(todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [modo de compatibilidade])
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Regime senoidal
Na figura ao lado, vemos a simbologia adotada para fontes senoidais.
Fontes senoidais
Aula 01 1
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Fasores
Seja f uma função real senoidal,
Função excitação complexa
)cos()( θω += tAtfdefinimos a função excitação complexa associada a f por
)( θω += tjAe
Aula 01 2
)( θω += tjAeF(t)
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Fasores
O fasor associado a uma função senoidal )cos()( θω += tAtf
É definido por F θθ ∠== AAe j
Aula 01 3
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Exemplo. Determine o fasor associado a cada senoide abaixo.
))(º702cos(10)º1202cos(12)()
))(º2020(10)()
))(º303cos(7)()
))(º205cos(5)()
Atttid
vtsentvc
Attib
vttva
+++=−=
+=−=
Aula 01 4
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Relação entre fasores
Vamos determinar a relação entre os fasores de tensão e de corrente num indutor, num capacitor e num resistor.
Indutor
Aula 01 5
IV Ljω=
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Capacitor
Aula 01 6
IVC
j
ω−=
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Exemplo. Determine as grandezas indicadas em regime permanente.
Aula 01 7
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Aula 01 8
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Aula 01 9
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Impedância e Admitância
Num circuito em regime senoidal, a razão entre os fasores
é um número complexo denominado impedância.IV
V
Aula 01 10
)( bjaIV
Z Ω+==
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O número complexo dado pela razão é denominado admitância. V
I
MjGZ
1
V
IY +=== (Ƒ)
Aula 01 11
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Exemplo. Considere o circuito em regime permanente e determine i(12s) e v(14s).
Faça o diagrama dos fasores associados a v, i e à tensão da fonte.
Aula 01 12
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Exemplo. Determine i usando o teorema de Thevenin.
Aula 01 13
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Exemplo. Determine i(15s).
Aula 01 14
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Exemplo. Determine vR, vL e vC. Construa os gráficos de i, vR, vL e vC em sincronismo.
Aula 01 15
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Potência
A potência elétrica instantânea absorvida por um dispositivo qualquer em função do tempo, é dada pelo produto da tensão (v(t)) pela corrente (i(t)).
Potência instantânea
Aula 01 16
)().()( titvtp =
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Potência Média
Seja p(t) uma função periódica de período T. O valor médio de p(t) é definido por:
∫+
=Ta
dttpT
P )(1
Aula 01 17
∫a
T
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Potência Média em Regime senoidal
Dado um circuito em regime senoidal, a potência média absorvida por um dispositivo é dado por:
)cos(2
φθ −= VIP
Aula 01 18
2
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Exemplo. Determine a potência absorvida por ZL no circuito abaixo.
Aula 01 19
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Exemplo. Determine, nos circuitos a seguir, as potências absorvidas por cada elemento de circuito.
Aula 01 20
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Máxima transferência de energia
Considerando uma fonte prática de tensão senoidal, qual deve ser o valor de ZL que absorve a máxima potência da fonte?
Aula 01 21
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Exemplo. Determine a potência absorvida por ZL considerando que a mesma absorve a máxima potência do circuito.
Aula 01 22
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Aula 01 23
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Superposição e Potência
Considere um resistor submetido a uma corrente dada pela soma de duas senoides em frequências diferentes.
A potência média absorvida por R é
Aula 02 24
dada por:
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Exemplo. Determine a potência média absorvida pelo resistor e por cada fonte.
Aula 02 25
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Exemplo. Determine a potência média absorvida pelo resistor.
Aula 02 26
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Potência Complexa
Seja ZL uma impedância submetida a uma tensão senoidal conforme a figura abaixo.
jQPS +=
Aula 02 27
potência) de(Fator S
Pfp =
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Exemplo. Considerando o circuito abaixo, determine a potência complexa, a potência aparente, a potência real e a potência reativa absorvida pela carga. Construa o triângulo de potência da carga.
Aula 02 28
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Exemplo. Calcule a potência complexa entregue a uma carga que tem fator de potência de 0,85 (adiantado) e absorve:
a)P = 10kW
b)|Q| =10 kvar
c)|S| = 1kVA
Aula 02 29
c)|S| = 1kVA
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Exemplo. Calcule o fator de potência da carga equivalente quando temos duas cargas conectadas em paralelo. Z1 representa uma carga de 10kW com fator de potência fp1= 0,9 (atrasado) e Z2 uma carga de 5kW com fator de potência fp2= 0,95 (adiantado) .
Aula 02 30
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Medição de potência
O instrumento utilizado para medir a potência real absorvida ou fornecida por um dispositivo denomina-se Wattímetro. Abaixo vemos a simbologia adotada para um wattímetro:
B1 é uma bobina de tensão.
