tnumero real r - matvallmatvall.es/file.php/1/apuntssecundaria/tnumero_real_r.pdf · 2012. 12....
TRANSCRIPT
Número Real R
� ⊆ � ⊆ � ⊆ �
� ⊆ �
R
N I Q Z
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:2
Números
Número Enter Z
Conjunt Z
* = ,… − 5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … 6 7 ⊆ *
Operacions en Z + suma - resta *multiplicació
Propietats de la suma +
1.- La + en Z és ll. c. i. � ∈ *, � ∈ * → � + � ∈ *
2.- La + en Z és commutativa � + � = � + � ∀�, � ∈ *
3.- La + en Z és associativa 9� + �: + � = � + 9� + �: = � + � + � ∀�, �, � ∈ *
4.- L’element neutre de + en Z és 0 � + 0 = 0 + � = � ∀� ∈ *
5.- L’element simètric de � ∈ * és −� ∈ * � + 9−�: = 9−�: + � = 0 ∀� ∈ *
Propietats de la multiplicació * (.) (cap signe)
1.- La * en Z és ll. c. i. � ∈ *, � ∈ * → � ∗ � ∈ *
2.- La * en Z és commutativa � ∗ � = � ∗ � ∀�, � ∈ *
3.- La * en Z és associativa 9� ∗ �: ∗ � = � ∗ 9� ∗ �: = � ∗ � ∗ � ∀�, �, � ∈ *
4.- L’element unitat de * en Z és 1 � ∗ 1 = 1 ∗ � = � ∀� ∈ *
Regla dels signes
+ ∗ += + + ∗ −= − − ∗ += − − ∗ −= +
Multiplicació per un número negatiu
Si el número negatiu no està al principi de l’expressió es posarà entre ( )
Ex1: 4*(-3)=-12 Ex2: -3*7=-21 Ex3: -5*(-6)=30
Propietats distributives de la multiplicació * respecte de la suma +
� ∗ 9� + �: = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ * [→ 9==>?@A B@AèDE>FG: ← 9EA@IA> J@KELA KLMú:]
9� + �: ∗ � = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ *
Potència d’exponent natural I base entera
Definim �P = Q 1 � = 0 � � ≠ 0� · �PTU � > 0 W on ∈ 7 � � ∈ *
Propietats de les potències
�U = � ∀� ∈ *
�P ∙ �Y = �YZP ∀� ∈ * � %, ∈ 7
[\[] = �PTY ∀� ∈ *∗ � %, ∈ 7
9�Y:P = �Y∙P ∀� ∈ * � %, ∈ 7
�P ∙ �P = 9� ∙ �:P ∀�, � ∈ * � ∈ 7
Thales de Mileto (Turquia)
639 -aC-. 547 aC
Filòsof, Físic i Matemàtic
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:3
Números
Divisió entera. Regles de divisibilitat més utilitzades.
• Cap número és divisible per 0
• Tots els números són divisibles per 1
• Un número és divisible per 2 si acaba en 0 o en xifra parell
• Un número és divisible per 3 si la suma de les seues xifres és 3 o múltiple de 3
• Un número és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5
• Un número és divisible per 11 si la suma de les xifres que ocupen lloc parell menys
la suma de les xifres que ocupen lloc imparell és 0 o múltiple d’11
Prioritat de les operacions
Sempre en aquest ordre: (), potències i arrels, multiplicació o/i divisió, suma o/i resta
Aquest ordre pot ser alterat per ( ). En cas de la mateixa prioritat sempre d’esquerre a dreta.
Màxim comú divisor(MCD) i mínim comú multiple(MCM)
^_`9�, �: = ∏9$���� ��%� �� %��� �)���:
^_^9�, �: = ∏9$���� ��%� � � ��%� �� %���� �)���:
MCD(18,45)=9 MCM(2,6,18)=18 MCM(5,15,20)=60
Propietat MCD(a,b)*MCM(a,b)=a*b
Números primers Direm que un número és primer si sols és divisible per 1 i per ell mateix
Sedàs d’Eratostenes del números primers 1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,51,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91,93,97,…
Eratóstenes
Naix a: Cirene, 276 a.C.
Mor a: C.Alejandría, 194 a. C.
Matemàtic, Filòsof, Astrònom i Geògraf
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:4
Números
Instruccions per construir el sedàs
Ratlla tots els múltiples de 2 exceptuant el 2, ratlla tots els múltiples de 3 exceptuant el 3 (alguns d’ells
ja els trobaràs ratllats).
Els múltiples de 4 no cal que els ratlles ja que són múltiples de 2, seguim ratllant de la mateixa manera
els múltiples de 5, de 7, d’11, i de 13, etc
D’aquesta manera has obtés uns nombres que no han quedat ratllats, són els nombres PRIMERS. No
tenen cap divisor, exceptuant l’1 i ell mateix.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190
191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:5
Números
Exercicis resolts
1.- Calculeu:
9−3:b = 9 −3b = −9 −2d = −8 9−2:d = −8
3 − 4 · 5 + 3 · 92 − 3: · 4 − 5b = 3 − 20 + 3 · 9−1: · 4 − 25 = 3 − 20 − 12 − 25 = −54
39−4: − 4 · 5 + 3 · 98 − 3: · 4 + 3 · 9−5:b = −12 − 20 + 3 · 5 · 4 + 3 · 25 = −32 + 60 + 75 = 103
2.- Calculeu:
� ∙ 9) − �: + � ∙ � = � ∙ ) − � ∙ � + � ∙ � = � ∙ )
% + % ∙ 9) − 1: + %) = % + %) − % + %) = 2%)
2% ∙ 9 − 2: − % + 4% + % ∙ = 2% − 4% − % + 4% + % = 2%
3.- Calculeu la descomposició factorial dels següents números:
18480 = 2h ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 135000 = 2d ∙ 3d ∙ 5h
4.- Calculeu tots els divisors del número:
ijj = ik ∙ li 7ú%��� "� "�m� �� = 93 + 1: ∙ 92 + 1: = 12
Divisors
* ij = n in = i ii = o ik = p lj = n 1 2 4 8 ln = l 5 10 20 40 li = il 25 50 100 200
Pitágoras (582 aC - 507 aC)
Filòsof i Matemàtic grec.
