toÁn cao cẤp b2 -...
TRANSCRIPT
BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM
GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên
ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY
GIÁO TRÌNH
TOÁN CAO CẤP B2 PHẦN ĐẠI SỐ
KHỐI KINH TẾ
(LƯU HÀNH NỘI BỘ )
TP HỒ CHÍ MINH 2013
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
2
Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
3
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập và giảng dạy môn Toán
trong trường, Bộ môn Toán Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM đã tổ chức biên soạn và ấn hành cuốn TOÁN CAO CẤP B2 dành cho sinh viên khối ngành kinh tế. Cuốn sách do các giảng viên thuộc bộ môn Toán biên soạn, trên cơ sở đề cương môn học theo tín chỉ đã được Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt. Nội dung cuốn sách phần là Đại số tuyến tính và các bài toán ứng dụng trong kinh tế.Cuốn sách giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện. Đây là tài liệu được sử dụng chính thức trong trường giúp sinh viên học tập và thi kết thúc học phần có hiệu quả tốt theo chương trình đào tạo tín chỉ. Trong quá trình giảng dạy, giáo trình sẽ được cập nhật, chỉnh lý để ngày càng hoàn thiện và đầy đủ hơn. Do khả năng có hạn, thời gian ngắn và cũng là lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín chỉ nên giáo trình không tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên bộ môn Toán rất mong nhận được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc trong và ngoài trường. Các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc xin gửi về chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng bộ môn TOÁN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM. Địa chỉ [email protected] Xin chân thành cảm ơn. BỘ MÔN TOÁN
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
4
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
5
MỤC LỤC
PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 7
1. 1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN 7 I. Định nghĩa ma trận II. Phân loại ma trận III. Các phép toán về ma trận IV. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
1. 2 ĐỊNH THỨC 14 I. Định nghĩa định thức của ma trận vuông II. Tính chất của định thức III. Khai triển định thức theo một hàng hoặc cột IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp 21
1. 3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa II. Các định lý III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
1. 4 HẠNG CỦA MA TRẬN 26 I. Định nghĩa II. Phương pháp tìm hạng của ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG I 29 CHƯƠNG II
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33
2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 33 I. Các khái niệm về hệ phương trình tuyến tính II. Định lí tồn tại nghiệm Kronecker-Capelli
2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
37
I. Phương pháp Cramer II. Phuơng pháp Gauss-Jordan III. Hệ thuần nhất
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
6
2.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN 45 BÀI TẬP CHƯƠNG II 49 CHƯƠNG III
CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ 52
3.1 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA ĐẠO HÀM 52 I. Biên tế II. Hệ số co giãn
3.2 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ
63
I. Bài toán tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa
II. Bài toán xác định mức thuế doanh thu III. Bài toán định mức thuế nhập khẩu IV. Bài toán định mức thuế xuất khẩu
3.3 BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN TRONG KINH TẾ
73
I. Bài toán tìm mức sản lượngtrong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo
II. Bài toán tìm mức sản lượng trong điều kiện sản xuất độc quyền
III. Bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất 3.4 TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG 80
I Mô hình điểm cân bằng thị trường II. Tìm điểm cân bằng thị trường 3.5 MÔ HÌNH INPUT-OUPUT 85
I. Mô hình input – ouput mở II. Mô hình input – ouput đóng
BÀI TẬP CHƯƠNG III 90 ĐỀ THI THAM KHẢO 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
7
CHƯƠNG I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
1.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I. Định nghĩa về ma trận Ma trận cấp m×n là một bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột. Ký hiệu: A, B, C,...
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …… …
… … … … … …… …
… … … … … …… …
11 11 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
Aa a a a
a a a a
aij là phần tử nằm ở dòng i, cột j của ma trận A Có thể viết gọn ma trận ở dạng A = (aij)mxn hoặc A=[aij]mxn Tập tất cả các ma trận cấp m n× , có các phần tử là số thực thì ký hiệu là: ( ) ( ) { |mxn ij ijmxn
a a ∈ M A= = }
II. Phân loại ma trận 1. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng không, kí hiệu θ . 2. Ma trận hàng là ma trận có dạng 1 hàng và n cột (còn gọi là véctơ hàng).