Aula 03 31
B1 é uma bobina de tensão. Bobina de alta resistência.
B2 é uma bobina de corrente. Baixa resistência.
Wattímetro
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O wattímetro está calibrado para indicar o valor da potência real considerando a tensão senoidal em B1 e a corrente senoidal em B2.
( )φθ −= cos2
IVP
Aula 03 32
2
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Exemplo. Determine o valor da potência indicada pelos wattímetros a seguir:
Aula 03 33
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Aula 03 34
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Fonte monofásica a três fios
Duas fontes senoidais conectadas conforme diagrama onde as fontes tem mesma amplitude e mesmo ângulo de fase é denominado
Aula 03 35
ângulo de fase é denominado uma fonte monofásica a três fios balanceada.
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Considerando o circuito abaixo
Aula 03 36
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Exemplo. No circuito abaixo, determine as potências absorvidas pelas cargas e a potência fornecida pela fonte monofásica a três fios.
Aula 03 37
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Fonte trifásica
Uma fonte trifásica é composta de quatro terminais e três fontes senoidais conforme a figura ao lado. A conexão é denominada conexão Y ou estrela.
Aula 03 38
conexão Y ou estrela.
As fontes são senoidais e operam numa mesma frequência. Numa fonte trifásica balanceada os fasores associados a cada uma delas são :
120ºVV ,120ºVV ,0ºVV pcnpbnpan ∠=−∠=∠=Sequência positiva
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Van, Vbn e Vcn são chamadas de tensões de fase.
Aula 03 39
Diagrama fasorial
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Exemplo. Mostre que num sistema trifásico balanceado, a soma das tensões de fase é zero.
Exemplo. Determine Vab, Vbc e Vca sendo Vp = 120 v (eficaz)
Aula 03 40
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Sistemas trifásicos Y-Y
Analisemos o circuito trifásico abaixo, sistema Y-Y.
Aula 04 41
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Exemplo. Determine as correntes de linha e a potência média fornecida à carga trifásica. Represente num mesmo diagrama de fasores as tensões de linha e as correntes de linha
Aula 04 42
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Exemplo. Determine as correntes de linha.
Aula 04 43
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Exemplo. Determine as correntes de linha do circuito anterior retirando a ligação do neutro.
Aula 04 44
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Exemplo. Determine as correntes de linha.
Aula 04 45
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Sistema trifásico Y-∆
Analisemos o circuito trifásico abaixo.
Aula 04 46
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Exemplo. Uma carga equilibrada conectada em ∆ temimpedância Zp=4 + j3 Ω alimentada por uma fonte trifásicaequilibrada com Van=200∠0º v (eficaz). Calcule a energiaconsumida pela carga em 8 horas de atividade.
Exemplo. Uma carga equilibrada conectada em ∆ alimentada por uma fonte trifásica equilibrada com |Vab |=100 v (eficaz)
Aula 04 47
por uma fonte trifásica equilibrada com |Vab |=100 v (eficaz) absorve uma potência total de 4,8kW. Se o fator de potência da carga é 0,8 adiantado encontre a impedância por fase.
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Transformações Y-∆
Vamos determinar asrelações que existem entre as admitâncias dos doiscircuitos para que umacarga trifásica conectada
Aula 04 48
carga trifásica conectadaem Y seja equivalente auma carga conectada em ∆.
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cba
cby
cba
bax
YYY
YYY
YYY
YYY
++=
++=
Aula 04 49
cba
caz YYY
YYY
++=
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zyx
yxb
zyx
zxa
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
++=
++=
Aula 04 50
zyx
zyc ZZZ
ZZZ
++=
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Exemplo. Determine i no circuito abaixo.
Aula 04 51
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Medindo potência emcarga trifásica
Considerando uma carga trifásica conectada em Y. A potência ativa total é a soma das potências ativas absorvidas por cada fase da carga trifásica.
Aula 04 52
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É possível mostrar que a potência total pode ser obtida medindo-se as tensões em relação a qualquer ponto X.
Aula 04 53
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A potência pode ser medida utilizando somente dois medidores.
Aula 04 54
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Exemplo. O circuito abaixo é equilibrado com sequência positiva e Vab=300∠0º v (eficaz). Calcule as leituras dos medidores 1 e 2 e a potência ativa entregue à carga, se Zp= 10 ∠30º Ω.
Aula 04 55
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Transformadores
Considerando duas bobinas acopladas magneticamente, isto é, o campo magnético gerado por uma das bobinas interfere no comportamento da outra bobina e vice-versa.
