TỔNG HỢP ĐỀ THITUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012

LATEX by Mẫn Tiệp∗

Ngày 5 tháng 12 năm 2013

Lưu ý

a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút

b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào, kể cả Sách giáo khoa (đối với môn Lý luận dạyhọc toán) để làm bài

c) Đối với đề thi Giải tích (tương ứng: Đại số) mà đề có hai phần Giải tích cơ sở và Giải tích hàm(tương ứng: Đại số tuyến tính và Đại số đại cương) thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thiriêng

d) Đối với đề thi Lý luận dạy học toán (sau này sẽ gọi tắt là đề thi môn Phương pháp) thì các kiếnthức toán học trong đề chỉ được xét trong chương trình Toán (phân ban) hiện hành

e) Câu tô màu đỏ có thể đánh máy không chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất mờ

f) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học Cần Thơ mà tácgiả chưa cập nhật, xin liên hệ email maimantiep@gmail.com

g) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn LATEX của ebook này, nhưng phải ghi rõ độingũ thực hiện

∗Email: maimantiep@gmail.com

1

1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

1 Đề thi môn Giải tích

1.1 Giải tích, đề mẫu 01 (gần với đề Giải tích, năm 2006)Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân

K =˚

Vx y z d x d y d z

với V là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0≤ z ≤ x y

Câu 2 (2,0 điểm). Tính tích phân đường

I =ˆ

Lx y d l

với L là đường giao tuyến của các mặt z = 2− x 2−2y 2 và z = x 2 từ điểm A(0; 1; 0) đến B (1; 0; 1)

Câu 3 (1,5 điểm). Tìm cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = 2x 3+12x y −6y 2+3

Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

y ′′+4y ′+4y = 2e 2x (x 2+2x +10)

Câu 5 (1,5 điểm). Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C [−3, 3], với

A =�

f ∈C [−3, 3] : | f (x )|< 5∀ x ∈ [0, 1]

∩�

f ∈C [−3, 3] :ˆ 1

0f (x )d x < 5

�

Câu 6 (1,5 điểm). Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình

f ′(t ) = 4t +3+5 sin[ f (t )]2 ; f (0) = 1

có nghiệm f ∈C [0, k ] thỏa mãn f ′ ∈C [0, k ]

Câu 7 (1,0 điểm). Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh

ρ(x , y ) =d (x , y )

1+d (x , y ), ∀ x , y ∈ E

cũng là một khoảng cách trong E

———————————HẾT———————————

1.2 Giải tích, đề mẫu 02 (gần với đề Giải tích, năm 2010, đề 03)Câu 1 (2,0 điểm). Cho miền D giới hạn bởi y = x 3, y = x ≥ 0. Hãy

• Biểu diễn miền D

• Tính diện tích của D

• Tính I =¨

D(x 2+ y 2)d x d y

2

www.VNMATH.com

1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.3 Giải tích, năm 2001

Câu 2 (1,5 điểm). Tính tích phân đường

I =ˆ

C(4x 2−4y 2)d x + (ln y −8x y )d y

với C =C1∪C2, mà C1 =�

(x , y )|1≤ x ≤ 2, y (x ) = x 2

, C2 =�

(x , y )|2≤ x ≤ 4, y (x ) = 8−2x

Câu 3 (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số sau

f (x , y ) =−4x 3+10x y +2y 2+10

Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân

2y ′′−3y ′+ y = e 2x (x 2−10)

thỏa mãn điều kiện y (0) = 6, y ′(0) = 15

Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp

B =�

f ∈C [0, 1] : | f (x )|< 6∀ x ∈ [0, 1]

∩�

f ∈C [0, 1] :ˆ 1

0f (x )d x ≥ 5

�

không mở, không đóng trong C [0, 1]

Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình

f (t ) =ˆ 1

0e −[t− f (s )]2 d s

có nghiệm duy nhất f ∈C [0, 1]

