravoúhlých stěn metodou sítí,
1. písemka transformace napětí5. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí, zadání 2. programu
4
5. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí, zadání 2. programu6. Řešení pravoúhlých desek metodou sítí7. Řešení kruhových a mezikruhových desek8. Skořepinové konstrukce, membránový stav9. Nosník na pružném podkladě, numerické řešení
2. písemka, kruhové a mezikruhové desky 10. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení11. Stabilita prutových konstrukcí, numerické řešení12. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí13. Mezní plastická únosnost prutových konstrukcí,
3. písemka, mezní únosnost nosníků14. Zápočet
Literatura
[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.
[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.
[3] Teplý, B., Šmiřák, S., Pružnost a plasticita II. Nakladatelství VUT Brno, 1993.
5
Brno, 1993.[4] http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teorie-pruznosti .[5] http://mi21.vsb.cz/modul/pruznost-plasticita .
Další doporučená literatura:[4] Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999. [5] Bittnar, Z., Šejnoha, J. Numerické metody mechaniky, ČVUT, Praha,
1992[6] Novák, O. a kol Technický průvodce 3. Nauka o pružnosti a pevnosti ve
stavitelství, SNTL, Praha, 1963
Hodnocení zápočtu
Předpoklady pro získání zápočtu:� Uznaný zápočet z předmětu SSKI� 70% účast na cvičení, neúčast musí být řádně omluvená� Zvládnutí 3 písemných prací
6
� Zvládnutí 3 písemných prací� Zvládnutí 2 programů� Získání minimálně 18 bodů z 35 možných
Bodování na cvičení:� 3 písemky
- 7 bodů, možnost 2x opravy (při posledním pokusu až 4 bodů)
2 programy- 7 až 3 body
Hodnocení zkoušky
Předpoklad zápisu ke zkoušce- úspěšné absolvování zkoušky z SSK I- získání zápočtu z PP II
Podmínka úspěšného absolvování zkoušky
7
Podmínka úspěšného absolvování zkoušky- Úspěšné vykonání ústní i písemné části zkouškyPísemná část 0 až 35 bodůPodmínkou pro postup k ústní zkoušce je min. 18 bodů z písemné části zkouškyÚstní část 0 – 30 bodů, pro vykonání min. 15Známky: 86 – 100 bodů 1
66 – 85 bodů 251 – 65 bodů 3
Základní předpoklady teorie pružnosti
Látka tělesa je� homogenní, může být přitom
a) izotropní b) anizotropnídokonale pružná a to
8
� dokonale pružná a to a) lineárně b) nelineárně (nebudeme se zatím zabývat)
� deformace tělesa působením vnějších vlivů jsou malé – geometricky lineární teorie pružnosti
� počáteční napjatost je nulová, nepůsobí-li na těleso vnější síly.
Lineární pružnost
Pokud formuluje podmínky rovnováhy na:�nedeformovaném tělese (důsledek předpokladu malých deformací a jejich zanedbatelný vliv na tyto podmínky) hovoříme o teorii prvního řádu,
9
hovoříme o teorii prvního řádu,�deformovaném tělese (důsledek nezanedbatelného vlivu předpokladu i malých deformací) hovoříme o teorii druhého řádu. (nejedná se již o lineární pružnost)Předpoklad malých deformací a lineární závislosti mezi napětím a přetvořením (geometrická a fyzikální linearita) umožňuje využít princip superpozice
Princip superpozice
Výsledný stav, tj. výsledné zatížení a reakce, vnitřní síly, napětí, přemístění (deformace) je součtem jednotlivých zatěžovacích stavů.
10
zatěžovacích stavů.Nezáleží na pořadí v jakém jednotlivé zatěžovací stavy na těleso či konstrukci působí.
Klasifikace nosných konstrukcí
Prut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry.Mohou mít proměnlivou délku, průřez, přímé i zakřivené.
11
zakřivené. Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka). Patří mezi ně desky, stěny s rovinnou střednicovou plochou a skořepiny se zakřivenou střednicovou plochou.Těleso je konstrukční prvek, jehož rozměry jsou srovnatelné.
Vnější síly a vnitřní síly
Vnější síly:�objemové (působí v elementech objemu), patří k nim:vlastní tíha, odstředivé síly atd.povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako:
12
�povrchové síly působí jako zatížení na ploše a to jako:spojité zatížení na ploše a na čáře (přímce) a bodové síly (singulární síly).
