tomografia klasyczna
DESCRIPTION
Tomografia Klasyczna. B. f(x,y). t. . . P( ,t). Algorytm rekonstrukcji. Pojedynczy rzut akumulacyjny. . t. Sinogram. Rekonstrukcja metodą FFT. Rekonstrukcja metodą projekcji wstecznej z sinogramu bez filtracji. Algorytm rekonstrukcji m. projekcji wstecznej z filtracją. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
BTomografia Klasyczna
Algorytm rekonstrukcji
Pojedynczy rzut akumulacyjny
f(x,y)
t
P(,t)
Rekonstrukcja metodą FFT
t
Sinogram
Rekonstrukcja metodą projekcji wstecznej z sinogramu bez filtracji
Algorytm rekonstrukcji m. projekcji wstecznej z filtracją
Seria rzutów akumulacyjnych
Sinogram Sinogram przefiltrowany
Rekonstrukcja
Filtr
Obiekt
Wynik
Typowe filtry
Rekonstrukcja m. projekcji wstecznej z filtracją
Konfiguracje tomografów medycznych i przemysłowych
Typowe błędy
Rekonstrukcja z małej liczby rzutów akumulacyjnych
8 16 32
Typowe błędy
Obecność szumów w rzutach akumulacyjnych
Niecentralność środka obrotu
Obecność tła w rzutach akumulacyjnych
2% szumów
Bicie: 2.5%
5% względnego tła
Rekonstrukcja algebraiczna i iteracyjna
Interferometria Tomograficzna
Podział optycznych elementów fazowych
Metody pomiarowe:
• mikrointerferometria,
• metoda bliskiego pola,
• optyczna tomografia dyfrakcyjna,
•tomografia mikrointerferencyjna.
Metody pomiarowe:
• elastooptyka zintegrowana,
• metoda światła rozproszonego,
• tomografia elastooptyczna.
Izotropowe (jeden współczynnik załamania w punkcie n(x,y,z))
• preformy i światłowody,
• mikrosoczewki,
• falowody.
Rozważane optyczne elementy fazowe*
* elementy o wymiarach mili- i mikrometrowych
Anizotropowe jednoosiowe (dwa współczynniki załamania w punkcie;
no(x,y,z) ne(x,y,z) )
• światłowody utrzymujące stan polaryzacji,
• kryształy optyczne jednoosiowe( w tym ciekłe),
• elementy poddane naprężeniom.
Zasada pomiaru rozkładu współczynnika załamania w tomografii mikrointerferencyjnej*
Akwizycja serii interferogramów obiektu
Obliczanie zintegrowanego
rozkładu fazy
P(w,z,α)
Rekonstrukcja rozkładu fazy (algorytm projekcji
wstecznej)
α =1°….180 °z
w
Skalowanie do wartości współczynnika
załamania
α
α
(x,y,z) = S(,,z) exp(j 2w) d d 0 -
gdzie: S(,,z) = P(,w,z)exp(-j 2w) dw, - częstość przestrzenna rozkładu P (,w,z0).
,2
),,(),,( lnd
zyxzyxn
λ-dlugość fali, nl - współczynnik załamania cieczy immersyjnej, d-wymiar obiektu odpowiadający pikselowi,
*Witold Gorski: Trójwymiarowa rekonstrukcja niejednorodności współczynnika załamania w optycznych elementach fazowych, Rozprawa doktorska, PW 2002
Interferometria tomograficzna - algorytm
Interferogram Mapa fazowa
Wiązka odniesienia
Wią
zka
prz
edm
ioto
wa
Automatyczna
Analiza
Interferogra - mów
Wyznaczanie zintegrowanych rozkładów fazowych:
• wysoka dokładność wyznaczania mapy fazowej w porównaniu z metodami dyfrakcyjnymi• odtworzenie rozkładów fazowych o nieznanej geometrii
Rekonstrukcja rozkładu współczynnika załamania
Rekonstrukcja rozkładu fazowego:
(x,y,z0) = S(,,z0) exp(j 2w) d d 0 -
gdzie: S(,,z0) = P(,w,z0)exp(-j 2w) dw, - częstość przestrzenna zintegrowanego rozkładu P (,w,z0).
Skalowanie do wartości współczynnika załamania:
(x,y,z0) n(x,y,z0) = ————— 2 d gdzie:
(x,y,z0) – zrekonstruowany rozkład fazowy – długość fali, d – geometryczny wymiar obiektu.