———————————HẾT———————————

1.3 Giải tích, năm 2001

Câu 1 Cho hàm u (x , y ) = ln sinxp

yvới x (t ) = 3t 2, y (t ) =

p

t 2+1. Tìmd u

d t

Câu 2 Tính cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = y 3− x 2−2x y − x −2y

Câu 3 Tính I =ˆ

AB(x 2 + y 2)d l với AB là 1/4 cung đường tròn tâm O , bán kính R nằm ở góc

vuông thứ nhất

Câu 4 Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi∞∑

n=1

(n +1)x 2n

(2n +1)

Câu 5 Cho T f =ˆ 1

−1t |t | f (t )d t , với mọi f ∈C[−1; 1]. Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính,

liên tục từ C[−1; 1] vào R. Tìm ||T ||

Câu 6 Cho D =�

(x ; y ; z ) : x 2+ y 2+ z 2+ x y + y z + z x ≤ 1

. Chứng minh rằng D compăc trongR3

———————————HẾT———————————

3

1.4 Giải tích, năm 2002 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

1.4 Giải tích, năm 2002Câu 1 Tính cực trị (nếu có) của f (x , y ) = y 2x +2x 2−4x y +5x

Câu 2 Tính I =¨

D(x +2y )(y − x )2 d x d y , biết rằng D là miền giới hạn bởi các đường y = x +1;

y = x +4; x =−2y ; x =−2y +4

Câu 3 Tính I =ˆ

C(y +2x e y )d x + (x + x 2e y )d y , với C là đường cong nối từ (1; 0) tới (2; ln 2)

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ′′−5y ′+4y = e x

Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau có nghiệm duy

nhất y ∈C[0; 1]: y (t ) =ˆ t

0y (x )cos(t − x )2 d x

Câu 6 Chứng minh rằng tập hợp A compăc trong R2 với A =§

(x ; y ) : x 2+3

2x y + y 2 ≤ 1

ª

———————————HẾT———————————

1.5 Giải tích, năm 2003Câu 1 Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f : D ⊂Rn →R trong đó Dlà tập đóng giới nội. Áp dụng với f (x , y , z ) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng

Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa∞∑

n=1

(2x +1)n

2n .3n

Câu 3 Tính I =¨

D

Æ

x 2+ y 2 d x d y , với D =�

(x , y )|x 2+ y 2 ≤ 2y

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y ′′−6y ′+9y = 3x 2−1

Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co rằng phương trình: y (t ) =ˆ 1

0

d s

1+ (t − y (s ))2có

nghiệm duy nhất y ∈C[0; 1]

Câu 6 Cho toán tử T : C[−1; 3]→R với T f =ˆ 3

−1x (x −2) f (x )d x , ∀ f ∈C[−1; 3]

a) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục

b) Tính ||T ||

Câu 7 Trên không gian C[a ; b ], a < b đặt || f ||1 =ˆ b

a| f (t )|d t , f ∈C[a ; b ]

a) Chứng minh rằng ||.||1 là một chuẩn

b) Chứng mình rằng C[a ; b ] với chuẩn ||.||1 là không đầy đủ

———————————HẾT———————————

4

www.VNMATH.com

1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.6 Giải tích, năm 2004

1.6 Giải tích, năm 2004

Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số: f (x , y ) = (x 2+ y 2)e −(x2+y 2)− (x 2+ y 2)

Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L : I =˛

Lx 2 y 2 d x + y x 3 d y , với L

tạo bởi x = 0, y =p

x , y = x −2

Câu 3 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương∞∑

n=1

an hội tụ thì limn→∞

nan = 0

Câu 4 Viết nghiệm của phương trình vi phân: y ′′− 4y ′+ 3y = x 2+ 1 thỏa mãn điều kiện ban đầuy (0) = 2, y ′(0) = 10

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A =

�

f ∈C[0; 1], || f || ≤ 5 vàˆ 1

0f (x )d x ≥ 2

�

là một tập mở

trong C[0; 1] với || f ||=max0≤t≤1

| f (t )|

Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn:

x (t ) = 3t +2ˆ 2

0arctan(t − x (s ))d s có nghiệm x ∈C[0; 2]