Objemové a plošné zatížení je reálné, bodové zatížení a zatížení na čáře je abstraktní, idealizuje zatížení plošné.
Vnitřní síly vznikají vlivem vnějšího zatížení, jsou jím indukovány.
Vnitřní síly
� Prutové prvky: o složkách vnitřních sil předpokládáme, že působí v těžišti. Jsou výslednicí elementárních sil (napětí) působících v určitém řezu a směru. Touto
13
působících v určitém řezu a směru. Touto problematikou jste se zabývali v předmětu PP. Při jejich určení se vycházelo ze znalostí složek vnitřních sil
� Plošné prvky a tělesa:je nutno se zabývat rozložením elementárních sil
Napětí
Fp n∆=
rrPoměr elementární síly a velikosti plošky je
poměrné napětí na této plošce:
Míra intenzity vnitřních sil
14
Ap n
n ∆=poměrné napětí na této plošce:
Směr napětí je shodný se směrem síly působící na danou plošku
n
n
n
n
An dA
Fd
A
Fp
rrr =
∆∆=
→∆lim
0
Zmenšujeme-li velikost plošky ∆∆∆∆A k nule,
dostaneme napětí pn v bodě:
Základní jednotkou napětí je Pa [N/m2]
MPa [N/mm2] nebo [MN/m2], kPa [kN/m2]
Napětí, pokračování
dVdN == τσ
Při rozložení síly dFn do směru
normály n a stopy v plošky dAje:
15
dA
dV
dA
dNn == nv τσ
je:
22
nvnnp τσ +=Platí přitom:
σσσσn je normálové napětí, působí ve směru normály n
ττττnv je smykové napětí, působí v rovině plošky dA ve směru stopy v síly dFn
Napětí, pokračování
Smykové napětí ττττnv lze na plošce dA
rozložit do směrů os t a s:
22 τττ +=
16
22
ntnsnv τττ +=Opět platí:
Bodem tělesa můžeme proložit libovolný počet řezů.
Každé plošce odpovídá jiný vektor napětí pn.
Množina vektorů napětí pn, odpovídající všem orientovaným ploškám v daném bodě, charakterizuje napěťový stav v tomto bodě.
Deformace
Pojem deformace
Hledisko fyzikální:
deformace pružné a nepružné
17
dldldl −=∆ ´Změna délky:
Poměrná délková změna:
Změna úhlů, pootočení:
deformace pružné a nepružné
Hledisko geometrické:
posunutí a pootočení
γγ
ε
≅≅∆≅∆+
∆
∆=
tgdldldl
dl
dl
Deformace, pokračování
dzdydxdVdV
dV
dVdVdV
⋅⋅=
∆=
−=∆
ω
´Změna objemu:
Poměrná objemová změna:
Původní objem:
18
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dzdydxdV
dzdzdydydxdxdV
zyx ⋅⋅⋅+⋅+⋅+=∆+⋅∆+⋅∆+=
εεε 111´
´
dzdydxdV ⋅⋅=
Změněný objem:
Původní objem:
( ) ( ) ( )[ ]
zyxxzzyyxzyx
zyx
dzdydx
dzdydx
dV
dVdV
εεεεεεεεεεεεω
εεεω
++++++=⋅⋅
⋅⋅⋅−+⋅+⋅+=−=
1111´Poměrná objemovázměna:
Pro malé deformace jsou poměrné deformace řádově menší k jedničce a lze psát: zyx εεεω ++=
Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa
Vektor pn je vždy vázán na orientovanou plošku určenou normálou n. Má tři složky:
σn τns τnt
19
Vektorový zápis pn:
321 eeep ntnsnn
rrrr ⋅+⋅+⋅= ττσe1, e2, e3 jsou jednotkové vektory ve směrech n, s, t
Pro určení napětí v daném bodě M v libovolné plošce musíme znát tři složky napětí ve třech vzájemně kolmých ploškách např. s normálami n, s, t. Složek napětí v bodě je tedy 9.
Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa, pokračování
Zápis 9 složek napětí v maticovém tvaru se nazývá tenzor napětí:
[ ]
=
xzxyx
τστ
ττσ
σ
20
[ ]
=
zzyzx
yzyyx
σττ
τστσ
Označování indexů:
U normálových napětí se zpravidla užívá jeden index, má směr normály k příslušné plošce a současně směr napětí.
U smykových napětí má první index směr normály k příslušné plošce, druhý index směr smykového napětí.
