BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Họ và tên: Lê Thị Vân Khánh

TÊN ĐỀ TÀI:

NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN, SIÊU CHẢY VÀ

SIÊU TINH THỂ

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Hà Nội, 10 - 2019

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-----------------------------

Họ và tên: Lê Thị Vân Khánh

TÊN ĐỀ TÀI:

NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN, SIÊU CHẢY VÀ

SIÊU TINH THỂ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS.TS. NGUYỄN TOÀN THẮNG

Hà Nội, 10 - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hướng dẫn của

giáo viên hướng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình

nghiên cứu của người khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo.

Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới

bất kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về

sự cam đoan này.

Hà Nội, tháng 10/2019

Học viên

Lê Thị Vân Khánh

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dưới sự hướng dẫn của

GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi được rất nhiều kiến thức Vật lý,

Toán học. Để hoàn thành được Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở thành một

người có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến người thầy

hướng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình cảm yêu quý

cũng như lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn các thầy và

GS.TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung chính của luận

văn Thạc sĩ.

Tôi xin chân thành cảm ơn Học Viện Khoa Học và Công Nghệ và Viện Vật lý

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại

học đã hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn.

Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của mình

dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bước

chân tôi.

Hà Nội, tháng 10/2019

Học viên

Lê Thị Vân Khánh

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, DỒ THỊ

Hình 2.1 Sự phụ thuộc của nhiệt dung của He vào nhiệt độ. .......................... 13

Hình 2.2 Giản đồ pha của He. ......................................................................... 15

Hình 2.3 Phổ phonon và roton của He theo Landau ....................................... 18

Hình 2.4. Phổ kích thích hệ boson khi tương tác yếu và tương tác mạnh...........

Hình 2.5: So sánh tỷ số nồng độ hạt giữa lý thuyết và thực nghiệm .............. 20

Hình 2.6 So sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng vào nhiệt độ. ...................... 21

Hình 3.1. Mô hình boson lõi cứng trên mạng hình vuông .............................. 34

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1

1. Lí do chọn đề tài. ........................................................................................ 1

2. Đối tượng nghiên cứu. ............................................................................... 2

3. Mục đích và phương pháp nghiên cứu. ...................................................... 2

4. Cấu trúc luận văn. ...................................................................................... 2

CHƯƠNG 1: NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN ............................................. 3

1.1. THÔNG KÊ BOSE – EINSTEIN VA THÔNG KÊ FERMI DIRAC .... 3

1.2. HIÊN TƯƠNG BEC CHO CAC BOSON TƯ DO (KHÔNG CO

TRƯỜNG NGOAI) ........................................................................................... 5

1.3 HIÊN TƯƠNG BEC CHO CAC BOSON BẪY ..................................... 7

1.4. PHÂN LOẠI CHUYỂN PHA ................................................................ 9

1.5. CÁC KẾT QUẢ THƯC NGHIÊM VỀ BEC........................................ 10

CHƯƠNG 2. PHA SIÊU CHẢY VÀ SIÊU TINH THỂ ............................ 12

2.1. SIÊU CHẢY CỦA He .......................................................................... 12

2.2. LÝ THUYẾT CHẤT LỎNG HAI THÀNH PHẦN VÀ TIÊU CHÍ

LANDAU ........................................................................................................ 14

2.2.1. Lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau .................................. 14

2.2.2. Tiêu chí của Landau về vận tốc siêu chảy tới hạn. ....................... 16

2.3. MÔI LIÊN HÊ GIỮA BEC VÀ SIÊU CHẢY ..................................... 18

2.3.1. Đánh giá chung ............................................................................. 18

2.3.2. Hàm sóng vĩ mô ............................................................................ 21

2.4. SIÊU TINH THỂ .................................................................................. 23

2.4.1. Khái niệm pha siêu tinh thể .......................................................... 23

2.4.1.1. Trật tự tầm xa chéo và pha tinh thể. ...................................... 24

2.4.1.2. Trật tự tầm xa không chéo và siêu chảy. ............................... 24

2.4.2. Kết quả thực nghiệm về siêu tinh thể trong He 4. ........................ 25

2.4.3. Siêu tinh thể trong mạng quang học. ............................................ 26

CHƯƠNG 3: SIÊU TINH THỂ HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN

MẠNG HÌNH VUÔNG TRONG MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG TRONG

BIỂU DIỄN SPIN .......................................................................................... 28

3.1. MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG .......................................................... 28

3.2.1. Ánh xạ boson lõi cứng sang spin ............................................... 28

3.2.2. Tham số trật tự trong không gian spin ......................................... 29

3.2.3. Hamiltonian boson lõi cứng trong biểu diễn spin. ........................ 32

3.3. ÁP DỤNG CHO HÊ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN MẠNG HÌNH

VUÔNG. ......................................................................................................... 33

KẾT LUẬN .................................................................................................... 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 39

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.

Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) được Bose và Einstein tiên đoán

lý thuyết năm 1924 [1] và sau đó được phát hiện bằng thực nghiệm năm 1995

[4,5] đã mở ra một hướng nghiên cứu mới đang được các nhà khoa học trên

khắp thế giới quan tâm nghiên cứu. Liên quan tới BEC là những vấn đề rất thú

vị khác của vật lý lượng tử: siêu chảy, chuyển pha siêu chảy, điện môi, sự giao

nhau của siêu dẫn và ngưng tụ Bose – Einstein, siêu tinh thể. Hiện tượng ngưng

tụ Bose – Einstein là khi các hạt boson do không bị cấm bởi nguyên lý Pauli có

thể phân bố với số lượng lớn vĩ mô tại trạng thái lượng tử với năng lượng nhỏ

nhất ở vung nhiệt độ siêu thấp (cỡ µK – nK). Cũng ở vung nhiệt độ thấp, một

số hệ nhiều hạt, thí dụ 4He thể hiện là một chất lỏng có độ nhớt bằng không và

được gọi là siêu chảy. Hiện tượng siêu chảy được nhiều người cho rằng có quan

hệ mật thiết với hiện tượng BEC, tuy hiện nay người ta vẫn chưa chỉ ra một

cách chính xác bản chất của mối liên quan này. Các hiệu ứng vật lý thú vị nêu

ở trên được nghiên cứu rất nhiều trong thời gian gần đây là do những thành tựu

mới trong công nghệ tạo cách mạng quang học và tạo nhiệt độ siêu thấp. Bằng

các bẫy các nguyên tử trong từ trường hoặc (và) trong trường điện từ của các

laser, người ta có thể khư trú các nguyên tử trên các nút mạng với cấu trúc mạng

tuy ý: mạng 3 chiều như mạng lập phương, mạng 2 chiều như mạng tam giác,

mạng hình vuông, mạng tổ ong .v.v... Bằng cách thay đổi các tham số của từ

trường và trường laser giam cầm các nguyên tử, người ta có thể thay đổi độ

lớn của thế giam cầm, xác suất chui ngầm giữa các nút, tương tác giữa các

nguyên tử trên một nút .v.v... Ngoài ra, bằng các phương pháp làm lạnh rất hiện

đại như làm lạnh bằng từ trường, quang học, bốc hơi .v.v... người ta đạt được

nhiệt độ siêu thấp cỡ nK. Như vậy, về nguyên tắc người ta có thể tạo ra các hệ

nhiều hạt với các tham số tuy ý ở vung nhiệt độ rất thấp để quan sát các hiệu

ứng lượng tử. Chăng hạn, bằng cách thay đổi mối tương quan giữa tham số chui

ngầm với tương tác của nguyên tử trên mỗi nút ta có thể quan sát sự chuyển

pha lượng tử của hệ, từ linh động sang định xứ, mà trong hệ nguyên tử siêu

lạnh được gọi là chuyển pha siêu chảy sang điện môi Mott [6,7]. Trong một số

2

điều kiện hệ nguyên tử siêu lạnh trên các nút mạng có thể vừa ở trạng thái BEC

(trật tự trong không gian xung lượng), vừa phân bố lại trên các nút mạng để tạo

ra một mạng nguyên tử mới với hằng số mạng khác với hằng số mạng ban đầu

(trật tự trong không gian tọa độ) và được gọi là pha siêu tinh thể (Supersolid).

Pha siêu tinh thể ban đầu được tiên đoán bằng lý thuyết cho 4He dưới áp suất

lớn hơn 25 atm và nhiệt độ thấp [8,9] và sau đó các kết quả thực nghiệm vẫn

còn đang gây tranh cãi [10,11,12].

Với mục đích tìm hiểu một số vấn đề lý thú của hệ nguyên tử trung hòa ở nhiệt

độ siêu lạnh, tôi chọn đề tài luận văn là “Ngưng tu Bose – Einstein, siêu chay

và siêu tinh thê”.

2. Đối tượng nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh. Nghiên cứu hiện

tượng BEC, siêu chảy và siêu tinh thể.

