todennäköisyysjakaumien mallintaminen matlab- ohjelmalla

Todennäköisyysjakaumien mallintaminen Matlab-ohjelmalla

Tekijä: Timo Nordlund 55354J [email protected]

Ohjaaja: Ilkka MellinJätetty: 13.8.2003

mailto:[email protected]

2

Sisällysluettelo

1. JOHDANTO................................................................................................................................................ 3

2. OHJELMAKOODI..................................................................................................................................... 4

2.1. RAKENNE .................................................................................................................................................. 42.2. RATKAISUT ............................................................................................................................................... 4

3. YHDEN MUUTTUJAN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT ................................................................ 5

4. KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA ................................................................................... 6

5. REGRESSIOANALYYSI MULTINORMAALISESSA AINEISTOSSA.............................................. 6

6. VIITTEET ................................................................................................................................................... 7

OHJELMAKOODI: NORMAALIJAKAUMA ..................................................................................... LIITE 1

HARJOITUSOHJEET: YHDEN MUUTTUJAN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT .................... LIITE 2

HARJOITUSOHJEET: KAKSIULOTTEINEN NORMAALIJAKAUMA ....................................... LIITE 3

HARJOITUSOHJEET: MULTINORMAALIJAKAUMA .................................................................. LIITE 4

3

1. Johdanto

Tämä erikoistyö kuuluu osana Systeemianalyysin laboratorion OtaStat-projektiin [8].Projektin tarkoituksena on tuottaa verkkomateriaalia todennäköisyyslaskennan jatilastotieteen opiskelun tueksi. Verkkomateriaali on tarkoitettu itseopiskeluun sekä opettajienja opiskelijoiden apumateriaaliksi kursseille. Sitä voi myös käyttää hakuteoksena halutessaanetsiä tietoa jostakin aiheeseen liittyvästä asiasta. Materiaali koostuu teorian käsittävistäartikkeleista ja niihin liittyvistä harjoituksista.

Harjoitukset ovat tärkeä osa opiskelua, koska niiden avulla voi varmistaa, että onymmärtänyt lukemansa ja että osaa soveltaa opittua tietoa. Tietokoneharjoituksilla on myösse ainutlaatuinen etu, että ne voivat reagoida välittömästi syötteisiin ja antaa palautetta niinkuvina kuin tekstinäkin.

Erikoistyön aihe on todennäköisyysjakaumia käsittelevien Matlab-harjoitustenlaatiminen. Jakaumat ovat keskeinen osa todennäköisyyslaskentaa, mutta niiden tiheys- taipistetodennäköisyysfunktioita on hankala piirtää käsin ja kaksiulotteisten jakaumienpiirtäminen on jo lähes mahdotonta. Matlab-ohjelmalla jakaumien kuvaaminen graafisestionnistuu kuitenkin vaivattomasti, kuvat ovat tarkkoja, ja jakaumille on helppo syöttääerilaisia parametreja. Matlab-harjoitusten päätarkoitus on siis helpottaatodennäköisyysjakaumien tiheysfunktioiden käyttäytymisen ymmärtämistä.

Tietokoneen käyttöä jakaumia koskevissa laskuissa puoltaa myös se, ettämoniulotteisia jakaumia käsitellään matriisimuodossa. Matriisilaskenta käsin olisi työlästä jaaikaa vievää, virhealttiudesta puhumattakaan.

Matlab-harjoitukset käsittelevät kolmea eri aihepiiriä:

� Yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat

� Kaksiulotteinen normaalijakauma

� Regressioanalyysi multinormaalisessa aineistossa

Kuhunkin harjoitukseen kuuluu HTML-muodossa oleva ohjesivu, jolta löytyvät:johdanto harjoitukseen ja sen tarkoitukseen, selvitykset käytetyistä merkinnöistä sekäkäynnistysohje. Ohjeet ovat aihepiireittäin kolmena liitteenä PDF-muodossa (liitteet 2�4) jane löytyvät myös OtaStatin WWW-sivuilta [7]. Kaikki tarvittavat ohjeet harjoitustentekemiseen löytyvät myös ohjelmakoodista. Harjoituksiin pääsee käsiksi joko HTML-ohjeiden kautta tai hakemalla niitä OtaStat-sivuston aakkosellisesta hakemistosta.Esimerkkinä ohjelmakoodista on liitteessä 1 oleva harjoitus Normaalijakauma (yhdenmuuttujan todennäköisyysjakaumat).

Harjoitusohjelmat kirjoitettiin Windows NT 4.0 -ympäristössä Matlabin versiolla 5.1ja ne toimivat myös uudemmilla Matlab-versioilla. Harjoituksia on testattu Teknillisenkorkeakoulun päärakennuksen Windows- ja Unix-koneilla, joihin on asennettu Matlab 6.1.

4

2. Ohjelmakoodi

2.1. Rakenne

Matlabissa voi kirjoittaa peräkkäisiä käskyjä sisältäviä tiedostoja yksinkertaisellaohjelmointikielellä. Tiedostojen pääte on .m, mistä myös nimi m-tiedosto juontuu.Harjoitukset on ohjelmoitu tavallisella tekstieditorilla. Ohjelmakoodi on kommentoitukattavasti, joten koodia on helppo lukea halutessaan ymmärtää tarkemmin harjoitusohjelmantoimintaa. Tarvittaessa apua löytyy Matlabin manuaalista [2] tai MathWorksin WWW-sivuilta [3]. Erikoistyössä on käytetty apuna edellisten lisäksi Tieteen tietotekniikankeskuksen Matlab-opasta [9]. Laskennassa käytettyjä kaavoja ei yleensä mainita harjoitustasuoritettaessa, koska niiden pitäisi olla selvitettynä ennen harjoituksen tekemistä. Kaavat tokiselviävät myös koodia lukemalla.

Kunkin harjoituksen ohjelmakoodin alussa on harjoituksen tekemiseen liittyvä ohje(ks. liitteen 1 rivit 1�38), jossa on vastaavat asiat kuin WWW-ohjeessa. WWW-ohjeen voihalutessaan jättää lukematta esimerkiksi tehtäessä harjoituksia ilman verkkoyhteyttä.