———————————HẾT———————————

1.7 Giải tích, năm 2005, lần 1Câu 1 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theo p , q

+∞∑

n=1

n p

n q + sin2 n

Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L

I =˛

Lx y 2 d x +3y x 2 d y

Câu 3 Tính gần đúng giá trị của biểu thức bằng phép tính vi phân A = arcsin 0, 51+ 3p

8, 25

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi∞∑

n=1

(−1)n−1 (x −5)np

n

Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 3y ′′+ y ′−4y = e 2x (x −1)

Câu 6 Cho A =�

(x ; y ; z ) ∈R3 : x ≥ 0, x + y + z < 1

. Chứng minh rằng A không mở, không đóngtrong R3

Câu 7 Đặt f (x ) = x 3−2 và T x = x −f (x )f ′(x )

a) Chứng minh rằng có tập hợp D ⊂ (0;+∞) sao cho D là tập đóng và T (D )⊂D

b) Chứng minh rằng T có điểm bất động thỏa mãn phương trình x 3−2= 0

Câu 8 Chứng minh rằng tồn tại hàm f ∈C[0; 1] thỏa mãn

f (t ) =1

2

ˆ 1

0f (s )arctan[2(t − s )]d s

———————————HẾT———————————

5

1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2Câu 1 .

a) Tính tích phân đường theo chiều dương của L

I =˛

Le x y

�

(1+ x y )d x + x 2 d y�

trong đó L là nửa đường elipx 2

a 2+

y 2

b 2= 1 với y ≤ 0, a > 0, b > 0

b) Cho D =�

(x ; y ) : x 2+ y 2 ≤ 2y

, tính tích phân kép

I =¨

D(x + y )2 d x d y

Câu 2 .

a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân

A = 4p

16, 16+ sin(ln 1, 273)

b) Tính khoảng cách từ điểm A(3; 0) đến đường cong y = x 2 bằng giá trị nhỏ nhất của hàm sốnhiều biến

Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi+∞∑

n=1

(−1)n(2x −4)n

n .2n

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 7y ′′+ y ′−3y = x 2+3x −2

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp sau mở trong C[0; 2]

B =�

f ∈C[0; 2] : f (x )< 6∀ x ∈ [0; 2]

∩�

f ∈C[0; 2] :ˆ 1

0f (x )d x < 5

�

Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈C[0; 2]

f (t ) = 30t +3+5ˆ 2

0e −[t− f (s )]2 d s

———————————HẾT———————————

1.9 Giải tích, năm 2006Câu 1 Tính tích phân

I =ˆ 2

0

ˆ p4−y 2

0(4− x 2)

32 d x d y

6

www.VNMATH.com

1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.10 Giải tích, năm 2007

Câu 2 Tính tích phân đường

I =ˆ

Lx y d l

trong đó L là đường giao tuyến của các mặt z = 2− x 2 − 2y 2 và z = x 2 từ điểm A(0; 1; 0) đếnB (1; 0; 1)

Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = sin x + cos y + cos(x + y ) trên miền D =§

(x ; y )|0≤ x ≤3π

2, 0≤ y ≤

3π

2

ª

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau

a) y ′′+4y ′+4y = 2e 2x (x 2+2x +10)

b) (x 2+ y 2+ x )d x + y d y = 0

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C[0; 3]. với

A =�

f ∈C[0; 3] : | f (x )|< 7∀ x ∈ [0; 3]

∩�

f ∈C[0; 3] :ˆ 2

1f (x )d x < 5

�

Câu 6 Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình f ′(t ) = 4t +3+5 cos[ f (t )]2 ; f (0) = 1 có nghiệmf ∈C[0; k ] thỏa mãn f ′ ∈C[0; k ]

Câu 7 Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d . Chứng minh rằng với x , y ∈ E thì

ρ(x , y ) =d (x , y )