3. Muc đích và phương pháp nghiên cứu.

Mục đích: Thu thập chọn lọc, đọc và tổng quan về BEC, siêu chảy và siêu tinh

thể. Thực hiện một số tính toán giải tích nghiên cứu pha siêu tinh thể bằng ánh

xạ toán tử boson lõi cứng sang các toán tử spin.

Phương pháp nghiên cứu: phương pháp lý thuyết trường lượng tử áp dụng cho

hệ nhiều hạt.

4. Cấu trúc luận văn.

Ngoài phần mở đầu kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương:

Chương 1: Ngưng tụ Bose – Einstein

Chương 2: Pha siêu chảy và siêu tinh thể

Chương 3: Siêu tinh thể hệ nguyên tử siêu lạnh trên mạng hình vuông trong mô

hình boson lõi cứng trong biểu diễn spin.

3

CHƯƠNG 1: NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN

1.1. THÔNG KÊ BOSE – EINSTEIN VÀ THÔNG KÊ FERMI DIRAC

[1,2,3]

Các hạt đồng nhất chia thành hai loại: các hạt với spin bán nguyên là các

fermion tuân theo thống kê Fermi-Dirac khi số hạt nk ở trạng thái lượng tử k

chỉ có thể là nk = 0,1; còn các hạt với spin nguyên là các boson thì nk có thể là

số nguyên bất kỳ.

Ta xét hệ hạt không tương tác với số hạt k

k

N n . Trong tập hợp chính tắc lớn

tổng thống kê là:

ˆ( )Tr H NZ e

'

0

exp exp ,k k

N n k

N n

(1.1)

Trong đó k là năng lượng một hạt ở trạng thái lượng tử

1,k

T dấu phẩy trên

tổng có nghĩa là nk phải thỏa mãn k

k

N n . Viết lại (1.1) khi bỏ qua dấu phẩy

“/”

1 2

exp k k

n n k

Z n

expk

k k

nk

n

(1.2)

Cho Fermion vì nk = 0,1 nên ta có:

1 exp k

k

Z (1.3)

Cho boson vì nk = 0,1… nên sau khi tính tổng cấp số nhân vô hạn ta có:

1

1 exp k

k

Z

(1.4)

4

Để tiện tính toán ta ký hiệu: expz Từ tổng thống kê ta thu được phương trình

trạng thái và tổng số hạt theo các công thức chung của vật lý thống kê:

ln ln 1 exp ,k

k

PV Z z (1.5)

expln .

1 exp

k

k

zN z Z

z z

(1.6)

Trong các công thức trên thì dấu ở trên (-) ứng với boson còn dấu ở dưới (+)

ứng với fermion.

Từ (1.6) ta có các hàm phân bố Bose – Einstein và Fermi – Dirac tương ứng là:

/1

1

kB Fn

e

(1.7)

Từ giờ trở đi ta chỉ quan tâm đến hệ boson. Các trạng thái lượng tử có thì được

mô tả bằng số lượng tử k gián đoạn hoặc liên tục.

Khi nghiên cứu hiện tượng BEC người ta làm việc với các nguyên tử bị giam

cầm trong các bẫy, như vậy k là gián đoạn. Thí dụ trong các hố thế thì hạt boson

không tương tác mô tả bằng các giả xung lượng l

lk

L trong đó l = 0, 1, 2....

L là kích thước của bẫy, năng lượng một hạt là:

2 2 2 2

22 2

l

l

k l

m mL

(1.8)

Người ta thường sử dụng mô hình các trạng thái liên tục khi thay tổng theo k

gián đoạn bằng tích phân theo 𝜀 liên tục.

3

0

,k

d k d

(1.9)

Trong đó là mật độ trạng thái. Cho hạt tự do 3 chiều:

2

24 ,

md V d

(1.10)

trong đó V là thể tích của bẫy.

5

Các công thức (1.9) và (1.10) se được sử dụng trong các phần dưới đây.

1.2. HIỆN TƯƠNG BEC CHO CAC BOSON TƯ DO (KHÔNG CO

TRƯỜNG NGOÀI) [13,14]

Từ công thức (1.7) ta thấy rằng thế hóa học luôn phải nhỏ hơn mức năng lượng

thấp nhất 0 để số hạt n0 là số dương. Từ đây suy ra ở nhiệt độ đủ thấp T <

Tc (Tc được gọi là nhiệt độ tới hạn se tính cụ thể sau) thì trạng thái cơ bản se

lấp đầy một cách vĩ mô tức là01 .N N Hiện tượng này được gọi là BEC.

Trạng thái với năng lượng nhỏ nhất 0 được lấp đầy vĩ mô là trạng thái BEC

còn số hạt ở các trạng thái với năng lượng cao hơn. NT được gọi là số hạt ngoài

ngưng tụ. Ta có:

0 TN N N (1.11)

Nếu lấy năng lượng mức thấp nhất 0 là mốc tính năng lượng, ta se có từ (1.6),

(1.9) và (1.10)

( )0

( )

1T

eN d

e

3/2

3

( )g zV

, (1.12)

Trong đó là bước sóng de Broglie nhiệt

22

mk T

(1.13)

Còn hàm 3/2g z là trường hợp riêng của tổng quát g z :

1

01

1

1( ) ,

( ) 1

l

pl

x

p

p

x zg z dx

p z e e

(1.14)

Với ( ) ( 1)!p p là hàm Gamma

Ta tìm nhiệt độ chuyển pha bằng cách viết lại (1.11) chú ý tới (1.12)

0 3/23

VN N g e

. (1.15)

6

Nhiệt độ chuyển pha Tc xác định thì điều kiện khi số hạt trong ngưng tụ N0=0

khi thế hóa học 0 0 . Từ (1.15) ta có

3

3/

/2

2

2

(1)

2B C

nk T

m g

2

2/33,31h

nm

(1.16)

Vì 3/2 1 2,612g

Từ (1.16) ta thấy rằng muốn Tc lớn ta cần mật độ hạt n lớn và khối lượng hạt

m nhỏ. Tuy nhiên n quá lớn cũng không tốt vì lúc đó không thể coi các hạt là

không tương tác.

Để tìm sự phụ thuộc của số hạt trong ngưng tụ và nhiệt độ N0(T) ta chú ý so

sánh

T < Tc từ (1.12) và (1.16) suy ra

32

332

1T

c

V TN g N

T

(1.17)

Vì thế từ (1.11) ta có

3/2

0 1c

TN T N

T

(1.18)

Để tìm nhiệt dung đăng tích ta cần tính năng lượng từ phương trình

1k

k

k

Ee

. (1.19)

Chuyển từ tổng theo các trạng thái lượng tử k sang tích phân theo năng lượng

(1.9) và sử dụng cho trường hợp 3 chiều mật độ trạng thái (1.10) ta thu được

+ T<Tc : 532

31

2B

VE k T g

+ T> TC : 532

3

2B

VE k T g z

. (1.20)

7

Thay (1.20) vào công thức tính nhiệt dung đăng tích V

V

EC

T

ta thu được :

+ T<Tc : 532

151

4

V

B

C Vg

k

+ T> Tc :

32

532

12

15 9

4 4

V

B

g zC Vg z

k g z . (1.21)

Các công thức (1.16) và (1.21) cho ta sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha và

nhiệt dung đăng tích mà sau này ta se cần để so sánh BEC với siêu chảy.

1.3 HIỆN TƯƠNG BEC CHO CÁC BOSON BẪY

Các bẫy quang học trong các thí nghiệm gần đây được tạo ra bởi các chùm laser

cường độ cao phân bố theo không gian dưới dạng hàm Gauss [13 ].

Vì vậy người ta có thể mô hình hóa hệ các nguyên tử trung hòa trong bẫy như

là các hạt boson không tương tác trong trường thế giao động tử điều hòa ba

chiều [13,14]. Năng lượng của mỗi boson se là :

1 2 3 1 1 2 2 3 3 0

0 1 2 3

1 2 3

1

2

, , 0,1,2

n n n n n n

n n n

(1.22)

Để tìm nhiệt độ chuyển pha và các đại lượng nhiệt động học khác ta lại sử dụng

gần đúng năng lượng liên tục trên cơ sở các dữ liệu thưc nghiệm. Trong thực tế

các phép đo tiến hành ở T K tần số laser 100i Hz nên 1i

Bk T

, vì vậy có

thể coi các mức năng lượng i là liên tục. Lúc đó tổng theo các số lượng tử

gián đoạn 1 2 3, ,n n n thay bằng tích phân theo năng lượng

Mật độ trạng thái tính như sau :

8

1 1 2 3

1 2 33 3

0 0 0

1 1,

6d d d

(1.23)

trong đó 1/3

1 2 3( ) .

Lúc này công thức (1.11) có dạng :

0

22

0 0 33

0

1 1

2 1

Bk TdN N N g z

e

(1.24)

Tại 0 , 1z và

31 1,202.g ta có

3

0 .1,202Bk TN N

. (1.25)

Từ đây suy ra nhiệt độ chuyển pha :

15

1,202B c

Nk T

. (1.26)

Từ (1.25) và (1.26) ta suy ra :

3

0 1c

N T

N T

. (1.27)

Trong trường hợp boson trong các bẫy ta cần lưu ý là không thể thực hiện giới

hạn nhiệt động học V , N , N

n constV

vì thể tích bẫy là hữu hạn, N

cũng là hữu hạn.

