tỔng hỢp cÔng thỨc toÁn 12 gi i tÍch kh o sÁt vÀ ......học trực tuyến:...

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack

Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN 12

GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA

HÀM SỐ

1. Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu +)

+ Tập xác định:

+ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức ax b

ycx d

+=

+)

+ Đạo hàm: y '

- Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y' 0= tìm nghiệm.

- Đối với hàm phân thức ax b

ycx d

+=

+;

2 2

a b

c d ad bcy' 0

(cx d) (cx d)

−= =

+ +

(hoặc 0 ) x D

+ Bảng biến thiên:

Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.

+ Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân

thức ax b

ycx d

+=

+)

+ Vẽ đồ thị:

Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba 3 2y ax bx cx d(a 0)= + + +

Số nghiệm của

phương trình y' 0=

a 0 a 0

y' 0= có 2 nghiệm

phân biệt

y' 0= có nghiệm

kép



y' 0= vô nghiệm

Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương 4 2y ax bx c(a 0)= + +

a 0 a 0


phân biệt


duy nhất

Các dạng đồ thị của hàm số phân thứcax b

y (c 0,ad bc 0)cx d

+= −

+

y' 0 y' 0

2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác

định:

a. Hàm bậc 3: 3 2y ax bx cx d= + + +

Tập xác định D =R .

Đạo hàm 2y' 3ax 2bx c= + + là 1 tam thức bậc 2.

- Hàm số đồng biến trên Ry '

y '

0y' 0, x

a 0

R

- Hàm số nghịch biến trên Ry '

y '

0y' 0, x

a 0

R



b. Hàm nhất biến: ax b

ycx d

+=

+

Tập xác định d

D \c

= −

R

Đạo hàm 2

ad cby'

(cx d)

−=

+ có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

y' 0, x D ad cb 0 − (Không có dấu “=”)

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

y' 0, x D ad cb 0 − (Không có dấu “=”)

3. Cực trị của hàm số:

- Hàm số y f (x)= đạt cực trị tại 0x 0

0

y '(x ) 0

y ''(x ) 0

=

- Hàm số y f (x)= đạt cực đại tại 0x 0

0

y'(x ) 0

y''(x ) 0

=

- Hàm số y f (x)= đạt cực tiểu tại 0x 0

0

y'(x ) 0

y''(x ) 0

=

a. Hàm bậc 3: 3 2y ax bx cx d(a 0)= + + +

2y' 3ax 2bx c = + +

- Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) phương trình y' 0= có 2

nghiệm phân biệty '

y '

0

a 0

- Hàm số không có cực trị Phương trình y' 0= vô nghiệm hoặc có

nghiệm képy '

y '

0

a 0

b. Hàm bậc 4 (trùng phương): 4 2y ax bx c(a 0)= + +

3y' 4ax 2bx = +

Ta có:3y' 0 4ax 2bx 0= + =

22x(2ax b) 0 + =

2

x 0

2ax b 0

=

+ =



2

x 0 (1)

bx (2)

2a

= − =

- Hàm số có 3 cực trị Phương trình y' 0= có 3 nghiệm phân biệt

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0b

02a

− .

- Hàm số có 1 cực trị Phương trình y' 0= có 1 nghiệm

Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0b

02a

− .

4. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x)= xác định trên 1

đoạn [a;b]

- Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]

- Tính đạo hàm y ' .

Giải phương trình y' 0= . Tìm các nghiệm ix [a;b](i 1,2,3...) =

- Tính y(a) , y(b) , iy(x )

- So sánh và kết luận.

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x)= trên 1 khoảng

hoặc nửa khoảng (a;b),(a; ),( ;b),[a;b),(a;b]+ − …

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm y '

- Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.

5. Tìm giao điểm của hai đường.

- Cho hai đồ thị 1 1(C ) : y f (x)= và 2 2(C ) : y f (x)= .

- Phương trình hoành độ giao điểm của 1(C ) và 2(C ) là : 1 2f (x) f (x)=

(*)

- Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào 1 trong 2

hàm số 1y f (x)= hoặc 2y f (x)= được tung độ giao điểm.

6. Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm cho

trước.

- Cho hai đồ thị 1 1(C ) : y f (x)= và 2 2(C ) : y f (x)= .

- Phương trình hoành độ giao điểm của 1(C ) và 2(C ) là : 1 2f (x) f (x)=

(*)



- 1(C ) và 2(C ) cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ khi phương

trình (*) có n nghiệm phân biệt.

Lưu ý : Trục hoành có phương trình y 0=

7. Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.

Cho đồ thị (C) : y f (x)= . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của

phương trình h(x,m) 0= .

Biến đổi phương trình h(x,m) 0= về dạng f (x) g(m)= (*).