"Tot són Matemàtiques"
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:6
Números
Exercicis Z
1.-Calculeu:
a 5 + 3 ∙ 2 + 6 ∙ 2 + 4 = b 5 − 3 ∙ 9−2: + 6 ∙ 2 − 4 =
c 3 ∙ 4 ∙ 2 + 5 ∙ 3 + 7 ∙ 2 = d −5 + 3 ∙ 2 − 6 ∙ 9−2: ∙ 2 + 4 =
e 5 ∙ 6 ∙ 2 + 3 ∙ 9 ∙ 1 ∙ 0 + 7 = f 3 ∙ 9−5: − 3 ∙ 9−1: ∙ 2 + 6 ∙ 2 + 4 =
g 45 + 23 + 5 ∙ 7 = h 5 ∙ 9−1: ∙ 9−2: − 3 ∙ 2 + 6 − 2 ∙ 4 =
2.- Calculeu:
a 7b = b 9−2:b = c 2d = d 9−2:d =
f 9−3:b = g 9−3:d = h −2b = i −3b =
j 9−1:b = k −1b = l 9−2:U = m 9−1:Ubd =
n 9−2:q = o −2q = p 9−1:q = q 6q =
3.- Calculeu:
a 4 − 3b = b 5 − 9−2:d = c 5 ∙ 7 + 9−3:b =
d 9 − 4b = e 7 − 2d = f 4b − 3b =
g 94 − 3:b= h 93 − 1:d = i 4 − 93 − 3:b + 5 =
4.- Calculeu:
a 7 ∙ 95 − 2 + 8 − 4: − 5 ∙ 3 − 3 − 4 ∙ 5 =
b 9−2:d =
c −2d =
d −2d ∙ 9−2:9−2:h + 5 ∙ 92 − 3 + 5: ∙ 9−1: =
e −39−3:b + 92b − 3:d − 5 ∙ 9−2:d + 3 =
f 9−2:h − 2d + 9−2:b + 2 =
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:7
Números
5.- Calculeu:
a 5 ∙ 9−5b: + 4 ∙ 93 − 8 + 4:b − 5 =
b 4 ∙ 9−3b + 3 ∙ 5: − 5 − 2 ∙ 3 =
c 9−3 + 8 − 5: ∙ 92d − 3b: − 5 ∙ 2 =
d 93 − 5: ∙ 2 − 94 − 6 + 1:b =
6.- Calculeu:
a 93 − 5:b ∙ 2 − 94 − 6 + 1:d =
b 1 − 94 − 8:b + 3 ∙ 91 − 7: =
c 2 + 3 ∙ 93 − 1:b − 2b ∙ 3=
d 1 − [93 − 1:b ∙ 92 − 4: − 91 + 6: + 6]b =
7.- Calculeu:
a −95 − 9:b + 3 ∙ 92 + 4: =
b 5∙ 3b ∙ 2 − 2 ∙ 5 ∙ 9−1:d + 7 − 2 ⋅ 5b + 2 =
c −93 − 9:b + 5 ∙ 92 + 4:b =
d 1 − 94 − 5:d + 3 ∙ 91 − 6:b =
8.- Calculeu:
a −5 ∙ 3b ∙ 1 − 2 ∙ 3 ∙ 9−1:hd + 7 − 2 ⋅ 5b + 2 =
b 9−3 + 2 − 1: ∙ 92d − 3b: − 5 ∙ 2d =
c 1 − 94 − 5:UUb + 3 ∙ 91 − 4:d + 5 =
d −93 − 2:Ub + 5 ∙ 92 − 4:b ∙ 9−1:s + 6 =
9.- Calculeu:
a 5 ∙ 9−2b: + 4 ∙ 93 − 8 + 4:b ∙ 2 − 4 =
b 4 ∙ 9−2b − 3 ∙ 5: − 5 − 2 ∙ 9−3: =
c 9−9 + 8 − 5: ∙ 92d − 3q: − 5 ∙ 2 =
d −2 ∙ 93 − 5: ∙ 2 − 94 − 6 − 1:b =
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:8
Números
10.- Calculeu:
a 93 − 5:d ∙ 2 − 9−1: ∙ 94 − 6 − 1:d =
b 1 − 94 − 5:d − 3 ∙ 91 − 7: ∙ 9−1: =
c −2 + 3 ∙ 91 − 1:b − 2b ∙ 9−3:=
d 1 − [93 − 1:d ∙ 92 − 4: − 91 + 6: − 6]b =
11.- Calculeu:
a −95 − 9:b − 3 ∙ t−2 − 4 ∙ 9−2:u =
b -5∙ 9−3b: ∙ 2 − 2 ∙ 9−5: ∙ 9−1:d + 7 − 2 ⋅ 9−5b: + 2 =
c −93 − 9:b + 5 ∙ 92 − 4:b =
d −1 + 94 − 1:d + 3 ∙ 91 − 6:b =
12.- Calculeu:
a −5 ∙ 3d ∙ 1 − 2 ∙ 3 ∙ 9−1:bhv + 7 − 2 ⋅ 3b − 2 =
b 9−12 + 2 + 10: ∙ 92d − 3b: − 5 ∙ 2d =
c 1 − 94 − 5:UUb − 9−1: ∙ 91 − 4:d − 5 =
d −93 − 2:UUb + 5 ∙ 93 − 4:UUb ∙ 9−1:UUb + 6 =
13.- Calculeu la descomposició factorial dels següents números:
a 151.200 b 277.200 c 31.500 d 27720 e 385
14.- Calculeu:
a MCD(20,36,28) b MCD(77,121,44) c MCD(16,80,112)
15.- Calculeu:
a MCM(35,50,60) b MCM(12,45) c MCM(9,27,12)
16.- Quina xifra(es) escriureu perquè:
a [ ]473 siga divisible per 11 b [ ]413 siga divisible per 9
c [ ]25 siga divisible per 2 i per 7 d [ ] [ ]423 siga divisible per 2 i per 11
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:9
Números
17.- Escrigueu números:
a divisibles per 3 i no divisibles per 6
b divisibles per 2 i no per 3
c divisibles per 5 i per 3
d divisibles per 0
e de tres xifres divisibles per 5 i per 11
18.- Calculeu tots els divisors naturals dels següents números:
a 28 b 75 c 17 d 42 e 30
19.- Calculeu:
a ( ) =34,12MCD b ( ) =330,121MCD c ( ) =105,35,15MCD
20.- Calculeu:
a ( ) =62,31MCM b ( ) =54,30,6MCM c ( ) =0,89MCM
21.- El dia 10 d’octubre, Toni i Fabian coincidiren a la biblioteca. Toni va cada 3 dies i Fabian
cada 5 dies, quin dia tornaran a coincidir?
22.- Quines seran les dimensions del taulell més gran per poder entaulellar una habitació rectangular de dimensions 234cm X 455cm sense partir cap taulell?. 23.- Recorda la propietat: ( ) ( ) babaMCMbaMCD ⋅=⋅ ,,
1.- Què val ( )baMCM , si a i b són primers entre ells?
2.- Què val ( ) ( ) =⋅ 100,345.12100,345.12 MCDMCM
24.- Completa el següent esquema:
divisible per
0 1 2 3 5 7 9 11 Primer? Número
1.848 si
5.005
1.716
167
2.145
3.465
378 no
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:10
Números
25.- Calculeu tots els divisors naturals dels números. Quants divisors té cada número?.
a 50 b 54 c 300 d 360 e 250
26.- Calculeu:
a � ∙ 9� − �: + � ∙ � =
b % + % ∙ 9) − 1: + %) =
c 2% ∙ 9 − 2: − % + 4% =
d 2) ∙ 9) − 2: − )b + 4) =
e % ∙ 9 + 1: − % + 4% =
27.- Calculeu:
a 9 − 2:b + 4 − 4 =
b 9) + 2: + 4) − )b − 4 =
c 9) + �: ∙ ) − �9� + ): =
d 9� + �: ∙ 9� − �: + �b =
e 9� + �:b − �9� − 2�: =
28.- Traeu factor comú:
a 5 + 15 − 25 + 20 =
b 12%) − 15% + 6%� =
c 3%) − 2% + 5%� =
d %)b − %) + �%) =
e 4%) − 10% + 6%� =
29.- Un número de tres xifres iguals pot ser primer?
30.- Quins valors pot tenir a perquè M.C.M.(a,36)=36?
31.- Descomposeu 756 en factors primers i trobeu dos números consecutius on el seu
producte siga 756.
32.- Trobeu el primer múltiple de 21 divisible per 5. Trobeu el primer múltiple de 15 divisible
per 12.