Useimmat harjoitukset on järkevää toistaa muuttamalla parametreja ja vertailemallatapahtuneita muutoksia. Edellisen suorituskerran parametrit otetaan oletusarvoiksi, jottapienten muutosten tekeminen niihin olisi mahdollisimman helppoa. Syötettyjen parametrientalteenottotapa selviää oheisesta koodinäytteestä, joka on harjoituksesta Gammajakauma(WWW-ohje on liitteessä 2):

% -> Alfa_0 ja Beeta_0 ovat parametrien oletusarvoja eli mahdollisen edellisen% -> syöttökerran arvoja

% -> Jos kaikki parametrit on määritelty aiemmin, otetaan ne oletusarvoiksi...if all([exist('Alfa') exist('Beeta')] == 1)

Alfa_0 = Alfa;Beeta_0 = Beeta;

else % -> ...muuten käytetään testiarvoja:Alfa_0 = 1;Beeta_0 = 2;

end

Muuttujat eivät säily Matlabin muistissa, mikäli ohjelma sammutetaan välillä. Jos samallaMatlab-istunnolla on käytetty saman nimisiä muuttujia, otetaan niiden viimeisimmät arvotparametrien oletusarvoiksi.

Parametrien kyselyssä käytetään apuna silmukoita (liite 1; rivit 101�137)sopimattomien syötteiden hyväksymisen estämiseksi. Parametrien syöttämisen jälkeenohjelma laskee vaaditut asiat ja tulostaa lopuksi komentoikkunaan vastauksia ja/tai piirtääkuvia.

2.2. Ratkaisut

Näppäimistöltä annettavia syötteitä jouduttiin rajaamaan useasta syystä: Kaavojenmuuttujia ei ole välttämättä määritelty koko reaaliakselilla tai muuttujan tietyt arvot voivatsiirtää kuvaajan akseleiden ulkopuolelle, tai ne voivat kutistaa kuvaajan niin pieneksi, ettäsiitä ei saa selvää. Akseleiden järkevä mitoitus oli hankalaa, koska skaalauksessa piti tehdäkompromisseja käyttövapauden ja kuvan informaatioarvon säilyttämisen välillä. Toisaaltaolisi mielekästä, että parametrien arvot saisi valita täysin vapaasti, mutta tärkeämpänäpidettiin mittasuhteiden säilymistä järkevissä mitoissa ja kuvaajan mahtumista kuvaikkunaan.

5

Koska tehtävät ovat luonteeltaan toistettavia, tulee peräkkäisten tulosteiden ollakeskenään vertailtavissa. Siksi etenkin yhden muuttujan todennäköisyysjakaumien (kappale3) kuvaajissa käytettiin kiinteitä akseleita. Kiinteiden akseleiden ongelmana on kuvaajienmahdollinen piirtyminen kokonaan akseleiden ulkopuolelle. Väärinkäsitysten välttämiseksiruutuun tulostuu huomautusteksti, jos jakauman painopiste on akselin piirtorajanulkopuolella. Kaksiulotteisen normaalijakauman (kappale 4) tapauksessa haluttiin lisätäkäyttäjän vapautta: Tiheysfunktiota piirrettäessä kysytään, käytetäänkö kiinteää vaidynaamista asteikkoa. Dynaaminen asteikko tarkoittaa akseleiden mitoitusta automaattisestisiten, että kuvaaja täyttää koko kuvaikkunan. Tällöin kuvaajasta tulee suuri, muttamittasuhteet voivat vääristyä.

Parametrien arvoja täytyi rajoittaa myös siksi, että Matlabin laskentatarkkuus voiloppua kesken. Tällöin tapahtuu pyöristysvirheitä ja esimerkiksi hyvin pieni arvo tulkitaannollaksi tai hyvin suuri luku tulkitaan äärettömäksi. Viimeksi mainitun kaltainen virhe syntyyesimerkiksi gammajakaumassa suurilla parametrien arvoilla. Gammajakauman tiheysfunktio[6, s. 137] on

� ��

��

��

xexxf�

�

��

11 , missä 000

�

�

�

�

�

x

Funktion nimittäjä kasvaa hyvin nopeasti parametrin � kasvaessa, jolloin Matlab tulkitseenimittäjän äärettömäksi, siis funktion arvon nollaksi, jo esimerkiksi parametreilla 100�� ja

50�� .

3. Yhden muuttujan todennäköisyysjakaumat

Seuraavia todennäköisyysjakaumia kuvataan Matlab-harjoitusten avulla:

1. Betajakauma2. Binomijakauma3. Cauchyn jakauma4. Diskreetti tasainen jakauma5. Eksponenttijakauma6. F-jakauma7. Gammajakauma8. Geometrinen jakauma9. Hypergeometrinen jakauma10. Jatkuva tasainen jakauma11. Khin neliön jakauma12. Log-normaalijakauma13. Negatiivinen binomijakauma14. Normaalijakauma15. Poissonin jakauma16. Studentin t-jakauma17. Weibullin jakauma

Harjoitukset yhden muuttujan todennäköisyysjakaumista ovat lyhyitä esimerkkejä,joissa syötetään jakaumien parametrit. Parametreja vastaavat tiheys- tai

6

pistetodennäköisyysfunktiot [1, 6] tulostuvat kuvaruudulle. Harjoitusten tarkoituksena onhavainnollistaa kunkin jakauman käyttäytymistä eri parametrien arvoilla. Jatkuvia jakaumiavoi piirtää useita samaan kuvaan. Diskreetit jakaumat sen sijaan piirretään kukin omaankuvaikkunaansa, koska pistetodennäköisyyksiä havainnollistavat janat menisivät muutenpäällekkäin ja sotkisivat kuvan. Harjoitusten WWW-ohjeet ovat liitteessä 2.

4. Kaksiulotteinen normaalijakauma

Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta [4, 5] laadittiin yhdeksän harjoitusta, jotkapaikoin liittyvät läheisesti toisiinsa. Harjoituksilla on esitietovaatimuksina teoriaa tai toisiatämän otsikon alaisia harjoituksia. Esitiedot selviävät WWW-ohjeista (liite 3) jaohjelmakoodista.

Harjoitukset ovat:

� Kaksiulotteinen normaalijakauma

� Kovarianssimatriisin pääakselihajotelman tarkistaminen

� Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I

� Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta II

� Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot

� Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa normaalijakaumassa

� Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessa normaalijakaumassa

� Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla I

� Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla IIHarjoituksissa havainnollistetaan kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktiota,

jakaumasta generoitujen satunnaislukujen jakautumista, sekä regressiofunktioita ja niidenestimointia. Kaikkia harjoituksia ei ole pakko tehdä määrätyssä järjestyksessä, vaanhalutessaan voi tehdä esimerkiksi vain regressiofunktioihin liittyvät tehtävät.