Analýza napjatosti v okolí bodu tělesa,
vzájemnost smykových napětí
( ) ( )xt
dzdy
M 0⇒=
Z momentové podmínky k ose x
procházející těžištěm elementu vyplývá:
21
( ) ( )
xzzxyxxy
zyyz
zyyz
dzdydx
dydzdx
ττττττ
ττ
,
obdobně a úpravě po
02
22
2
===
=⋅⋅−⋅⋅
Vzájemnost smykových napětí protínajících se v jednom bodě na ortogonálních ploškách
Vzhledem k těmto rovnostem lze napětí v bodě charakterizovat také vektorem napětí: { }T
zxyzxyzyx ,,,,,, τττσσσσ =
Transformace složek tenzoru napětí
Známe-li napětí v bodě, tj. ve třech vzájemně ortogonálních ploškách dAx,dAy, dAz můžeme určit napětí na libovolně orientované plošce dA. Orientace této plošky je dána normálou n. Transformační vztahy vyplývají z rovnováhy sil působících na čtyřstěnu ON1N2N3.
22
( )( )( )
1
dA ,cos
dA ,cos
dA ,cos
222
z
y
x
=++⋅==⋅==⋅==
zyx
zz
yy
xx
nnn
ndAznn
ndAynn
ndAxnn
nx, ny,nz jsou směrové kosiny úhlů, které svírá
normála n s osami x, y, z.
Transformace složek tenzoru napětí
00
00
00
zzyyyxxynyy
zzxyyxxxnxx
ndAndAndAdApF
ndAndAndAdApF
ndAndAndAdApF
=⋅−⋅−⋅−⇒==⋅−⋅−⋅−⇒==⋅−⋅−⋅−⇒=
∑
∑
∑
στττστττσ
Podmínka rovnováhy sil na čtyřstěnu:
23
222
:úpravě po
00
nznynxn
zzyzyxzxnz
zzyyyxxyny
zzxyyxxxnx
zzyyzxxznzz
pppp
nnnp
nnnp
nnnp
ndAndAndAdApF
++=
⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=
=⋅−⋅−⋅−⇒=∑
στττστττσ
σττ
{ } [ ] { }np T
n σ=
[ ]Tσ
Platí:
V maticovém tvaru lze zapsat:
je transponovaná matice tenzoru napětí, { }T
zyx nnnn ,,=
Transformace složek tenzoru napětí,pokračování
:úpravě a , , za dosazení po nznynx
znzynyxnxn
ppp
npnpnpσ ⋅+⋅+⋅=
Normálová složka σn vektoru pn je dána součtem průmětů složek pnx , pny a pnz do směru normály n
24
( )22
222
2
:úpravě a , , za dosazení po
nnnt
xzxzzyyzyxxy
zzyyxxn
nznynx
p
nnnnnn
nnn
ppp
στ
τττσσσσ
−=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅=
Směr výsledného smykového napětí ττττnt je dán přímkou t, která je průsečnicí roviny plošky dA s rovinou danou normálou n a vektorem pn.
Transformace složek tenzoru napětí,pokračování
⋅+⋅+⋅=≡
⋅+⋅+⋅=≡ mpmpmp znzynyxnxyxnm 11
ττττ
Na obr. je osa x1 pootočeného souřadného systému x1, y1, z1 totožná s normálou n. Složky smykového napětí τnt=τx1t , do směru m=y1 a do směru s=z1jsou:
25
{ }( )( )( )
{ }( )( )( )
=
=
=
=
⋅+⋅+⋅=≡
zs
ys
xs
s
s
s
s
zm
ym
xm
m
m
m
m
spspsp
z
y
x
z
y
x
znzynyxnxzxns
,cos
,cos
,cos
a
,cos
,cos
,cos
kde11
ττ
Po dosazení za pnx, pny, pnz je:
( )( ) ( )
( )( ) ( )xzxzzyzyzyyz
yxyxxyzzzyyyxxxns
xzxzzyzyzyyz
yxyxxyzzzyyyxxxnm
nssnnssn
nssnsnsnsn
nmmnnmmn
nmmnmnmnmn
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
τττσσστ
τττσσστ
Transformace složek tenzoru napětí
Níže uvedené rovnice umožňují získat tři složky tenzoru napětí na plošce s normálou n=x1 v souřadnicovém systému x1, y1, z1.