Từ (1.26) nếu lấy ~ 100 Hz, N thay đổi trong khoảng 104 – 107 như trong các

thí nghiệm thì nhiệt độ cần thiết để có BEC là 210 .cT nK

Thực hiện các tính toán tương tự như theo công thức (1.20) cho năng lượng của

hệ ta có :

3

0 33 BB

k Tk T g z

nếu

CT T

9

3

0 33 1BB

k Tk T g

nếu

CT T (1.28)

Từ đó suy ra nhiệt dung riêng

3

4

3

112

1B

C

g TC Nk

g T

CT T

4 3

3 2

3 4.B

g z g zC Nk

g z g z

CT T (1.29)

Tại cT nhiệt dung riêng không liên tục trái với kết quả cho hệ boson không ở

trong bẫy. Tính số cho thấy [13,14]

6,6   BC C C Nk (1.30)

1.4. PHÂN LOẠI CHUYỂN PHA

Kết quả về sự liên tục của nhiệt dung khi chuyển pha sang BEC khác nhau trong

hai trường hợp boson trong bẫy và boson không ở trong trường ngoài đặt ra

vấn đề là phải xem xét lại về sự phân loại chuyển pha. Mặc dù sự phân loại

chuyển pha không dễ dàng trong trường hợp tổng quát vì có rất nhiều loại

chuyển pha khác nhau. Tuy nhiên thông dụng nhất là hai cách phân loại : của

Ehrenfest và của Landau [ 16,17 ]. Năm 1933 Ehrenfest đề xuất : Chuyển pha

được gọi là bậc n nếu đạo hàm bậc n theo nhiệt độ của ít nhất một đại lượng

mô tả trạng thái của hệ như thế hóa học T , nội năng T , entropy S T

… không liên tục ở điểm chuyển pha, còn tất cả các đạo hàm bậc thấp hơn là

liên tục. Thí dụ chuyển pha khí – lỏng là bậc một vì T

là gián đoạn. Áp

dụng cho BEC thì đạo hàm bậc nhất của nội năng là nhiệt dung se phụ thuộc

vào hệ bị giam cầm hay không mà đạo hàm đó se gián đoạn hay liên tục. Tuy

nhiên đạo hàm của thế hóa học theo nhiệt độ T

luôn là gián đoạn, tức là

chuyển pha sang BEC là bậc một. Các kết quả nghiên cứu sâu hơn [16 ] cho

thấy, tương tác và kích thước của bẫy luôn có xu hướng làm nhòe đi sự gián

đoạn của đạo hàm thế hóa học . Như vậy, nếu chú ý đến các yếu tố khác thì

10

chuyển pha bậc 1 theo Ehrenfest có thể trở thành bậc 2 hoặc cao hơn. Để sự

phân loại có tính tổng quát hơn, Landau đưa ra khái niệm tham số trật tự gắn

liền với tính đối xứng của hệ. Tham số trật tự là đại lượng vĩ mô lượng hóa tính

chất đối xứng của hệ. Theo Landau, thông thường pha ở nhiệt độ cao hơn ở

nhiệt độ chuyển pha se có tính đối xứng cao hơn pha ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt

độ chuyển pha. Tham số trật tự se bằng không ở pha đối xứng cao hơn còn nó

se khác không ở pha đối xứng thấp hơn. Tham số trật tự có thể định nghĩa ngay

cả khi không có sự thay đổi tính đối xứng của hệ qua điểm chuyển pha. Thí dụ

từ pha lỏng sang pha khí hệ luôn là đồng nhất (isotropic), nhưng mật độ hạt

thay đổi một cách gián đoạn. Tham số trật tự có thể rất khác nhau : có thể là đại

lượng vô hướng như số hạt trong ngưng tụ của pha BEC, có thể là vectơ như

momen từ hóa khi xét chuyển pha từ... Khi đi qua điểm chuyển pha từ nhiệt độ

cao hơn xuống thấp hơn, nếu đối xứng của hệ thay đổi trở thành thấp hơn đối

xứng ban đầu của Hamiltonian của hệ thì người ta nói rằng đối xứng của hệ bị

phá vỡ tự phát. Tự phát là vì đối xứng thay đổi mà không cần số hạng phá vỡ đối

xứng trong Hamiltonian. Trong BEC, như ta thấy ở phần dưới, đối xứng chuẩn (

đối xứng gauge) của hệ boson bị phá vỡ tự phát. Landau phân các chuyển pha

thành 2 loại : chuyển pha loại một hay còn gọi là chuyển pha gián đoạn nếu tham

số trật tự thay đổi một cách gián đoạn qua điểm chuyển pha (khí sang lỏng-sang

rắn), chuyển pha loại hai hay chuyển pha liên tục khi tham số trật tự thay đổi liên

tục qua điểm chuyển pha (sắt từ-thuận từ, siêu dẫn – kim loại...).

Theo phân loại theo tiêu chí của Landau thì BEC là chuyển pha loại 2 vì số hạt

ngưng tụ 0n T luôn là liên tục theo T du có hay không tương tác, có hay không

bẫy giam cầm các nguyên tử trung hòa.

1.5. CÁC KẾT QUẢ THƯC NGHIỆM VỀ BEC

Khăng định bằng thực nghiệm hiện tượng BEC đã từng là một giấc mơ dài lâu

của vật lý. Ứng viên đầu tiên là 4He , nhất là hiện tượng tiêu chảy được cho có

liên hệ trực tiếp với BEC đã được phát hiện từ rất sớm (năm 1938) bởi nhà vật

lí Nga Kapitza. Tuy nhiên 4He là một hệ tương tác mạnh với thăng giáng lượng

tử quá lớn (là nguyên nhân nó không kết tinh dù ở nhiệt độ rất thấp) không cho

11

phép chỉ ra một cách rõ ràng các biểu hiện trực tiếp của BEC. Sau đó người ta

chuyển sang tìm BEC trong hệ các exciton. Exciton là cặp điện tử lỗ trống liên

kết nên là boson. Khối lượng điện tử và lỗ trống nhỏ hơn nhiều khối lượng các

hạt nhân nên hy vọng se cho nhiệt độ chuyển pha cT cao theo công thức (1.16).

Tuy nhiên mấy chục năm tìm kiếm trên Cu2 O không cho kết quả đáng kể nào

vì sau khi bị kích thích thì điện tử lại tái hợp rất nhanh với lỗ trống vì vậy không

tạo được một lượng exciton đủ lớn để có thể quan sát được BEC.

Mãi tới gần đây vào năm 1995 người ta mới quan sát được BEC trong hệ khí

kim loại kiềm siêu lạnh. Đầu tiên BEC được quan sát ở trong khí 87Rb gồm

2000 nguyên tử ở nhiệt độ dưới 170x10-9K [ 4 ]. Sau đó người ta quan sát được

BEC ở hệ khí 7Li với 2x105 nguyên tử với Tc ≈ 400x10-9 K, và của hệ gồm 5x105

nguyên tử Na ở nhiệt độ thấp hơn 2µK [5]. Có một vài biểu hiện khác nhau đặc

trưng cho BEC có thể nhận biết bằng thực nghiệm như phân bố nồng độ hạt, đo

các đại lượng nhiệt động học. Thí dụ chụp phân bố hạt boson theo vận tốc của hạt

ta có thể nhìn thấy dấu hiệu quan trọng là nồng độ hạt tăng vọt ở trạng thái cơ bản

ứng với vận tốc chuyển động nhiệt xấp xỉ bằng không.

Sau đó người ta cũng quan sát được BEC trong hệ khí Hydro siêu lạnh với 108

nguyên tử ở nhiệt độ thấp hơn 50 µK [18].

Được sự khích lệ của các kết quả với nguyên tử kim loại kiềm và hydro, hiện

nay người ta đang nỗ lực tìm BEC trong các hệ exciton, biexciton với điện từ

và lỗ trống cách ly trong không gian bằng các giếng thế cấu trúc nano để tăng

thời gian sống cho các hạt này [18] cũng như tìm BEC trong hệ kích thích từ

(magnon) trong các vật liệu từ [18 ].