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị :

y f (x) (C)

y g(m) (d)

=

=

- Bảng kết quả :

g(m) m Số giao điểm Số nghiệm

… … … …

Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3

nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các

trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm,

đúng 4 điểm …)

8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Cho hàm số y f (x)= có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp tuyến của

đồ thị tại điểm 0 0 0M (x ;y ) là: 0 0 0y f '(x )(x x ) y= − +

Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:

0

0 0

0

x

y f (x )

f '(x )

=

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm 0x

- Tính đạo hàm y '

- Thay 0x vào y tính 0y

- Thay 0x vào y ' tính 0f '(x )

- Phương trình tiếp tuyến: 0 0 0y f '(x )(x x ) y= − +

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm 0y .

- Giải phương trình 0 0f (x ) y= tìm 0x .

- Thay 0x vào y ' tính 0f '(x )


Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k .

- Giả sử tiếp điểm là 0 0 0M (x ;y )



- Giải phương trình 0f '(x ) k= tìm 0x .

- Thay 0x vào y ta tìm được 0y .


Lưu ý:

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y ax b= + thì 0f '(x ) a= .

- Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y ax b(a 0)= + thì

0 0

1f '(x ).a 1 f '(x )

a= − = − .

CHƯƠNG II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

I. Lũy thừa

1. Công thức lũy thừa:

0a 1=

m n m na .a a +=

mm n

n

aa

a

−=

n

n

1a

a

− =

( )n

m m.na a=

( )n n nab a .b=

n n

n

a a

b b

=

m

mnna a=

1

nna a=

Các tính chất quan trọng:

- Nếu a 1 thì a a

- Nếu 0 a 1 thì a a

2. Công thức căn bậc n

bn na. b ab= n

nn

a a

bb= ( )

mmnn a a=

nna,khi n le

a| a |,khinchan

=

n k nka a=

II. Hàm số mũ

1. Định nghĩa: Cho a > 0, a 1 ( cố định). Hàm số mũ là hàm số xác định bởi

công thức : y = ax ( x R)

2. Tính chất:

a) Hàm số mũ liên tục trên R

b) y = ax > 0 mọi x R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến



1 2x x

1 2a a x x

d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến

1 2x x

1 2a a x x

Chú ý : 1 2x x

1 2a a x x (0 a 1) =

3. Đồ thị :

4. Phương trình và bất phương trình mũ:

a. Phương trình mũ:

+) x

aa b x log b= =

+) f (x)

aa b f (x) log b= =

+) f (x) g(x)a a f (x) g(x)= =

b. Bất phương trình mũ:

+) x

aa b x log b nếu a 1 f (x)

aa b f (x) log b nếu a 1

+) x

aa b x log b nếu 0 a 1 f (x)

aa b f (x) log b nếu 0 a 1

+) f (x) g(x)a a f (x) g(x) nếu a 1

+) f (x) g(x)a a f (x) g(x) nếu 0 a 1



III. Hàm số Lôgarit

1. Định nghĩa :

a) Cho a 0,a 1, N 0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N

Ký hiệu : logaN = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a 1 ) của đối số x là hàm số được

cho bởi công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a 1)

2. Đồ thị:

3. Công thức lôgarit:

+) alog 1 0=

+) alog a 1=

+) a alog b log b = Đặc biệt: na a

1log b log b

n=

+) aa

1log b log b =

+) a a alog (bc) log b log c= + (lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit)

+) a a a

blog log b log c

c= − (lôgarit của thương bằng hiệu các lôgarit)

+) ca

c

log blog b

log a= (đổi cơ số)

+) a

b

1log b

log a=



+) a b alog b.log c log c=

+) b blog c log aa c= Đặc biệt: alog b

a b=

Các tính chất quan trọng:

- Nếu a 1 thì a alog log

- Nếu 0 a 1 thì a alog log

4. Phương trình và bất phương trình lôgarit:

a. Phương trình lôgarit:

+) b

alog x b x a= =

+) b

alog f (x) b f (x) a= =

+) a alog f (x) log g(x) f (x) g(x)= =

b.Bất phương trình lôgarit:

+) b

alog x b x a nếu a 1 b

alog f (x) b f (x) a nếu a 1

+) b

alog x b x a nếu 0 a 1 b

alog f (x) b f (x) a nếu 0 a 1

+) a alog f (x) log g(x) f (x) g(x) nếu a 1

+) a alog f (x) log g(x) f (x) g(x) nếu 0 a 1

Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:

+) f (x)a → Không có điều kiện.

+) f (x)log g(x) → Điều kiện:

f (x) 0

f (x) 1

g(x) 0

+) Đặt xt a= → Điều kiện: t 0

+) Đặt at log x= → Không có điều kiện t

CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1. Công thức nguyên hàm:

Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng

1.dx x C= + a.dx ax C= +

1xx dx C

1

+ = +

+ 11 (ax b)

