tomographie medicale · tomographie medicale introduction modelisation radon rpf art regularisation...
TRANSCRIPT
ECOLE CENTRALE DE MARSEILLE
TOMOGRAPHIE MEDICALE
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Denis Mariano-Goulart
Faculté de médecine & CHRU de Montpellier
http:\\scinti.etud.univ-montp1.fr
FONCTIONNELLE
Imagerie médicale
ANATOMIQUE
METABOLIQUE
IMAGERIE TRACEURS RADIOACTIFS SCINTIGRAPHIE DIAGNOSTIC THERAPIE RIA DOSIMETRIE
ECHO
TDM
IRM SPECT = TEMP gamma
CT
PET
IRMf
SPECT
I0XX
Scanner X = Computed Tomography
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
dx
I
I-dI
EX
n/cminteractiod' éprobabilit dxIdI
-µ =
I0XX
Scanner X = Computed Tomography
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
-
-hfX =E
Z
ρdx
I-dI
ρ, Z
EX
-
-XE
Z
ρ
XX EE' <
3X
3
PE E
Z.µ ρ∝
ρ∝Cµ
Atténuationphoto-électrique
AtténuationCompton
keV 50E sisurtout X >
gcm / )ρ
µlog( 2
keV 50E keV 10 sisurtout X <<
C
PE
1-cm dxIdI
-µ =
I
I0=100
XX
I = 60
Scanner X = Computed Tomography
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
ρ∝=dxIdI
-µ
xeIIdxI
dI .0. µµ −=⇒−=
dx
I
I-dI
ρ, Z
EX
I0=100
XX
I = 60
Scanner X = Computed Tomography
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
xeIIdxI
dI .0. µµ −=⇒−=
∑ ==⇒∑= −
I
I
dpeII i
di 0
0 ln1
µµ
mesure?
d
n21 µ ... µ µ p +++=
ρ∝=dxIdI
-µ
p
I0=100
XX
I = 60
Scanner X = Computed Tomography
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
90 90
xeIIdxI
dI .0. µµ −=⇒−=
∑ ==⇒∑= −
I
I
dpeII i
di 0
0 ln1
µµ
mesures?
d
n21 µ ... µ µ p +++='n
'2
'1 µ ... µ µ p' +++=
…
ρ∝=dxIdI
-µ
I0=100
XX
Scanner X = Computed Tomography
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
d
°==∑ 360-0i ,µ r p jj
ji,i
i projection la à j pixeldu on contributir ji, =
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
pγγγγγγγγai
2D
Single Photon Emission CT
γγγγγγγγ
9943 Tc
vecteur
marqueur
°==∑ 360-0i ,a r p jj
ji,i
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
ai
3D
Tomographie par Emission de Positons
p
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O j
jji,i a r p ∑=
I0
XX
p
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
p
p
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
µi
ai
ai
2D 2D 3D
Tomographie: problème inverse linéaire
jj
ji,i a r p ∑=CT SPECT PET
φ
s
p(s,φ,z,θ) : plansp(s,φ) : lignes
Codage en tomographie 2D et 3D
p
p
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
x1
x2
Modélisation analytique
( ) ( ) φωωφ
d x., p x p) (Rπ
0∫=
⊥∗ = rrrr
s1
⊥ωrxr
s3
s2
( ) ( )
Rf
p
=
+== ∫⊥
p
dt )tf(s sps,t
ωωω ωrr
r
x1
x2
s
t
f
cos
sin - ω
φφ r
=
φ
x.2
rr⊥= ωs
Natterer F. The mathematics of computerized tomography. New York: Wiley; 1986.