( )xzzxzyyzyxxy
zzyyxxnx
nnnnnn
nnn
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
+⋅+⋅+⋅=≡
τττσσσσσ
2 1
222
26
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )xzxzzy
zyzyyzyxyxxy
zzzyyyxxxnszx
xzxzzy
zyzyyzyxyxxy
zzzyyyxxxnmyx
xzzxzyyzyxxy
nssn
nssnnssn
snsnsn
nmmn
nmmnnmmn
mnmnmn
nnnnnn
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=≡⋅+⋅
+⋅+⋅+⋅+⋅
+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=≡⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
τττ
σσστττ
ττσσσττ
τττ
2
11
11
Obdobně lze získat složky tenzoru napětí na ploškách s normálami y1=m, z1=s.
Transformace složek tenzoru napětí,maticový zápis
⋅
⋅
=
xxxxzxyxzyxzxyxx
smn
smn
mmm
nnn
τστ
ττσ
τστ
ττσ11111
Transformaci devíti složek napětí ze souřadnicového systému x, y, z do souřadnicového systému x1, y1, z1,lze maticově zapsat:
27
[ ] [ ]σσ ,1
⋅
⋅
=
zzz
yyy
zzyzx
yzyyx
zyx
zyx
zyzxz
zyyxy
smn
smn
sss
mmm
σττ
τστ
σττ
τστ
11111
11111
Maticový zápis lze zkráceně symbolicky zapsat: [ ] [ ] [ ] [ ]TLL ⋅⋅= σσ1
jsou matice tenzoru napětí v souřadném systému x1, y1, z1 a x, y, z .
[L], [L]T jsou matice pootočení a transponovaná matice pootočení
Rovinný stav napjatosti tělesaJe-li v libovolném bodě tělesa ploška, ve které jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o rovinné napjatosti.
Nenulové složky napětí jsou pak s touto ploškou rovnoběžné. Na obr. jsou nulová napětí v rovině s normálou y, tj. v rovině xz.
28
[ ]
=
zzx
xzx
στ
τσ
σ
0
000
0
normálou y, tj. v rovině xz.
Složky napětí σx,σz,τxz,τzx jsou s touto rovinou rovnoběžné.
Maticově lze tenzor napjatosti vyjádřit:
S rovinnou napjatosti se setkáváme např. u stěn
nebo u nosníků.
Napětí při rovinné napjatosti lze vyjádřit také vektorově: { } { }T
xzzx τσσσ ,,=
Přímkový stav napjatosti tělesa
σ
Můžeme-li libovolným bodem tělesa proložit svazek rovin, ve kterých jsou složky napětí nulové, pak hovoříme o přímkové napjatosti.
Jediná nenulové složka napětí je v přímce, ve které se svazek rovin protíná. Je-li touto přímkou osa x, lze maticově tenzor napjatosti vyjádřit:
29
[ ]
=
000
000
00xσ
σ
Vektorově lze napsat:
S přímkovou napjatostí se setkáváme např. u lan nebo u táhel.
Svazek rovin, ve kterých nepůsobí napětí
Společná přímka svazku rovin
{ } { }xσσ =
Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti
[ ] [ ] [ ] [ ]TLL ⋅⋅= σσ1
( ) ( ) ( )( ) ( )
-sin270coscos coscos 11 =−==== xzsxxn xx ααα
Při transformaci je důležité si uvědomit orientaci úhlu α (od osy x k ose x1 pravotočivě).