(ax b) dx . Ca 1

+ +

+ = + +



1dx ln x C

x= +

1 1dx .ln ax b C

ax b a= + +

+

1dx 2 x C

x= +

1 1dx .2 ax b C

aax b= + +

+

2

1 1dx C

x x= − + 2

1 1 1dx . C

(ax b) a ax b= − +

+ +

cos xdx sin x C= + 1

cos(ax b)dx .sin(ax b) Ca

+ = + +

sin xdx cos x C= − + 1

sin(ax b)dx .cos(ax b) Ca

+ = − + +

2

1dx tan x C

cos x= + 2

1 1dx .tan(ax b) C

cos (ax b) a= + +

+

2

1dx cot x C

sin x= − + 2

1 1dx .cot(ax b) C

sin (ax b) a= − + +

+

x xe dx e C= + ax b ax b1e dx .e C

a

+ += + x xe dx e C− − = − +

xxdx C

ln

= +

ax b

ax b 1dx . C

a ln

++

= +

2. Phương pháp đổi biến số dạng 1:

t (b)b

a t(a)

I f[t(x)].t '(x)dx f (t)dt= =

Một số cách đổi biến thường gặp:

+) 1

f (ln x) dxx

→ Đặt t ln x=

+) x xf (e )e dx → Đặt xt e=

+) f (sin x)cos xdx → Đặt t sin x=

+) f (cos x)sin xdx → Đặt t cosx=

+)2

1f (tan x) dx

cos x→ Đặt t tanx=

+)2

1f (cot x) dx

sin x→ Đặt t cot x=

+) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa n A thì đặt nt A=

+) Khi tính tích phân dạng m nsin x cos xdx :



- Nếu m và n chẵn ta dùng công thức hạ bậc.

- Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t sin x= .

- Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t cosx= .

3. Phương pháp đổi biến số dạng 2:

- Hàm có chứa 2 2a x− thì đặt x asin t=

- Hàm có chứa 2 2x a− thì đặt a

xsin t

=

- Hàm có chứa 2 2a x+ hay 2 2a x+ thì đặt x a tan t=

4. Tích phân từng phần:

b bb

a

a a

u.dv uv v.du= −

Thứ thự ưu tiên:

x

sin x

ln x P(x) cos x

e

→ →

5. Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ: P(x)

dxQ(x)

- Bậc của P(x) Bậc củaQ(x) : Chia đa thức tử cho mẫu.

- Bậc của P(x) Bậc củaQ(x) : → Phân tích mẫu thành tích và biến đổi

theo cách sau:

2 2

P(x) P(x) A B C

Q(x) (x a) (x b) (x a) x a x b= = + +

− − − − −

Đặc biệt: 1 1 1 1

(x a)(x b) a b x a x b

= −

− − − − −

6. Tính diện tích hình phẳng

- Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x)= , trục hoành,

hai đường thẳng x a,x b= = .

Công thức:

b

a

S f (x) dx=

- Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số

y f (x),y g(x)= = , hai đường thẳng x a,x b= =

Công thức:

b

a

S f (x) g(x) dx= −



7. Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

y f (x)= , trục hoành và hai đường thẳng x a,x b= = quay quanh trục hoành

tạo thành vật thể tròn xoay có thể tích là: b

2

a

V [f (x)] dx=

CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

1. Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức có dạng z a bi= + , trong đó a,b

là các số thực, 2i 1= − .

a: được gọi là phần thực

b: được gọi là phần ảo

- Tập hợp các số phức được ký hiệu là C

- Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.

- Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có phần thực bằng nhau và phần

ảo bằng nhau. a a '

a bi a ' b 'ib b '

=+ = +

= “Thực bằng thực, ảo bằng ảo”

- Môđun của số phức z a bi= + : 2 2z a b= +

- Số phức liên hợp: của số phức z a bi= + là z a bi= −

- Phép cộng hai số phức: (a bi) (a ' b'i) (a a ') (b b')i+ + + = + + +

- Phép trừ hai số phức: (a bi) (a ' b'i) (a a ') (b b')i+ − + = − + −

- Phép nhân hai số phức: (a bi).(a ' b'i) (aa ' bb') (ab' ba ')i+ + = − + +

- Phép chia hai số phức:

1 1 2

2 2 2

z z .z

z z .z= (nhân cả tử và mẫu cho 2z ).

- Số phức nghịch đảo của z là: 1 z

z z.z=

2. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:

Cho phương trình bậc hai 2az bz c 0+ + = (a,b,cR và a 0 )

2b 4ac = −

+) 0 : Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

1

b ix

2a

− + −= ;

2

b ix

2a

− − −=



+) 0 = : Phương trình có nghiệm kép thực : 1 2

bx x

2a= = −

+) 0 : Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:

1

bx

2a

− + = ;

2

bx

2a

− − =

Chú ý:

+) Khi giải phương trình trùng phương 4 2az bz c 0+ + = trên tập số phức

C , ta đặt 2t z= (không cần điều kiện cho t )

+) 2z a(a 0) z ai= − =

HÌNH HỌC

CHƯƠNG I. KHỐI ĐA DIỆN

I. Hình chóp – khối chóp:

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều cao

day

1V S cao

3=

Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:

- Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có:

ABM

ABC

S BM

S BC

=

- Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện

tích bằng nhau.

- Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4 phần có

diện tích bằng nhau.

II. Các khối hình chóp thường gặp:

1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các cạnh

bên đều bằng nhau.