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
transformée de Radon
rétroprojection = épandage
xr
Modélisation algébrique
f1
f4f3
f2 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
p2 = r2,3 f3 + r2,4 f4
p3 = r3,1 f1 + r3,3 f3
p4 = r4,2 f2 + r4,4 f4
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4,4 4,3 4,2 4,1
3,43,3 3,2 3,1
2,4 2,3 2,2 2,1
1,4 1,3 1,2 1,1
pppp
ffff
.
rrrrrrrrrrrrrrrr
p fR.rr
=ri,j = % du pixel j intersecté par la projection i
b1 = r1.1 p1 + r3,1 p3 p1
p2
p4
b2 = r1.2 p1 + r4,2 p4
b3 = r2.3 p2 + r3,3 p3 b4 = r2,4 p2 + r4,4 p4
p3
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4,4 3,4 2,4 1,4
4,33,3 2,3 1,3
4,2 3,2 2,2 1,2
4,1 3,1 2,1 1,1
bbbb
pppp
.
rrrrrrrrrrrrrrrr
b pR.trr
=
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Projection / Rétroprojection
p fR.rr
= b pR.trr
=
f
p
b
p
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Théorème de la projection
s
t
f
( ) dt )tf(s spt∫ +=
⊥ωωωr
r
( ) ( )∫−=
s
i.s. ds.esp σp σωω rr
( ) ds dt e )tf(s σps
i.s.σ
t∫ ∫
−⊥+= ωωω
rr
( ) ∫∫⊥−= xde )xf( σp .x i.σ rr rr
rω
ω
( ) ( ) ( )⊥== ωφφωr
r σ.f σ.sin , σ.cosf σp
cos
sin - ω
φφ r
=
φ
xr
Johann Radon, ¨ Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verh. Sach. Akad. 69 (1917), 262–77.
x2
x1
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
J. Radon
i
j
s
t
f
⊥ωr
( ) ( )⊥= ωωr
r σ.f σp
ξ1
ξ2
σ
t
⊥ωr
( )spωrs ( )σωrp
σ
T F
T F
R ||
f
Interprétation (I)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Interprétation (II)
?
( )spωr ( )σωrp
T F
T F
||R
f
( ) ( )⊥= ωωr
r σ.f σp
f
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
⊥ωrσ.
Interprétation (II)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
( ) ( )⊥= ωωr
r σ.f σp
( )spωr ( )σωrp
T F
T F
||R
f f
⊥ωrσ.
Rétroprojection filtrée (I)
( ) ( )∫∫= ξde ξ f xf ξ.x irr)r rr
( ) ( )∫ ∫=
+∞=
−∞=
⊥ ⊥
=π
0
σ
σ
. σ i d dσ σ e σ f xfφ
ω φω xrrrr
( ) ( )∫ ∫=
+∞=
−∞=
⊥
=π
0
σ
σ
. σ i d dσ e σ p xfφ
ωω φσ x
rr
rr
[ ]( )xrr
r . abs . pTF 1s
⊥− ωω
||
( ) ( )x )p (R xf f rr ∗=fωrp
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
J. Radon
ξ1
ξ2σ
φ
1ξ
2ξφd
φσσd
φσ d.
Rétroprojection filtrée (II)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
ωrp
ωrp abs
x
[ ] f1s p abs . pTF ωω rr =− s1
s2
s3
Projections sur 180°
x.2
rr⊥= ωs
( ) ( )x )p (R xf f rr ∗=
2r) (kπ1 - ∆ k impair
0 k ≠ 0 pair
2r)4(1∆ k = 0
RL(k.∆r) =
2ef
r 2.∆1 mf ==
mf
( ) ( ) ( )22
m mm
x2π xf 2πcos1
πxxf 2πsin f xRL −−=
Rétroprojection filtrée (III)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
=∆ 02,5
1-1
2,5
1-0 : filtre leobtient on ,
2
1rpour Exemple
[ ]RL pp
abs . pTFpf
1s
f
∗=
= −
ωω
ωω
rr
rr
0 0
0 0
0
0
0
00
45
15
4590
15
60 5 5
5 5
20
5
5
2020
15 156010 10
10 10
25
25
25
2540
−=3
11
3
1- Filtre
Rétroprojection filtrée (IV)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
45
45
90
Rétroprojection filtrée (V)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
p R∗ [ ]abs . pTF R 1s−∗
Algebraic Reconstruction Technique (I)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
∆1 : p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
∆2 : p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
f1 f2
r1,2r1,1 r2,1
r2,2
f1
f2 ∆1
∆2
1,2
1,11 r
rωr
1nf +r
n2
n1n
f
f f
rdr
Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.