( ) ( )11 12 1 1n ij nA a a a a
×= =…
3. Ma trận cột là ma trận có dạng m hàng và 1 cột (còn gọi là véctơ cột)
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
8
( )×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11
21
1
1
ij m
m
aa
A a
a
4. Ma trận vuông cấp n là ma trận cấp n có số dòng bằng số cột.
( )×
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …… …
… … … … … …… …
… … … … … …… …
11 11 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
ij n ni i ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
A aa a a a
a a a a
Các phần tử a11, a22, a33, ….aii,…... ann được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính. Các phần tử an1, an-1 2, an-2 3, ….aii,….. a1n. được gọi là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. 5. Ma trận đường chéo (ma trận chéo) là ma trận vuông cấp n, trong đó aij = 0; ∀ ≠i j
0
, tức là các phần tử không nằm trên đường chéo chính đều bằng không.
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …… …
… … … … … …… …
… … … … … …… …
11
22
0 0 00 0
0 0 0
0 0 0
ii
nn
aa
Aa
a
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
9
6. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Kí hiệu: I; E
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …… …
… … … … … …… …
… … … … … …… …
1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I
7. Ma trận tam giác trên, tam giác dưới
a) Ma trận tam giác trên là ma trận vuông, trong đó = 0ija
∀ > =____
; , 1,i j i j n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …… …
… … … … … …… …
… … … … … …… …
11 11 1 1
22 2 20
0 0
0 0 0
j n
j n
ii in
nn
a a a a
a a a
Aa a
a
b) Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông, trong đó = 0ija
∀ < =____
; , 1,i j i j n
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …… …
… … … … … …… …
… … … … … …… …
11
21 22
1 2
1 2
0 00 0
0i i ii
n n nj nn
aa a
Aa a a
a a a a
0
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
10
8. Ma trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cỡ và các phần tử cùng vị trí phải bằng nhau. Tức là: cho ( )ij m n
A a×
= và ( )ij m nB b
×= thì A B= nếu và chỉ
nếu ija b= ij ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= . 9. Ma trận chuyển vị (transposition = sự chuyển vị, sự đảo ngược Cho ma trận ( )ij m n
A a×
= , ta đổi hàng thành cột và cột
thành hàng thì được ma trận mới gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A. Ký hiệu: AT, Ac, A' ; ( )T
ji n mA a
×=
VÍ DỤ 1 Cho thì 1 2 34 5 6
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 42 53 6
TA⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
VÍ DỤ 2 Cho
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 -2 3 -1 4-2 2 5 4 -73 5 -1 2 6
-1 4 2 -3 84 -7 6 8 1
A
thì . Khi đó ta nói ma trận A là ma trận đối xứng. TA=A10. Ma trận bậc thang và bậc thang chính tắc a) Ma trận bậc thang là ma trận luôn thoả mãn hai tính chất
i) Các hàng khác không luôn ở trên các hàng bằng không ii) Phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của hàng trên.
Chú ý: hàng khác không là hàng có ít nhất một phần tử khác không. VÍ DỤ 3 Các ma trận sau là ma trận bậc thang:
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
11
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 0 -1 30 1 3 -40 0 0 10 0 0 0
A ;
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 -2 40 -2 9 1
B =0 0 6 50 0 0 0
b) Ma trận bậc thang chính tắc là ma trận bậc thang có các phần tử khác không đầu tiên của mỗi hàng đều bằng 1, phần tử này gọi là phần tử chính, mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác sẽ bằng không. VÍ DỤ 4 Các ma trận sau là ma trận bậc thang chính tắc
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 0 0 50 1 0 0 60 0 1 0 -40 0 0 1 7
C ;
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 4 0 50 1 3 0 60 0 0 1 -40 0 0 0 0
D
II. Các phép toán về ma trận 1. Phép cộng hai ma trận a) Định nghĩa: cho ( )ij m n
A a×
= và ( )ij m nB b
×= .