B M C

A

O

D

CB

A



Tính chất của hình chóp đều:

- Đường cao đi qua tâm của đáy.

- Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằng

nhau.

- Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.

Chú ý:

- Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là

giao điểm của 2 đường chéo.

- Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao điểm hai

đường trung tuyến.

- Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:

+) SA (ABCD)⊥

+) (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD)

Ta có:

(SAB) (ABCD)

(SAD) (ABCD) SA (ABCD)

(SAB) (SAD) SA

⊥

⊥ ⊥ =

Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng

thứ ba đó”

3) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao của mặt

bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.

C

O

BA

D

S

DA

B C

S



Chú ý:

+) Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường

thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì

cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”

+) Đường cao SH của SAB chính là đường cao của hình chóp nên vẽ

SH thẳng đứng.

+) Thường bài toán cho “ SAB là tam giác đều là nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy” ta trình bày như sau:

- Gọi H là trung điểm AB

- Vì SAB đều SH là đường cao của SAB SH AB ⊥

Ta có:

(SAB) (ABCD)

(SAB) (ABCD) AB SH (ABCD)

SH (SAB),SH AB

⊥

= ⊥ ⊥

III. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba

đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.

Ta có: S.A 'B'C'

S.ABC

V SA' SB' SC'. .

V SA SB SC= (Công thức này chỉ được dùng cho khối chóp tam

giác)

Các trường hợp đặc biệt:

+) C C'

H

DA

B C

S

A

B

C

C'

A'

B'

S



S.A 'B'C'

S.ABC

V SA' SB'.

V SA SB=

+) C C';B B'

S.A 'B'C'

S.ABC

V SA'

V SA=

IV. Ứng dụng công thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt

phẳng:

Ta có: S.ABC ABC ABC

1 1V S .cao S .d(S,(ABC))

3 3= =

S.ABC

ABC

3Vd(S,(ABC))

S =

Tương tự:

A.SBC

SBC

B.SAC

ABC

C.SAB

SAB

3Vd(A,(SBC))

S

3Vd(B,(SAC))

S

3Vd(C,(SAB))

S

=

=

=

Trong đó: A.SBC B.SAC C.SAB S.ABCV V V V= = =

V. Hình lăng trụ - khối lăng trụ:

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao

S

A

B

C

B'

A'

S

A

B

C

A'



dayV S cao=

Tính chất của hình lăng trụ:

+) Các cạnh bên song song và bằng nhau.

+) Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.

+) Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác bằng nhau,

có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.

1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.

Đối với hình lăng trụ đứng:

+) Các cạnh bên cũng là đường cao.

+) Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng vuông góc

với đáy.

2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.

3) Hình hộp:

+) Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

+) Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vuông góc với đáy.

+) Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Thể tích hình hộp chữ nhật V abc= (a, b, c: 3 kích thước)

+) Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

Thể tích hình lập phương 3V a= (a: độ dài cạnh)

CHƯƠNG II. MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I. Mặt cầu – Khối cầu:

1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập hợp tất

cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một khoảng R không đổi.

Mặt cầu cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối cầu.

2) Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:

B'

CH

C'A'

B

A

R

I



- Diện tích mặt cầu: 2S 4 R=

- Thể tích khối cầu: 34V R

3=

II. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ:

1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi đó cạnh

CD vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ.

+) Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau, hình tạo thành

bởi mặt trụ và hai hình tròn này được gọi hình trụ. Hai hình tròn này

được gọi là hai đáy của hình trụ.

+) Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.

+) Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.

+) Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.

+) Hình trụ cùng với phần không gian bên trong của nó được gọi là khối

trụ.

2) Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ:

+) Diện tích xung quanh mặt trụ: xqS 2 rl= ( l : độ dài đường sinh, r : bán

kính đáy )

+) Diện tích toàn phần hình trụ: 2

tp xq dayS S 2S 2 rl 2 r= + = +

+) Thể tích khối trụ: 2

dayV S .cao r h= = ( h : chiều cao)

III. Mặt nón – Hình nón - Khối nón:

1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vuông tại I quay quanh cạnh IO khi đó

cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón.

r

lh

r



+) Cạnh IM vạch ra một hình tròn, hình tạo thành bởi mặt nón và hình

tròn này được gọi là hình nón. Hình tròn này được gọi là mặt đáy của

hình nón.

+) Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.

+) Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được gọi là

chiều cao của hình nón.

+) Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

2) Diện tích mặt nón và thể tích khối nón:

+) Diện tích xung quanh mặt nón: xqS rl= ( l : độ dài đường sinh, r : bán

kính đáy )

+) Diện tích toàn phần hình nón: 2

tp xq dayS S S rl r= + = +

+) Thể tích khối nón: 2

day

1 1V S .cao r h

3 3= = ( h : chiều cao)

IV. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình chóp

thường gặp

Hình 1: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại B, SA (ABC)⊥ .

Cách đặc biệt

Gọi I là trung điểm của SC.