S. Kaczmarz1895-1940
On construit une suite de coupes en projetant chaque itéré sur l’un puis l’autre hyperplan.
nfr
Algebraic Reconstruction Technique (II)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
∆1 : p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
∆2 : p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
f1 f2
r1,2r1,1 r2,1
r2,2
1
1n1n
ω
ω d f f r
rrr+=+
12
1
n11n1n ω
ω
pp f fr
r
rr −+=+
)pp( f f n11*n1n −+=+ R
rr
f1
f2 ∆1
∆2
1,2
1,11 r
rωr
1nf +r
n2
n1n
ff f
rdr
1
1n
1
ω
ω . f p d r
rr−
=
n1p
Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.
S. Kaczmarz1895-1940
0 0
0 0
0
0
0
00
45
45 - 0
4590
45 - 0 = 15 + 15 + 15
90 - 0 = 30 + 30 + 30 15 15
15 15
30
15
15
3030
45 4590
-15 -1530
60 6060-
10 10
10 10
25
25
25
2540
)pp( f f n11*n1n −+=+ R
rr
Algebraic Reconstruction Technique (III)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr
ΡΡ=ΡΡΡ=ΡBayes :
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Adéquation aux données
!p
p~ elog
i
pi
p~
i
ii−
∏
∑∑∑ =
==
=+ P
lN
s
nssl
lilP
lil fr
pr
r 1
1,
,
1','
1.n
if1n
if
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Dempster A et al. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J R Stat Soc 1977;39:1-38. Hudson H et al. .Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data. IEEE Trans Med Imaging 1994;13:601-9.
MLEM et OSEM
∗ p
p R
nl
l
f1
f2
∆1 ∆2
∆’2
OSEM
p .R r d *00 rrr==
j*j
2j
j
d.R.Rd
rω rr
r
=
jjj1j d.ωffrrr
+=+
j*jj1j d.R..Rωrrrrr
−=+
j2j
21j
1j1j d.r
rrd
r
r
rrr +
++ +=
2
Cf
p - fR min arg frr
∈=
Initialisation :
Gradient Conjugué
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Gilbert P Iterative methods for the three-dimensional reconstruction of an object from projections. J. Theor. Biol. 1972; 36:105-17
Exemples
MLEM Gradient Conjugué
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
6 200 6 16
G. Hounsfield 1919-2004
J. Radon1887-1956
S. Kaczmarz1895-1940
( ) ( )θσ.f σpθ
rr =
$
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART
Approche intuitive (I)
f1 f2
: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
f1
f2
∆1
∆1
∆2
∆2
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
64² = 4 096128² = 16 384256² = 65 536512² = 262 144
f1
f2
∆1
∆2
f1 f2
: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2
: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2
∆1
∆2
Approche intuitive (II)
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Exemple
=
=
31
33
23
32
1
1
1
1
10 9 5 7
9 10 6 8
5 6 5 7
7 8 7 10
1
1
1
1
R.
=
−
30,933,122,932,1
1,15,4
12,6-9,2
10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10
=
−
31,132,923,131,9
1,35,2
14,67,2-
10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10
( ) 302901.0
29,30 R 30,29 3,86; 0,84; 0,01; Sp(R) ≈≈⇒≈ κ
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Matrice de Wilson1Det =
( )
RR de propres valeurs où
R.R R κ
t
min
max1
=
== −
µ
µµ
La matrice de Wilson est très mal conditionnée (κ>>1)
En continu : , R bijectif d’inverse continue (conditions d’Hadamard).
En discret, les choses sont moins simples :
R surjectif ?