Visuaalinen havainnollistaminen on tärkeässä roolissa, koska kuten johdannossamainittiin, kaksiulotteisen normaalijakauman tiheysfunktion kuvaaminen Matlabilla onhelppoa: kolmiulotteisen kuvaajan piirtämiseen löytyy valmis funktio, samoin tasa-arvokäyrien piirtämiseen. Tasa-arvoellipsit ovat kätevä tapa havainnollistaa kaksiulotteistanormaalijakaumaa, koska samaan kuvaan voi piirtää muita funktioita, esimerkiksiregressiofunktiot tai pääakselisuorat.

5. Regressioanalyysi multinormaalisessa aineistossa

Regressioanalyysia havainnollistetaan näissä harjoituksissa kolmiulotteisellanormaalijakaumalla. Tämä aihepiiri eroaa edellisistä, koska useampi- kuin kaksiulotteistanormaalijakaumaa ei voi havainnollistaa graafisesti. Parametrien syöttäminen on myösmonimutkaisempaa kuin aiemmin käsitellyissä jakaumissa. Multinormaalijakauman [4]parametrit ovat odotusarvovektori � ja kovarianssimatriisi � . Kovarianssimatriisin

7

laskemiseen tarvitaan satunnaismuuttujien varianssit ja kovarianssit. Jotta tietojensyöttäminen pysyisi mahdollisimman yksinkertaisena, multinormaalijakaumaahavainnollistetaan vain kolmiulotteisella normaalijakaumalla. Tätä useampiulotteisetkäyttäytyvät samalla tavalla, parametreina annettavien matriisien ja vektoreiden dimensiotvain ovat suurempia.

Harjoitusten otsikot:

� Multinormaalisten havaintojen generointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta

� Multinormaalisten havaintojen generointi AR(1)-prosessin avulla

� Regressiofunktion estimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa

� Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I

� Regressiomallin sovitteet ja residuaalit IIHarjoitusten WWW-ohjeet ovat liitteessä 4.

Havaintojen syöttämistä havainnollistetaan kahdella eri tavalla, joista on omatharjoituksensa. Havaintomatriisin alkiot voi syöttää antamalla suoraan kolmiulotteisennormaalijakauman parametrit, tai ne voi generoida AR(1)-prosessin avulla. Myöhemmissäharjoituksissa havaintojen tulee olla valmiiksi generoidut, mutta niiden generointitavalla eiole merkitystä. Kolme viimeistä harjoitusta tulee tehdä järjestyksessä, koska jälkimmäisetharjoitukset käyttävät edellisissä määriteltyjä parametreja. Harjoituksissa havainnollistetaanmultinormaalijakauman regressiofunktion estimointia eri tavoilla sekä asioita, joita voi laskeahavaintomatriisin X, havaintovektorin Y ja estimoiduista regressiokertoimista muodostetunvektorin � avulla. Myös aineistosta estimoitujen sovitteiden ja residuaalien ominaisuuksiakuvataan.

6. Viitteet

[1] Laininen, Pertti. 1998. Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen. Otatieto, numero586.

[2] MATLAB Reference Guide. 1993. The MathWorks. 548 s.

[3] Matlabin kotisivut: http://www.mathworks.com/, viitattu 4.8.2003

[4] Mellin, Ilkka. 2003. Oppimateriaalia

[5] Mellin, Ilkka. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot. Syksy 2002(opetusmoniste)

[6] Milton, J.S; Arnold, J.C. 1995. Introduction to Probability and Statistics. 3. p. McGrawHill, Inc. 811 s. ISBN 0-07-113535-9

[7] OtaStat-projektin kotisivut: http://www.OtaStat.tkk.fi/, viitattu 4.8.2003

[8] OtaStat-projektin kuvaus: http://www.sal.tkk.fi/Web-Activities/OtaStat/otastat.pdf,viitattu 4.8.2003

[9] Tieteen tietotekniikan keskuksen Matlab-opas: http://www.csc.fi/oppaat/matlab/, viitattu5.8.2003

1/4

1 %TEKNILLINEN KORKEAKOULU2 %Systeemianalyysin laboratorio3 %OtaStat, Timo Nordlund 2003456 %NORMAALIJAKAUMA78 %Esimerkissä havainnollistetaan normaalijakauman parametrien9 %vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissä valitaan

10 %ensin, montako funktiota samaan kuvaan piirretään. Sen jälkeen11 %syötetään funktioiden parametrit, joita vastaavat funktiot piirtyvät12 %kuvaan sitä mukaa, kun parametreja syötetään.1314 %Normaalijakaumaa parametrein ExpX ja VarX merkitään:1516 %N(ExpX, VarX)1718 %Parametrit:19 %ExpX = odotusarvo20 %VarX = varianssi21 %Esimerkissä odotusarvo on rajoitettu välille [-50, 50]2223 %Havainnollistettavat asiat:2425 %(i) Odotusarvo määrää tiheysfunktion paikan26 %(ii) Tiheysfunktion huippu on odotusarvon määrämässä kohdassa27 %(iii) Varianssi määrää jakauman todennäköisyysmassan28 % hajaantuneisuuden odotusarvon ympärillä293031 %Tämä m-tiedosto on kommentoitu yksityiskohtaisesti sitä silmällä32 %pitäen, että opiskelija voi käydä harjoituksen vaihe vaiheelta läpi33 %ja oppia samalla MATLABin käyttöä.3435 % -> Nuolella merkityt kommenttirivit sisältävät MATLAB-ohjelman36 % -> toimintaa selkeyttäviä ohjeita. Muut kommentit on tarkoitettu37 % -> helpottamaan harjoituksen ymmärtämistä.3839 %---------------------------------------------------------------------404142 % -> ExpX_0 ja VarX_0 ovat parametrien oletusarvoja eli mahdollisen43 % -> edellisen syöttökerran arvoja4445 % -> Jos kaikki tarvittavat parametrit on määritelty aiemmin, otetaan46 % -> ne oletusarvoiksi...47 if all([exist('ExpX') exist('VarX')] == 1)48 ExpX_0 = ExpX;49 VarX_0 = VarX;50 else % -> ...muuten käytetään testiarvoja:51 ExpX_0 = 0;52 VarX_0 = 1;53 end545556 disp('Painamalla [Enter] valitset oletusarvon');57585960 kayrienLukumaara = 0; % -> Montako käyrää kuvaajaan piirretään,61 % -> lukumäärä on rajoitettu välille [1...4]6263 % -> Kysytään käyrien lukumäärä:64 ehto = 0;65 while ehto == 066 vastaus = input('Montako käyrää piirretään [1] ? ');67 if isempty(vastaus)68 kayrienLukumaara = 1;