1+d (x , y )

cũng là một khoảng cách trong E

———————————HẾT———————————

1.10 Giải tích, năm 2007, khóa 14Câu 1 (2,5 điểm). Tích phân bội

Cho một miền V giới nội bởi các mặt z = 0, y = z , y = x 2 và y = 1. Hãy

a) Biểu diễn miền V

b) Tính thể tích khối V

c) Tính tích phân bội ba I =˚

V(x + y )d x d y d z

Câu 2 (1,0 điểm). Tính tích phân đường

I =ˆ

L(2x 2−2y 2)d x + (ln y −4x y )d y

với L là đường nối hai điểm A(−1; 1) và B (4; e )

Câu 3 (1,0 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = (x −2) ln x y

7

1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

y ′′−6y ′+9y = e 2x (x 2+5)

Câu 5 (1,0 điểm). Khảo sát tính đóng (hay mở) trong C [0, 1] của tập hợp

A =

�

f ∈C [0, 1] :ˆ 1

0f (t )d t ≥ 4 : f (0) = f (1) = 0

�

Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng với λ ∈�

0,1

8

�

, ta có thể chọn được M > 0 để phương trình

x = T x có nghiệm trong KM với

T x (t ) =λ+ˆ t

0x 2(s )d s (0≤ t ≤ 2)

và KM = {x ∈C [0, 2] : ||x || ≤M }Câu 7 (1,0 điểm). Chứng minh rằng ánh xạ

T f =1

3

�

f (1) + f (0)�

, f ∈C [0, 1]

là ánh xạ tuyến tính liên tục trên C [0, 1]. Tìm chuẩn của nó

———————————HẾT———————————

1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường với C là một chu tuyến bất kì

I =ˆ

C(x 2+ y 2)(x d x + y d y )

Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi

(x 2+ y 2)2 = 2a 2(x 2− y 2)

Hãy

• Tính diện tích của miền D

• Tính tích phân I =¨

Dx y d x d y

Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = x 3+ y 3+3x y +5

Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm của phương trình vi phân

y ′′−4y ′+3y = x 2+3x +5

thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y ′(0) = 2

Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trên C [−1, 1]

T f =ˆ 0

−1f (t )d t −

ˆ 1

0f (t )d t , ∀ f ∈C [−1, 1]

Tính chuẩn của T

Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình f (t ) =1

2

ˆ t

0e −[t− f (s )]3 d s có nghiệm duy nhất

f ∈C [0, 1]

———————————HẾT———————————

8

www.VNMATH.com

1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03

1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03Câu 1 (1,0 điểm). Tính tích phân đường loại hai dọc theo C là các cạnh của tam giác nối các đỉnhO (0; 0), A(2; 0), B (0; 2)

I =ˆ

Cx 2 y (y d x + x d y )

Câu 2 (2,0 điểm). Cho miền D giới nội bởi

D =�

(x ; y )|π2 ≤ x 2+ y 2 ≤ 4π2

Hãy

• Biểu diễn hình học miền D

• Tính tích phân I =¨

Dsin

Æ

x 2+ y 2 d x d y

Câu 3 (1,5 điểm). Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = x 2+ y 2+3x y +5

Câu 4 (1,5 điểm). Viết nghiệm tổng quát của phương trình

x y ′+ (1−2x )y = x

Câu 5 (2,0 điểm). Chứng minh rằng tập hợp

B =§

f ∈C [0, 1] : 10≥ minx∈[0,1]

f (x )> 6ª

không mở, không đóng trong C [0, 1]

Câu 6 (2,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình y ′ = x +1

2cos(x y (x )) ; y (0) = 0 có nghiệm duy

nhất y ∈C [0, 1]

———————————HẾT———————————

1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01I. Giải tích cơ sở

Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y − x y và tập D =¦

(x , y ) ∈R 2 : 0≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤Æ

2y − y 2©

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f (x , y ) trên miền D

b) Tính tích phân I =¨

Df (x , y )d x d y

Câu 2 Tính tích phân đường: I =ˆ (3,2)

(−2,1)e x−y

�

(1+ x + y )d x + (1− x − y )d y�

Câu 3 .