R injectif ? : choix parmi les solutions possibles
R-1 continue mais ||R-1|| grande :
2
Cf
tt fRpmin arg fqpR.fA fR.Rrrrrrr
−=⇐===∈
( ) 1 R R Rκmin
max1- >>==µµ
( )( )
+
−≤
RδR
ppδ
RδR
R κ 1
Rκ f
fδr
r
r
r
Problème d’Hadamard bien posé ?
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
( ) ( )⊥= ωωr
r σ.f σp
Gradient conjugué ,
Approximation de Galerkin
dont le spectre CV vers celui de R: estimation de κ(R) qui borne l’erreur sur la solution et le spectre
Estimation de κ(R)
+−
−
+−
−
−
−
−
−
−
−
1j
1j
j1j
1j
1j
1j
0
0
10
0
0
0
0
ω
β
ω
1
ω
β00
ω
β0
0ω
β
ω
1
ω
β
00ω
β
ω
1
OO
O
j*j
2j
j
d.R.Rd
rω rr
r
= 2j
21j
j
r
r β r
r +
=
www.inma.ucl.ac.be/~vdooren/Krylov.pdfAnalyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. P. Lascaux & R. Théodor (II), p. 516, 1987. MASSON
D. Mariano-Goulart, P. Maréchal, S. Gratton, et al. Comput. Med. Imaging & Graphics 2007; 31 : 502-509
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Exemple : régularisation de Tikhonov (cf. pseudo-inverse de Moore-Penrose)
2
CffRpmin arg frr
−=∈
+−=
∈)fα.ρ(fRp min arg f
2
Cf
rrr
Remplacer : par
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Adéquation aux donnéesSurjectivité du problème inverse
Régularisationinjectivité
Régularisation de Tikhonov
( ) pRf αIRRfα.fRp min arg f tt22
f
=+⇔
+−=
rrrr
r
( ) pRαIRR f t-1t +=r
)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr
ΡΡ=ΡΡΡ=ΡBayes :
[ ])f( log )f/p(logminargf~
f
rrrrr Ρ−Ρ−=
Adéquation aux données régularisation
Régularisation MAP-EM-OSL
!p
p~ elog
i
pi
p~
i
ii−
∏( )∑
=−
ji,jiji, f -f.Vwβ.
K1 e)fΡ(
rGibbs :
∑∑∑ ∂β+
=+=
==
P
1lN
1s
nss,l
li,lP
1'li,'l fr
pr.
U .r
1.n
if1nif
∑ −∂∂=∂
∈ )f(Vfki.k,i
ik
)ff(r
VwU
Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Régularisation de Fourier FRECT
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
fc
( ) f.B1 fB. f −+=
pB.TF p' pB. fB. ' f ' p -1s=⇒===
à régulariser
Adéquation à p’ = R.f ’
( ) ( ) ( )( )
2
221s
0
p*b
- f
UB-1
R
f.B1 Rf pB.TF fE
=−+−= −
r
r
D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04
GC 16GC 6MLEM 6 MLEM 200
FRECT 34 (CV)
Comparaison MLEM-GC-FRECT
( ) ( ) ( ) 221s f.B1 Rf pB.TF fE −+−= −
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Recherche de f(x,y,z) connaissant p(s,φ,z,θ)
• Certaines projections obliques ne sont pas enregistrées si θ ≠ 0
Exemple de la TEP
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• statistique de comptage, S/B
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• γ détectés N, S/B=N/√N= √N
• Réarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » • S/B mais approximation
Tomographie en coïncidence 3D
ai
γγγγγγγγ
γγγγγγγγ
189 F
188 O
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes
• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• γ détectés N, S/B=N/√N= √N
• Réarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » • S/B mais approximation
• Reconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3D• Algorithmes algébriques 3D• RPF 3D si projections complètes• S/B mais temps de calcul
Un théorème de Radon 3D…
⊥ωr
ωr
( ) ( )ξ=ξ⊥∈ξ∀rrrr
r f p ,ω ω
( ) ( )ds syf yp ,ω y S, ω ∫ ω+=ω⊥∈∀∈∀ rrr
rrrr
TF2
TF3
f
f
( ) ( ) yd ds e syf p .y i2 rrrr rr
r
r ξπ−
ωω ∫∫ ∫
⊥
ω+=ξ
( ) ( ) ( )ξ==ξ ∫∫∫ ξπ−ω
rrrr rrr f xd exf p .x i2
yr
ξr
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Condition nécessaire à l’affectation de toutes les fréquences spatiales de ℝ3:
Ω contient au moins un cercle équatorial de Si.eΩ intersecte tout cercle équatorial de S
ωr
⊥ωr
z
Ω
SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr.,1976. Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433
1- Condition d’Orlov :
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
…
… plutôt difficile à appliquer !