12

CHƯƠNG 2. PHA SIÊU CHẢY VÀ SIÊU TINH THỂ

2.1. SIÊU CHẢY CỦA He [13]

Hiện tượng siêu chảy được Kapitza phát hiện bằng thực nghiệm năm 1938. Ông

ta thấy rằng ở TC = 2.18K, gọi là điểm , 4He từ pha lỏng thông thường (pha

He I) chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy (pha He II) . Siêu chảy là hiện

tượng chất lỏng chảy trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi

vận tốc v < vC nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). 4He

luôn ở pha lỏng ở áp suất khí quyển. Ngay cả khi nhiệt độ xuống tới nhiệt độ

không tuyệt đối T = 0K thì vẫn không chuyển sang thể rắn. Nó ở thể rắn khi áp

suất cao (ở T xấp xỉ 0K thì cần áp xuất P = 25 atm). Ở dưới nhiệt độ tới hạn

TC 4He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô cùng. Nếu cho He II vào ống

nghiệm hình trụ treo bằng sợi dây mảnh và khảo sát tần số dao động xoắn của

ống hình trụ thì người ta thấy rằng có sự truyền xung lượng của thành bình chứa

cho He II, nghĩa là trong một số điều kiện thí nghiệm thì độ nhớt không bằng

không. Điều này có thể giải thích nếu giả thiết He II là chất lỏng hai thành phần;

thành phần siêu chảy với mật độ s không có độ nhớt và thành phần chất lỏng

thông thường với mật độn . Trong thí nghiệm với dòng chất lỏng trong ống

nghiệm thì thành phần siêu chảy tham gia, còn trong thí nghiệm với con lắc

xoắn thì thành phần chất lỏng thông thường nhận xung lượng của thành bình.

Nhiệt dung riêng ở điểm chuyển pha có dạng sau ( H.2.1) trong đó v pC C

. Vì sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ nên đôi khi

chuyển pha này được gọi là chuyển pha .

13

Hình 2.1 Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ.

Tóm lại là ở 4.2 , 4He ở thể khí hoặc hơi bình thường, khi nhiệt độ xuống

dưới 4.2K, với áp suất khí quyển 4He chuyển từ pha khí sang pha rắn. Khi hạ

tiếp nhiệt độ xuống tới 2.17c 4He tiếp tục ở pha lỏng He I. Khi c , chất

lỏng 4He chuyển động tập thể không có độ nhớt - pha He II. Khi áp suất tăng

(quãng 2.5MPa) thì pha rắn với cấu trúc lập phương tâm khối xuất hiện. Như

vậy ở nhiệt độ thấp 4He có bốn pha, trong đó hai pha lỏng siêu chảy và lỏng

thông thường được ngăn cách bằng đường

Trong hình dưới là giản đồ pha của He.

4 T (K) 1 2 3 5

Cv

6

T3

14

2.2. LÝ THUYẾT CHẤT LỎNG HAI THÀNH PHẦN VÀ TIÊU CHÍ

LANDAU

2.2.1. Lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau [13]

Lý thuyết bán hiện tượng luận chất lỏng hai thành phần được Landau đề xuất

vào năm 1941 để giải thích hiện tượng siêu chảy. Nội dung của lý thuyết này

là: He II gồm chất lỏng siêu chảy có độ nhớt bằng không và các kích thích,

được coi như là các phonon với nồng độ n (tương tự mô hình tinh thể gồm

mạng tinh thể và các kích thích tập thể dao động mạng gọi là phonon). Các

1 2 3 4 5 T (K)

5

10

15

20

25

P (atm)

30

35

40

45

6

T = 2.22K

P = 2.29 atm

Khí

He I

(chất lỏng thông thường) 4He II

(siêu

chảy)

He I

(rắn)

T = 1,743K

P = 29,09 atm

H.2.2. Giản đồ pha của 4He

He II: pha siêu chảy

He I: Pha lỏng thông thường

15

kích thích này đóng vai trò là thành phần chất lỏng thông thường. Đại lượng n

được đưa vào một cách giả định mà không phải là mật độ cụ thể nào. Từ giả

thiết về các phonon suy ra ngay nhiệt dung riêng của He II ở nhiệt độ thấp tỷ

lệ 3 vì đó là đóng góp của phonon.

Tổng nồng độ hai thành phần chất lỏng của He II là không đổi nhưng tỷ số của

chúng n

s

có thể thay đổi, nhưng khi

n thay đổi thì nhiệt độ thay đổi. Điều này

dẫn tới sự xuất hiện của một loại dao động mới, được gọi là sóng âm thứ hai,

để phân biệt với phonon –được gọi là sóng âm thứ nhất. Bản chất của sóng âm

thứ hai là sự lan truyền của dao động nhiệt độ và có thể kích thích bằng các

xung nhiệt độ thay vì là các xung áp suất đối với phonon. Sóng âm thứ hai có

thể coi như sóng của mật độ trong khí phonon. Nếu như vậy thì vận tốc sóng

âm thứ hai se bằng 1

3vận tốc sóng âm thứ nhất bởi vì từ phương trình chung

của thủy động học có thể chứng minh rằng nếu vận tốc của các hạt trong chất

lỏng là c thì vận tốc sóng âm trong chất lỏng đó là3

c. Tiên đoán lý thuyết này

của Landau sau đó đã được xác nhận bằng thực nghiệm.

Để giải thích các đại lượng đo được bằng thực nghiệm ở pha He II lân

cận điểm , Landau giả thiết sự tồn tại một loại kích thích khác nữa và được

gọi là roton với phổ năng lượng phụ thuộc xung lượng của phonon và roton có

dạng như sau:

Hình 2.3 . Phổ phonon và roton theo Landau

E(P)

P

Phonon

roton

16

Ở nhiệt độ thấp, phổ năng lượng kích thích có dạng cp P và các kích thích

là phonon, ở xung lượng lân cận 0 , các kích thích là roton và năng lượng kích

thích có dạng:

2

0( )( )

2

p pp

(2.1)

Ở công thức trên 8,5 K , 0,16 Hem là khối lượng hiệu dụng còn

8 1

0p 1,9.10 cm Sau này lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau cũng được

xác nhận bằng lý thuyết vi mô.

2.2.2. Tiêu chí của Landau về vận tốc siêu chảy tới hạn [13].

Xét chất lỏng ở T= 0 K, mọi hạt ở trạng thái cơ bản và chuyển động tương đối

so với ống chứa với vận tốc không đổi u . Nếu chất lỏng có độ nhớt thì do ma

sát với mặt ống mà động năng giảm. Ta coi quá trình giảm vận tốc là thông qua

quá trình sinh ra các kích thích cơ bản (kiểu như chuẩn hạt Bogoliubov trong

khí Bose có tương tác.

Xét hệ quy chiếu K gắn với chất lỏng (chuyển động với vận tốc u với hệ phòng

thí nghiệm). Trong hệ quy chiếu này chất lỏng đứng yên. Nếu một kích thích

cơ bản với xung lượng p sinh ra trong chất lỏng thì năng lượng của toàn bộ

chất lỏng trong hệ quy chiếu K se là 0E p , trong đó 0E là năng lượng

trạng thái cơ bản của chất lỏng ( vì ở T = 0 K), còn p là năng lượng kích

thích cơ bản

Bây giờ ta xét trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm K’. Hệ quy chiếu phòng

thí nghiệm K’ se chuyển động so với K với vận tốc -u .

Ta xét biến đổi Galileo dạng tổng quát. Xét một vật có năng lượng E và xung

lượng P trong hệ quy chiếu K. Chuyển sang hệ quy chiếu 'K , chuyển động

với vận tốc V so với K theo hướng X:

'P P MV (2.2)

17

'

'

2'

2' 1

2 2

X X Vt

v v V

PE P MV

M M

21

2E PV MV (2.3)

Thay V =-u vào (2.2) và (2.3) ta có:

'

' 21.

2o

P p M u

E E p p u M u

(2.4)

Nếu không có kích thích thì

'

' 21

2o

P M u

E E M u

(2.5)

Tức là khi có kích thích cơ bản thì xung lượng chất lỏng thay đổi một lượng

p còn năng lượng thay đổi . 0p p u , hay:

. . 0p p u p u và p

up

Vậy muốn có siêu chảy thì trong hệ không được có kích thích cơ bản, tức là

vận tốc chảy của chất lỏng phải nhỏ hơn vận tốc tới hạn

mincp

pv

p

(2.6)

( minp

có nghĩa là phải tìm cực tiểu trong cả khoảng giá trị của p )

Đây là tiêu chí của Landau về vận tốc tới hạn siêu chảy..

Áp dụng cho khí Bose lý tưởng ta có:

18

2

2

min 0c

pp

m

pv

p

Nghĩa là không có siêu chảy nếu hệ boson không tương tác.

Hệ boson có tương tác nói chung không thể giải một cách chính xác để thu

nghiệm giải tích. Tuy nhiên, bằng một số gần đúng thích hợp, người ta có thể

thu được các kết quả sau cho phổ kích thích của hệ khi tương tác là yếu (H.2.4a)

và khi tương tác là mạnh (H.2.4b).

Hình 2.4:

a) Phổ kích thích khi tương tác yếu. b) Phổ kích thích khi tương tác mạnh

Ta thấy khi tương tác yếu, hình 2.4a cho ta dạng 2.3 như lý thuyết của Landau.