33.- Quin és el major múltiple de 9 que té 5 xifres?
34.-Demostreu que la suma de dos números imparells consecutius és un número múltiple de 4.
35.- Sense fer la divisió, quin és el residu de la divisió de 7414 per 9?
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:11
Números
Ampliació
1.- Si ∈ 7 definim n-factorial a: ! = x1 � = 0 · 9 − 1:! � > 0W Calculeu:
a 3! = b 5! = c 1! = d y!d! = e
h!9dTU:! =
2.- Si , % ∈ 7 � ≥ % definim número combinatori n sobre m a: { %| = P!Y!·9PTY:! Calculeu:
a {31| = b {70| = c {55| = d {76| = e {43| =
3.- Construeix el sedàs d’Eratostenes dels números primers.
4.- Hi ha infinits números primers. (Euclides ja ho va demostrar)
5.- Observa:
1*2-1=1 és primer
1*2*3-1=5 és primer
1*2*3*5-1=29 és primer
1*2*3*5*7-1=209 és primer
Quina propietat generalitzaria el que has observat?.
6.- Observa que qualsevol número parell és la suma de dos números primers (considerant el 1
com número primer) (conjetura de Goldbach. Euler va intentar demostrar-la. Fins ara no s’ha
pogut)
Euclides.
325 aC-265 aC
Matemàtic grec
Euler.
Físic i Matemàtic.
Naix a Basilea (Suissa) el 1707 i mor a
Sant Petesburg (Russia) el 1783
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:12
Números
Número Racional Q
Fracció
Una fracció és una expressió de la forma YP � %, ∈ * � ≠ 0
Fraccions equivalents
Direm que [} = ~� ↔ � ⋅ " = � ⋅ � ex:
vh = db; Tbv = TUd
Propietat de les fraccions
Si multipliquem o dividim el numerador i el denominador d’una fracció pel mateix número
enter (diferent de 0) la fracció resultant és equivalent a la primera.
[} = [∙~}∙~
[} = [/~}/~
Conjunt Q
Q= QYP � %, ∈ * ���%�� ��� ��� � ≠ 0� 7 ⊆ * ⊆ �
Operacions en Q + suma - resta *multiplicació /divisió
Suma +(-) @� + K� = @∙�Z�∙K�∙�
@� − K� = @∙�T�∙K�∙�
Propietats de la suma +
1.- La + en Q és ll. c. i. � ∈ �, � ∈ � → � + � ∈ �
2.- La + en Q és commutativa � + � = � + � ∀�, � ∈ �
3.- La + en Q és associativa 9� + �: + � = � + 9� + �: = � + � + � ∀�, �, � ∈ �
4.- L’element neutre de + en Q és 0 � + 0 = 0 + � = � ∀� ∈ �
5.- L’element simètric d’ � ∈ � és −� ∈ � � + 9−�: = 9−�: + � = 0 ∀� ∈ �
Multiplicació *(÷) @� ∗ K� = @∙K�∙�
@� ÷ K� = @∙��∙K
Propietats de la multiplicació * (.) (cap signe)
1.- La * en Q és ll. c. i. � ∈ �, � ∈ � → � ∗ � ∈ �
2.- La * en Q és commutativa � ∗ � = � ∗ � ∀�, � ∈ �
3.- La * en Q és associativa 9� ∗ �: ∗ � = � ∗ 9� ∗ �: = � ∗ � ∗ � ∀�, �, � ∈ �
4.- L’element unitat de * en Q és 1 � ∗ 1 = 1 ∗ � = � ∀� ∈ �
5.- L’element invers de � ∈ �∗ és U[ ∈ � � ∗ U[ = U[ ∗ � = 1 ∀� ∈ �∗
Propietats distributives de la multiplicació * respecte de la suma +
� ∗ 9� + �: = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ � [→ 9==>?@A B@AèDE>FG: ← 9EA@IA> J@KELA KLMú:]
9� + �: ∗ � = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ �
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:13
Números
Potència d’exponent enter i base racional
Definim � �P = Q 1 � = 0 � � ≠ 0� · �PTU � > 0 W�TP = U[\ � � ≠ 0 W on ∈ 7 � � ∈ �
Propietats de les potències
1. �U = � ∀� ∈ �
2. �P ∙ �Y = �YZP ∀� ∈ � � %, ∈ *
3. [\[] = �PTY ∀� ∈ �∗ � %, ∈ *
4. 9�Y:P = �Y∙P ∀� ∈ � � %, ∈ *
5. �P ∙ �P = 9� ∙ �:P ∀�, � ∈ � � ∈ *
6. [\}\ = {[}|P ∀� ∈ �, � ∈ �∗ � ∈ *
Prioritat de les operacions
Sempre en aquest ordre: (), potències i arrels, multiplicació o/i divisió, suma o/i resta.
Aquest ordre pot ser alterat per ( ). En cas de la mateixa prioritat sempre d’esquerre a dreta.
Números decimals racionals "���%�� ������� �"���%�� �)���"���%�� ����ò"�� x����ò"�� �������ò"�� %�)WW
Fracció generatriu Qualsevol decimal racional pot expressar-se com una fracció. La forma de calcular-la:
Decimal exacte: 15�5 = UssUq = dUb
Decimal periòdic: ) = 2′3� 10) = 23′3�) = 2′3�_______________9) = 21 per tant ) = bU� = yd
La fracció com operador
Si volem calcular una determinada part d’una quantitat, procedim de la següent manera:
MD B@AEF �> � = MD ∙ �
Arquímedes (287 aC – 212 aC)
Matemàtic grec, Físic, Ingenier,
Inventor i Astrònom
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:14
Números
Exercicis resolts:
1.- Calculeu (denominador comú)
ds + hd − bUs = �ZbqTbUs = byUs = �s b� − hd − bs = UqTvqTU�hs = Tv�hs
2.- Calculeu (prioritat de les operacions)
�s − ds ⋅ {bs − UUs| ∙ �h + 3 = �s − ds ⋅ vTUUs ⋅ �h + 3 = �s − ds ⋅ sUs ⋅ �h + 3 = �s − d⋅s⋅d⋅ds⋅s⋅d⋅h + 3 =
= �s − �bq + 3 = dbT�Zvqbq = �dbq
3.- Calculeu
a 3Tb = Ud� = U� b {bd|Tb = {db|b = d�b� = �h c sh − {bd|TU = sh − db = sTvh = TUh
d {sd|TU + {sh|TU − {sb|TU = ds + hs − bs = ss = 1 e �{sd|TU�b = {sd|Tb = {ds|b = �bs
4.- Calculeu
a d�∙s�∙�U∙9Tb:�vh∙9Td:�∙9Ts:� = d�∙s�∙b�b�∙d�∙s� = sb�∙d = sUb b
[��Z[�[��Z[� = [�9�ZU:[�9�ZU: = �[
5.- Calculeu
a UUZ ��� �����
= UUZ ������= UUZ �����
= UUZ ���= UUZ�� = U��� = �Ud
b bdZ ��� �����
= bdZ ������= bdZ ���� = bdZ ��� = b���� = bbdh = UUUy
6.- Quant són les set terceres parts de 21.234? yd ∙ 21.234 = 49.546
7.- Des de Simat a Barx hi ha 5.212 metres i hem recorregut les tres quartes parts del camí.
Quants metres ens queden per recórrer?