2 - Projections non tronquées
ωr
3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences
1- Condition d’Orlov
( ) )cos,cossinsin ,sinsincos(ˆ ,ˆ 1212121 φξθξφθξθξφθξξξ −+−= fp
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
x1
x3
x2
θφ
Solutions possibles1– Condition d’Orlov
- Détecteur TEP cylindrique
2 – Projections tronquées- Estimées par reconstruction 2D puis projection ou rebining
3 –Interpolation 3D en fréquence - Optimisation de l’interpolation (fonctions de Kaiser-Bessel)- Utilisation d’une rétro-projection filtrée (filtre de Colsher)
Fourier-based reconstruction for fully 3-DPET. Matej S, Kazantsev IG. IEEE Trans Med Imaging 2006;25:845-54. Evaluation of a new gridding method for fully 3D direct Fourier PET reconstruction based on a two-plane geometry
F Ben Bouallègue, J F Crouzet, D Mariano-Goulart. Comput Med Imaging Graph. 2008;32:580-589.Colsher JG. Fully three-dimensional PET. Phys Med Biol 25(1), 103-115, 1980
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
En « routine » : Utilisation d’algorithmes algébriques (OSEM 3D)Reconstruction 2D après rebining des projections 3D
ai
Reconstruction 2D
Calcul des projections 3D manquantes
Reconstruction 3D
Reprojection après RPF 2D
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Ré-arrangement (rebining) exact
,2
,, 33
=+= θδφ tg
xxzsp
BA
TF(s,φ) puis TF(z)si invariance en Tz
( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−
ωδζ=α
Defrise M, Kinahan PE, Townsend DW, Michel C, Sibomana M, Newport DF. Exact and approximate rebinning algorithms for3-D PET data. IEEE Trans Med Imaging 1997;16:145-58.
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Ré-arrangement approximatif
ωδζ=α
Ben Bouallègue F, Crouzet JF, Comtat C, Fourcade M, Mohammadi B, Mariano-Goulart D. Exact & approximate Fourier rebinning algorithms for the solution of the data truncation problem in 3-DPET. IEEE Trans Med Imaging 2007;26:1001-9.
DL à l’ordre 1 sur
( ) ( )0 , ,k , p e , ,k , p ik ζω≈δζω α−
( ) ( )0 ,k-z ,k , p ,z ,k , p ωδω≈δω
( ) ( )δωδ+ω≈ω ,kz ,k , p 0 ,z ,k , p
( ) ( )
δω
δ−δ−ω≈δω ' ,'kz ,k , p ,z ,k , p
SYNTHESE DE DONNEES 2D à S/B ↑ :
SYNTHESE DE DONNEES MANQUANTES :
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−
Conclusions
Résolutions de grands systèmes linéaires Problématique fréquente en ingénierie numérique
Pour tout problème complexe : attention au conditionnement
Intérêt d’une base fonctionnelle adaptée Transformation de Fourier, analyse factorielle…
La recherche en imagerie : Très active, exemples sur notre propos :
Artefacts, quantification, dosimétrie…
Améliorations fréquentes disponibles en routine.