2.3. MÔI LIÊN HỆ GIỮA BEC VÀ SIÊU CHẢY [13,14,16]

2.3.1. Đánh giá chung

Nhiều người cho rằng siêu chảy có liên quan chặt che với BEC, trong đó phần

chất lỏng siêu chảy chính là các boson ở trong ngưng tụ. Tuy nhiên, giữa BEC

và siêu chảy không có mối quan hệ đơn nhất, cụ thể là BEC không là điều kiện

cần và đủ của siêu chảy. Chăng hạn, ở các hệ thấp chiều như các nguyên tử bị

bẫy trong không gian hai chiều tính chất siêu chảy không kèm theo ngưng tụ

Bose- Einstein. Hay qua thí dụ ở trên, hệ boson lý tưởng bao giờ cũng có BEC

ở nhiệt độ thấp nhưng muốn có siêu chảy thì phải có tương tác để phổ kích thích

Roton

19

phụ thuộc tuyến tính vào xung lượng ở gần đúng sóng dài để thoả mãn tiêu chí

Landau. Ta so sánh cụ thể siêu chảy của hệ 4He với các kết quả lý thuyết về

BEC tính toán trên giả thiết hệ nguyên tử He tự do. Trước hết 4He là hệ các

boson mà tính chất siêu chảy và ngưng tụ Bose- Einstein đều ở nhiệt độ thấp.

Ta thực hiện một số đánh giá định lượng sau.

Trước hết so sánh nhiệt độ chuyển pha BEC tính lý thuyết với nhiệt độ chuyển

pha siêu chảy thực nghiệm. Thay số cho hệ 4He vào công thức (1.16) ta có:

2 2

2/3

2

1.3,31. 3,31 3,07C

B B

T n Kk m ma k

(2.7)

Ta thu được nhiệt độ TC chuyển pha BEC cho hệ bosons lý tưởng cũng khá

gần nhiệt độ chuyển pha TC siêu chảy đo thực nghiệm (2,17K).

Ta xét mật độ ngưng tụ hạt trong ngưng tụ ở pha BEC cho hệ 4He tự do theo công

thức (1.18 ). Nếu ta coi BEC gồm 2 thành phần: với số hạt No (tương ứng siêu

chảy) và với số hạt NT (chất lỏng bình thường). Từ (1.18) ta có đồ thị so sánh

tỷ số nồng độ hạt ở hai pha giữa lý thuyết BEC và thực nghiệm trong hình 2.5

20

Hình 2.5: So sánh tỷ số nồng độ hạt ở hai pha

Bây giờ ta so sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng CV vào T của BEC tính theo

( 1.21 ) với kết quả thực nghiệm siêu chảy.

T (K) 2 0.5 1 1.5 2.5

3

Thực nghiệm

0.5

1

Lý thuyết BEC

21

Hình 2.6 So sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng vào nhiệt độ.

Các so sánh thực nghiệm siêu chảy với lý thuyết hệ khí boson He tự do ở trên

là cơ sở để giả thiết rằng có mối liên quan trực tiếp giữa BEC và siêu chảy của 4He.

2.3.2: Hàm sóng vĩ mô [13]

Ma trận mật độ một hạt của hệ nhiều hạt định nghĩa như sau:

(2.8)

Trong đó và là các toán tử trường (hủy và sinh hạt tại r

), ký hiệu

<.... > là lấy trong bình nhiệt động học (khi N, V thì N/V = constant, N

là số hạt, V là thể tích). Trung bình của toán tử A tương ứng với đại lượng vật

lý A định nghĩa là

T (K) 2,4 1,6 2 2,2 2,8 3,2

Thực nghiệm

2

4

Thực nghiệm BEC bose gas

6

8

10

12

1,2

.

Phụ thuộc Cv vào T

22

ˆ ˆˆA Tr A (2.9)

trong đó là ma trận mật độ ứng với Hamiltonian đã cho.

Nếu 'rr

thì ma trận mật độ một hạt )(),()',()1( rnrrnrrn

được gọi là mật

độ chéo (diagonal density) hay phân bố một hạt.

Phân tích toán từ trường dưới dạng (2.10)

với ˆ ˆ,i ia a là toán tử hủy (sinh) hạt ở trạng thái i. Tách số hạng với i=0 ứng với

trạng thái cơ bản trong (2.10):

(2.11)

Theo Bogoliubov, vì số hạt trong ngưng tụ 1 No oo aa nên có thể coi gần

đúng 0a và

0a là c số: oN~ . Nguyên nhân là giao hoán tử của hai toán tử sinh

hủy bằng một, còn bản thân toán tử 1~ oN nên có thể bỏ qua giao hoán tử

của chúng và coi 0a và

0a là c số. Lúc đó ooa ~ ( )o oN r được xem như là

trường cổ điển và (2.11) trở thành :

(2.12)

với

Cho hệ khí Bose loãng, ở nhiệt độ T nhỏ, có thể bỏ qua và làm việc với

trường cổ điển và hệ coi như cổ điển (giống như giới hạn cổ điển trong điện

động lực, khi trường photon thay bằng trường điện từ cổ điển).

Hàm ( )o r được coi là hàm sóng của ngưng tụ và đóng vai trò là tham số trật

tự. Đây là đại lượng phức:

(2.13)

23

o xác định phần đóng góp của ngưng tụ vào mật độ chéo, còn thừa số pha

S(r) đóng vai trò chính trong hiện tượng kết hợp và siêu chảy. Ở T > TC thì

( ) 0o r . Toán tử trường xác định chính xác tới thừa số pha ei mà không

thay đổi gì tính chất của hệ (Hamiltonian không thay đổi), nghĩa là hệ ban đầu

có đối xứng gauge. Nhưng khi chọn hàm sóng với pha xác định thì vectơ trạng

thái không còn đối xứng gauge nữa tức là đã phá vỡ đối xứng gauge. Như vậy

sự tồn tại của hàm song dạng (2.13) liên quan tới phá vỡ đối xứng gauge tự

phát.

Từ cơ học lượng từ; vận tốc kmm

pv

của hạt bằng tác dụng của toán tử vận

tốc lên hàm sóng

(2.14)

Trong pha BEC thì n(1)(r,r ') = f+(r)

⌢f(r ') @ n

o, nên coi oo nr )( ; số hạng đầu

bằng không. Vậy suy ra:

(2.15)

Công thức (2.15) cho thấy mối liên hệ trực tiếp giữa vận tốc siêu chảy và pha

của hàm sóng BEC.

2.4. SIÊU TINH THỂ

2.4.1. Khái niệm pha siêu tinh thể

Pha siêu tinh thể được đề xuất từ cách đây hơn 50 năm [8,9]. Sau khi phát hiện

siêu chảy của He, một câu hỏi xuất hiện là có thể tồn tại đồng thời pha rắn tinh

thể và pha siêu chảy, nhất là khi 4He có thể ở trạng thái rắn khi áp xuất p > 25

atm, và nhiệt độ T nhỏ. Thoạt nhìn thì pha tinh thể là sự sắp xếp có trật tự của

các nguyên tử còn pha siêu chảy là sự chuyển động tự do của các nguyên tử,

như hai pha này cung đồng tồn tại là vô lý. Ta se xem xét vấn đề từ quan điểm

chuyển pha của Landau.

24

2.4.1.1. Trật tự tầm xa chéo và pha tinh thể.

Như trên đã nói, trong công thức (2.8) ta đặt 'rr

thì ma trận mật độ một hạt

)(),()',()1( rnrrnrrn

được gọi là mật độ chéo (diagonal density). Nếu )(rn

thỏa mãn:

)()( rnarn

(2.17)

trong đó a

là bộ các vecto bất kỳ, khác không, thì người ta nói rằng hệ có trật

tự tầm xa chéo (DLRO-Diagonal Long Range Order).

Với tinh thể với các nguyên tử ở nút mạng, khi không kể tới dao động mạng, ta

luôn có mật độ nguyên tử thoả mãn:

(2.18)

Ta thấy (2.18) là trường hợp riêng của (2.17).

Trong không gian liên tục, đồng nhất và đăng hướng, không có trường ngoài

thì Hamiltonian có đối xứng tịnh tiến, tức là bất biến khi dịch chuyển tọa độ

với bất kỳ một vectơ cơ sở nào và trạng thái với )(rn

bằng hằng số trong toàn

không gian là một vectơ riêng của Hamiltonian. Điều kiện (2.17) có nghĩa là hệ

chỉ bất biến với phép tịnh tiến với vecto a

, nghĩa là bất biến tịnh tiến bị phá

vỡ một cách tự phát (Hamiltonian ban đầu bất biến, nhưng vectơ trạng thái

không còn bất biến). Người ta nói rằng, pha tinh thể đã phá vỡ đối xứng tịnh

tiến tự phát và có tham số trật tự chéo. “Tự phát” có nghĩa là không cần thêm

vào một số hạng phá vỡ đối xứng vào Hamiltonian ban đầu. Pha lỏng là khi mật

độ hạt )(rn

là hằng trong toàn chất lỏng, nên không phá vỡ đối xứng tịnh tiến

và không có DLRO. Tương tự như vậy, trong lý thuyết từ, Hamiltonian

Heisenberg ban đầu bất biến với phép quay trong không gian spin, nhưng trạng

thái sắt từ và phản sắt từ có từ hóa theo một hướng (thí dụ oz); tức là đối xứng

quay bị phá vỡ một cách tự phát. Tham số trật tự là độ từ hóa zS .