Trójwymiarowa rekonstrukcja
n(x,y,z0)
n(x,y,z0+2)
n(x,y, z0+k)
n(x,y,z0+1)x
y
z
n(x,y,z) = n0 + n(x,y,z)
Microinterferometric tomography-exemplary measurement sequence
Acquisition of series of phase projection:
Phase distribution in selected x-x line in function of angular position:
Completing of sinogram for selected cross-section :
Xx x
y
y
angular position
y
x
phas
e
Microinterferometric tomography-exemplary measurement sequence
Sinogram of single layer
Filtered backprojection algorithm
Reconstruction of single layer
Assembly of single layers
allows for 3D reconstruction
of refractive index in object
Algorytm tomografii fazowej
Pomiar obiektu milimetrowego
710n
n
Niejednorodność:
Tomografia mikrointerferencyjna- układ eksperymentalny
POZYCJONER
Tomografia mikrointerferencyjna- układ eksperymentalny
Experimental results
Interferogram
FUSED OPTICAL FIBER SPLICE (SINGLE MODE-MULTIMODE)
Distribution n(x,y,z) - rendering
Experimental results
Cross-sections sequence
n(x,y) - C2n(x,y) -C1
Theory
Experiment
Tomographic microinterferometry
Multimodal Gradient Profile Fiber Inspection
ideal profile
measured profile
Considerable deviation of refractive index in the middle area
Single mode fiber inspection
core
core
cladding
core
cladding
1 pixel=0,33µm [pixels]
[pix
els]
Fiber parameters:
-fiber diameter 120µm
-core diameter 8µm
-core refractive index 1,47
-cladding refractive index 1.46
Only central core area was reconstructed
propoperly
-refractive index determination error is
considerable in core area, source of this error is
difraction phenomenon on edge of core and cladding; step of refractive index is
equal 0,01
Metoda uśredniania fazy przy badaniu światłowodów jednomodowych
Dwuwymiarowy rozkład fazy w projekcji
x x
x
y
faza
faza
y-y
Przekrój przez fazę y-y
Profil fazy po uśrednieniu
wzdłuż współrzędnej yUśrednienie wartości fazy w projekcji powoduje znaczną redukcję szumów przy jednoczesnym zachowaniu rzeczywistego profilu fazy
Sinogram of reference layer
-no inhomogeneities
Edges localization
Ideal sequence
CALIBRATION ARRAY
Correction of all sinograms
w
n1
n2
n(0,w,z0)
edges
Numerical correction of radial run-out
Numerical correction of radial run-out
Sinogram: initial Edge localization matrix After correction
Exemplary results
•No lack of information.
•Reduction of radial movement influence to single micrometers.
Zastosowania metody TI do pomiaru rozkładu współczynnika załamania n w różnych typach
obiektów
Piksele (1 piksel=1 μm)
Współczynnik załamania
Piksele (1 piksel=0,12 μm) Piksele (1 piksel=0,12 μm)
Wsp
ółc
zyn
nik
za
łam
an
ia n
Wsp
ółc
zyn
nik
za
łam
an
ia n
Profil n przed napromieniowaniem
Profil n po napromieniowaniu dawka 3.5 MGy
• Struktury wykonane w technologii DLP
• Badanie wpływu promieniowania gamma na n w światłowodach jednomodowych
Seria projekcji fazowych
Wizualizacja kolejnych warstw Zrekonstruowana warstwa
Reconstrukcja struktury holey-fiber
Obraz światłowodu holey fiber uzyskany mikroskopem
elektronowym
Wynik pomiaru tomograficznego
[Uniwersytet w Bath]
Numeryczna symulacja rekonstrukcji tomograficznej
Cel symulacji:
Określenie ograniczeń teoretycznych tomografii mikrointerferencyjnej związanych z wymiarem
najmniejszych szczegółów obiektu.
Rozwiązanie problemu:
Symulacja propagacji światła przy użyciu metody finite difference time domain, a następnie wykorzystanie
uzyskanych rezultatów do tomograficznej rekonstrukcji obiektu i porównanie uzyskanego rozkładu współczynnika
załamania z rozkładem wejściowym
Metoda Finite Difference Time Domain
Zalety metody:
• Najbardziej ogólne podejście oparte na teorii elektromagnetyzmu
• Pełna analiza wektorowa pola
• Możliwość analizy propagacji w dowolnych ośrodkach ( także w ośrodkach anizotropowych )
Wady metody:
• wysoki koszt numeryczny symulacji
• duże wymagania sprzętowe
Metoda Finite Difference Time Domain
Równania Maxwella dla ośrodków izotropowych w postaci wektorowej
Można je zastąpić równaniami skalarnymi:
=
=
= = = = = =
Metoda Finite Difference Time Domain
Wprowadzając dyskretny układ współrzędnych:
Możemy dowolną funkcję czasu i przestrzeni zapisać jako:
,
gdzie:Δt-jednostkowy przyrost czasu,δ=Δx=Δy=Δz-przestrzenne stałe siatki symulacji.