Khi đó, ma trận ( )ij m nA B C c
×± = =
trong đó , ij ij ijc a b= ± ,i j∀ ; 1,i m= ; 1,j n= .
VÍ DỤ 5 1 2 5 6 1 5 2 6 6 83 4 8 7 3 8 4 7 11 11
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
⎞⎟⎠
VÍ DỤ 6 1 2 5 6 1 5 2 6 4 43 4 8 7 3 8 4 7 5 3
− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
b) Tính chất A +B = B + A
A + θ = θ + A = A Nếu gọi - A = (-aij)mxn thì A + (-A) = θ (A + B) + C = A + (B + C)
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
12
2. Phép nhân ma trận với một số thực a) Định nghĩa: cho ma trận A = (aij)mxn và số thực k ma trận
( )ij m nkA B b
×= = trong đó .ij ijb k a= , ; ,i j∀ 1,i m= ; 1,j n= .
Ví DỤ 7 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛8642
4321
2
b) Tính chất: k(A +B) = kA + kB; k R∈ (k + h)A = kA + hA; k, h R∈ k(hA) = khA; k,h R∈
3. Phép nhân hai ma trận a) Điều kiện để thực hiện phép nhân ma trận A với ma trận B là số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. b) Định nghĩa: cho ( )ij m p
A a×
= và ( )ij p nB b
×= .
Khi đó, ma trận tích ( ). ij m nA B C c
×= = trong đó
1 1 2 21
n
ij i j i j in nj ik kjk
c a b a b a b a b=
= + + + =∑… , 1,i m∀ = ; 1,j n=
Nghĩa là lấy các phần tử ở hàng i của ma trận A nhân tương ứng với các phần tử ở cột j của ma trận B rồi cộng lại. VÍ DỤ 8
+ + − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− − − + − + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
1 3 2.1 3.2 2.3 3.( 5) 8 9.
1 4 2 5 ( 1).1 4.2 ( 1).3 4.( 5) 7 23 ⎛
⎜⎞2 3 ⎞
⎟− ⎠VÍ DỤ 9
−⎛ ⎞
⎞ ⎜ ⎟−⎛− =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 3 13
. 3 4 64 4 0
2 1 0
1 2 −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎝ ⎠
11 14 138 28 28
Vì =(-1).1+2.3+3.2=11; =4.1+(-4).3+0.2=-8 11c 21c
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
13
=(-1).3+2.(-4)+3.(-1)=-14; =4.3+(-4).(-4)+0.(-1)12c 22c =28
c) Tín =(-1).(-1)+2.6+3.0=13; =4.(-1)+(-4).6+0.0=-28 13c 23c
h chất B là 2 ma trận vuông cùng cấp thì A.B Cho A, ≠ B.A
kB) ;
A(B + C) = AB + AC (B + C) A = BA + CA
k (AB) = (kA) B = A( k R∈ (AB) = B A T T T
AI=IA=A IV ổi sơ c. Các phép biến đ ấp trên ma trận
đối với ma trận Có 3 phép biến đổi sơ cấp cho hàng (hoặc cột) 1. Nhân 1 hàng với 1 số 0.k ≠
a . 2. Đổi chỗ 2 hàng cho nh u 3. Nhân 1 hàng với 1 số 0k ≠ rồi cộng vào hàng khác.