Nécessité de collaborations pluridisciplinaires Compétences techniques pointues + ouverture
Pour choisir les directions de recherche, puis valider
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Merci de votre attention…
Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur.P. Lascaux et R. Théodor. 2 tomes.MASSON.
The Mathematics of Computerized Tomography.F. Natterer. 2001. SIAM.
Positron Emission Tomography. Basic Sciences and Clinical Practice.PE Valk, DL Bailey, DW Towsend, MN Maisey. 2003. Springer.
Reconstruction tomographique en imagerie médicale. D. Mariano-GoulartEncyclopédie Médico-chirurgicale, 35-105-A-10, 2009.
INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D
Médecine et sciences de l’ingénieur.
Aspects complémentaires et Passerelles
Plusieurs carrières
Dans l’industrie : Nombreuses PME (sous-traitantes) : hard et soft
SIEMENS, GE-MS, PHILLIPS : Carrières de commerciaux
Principalement aux USA pour la R&D
Dans les Hôpitaux : Ingénieurs biomédicaux
Physiciens d’hôpitaux
Hospitalo-Universitaires
Ingénieur Biomédical
Rôles Elaboration des plans d’équipement
Besoins, chiffrage, contraintes…
Lancement des appel d’offres
suivi des achats (installation, maintenance…)
Veille technologique
Formation spécifique Ecoles d’ingénieurs généralistes
± formation complémentaire spécialisée
Physicien d’hôpital
Rôle « Qualité et sécurité dans l’utilisation des rayonnements ionisants »
Tests d’acceptation et de conformité
Assurance et contrôle de qualité
Optimisation de la dosimétrie au patient en radiologie et en médecine nucléaire
Simulation de balistique en radiothérapie
Physicien d’hôpital
Formation spécifique (Arrêtés du 3/3/97 & 18/3/09)
Diplôme de Qualification en Physique Radiologique et Médicale (DQPRM) : 1 an → N° agrément
Concours d’admission (≈ 100 places) après : M2, DI, thèse + formation aux RI
validation d’un M2 parmi « Radiophysique et imageries médicales »,Toulouse.
« IPSM », UJF Grenoble. « Ingénierie pour la santé », UCL Lyon I.
« Physique médicale », Paris Sud.
« Physique électronique » Nantes.
Programme : Physique des RI, dosimétrie, imagerie
Hospitalo-Universitaire: MCU & PU-PH
Rôles : Soin en Centre Hospitalier Universitaire (ou CRLCC)
Gestion médicale de départements hospitaliers
Recherche
Enseignement universitaire
Formation spécifique :Doctorat en médecine (sauf exception)
Doctorat d’Université (sciences) ± HDR
Etudes de médecine
PACES L2 L3 M1 M2 M3
I 1 I 2 I 3 I 4 I 5
ECN
Thèse d’exercice + DES
CA 1 CA 2
CA 3 CA 3
Thèse de sciences
HDR PHU
4 ansPH
MCU-PH PU-PH
6 ans
4-5 ans interne salarié
2-4 ansassistantsalarié
6 ans+ 6-13 ans salarié
= 12-19 ans
M
Thèse de sciences
Etudes de médecine pour ingénieur
PACES L2 L3 M1 M2 M3
I 1 I 2 I 3 I 4 I 5
ECN
Thèse d’exercice + DES
CA 1 CA 2
HDR
MCU-PH
4-5 ans interne salarié
± 2 ansassistant
2 % du numerus clausus :
dossier, entretien
• Doctorat d’Université• Doctorat d’État en santé• Diplôme d’Ingénieur,
4 ans
PU-PH
4 ans+ 4-7 ans salarié
= 8-11 ans(gain de 1 à 11 ans)
Ingénieur - HU : pourquoi ?Biophysique et médecine nucléaire
Radiologie
Epidémiologie – Statistiques
Informatique médicale
Mais aussi : Cardiologie (ECG, écho, prothèses, PMK)
Neurologie (EEG, activations)
Néphrologie (dialyse)
Orthopédie (biométériaux)
…