TOLERANCE LIMITS Name:

TOLERANCE LIMITS Type:

Analysis Command Purpose:

Generates normal and non-parameteric tolerance intervals. Description:

Tolerance intervals calculate a confidence interval that contains a fixed percentage (or proportion) of the data. This is related to, but distinct from, the confidence interval for the mean.

There are two numbers for the tolerance interval:

1. The coverage probability is the fixed percentage of the data to be covered.

2. The confidence level.

Tolerance limits are given by

where is the sample mean, s is the sample standard deviation, and k is determined so that one can state with (1- )% confidence that at least % of the data fall within the given limits. The values for k, assuming a normal distribution, have been numerically tabulated.

This is commonly stated as something like "a 95% confidence interval for 90% coverage".

Dataplot computes the tolerance interval for three confidence levels (90%, 95%, and 99%) and five coverage percentages (50.0, 75.0, 90.0, 95.0, 99.9).

In addition, Dataplot computes non-parametric tolerance intervals. These may be preferred if the data are not adequately approximated by a normal distribution. In this case, the tables have been developed based on the smallest and largest data values in the sample.

toleransi limitsTOLERANCE BATASNama:BATAS TOLERANSITipe:Analisis CommandTujuan:Menghasilkan interval toleransi normal dan non-parameteric.Keterangan:

Toleransi interval menghitung interval kepercayaan yang berisi persentase tetap (atau proporsi) dari data. Hal ini berkaitan dengan, tetapi berbeda dari, interval kepercayaan untuk mean.Ada dua nomor untuk interval toleransi:1. Probabilitas cakupan adalah persentase tetap dari data yang akan ditutupi.2. Tingkat keyakinan.Toleransi batas diberikan oleh mana adalah mean sampel, s adalah deviasi standar sampel, dan k ditentukan sehingga dapat negara dengan (1 -)% keyakinan bahwa setidaknya% dari jatuhnya data dalam batas-batas yang diberikan. Nilai untuk k, asumsi distribusi normal, telah numerik ditabulasikan.Hal ini umumnya dinyatakan sebagai sesuatu seperti "interval kepercayaan 95% untuk cakupan 90%".Dataplot menghitung interval toleransi untuk tiga tingkat kepercayaan (90%, 95%, dan 99%) dan persentase cakupan lima (50,0, 75,0, 90,0, 95,0, 99,9).Selain itu, Dataplot menghitung interval toleransi non-parametrik. Ini mungkin lebih disukai jika data tidak cukup didekati dengan distribusi normal. Dalam kasus ini, tabel telah dikembangkan berdasarkan nilai-nilai data terkecil dan terbesar dalam sampel.

7.2.6.3. Tolerance intervals for a normal distribution Toleransi interval untuk distribusi normal

Definition of a tolerance interval Definisi suatu interval toleransi A confidence interval covers a population parameter with a stated confidence, that is, a certain proportion of the time. Interval kepercayaan mencakup parameter populasi dengan keyakinan dinyatakan, yaitu, proporsi tertentu dari waktu. There is also a way to cover a fixed proportion of the population with a stated confidence. Ada juga cara untuk menutupi proporsi penduduk tetap dengan keyakinan lain. Such an interval is called a tolerance interval. The endpoints of a tolerance interval are called tolerance limits . Semacam interval disebut interval toleransi. Titik akhir dari interval toleransi disebut batas toleransi. An application of tolerance intervals to manufacturing involves comparing specification limits prescribed by the client with tolerance limits that cover a specified proportion of the population. Aplikasi interval toleransi untuk manufaktur melibatkan membandingkan batas spesifikasi yang ditentukan oleh nasabah dengan batas toleransi yang mencakup sebagian tertentu dari populasi. Difference between confidence and tolerance intervals Perbedaan antara keyakinan dan toleransi interval Confidence limits are limits within which we expect a given population parameter, such as the mean, to lie. Keyakinan batas batas yang kita harapkan dalam parameter populasi tertentu, seperti mean, untuk berbohong. Statistical tolerance limits are limits within which we expect a stated proportion of the population to lie. batas toleransi statistik adalah batas dalam yang kita harapkan sebagian lain penduduk untuk berbohong. Confidence intervals shrink towards zero as the sample size increases. Keyakinan interval menyusut menuju nol dengan meningkatnya ukuran sampel. Tolerance intervals tend towards a fixed value as the sample size increases. Toleransi interval cenderung ke arah nilai tetap dengan meningkatnya ukuran sampel. Not related to engineering tolerances Tidak berhubungan dengan toleransi rekayasa Statistical tolerance intervals have a probabilistic interpretation. Engineering tolerances are specified outer limits of acceptability which are usually prescribed by a design engineer and do not necessarily reflect a characteristic of the actual measurements. interval toleransi statistik memiliki interpretasi probabilistik. Teknik