Przestrzenne i czasowe pochodne funkcji F można zapisać następująco:
Metoda Finite Difference Time Domain
Równania pochodnych są podstawiane do skalarnych równań Maxwella:
Podstawowy element symulacji;komórka Yee
Pakiet oprogramowania OptiFDTD
Zintegrowany pakiet oprogramowania OptiFdtd skada się z trzech elementów:
1)OptiFdtd Designer
•Umożliwia projektowanie układów fotonicznych 2- i 3-wymiarowych, przy użyciu interfejsu graficznego
•Możliwość zastosowania języka skryptowego podczas projektowania bardziej złożonych struktur
2)OptiFdtd Simulator
•Możliwość symulacji materiałów stratnych jak i idealnych przewodników, izo- i anizotropowych
•Symulacja dla polaryzacji liniowej oraz kołowej
•Możliwość śledzenia zmian rozkładu pola w czasie(dla określonego punktu lub linii)
3)OptiFdtd Analyser
•Pełna wizualizacja otrzymanych rezultatów (zespolony rozkład pola E-M, wektor Poyntinga)
•Możliwość eksportu rezultatów do plików tekstowych
Projekt struktury optycznej
Propagacja fali płaskiej przez obiekt
Rezultatem symulacji jest rozkład pola elektrycznego
w postaci zespolonej
Schemat symulacji metodą FDTD
Obliczenie fazy mod2π faza=arctan(Im/Re)
Schemat procesu rekonstrukcji
Uciąglanie fazy-
Odbywa się w kierunku propagacji światła.
Rekonstrukcja tomograficzna przy użyciu transformaty
Radona
Skalowanie do współczynnika
załamania
n(x,y)=(Φ(x,y)*λ)/
(2π*dx))
Rezultaty-światłowód jednomodowy
core
cladding
Refractive index
[pixels]
[pixels]
1 pixel=0.03µm
1 pixel=0.3µm
symulacja
pomiar rzeczywisty
Rezultaty – rekonstrukcja włókien z małymi średnicami rdzeni
Średnica płaszcza=16µm
Średnica rdzenia-zmienna
Współczynnik załamania płaszcza=1.46
Współczynnik załamania rdzenia=1.47
Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47
Rezultat rekonstrukcji
Profil idealny
Średnica rdzenia=7µm
Średnica rdzenia =4µmŚrednica rdzenia =5µmŚrednica rdzenia =6µm
Rezultaty – rekonstrukcja włókien z małymi średnicami rdzeni
Średnica rdzenia =3µm Średnica rdzenia =2µm
Średnica rdzenia =1µm
Średnica płaszcza=16µm
Średnica rdzenia-zmienna
Współczynnik załamania płaszcza=1.46
Współczynnik załamania rdzenia=1.47
Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47
Rezultaty – rekonstrukcja kanałów w szkle, wypełnionych cieczą imersyjną
0,9µm
0,6µm 0,5µm
0,8µm
Średnica kanału-zmienna d=0,1÷0,9µm
Współczynnik załamania szkła n=1,46
Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47
0,7µm
0,1µm
0,3µm
0,2µm
0,4µm
Rezultaty – rekonstrukcja kanałów w szkle, wypełnionych cieczą imersyjną
Średnica kanału-zmienna d=0,1÷0,9µm
Współczynnik załamania szkła n=1,46
Współczynnik załamania cieczy imersyjnej=1.47
Rezultaty rekonstrukcji uproszczonej struktury typu holey fiber
Parametry struktury:•Szkło niedomieszkowane n=1,46
•średnica D=10µm
•Średnica kanałów d=0,5µm
•Kanały są rozmieszczone równomiernie w odległości 5µm od środka struktury
Struktura wejściowa: Rezultat rekonstrukcji:
Zrekonstruowany profil
Tomografia elastooptyczna
Zasada pomiaru rozkładu współczynników załamania w tomografii elastooptycznej
Obliczenie zintegrowanego rozkładu opóźnienia fazowego
Δ(w,z,α)
Algorytm projekcji wstecznej-rekonstrukcja rozkładu opóźnienia fazowego
Skalowanie do wartości różnic współczynników załamania
zwyczajnego i nadzwyczajnego
Akwizycja serii zestawów obrazów elastooptycznych (izokliny i izochromy)
dxnn oe
2
α =1°….180 °
α
z
w
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
100
200
300
400
500
600
Circular polariscope and its mathematical representation