i trên
VÍ DỤ 11
VÍ DỤ 12 ⎞⎟
Nhận xét: Giống như biến đổ hệ phương trình
VÍ DỤ 10 121 2 3 2 4 6h⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4 5 6 4 5 6⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 21 2 3 4 5 64 5 6 1 2 3
h h↔⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 241 2 3 1 2 34 5 6 0 3 6
h h− +⎛ ⎞ ⎛⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
VÍ DỤ 13 ⎞⎟1 331 2 3 1 2 0
4 5 6 4 5 6− +⎛ ⎞ ⎛
⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝c c
⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
14
1.2. ĐỊNH THỨC
a trận vuông I. Định nghĩa định thức của m1. Ma trận con của ma trận vuông Cho ma trận
( )×
⎛⎜
11 11a a ⎞a a⎟
Xét phần tử aij, ma trận thu được khi bỏ dòng i cột j được gọi
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
… …… …
… … … … … …… …
… … … … … …… …
1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
ij n ni i ij in
n n nj nn
a a a a
A aa a a a
a a a a
là ma trận con cấp (n-1)× (n-1) tương ứng với phần tử aij. Ký hiệu: Mij
Định thức ủa ma trận A vuông là một số, 2. Định thức cký hiệu det(A) hoặc |A|, được định nghĩa như sau: a) Định thức cấp 1: ( )11A a= 11det A a⇒ =
VÍ DỤ 1 ( )5A = − et d 5A⇒ = −c cấp 2: b) Định thứ
⎛ ⎞= ⇒11 12 deta a
= −⎜ ⎟⎝ ⎠
11 22 21 1221 22
A A a a a aa a
VÍ DỤ 2 2 1 2
A det A 1.4 2.33 4⎛ ⎞
= ⇒ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
−
c) Định thức cấp 3: Cho thì ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a aA a a a
a a a= + + − − −11 22 33 12 23 31 21 32 13 31 22 13 21 12 33 23 32 11det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
15
VÍ DỤ 3 −
= − = − + − −−
3 4 6det 2 2 3 0 12 60 12 45 9
1 5 0A = −
Cách nhớ: dùng hình sao hoặc các đường thẳng song song
ủa một định thức cho nhau thì
II. Tính chất của định thức T1. Tính chất 1: det detA A=
Đổi chỗ 2 hàng c2. Tính chất 2: định thức đổi dấu. 3. Tính chất 3: Định thức có 1 hàng là số 0 thì định thức bằng không. 4. Tính chất 4: Định thức có 2 hàng giống nhau thì định thức bằng không. 5. Tính chất 5: Định thức có 2 hàng tỷ lệ (phụ thuộc tuyến tính) thì bằng không
= −11 12 13a a a
21 22 23
31 32 33
a a aa a a
21 22 23
11 12 13
31 32 33
a a aa a aa a a
; =11 12 13
11 12 13
31 32 33
0a a aka ka kaa a a
6. Tính chất 6: Định thức có 1 hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì bằng không.
− − − =13
11 31 12 32 13 33
31 32 33
0ka ta ka ta ka taa a a
7. Tính chất 7: Khi nhân tất cả các phần tử của 1 hàng với số k
11 12a a a
thì định thức đó được nhân lên k lần.
=11 12 13 11 12a a a a a 13
21 22 23 21 22 23
31 32 3331 32 33
aka ka ka k a a a
a a aa a a
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
16
8. Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của 1 hàng của 1 định thức có dạng tổng của 2 số hạng thì có thể phân tích thành 2 định thức.
+= +
+21 22 22 21 22 21 22' '' ' ''a a a a a a a9. Tính chất 9: Khi ta nhân một hàng với một số k khác không rồi cộng và
11 12 12 11 12 11 12' '' ' ''a a a a a a a
o hàng khác thì định thức không thay đổi
= + + +11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 11 22 12 23 13
31 32 33 31 32 33a a a a a a10. Tính chất 10: Ma trận có dạng tam giác thì định
a a a a a aa a a a ka a ka a ka
thức bằng tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính
= =… …
10 nn m mna a aIII. Khai triển định thức theo hàng hoặc theo c
11 1 11
11 22 11 22
0... ; ...