a) Giải phương trình vi phân y ′ =y 2

x y − x 2

b) Giải phương trình vi phân�

y +2

x 2

�

d x +

�

x −3

y 2

�

d y = 0 với điều kiện ban đầu y (1) = 1

9

1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

II. Giải tích hàm

Câu 4 Cho không gian metric (X , d ) và A ⊂ X . Đặt diam(A) = supx ,y ∈A

d (x , y )

Chứng minh nếu A là tập compact thì tồn tại a , b ∈ A sao cho diam(A) = d (a , b )

Câu 5 Chứng minh A =§

f ∈C[0,1] : maxx∈[0,1]

f (x )≤ 1ª

là tập đóng

Câu 6 Cho toán tử A : C[0,1]→C[0,1] xác định bởi Ax (t ) = x (t ) + x (1− t ) với x ∈C[0,1]Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A

———————————HẾT———————————

1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01I. Giải tích cơ sở

Câu 1 Tìm cực trị của hàm ẩn z = z (x , y ), z > 0, xác định bởi phương trình

x 2+ y 2+ z 2−2x +4y −6z −11= 0

Câu 2 Tính thể tích vật thể nằm trên mặt phẳng O x y và giới hạn bởimặt paraboloid z = x 2+ y 2 và mặt trụ x 2+ y 2 = a 2 (a > 0)

Câu 3 Tính tích phân mặt sau

I ="

Sx z 2 d y d z + (x 2 y − z 3)d z d x + (2x y + y 2z )d x d y

với S là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x 2 + y 2 + z 2 = a 2 (a > 0) và z = 0. Tíchphân mặt lấy theo phía ngoài của S

Câu 4 .

a) Giải phương trình vi phân�

y +2

x 2

�

d x +

�

x −3

y 2

�

d y = 0, y (1) = 1

b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình

y ′′+3y ′+2y = x (e −x − e −2x )

II. Giải tích hàm

Câu 5 Cho không gian metric (X , d ), (Y ,ρ) và ánh xạ f : X → Y . Trên X ×Y ta xét metric

d∗((x , y ), (x ′, y ′)) = d (x , x ′) +ρ(y , y ′), (x , x ′), (y , y ′) ∈ X ×Y

và xét tập hợp G =�

(x , f (x )) : x ∈ X

a) Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng

b) Giả sử G là tập đóng và (Y ,ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục

Câu 6 Chứng minh K =�

(x , y , z ) ∈R3 : x + y + z ≤ 1, x ≥−1, y ≥−2, z ≥−3

là tập compact

Câu 7 Cho toán tử A : C[0,1]→C[0,1] xác định bởi Ax (t ) = 2t .x (t ) với x ∈C[0,1]Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A

———————————HẾT———————————

10

www.VNMATH.com

2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ

2 Đề thi môn Đại số

2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01

Câu 1 Cho G là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của Glà một nhóm con của G . Kết quả trên còn đúng khi G không gian hoán hay không? Tại sao?

Câu 2 Giải phương trình sau trong Z488

68x −60= 620

Câu 3 Trong Q[x ], xét hai đa thức

f (x ) = (x −1)(x 2+1) và g (x ) = x 3n − x 2n + x n −1

trong đó n là số nguyên dương. Xác định n để f (x ) | g (x )

Câu 4 Trong không gian R4 cho các véctơ

u1 = (1, 2, 3, 4); u2 = (2, 1, 5, 4); u3 = (1, 4, 3, 8)

Gọi W là không gian con của R4 sinh bởi u1; u2; u3

a) Chứng minh B = (u1; u2; u3) là một cơ sở của W

b) Xác định tham số m để vectơ u = (−1, 1, 2, m ) thuộc W . Với giá trị m đó, hãy tìm [u ]B

Câu 5 Trong không gian R3 cho các véctơ

u1 = (1, 1, 2); u2 = (0, 1, 1); u3 = (0, 1, 2);

và toán tử tuyến tính f (x , y , z ) = (x − y + z , 2x −3y , 2x − y +4z )

a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im( f ), Ker( f )

b) Chứng minh B = (u1; u2; u3) là một cơ sở của R3 và tìm ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B

Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =

2 2 11 3 11 2 2

a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A

b) Chứng minh A chéo hóa được và tìm một ma trận P khả nghịch sao cho P −1AP là ma trậnchéo. Tính A20

———————————HẾT———————————

11

2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ

2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01Câu 1 Cho G là nhóm nhân cyclic cấp n sinh bởi x . Chứng minh rằng với m , k là hai số nguyên bấtkì ta có < x m >=< x k > khi và chỉ khi UCLN(m , n ) =UCLN(k , n )

Câu 2 a) Xét vành Zn các số nguyên đồng dư modulo n . Tìm điều kiện của k ∈ N để ánh xạf : Zn →Zn định bởi f (x ) = k x là một đồng cấu vành

b) Mô tả tất cả các tự đồng cấu của vành Zp với p nguyên tố

Câu 3 Cho đa thức với hệ số nguyên

f (x ) = x 6+7x 5+10x 4−35x 3−120x 2−108x −16

a) Viết khai triển Taylor của f (x ) tại x0 =−2

b) Phân tích f (x ) thành tích các đa thức bất khả qui trên Q

Câu 4 Trong không gian R 4 cho các vectơ

u1 = (1, 2, 1,−3), u2 = (2, 3,−2, 5), u3 = (1, 1, 0, 2);

v1 = (2, 3,−1, 5), v2 = (1, 2,−2, 3), u3 = (5, 8,−5, 13)

Gọi W là không gian con của R 4 sinh bởi u1, u2, u3

a) Chứng minhB1 = (u1, u2, u3) là một cơ sở của W

b) Chứng minhB2 = (v1, v2, v3) là một cơ sở của W . Tìm ma trận chuyển cơ sở từB1 sangB2

Câu 5 Trong không gian R3 cho các vectơ

u1 = (1, 1, 2); u2 = (0, 1, 1); u3 = (0, 1, 2);

v1 = (2, 9,−3); v2 = (0, 3,−3); u3 = (1, 7,−4);

a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính f trên R3 thỏa mãn f (uk ) = vk vớimọi k = 1, 2, 3 và xác định biểu thức của f

b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im( f ), Ker( f )

Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A =

3 2 10 2 01 2 3

a) Chéo hóa ma trận A

b) Cho f là toán tử tuyến tính trên R3 thỏa [ f ]B = A trong đóB = (u1, u2, u3) là cơ sở của R3

vớiu1 = (1,−1, 1); u2 = (0, 1, 1); u3 = (1, 1, 4)

Tìm một cơ sở C của R3 sao cho [ f ]C là một ma trận chéo và xác định ma trận chéo đó

———————————HẾT———————————

12

www.VNMATH.com

2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ 2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03

2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03

A. Phần Đại số tuyến tính

Câu 1 Trong không gian vectơ M (2, 2), không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 trên R , cho

E =

�

M =

�

a 0b a + b

�

; a , b ∈R

�

và H = Sp

�

v1 =

�

1 01 2

�

, v2 =

�

0 11 0

��

a) Chứng minh rằng E ∩H là không gian con của M (2, 2) và tìm cho E ∩H một cơ sở

b) ChoB =�

v1 =

�

1 01 2

�

, v2 =

�

0 11 0

��

là cơ sở của H , tìm v ∈ E ∩H sao cho [v ]B =

�

20

�

Câu 2 Cho B 0 = {1; x ; x 2} là cơ sở chính tắc của P 2(x ) và phép biến đổi tuyến tínhT : P 2(x )→ P 2(x ) xác định bởi T (1) = 3+2x + x 2, T (x ) = 2, T (x 2) = 2x 2

a) Tìm KerT và ImT

b) BiếtB = {1; 1+ x ; 1+ x 2} là cơ sở của P 2(x ). Tìm ma trận của T đối với cơ sởB , từ đó tìm

đa thức p ∈ P 2(x ) sao cho [T (p )]B =

421

c) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính T là chéo hóa được, từ đó tìm cho P 2(x ) một cơ sởC để ma trận của T đối với cơ sở C là ma trận chéo

d) Áp dụng kết quả tìm được ở câu c) để tính T 4(2+ x )