Vyjdeme-li z rovnice: , pak je nutno vyjádřit matici [L]. Platí:
30
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 10coscosm 090coscoscos
coscoscos sin90coscos
090coscos 090coscos
-sin270coscos coscos
1y11
11
11
11
=========−===−==
=======−====
yyzymxym
zzszxn
yzsyxn
xzsxxn
zx
zz
yy
xx
αααα
ααα
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
=
=
−=
−=
−
=
=
−
=
=
zxz
zxx
zzx
xzxT
zzz
yyy
xxx
T
zyx
zyx
zyx
LL
smn
smn
smn
L
sss
mmm
nnn
L
στ
τσσ
στ
τσσ
αα
αα
αα
αα
αα
αα
αα
αα
cossin
sincos
cossin
sincos
:tzjednoduši lzenapjatost rovinnou Pro
cos0sin
010
sin0cos
cos0sin
010
sin0cos
111
111
1
Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti
[ ] [ ] [ ] [ ]TLL ⋅⋅= σσ1
Vyjdeme-li z rovnice:
[ ]αα
αα
στ
τσ
αα
αα
στ
τσσ
cossin
sincos
cossin
sincos 1
111
−⋅
⋅
−=
=
zxz
zxx
zzx
xzx
31
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
αασττσσττσ
σττσσττσ
στ
τσστστ
τστσ
στ
τσααστααστ
cosc sin zde je
cossincossin
22222
2222
111
111
111
111
111
==
+−−++−−
+−+−+++=
+−+
+−+⋅
−=
−
s
cscscsscssc
scscscsscscc
cssc
cssc
cs
sc
zxzzxxzxzzxx
zxzzxxzxzzxx
zzx
xzx
zxzzxz
zxxzxx
zzx
xzx
zxzzzx
Transformační vztahy pro rovinný stav napjatosti
Po úpravě:
( ) ( )( ) ( )
αασττσσττσ
σττσσττσ
στ
τσ
cosc sin kde
2222
2222
111
111
zxzzxxzxzzxx
zxzzxxzxzzxx
zzx
xzx
s
cscscssccssc
scscscsscscc
==
+−−++−−
+−+−+++=
32
ατασασσ
ασσατττ
ατασασσ
αα
2sincossin
2sin2
2cos
2sinsincos
je
cosc sin kde
22
22
1
1111
1
xzzxz
zxxzxzzx
zxzxx
s
−+=
−−==
++=
==
σz1 lze odvodit ze vzorce pro σx1
je-li pootočení β=α+π/2
Věta o 1. invariantu tenzoru napětí
zxzxx
ατασασσατασασσ
−+=
++=1
2sincossin
2sinsincos22
22
Sečteme-li normálová napětí,
33
zxzx
xzzxz
σσσσ
ατασασσ
+=+
−+=
11
12sincossin
platí
Součet normálových napětí v okolí bodu na libovolných dvou ortogonálních ploškách je konstantní
Hlavní normálová napětí
( ) 02cos2cossin2sincos2 Platí
2sinsincos
1
1
22
=++−=
++=
xzzx
x
xzzxx
dα
dσαταασαασ
ατασασσ
Je-li znám tenzor nebo vektor napětí v souřadném systému x, y, pak je často nutné určit směry a hodnoty normálových napětí. Lze vyjít ze vzorce:
34
( )
( ) 0 je 02sin21
2cos
protože ,02sin21
2cos
1111
==−−=
=−−
zxzxxzzx
zxxz
dα
τασσαττ
ασσατ
Největší normálové napětí je v rovině, v níž je smykové napětí nulové. Této rovině říkáme hlavní rovina a příslušnému normálovému napětí hlavní napětí. Úhel potočení αe roviny xz do hlavní roviny neurčuje jednoznačně směr maximálního a minimálního napětí:
zx
xzetg
σστα−
= 22
Hlavní normálová napětí
exzezeez
ezxexeex
ατασασp
ατασασp
cossinsin
sincoscos
+==+==
σe hlavní normálové napětí
Z rovnic rovnováhy ve směru x a z vyplývá:
35
exzezeez ατασασp cossinsin +==
( ) 22
2,1 421
2 xzzxzx
e τσσσσσσ +−±+==
Řešení těchto dvou rovnic vede ke kvadratické rovnici s řešením:
Hlavním napětím přiřazujeme zpravidla indexy σ1> σ2
Směry α1, α2 hlavních napětí σ1 a σ2 lze jednoznačně určit ze vztahů:
z2
xz2
z1
xz1 σσ
τασσ
τα−
=−
= tgtg
Maximální smyková napětí
Známe-li maximální normálová napětí, σ1,σ2
lze normálové napětí σx´ a smykové napětí τxź´vyjádřit:
( )21´´
2
2
2
1´2sin
21
sincos δσστδσδσσ −−=+=zxx
36
( )
( )
( ) ( )21s21extr
21´´
21´´21´
21
21
4
4
02cos 02cos221
0
2sin2
sincos
σσσσστ
πδπδδδσσδ
τ
δσστδσδσσ
+=−±=
=−=⇒==−−⇒=
−−=+=
d
dzx
zxx
Maximální (extrémní)smyková napětí budou
na plochách hlavních smyků při hodnotách δ vyplývajících z rovnice:
Na těchto plochách budou působit maximální smyková napětí τextr a normálové napětí σs:
Hlavní roviny
Mohrova kružnice
37
Mohrova kružnice
1. Souřadný systém volíme tak, že osa σ odpovídá x, osa τ pak ose z
2. Vyneseme bod A (σx, τxz) - τxz má stejnou orientaci jako t1, je proto kladné (nahoru).
Orientace dle směru otáčení
38
2. Vyneseme bod A (σx, τxz) - τxz má stejnou orientaci jako t1, je proto kladné (nahoru).
3. Vyneseme bod B (σz, τzx) - τzx má opačnou orientaci jako t1, je proto záporné (dolů).
Poznámka: pro orientaci je rozhodující směr otáčení ! Pozor na volbu os xz případně xy.