+= diS
diLv 21
Aula 05 56
+=
+=
dt
diL
dt
diRv
dt
diS
dt
diLv
22
12
2111
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Simbologia
+=
+=
dt
diL
dt
diMv
dt
diM
dt
diLv
22
12
2111
Aula 05 57
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Exemplo. Dado o transformador linear abaixo, estabeleça o sistema de equações envolvendo v1, v2, i1
e i2.
Aula 05 58
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Exemplo. No circuito abaixo, determine v1 e v2 . Sabe-se que :
sAdt
di
sAdt
di
/1
/2
2
1
=
−=
Aula 05 59
dt
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Exemplo. No circuito abaixo, determine as potências fornecidas pelas fontes.
Aula 05 60
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Exemplo. Determine a potência fornecida pela fonte.
Aula 05 61
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Armazenamento de energia
Considerando duas bobinas acopladas magneticamente (transformador linear), vamos determinar a energia armazenada por este elemento em função de seus parâmetros. Ao final, vamos mostrar que S=R.
+= didi 21
Aula 05 62
+=
+=
dt
diL
dt
diRv
dt
diS
dt
diLv
22
12
2111
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Fazendo as correntes no primário e no secundário do transformador variarem conforme o gráfico abaixo, temos:
Aula 05 63
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Impondo as correntes conforme o gráfico abaixo, temos:
Aula 05 64
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Impedância refletida
Vamos determinar no circuito ao lado, a impedância vista pela fonte senoidal.
Aula 06 65
( )2
2
11 LjZ
MLjZ
ωωω+
+= ( )2
2
LjZ
MZr ω
ω+
=
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Exemplo. No circuito da figura abaixo, determine:
a) Zr b)Zin c)i1 d)k (coeficiente de acoplamento)
Aula 06 66
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Transformador Ideal
Um transformador ideal é um transformador sem perdas, com acoplamento unitário (k = 1) e indutâncias próprias do
primário e do secundário tendendo a infinito.
Aula 06 67
primário e do secundário tendendo a infinito.
Simbologia
Onde é a razão entre o
número de espiras do secundário e o número de espiras do primário.
1
2
N
Nn =
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Relações entre tensões e correntes
Tendo as tensões e correntes adotadas conforme a figura ao lado, é possível mostrar que as relações entre tensões e correntes do primário e do secundário são:
Aula 06 68
nV
V =1
2
são:
nI
I =2
1
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Exemplo. Determine a potência fornecida pela fonte de tensão e a potência absorvida pelo resistor.
Aula 06 69
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Exemplo. Determine i1, i2 e v2.
Aula 06 70
![Page 71: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/71.jpg)
Impedância refletida
A impedância vista pela fonte é dada por:
Aula 06 71
![Page 72: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/72.jpg)
Série Trigonométrica de Fourier
Seja f uma função periódica tal que f(t)=f(t+T), podemos escrever f como uma soma infinita de senos e cossenos conforme a expressão abaixo:
[ ]∑+∞
++= 000 )()cos(2
)( nn tnsenbtnaa
tf ωω
Aula 07 72
[ ]∑=
++=1
00 )()cos(2
)(n
nn tnsenbtnatf ωω
T
πω 20 =
![Page 73: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/73.jpg)
∫
∫
+
+
=
=
Tt
n
Tt
t
dttntfT
a
dttfT
a
0
0
0
)cos()(2
)(2
0
0
ω
Onde:
Aula 07 73
∫
∫
+=
=
Tt
tn
tn
dttnsentfT
b
dttntfT
a
0
0
0
)()(2
)cos()(
0
0
ω
ω
![Page 74: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/74.jpg)
Exemplo. Determine a série de Fourier da tensão periódica definida por:
)2()( e
t- para )(
πππ
+=<<=
tvtv
ttv
Aula 07 74
![Page 75: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/75.jpg)
)5(5
2)4(
2
1
)3(3
2)2(1)(2)(
temos5n para
tsentsen
tsentsentsentv
+−
+−=
≤
Traçando o gráfico das senóides separadamente:
Aula 07 75
![Page 76: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/76.jpg)
Vemos abaixo o gráfico da soma das senoides e sua aproximação à função original:
Aula 07 76
![Page 77: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/77.jpg)
Gráfico com 200 termos da série:
Aula 07 77
![Page 78: (Todas as aulas de análise de circuitos 2012-1 [Modo de Compatibilidade])](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022052620/5572108e497959fc0b8d5ab8/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemplo. Determine a série de Fourier da tensão periódica definida por:
)2()(
2t para 0
t0 para 10)(
πππ
π
+=
≤<≤<
=
tvtv
tv
Aula 07 78
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Resposta a funções periódicas
Usando o teorema da superposição, vamos determinar a tensão no capacitor no circuito a seguir onde:
2t para 0
t0 para 10)(
πππ
≤<≤<
=tv
Aula 07 79
)2()(
2t para 0
πππ
+= ≤<
tvtv