n
nn nn
a a aa a a a a a
ột 1. Khai triển định thức theo hàng thứ nhất
( ) ( )( )
1 1 1 211 11 12 12
11 1
det 1 det 1 det
1 detnn n
A a M a M
a M
+ +
+
= − + − +
+ −
…
2. Khai triển định thức theo hàng thứ i
( ) ( )1 2det 1 det 1i iA a M a+ += − + −
( )1 1 2 2det
1 deti i i i
i nin in
M
a M+
+
+ −
…
3. Khai triển định thức theo cột thứ j
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
17
( ) ( )( )
1 21 1 2 2det 1 det 1 det
1 det
j jj j j j
n jnj nj
A a M a M
a M
+ +
+
= − + − +
+ −
…
Chú ý: ( )1 detij iji jA M= − được gọi là ph
hần tử
+
ija . ần phụ đại số của
VÍ DỤ 4 Tính định thức của ma trận sau bằng cách khai triển àng một:
BÀI GIẢI
p
theo h2 1 3 023 1 2 2
A
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜=⎜ ⎟−⎜ ⎟
0 0 3 ⎟
0 2 1 4−⎝ ⎠
( ) ( ) ( )+ + +
− −= − − + − − + − −
− −
1 1 1 2 1 30 0 3 2 0 3 2 0 3
1 2 1 2 2 1 1 3 2 2 1 3 3 1 22 1 4 0 1 4 0 2 4
A
+ 0 = - 3
Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính định thức thì ta chọn khai triển theo hàng 2 vì hàng 2 có nhiều số không nhất. IV. Cách tính định thức bằng phép biến đổi sơ cấp
Cơ sở Biến đổi sơ cấp Tác dụng
Chú ý:
Lý thuyết Tính chất 7 Nhân một hàng với số
k≠ 0 lần Định thức nhân lên k
Tính chất 2 Đổi chỗ 2 hàng cho nhau Định thức đổi dấu Tí 9 Nhân rồi
cộngĐịnh t i nh chất hàng r với số k
vào hàng s hức không đổ
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
18
Chú ý: Dựa vào ĩa và tính chất trên thì thông thường để tính định thức ta có những cách sau:
i ó i t ặ
Í DỤ 5 Tính
định ngh
1. Nên biến đổi về dạng đường chéo rồ tính định thức của n 2. Biến đổnhất rồi khai
cho một hàng hoặc một criển định thức theo hàng ho
định thức sau
ột có nhiều số không c cột đó.
V
1 2 3 42 3 4 1
3 4 1 24 1 2 3
BÀI GIẢI
1 2 12 ; 32 3 4 1 h h h− + − 3
1 44
1 2 3 4 1 2 3 40 1 2 7
3 4 1 2 0 2 8 104 1 2 3 0 7 10 13
h
h h
+
− +
− − −− − −− − −
( )( )
− +
− +2 3
2 4
2
7
1 2 3 4 1 2 3 40 -1 -2 -7 0 -1 -8 -10
= 0 0 -4 4 0 0 -4 0 0 4 36
h h
h h 40 0 0 40
=160.
VÍ DỤ 6 Tính định thức sau bằng cách khai triển theo hàng thứ 3
1 0 1 10 1 1 1
1 1 1 0a b c d
− −− −
− −
BÀI GIẢI
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
19
( ) ( )3 11a b c d
+ 3 2
1 0 1 10 1 1 1 1 1
0 1 1 11 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 0
1 1 1 0
a b+
− −− − − −
− −− − + −− −
− −
= − −
( ) ( )3 3 3 41 0 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1 3 21 1 0 1 1 1
c d a+ +
− −+ − − + − − − = − + +
− − − −b c d
VÍ DỤ 7 Tính định thức sau
5 2 2 22 5 2 22 2 5 22 2 2 5
BÀI GIẢI
caùc haøng vaø
2 2 5 2
coän taát caû
o haøng 1
5 2 2 2 11 11 11 112 5 2 2 2 5 2 2
2 2 5 22 2 2 5 2 2
g
2 5
( ) += 1-1 laàn löôït
vaøo caùc haøng coøn laïi
2 2 2 2 2 2 2 22 5 2 2 0 3 0 011 11
22 5 2 0 0 3 02 2 2 5 0
h
2 2 0 0 3
= =311.2.3 2972
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
20
VÍ DỤ 8 Tính định thức sau
1 0 1 10 1 12 1 2 51 1 1 0
−− −
−− −
1
BÀI GIẢI
1 3
1 42 1 2 5 0+− h h