4. Střed kružnice S je průsečík spojnice AB s osou σ, poloměr odpovídá úsečce AS a BS,
maximální napětí je v bodě X(σ1, 0) kružnice, minimální bodě Y(σ2, 0) kružnice. Extrémní hodnoty smykových napětí určují body C a D.
5. Pól Mohrovy kružnice P je průsečík kružnice a rovnoběžky s osou x (s) vedenou bodem A, respektive průsečík kružnice s přímkou rovnoběžnou s osou z (τ) vedenou bodem B.
6. Spojnice PX určuje směr hlavního napětí σ1, spojnice PY směr hlavního napětí σ2.
7. Chceme-li určit napětí na plošce s normálou x1 pootočenou od x o α, vedeme rovnoběžky s osami x1 a z1 z pólu P – body M a N.
Mohrová kružnice pro jinou orientaci osviz skripta Šmiřák, S., Pružnost a plasticita I. Nakladatelství VUT Brno, 1999.
39
Směr osy x odpovídá σ,
směr osy y odpovídá τ
Speciální případy napjatostiČistý smyk
Příklady rovinné napjatosti σ3=0 s maximálními smykovými napětími
40
Přímková napjatost
Trajektorie hlavních napětí
Tažený prut
41
Ohýbaný nosník
Trajektorie hlavních napětí
42
Kroucený prutoba směry Mx
Diferenciální rovnice rovnováhy
43
dále a zkráceně nebo
),,(),,(),,(´
´´
´
dxx
dxx
dxx
dxx
zyxzyxzydxx
xzxzxz
xyxyxy
xxx
xxx
∂∂+=
∂∂
+=
∂∂+=
∂∂+=+
ττττ
ττ
σσσ
σσσ
Složky napětí na posunutých ploškách lze zapsat:
Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování
Ve směru osy x platí podmínka
rovnováhy: ΣFx= 0
44
0
=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅
⋅∂
∂++⋅⋅
−⋅⋅
⋅∂
∂++⋅⋅−⋅⋅
⋅∂
∂+
dzdydxXdydxdydxdzx
dzdx
dzdxdyx
dzdydzdydxx
zxzx
zxyx
yx
yxxx
x
ττττ
ττσσσ
Po úpravě:0=+
∂∂+
∂∂
+∂
∂X
zyxzxyxx ττσ
Diferenciální rovnice rovnováhy, pokračování
45
Po rozepsání rovnic rovnováhy ve směru os x, y a z lze odvodit
Cauchyho rovnice rovnováhy:
0
0
0
=+∂
∂+∂
∂+
∂∂
=+∂
∂+
∂∂
+∂
∂
=+∂
∂+∂
∂+
∂∂
Zzyx
Yzyx
Xzyx
zyzxz
zyyxy
zxyxx
σττ
τστ
ττσ
Geometrické rovnice
y
u
x
vv
udyy
uu
u
vdxx
vv
y
v
dy
vdyy
vv
x
u
dx
udxx
uu
yx
∂∂+
∂∂=∂+
−∂∂+
+∂+
−∂∂+
=+=
∂∂=
−∂∂+
=∂∂=
−∂∂+
=
xy
βαγ
εε
46
y
u
x
v
y
v
x
u
yxdxy
vdydx
x
udx
yx ∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
∂∂∂∂+
∂∂+
xy
xy
γεε
x
w
z
u
z
w
z
v
y
w
y
v
y
u
x
v
x
u
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂+
∂∂=
∂∂=
zxz
yzy
xyx
γε
γε
γε
V rovině:
V prostoru:
Geometrické rovnice, rovnice kompatibility (spojitosti)
:úpravě po
, ,
xy
2
y
22
2
3
2
32
2
3
2
y
2
2
3
2
x
2
xyyx
xy
v
yx
u
yxxy
v
xyx
u
y
x
v
y
u
y
v
x
u
xy
∂=
∂+∂
∂∂∂+
∂∂∂=
∂∂∂
∂∂∂=
∂∂
∂∂∂=
∂∂
∂∂+
∂∂=
∂∂=
∂∂=
γεε
γεε
γεε
:
47
:úpravě po xy
2
y
2
x
yxxy ∂∂∂
=∂∂
+∂∂ γεε
Obdobně lze odvodit:
yxzyxz
xzyxzy
zyxzyx
xzzxyzyz
zxyzxyz
yzxyzxy
xyzxyzx
zxxzyzzy
∂∂∂=
∂∂
−∂
∂+∂
∂∂∂
∂∂∂
=
∂∂−
∂∂
+∂
∂∂∂
∂∂∂=
∂∂
−∂
∂+
∂∂
∂∂
∂∂∂=
∂∂+
∂∂
∂∂∂
=∂∂+
∂∂
εγγγ
εγγγ
εγγγ
γεεγεε
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
dále a
Rovnice kompatibility popisují vzájemnou závislost složek deformací, zachování spojitosti tělesa i po vzniku deformací