SAC vuông tại A IA IS IC = = (1)

BC ABBC (SAB)

BC SA

⊥ ⊥

⊥ BC SB⊥

SBC vuông tại B IB IS IC = = (2)

Từ (1) và (2) IA IB IC IS = = =

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

hl

r

I

S

C

B

A



Bán kính: 1

R IS SC2

= =

Hình 2: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, SA (ABC)⊥ .

Gọi O là trung điểm của BC O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .

Qua O dựng đường thẳng vuông góc với mp(ABC) là trục của đường

tròn ngoại tiếp ABC .

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I d=

Ta có: I d IA IS

I IA IB IC

= = =

IA IB IC IS = = =


Bán kính:

2

2 2 21R IA AO OI BC AM

2

= = + = +

Hình 3: Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA (ABC)⊥ .

Gọi J là trung điểm BC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Qua O dựng đường thẳng vuông góc với mp(ABC) là trục của đường

tròn ngoại tiếp ABC .

Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Gọi I d=

d

Δ

M

O

S

I

C

B

A

J

d

Δ

M

O

S

I

C

B

A



Ta có: I d IA IS

I IA IB IC

= = =

IA IB IC IS = = =


Bán kính:

2

2 2 22R IA AO OI AJ AM

3

= = + = +

Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC SO là trục của đường tròn ngoại

tiếp ABC


Gọi I d SO=

Ta có: I d IA IS

I SO IA IB IC

= = =

IA IB IC IS = = =


Bán kính: R IS=

Cách tính bán kính:

SMI SOA # (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

IS SM SA.SMIS

SA SO SO = =

Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông (hoặc hình chữ nhật),

SA (ABCD)⊥

Cách đặc biệt

d

S

M

O

I

C

B

A

I

S

D

CB

A



Gọi I là trung điểm của SC.

SAC vuông tại A IA IS IC = = (1)

BC ABBC (SAB)

BC SA

⊥ ⊥

⊥ BC SB⊥

SBC vuông tại B IB IS IC = = (2)

CD ADCD (SAD)

CD SA

⊥ ⊥

⊥ CD SD⊥

SCD vuông tại D ID IS IC = = (3)

Từ (1), (2) và (3) IA IB IC ID IS = = = =


Bán kính: 1

R IS SC2

= =

Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo SO là trục của đường tròn ngoại tiếp

hình vuông ABCD.


Gọi I d SO=

Ta có: I d IA IS

I SO IA IB IC ID

= = = =

IA IB IC ID IS = = = =


Bán kính: R IS=

Cách tính bán kính:

SMI SOA # (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc S)

IS SM SA.SMIS

SA SO SO = =

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ đơn vị

lần lượt là: i, j,k

dM

O

I

S

D

CB

A



II. Tọa độ của vectơ: ( )u x; y; z u xi yj zk= = + +

Đặc biệt: 0 (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)= = = =

III. Tọa độ của điểm: M(x; y; z) OM (x;y;z) = (x : hoành độ, y : tung độ, z :

cao độ)

Đặc biệt:

M (Oxy) Mz 0=

M (Oyz) Mx 0=

M (Oxz) My 0=

M Ox M My z 0= =

M Oy M Mx z 0= =

M Oz M Mx y 0= =

Hình chiếu vuông góc của điểm M M MM(x ;y ;z ) lên:

Trục Ox là: 1 MM (x ;0;0)

Trục Oy là: 2 MM (0;y ;0)

Trục Oz là: 3 MM (0;0;z )

mp(Oxy) là: 12 M MM (x ;y ;0)

mp(Oxz) là: 13 M MM (x ;0;z )

mp(Oyz) là: 23 M MM (0;y ;z )

IV. Các công thức về tọa độ: Nếu 1 2 3 1 2 3a (a ;a ;a ), b (b ;b ;b )= = thì:

1 1 2 2 3 3a b (a b ; a b ; a b ) =

1 2 3ka (ka ; ka ; ka ),k= R

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

=

= = =

“Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao bằng cao”

a cùng phương b(b 0) tồn tại một số k sao cho: a kb=



1 1

1 2 32 2 1 2 3

1 2 3

3 3

a kba a a

a kb , (b , b , b 0)b b b

a kb

=

= = = =

Tọa độ vectơ B A B A B AAB (x x ;y y ;z z )= − − −

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:

A BI

A BI

A BI

x xx

2

y yy

2

z zz

2

+=

+

=

+=

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

A B CG

A B CG

A B CG

x x xx

3

y y yy

3

z z zz

3

+ +=

+ +

=

+ +=

V. Tích vô hướng của hai vectơ:

+) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu 1 2 3a (a ;a ;a ),= 1 2 3b (b ;b ;b )=

thì: 1 1 2 2 3 3a.b a .b a .b a .b= + + “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao

nhân cao”

+) Ứng dụng:

Độ dài vectơ: Nếu 1 2 3a (a ;a ;a )= thì 2 2 2

1 2 2a a a a= + +

Độ dài đoạn thẳng AB:

2 2 2

B A B A B AAB (x x ) (y y ) (z z )= − + − + −

Góc giữa hai vectơ:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.b a b a b a bcos(a, b)

a . b a a a . b b b

+ += =

+ + + +

Điều kiện hai vectơ vuông góc:

1 1 2 2 3 3a b a.b 0 a b a b a b 0⊥ = + + =

VI. Tích có hướng của hai vectơ:



+) Định nghĩa: Cho hai vectơ 1 2 3

1 2 3

a (a , a , a )

b (b , b , b )

=

=

. Tích có hướng của hai vectơ

a và b là 1 vectơ được xác định như sau:

( )2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a aa,b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

= = − − −

Quy tắc: 23-31-12

+) Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính

1. Máy 570VN PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ a

AC → MODE → 8 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ b

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 → =

2. Máy 570ES PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ a

AC → SHIFT → 5 → 2 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ b

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 → =

3. Máy 570MS

ON → SHIFT → 5 → 1 → 1 → 3: Nhập tọa độ Vectơ a

AC → SHIFT → 5 → 1 → 2 → 3: Nhập tọa độ Vectơ b

AC → SHIFT → 5 → 3 → 1 → X → SHIFT → 5 → 3→2 →

=

+) Tính chất của tích có hướng:

- Nếu n a,b =

thì n a⊥ và n b⊥

- Hai vectơ a và b cùng phương với nhau [a, b] 0 =

- Ba vectơ a , b và c đồng phẳng với nhau [a, b].c 0=

([a, b].c được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)

+) Ứng dụng của tích có hướng:

- A, B, C thẳng hàng AB,AC 0 =

- A, B, C, D đồng phẳng AB,AC .AD 0 =

Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)

AB,AC .AD 0

3

2

1



- Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB,AD =

- Diện tích tam giác ABC: ABC

1S AB, AC

2

=

- Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: ABCD.A'B'C'D'V [AB, AD].AA'=

- Thể tích tứ diện ABCD: ABCD

1V [AB, AC].AD

6=

VII. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua

0 0 0 0M (x ;y ;z ) và có VTPT n (A;B;C)= là:

0 0 0A(x x ) B(y y ) C(z z ) 0− + − + − =

- Nếu () có phương trình Ax By Cz D 0+ + + = thì () có VTPT là

n (A;B;C)=

- Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT

của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP

của mặt kia.

- Khoảng cách từ điểm ( )0 0 0 0M x ;y ;z đến mặt phẳng

( ) : Ax By Cz D 0 + + + = : ( ) 0 0 0

0 2 2 2

Ax By Cz Dd M ,( )

A B C

+ + + =

+ +

- Đặc biệt:

mp(Oxy) : z 0

mp(Oxz) : y 0

mp(Oyz) : x 0

=

= =

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng

() ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó.

Dạng 1: () đi qua điểm ( )0 0 0M x ;y ;z có VTPT ( )n A;B;C= :

(): ( ) ( ) ( )0 0 0A x x B y y C z z 0− + − + − =

Dạng 2: () đi qua điểm ( )0 0 0M x ;y ;z có cặp VTCP a,b :

Khi đó VTPT của () là n a,b = .

Dạng 3: () đi qua điểm ( )0 0 0M x ;y ;z và song song với mặt phẳng (): Ax

+ By + Cz + D = 0:

α



Khi đó VTPTn VTPTn (A;B;C) = = .

Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Khi đó VTPT của () là n AB,AC =

Dạng 5: () là mặt phẳng trung trực của MN:

():{𝑄𝑢𝑎 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 đ𝑖ể𝑚 𝐼 𝑐ủ𝑎 𝑀𝑁

𝑉𝑇𝑃𝑇 �⃗� 𝛼 = 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

Dạng 6: () đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (),

():

Khi đó VTPT của () là ( )n VTPTn ,VTPTn =

Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H (() là tiếp diện của mặt

cầu (S) tại H):

– Tìm tâm I của mặt cầu (S)

–( )

Qua H( ) :

VTPTn IH

=

Dạng 8: () song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 + + + = và tiếp xúc

β

α

n

C

B

A

α

α

I NM

nγ

γβ

α

nβ



với mặt cầu (S):

– Vì () song song với ( ) nên phương trình mp() có dạng

Ax By Cz m 0(m D)+ + + =

– Vì () tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,( )) R = →Giải phương trình này

ta tìm được m . Dạng 9: () đi qua điểm ( )0 0 0M x ;y ;z và vuông góc với đường thẳng AB:

Khi đó VTPT của () là n AB =

Dạng 10: () đi qua điểm ( )0 0 0M x ;y ;z và vuông góc với đường thẳng

0

0

0

x x at

d : y y bt

y z ct

= +

= + = +

:

Khi đó VTPT của () là dn VTCPu (a;b;c) = =

Dạng 11: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo

nhau (hoặc cắt nhau):

1 2d d

Qua M( ) :

VTPTn VTCPu ,VTCPu

=

Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2

chéo nhau):

α

udd

α

M

d2

d1

α



1 2

1 1

d d

Qua M d( ) :

VTPTn VTCPu ,VTCPu

=

Dạng 13: () chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:

- Trên d lấy 1 điểm A

- d

Qua M( ) :

VTPTn AM,VTCPu

=

Dạng 14: () chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 M ().