A. Phần Đại số đại cương

Câu 3 Cho X là một nhóm nhân. Giả sử tồn tại ba số nguyên liên tiếp k , k +1, k +2 sao cho với cácphần tử a , b bất kì của X ta luôn có

(a b )k = a k .b k , (a b )k+1 = a k+1.b k+1 và (a b )k+2 = a k+2.b k+2

Chứng minh rằng X là nhóm giao hoán

Câu 4 Cho X và Y là những nhóm nhân cyclic có cấp lần lượt là m và n . Chứng minh rằng X × Ylà một nhóm cyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau

Câu 5 Cho X là một vành giao hoán có đơn vị, và P là một ideal của X . Chứng minh rằng X /P làmiền nguyên khi và chỉ khi P là ideal nguyên tố

Câu 6 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trong Q[x ]

f (x ) = x 4+5x 3−2x 2−6x +3

———————————HẾT———————————

13

3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP

3 Đề thi môn Phương pháp

3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1Câu 1 .

a) Theo R. Marzano, khi dạy học kiến thức thông báo giáo viên cần thực hiện theo các bước nào?Áp dụng vào dạy học khái niệm hai vectơ bằng nhau trong chương trình Hình học 10

b) Cho bài toán: “Trong mặt phẳng O x y , cho 4 điểm A(2; 2), B (4; 4), C (1; a 2) và D (−1; a ). Tìma sao cho tứ giác AB C D là một hình bình hành”

Một học sinh giải như sau:

“AB C D là hình bình hành ⇔−→AB =−−→D C

⇔ a 2−a = 2⇔ a =−1 hoặc a = 2. Đáp số: a =−1, a = 2”

Hãy phân tích lỗi trên của học sinh

Câu 2 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm cách giải bài toán sau đây: “Giải phương trình: |3−2x |=x ” (Đại số 10)

Câu 3 .

a) Trình bày một mô hình dạy học có thể dùng để dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạyhọc theo mô hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinh

b) Hãy tổ chức quá trình dạy học định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị (không chứng minhđịnh lí) bằng dạy học khám phá

Câu 4 Cho bài toán: “Trong tập số thực, tìm tham số m sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:¨p

x −1+p

y −2= 1

x + y =m”

a) Giải bài toán trên

b) Tổng quát hóa bài toán trên và nêu ra thuật giải

———————————HẾT———————————

3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1Câu 1 .

a) Theo Marzano, khi dạy học kiến thức qui trình giáo viên cần thực hiện theo các bước nào? Ápdụng vào dạy học giải phương trình sau đây trên tập số thực

f (x ).g (x ) = f (x ).h (x )

b) Phân tích sai lầm sau đây của học sinh

(x −3)p

x 2−16= 0⇔�

x −3= 0px −16= 0

(2)⇔�

x = 3x =±4

14

www.VNMATH.com

3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP 3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03

Câu 2 .

a) Hãy nêu các ý nghĩa khác nhau của khái niệm hàm số

b) Hãy sử dụng sơ đồ để biểu thị mối liên hệ giữa các khái niệm “giá trị của hàm số”, “giới hạncủa hàm số”, và “hàm số liên tục”

Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:

“Giải phương trình:p

8+ x = 4−p

x ”

Câu 4 Vận dụng quan điểm hàm số giải bài toán sau đây: “Giải hệ phương trình

(x 6+1)x +�

1

3

�y

− y =�

1

3

�x

+ y 7

3x +4y = 7”

———————————HẾT———————————

3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03

Câu 1 (3.0 điểm):

a) Khi hình thành khái niệm toán học cho học sinh, trong khâu nào giáo viên có thể yêu cầu họcsinh thực hiện hành động phân tích?

b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh phân tích định nghĩa sau đây về một đường thẳng vuông gócvới một mặt phẳng: “Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuônggóc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó” (HÌNH HỌC 11 - Nâng cao)