Hem recorregut dh ∙ 5.212 = 3.909 m. Queden per recórrer 5.212-3.909=1.303 m
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:15
Números
Exercicis Q
1.- Simplifiqueu al màxim les següents fraccions:
a hsUbs = b
sbs = c Ubbq = d
h�bU = e ddUbU =
f sbqq = g
Ubhqq = h ybbhd = i
bvUdq = j ��Uyv =
2.- Expresseu en forma de fracció les següents potències:
a 3TU = b 2d ∙ 5Tb = c 7TU ∙ 5Tb = d 2Tb ∙ 5 = e 3 ∙ 15Tb =
3.- Simplifiqueu al màxim les següents fraccions:
a d∙s���∙s�� = b
b∙d��∙s��h∙���∙s�� = c [��∙d∙s��[��∙�∙s�� =
d d∙}�∙[��∙s��∙[��∙s��∙9[∙}:� = e
s∙d�∙b�∙yh�∙dv∙bs =
f d∙s�∙b�∙yh�∙d∙v∙bs = g
s∙d��∙b�∙y∙b��h�∙�∙d��⋅v∙bs =
4.- Representeu a la recta real les següents fraccions:
a bd b
Tdb c sh
5.- Expresseu amb el mateix denominador les següents fraccions i ordena-les de menor a
major
dh
bd Tbs
bUUb TyUs
sb
6.- Calculeu:
a dh + sh + Uh = b
yb + 2 + �v =
c yd − Ub − UUU = d
UqUU + Uqy − UbUU =
e 3 − UbU − Uy + b� = f db + sUv − d� =
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:16
Números
7.- Calculeu:
a Ubs ∙ Usv = b
s� : db =
c 7: d� = d Tb y ∙ Td s =
e hd ∙ {− sy| = f
�Us : {− vs| =
8.- Calculeu:
a hs − Uh ∙ Uqd = b 9 − Uh ∙ yd + bs =
c {hs − Uh| ∙ Uqd = d bd : dh − Us ∙ dy =
e �d : s� : {vs − Ud| = f
by + sy : bd =
9.- Calculeu:
a =−5
8
5
3 b =−
3
5
4
13
c =−+2
5
3
7
5
6 d =⋅−
2
5
3
7
3
2
e =⋅−⋅2
5
5
7
3
2
4
9 f =−+−
9
4
6
15
4
3
3
7
10.- Calculeu:
a =⋅−++5
4
6
15
14
3
7
12
3
1 b =⋅
+⋅−4
5
7
5
14
3
5
12
7
3
c =+
+
10
3
5
2
15
2
d =⋅−+−3
2
10
1
15
3
5
12
5
7
e =⋅⋅⋅⋅9
4
6
15
14
3
5
12
3
7 f =−⋅+⋅
9
4
6
15
14
3
5
12
3
7
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:17
Números
11.- Calculeu:
a =+
−+ 7
4
2
33
21
1 b =+
−+ 9
4
2
13
21
1
c =+
+−⋅−2
1
3
5
15
7
5
3
3
2
3
5 d =−⋅+ 2:
15
2
2
5
10
1
15
2:
5
4
e =
++
3
51
9
8:
3
2 f =+
−⋅
+4
1
4
7:1
4
51
4
3
12.- Calculeu:
a =⋅++6
23
6
51
3 b =
−⋅⋅⋅3
2:
5
31
4
15
9
8
5
3
c =
++
++
2
11
11
11
11 d =
+⋅+−6
11
7
3
7
4:35
e =
−+
−12
2
5
5
4
2
3 f =+
+
−
8
5
8
7
3
402
13.- Calculeu:
a =
++⋅5
2
6
53
1
2
5
7
5 b =
+
+
+
3210
2
1
2
1
2
1
2
1
c =
+
+
+
−−− 3210
2
1
2
1
2
1
2
1 d =+++
1000
1
100
1
10
11
e =⋅⋅3
5:
9
7
14
5:
7
5
3
2:
5
3 f =−−−+−+
5
11
5
32
5
21
5
1
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:18
Números
14.- Calculeu:
a =
+5
4
4
3:
4
7 b =
+3
11:
7
6
5
2
c =
+−+−3
2
5
1
2
6
4
15 d =
−⋅−
−+6
1
5
1
3
4
2
1:
8
1
4
2
12
6
e =
+−
−+4
33
2
5:
5
21
7
3 f =
−+
−
2
1
6
14
5
6:
7
1
4
3
15.- Calculeu:
a =−
18
12
3
5:
9
14 b =
−
++
2
11
2
11
1
c =+⋅
+ 2
3:5
25
23
4 d =
+
+−
+
++
9
18
4
15
6
6
15
2
13
4
16.- Calculeu:
a =++
128
164
132
116
1
8
14
1
2
1 b =
+
+−− 11
2
5
3
5
5
3
c =
+
+−
− 012
5
13
2
27
3
1
3
2 d =
+
−
−
−−
−1
7
3
3
5
5
41
5
3
11
2
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:19
Números
17.- Calculeu el 15% de 250.000 €.
18.- El 7% d’una quantitat de diners són 28.000 €. De quina quantitat es tracta?
19.- Un pantaló que val inicialment 50€ el venem per 65€. Quin percentage sobre el preu inicial
hem augmentat en la venda? Quin operador aplicaríem al preu inicial del pantaló per obtindre
el preu de venda?
20.- Les cinc quartes parts d’un recorregut són la meitat de les cinc terceres parts de 12 Km. De
quants Km és el recorregut?
21.- Una moto val 47.200 €. En comprar-la hem pagat 15
4del seu valor. Quant ens queda per
pagar?
22.- En una cantera hi ha 900 tones de pedra. Per transportar-la utilitzem camions que porten
3
7de tona. Quants camions necessitarem?
23.- En un dinar, les persones majors es mengen 16
9 parts de paella i els menuts
3
1 de paella.
Quanta paella queda?
24.- Un obrer cobra 2.450 € i paga en impostos 50
7d’aquesta quantitat. Quant paga en
impostos i quant li queda per a ell?
25.- Un litre de llet val 1€. Què valdrà 4
7 de litre?
26.- Quin número multiplicat per 4
3 dóna 8
5?
27.- Els guanys d’un negoci són 620.000€. Un soci s’emporta 9
5d’aquesta quantitat i la resta
s’ho reparteixen entre els altres dos socis. Quants diners s’emporta cadascú?
28.- Un terreny de 2
153 hectàrees es divideix en parcel·les de 8
3 hectàrees cadascuna. Quantes
parcel·les hi haurà?
29.- Un corredor ha fet 8
5 parts d’un recorregut de 13.200m. Quants metres li queden per
recórrer?
30.- Què val els tres cinquéns dels set huitens de la meitat de 1.800?
31.- Per mecanografiar 8
5 d’un treball em paguen 600€. Què em pagarien de tot el treball?
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:20
Números
32.- Un alumne compra un llibre que val 36€, li descompten el 10% del seu valor, però sols té
6
5 del que li demanen. Quants diners li falten?
33.- A una classe de 36 alumnes la tercera part de la meitat porten ulleres. Quants alumnes no
porten ulleres?