Fyzikální rovnice (konstituční vztahy), vztahy mezi napětími a deformacemi
xx dddddd εσ 161514131211
Vztahy mezi napětím a poměrnými deformacemi závisí na fyzikálních vlastnostech látek. Pro lineárně pružný materiál je lze vyjádřit v maticové formě:
Zkráceně lze zapsat:
εσ ⋅= D
48
⋅
=
zx
yz
xy
z
y
zx
yz
xy
z
y
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd
dddddd
γ
γ
γ
ε
ε
τ
τ
τ
σ
σ
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
εσ ⋅= DD je matice tuhosti
εεεε je vektor deformace
σσσσ je vektor napětí
dij jsou konstanty vyjadřující velikost napětí při jednotkové poměrné deformaciMatice D je symetrická, dij=dji.
Fyzikální rovnice, vztahy mezi deformacemi a napětím
εσ ⋅= D
y
x
y
x
cccccc
cccccc
σ
σ
ε
ε
262524232221
161514131211
Inverzním vztahem k rovnici je
C je matice poddajnosti
εεεε je vektor deformace
σσε ⋅=⋅= − CD 1
49
⋅
=
zx
yz
xy
z
y
zx
yz
xy
z
y
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
cccccc
τ
τ
τ
σ
σ
γ
γ
γ
ε
ε
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221 εεεε je vektor deformace
σσσσ je vektor napětí
cij jsou koeficienty deformace, vyjadřují poměrnou deformaci při jednotkovém napětí
Matice C je symetrická, platí cij=cji.
Fyzikální rovnice, maticový a tenzorový zápis,anizotropní látka
σσεεσ ⋅=⋅=⋅= − CDD 1
Maticový zápis fyzikálních rovnic:
Tenzorový zápis fyzikálních rovnic:
50
Tenzorový zápis fyzikálních rovnic:
klijklijklijklij cd σεεσ ⋅=⋅=
V anizotropní látce jsou fyzikální vlastnosti v každém směru různé.Počet nezávislých konstant nebo koeficientů je maximálně 21.
Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi deformacemi a napětími,rozšířený Hookův zákon
−−
−−
−−
y
x
y
x
σ
σ
σ
µµ
µµ
µµ
ε
ε
ε
0001
0001
0001
V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné
51
( )( )
( )
⋅
+
+
+
−−=
zx
yz
xy
z
zx
yz
xy
z
E
τ
τ
τ
σ
µ
µ
µ
µµ
γ
γ
γ
ε
1200000
0120000
0012000
00011
Počet nezávislých konstant je 2.
E je modul pružnosti [Pa] resp. [MPa], [GPa]
µ je Poissonovo číslo <0, 0,5>
Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi deformacemi a napětími,rozšířený Hookův zákon, pokračování
( )z
y
x
z
y
x
σσσ
µµµµµµ
εεε
⋅
−−−−−−
=
0001
0001
0001
1
Po rozepsání
52
( )( )
( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )
( )[ ] ( )GEE
GEE
GEE
E
zxzxzxyxzz
yzyzyzxzyy
xyxyxyzyxx
zx
yz
xy
zx
yz
xy
ττµγσσµσε
ττµγσσµσε
ττµγσσµσε
τττ
µµ
µ
γγγ
=+=+−=
=+=+−=
=+=+−=
⋅
++
+=
12
1
12
1
12
1
1200000
0120000
0012000
je
Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon
−
−
xx
ε
εµµµ
µµµ
σ
σ0001
0001
V izotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve všech směrech stejné
53
( ) ( )( )
( )
( )
⋅
−
−
−−
⋅−⋅+
=
zx
yz
xy
z
y
zx
yz
xy
z
y
E
γ
γ
γ
ε
ε
µ
µ
µµµµ
µµ
τ
τ
τ
σ
σ
221
00000
0221
0000
00221
000
0001
211
Počet nezávislých konstant je 2.