2.4.1.2. Trật tự tầm xa không chéo và siêu chảy.

25

Trong công thức (2.8), nếu n(1)(r,r’) no0 khi |r-r’| ∞ thì ta nói rằng hệ

có trật tự tầm xa không chéo (ODLRO – Off Diagonal Long Range Order). Ý

nghĩa của ODLRO là sự có mặt của hạt ở 'r và sự có mặt của hạt ở r là hai

sự kiện ảnh hưởng qua lại lẫn nhau.

Mở rộng cho trường hợp các hạt phân bố trên mạng, nếu (1) ˆ ˆ 0ij i j on a a n

khi độ lớn của ji RR

thì nói rằng hệ hạt trên mạng có trật tự tầm xa không

chéo ( ở đây ˆia và ˆ

ia là các toán tử hủy và sinh hạt ở iR

chứ không phải là

toán tử sinh hủy hạt ở trạng thái )(ri

).

Như vậy hàm ( )o r được coi là hàm sóng của ngưng tụ như được định nghĩa ở

(2.14) đóng vai trò là tham số trật tự tầm xa không chéo, trong đó phần modun

o là đóng góp của ngưng tụ BEC, còn thừa số pha S(r) đóng vai trò chính

trong hiện tượng siêu chảy.

Từ những trình bày ở đây ta thấy sự tồn tại pha siêu chảy không mâu thuẫn với

sự có mặt của pha tinh thể. Pha tinh thể là trật tự trong không gian thực, với

tham số trật tự tầm xa chéo, phá vỡ đối xứng tịnh tiến tự phát. Pha siêu lỏng là

trật tự trong không gian xung lượng, với tham số trật tự tầm xa không chéo phá

vỡ đối xứng gauge tự phát (kết hợp pha trên toàn hệ).

2.4.2. Kết quả thực nghiệm về siêu tinh thể trong He 4 [10,11]

Những thí nghiệm đầu tiên về siêu tinh thể được thực hiện với He. Pha tinh thể

có thể xác định bằng bằng tán xạ Bragg. Còn pha siêu chảy trong vật rắn có thể

dung phép đo moment quán tính không cổ điển do Leggett đề xuất. Giả sử ta

có một bình chứa và vật ở trong bình, ta cho bình chứa đó quay với vận tốc góc

w. Moment quán tính của cả hệ bằng tổng moment của bình chứa Ibình và của

vật Ivật:

Icl = Ibình + Ivật.

Tổng moment quán tính Icl là moment quán tính cổ điển.

Bây giờ trong bình ta chứa vật liệu sinh thể với No nguyên tử siêu chảy. Nếu

vận tốc quay v = wr < vC , vì không có ma sát nên các nguyên tử này không

26

quay theo (r là khoảng cách từ nguyên tử siêu chảy tới trục quay). Vì vậy

momen quán tính I của vật liệu siêu tinh thể (moment quán tính không cổ điển)

nhỏ hơn moment quán tính cổ điển. Tỷ số clI

I cho ta biết tỷ lệ số nguyên tử siêu

chảy so với số nguyên tử bình thường.

cl

s

I

I

N

N1 (2.19)

Công thức (2.19) là cơ sở của phép đo momen quán tính không cổ điển.

Năm 2004, trong một thí nghiệm tinh tế đo dao động xoắn của Heli 4 ở thể rắn,

Chan và Kim [10] đã cho rằng tồn tại pha siêu tinh thể dựa trên sự giảm tần

số dao động ở nhiệt độ thấp của Heli 4. Sau đó đã có rất nhiều công trình thực

nghiệm nghiên cứu vấn đề này [xem 12 và tài liệu trích dẫn trong đó] Năm

2012 một số thực nghiệm cho thấy sự thay đổi của hệ số đàn hồi xoắn ở nhiệt

độ thấp cũng có thể cho hiệu ứng về sự thay đổi tần số con lắc xoắn cùng bậc

với giả thiết do siêu chảy [11], vì vậy các kết luận về sự tồn tại pha siêu tinh

thể là không hiển nhiên [11]. Năm 2015 một số tác giả thực hiện các thí nghiệm

với dao động xoắn chế độ đôi và ba cho rằng có sự tồn tại siêu tinh thể . Tuy

nhiên hiện nay sự tồn tại pha siêu tinh thể trong He 4 vẫn chưa được khăng định

một cách chắc chắn.

2.4.3. Siêu tinh thể trong mạng quang học

Những tiến bộ trong kỹ thuật bẫy quang học và tạo nhiệt độ siêu lạnh đã mở ra

nhiều triển vọng mới trong việc phát hiện pha siêu tinh thể. Bằng cách phối hợp

các chùm laser và từ trường người ta có thể tạo nên hệ các nguyên tử trung hòa

phân bố trên các mạng có cấu trúc đa dạng : mạng hình vuông, mạng tam giác,

mạng tổ ong…Ngoài ra tương tác giữa các nguyên tử trên mỗi nút, tương tác

giữa các nút, cũng như xác xuất nhảy nút có thể điều khiển được bằng cách thay

đổi điều kiện thí nghiệm. Điều này đã khích lệ các nhà lý thuyết nghiên cứu

những hiệu ứng vật lý trên các mô hình rất đa dạng. Về mặt thực nghiệm, có

nhiều kết quả đã chỉ ra rằng có dấu hiệu tồn tại trạng thái siêu tinh thể trong

các khí nguyên tử lưỡng cực như khí Cr, Dy, Er ở nhiệt độ siêu lạnh [19,20].

27

Trong các thí nghiệm này, pha tinh thể thể hiện ở sự tồn tại của sóng mật độ

chụp ảnh được, còn pha siêu chảy thể hiện ở một số đại lượng liên quan tới sự

kết hợp pha trên toàn hệ. Hiện nay các thí nghiệm về pha siêu tinh thể trong hệ

nguyên tử siêu lạnh vẫn đang được tiếp tục tiến hành mạnh me.

28

CHƯƠNG 3: SIÊU TINH THỂ HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN

MẠNG HÌNH VUÔNG TRONG MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG

TRONG BIỂU DIỄN SPIN

3.1. MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG

Mô hình thông dụng nhất để nghiên cứu hệ nguyên tử trung hoà trên mạng

quang học là mô hình Bose-Hubbard mở rộng được mô tả bằng Hamiltonian

sau [7]

(3.1)

Trong đó: tương ứng là toán tử sinh và hủy boson trên nút i, là tích

phân nhảy nút do chui ngầm, số hạng thứ ba là tương tác trên một nút, là số

hạng tương ứng với tương tác giữa nguyên tử trên hai nút i và j, thường nhỏ

hơn so với U. Nếu Vij không rất nhỏ so với U thì người ta gọi là boson mềm,

còn nếu U rất lớn thì người ta gọi là boson lõi cứng. Lúc đó người ta bỏ số hạng

chứa U đi, nhưng phải chú ý là không thể có hai boson trên một nút. Khi đó,

các toán từ sinh hủy boson lõi cứng có hai tính chất sau:

Thỏa mãn các hệ thức giao hoán ở hai nút khác nhau:

, với . (3.2)

Thỏa mãn hệ thức phản giao hoán ở trên cùng một nút để hoặc bằng

1, hoặc bằng 0:

. (3.3)

3.2. MÔ HÌNH BOSON LÕI CỨNG TRONG BIỂU DIỄN SPIN

3.2.1. Ánh xạ boson lõi cứng sang spin [21 ]

H = m ni

i

å + tij

bi

† - bj

†( ) bi- b

j( )ij

å +U nin

ii

å + Vijn

in

jij

å

†ˆ ˆ,i ib b ijt

ijV

† † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0i j i j i j

b b b b b b

i j

†ˆ ˆˆi i i

n b b

†

† †

ˆ ˆ, 1

ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0

i i

i i i i

b b

b b b b

29

Các toán tử boson lõi cứng là không chính tắc, vì vậy không có định lý Wick

nên không áp dụng một cách trực tiếp các phươmg pháp lý thuyết hệ nhiều hạt

[1,2]. Người ta có thể chuyển từ toán tử bosons lõi cứng sang toán tử spin.