34.- Classifiqueu els següents números racionals segons la seua part decimal:
a3
7 b
4
15 c2
361 d7
3 e
15
8 f
5
100 g
7
23
35.- Expresseu en forma de fracció els següents números racionals:
a 4'3⌢
=x b 31'2⌢
=x c 50'12=x d 61'21⌢
=x
36.- Calculeu i simplifiqueu al màxim:
a =+
+−⋅−2
1
3
5
15
7
5
3
3
2
3
5 b =−⋅+
45
1:
15
2
2
5
10
1
15
2:
5
4
c =+
−⋅
+4
1
4
7:1
4
51
4
3
37.- Calculeu i simplifiqueu al màxim =−+60
13
30
731'2
38.- Calculeu i simplifiqueu al màxim:
a =+⋅
−+5
15
2
3
4
5
5
2
5
3 b =
⋅⋅+
+
−⋅+
3
2
2
9
3
1
5
2
13
21
5
3
3
1
39.- Simplifiqueu al màxim: ( )
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−
−−
3132
4233
23982
169342
x
x
40.- Passeu a fracció i calculeu:
a 1, 3� + 3,4 = b 0, 3� + 0, 6� = c 4, 5� + 6, 7� =
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:21
Números
Número Irracional I
Definició
Direm que un número és irracional si no pot expressar-se com una fracció.
Com a conseqüència de la definició, qualsevol decimal racional (exacte, periòdic pur o periòdic
mixt) no serà número irracional.
És irracional el número x=1,123456789101112131415161718192021… (les xifres decimals són
els números naturals)
√2, √3, 1 + √5, √4� … també són irracionals.
Al conjunt format per tots els números irracionals s’anomena I
Propietat �� � ∈ � � � ∈ � → � + � ∈ � � � ∙ � ∈ �
√i, , >, ¡
Es pot demostrar que √2 és Irracional.
El número és un número Irracional i, per tant, no pot expressar-se en forma de fracció. Té infinites xifres decimals i aproximadament val 3,14159265358979…
No és possible dibuixar amb regla i compàs un punt en R a distància de l’origen.
Leibniz va demostrar que la següent sèrie convergeix a
= hU − hd + hs − hy + h� − hUU + hUd − hUs + hUy − hU� +··· Un altre número interessant > =2,718281828… també és irracional
I també el número d’or ¡ = nZ√li
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:22
Números
Número Real R
El conjunt format per la unió dels racionals Q i dels irracionals I formen el conjunt dels nombres
reals � = � ∪ �
W� ⊂ � ⊂ �∪�£ = �
N 0∙ 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ 5∙ 6∙
Z -4∙ -3∙ -2∙ -1∙ 0∙ 1∙ 2∙ 3∙ 4∙ 5∙ 6∙ Q -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
R -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Intervals
[@, �] ,¤ ∈ �/@ ≤ ¤ ≤ �6 a b ]@, �[ ,¤ ∈ �/@ < ) < �6 ao ob [@, �[ ,¤ ∈ �/@ ≤ ¤ < �6 a ob ]@, �] ,¤ ∈ �/@ < ) ≤ �6 ao b [@, +∞[ ,¤ ∈ �/¤ ≥ @6 a ]@, +∞[ ,¤ ∈ �/¤ > �6 ao ]−∞, �] ,¤ ∈ �/¤ ≤ �6 b ]−∞, �[ ,¤ ∈ �/¤ < �6 ob ]−∞, +∞[ R
Operacions amb intervals. Unió ∪ i Intersecció ∩
definim � ∪ ¨ = ,) ∈ ©/) ∈ � � ) ∈ ¨6 definim � ∩ ¨ = ,) ∈ ©/) ∈ � � ) ∈ ¨6
Centre i radi de l’interval [@, �] ó ]@, �[ centre K = @Z�i i radi A = |�T@|i
La recta real R és densa i completa
R
N I Q Z
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:23
Números
Valor absolut
Si � ∈ © definim |�| = +√�b . Aquesta definició és equivalent a: |�| = Q−� � � ≤ 0� � � > 0W
Notació científica Un número decimal en notació científica s’expressa de la forma � ∙ 10P � 1 ≤ |�| < 10 � ∈ * El valor de a rep el nom de mantissa i el valor de n rep el nom ordre de magnitud.
Ex.- ) = 3�12 ∙ 10h Ex.- ) = −2�0342 ∙ 10Td
Operacions amb notació científica
Per sumar o restar dos números amb notació científica han de tenir el mateix ordre de
magnitud.
1�23 ∙ 10h + 2�34 ∙ 10h = 3′57 ∙ 10h
Per multiplicar o dividir dos números en notació científica, es multipliquen o es divideixen les
mantisses, per un costat, i les potències de 10, per altre.
1�23 ∙ 10Tb ∙ 2�34 ∙ 10s = 4′3911 ∙ 10d
Operacions en R + suma - resta *multiplicació /divisió
Propietats de la suma +
1.- La + en R és ll. c. i. � ∈ ©, � ∈ © → � + � ∈ ©
2.- La + en R és commutativa � + � = � + � ∀�, � ∈ ©
3.- La + en R és associativa 9� + �: + � = � + 9� + �: = � + � + � ∀�, �, � ∈ ©
4.- L’element neutre de + en R és 0 � + 0 = 0 + � = � ∀� ∈ ©
5.- L’element simètric d’ � ∈ © és −� ∈ © � + 9−�: = 9−�: + � = 0 ∀� ∈ ©
Propietats de la multiplicació * (.) (cap signe)
1.- La * en R és ll. c. i. � ∈ ©, � ∈ © → � ∗ � ∈ ©
2.- La * en R és commutativa � ∗ � = � ∗ � ∀�, � ∈ ©
3.- La * en R és associativa 9� ∗ �: ∗ � = � ∗ 9� ∗ �: = � ∗ � ∗ � ∀�, �, � ∈ ©
4.- L’element unitat de * en R és 1 � ∗ 1 = 1 ∗ � = � ∀� ∈ ©
5.- L’element invers d’ � ∈ ©∗ és U[ ∈ © � ∗ U[ = U[ ∗ � = 1 ∀� ∈ ©∗
Propietats distributives de la multiplicació * respecte de la suma +
� ∗ 9� + �: = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ © [→ 9���m�� ���è� �: ← 9����� $���� ��%ú:] 9� + �: ∗ � = � ∗ � + � ∗ � ∀�, �, � ∈ ©
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:24
Números
Radicals
Radical d’índex n
Siga @ ∈ � � D ∈ �, anomenem radical d’índex n del número a a: √�\
Arrel n-èssima
Direm que √�\ = � ↔ �P = �
Radicand Índex Número d’arrels reals
√�\
a>0 n imparell Una arrel positiva
n parell Dos arrels (+,-)
a=0 n parell o imparell Una arrel (0)
a<0 n imparell Una arrel negativa
n parell Cap arrel
√9 = ±3 ∄√−8 √16� = ±2 √−8� = −2
Propietats dels radicals
Si existeixen les arrels, s’acompleixen les següents propietats:
√�P\ = � t √�\ uP = �
√�\ ∙ √�\ = √� ∙ �\
√[\√}\ = [}\
® √�]\ = √�\∙] √�P\∙] = √�]
Traure factors d’un radical
Ens basem en la següents propietats: √�P\ = � √�\ ∙ √�\ = √� ∙ �\
Ex: ®)s ∙ �h ∙ 81 ∙ �d� = ®)d)b ∙ �d ∙ � ∙ 3d ∙ 3 ∙ �d� = ) ∙ � ∙ 3 ∙ � ∙ √)b ∙ � ∙ 3�
Introduir factors a un radical
Per introduir factors farem el procés invers a traure factors. Ex: ) ∙ ®�� = ®)h ∙ ��
Radicals semblants
Direm que dos radicals són semblants si tenen el mateix radical i el mateix radicand.