Fyzikální rovnice, izotropní látkavztahy mezi napětími a deformacemi, Hookův zákon
( ) ( )( )
( ) xy
z
y
x
xy
z
y
x
E
γεεε
µ
µµµµ
µµµµµµ
µµτσσσ
⋅
−
−−
−−
⋅−⋅+
=
21
002
21000
0001
0001
0001
211
Po rozepsání:
54
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) zxxyzxyxzz
yzxyyzxzyy
xyxyxyzyxx
zx
yz
xy
zx
yz
xy
GEE
GEE
GEE
γγµ
τεεµεµµµ
σ
γγµ
τεεµεµµµ
σ
γγµ
τεεµεµµµ
σ
γγ
µ
µ
ττ
⋅=+⋅=++−
−⋅+=
⋅=+⋅=++−
−⋅+=
⋅=+⋅=++−
−⋅+=
−
−
1
2 1
211
1
2 1
211
1
2 1
211
2
2100000
02
210000
je:
Fyzikální rovnice, ortotropní látkavztahy mezi deformacemi a napětími,rozšířený Hookův zákon
V ortotropní látce jsou fyzikální vlastnosti ve třech vzájemně kolmých směrech odlišné. Hovoří se o ortotropní anizotropii.
Jestliže se směry os x, y, a z ztotožní se směry roviny pružné symetrie je
počet nezávislých konstant nebo koeficientů 9.Musí platit:
xzzxzyyzxyyx µµµµµµ===
55
⋅
−−
−−
−−
=
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
zy
zy
x
zx
z
yz
yx
yx
z
xz
y
xy
x
zx
yz
xy
z
y
x
G
G
G
EEE
EEE
EEE
τ
τ
τ
σ
σ
σ
µµ
µµ
µµ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001 Musí platit:
z
xz
x
zx
y
zy
z
yz
y
xy
x
yx
EEEEEE
µµµµµµ===
Ex, Ey, Ez jsou moduly pružnosti ve směru os x, y, z
µxy je Poissonovo číslo dané poměrem příčné deformace ve směru osy x k podélné deformaci ve směru osy y
Gxy, Gyz, Gzx jsou moduly pružnosti ve smyku s indexy označujícími rovinu smyku
Základní systém rovnice teorie pružnosti
Obsahuje 15 neznámých funkcí:6 složek napětí (σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx)6 složek deformace (εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx)3 složky posunutí (u, v, w)
56
3 složky posunutí (u, v, w)Těchto 15 neznámých lze určit ze:3 parciálních diferenciálních rovnic rovnováhy6 geometrických rovnic6 fyzikálních rovnicNa povrchu tělesa musí být splněny podmínky odpovídající zatížení a vazbám – okrajové podmínky
Druhy okrajových podmínek1. Statické okrajové podmínky, na povrchu tělesa
jsou zadána povrchová zatížení svými složkamiSložky napětí na povrchu tělesa px, py, pz musí být s nimi v rovnováze.Musí tedy platit:
zyx ppp ,,
zzyyxx pppppp ===
57
Musí tedy platit: zzyyxx pppppp ===2. Deformační okrajové podmínky, na povrchu tělesa
jsou zadány složky posunutí nebo jejich derivace. Složky deformace povrchu u, v, w tělesa musí vyhovovat těmto podmínkám:
,, wvu
wwvvuu ===
3. Smíšené okrajové podmínky, na povrchu tělesa jsou zadána současně zatížení a deformace
Příklad, zadání, okrajové podmínky, zatížení
58
Příklad
59
Napětí σx izolinie [MPa] barvy
Příklad
60
Napětí σy izolinie [MPa] Napětí τxy izolinie [MPa]
Příklad
61
Napětí σ1 izolinie [MPa] Napětí σ2 izolinie [MPa]
Použitá literatura
[1] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 1, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2004.
[2] Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J., Pružnosť a plasticita v stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.
62
stavebníctve 2, Slovenská technická univerzita v Bratislavě, 2006.