– 1 2d d

Qua M( ) :

VTPTn VTCPu ,VTCPu

=

Dạng 15: () chứa 2 đường thẳng song song d1, d2:

– Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2

–1

1

d1 2

Qua M( ) :

VTPTn M M ,VTCPu

=

Dạng 16: () chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng ():

– Lấy một điểm M thuộc d M ().

M

d2

d1

α

ud

A M

d

α

d1

α

Md2

M2

M1 d1

αd2

β

α

Mud



– d

Qua M( ) :

VTPTn VTCPu ,VTPTn

=

VIII. Phương trình mặt cầu:

- Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 2 2 2 2(x a) (y b) (z c) R− + − + − =

- Dạng 2: Phương trình 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0+ + − − − + = với điều kiện

2 2 2a b c d 0+ + − là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R = 2 2 2a b c d+ + −

- Điều kiện mặt cầuS(I,R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d(I,(P)) R=

Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta

cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

(S): 2 2 2 2(x a) (y b) (z c) R− + − + − =

Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:

– Bán kính R = IM

Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:

A BI

A BI

A BI

x xx

2

y yy

2

z zz

2

+=

+

=

+=

.

– Bán kính R = IA = AB

2.

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: 2 2 2x y z 2ax 2by 2cz d 0+ + − − − + = (S).



– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4

phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Phương trình mặt

cầu (S).

Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):

Ax By Cz D 0+ + + = :

– Bán kính: 2 2 2

Aa Bb Cc DR d(I,(P))

A B C

+ + += =

+ +

IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm

0 0 0 0M (x ;y ;z ) và có VTCP u (a;b;c)= thì d có

✓ Phương trình tham số là:

o

o

o

x x at

y y bt ( t )

z z ct

= +

= + = +

R

✓ Phương trình chính là: 0 0 0x x y y z z

a b c

− − −= = (nếu a, b, c đều khác 0)

Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường

thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và có VTCP u (a;b;c)= :

o

o

o

x x at

d : y y bt ( t )

z z ct

= +

= + = +

R

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:

d

Qua Ad :

VTCPu AB

=

Dạng 3: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và song song với đường thẳng cho

trước:



0

d

Qua Md :

VTCPu VTCPu

=

Dạng 4: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho

trước:

0

Pd

Qua Md :

VTCPu VTPTn

=

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

– Tìm toạ độ một điểm M d: bằng cách giải hệ phương trình (P)

(Q)

(với việc

chọn giá trị cho một ẩn, thường cho x 0= )

– P Qd

Qua Md :

VTCPu VTPTn ,VTPTn

=

Dạng 6: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và vuông góc với hai đường thẳng d1,

d2:

1 2

0

d d d

Qua Md :

VTCPu VTCPu ,VTCPu

=

Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với

đường thằng :

d

nQ

Q

P

nP

ud

ud2

ud1

ud

d2

d1

d

nP

d

Δ

P

uΔ



Pd

Qua Md :

VTCPu VTPTn ,VTCPu

=

Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

– Tìm các giao điểm A = d1 (P), B = d2 (P).

– Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 9: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) , vuông góc và cắt đường thẳng :

d qua 0M và hình chiếu H của 0M trên đường thẳng

Dạng 10: d đi qua điểm 0 0 0 0M (x ;y ;z ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:

– Gọi (P) = 0 1(M ,d ) , (Q) = 0 2(M ,d ) .

– Khi đó d = (P) (Q). Do đó, VTCP của d là d P Qu n ,n= .

Dạng 11: d song song với và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

BA

P

d

d2

d1

P

H

M0

Δ

d

Q

PM0

d

d2

d1

Q

P

d

Δ

d2

d1



– Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 song song :1

1 1

p d

Qua M d(P) :

VTPTn u ,u

=

– Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d2 song song :2

2 2

Q d

Qua M d(Q) :

VTPTn u ,u

=

– Khi đó d = (P) (Q).

Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

1 1

1 1 1

1 1

x x a t

d : y y b t

z z c t

= +

= + = +

và

2 2

2 2 2

2 2

x x a t

d : y y b t

z z c t

= +

= + = +

chéo nhau:

– Giả sử d cắt 1d tại I, d cắt 2d tại J.

– Vì1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

I d I(x a t ;y a t ;z c t )

J d I(x a t ;y a t ;z c t )

+ + + + + +

,

– Giải hệ phương trình: 1

2

d

d

IJ.u 0

IJ.u 0

=

=

ta tìm được 1 2t , t từ đó suy ra tọa độ I, J.

– d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J.

Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng (P):

– Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa và vuông góc với mặt phẳng (P)

bằng cách:

J

I

d2

d1

P

Q

Δ

d

nP

uΔ



Q P

Qua M(Q) :

VTPTn n ,u

=

– Khi đó d = (P) (Q).

Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1.

– Tìm giao điểm N của (P) và d2

– Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN

X. Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.

- Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):

– Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) bằng

cách: pd

Qua Md :

VTCPu VTPTn

=

– Khi đó: H d (P)=

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung

điểm của MM’ nên:

M' H M

M' H M

M' H M

x 2x x

y 2y y

z 2z z

= −

= − = −

+) Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d:

d2

MN

Pd

d1

H

M'

M

P

M'

H

M

d

P



– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d bằng cách:

p d

Qua M(P) :

VTPTn VTCPu

=

– Khi đó: H d (P)=

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm

của MM’ nên:

M' H M

M' H M

M' H M

x 2x x

y 2y y

z 2z z

= −

= − = −

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1(P) : A x B y C z D 0+ + + = và

2 2 2 2(Q) : A x B y C z D 0+ + + =

✓ (P), (Q) cắt nhau 1 1 1 2 2 2A : B : C A : B : C

✓ (P) // (Q) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D= =

✓ (P) (Q) 1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

A B C D= = =

Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) P Q P Q 1 2 1 2 1 2n n n .n 0 A A B B C C 0⊥ = + + =

XII. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): Ax By Cz D 0+ + + = và đường thẳng d:

0

0

0

x x ta

y y tb

z z tc

= +

= + = +

Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1

phương trình bậc nhất ẩn t:

0 0 0A(x at) B(y bt) C(z ct) D 0+ + + + + + = (*)

- TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)

- TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)

- TH3: (*) có vô số nghiệm thì d (P)

Đặc biệt: d (P)⊥ pn cùng phương du P, dn u 0 =

XIII. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng

1 1

1 1 1

1 1

x x a t

d : y y b t

z z c t

= +

= + = +

và

2 2

2 2 2

2 2

x x a t

d : y y b t

z z c t

= +

= + = +



1d qua 1 1 1A(x ;y ;z ) có VTCP 1 1 1 1u (a ;b ;c )=

2d qua 2 2 2B(x ;y ;z ) có VTCP 2 2 2 2u (a ;b ;c )=

+ 1d chéo 2d 1 2u ,u .AB 0

+ 1d cắt 2d1 2

1 2

u ,u 0

u ,u .AB 0

=

hoặc hệ phương trình

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

x a t x a t

y b t y b t

z c t z c t

+ = +

+ = + + = +

có 1 nghiệm.

+ 1d // 2d 1 2

2

u ,u 0

A d

=

+ 1 2d d1 2

2

u ,u 0

A d

=

Đặc biệt: 1 2d d1 2d d u .u 0⊥ = 1 2 1 2 1 2a a b b c c 0 + + =

XIV. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt phẳng () và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

+ d(I,( )) R thì () và (S) không có điểm chung.

+ d(I,( )) R = thì () và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó ta nói

() tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P) được gọi là tiếp

diện của (S) tại H.

d1 chéo d2

d1 cắt d2

d1 // d2

d1 ≡ d2

u1,u2[ ]AB ≠ 0

u1,u2[ ]AB = 0

A không thuộc d2

A thuộc d2

Tính u1,u2[ ]AB

Xét A và d2

u1 không cùng phương u2

u1 cùng phương u2

u1,u2[ ] ≠ 0

u1,u2[ ] = 0

Tính u1,u2[ ]



Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp().

+ d(I,( )) R thì () và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn (C).

Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên mp(), bán kính của (C)

là 2 2r R d= − với d d(I,( ))= .

XV. Khoảng cách:

+) Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax + By +

Cz + D = 0

( ) 0 0 0

0 2 2 2

Ax By Cz Dd M ,( )

A B C

+ + + =

+ + +) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1

điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

+) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Bằng

khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

+) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng đi qua 0M và có vectơ chỉ phương là

u . Ta có:

( )0M M,u

d M,u

=

- Cách 2:

M

α

M

H

M d

P



– Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng .

– Khi đó d(M, ) MH =

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 1 và 2 : Bằng

khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng 1 đến đường thẳng 2

1 2 1 2d( , ) d(M , ) MH = =

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng 1 qua điểm 1M và có vectơ chỉ phương

là 1u , đường thẳng 2 qua điểm 2M và có vectơ chỉ phương là 2u . Ta

có:

1 2 1 2

1 2

1 2

u ,u .M Md( , )

u ,u

=

- Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 bằng

khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó

chứa đường thẳng kia.

– Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 và song song với 2 bằng

cách:

1 2

1

( )

Qua M( ) :

VTPTn VTCP u ,VTCP u

=

– Khi đó: 1 2 2d( , ) d(M ,( )) =

HΔ

P

M

M2

Δ1

HΔ2

P

M1

M2

Δ1H

Δ2

M1

α

tỔng hỢp cÔng thỨc toÁn 12 gi i tÍch kh o sÁt vÀ ......học trực tuyến:...

Documents