Câu 2 (3.0 điểm):Trong dạy học định lí toán học, nếu bắt đầu quá trình dạy học bằng phát biểu định lí thì giáo viên

làm thế nào để tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. Áp dụng vào dạy học định lí cosin trongtam giác

Câu 3 (2.5 điểm): Nêu cách hướng dẫn học sinh giải bài toán sau đây:

“Giải bất phương trình:x

px +1−1

< 3 ”

Câu 4 (1,5 điểm)Cho bài toán: “Trong tập số thực, chứng minh rằng phương trình (ẩn x ):

4x

x 2+1=(a +1)(a −1)−a +4

p

a (a −1) +2vô nghiệm với mọi a ”

Hãy giải và khái quát hóa bài toán trên theo quan điểm hàm số

———————————HẾT———————————

15

3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP

3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02Câu 1 Nếu dạy học một định lí toán học có khâu nêu giả thuyết thì quá trình dạy học cần được tổchức như thế nào? Áp dụng vào dạy học định lí sau đây

“Nếu a , b và c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì b =a + c

2”

Câu 2 .

a) Trong quá trình dạy học khái niệm toán học, trong những khâu nào giáo viên có thể yêu cầu họcsinh thực hiện hành động so sánh?

b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh so sánh khái niệm vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến củađường thẳng

Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:“Giải phương trình:

p

x 3−4+2x (1− x )− x +2p

x 2(x −1)− (x −1)2−3+p

2x 2+2(2−3x )= 1 ”

Câu 4 Xét bài toán: “Chứng minh rằng: a 2+a +1

a 2+a +1≥ 1 với mọi a (1)”

Một học sinh đã giải như sau:

“Giả sử a 2+a +1

a 2+a +1≤ 1 (2)

(2)⇔ a 2+a +1+1

a 2+a +1≤ 2

⇔ (a 2+a )2 ≤ 0 vô líVậy (1) đúng với mọi a ”

Hãy nêu nhận xét về lời giải trên

———————————HẾT———————————

3.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03Câu 1 .

a) Trình bày một mô hình dạy học có thể dùng cho dạy học khám phá định lý, và cho biết nếu dạyhọc theo mô hình đó thì giáo viên có thể phát triển những năng lực tư duy nào cho học sinh

b) Hãy dạy học định lý sau đây:

“Cho cấp số cộng (un ). Đặt Sn = u1+u2+ . . .+un

Khi đó Sn =n (u1+un )

2” (Đại số và giải tích 11)

bằng dạy học khám phá

Câu 2 .

a) Khi dạy học khái niệm toán học cho học sinh theo con đường diễn dịch thì giáo viên làm thếnào để tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh

16

www.VNMATH.com

MỤC LỤC MỤC LỤC

b) Áp dụng vào dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến của đường thẳng với định nghĩa như sau:“Vectơ ~n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng∆ nếu ~n 6= ~0 và ~n vuông góc với vectơchỉ phương của ∆” (Hình Học 10)

Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tòi lời giải bài toán sau đây:

“Trong tập số thực, giải bất phương trình:8x +2x −11+2 5px −1

5px −1−1≥ 1”

Câu 4 Cho bài toán: “Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi số thực α

3

2=

1

2

�

sin4α+ cos4α�

+ sin6α+ cos6α+ sin2 2α”

a) Hãy giải bài toán trên theo quan điểm hàm số

b) Hãy khái quát hóa bài toán trên theo quan điểm hàm số (trình bày cả thuật giải)

c) Anh (Chị) hãy đề xuất hai bài toán kèm theo lời giải chi tiết cùng dạng bài toán trên

———————————HẾT———————————

Mục lục

1 Đề thi môn Giải tích 21.1 Giải tích, đề mẫu 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Giải tích, đề mẫu 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Giải tích, năm 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Giải tích, năm 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Giải tích, năm 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.6 Giải tích, năm 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Giải tích, năm 2005, lần 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.9 Giải tích, năm 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10 Giải tích, năm 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Đề thi môn Đại số 112.1 Đại số, năm 2009, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Đề thi môn Phương pháp 143.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

17

www.VNMATH.com

www.VNMATH.com