Ex: ®) ∙ �b ∙ � √) ∙ �
Propietat: Sols poden sumar-se o restar-se radicals semblants:
Ex: 3√� − √� = 2√�; 5®)�b� + 2 ®)�b� = 7®)�b�
radical índex
radicand
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:25
Números
Radicals amb índex comú
L’índex comú de diversos radicals és el MCM(dels índex dels radicals)
√9� √20�
√7 amb el mateix índex √9b� √20�
√7d�
Propietat: Sols poden multiplicar-se o dividir-se radicals que tinguen el mateix índex
Potència d’exponent racional i base real
Definim °̄±°²� �P = Q 1 � = 0 � � ≠ 0� · �PTU � > 0 W�TP = U[\ � � ≠ 0 W
� \] = √�P] W on ∈ 7, % ∈ 7∗ � � ∈ ©
Propietats de les potències
1. �U = � ∀� ∈ ©
2. �P ∙ �Y = �YZP ∀� ∈ © � %, ∈ �
3. [\[] = �PTY ∀� ∈ ©∗ � %, ∈ �
4. 9�Y:P = �Y∙P ∀� ∈ © � %, ∈ �
5. �P ∙ �P = 9� ∙ �:P ∀�, � ∈ © � ∈ �
6. [\}\ = {[}|P ∀� ∈ ©, � ∈ ©∗ � ∈ �
Simplificació de radicals √@DD∙M = √@M Ex: √9� = √3b� = 3�� = 3�� = √3
Prioritat de les operacions
Sempre en aquest ordre: (), potències i arrels, multiplicació o/i divisió, suma o/i resta
Aquest ordre pot ser alterat per ( ). En cas de la mateixa prioritat sempre d’esquerre a
dreta.
Igualtats notables
9@ + �:i = @i + i@� + �i 9@ − �:i = @i − i@� + �i;
9@ + �: ∙ 9@ − �: = @i − �i 9@ ± �:k = @k ± k@i� + k@�i ± �k
Racionalització
El procés de transformar una fracció amb radicals en el denominador, en un altra
fracció equivalent, que no els tinga, es coneix amb el nom de racionalitzar.
Ex: Uq√s = Uq∙√s√s∙√s = Uq∙√ss = 2√5
3√7 − 2 = 3 ∙ t√7 + 2ut√7 − 2u ∙ t√7 + 2u = 3 ∙ t√7 + 2u7 − 4 = 3 ∙ t√7 + 2u3 = t√7 + 2u
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:26
Números
angle recte
Representació gràfica d’arrels quadrades Ens basarem en les següents propietats:
teorema de l’altura ³i = M ∙ D angle inscrit que abarca una semicircumferència
√8 = √4 ∙ 2
©=-1
2
-4
√8
c=-1
h
n m
John Napier
Naix: 1550 en Edinburg, Escòcia
Mor: 4 de Abril de 1617 en Edinburg, Escòcia
Matemàtic
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:27
Números
Exercicis resolts:
1.- Calculeu:
√4 = ±2 √8� = 2 √81� = ±3
√225 = ±5 √−8� = −2 √16� = ±2
√0 = 0 √−1� = −1 √0� = 0
∄√−25 = √27� = 3 √1� =
√�b = ±� √�d� = � √)h� = ±)
√�b = ±� ®9−�:d� = −� ®9−):h� = ±)
�Uv = ± dh TU�� = TUb bsUv = ± sh
2.- Considereu sols el valor positiu de les arrels d’índex parell i digueu a quin conjunt
pertanyen els següents números (N,Z,Q o I)
√�b ∈ �
√Ubs√s ∈ 7 3 + √2 ∈ � √2 · √8 ∈ 7 2√−1� ∈ *
3.- Calculeu:
t√2ub = 2 t√�ub = � t√−5� ud = −5
4.- Traeu factors dels següents radicals:
√�s · �v · �d� = � · �b · � · √�b� √27 · �d = √3d · �d = 3 · � · √3 · �
[�·}�Ubs = [·}·√[s·√s bhddb = d�b� = d�b� · db = �·√dh·√b
5.- Introduïu factors en el radical:
) · √)h� = √)y� 2 · �b · √� = √2b · �h · �
6.- Calculeu:
√2 · √8 = √16 = ±4 √−1� · √8� = √−8� = −2
√db√b = dbb = √16 = ±4 √� · √�d = √�h = ±�b
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:28
Números
7.- Calculeu:
√2 · √4� = √2d� · √4b� = √2d · 4b� = √2d · 2h� = √2y� = 2 · √2�
√d�√b� = √d���
√b��� = byUv�� √2 · √4� = √2 · √2b� = √2 · √2 = ±2
8.- Expresseu en forma de radical les següents potències:
3�� = √3 2�� = √2b� = √4� 5�� = √5d = 5√5
9.- Simplifiqueu els següents radicals:
√3b� = √3 √64� = √2v� = √2d� = √8� √27� = √3d� = √3
10.- Calculeu:
t√3 + 2u · t√3 − 2u = t√3ub − 2b = 3 − 4 = −1
t√5 − 3ub = t√5ub − 2 · √5 · 3 + 3b = 5 − 6 · √5 + 9 = 14 − 6 · √5
11.- Calculeu:
√125 − 2 · √5 + √45 = √5d − 2 · √5 + √3b · 5 = 5 · √5 − 2 · √5 + 3 · √5 = 6 · √5
12.- Calculeu:
√U�Z√dbTs√b√�T√b = √d�·bZ®b�Ts√b√b�T√b = d√bZh√bTs√bb√bT√b = b√b√b = 2
13.- Racionalitzeu les següents expressions:
a bs√s = bs·√s√s·√s = bs·√ss = 5 · √5 b
d√yTb = d·t√yZbut√yTbu·t√yZbu = d·t√yZbud = √7 + 2
14.- Calculeu:
|5| = 5 |−3| = 3 ´1 − √3´ = −t1 − √3u = √3 − 1
�� ≥ 1; |1 − 5| = −91 − 5: = 5 − 1
15.- Expresseu en notació científica els següents números:
312�345678 = 3�12345678 · 10b 0�00234 = 2�34 · 10Td
16.- Calculeu i expresseu en notació científica:
2�56 · 10h + 3�45 · 10b = 2�56 · 10h + 0�0345 · 10h = 2�5945 · 10h
8�2 · 10d · 3�5 · 10b = 28�70 · 10s = 2�87 · 10v
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:29
Números
17.- Calculeu la unió i intersecció dels intervals: � = ] 2 , 6 [ i ¨ = [−1 , 3 ]
I
J
� ∪ ¨ = [−1 , 6 [
� ∩ ¨ = ] 2 , 3 ]
18.- Calculeu el centre i el radi de l’interval: � = [−2 , 6 ]
Centre � = TbZvb = 2 radi � = |vT9Tb:|b = 4
19.- Expresseu en forma d’entorn l’interval següent: � = ]−2 , 3 [
Centre � = TbZdb = Ub radi � = |dT9Tb:|b = sb � = µ�� {Ub|
20.- Expresseu en forma d’interval el següent entorn: � = µb9−3:
Centre c=-3 radi r=2
� = ]−5 , −1 [
21.- Si els intervals I i J són disjunts és perquè � ∩ ¨ = ∅, per exemple:
I
J
� ∩ ¨ = ∅
2 6
-1 3
-1 6
2 3
c=-3 r=2r=2-5 -1
-1 3
4 8
Leonardo de Pisa, conegut com Fibonacci,
Naix a Itàlia en 1.170 i mor en 1.250
Matemàtic
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:30
Números
Exercicis R
1.- Calculeu amb dues xifres decimals els següents nombres:
a 23 b 7 c 53− d3
881 − e 1226−
2.- A quin conjunt pertanyen els següents nombres:
a ..232323'0 b100
3 c ..3478556931234321156'5 d 23
e 36+ f3 8− g 52− h 17− iπ
3.- Representeu a la recta real els següents nombres:
a 2 b 3 c 5− d 21+
e 53+− f 24 −
4.- Ordeneu de major a menor els següents nombres:
a3
5
b 3 c 21+ d 15−
e6
7
f 27 −
5.- Calculeu
a ( ) =2
3 b ( ) =25 c ( ) =3 3
2 d =−3 8
e =3 8 f =9 g ( ) =2
9 h =144
6.- Calculeu:
a =−925 b =− 925 c =−136 d =− 136
e =+925 f =+ 925 g =+164 h =+ 164
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:31
Números
7.- Traeu factors dels següents radicals
a =316 b =8 c =1000 d =⋅⋅ 556144 a
e =⋅3 58 a f =⋅⋅3 8 2764x g =⋅⋅5 6510 ayx h =3
8
a
i =⋅⋅b
a
16
125 2
j =−⋅ 99 2b k =+169
aa l =−3 54
8.- Calculeu:
a =⋅416 b =16
81 c =⋅936 d =
121
25
e =169
256 f =⋅289196
9.- Calculeu:
a =− 22 35 b =⋅ 205 c =⋅6
758 d =⋅
8
27
3
2
10.- Introduïu factors en els següents radicals
a =⋅ 124 b =⋅⋅⋅⋅ 32 5 baba c =⋅ 35
11.- Expresseu en forma radical les següents potències
a =5
1
3 b =
2
1
2
1
5
3 c =
−3
1
5 d =−
3
1
7 e =4
1
16
12.- Expresseu en forma de potències els següents radicals
a =3 4 b =5 c =5 3
1 d =4 3
27
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:32
Números
13.-Simplifiqueu els radicals següents:
a√27� = b√16� = c√0′04� =
d√−8� = e √32�¶ = f√0�027 =�
g√0�0016� = h1 + Uv�� =
14.- Expresseu amb un sol radical:
a®√2�� = b®2√8� = c√�d� ∙ √�h� : √�s� =
15.- Desenvolupeu els següents productes:
a ( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa2
b ( ) ( ) ( ) =−⋅−=− bababa2
c ( ) ( ) =−⋅+ baba
d ( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa23
e ( ) ( ) ( ) =−⋅−=− bababa23
16.- Calculeu:
a ( ) =−2
13 b ( ) ( ) =−⋅+ 3535
c ( ) ( ) =+⋅− 3535 d ( ) =−2
27
e ( ) =+2
26 f ( ) =+2
87
g ( ) ( ) =−⋅+ 2828 h ( ) =+3
21
i ( ) =−2
23 j ( ) =−3
51
k ( ) ( ) =+⋅+− 111111 l ( ) ( ) =+⋅− 7171
m ( ) =+2
132 n ( ) ( ) =−⋅+ 314314
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:33
Números
17.- Calculeu
a =++ 81850 b =++ 32712 c =+− 322232
d 5√125 + 6√45 − 7√20 + √80 = e√16� + 2√2� − √54� − √250� =
18.- Calculeu
a =−+503
2328 b =−+
80
4512520 c =+−
175
63728
19.- Racionalitzeu les següents expressions
a =+ 31
7 b =
− 27
5 c =
5
3 d =
3 5
4
e =− 68
4 f =
− 15
3 g =
+−
81
21 h =
125
5
20.- Calculeu:
a ·− yd· = b ´+√3 − 1´ = c ´2 − √5´ = d 3 − ´1 − √2´ =
21.- Expresseu en notació científica els següents números:
a 16.000.000.000 = b 0,0087651 = c 0,000000007 =
22.- Calculeu i expresseu el resultat en notació científica:
a 7,2 ∙ 10d ∙ 5,3 ∙ 10Td = b 8,3 ∙ 10v ∙ 5,4 ∙ 10b = c 3,1 ∙ 10h ∙ 5,3 ∙ 10d =
23.- Calculeu i expresseu el resultat en notació científica:
a 97,2 ∙ 10d:: 95,3 ∙ 10Td: = b 98,3 ∙ 10v:: 95,4 ∙ 10b: =
24.- Calculeu i expresseu el resultat en notació científica:
a 1,32 ∙ 10h + 2,5 ∙ 10d = b 5,3 ∙ 10Td − 3,2 ∙ 10Tb =
25.- Calculeu la unió i la intersecció dels següents intervals: � = ]−5, 2[ ¨ = ]−1, 3] 26.- Expresseu en forma d’entorn els intervals:
a � = [2, 6] b ¨ = ]−3, 2[ c ¸ = ]−1, 5[ 27.- Calculeu el centre i el radi dels intervals:
a � = ,) ∈ ©/−3 ≤ ) ≤ 76 b ¨ = ,) ∈ ©/−1 < ) < 36
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:34
Números
Exercicis (***)
1.- Escriu sis 1 i signes d’operar en una fila de manera que obtingues un total de 24 (hi ha més
d’una solució) 1 1 1 1 1 1
2.- Troba els nombres que corresponen a cada lletra (un nombre, una lletra i lletres iguals,
nombres iguals)
GOTA
GOTA
GOTA
+ GOTA
GOTA
_____________
AGUA
3.- En una caixa n’hi ha 24 calcetins blancs i 24 calcetins negres. Quin és el menor nombre de
calcetins que he de traure de la caixa per estar segur de que en tinc, almenys, dos del mateix
color?
4.- Escriu els nombres de l’1 al 13 en les caselles, de forma que la suma de les tres columnes I,
II i III, i en la fila horitzontal siga la mateixa.
5.- El producte de tres nombres imparells consecutius és 357.627; troba els nombres.
6.- Troba tots els divisors del número 1001.
7.- En la resta següent totes les xifres estan equivocades: cadascuna és 1 més o 1 menys de la
que hauria de ser. Escriu-la bé.
216648
- 90135
__________
13780
8.- Troba un nombre que la seua arrel quadrada menys la seua arrel cúbica val 18.
9.- El número 43 té una curiosa propietat 43 = 32 34 + . Sols n’hi ha un altre núm. de dues
xifres amb la mateixa propietat, és a dir, el núm. és igual al quadrat de la xifra de l’esquerra
més el cub de la xifra dreta. Quin núm. és?
10.- Podries escriure 31 amb cinc 3?
11.- Separa les següents cartes en tres grups, de manera que la suma de les puntuacions de les
cartes siga la mateixa en els tres grups.
3 7 6 8 2 4 9 5 1
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:35
Números
12.- Si tres gats atrapen tres rates en tres minuts, quants gats atraparan 100 rates en 100
minuts?
13.- El nombre de sis xifres 1k31k4 és múltiple de 12, però no és divisible per 9. Troba el valor
de k.
14.- Esbrina quina és l’última xifra del nombre ( ) 301114 9·3153143−
15.- Si tenim 25 soldats de plom, com formaries 6 fileres amb 5 soldats cadascuna?