mnordlun

LIITE 1

2/4

69 else70 kayrienLukumaara = round(vastaus);71 end7273 if kayrienLukumaara > 0 & kayrienLukumaara <= 474 ehto = 1;75 else76 ehto = 0;77 disp('Anna kokonaisluku väliltä [1...4].');78 end79 end80818283 figure; % -> Luodaan uusi kuvaikkuna84 title('Normaalijakauma');85 ylabel('f(x)'); % -> Pystyakselin nimi86 xlabel('x'); % -> Vaaka-akselin nimi87 zoom on; % -> Sallitaan kuvan zoomaus88 grid on; % -> Asteikkoviivoitus899091 % -> Toistetaan käyrien lukumäärän verran silmukkaa:92 % -> (i) Kysytään parametrit93 % -> (ii) Lasketaan parametreja vastaava funktio94 % -> (iii) Otetaan funktiosta näytteitä kuvaajan piirtämistä varten95 % -> (iv) Piirretään funktio, skaalataan akselit96 % -> (v) Tuodaan kuvaikkuna kuvaruudun päällimmäiseksi97 % -> (vi) Tallennetaan parametrien arvot, jotta ne voidaan tulostaa98 % -> lopuksi käyrien tunnisteeseen (legendaan)99

100 for i = 1:1:kayrienLukumaara101102 %ExpX:103 ehto = 0;104 while ehto == 0105 kehote = ['Anna X:n odotusarvo [' num2str(ExpX_0) ']: '];106 vastaus = input(kehote);107 if isempty(vastaus)108 ExpX = ExpX_0;109 else110 ExpX = vastaus;111 end112113 if ExpX >= -50 & ExpX <= 50114 ehto = 1;115 else116 ehto = 0;117 disp('Anna luku väliltä [-50, 50].');118 end119 end120121 %VarX:122 ehto = 0;123 while ehto == 0124 kehote = ['Anna X:n varianssi [' num2str(VarX_0) ']: '];125 vastaus = input(kehote);126 if isempty(vastaus)127 VarX = VarX_0;128 else129 VarX = vastaus;130 end131132 if VarX > 0;133 ehto = 1;134 else135 ehto = 0;136 disp('Anna positiivinen luku.');

3/4

137 end138 end139140 ExpX_0 = ExpX;141 VarX_0 = VarX;142143 StdX = sqrt(VarX);144145 % -> Määritellään arvot, jotka x käy läpi:146 xx = linspace(-5, 5);147148 % -> Lasketaan x:n saamat arvot vektoriin:149 x = ExpX + StdX*xx;150151 % -> Skaalaus:152 y = (exp(-0.5 * ((x - ExpX) / StdX) .^2)) ./ (sqrt(2*pi)*StdX);153154 % -> Tiheysfunktion huippu:155 huippu = 1 / ( sqrt(2*pi)*StdX );156157158 % -> TULOSTUS KUVARUUDULLE:159 hold on;160161 % -> Käyrät:162 if i == 1163 h(i) = plot(x, y, 'b-');164 elseif i == 2165 h(i) = plot(x, y, 'b--');166 elseif i == 3167 h(i) = plot(x, y, 'b-.');168 else169 h(i) = plot(x, y, 'b:');170 end171172 hold off;173174 axis([-5 5 0 1]); % -> axis([xmin xmax ymin ymax])175 if abs(ExpX) >= 5176 text(-4.5, 0.85, ...177 {['Suuri osa yhden tai useamman tiheysfunktion'] ...178 ['todennäköisyysmassasta on kuvan ulkopuolella.']});179 end180181182 shg; % -> Show graphics183184 % -> Tallennetaan parametrien arvot vektoreihin legendoja varten:185 LegExp(i) = ExpX;186 LegVar(i) = VarX;187188 end % -> for-silmukka189190191192 % -> Käyrien tunnisteet:193 if kayrienLukumaara == 1194 legend(['N(' num2str(LegExp(1)) ', ' num2str(LegVar(1)) ')']);195 elseif kayrienLukumaara == 2196 legend(['N(' num2str(LegExp(1)) ', ' num2str(LegVar(1)) ')'],...197 ['N(' num2str(LegExp(2)) ', ' num2str(LegVar(2)) ')']);198 elseif kayrienLukumaara == 3199 legend(['N(' num2str(LegExp(1)) ', ' num2str(LegVar(1)) ')'],...200 ['N(' num2str(LegExp(2)) ', ' num2str(LegVar(2)) ')'],...201 ['N(' num2str(LegExp(3)) ', ' num2str(LegVar(3)) ')']);202 else203 legend(['N(' num2str(LegExp(1)) ', ' num2str(LegVar(1)) ')'],...204 ['N(' num2str(LegExp(2)) ', ' num2str(LegVar(2)) ')'],...

4/4

205 ['N(' num2str(LegExp(3)) ', ' num2str(LegVar(3)) ')'],...206 ['N(' num2str(LegExp(4)) ', ' num2str(LegVar(4)) ')']);207 end208209

Betajakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan betajakauman parametrien vaikutusta jakau-man tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funktiotasamaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit, joitavastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Betajakaumaa parametrein α ja β merkitaan

Beta (α, β)

Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa kaytetyt merkinnat):

α (Alfa)

β (Beeta)

Esimerkissa parametrien arvot ovat rajoitetut valille (0, 50].Havainnollistettavat asiat:

� Parametrit α ja β maaraavat tiheysfunktion muodon ja painopisteen si-jainnin

Harjoitus ei vaadi aiempaa Matlab-osaamista. Ohjelmakoodi on kommentoituyksityiskohtaisesti siten, etta sita voi tutkia halutessaan ymmartaa ohjelmansisaltoa tarkemmin ja/tai oppia Matlab-ohjelman kayttoa.

Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont beta.m omalle koneellesi

� Kaynnista Matlab ja aseta tyohakemistoksi se hakemisto, johon kopioittiedoston (komentoikkunassa File, Set Path. . . )

� Avaa tiedosto Matlabin editoriin (komentoikkunassa File, Open. . . ). Avau-tuvassa scriptissa on tarkemmat ohjeet kaytetyista merkinnoista ja ohjel-man toiminnoista.

� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_beta

mnordlun

LIITE 2

Binomijakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan binomijakauman parametrien vaikutusta ja-kauman pistetodennakoisyysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, mon-tako funktiota kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit,joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Binomijakaumaa parametrein n ja p merkitaan

Bin (n, p)

Parametrit:

n Toistojen maara

p Tapahtuman todennakoisyys yksittaisessa toistossa

Esimerkissa toistojen lukumaara on rajoitettu valille [−1, 50].Havainnollistettavat asiat:

� Toistojen maaran vaikutus jakaumaan

� Yksittaisen toiston onnistumistodennakoisyyden vaikutus jakaumaan

� Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa np


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto discr bin.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento discr_bin

Cauchyn jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Havainnollistettavat asiat:

� Cauchyn jakauman tiheysfunktio

Huomaa, etta Cauchyn jakaumalla ei ole odotusarvoa.Harjoitus ei vaadi aiempaa Matlab-osaamista. Ohjelmakoodi on kommentoi-

tu yksityiskohtaisesti siten, etta sita voi tutkia halutessaan ymmartaa ohjelmansisaltoa tarkemmin ja/tai oppia Matlab-ohjelman kayttoa.

Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont cauchy.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_cauchy

Diskreetti tasainen jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan diskreetin tasaisen jakauman parametrien vai-kutusta jakauman pistetodennakoisyysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaanensin, montako funktiota kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioidenparametrit, joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametrejasyotetaan.

Diskreettia tasaista jakaumaa parametrein a, b merkitaan

Uniform (a, b) tai Tas (a, b)

Parametrit:

a Alaraja

b Ylaraja

Esimerkissa parametrit ovat kokonaislukuja. Parametri a on rajoitettu valille[−20, 19] ja parametri b on rajoitettu valille [−19, 20].


� a:n ja b:n arvot maaraavat ala- ja ylarajan nollasta poikkeavalle jakaumanosalle

� a:n ja b:n valinen etaisyys maaraa pistetodennakoisyydet niin, etta niidensummaksi tulee 1


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto discr uniform.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento discr_uniform

Eksponenttijakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan eksponenttijakauman parametrin vaikutustajakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funk-tiota samaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit,joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Eksponenttijakaumaa parametrilla λ merkitaan

Exp (λ)


λ (Lambda) Eksponenttijakauman parametri, jonka kaanteisluku on satunnais-muuttujan odotusarvo


� λ:n arvo maaraa kayran jyrkkyyden

� Kayra leikkaa y-akselin korkeudella λ


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont exp.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_exp

F-jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan F-jakauman parametrien vaikutusta jakau-man tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funktiotasamaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit, joitavastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

F -jakaumaa parametrein df1, df2 merkitaan

F (df1, df2)

Parametrit:

df1 Osoittajan vapausasteet

df2 Nimittajan vapausasteet

Esimerkissa vapausasteiden lukumaarat ovat rajoitetut valille [1, 150].Havainnollistettavat asiat:

� Parametrit df1 ja df2 maaraavat tiheysfunktion muodon ja painopisteensijainnin


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont fisher.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_fisher

Gammajakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan gammajakauman parametrien vaikutusta ja-kauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funktiotasamaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit, joitavastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Gammajakaumaa parametrein α, β merkitaan

Gamma (α, β)


α (Alfa)

β (Beeta)

Esimerkissa parametrien arvot ovat rajoitetut valille (0, 50].Havainnollistettavat asiat:



Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont gamma.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_gamma

Geometrinen jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan geometrisen jakauman parametrien vaikutus-ta jakauman pistetodennakoisyysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin,montako funktiota kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden para-metrit, joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametrejasyotetaan.

Geometrista jakaumaa parametrilla p merkitaan

Geom (p)

Parametrit:

p Tapahtuman todennakoisyys yksittaisessa toistossa

Esimerkissa toistojen lukumaara on rajoitettu valille [−1, 50].Havainnollistettavat asiat:


� Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa 1/p


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto discr geom.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento discr_geom

Hypergeometrinen jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan hypergeometrisen jakauman parametrien vai-kutusta jakauman pistetodennakoisyysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaanensin, montako funktiota kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioidenparametrit, joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametrejasyotetaan.

Hypergeometrista jakaumaa parametrein N , r ja n merkitaan

HyperGeom (N, r, n)

Parametrit:

N Perusjoukon koko

r Yksikoiden, joilla on ominaisuus A, lukumaara

n Otoskoko

Esimerkissa perusjoukon koko on rajoitettu arvoon N = 150.Havainnollistettavat asiat:

� Parametrien vaikutus jakaumaan

� Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa nr/N


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto discr hypergeom.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento discr_hypergeom

Jatkuva tasainen jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan tasajakauman parametrien vaikutusta jakau-man tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funktiotasamaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit, joitavastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Tasaista jakaumaa parametrein a ja b merkitaan

Uniform (a, b) tai Tas (a, b)

Parametrit:

a Alaraja

b Ylaraja

Esimerkissa parametri a on rajoitettu valille [−20, 20) ja parametri b on rajoi-tettu valille (−20, 20].


� a:n ja b:n arvot maaraavat ala- ja ylarajan nollasta poikkeavalle tiheys-funktion osalle

� a:n ja b:n valinen etaisyys maaraa tiheysfunktion korkeuden niin, ettatiheysfunktion pinta-alaksi tulee 1


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont uniform.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_uniform

Khin nelion jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan χ2-jakauman vapausasteiden lukumaaran vai-kutusta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, monta-ko funktiota samaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden pa-rametrit, joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametrejasyotetaan.

χ2-jakaumaa vapausasteella df merkitaan

χ2 (df)

Parametrit:

df Vapausasteiden lukumaara

Esimerkissa vapausasteiden lukumaara rajoitetaan valille [1, 20].Havainnollistettavat asiat:

� Vapausasteiden lukumaara maaraa tiheysfunktion muodon ja painopisteenpaikan


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont chisquared.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_chisquared

Log-normaalijakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan log-normaalijakauman parametrien vaikutus-ta jakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funk-tiota samaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit,joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Log-normaalijakaumaa parametrein α ja β merkitaan

LogN (α, β)


α (Alfa)

β (Beeta)

Esimerkissa α on rajoitettu valille [−50, 50] ja β on rajoitettu valille (0, 50].Havainnollistettavat asiat:



Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont lognorm.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_lognorm

Negatiivinen binomijakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan negatiivisen binomijakauman parametrien vai-kutusta jakauman pistetodennakoisyysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaanensin, montako funktiota kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioidenparametrit, joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametrejasyotetaan.