toleransi yang ditentukan batas luar penerimaan yang biasanya diresepkan oleh seorang insinyur desain dan tidak selalu mencerminkan karakteristik pengukuran yang sebenarnya. Three types of tolerance intervals Tiga jenis interval toleransi Three types of questions can be addressed by tolerance intervals. Tiga jenis pertanyaan yang dapat diatasi dengan interval toleransi. Question (1) leads to a two-sided interval; questions (2) and (3) lead to one-sided intervals. Pertanyaan (1) mengarah pada interval dua sisi; pertanyaan (2) dan (3) mengarah pada interval satu sisi.

1. What interval will contain p percent of the population measurements? Apa interval akan berisi p persen dari populasi pengukuran?

2. What interval guarantees that p percent of population measurements will not fall below a lower limit? Apa jaminan interval bahwa p persen dari populasi pengukuran tidak akan jatuh di bawah batas bawah?

3. What interval guarantees that p percent of population measurements will not exceed an upper limit? Apa jaminan interval bahwa p persen dari populasi pengukuran tidak akan melebihi batas atas?

Tolerance intervals for measurements from a normal distribution Toleransi interval untuk pengukuran dari distribusi normal For the questions above, the corresponding tolerance intervals are defined by lower (L) and upper (U) tolerance limits which are computed from a series of measurements Y 1 , ..., Y N : Untuk pertanyaan di atas, interval toleransi yang sesuai didefinisikan oleh lebih rendah (L) dan atas (U) batas toleransi yang dihitung dari serangkaian pengukuran Y 1, ..., Y N:

1.2.3.

where the k factors are determined so that the intervals cover at least a proportion p of the population with confidence, dimana faktor k ditentukan sehingga interval mencakup setidaknya p proporsi penduduk dengan keyakinan, . . Calculation of k factor for a two-sided tolerance limit for a normal distribution Perhitungan faktor k untuk sisi toleransi batas-dua untuk distribusi normal If the data are from a normally distributed population, an approximate value for the factor as a function of p and Jika data dari populasi terdistribusi normal, nilai perkiraan untuk faktor sebagai fungsi p dan for a two-sided tolerance interval (Howe, 1969) is untuk sisi toleransi interval-dua (Howe, 1969) adalah

where mana is the critical value of the chi-square distribution with degrees of freedom, N - 1, that is exceeded with probability adalah nilai kritis dari distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan, N - 1, yaitu melebihi dengan probabilitas and dan is the critical value of the normal distribution which is exceeded with probability (1- p )/2. adalah nilai kritis dari distribusi normal yang melebihi dengan probabilitas (1 - p) / 2.