Tuy toán tử spin cũng không là chính tắc, nhưng vì spin liên quan với tính chất

từ của vật liệu nên người ta phát triển rất nhiều phương pháp hiện đại cho hệ

spin. Thí dụ : thí dụ biểu diễn các toán tử spin qua các toán tử chính tắc bosons

kiểu Holstein – Primakov, Dyson-Maleev, Schwinger boson, hay qua toán tử

chính tắc fermion- kiểu Absikosov fermion). Hơn thế nữa, nếu biến đổi mô hình

boson lõi cứng sang dạng mô hình Heisenberg thì có rất nhiều kết quả đã thu

được và ta có thể sử dụng ngay. Có thể ánh xạ từ boson lõi cứng sang spin vì

nếu biểu diễn :

, (3.4)

trong đó

, (3.5)

với :

thì ta thấy các toán tử (3.4) thoả mãn (3.2) và (3.3). Ta chú ý là từ hệ thức cuối

của (3.4) thì nếu spin lên thì nút i bị chiếm, còn nếu spin xuống thì không có

boson ở i

3.2.2. Tham số trật tự trong không gian spin [21]

bi

+ = Si

+ = Si

x + iSi

y

bi= S

i

- = Si

x - iSi

y

ni= b

i

+bi= S

i

+Si

- =1

2+ S

i

z

SSi

S

SSS

iSSS

y

x

yx

2

1

2

1

Si,S

jéë

ùû

= ieijk

Sk,

Si,S

k{ } =0

ì

íï

îï

30

Khi xét siêu tinh thể ta quan tâm tới hai tham số trật tự tầm xa chéo và không

chéo

a. Tham số trật tự tầm xa chéo:

. (3.6)

Vì hằng số không ảnh hưởng kết quả, nên ta bỏ qua và DLRO tương ứng se

là . Nếu phụ thuộc i và tạo thành các phân mạng nhỏ (sublattice),

tương ứng trật tự phản sắt từ trong không gian spin, lúc đó có DLRO trong

không gian hardcore boson, nghĩa là hệ boson có cấu trúc tinh thể (với mạng

mới là các phân mạng từ, không trùng với mạng ban đầu).

b. Tham số trật tự tầm xa không chéo ;

1

,2

i j i j j in R R b b b b . (3.7)

Thay (3.4) ) vào (3.7), chú ý ở hai nút khác nhau

(3.8)

Vậy ODLRO trong biểu diễn spin là:

. (3.9)

Vậy nếu thì hệ boson lõi cứng đang xét là ở

pha siêu chảy.

Kết hợp a và b, ta xét ví dụ trên ngôn ngữ spin của mạng hai chiều trên mặt

(xz). Gọi góc hợp bởi spin và trục Oz là .

a. Sắt từ

ziiiii SbbRRn

2

1,

2

1

ziS z

iS

0, ji SS

yj

yi

xj

xi

yi

xi

yj

xj

yj

xj

yi

xiijji

SSSS

iSSiSSiSSiSSbbbb

2

1

2

1

yj

yi

xj

xiji SSSSRRn ,

0x x y y

i j i j i jS S S S khi R R

A B

B A

31

Trung bình spin không phụ thuộc i, không có tham số trật tự tầm xa chéo, là

chất lỏng thông thường, không phải tinh thể.. nên

không có tham số trật tự tầm xa không chéo, không có siêu chảy.

b) Thuận từ

vì hỗn loạn từ nên

Trường hợp này không tạo thành mạng, không có tham số trật tự tầm xa chéo,

là chất lỏng thông thường. Mặt khác nên không có

tham số trật tự tầm xa không chéo, không có siêu chảy.

c) Phản sắt từ

Vì

phụ thuộc phân mạng, do đó có tham số trật tự tầm xa chéo, là tinh thể.

Mặt khác không có tham số trật tự tầm xa không chéo,

không có siêu chảy.

d) Sắt từ nghiêng đồng tuyến

0;cos cos 1

1ˆ2

A B A B

z

iS m

1sin sin 0

4

x x

i j A BS S

,A B

0 1

cos2

z

i iS

1sin sin 0

4

x x

i j A BS S

ˆcos cos 1; z

A B iS

0x x x x

A B A BS S S S

A B A

A B B

A B

B A

A B

32

, không phụ thuộc i, vậy nên không có

tham số trật tự tầm xa chéo, không có tinh thể.

e) Săt từ nghiêng không đồng tuyến

Lúc này có cả tham số trật tự tầm xa chéo và tham số trật tự tầm xa không

chéo, có thể tồn tại pha siêu tinh thể.

f) Phản sắt từ nghiêng

trường hợp này có cả tham số trật tự tầm xa chéo và tham số trật tự tầm xa

không chéo, nên có thể tồn tại siêu tinh thể.

3.2.3. Hamiltonian boson lõi cứng trong biểu diễn spin.

Thay (3.4) vào (3.1), sau khi bỏ qua số hạng chứa U, nếu ta không xét đến số

hạng hằng số thì ta thu được:

H = m + 2 tij

j

å + Vij

j

åæ

èçö

ø÷S

i

z

i

å + tij

-2Si

xSj

x - 2Si

ySj

y( )ij

å + VijS

i

z Sj

z

ij

å.

(3.10)

Để đưa về dạng quen thuộc khi làm việc với hệ spin, ta ký hiệu:

. (3.11)

Lúc đó (3.10) viết lại thành:

1ˆcos cos 1; os ons2

z

A B iS c c t

1 os os 1

sin sin

A B

A B

c c

2

1ˆcos cos 1; os2

1sin 0

4

z

A B i i

x x

i j A

S c

S S

2ij ij

ij ij

z

ij ijj j

J t

J V

h J J

A B

A B

33

. (3.12)

Nếu chỉ tính đến tương tác giữa hai nút lân cận gần nhất thì ta có thể coi

là hằng số và đặt:

. (3.13)

Lúc đó ta thu được:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ z z x x y y z z

i i j i j i ji ij

H h S J S S S S S S (3.14)

Tương tự, trong trường hợp tính đến gần đúng tiếp theo lân cận gần nhất ta có:

H = hz Si

z

i

å + J1

D1

Si

xSj

x + Si

ySj

y( ) + Si

zSj

zéë

ùû

ij

å + J2

D2

Si

xSk

x + Si

ySk

y( ) + Si

z Sk

zéë

ùû

<<ik>>

å

(3.15)

Các tham số J1, Δ1 và J2, Δ2 được định nghĩa tương tự như (3.13) cho các nút

lân cận gần nhất và tiếp theo lân cận gần nhất.

Mô hình (3.14) và (3.15) là mô hình Heisenberg bất đăng hướng trong không

gian spin và đã được nghiên cứu nhiều bằng nhiều phương pháp khác nhau

trong các gần đúng khác nhau cho các loại mạng tinh thể khác nhau. Vì vậy ta

có thể sử dụng các kết quả nghiên cứu mô hình này đê khảo sát hiện tượng siêu

tinh thể trong hệ.

3.3. ÁP DỤNG CHO HỆ NGUYÊN TỬ SIÊU LẠNH TRÊN MẠNG HÌNH

VUÔNG.

Ta xét mạng quang học mà các nguyên tử trung hòa bị giam cầm trên các nút

mạng hai chiều hình vuông trong gần đúng boson lõi cứng và lân cận gần nhất

như ve trên hình 3.1a.

,ij ij

J J

; ;ij ij

JJ J J J

J

34

t

i V k

a. Mạng quang hình học vuông

J

i j

b. Mô hình Heisenberg trên mạng

hình vuông

Hình 3.1. Mô hình boson lõi cứng trên mạng hình vuông

Mỗi nguyên tử trên nút i có thể chui ngầm sang nút k lân cận gần nhất với tham

số nhảy nút t, đồng thời nếu trên nút i và j đồng thời có ni và nj nguyên tử thì

giữa chúng có thế tương tác V ni nj. V là tương tác kiểu van der Waals đã được

lấy gần đúng. Số hạng tương tác trên mỗi nút là lớn vô cùng và ta thay bằng

cách coi các toán tử boson thỏa mãn phản giao hoán tử (3.3). Tương tác V luôn

là dương, còn t là âm để số hạng nhảy nút ở lân cận k=0 tương ứng với động

năng của hạt tự do.

Bây giờ ta áp dụng biến đổi (3.4) thì từ mô hình boson lõi cứng ta thu được mô

hình Heisenberg bất đăng hướng (3.14). Ta ký hiệu J là tích phân trao đổi bất

đăng hướng: 2x yJ J t , còn zJ V .

Kết quả thu được, có thể viết lại dạng quen thuộc khi nghiên cứu các hệ momen

từ định xứ như sau:

x x y y z z

zi j i j i ji

i ij

H h s J S S S S S S

(3.16)

trong đó 4 2h t V

2

J V

t

V

(3.17)

35

Mô hình (3.16) là mô hình Heisenberg bất đăng hướng đặt trong từ trường ngoài

h. Đây là bài toán từ phức tạp vẫn đang được nghiên cứu rất nhiều. Trong luận

văn này để phù hợp với khả năng của học viên se lấy lại các kết quả đã biết cho

hệ từ (3.16) để suy ra cho hệ boson lõi cứng.

Như các tác giả khác đã làm trước hết bỏ qua số hạng chứa h bằng cách giả

thiết là ta chọn nồng độ hạt sao 4 2t V và như vậy là h = 0. Khi đó (3.16)

là mô hình Heisenberg bất đăng hướng trong không gian spin.