Negatiivista binomijakaumaa parametrein r ja p merkitaan

NegBin (r, p)

Parametrit:

r Onnistumisten lukumaara

n Tapahtuman todennakoisyys yksittaisessa toistossa

Esimerkissa r:n arvo rajoitettu valille [1, 20].Havainnollistettavat asiat:

� Onnistumisten lukumaaran vaikutus


� Satunnaismuuttujan odotusarvo on kohdassa r/p


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto discr negbin.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento discr_negbin

Normaalijakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan normaalijakauman parametrien vaikutustajakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funk-tiota samaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit,joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Normaalijakaumaa parametrein µX ja σ2X merkitaan

N(µX , σ2

X

)Parametrit (suluissa ovat ohjelmassa kaytetyt merkinnat):

µX (ExpX)

σ2X (VarX)

Esimerkissa odotusarvo on rajoitettu valille [−50, 50].Havainnollistettavat asiat:

� Odotusarvo maaraa tiheysfunktion paikan

� Tiheysfunktion huippu on odotusarvon maaramassa kohdassa

� Varianssi maaraa jakauman todennakoisyysmassan hajaantuneisuuden odo-tusarvon ymparilla


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont normal.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_normal

Poissonin jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan Poissonin jakauman parametrien vaikutus-ta jakauman pistetodennakoisyysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin,montako funktiota kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden para-metrit, joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametrejasyotetaan.

Poissonin jakaumaa parametrilla θ merkitaan

Poisson (θ)


θ (theeta) Tapahtuman A esiintymisintensiteetti

Esimerkissa θ:n arvo on rajoitettu valille (0, 100].Havainnollistettavat asiat:

� Tapahtuman esiintymisintensiteetin vaikutus jakaumaan


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto discr poisson.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento discr_poisson

Studentin t-jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan t-jakauman parametrien vaikutusta jakau-man tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funktiotasamaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit, joitavastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

t-jakaumaa vapausasteparametrin arvolla n merkitaan

t (n)

Parametrit:

n Vapausasteiden lukumaara

Esimerkissa vapausasteiden lukumaara on rajoitettu valille [1, 100].Havainnollistettavat asiat:

� Vapausasteiden lukumaara maaraa tiheysfunktion muodon


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont student.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_student

Weibullin jakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Esimerkissa havainnollistetaan Weibullin jakauman parametrien vaikutustajakauman tiheysfunktion muotoon. Esimerkissa valitaan ensin, montako funk-tiota samaan kuvaan piirretaan. Sen jalkeen syotetaan funktioiden parametrit,joita vastaavat kayrat piirtyvat kuvaan sita mukaa, kun parametreja syotetaan.

Weibullin jakaumaa parametrein α, β merkitaan

Weibull (α, β)


α (Alfa)

β (Beeta)




Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto cont weibull.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento cont_weibull

Kaksiulotteinen normaalijakauma (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalija-kauman parametroinnin vaikutusta jakauman tiheysfunktion muotoon.

Kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein µX , µY , σ2X , σ2

Y ja ρXY mer-kitaan

N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY


µX (ExpX) Satunnaismuuttujan X odotusarvo

µY (ExpY) Satunnaismuuttujan Y odotusarvo

σ2X (VarX) Satunnaismuuttujan X varianssi

σ2Y (VarY) Satunnaismuuttujan Y varianssi

ρXY (CorXY) Satunnaismuuttujien X ja Y korrelaatio

Tarkoituksena on, etta ohjelma ajetaan eri parametrien arvoilla ja tarkastellaanjakauman tiheysfunktion muodon muutoksia. Ohjelma piirtaa tiheysfunktionkuvaajan, seka palauttaa seuraavat matriisit annetuista parametrien arvoistalaskettuina:

� Satunnaismuuttujien X ja Y kovarianssimatriisi

� Kovarianssimatriisin ominaisvektoreista muodostettu ortogonaalinen mat-riisi, jossa ominaisvektorit ovat sarakkeina

� Kovarianssimatriisin ominaisarvoista muodostettu diagonaalinen matriisi,jonka diagonaalialkioina ovat ominaisarvot


� Tiheysfunktio muodostaa pinnan kolmiulotteisessa avaruudessa

� Tiheysfunktion huippu eli pinnan maksimi on jakauman todennakoisyys-massan painopisteessa

� Parametrien vaikutus tiheysfunktion muotoon


mnordlun

LIITE 3

Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2norm h1a.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h1a

Kovarianssimatriisin paaakselihajotelman

tarkistaminen (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on nayttaa, kuinka voidaan tarkistaa, etta Kak-siulotteinen normaalijakauma (Matlab)-harjoituksessa laskettu paaakselihajo-telma tuottaa lahtokohtana olleen kovarianssimatriisin.

Kaksiulotteista normaalijakaumaa merkitaan

N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Tarkistettava matriisiyhtalo on Σ = ULU′, jossa L on kovarianssimatriisinΣ ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi ja U on siis ominaisarvojavastaavien ominaisvektoreiden muodostama ortogonaalinen matriisi.


� Kovarianssimatriisin paaakselihajotelman tarkistaminen

Kovarianssimatriiseja verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskentatark-kuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivat oleaina tarkalleen nollia. Valitulostuksissa matriisit nayttavat kuitenkin samoilta,koska Matlabissa lukujen esitystarkkuuden oletusarvo on viisi numeroa.

Harjoitus ei vaadi aiempaa Matlab-osaamista. Ohjelmakoodi on kommentoi-tu yksityiskohtaisesti siten, etta sita voi tutkia halutessaan ymmartaa ohjelmansisaltoa tarkemmin ja/tai oppia Matlab-ohjelman kayttoa.

Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2norm h1b.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h1b

Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta

normaalijakaumasta I (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisten kuvaajien avul-la, kuinka kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut ja-kautuvat.


N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Ohjelma pyytaa kayttajaa syottamaan kaksiulotteisen normaalijakauman pa-rametrit. Matlab generoi kaksiulotteista normaalijakaumaa noudattavia satun-naislukuja ja piirtaa niista pistediagrammin. Reunajakaumista muodostetaanhistogrammit. Kayttaja voi valita, montako pistetta ohjelma generoi ja piirre-taanko kuvaan vertailukohteeksi teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktionmukaisia tasa-arvokayria.


� Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut kayttay-tyvat teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisesti

� Kaksiulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat normaalijakaumia


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2norm h2a.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h2a

Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta

normaalijakaumasta II (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalija-kauman todennakoisyysmassan jakautumista jakaumasta generoitujen satun-naislukujen avulla. Havainnollistamisessa kaytetaan kolmiulotteista pylvasdia-grammia. Satunnaislukujen generointi tapahtuu samalla tavalla kuin harjoituk-sessa Satunnaislukujen generointi kaksiulotteisesta normaalijakaumasta I (Mat-lab).