2
1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 0 1 1 1
1 0 31 1 1 0 0 1 0 1
− +
− −− − − −
− − −
h h
( )1 11 1 1
+
− −1 1 1 0 3 4
1 0 1= − =
−
VÍ DỤ 9 Tính định thức sau
2 1 3 02 0 0 3
3 1 2 20 2 1 4
−−
−
BÀI GIẢI 2 1 3 0 2 1 3 02 0 0 3 2 0 0 3
3 1 2 2 1 0 1 20 2 1 4 4 0 7 4
− −=
− − −− − −
1 21( 1) 1 1+
2 0 32 3
4 7 4
−= − − − = −
− −
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
21
1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I. Định nghĩa ma trận nghịch đảo 1. Định nghĩa 1 Ma trận suy biến là ma trận có định thức bằng không 2. Định nghĩa 2 Xét ma trận vuông không suy biến A cấp n×n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n×n sao cho AB BA= = I thì ta nói A khả nghịch (khả đảo) và gọi B là ma trận nghịch đảo của A. Ký hiệu: 1A− .Vậy 1 1AA A A− − I= = VÍ DỤ 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛
= =⎜ ⎟ ⎜-1 1 3 71 khi ñoù AA
⎞= ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
7 3- - 3 8 8-8 -5 1 5 1
⎝ ⎠ 5 7
⎜ ⎟⎝ ⎠
-8 8
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟
-1 - 1 3 1 08 8thaät vaäy AA
5 7 5 1 0 1 -
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
7 3
8 8nh lý
1. Định lý 1 Nếu A khả nghịch thì ma trận nghịch đảo II. Các đị
1A− tồn tại và duy nhất.
hứng minh Thật vậy
C( )∈
⎧ = =⎪⎨
= =⎪⎩= = = = =
-1
1 2
1 1
2 2
1 1 1 2 1 2 2 2
( ) ( ) . (
mxn
n
n
n n )
Laáy A M khaû ñaûo thì toàn taïi A theo ÑN
Giaû söû A coù hai ma traän nghòch ñaûo laø B vaø BAB B A I
khi ñoùAB B A I
maø B B I B AB B A B I B B ñfcm
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
22
2. Định lý 2 (Điều kiện để ma trận vuông khả nghịch) Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi
( ) ( ) ( ) ( )−
−≠ = 1
1
1det( ) 0 vaø ta coù det A hay det A .det 1det
A AA
=
lý 3 Giả sử A, B 3. Định
∈Mnxn khả nghịch khi đó ma trận tích AB cũng khả nghịch và (AB) = B-1 A-1 Chứng minh ật vậy
( ) -1
Th( )( )1 1 1 1 1 1( ) n nAB B A A BB A AI A AA I− − − − − −= = = =
Và ( )( ) ( )1 1 1 1B A AB B A A B− − − − 1 1n nB I B B B I− −= = = =
4. Định lý 4 Giả sử A khả nghịch. Khi đó
-1 cũng khả nghịch và a) A ( ) 11A−− = A
hịch b) Am cũng khả ng và ( ) ( )1 1 mmA A− −= ; m N∈
c) kA cũng khả nghịch và ( ) 1kA −= 11 Ak
− ; k R∈
III. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1. Phương pháp 1
ìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp phần phụ đ ố T ại s
( ) ( )i+j
ij-1 det M laø phaàn phuï ñaïi soá cuûa phaàn töû aij ij A =Goïi
( )⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥
≠⎢* 12 22 2Ñaët A =
..........................n ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1 2
vaø neáu det A 0.
. . .n n nnA A A
11 21 1
. . .n
A A A A . . .A A
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
23
( )=-1 * A A
-1 eo co thöù1
VÍ DỤ 2 Cho ma trận . Tìm
ñaûo A th âng cThì ma traän nghòch
det A
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
801852321
A 1A− ?