Example of calculation Contoh perhitungan For example, suppose that we take a sample of N = 43 silicon wafers from a lot and measure their thicknesses in order to find tolerance limits within which a proportion p = 0.90 of the wafers in the lot fall with probability Sebagai contoh, misalkan kita mengambil sampel N = 43 wafer silikon dari banyak dan mengukur ketebalan mereka untuk menemukan batas toleransi dalam mana proporsi p = 0,90 dari wafer pada musim gugur banyak dengan probabilitas = 0.99. = 0.99. Use of tables in calculating two-sided tolerance intervals Penggunaan tabel dalam perhitungan sisi toleransi interval-dua Values of the k factor as a function of p and Nilai faktor k sebagai fungsi dari p dan are tabulated in some textbooks, such as Dixon and Massey (1969) . ditabulasikan dalam beberapa buku teks, seperti Dixon dan Massey (1969) . To use the tables in this handbook, follow the steps outlined below: Untuk menggunakan tabel dalam buku ini, ikuti langkah-langkah diuraikan di bawah ini:

1. Calculate Menghitung = (1 - p )/2 = 0.05 = (1 - p) / 2 = 0.05 2. Go to the table of upper critical values of the normal distribution and under the column

labeled 0.05 find Pergi ke tabel nilai kritis atas distribusi normal dan di bawah kolom berlabel

0,05 menemukan = 1.645. = 1,645. 3. Go to the table of lower critical values of the chi-square distribution and under the column

labeled 0.99 in the row labeled degrees of freedom = 42, find Pergi ke tabel nilai kritis bawah distribusi chi-square dan di bawah kolom berlabel 0.99 pada baris berlabel derajat

kebebasan = 42, menemukan = 23.650. = 23,650. 4. Calculate Menghitung

The tolerance limits are then computed from the sample mean, Batas toleransi tersebut kemudian dihitung dari sampel mean, , and standard deviation, s, according to case (1) . , Dan standar deviasi, s, menurut kasus (1) .

Important note Catatan penting The notation for the critical value of the chi-square distribution can be confusing. Notasi untuk nilai kritis distribusi chi-kuadrat dapat membingungkan. Values as tabulated are, in a sense, already squared; whereas the critical value for the normal distribution must be squared in the formula above. Nilai sebagai ditabulasikan adalah, dalam arti, sudah kuadrat, sedangkan nilai kritis untuk distribusi normal harus dikuadratkan dalam rumus di atas. Dataplot commands for calculating the k factor for a two-sided tolerance interval Dataplot perintah untuk menghitung faktor k untuk sisi toleransi interval-dua The Dataplot commands are: Perintah Dataplot adalah:

let n = 43 let nu = n - 1 let p = .90 let g = .99 let g1=1-g let p1=(1+p)/2 let cg=chsppf(g1,nu) let np=norppf(p1) let k = nu*(1+1/n)*np**2 let k2 = (k/cg)**.5 biarkan n = 43 membiarkan nu n = - 1 biarkan p = 0,90 biarkan g = 0,99 membiarkan G1 = 1-g biarkan p1 = (1 + p) / 2 membiarkan cg = chsppf (G1, nu) biarkan np = norppf ( p1) biarkan nu k = * (1 +1 / n) * np ** 2 membiarkan k2 = (k / cg) **. 5 and the output is: dan output adalah:

THE COMPUTED VALUE OF THE CONSTANT K2 = 0.2217316E+01 NILAI dihitung DARI K2 KONSTAN = 0.2217316E +01 Another note Catatan lain The notation for tail probabilities in Dataplot is the converse of the notation used in this handbook. Notasi untuk probabilitas ekor di Dataplot adalah kebalikan dari notasi yang digunakan dalam buku ini. Therefore, in the example above it is necessary to specify the critical value for the chi-square distribution, say, as chsppf(1-.99, 42) and similarly for the critical value for the normal distribution. Oleh karena itu, dalam contoh di atas maka perlu untuk menentukan nilai kritis untuk distribusi chi-kuadrat, mengatakan, seperti chsppf (1-0,99, 42) dan juga untuk nilai kritis untuk distribusi normal. Direct calculation of tolerance intervals using Dataplot Langsung perhitungan interval toleransi menggunakan Dataplot Dataplot also has an option for calculating tolerance intervals directly from the data. Dataplot juga memiliki opsi untuk menghitung interval toleransi langsung dari data. The commands for producing tolerance intervals from twenty-five measurements of resistivity from a quality control study at a confidence level of 99% are: Perintah untuk menghasilkan interval toleransi dari dua puluh lima pengukuran resistivitas dari studi kontrol kualitas pada tingkat kepercayaan 99% adalah:

read 100ohm.dat cr wafer mo day h min op hum ... membaca hari 100ohm.dat mo cr h min wafer op bersenandung ... probe temp y sw df temp probe y sw df tolerance y toleransi y Automatic output is given for several levels of coverage, and the tolerance interval for 90% coverage is shown below in bold: Otomatis output diberikan untuk beberapa tingkat cakupan, dan interval toleransi untuk cakupan 90% ditunjukkan di bawah ini dalam huruf tebal:

2-SIDED NORMAL TOLERANCE LIMITS: XBAR +- K*S NUMBER OF OBSERVATIONS = 25 SAMPLE MEAN = 97.069832 SAMPLE STANDARD DEVIATION = 0.26798090E-01 CONFIDENCE = 99.% COVERAGE (%) LOWER LIMIT UPPER LIMIT 50.0 97.04242 97.09724 75.0 97.02308 97.11658 90.0 97.00299 97.13667 95.0 96.99020 97.14946 99.0 96.96522 97.17445 99.9 96.93625 97.20341 2-SISI BATAS NORMAL TOLERANSI: XBAR + - * K S JUMLAH PENGAMATAN = 25 CONTOH BERARTI = 97,069832 STANDAR DEVIASI CONTOH = 0.26798090E-01 PERCAYA DIRI = 99 90,0.% CAKUPAN (%) LOWER UPPER LIMIT BATAS 50,0 97,04242 97,09724 75,0 97,02308 97,11658 97,00299 97,13667 95,0 96,99020 97,14946 99,0 96,96522 97,17445 99,9 96,93625 97,20341 Calculation for a one-sided tolerance interval for a normal distribution Perhitungan untuk sisi toleransi interval-satu untuk suatu distribusi normal The calculation of an approximate k factor for one-sided tolerance intervals comes directly from the following set of formulas (Natrella, 1963) : Perhitungan faktor k perkiraan untuk sisi toleransi interval-satu datang langsung dari set berikut formula (Natrella, 1963) :

where mana is the critical value from the normal distribution that is exceeded with probability 1- p and adalah nilai kritis dari distribusi normal yang melebihi dengan

probabilitas 1 - p dan is the critical value from the normal distribution that is exceeded with probability 1- adalah nilai kritis dari distribusi normal yang melebihi dengan probabilitas 1 - . .

Dataplot commands for calculating the k factor for a one-sided tolerance interval Dataplot perintah untuk menghitung faktor k untuk sisi toleransi interval-satu For the example above, it may also be of interest to guarantee with 0.99 probability (or 99% confidence) that 90% of the wafers have thicknesses less than an upper tolerance limit. Untuk contoh di atas, juga mungkin menarik untuk menjamin dengan probabilitas 0,99 (atau kepercayaan 99%) bahwa 90% dari wafer memiliki ketebalan kurang dari batas toleransi atas. This problem falls under case (3) , and the Dataplot commands for calculating the factor for the one-sided tolerance interval are: Masalah ini berada di bawah kasus (3) , dan perintah Dataplot untuk menghitung faktor bagi sisi toleransi interval-satu adalah:

let n = 43 biarkan n = 43 let p = .90 biarkan p = .90 let g = .99 biarkan g = .99 let nu = n-1 biarkan nu = n-1 let zp = norppf(p) biarkan zp = norppf (p) let zg=norppf(g) biarkan zg = norppf (g) let a = 1 - ((zg**2)/(2*nu)) biarkan 1 = - ((zg ** 2) / (2 nu *)) let b = zp**2 - (zg**2)/n biarkan b = zp ** 2 - (zg ** 2) / n let k1 = (zp + (zp**2 - a*b)**.5)/a biarkan k1 = (zp + (zp ** 2 - * b) **. 5) / a and the output is: dan output adalah:

THE COMPUTED VALUE OF THE CONSTANT A = 0.9355727E+00 Dihitung NILAI YANG KONSTAN A 0.9355727E = +00 THE COMPUTED VALUE OF THE CONSTANT B = 0.1516516E+01 NILAI dihitung DARI B KONSTAN = 0.1516516E +01 THE COMPUTED VALUE OF THE CONSTANT K1 = 0.1875189E+01 NILAI dihitung DARI K1 KONSTAN = 0.1875189E +01 The upper (one-sided) tolerance limit is therefore 97.07 + 1.8752*2.68 = 102.096. Batas (satu sisi) Oleh karena itu, toleransi atas 97,07 + 1,8752 * 2,68 = 102,096. Tolerance factor based on the non-central t distribution Toleransi faktor berdasarkan t pusat distribusi non- The value of k can also be computed using the inverse cumulative distribution function for the non-central t distribution. Nilai k juga dapat dihitung dengan menggunakan fungsi sebaran kumulatif inverse untuk pusat distribusi t-non. This method may give more accurate results for small values of n . Metode ini dapat memberikan hasil yang lebih akurat untuk nilai kecil n.

The Dataplot commands for computing k using the non-central t distribution (using the same example as above) are: Perintah Dataplot untuk k komputasi menggunakan pusat distribusi non-t (dengan menggunakan contoh yang sama seperti di atas) adalah:

let n = 43 biarkan n = 43 let p = .90 biarkan p = .90 let g = .99 biarkan g = .99 . . let f = n - 1 biarkan f = n - 1 let delta = norppf(P)*sqrt(n) biarkan delta = norppf (P) * sqrt (n) let k = nctppf(g,f,delta)/sqrt(n) biarkan k = nctppf (g, f, delta) / sqrt (n) and the output is: dan output adalah:

THE COMPUTED VALUE OF THE CONSTANT K1 = 0.1873962E+01 NILAI dihitung DARI K1 KONSTAN = 0.1873962E +01 In this case, the difference between the two computations is negligble (1.8752 versus 1.8740). Dalam hal ini, perbedaan antara kedua perhitungan adalah negligble (1,8752 versus 1,8740). However, the difference becomes more pronounced as the value of n gets smaller (in particular, for n ≤ 10). Namun, perbedaan menjadi lebih jelas sebagai nilai n semakin kecil (khususnya, untuk n ≤ 10). For example, if n = 43 is replaced with n = 6, the non-central t method returns a value of 4.4111 for K1 while the method based on the Natrella formuals returns a value of 5.2808. Sebagai contoh, jika n = 43 diganti dengan n = 6, t pusat metode kembali-non nilai 4,4111 untuk K1 sedangkan metode berdasarkan formuals Natrella kembali nilai 5,2808.

The disadvantage of the non-central t method is that it depends on the inverse cumulative distribution function for the non-central t distribution. Kerugian dari pusat t-metode non adalah bahwa hal itu tergantung pada fungsi distribusi kumulatif inverse untuk pusat distribusi t-non. This function is not available in many statistical and spreadsheet software programs. Fungsi ini tidak tersedia di banyak program perangkat lunak statistik dan spreadsheet. The Natrella formulas only depend on the inverse cumulative distribution function for the normal distribution (which is available in just about all statistical and spreadsheet software programs). Rumus Natrella hanya bergantung pada fungsi distribusi inverse kumulatif untuk distribusi normal (yang tersedia di hampir semua program perangkat lunak statistik dan spreadsheet). Unless you have small samples (say n ≤ 10), the difference in the methods should not have much practical effect. Kecuali anda memiliki sampel kecil (n ≤ mengatakan 10), perbedaan dalam metode praktis seharusnya tidak berpengaruh banyak.