N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Ohjelma pyytaa kayttajaa syottamaan kaksiulotteisen normaalijakauman para-metrit. Matlab generoi normaalijakautuneita satunnaislukuja ja piirtaa niistapistediagrammin. X:n ja Y :n yhteisjakaumasta piirretaan myos kolmiulottei-nen pylvasdiagrammi. Vertailukohteena voidaan kayttaa teoreettista jakaumaavastaavan tiheysfunktion tasa-arvokayria.


� Kaksiulotteisesta normaalijakaumasta generoidut satunnaisluvut kayttay-tyvat teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion mukaisesti


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2norm h2b.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2norm_h2b

Kaksiulotteisen normaalijakauman

regressiofunktiot (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalija-kauman regressiofunktioita.


N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Ohjelma pyytaa kayttajaa syottamaan kaksiulotteisen normaalijakauman para-metrit. Parametreja vastaava tiheysfunktio tulostuu ruudulle tasa-arvokayrina.Kuvaajaan piirretaan myos regressiosuorat ja valinnaisina paaakseleita vastaa-vat suorat.


� Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat suoria

� Regressiosuorat leikkaavat jakauman todennakoisyysmassan painopistees-sa

� Jos satunnaismuuttujat eivat korreloi keskenaan, suorat ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

� Jos korrelaatiokerroin on −1 tai 1, suorat yhtyvat. (Ohjelma ei kuiten-kaan hyvaksy syotetta ρXY = −1 tai ρXY = 1. Ominaisuutta voi kokeillasyottamalla luvun, jonka itseisarvo on hyvin lahella 1:ta.)


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2normregfun h1a.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h1a

Regressiofunktioiden estimointi kaksiulotteisessa

normaalijakaumassa (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kaksiulotteisen normaalija-kauman regressiofunktioita.


N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Harjoituksessa generoidaan annettuja parametreja vastaavasta kaksiulotteises-ta normaalijakaumasta pisteita ja estimoidaan niista kaksiulotteisen normaali-jakauman regressiofunktiot (regressiosuorat). Nain saadut regressiofunktioidenestimaatit esitetaan generoitujen pisteiden kanssa samassa kuvaajassa.

Kuvaan saa halutessaan vertailukohteeksi myos teoreettista jakaumaa vas-taavan tiheysfunktion mukaisia tasa-arvokayria.


� Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat suoria

� Regressiosuorat leikkaavat jakauman todennakoisyysmassan painopistees-sa

� Jos satunnaismuuttujat eivat korreloi keskenaan, suorat ovat kohtisuorassatoisiaan vastaan

� Jos korrelaatiokerroin on −1 tai 1, suorat yhtyvat. (Ohjelma ei kuiten-kaan hyvaksy syotetta ρXY = −1 tai ρXY = 1. Ominaisuutta voi kokeillasyottamalla luvun, jonka itseisarvo on hyvin lahella 1:ta.)

� Regressiosuorat voidaan estimoida laskemalla havaintopisteista tarvittavatotossuureet ja sijoittamalla ne regressiosuorien kaavoihin.


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2normregfun h1b.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h1b

Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo

kaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa ehdollista odotusarvoa ja eh-dollista varianssia kaksiulotteisessa normaalijakaumassa.


N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Harjoituksessa syotetaan kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja maa-rataan, kumman satunnaismuuttujan suhteen ja missa kohdassa tarkastellaanehdollista odotusarvoa ja varianssia. Ohjelma tulostaa kuvan, jossa jakaumantiheysfunktiota kuvataan tasa-arvokayrilla. Kuvaan on piirretty myos regressio-kayrat, jotka ovat kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa suoria.


� Ehdollinen odotusarvo on aina regressiokayralla

� Y :n ehdollinen odotusarvo x:n suhteen on Y :n regressiokayralla x:n suh-teen

� Vastaavasti X:n ehdollinen odotusarvo y:n suhteen on X:n regressiokay-ralla y:n suhteen

� Ehdollinen varianssi on kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa va-kio, eika siis riipu ehtomuuttujan arvosta


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2normregfun h2a.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2a

Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten

otoskeskiarvojen avulla I (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Tama esimerkki on tarkoitettu pohjustamaan seuraavaa harjoitusta Regres-siofunktion havainnollistaminen ehdollisten otoskeskiarvojen avulla II (Matlab).


N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Ohjelma pyytaa kayttajaa syottamaan kaksiulotteisen normaalijakauman pa-rametrit ja maaraamaan, kumman satunnaismuuttujan (X:n tai Y :n) suhteenja missa kohdassa ehdollinen odotusarvo ja varianssi estimoidaan. Kun edelli-sessa tehtavassa (Ehdollinen varianssi ja ehdollinen odotusarvo kaksiulotteisessanormaalijakaumassa) teoreettiset ehdolliset odotusarvot osuivat regressiosuoral-le, nyt ehdolliset otoskeskiarvot osuvat likimain regressiosuoralle. Opiskelija voitodeta taman ajamalla ohjelman useita kertoja samoilla parametreilla, muttavaihtamalla tarkastelukohtaa.


� Ehdollinen otoskeskiarvo on aina likimain regressiokayralla

� Y :n ehdollinen otoskeskiarvo x:n suhteen on Y :n regressiokayralla x:n suh-teen

� Vastaavasti X:n ehdollinen otoskeskiarvo y:n suhteen on X:n regressio-kayralla y:n suhteen

� Ehdollisessa odotusarvossa on satunnaisvaihtelua

Koska kyseessa on simuloitu jakauma, tarkastelukohta ei ole yksittainen pisteakselilla, vaan maaratyn mittainen vali, jolle kuuluvista pisteista lasketaan otos-keskiarvot ja varianssit. Ohjelma tulostaa kuvan, jossa jakaumasta generoidutpisteet esitetaan pistediagrammina. Kuvaan saa halutessaan vertailukohteeksimyos teoreettista jakaumaa vastaavan tiheysfunktion tasa-arvokayrat. Valittutarkasteluvali on kuvaan piirrettyjen katkoviivojen rajoittama alue. Alueella ole-va vinonelio tai pallo on valilla olevien pisteiden otoskeskiarvojen avulla laske-tussa painopisteessa. Kuvio riippuu valitusta muuttujasta. X:n suhteen tarkas-teltaessa se on vaaleanpunainen vinonelio, Y :n suhteen tarkasteltaessa sininenpallo.