Ta phân biệt hai trường hợp:

i, 0 1 : 2 t V

Lúc đó (3.16) tương ứng là bất đăng hướng kiểu Ising, nghĩa là trong gần đúng

cổ điển khi coi các spin là vec tơ cổ điển có độ dài là S thì các spin se có trật

tự phản sắt từ (vì J>0) trong mặt phăng bất kỳ đi qua trục Oz. Ta có thể chọn

đó là mặt xOz. Lúc này ta có:

. z

iS S và tạo ra hai phân mạng từ

. 0x x y y

i j i jS S S S (3.18)

Từ đây ta suy ra hệ boson lõi cứng ở pha tinh thể với hằng số mạng gấp 2 lần

hằng số mạng quang học ban đầu, nhưng không có pha siêu chảy.

Bây giờ ta xét thêm thăng giáng. Ở bậc hai theo thăng giáng se có đóng góp

của sóng spin. Tuy nhiên đóng góp sóng spin chỉ làm thay đổi độ lớn của trung

bình theo hướng z một lượng zm

z

i zS S m (3.19)

Từ (3.19) ta thấy (3.18) không bị ảnh hưởng nên cũng không có pha siêu chảy.

Như vậy ta thấy nếu 2 t V : không có pha siêu tinh thể.

ii, 1 : 2 t V

Trong trường hợp này mô hình Heisenberg (3.16) tương ứng với bất đăng

hướng kiểu mặt từ dễ, nghĩa là trong gần đúng cổ điển các spin se nằm trong

36

mặt phăng Oxy. Vì 0J nên các spin định hướng phản sắt từ trong mặt đó,

chọn theo trục Ox chăng hạn. Lúc đó 0z

iS nên không thể có pha tinh thể.

Nếu ta xét thêm thăng giáng thì cũng chỉ có đóng góp của sóng spin vào thành

phần theo trục x của độ từ hóa tự phát vào khoảng lên xuống hiệu mômen từ

theo hướng Oz.

Như vậy khi 2 t V thì cũng không có pha siêu tinh thể.

Bây giờ ta xét thêm ảnh hưởng của số hạng chứa h. Ta lại phân ra hai trường

hợp:

iii, 0h ; 2 t V

Vì tác dụng của h theo trục z nên không làm ảnh hưởng tới trật tự ở mặt Oxy,

vì vậy kết quả (3.18) vẫn giữ nguyên và không có pha siêu chảy, còn pha tinh

thể có còn tồn tại hay không lại phụ thuộc độ lớn của h. Nếu h nhỏ thì trật tự

phản sắt từ không mất đi, còn h tăng dần thì dần dần các spin se định hướng

theo hướng từ trường, cuối cùng se là trạng thái sắt từ.

Như vậy với 0h ; 2 t V không có siêu tinh thể.

iv, 0h ; 2 t V

Như lý luận trong ii, không có từ trường thì 0z

iS , còn nếu có từ trường thì

0z

iS vì các momen từ trên các nút định hướng theo từ trường. Tuy nhiên

z

iS không tạo các phân mạng từ vì h không thay đổi theo các nút, vì thế

không có pha tinh thể.

Tóm lại với 0h ; 2 t V cũng không có pha siêu tinh thể.

Tóm tắt lại các kết quả i) – iv) cho thấy mô hình boson lõi cứng trên mạng

quang học trong gần đúng lân cận gần nhất không cho ta siêu tinh thể trong tất

cả các khoảng biến đổi của tham số.

Từ đây ta thấy để có thể có siêu tinh thể có le phải mở rộng mô hình boson lõi

cứng theo các hướng sau đây.

37

1. Kể thêm các tương tác khác thí dụ tương tác tầm xa trong hệ nguyên tử lưỡng

cực.

2. Đi xa hơn gần đúng lân cận gần nhất. Lúc đó có thể có hệ từ vấp với các trật

tự từ đa dạng và phức tạp hơn để thỏa mãn điều kiện có siêu tinh thể.

3. Xét các mạng khác đặc biệt các mạng có vấp hình học như mạng tam giác,

mạng tổ ong, mạng Kagome.

Ngoài ra, có thể bỏ giả thiết boson lõi cứng và xét mô hình với U hữu hạn.

Các hướng này hiện đang được nghiên cứu cả về thực nghiệm và lý thuyết bởi

vì hiện nay người ta có thể tạo các mạng quang học với cấu trúc mạng tùy ý và

có thể thay đổi các tham số chui ngầm tij và tương tác giữa các nút Vij.

38

KẾT LUẬN

Trong luận văn đã hoàn thành các công việc sau đây:

Tôi đã tổng quan các tài liệu về hiệu ứng ngưng tụ Bose Einstein trong hệ boson

tự do và hệ boson bị giam cầm trong bẫy dao động tử điều hòa.

Tôi cũng tìm hiểu về pha siêu chảy trong pha He lỏng và mối liên hệ với BEC.

Tôi đã tổng quan về siêu tinh thể trong He rắn và mạng quang học.

Tôi thực hiện các tính toán nghiên cứu pha siêu tinh thể trong hệ boson lõi cứng

trên mạng hai chiều hình vuông với sự nhảy nút của các nguyên tử trong gần

đúng lân cận gần nhất bằng cách ánh xạ từ các toán tử boson sang các toán tử

spin s=1/2.

Khảo sát tham số trật tự tương ứng trong không gian spin cho thấy trong tất cả

miền biến đổi của các tham số thì mô hình boson lõi cứng với tương tác giữa

hai nút lân cận gần nhất không cho pha siêu tinh thể.

Vì trình độ và thời gian của tôi còn hạn chế nên tôi chưa thể mở rộng cho một

mô hình cụ thể khác mà ở đó có thể có pha siêu tinh thể.

Vấn đề có thể tìm hiểu thêm:

Các thầy ở Viện Vật lý và ở trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã nghiên cứu và

thu được nhiều kết quả có giá trị khoa học cho hệ điện tử tương quan mạnh

bằng các phương pháp tính toán mới hiện đại và hiệu quả. Với sự quan tâm

giúp đỡ của các thày, có thể áp dụng những công cụ này để nghiên cứu pha siêu

tinh thể…

39

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Lê Đức Ánh, Hoàng Anh Tuấn, Nguyễn Toàn Thắng, Giáo trình Vật lý

hệ nhiều hạt I và II (bản thảo).

2. Trần Minh Tiến, 2017, “Cơ sở vật lý hệ nhiều hạt”, NXB Khoa học và

Công nghệ, VHLKH&CN Việt Nam.

3. Nguyễn Toàn Thắng, Bài giảng “ Vật lý hệ các nguyên tử siêu lạnh”.

Tiếng Anh

4. M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman,

and E. A. Cornell (1995), Observation of Bose-Einstein Condensation in a

Dilute Atomic Vapor, Science 269, 198.

5. M. R. Andrews, M.-O. Mewes, N. J. van Druten, D. S. Durfee, D.

M. Kurn, and W. Ketterle, (1996), Direct Nondestructive Observation of a Bose

Condensate, Science 273, 84.

6. M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hansch, and I. Bloch (2002)

Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas

of ultracold atoms, Nature 415, 39 .

7. Henk T.C. Stoof , Koos B. Gubbels , Dennis B.M. Dickerscheid

(2009),Ultracold Quantum Fields, Springer.

8. A. F.Andreev & I.M. Lifshitz (1969) Quantum theory of defects in crystals.

Sov. Phys. JETP 29, 1107–1113.

9. G.V.Chester (1970) Speculations on Bose–Einstein condensation and

quantum crystals. Phys. Rev. A 2, 256–258.

10. D.Y. Kim & M. H. W Chan (2004) Probable observation of a supersolid

helium phase. Nature 427, 225–227 .

40

11. D.Y. Kim & M. H. W Chan (2012) Absence of supersolidity in solid helium

in porous Vycor glass. Phys. Rev. Lett. 109, 155301 (2012).

12. M. Boninsegni & N.V. Prokof’ev (2012) Supersolids: What and where are

they? Rev. Mod. Phys. 84, 759 (2012).

13. L.P. Pitaevskii, S. Stringari (2016) Bose Einstein Condensation and

superfluidity, Oxford Science.

14. C.J. Pethick and H. Smith, (2001) Bose– Einstein Condensation in Dilute

Gases. Cambridge University Press.

15. R. Grimm, M. Weidemuller, and Y. B. Ovchinnikov (2000), Optical dipole

traps for neutral atoms. Molecular and Optical Physics, 42, 95.

16. V.I. Yukalov (2009) Cold bosons in Optical Lattices Laser Phys. 19, 1.

17. D.Snoke and G.M,.Kavoulakis (2014), Bose- Einstein condensation of

excitons in Cu2O: Progress over 30 years, Rep.Prog.Phys. 77 11650.

18. K.H. Benneman and J.B.Ketterson (Eds.) (2014), Novel superconductivity.

Oxford Science Publications.

19. F. Bottcher et al (2019), Transitient Supersolid Properties in an Array of

Dipolar Quantum Droplets, Phys.Rev X9 011051

20. L.Tanzi et al (2019), Observation of a Dipolar Quantum Gas with

metastable Supersolid Properties, Phys.Rev.Lett. 123 130405

21. T. Matsubara T. and H. Matsuda , (1957), “A lattice model of liquid

Helium”, Prog. Theor. Phys. 17 19.