Characteristic object
parameters:
Δ - phase retardation
Φ – asimuth
,cossin
sincos
2cos12sin
2sin2cos1
)(2cossincos)(2sinsin
)(2sinsin)(2cossincos
1
1
1
0
2
1
tikeii
ii
ii
ii
i
i
V
U
where: U - component of light vector perpendicular to polariser axis V - component of light vector parallel to polariser axis
Mathematical representation of system, according to Jones calculus:
Integrated retardation calculation by phase shift method
Ψ β Output intensity equations
0 π/4
0 3π/4
0 0
π/4 π/4
π/2 π/2
3π/4 3π/4
21
6435 2cos)(2sin)(arctan
2
1
ii
iiii
64
35arctan2
1
ii
ii
•Azimuth
• Phase retardation
2sin(2cos)2sin2cos)(2sin vvm iiii
cos1 ba iii
cos2 ba iii
sinsin3 ba iii
sincos4 ba iii
sinsin5 ba iii
sincos6 ba iii
General output intensity equation:
Simulation of measurement process
Polarized wave propagation (with FDTD algorithm) for various arrangements of polarizing elements
-20 0 200
0.5
1
um
I(6)
-20 0 200
0.5
1
um
I(5)
-20 0 200
0.5
1
um
I(4)
-20 0 200
0.5
1
um
I(2)
-20 0 20
um0
0.5
1 I(1)
-20 0 200
0.5
1
um
I(3)
Intensity distributions for six discrete phase steps
Distribution of birefringence in object:
-2 0 2-0.5
00.5
11.5
2
um
Δ – phase retardation
Scaling of retardation Δto birefringence Δn
Tomographic reconstruction
-20 0 20 μm
0
5
10
Δn
10-3
-2 0 2
-0.2
0
0.2θ – azimuth
um
Distribution from FDTD simulationTheoretical distribution
-2 0 2
0
1
2
um
Simulation FDTDTheoretical projection
Symulacja; obliczanie rozkładu opóźnienia - 2
Characteristic parameters computation
Δn
• Results of simulation – comparison of assumed profiles and profiles achieved by computer simulations
Δ=0.01
Δ=0.07
Δ=0.04 Δ=0.05 Δ=0.06
Δ=0.03Δ=0.02
Theoretical profiles
Profiles derrived from simulations
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
5
10
15
20
25
Rerr=100%((Bsim-Btheor)/)Btheor), where Bsim is mean value of birefringence of reconstructed structure in area D,
Btheor is mean value of theoretical birefringence in area D, assumed in simulation.
Rerr
• Dependence of relative error of birefringence reconstruction on birefringence
B
• method gives relatively accurate results up to birefringence value of 0.03, above this value we observe abrupt increasing of error from 1.5% to 18% • due to cylindrical shape of structure and considerable refractive index difference between extraordinary index in domain D and outer area (Δn=0.04) sample works as cylindrical lens and for high B values disturbs measurement.
Experimental setup
LED- Led sourceP - polaryserλ/4 - quarter-wave plate, O - measured object, OB - microscopic objective,A - analyzer, L - imaging lens
Experimental setup
Measured objects
no
ne
• Analysed objects are fibers with channels filled with liquid crystal
• Due to viscosity forces liquid crystals are oriented paralelly to axis of capillary
Capillary 127μm
Experimental results-intensities for consequent phase steps
cos1 ba iii cos2 ba iii
sinsin3 ba iii sincos4 ba iii
sinsin5 ba iii sincos6 ba iii
Ψ=0 β=π/4 Ψ=0 β=3π/4
Ψ=0 β=0 Ψ=π/4 β=π/4
Ψ=π/2 β=π/2 Ψ=3π/4 β=3π/4
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Experimental results
Modulo π phase retardation Modulo π phase retardation for A-A section
AA
Unwrapped phase for A-A section
Sinogram of object
100 200 300 400 500 600 700 800
100
200
300
400
500
600
700
8000 100 200 300 400 500 600 700 800
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
A-A
[pixels] 1pixel=0.25um
bire
frin
genc
e
[pixels] 1pixel=0.25um
Experimental results-birefringence profile
A A