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2normregfun h2b.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2b

Regressiofunktion havainnollistaminen ehdollisten

otoskeskiarvojen avulla II (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa regressiofunktiota ehdollistenotoskeskiarvojen avulla.


N2

(µX , µY , σ2

X , σ2Y , ρXY







Harjoituksessa syotetaan kaksiulotteisen normaalijakauman parametrit ja maa-rataan, kumman satunnaismuuttujan suhteen tarkastellaan ehdollista odotusar-voa ja ehdollista varianssia.


� Ehdollisten keskiarvojen ja regressiofunktioiden yhteys

� Ehdollinen otosvarianssi

� Ehdolliset otoskeskiarvopisteet ovat likimain regressiosuoralla

� Mita enemman pisteita simuloidaan, sita tarkemmin otoskeskiarvot osuvatregressiosuoralle

Tama harjoitus on jatkoa harjoitukselle Regressiofunktion havainnollistaminenehdollisten otoskeskiarvojen avulla I (Matlab), jossa tarkasteltiin ehdollisuuttayhden yksikon pituisen valin suhteen kerrallaan. Nyt koko jakauma kaydaan lapimaaratyn levyisina valeina, ja kullakin valilla olevien satunnaisesti generoitujenpisteiden painopiste piirretaan kuvaan. Myos kaikista simuloiduista pisteista las-ketut regressiosuorien estimaatit (harjoituksen Regressiofunktioiden estimointikaksiulotteisessa normaalijakaumassa (Matlab) mukaisesti) ovat nakyvilla ver-tailukohteina.


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto m2normregfun h2c.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento m2normregfun_h2c

Multinormaalisten havaintojen generointi

kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa kolmiulotteisen normaalija-kauman havaintojen generointia. Havaintomatriisi X generoidaan syottamallasuoraan kolmiulotteisen normaalijakauman parametrit.

p-ulotteista multinormaalijakaumaa parametrein E(X) = µ ja Cov(X) = Σmerkitaan

Np (µ,Σ)


µ (ExpVec) Satunnaismuuttujan X odotusarvovektori

Σ (CovMat) Satunnaismuuttujan X kovarianssimatriisi


� Kolmiulotteinen normaalijakauma

� Kovarianssimatriisi

� Havaintomatriisin generointi

Odotusarvovektori µ ja kovarianssimatriisi Σ maaraavat taysin multinormaali-jakauman. Kolmiulotteista normaalijakaumaa useampiulotteiset multinormaali-jakaumat kayttaytyvat samalla tavalla kuin kolmiulotteinen normaalijakauma.


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto mnorm h1a.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h1a

mnordlun

LIITE 4

Multinormaalisten havaintojen generointi

AR(1)-prosessin avulla (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Havaintomatriisin voi generoida myos AR(1)-prosessin avulla. Harjoituksentarkoituksena on havainnollistaa, kuinka tama tapahtuu.


Np (µ,Σ)






� AR(1) -prosessi


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto mnorm h1b.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h1b

Regressiofunktion estimointi

multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa regressiofunktion estimointianeljalla eri tavalla.


Np (µ,Σ)




Tavat, joilla regressiokertoimet lasketaan:

� Tavanomaisella PNS-estimaattorin kaavalla

� Momenttimatriisin paaakselihajotelman avulla

� QR-hajotelmaa kayttaen

� Tavanomaisella PNS-estimaattorin kaavalla, mutta kaanteismatriisi laske-taan QR-hajotelmaa kayttaen



� Multinormaalijakauman regressiofunktion estimointi eri tavoilla


Kaynnistysohje

� Kopioi tiedosto mnorm h2.m omalle koneellesi



� Aja harjoitus syottamalla Matlab-komentoikkunassa komento mnorm_h2

Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I (Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoitus vaatii, etta havainnot ja regressiofunktioiden estimaatit on val-miiksi generoitu. Siksi esitietoharjoitusten Multinormaalisten havaintojen ge-nerointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) seka Regressiofunktionestimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) tekeminen on valt-tamatonta.

Harjoituksen tarkoituksena on havainnollistaa, etta selittavan muuttujan ha-vaintomatriisin X, selitettavan muuttujan havaintovektorin Y seka estimoiduis-ta regressiokertoimista muodostetun vektorin β (ohjelmassa estb) avulla voilaskea seuraavat asiat:

� Sovitevektori Y (ohjelmassa fitY)

� Matriisi P, joka on projektio

� Matriisi M, joka on projektio

� Jaannostermien estimaateista eli residuaaleista muodostettu vektori e


� Ehdot, jotka projektion on toteutettava

� Tavat tarkistaa, etta em. ehdot toteutuvat

� Projektion aste on sen 1-ominaisarvojen lukumaara

� Matriisien P ja M asteiden summa on sama kuin havaintojen lukumaara

� Residuaalien summa on 0

Matriisien yhtasuuruutta verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskenta-tarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivat oleaina tarkalleen nollia.


Kaynnistysohje





Regressiomallin sovitteet ja residuaalit II

(Matlab)

Timo Nordlund

2003-08-14

Harjoitus vaatii, etta havainnot ja regressiofunktioiden estimaatit on val-miiksi generoitu. Siksi esitietoharjoitusten Multinormaalisten havaintojen ge-nerointi kolmiulotteisesta normaalijakaumasta (Matlab) seka Regressiofunktionestimointi multinormaalijakautuneessa aineistossa (Matlab) tekeminen on valt-tamatonta.

Harjoitus on jatkoa harjoitukselle Regressiomallin sovitteet ja residuaalit I(Matlab). Tarkoituksena on havainnollistaa, etta sovitteen ja jaannostermin voilaskea usealla vaihtoehtoisella kaavalla. Lisaksi havainnollistetaan, etta sovitettaja jaannostermia voi pitaa suorakulmaisen kolmion kateetteina ja etta kyseisenkolmion hypotenuusan voi laskea Pythagoraan lauseella.


� Kun projektiota projisoidaan uudelleen, ei tapahdu muutosta

� Vaihtoehtoiset tavat laskea jaannostermit ja havaintovektori

� Sovite Y (ohjelmassa fitY) ja residuaali e ovat kateetit suorakulmaisessakolmiossa, jonka hypotenuusa on havainto Y

� Kateettien kohtisuoruuden voi tarkistaa sisatulolla

Matriisien yhtasuuruutta verrataan laskemalla niiden erotus. Koneen laskenta-tarkkuuden rajoituksista johtuen vastauksena saatavan matriisin alkiot eivat oleaina tarkalleen nollia.


Kaynnistysohje





todennäköisyysjakaumien mallintaminen matlab- ohjelmalla

Documents