16.- Calcula el núm. de ma casa sabent que:
o Si és múltiple de 3 està entre 50 i 59
o Si no és múltiple de 4, està entre 60 i 69
o Si no és múltiple de 6, està entre 70 i 79
17.- En fer el producte següent 15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2 i anotar el resultat:
1307?74368000, una taca de tinta cobreix la cinquena xifra i no sabem exactament quina és.
Podries trobar-la sense repetir l’operació?
18.- Les lletres de cada operació tenen un valor del 0 al 9. Calcula el valor de cada lletra.
TIME NINE
+TIME - FOUR
______ ________
MONEY FIVE
19.- Troba el nombre ABCDEFGH, sabent que:
o Entre les huit xifres hi ha un 0
o B i D són iguals
o E y H són iguals
o La suma de A més B és 6
o La suma de D més E és 5
o La suma de les 8 xifres és igual a 30
20.- Si p i q són dos nombres primers de forma que 3<p<q, calcula els seus valors sabent que
qx
pqp
32323232 =+
21.- Quants múltiples de 4 hi ha entre 1000 i 2000, ambdós inclosos? ¿I múltiples de 7?
22.- Un cargol és al fons d’un pou de 10m de fondària. Vol sortir del pou i durant el dia
ascendeix 3m, però durant la nit descendeix 2m. Quants dies tardarà a arribar al brocal del
pou?
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:36
Números
23.- Una aranya teixeix la teranyina en el marc d’una finestra. Cada dia duplica la superfície
feta fins aleshores. D’aquesta manera tarda 30 dies a cobrir el buit de la finestra. Si en comptes
d’una aranya en fossen dues treballant al mateix ritme, quant tardaran a cobrir la finestra?
24.- Es vol partir un tronc amb una serra en cinc trossos iguals. Per a cada tall es tarda 2
minuts. Quants minuts hi hem d’invertir?
25.- Dos fumadors consumeixen 3 paquets diaris de tabac. Quants fumadors de les mateixes
característiques seran necessaris per consumir 90 paquets en 30 dies?
26.- Escriu els nombres 1,2,3,4,5,6,7,8,9 i 10 utilitzant cinc vegades la xifra 5 i les operacions
bàsiques (suma, resta, multiplicació i divisió)
27.- Un nombre té 4 xifres i és cap-i-cua. La suma de les seues xifres és 16. Si s’intercanvia la
xifra de les unitats amb la xifra de les desenes, i la de les centenes amb la dels milers, el nou
nombre també és cap-i-cua, però la diferència entre l’actual i el primer nombre és 5346. Quin
és aquest nombre?
28.- Quants quadrats es poden dibuixar amb els vèrtexs en els punts assenyalats? Quina
llargària tenen els seus costats?
29.- Localitza tots els quadrats (20 en total) i també la llargària dels seus costats.
Niccolò Fontana
Naix en 1500. Mor 13 de desembre 1557
Matemàtic italià conegut com Tartàglia (el tartamut)
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:37
Números
Món i Matemàtiques
PREMSA I NÚMEROS
Troba al diari els següents nombres
Un núm. romà
Unitats de volum,
mesura, i altres
unitats
Un núm. decimal Un número racional
(fraccionari)
Dues edats, una major
i l’altra menor de 20
anys
Un preu major de
6.000 €
Un percentatge Un núm. negatiu
Una expressió de
mesura de temps
Una ciutat amb
temperatura menor
de 15º
Una data anterior a
2.000 i altra
posterior
Un programa de
televisió que comence
a les 20h30’
L’última cotització de
les accions de
Telefònica i Repsol
Un pis amb un preu
> 6000.000 €
Alguna expressió
amb notació
científica
El major núm. que
trobes com a quantitat
de diners
Una quantitat que
aparega en un sondeig
o enquesta
Un núm. ≥ un milió Un núm. irracional Un núm. que trobes
interessant
2.- Calcula en % el desnivell mitjà de la rampa de l’entrada del nostre Institut.
3.- L’edifici que trobeu més a prop de l’IES, quants pisos té? Estima l’altura de l’edifici. Com ho
calcules?
4.- Dibuixa a escala el pati del nostre institut. Quina escala has utilitzat?
5.- Observa en quin núm. es troba el nostre centre. Quins són els divisors d’eixe núm.? Quants
divisors té?
6.- A la façana de l’Església apareixen dos sistemes de numeració diferents. Sabries dir quins
són? Coneixes l’equivalència entre ambdós?
Hipàtia
Naix a “Alejandria“
Matemàtica, Astrònoma i Filòsofa
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:38
Números
Matemàtiques a La Valldigna
1.- Busca en la pàgina web de l’Institut Valencià d’Estadística , IVE, la població dels quatre
municipis de la Valldigna i dóna el resultat exacte. Després, aproxima’l amb 3 xifres
significatives fent ús de la notació científica. Les dades de 2009 són: . Quina és la variació
percentual de la població?
2.- Aproxima en m3 el volum d’aigua que conté la piscina municipal. Quina és la superfície de la
zona per prendre el sol? I la superfície de la zona de jocs dels xiquets més menuts? Dóna el
resultat en m2.
3. - El passat hivern una arrova de taronges Navel es va pagar a 3.75€ i en la botiga venien 2
quilos d’aquestes taronges per 3€. En quin percentatge es va incrementar el preu del
producte?
4.- En la plaça de l’Ajuntament hi ha un edifici de 3 plantes. En la tercera planta, hi viuen 2
famílies de 4 i 5 components respectivament. En la segona planta de l’edifici, 3 famílies de 5, 4
i 3 persones respectivament. Finalment, en la planta primera, només una família, però de 8
membres. Quin és el botó més emprat de l’ascensor?
5.- Aproxima l’altura de la Torre de Guaita fent ús d’un espill i una cinta mètrica. Observa en la
figura el procés:
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:39
Números
6.- Estima l’altura del teu institut amb un bolígraf!! Fixa’t en la figura:
1r Pas: bolígraf vertical
2n pas: bolígraf horitzontal
Cal col·locar dos companys davant l’edifici i manar-los que s’allunyen fins que la distància entre
ells coincidisca amb la longitud del bolígraf en horitzontal.
NOTA: La persona que té el bolígraf no s’ha de moure del lloc.
7.- Simat es troba a 150 metres d’altura respecte del nivell del mar i Barx a 540 metres. Per
anar d’una població a l’altra hi ha una carretera de 5Km de longitud. Quin és el pendent mitjà
de la carretera?
8.- Per anar de Tavernes a la platja, un ciclista pedaleja amb una cadència de 90 pedalades per
minut, la roda de la bicicleta té de radi 33.34 cm, i està utilitzant un “desarrollo” de manera
que, per cada pedalada la roda fa 3 revolucions. A quina velocitat (Km/h) està anant el ciclista?
9.- Amb l’ajuda del GPS dissenya una ruta ciclista per La Valldigna de manera que es passe pels
llocs més interessants que tu consideres. En cada lloc has de fer referència del punt
quilomètric des de l’eixida, temps, desnivell respecte del mar i interés paisatgístic, històric, etc.
Fes un mapa de la ruta.
∩ ��� ����ó; ∪ ��ó; ∅ ���� ���; ∈ �����; ∀ ��� � �; → ��� ℎ��� ; ⊆ ���ó �; ⊓ !��"���; /"� $��%� &��; ↔ � � �� �; ∃ �)� ��);
Departament de Matemàtiques
I.E.S. Jaume II - I.E.S. Valldigna
2n Cicle de Secundària
Pàg.:40
Números