Vì
Nên A có ma trận nghịch đảo
40 0 16 15 0 32 9 0detA = + + − − − = ≠
1A− =
⎡ ⎤⎢ ⎥∗ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A1 1
det det
A AA A A A
A AA A A
11
5 840
0 8= =A ; 12
2 88
1 8= − =A − ; 13
2 55
1 0= = −A
21
2 316
0 8= − = −A ; 22
1 35
1 8= =A ; 23
1 22
1 0= − =A
31
2 31= =A ;
5 8 32
1 32
2 8= −A = − ; 33
1 21
2 5= =A
1
40 16 11 8 5 29
5 2 1
−
−⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
A
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
24
2. Phương pháp 2 Phương pháp Gauss-Jordan
Bước 1: Từ A ∈Mnxn
ét ma trận mở rộng
( )
X ( )∈nA I Mnx2n
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng để
a ma trận
( )
đư ( )nA I về dạng ma trận ( )n n I B khi đó ma trậ
nghịch đảo của ma trận A là A-1 = B
VÍ DỤ 3 Cho . Tìm1 -1 20 3 12 3 5
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1A− (nếu có)
ÀI GIẢI
B
( ) 1 323| 0 0A I ⎜= ⎜
1 1 2 1 0 0 13 1
− −⎛ ⎞ ⎛ 1 2 1 0 03 1 1 0 0 0 1 0
0 0
h h− +
⎞⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯→⎟ ⎜ ⎟
2 3 5 1 0 5 1 2 0 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
22 3
3
131
1 1 0 0 1 2 1 01 1 10 1 0 0 0 13 3 3
h h h
h
− +
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜
5
1 2 1 010 03
1 2 1 2 2 1 105 5 5 5 3 5
⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎟⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
0 1 0 015
⎜ ⎟⎝ ⎠
3 1
3 3 3
731
2 3
7 1 11 71 0 63 3 2 21 0 01 1 1 10 1 0 0 0 1 0 13 3 2 2
0 0 1 5 30 0 1 5 3 332 22 2
h h
h h h
−+
+
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2 115
1 0
h h+− −
⎜⎯⎯⎯→
−−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
25
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là
1
11 762 21 11
2 25 332 2
A−
−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟
−⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
VÍ DỤ 4 Cho
1 0 0 01 1 0 01 1 1 01 1 1 1
A
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
. Tìm 1A− ?
Tương tự như trên, ta có:
⎟
VÍ DỤ 5 Cho . Tìm
1
1 0 0 01 1 0 0
0 1 1 00 0 1 1
A−
⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟−
−⎝ ⎠
⎜
1 1 1 10 1 1 10 0 1 1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟
A
0 0 0 1⎝ ⎠
1A− ?
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
26
1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN
a trận 1. Định nghĩa Xét ma trận A = (aij) , A
I. Định nghĩa hạng của m
∈Mmx .
ọi n ( )
G k { } sao cho 1 k min ; m n∈ ≤ ≤ B là ma trận vuông cấp k trích từ ma trận A bằng cách lấy phần giao của k hàng và k cột bất kỳ của A. Ma trận B được gọi là
của ma trận A. det(B) gọi là định thức con cấp k của ma trận A. Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A,
ý hiệu: Rank(A) hoặc R(A) ếu A = Onxm thì Rank(A) = 0
Í DỤ 1 Tìm hạng của ma trận A =
⎠
Min(m,n)= min{3,4} = 3
ma trận con cấp k
KN
V
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
1 0 -1 00 1 1 21 1 0 2⎝
Các định thức con cấp 3 của A là:
= = = = 0 0 1 -1 0 0 -1 0
; 2 ; 1 1 2 0
b) Phép biến đổi sơ cấp trên hàng hay trên cột của ma trận A không làm thay đổi hạng của ma trận A
≠
1 1 0 1 1 2 1 0 2 1 0 2
1 0 con caáp 2 cuûa laø =1 0 vaäy Rank( ) =
0 1ñònh thöùc A A 2
1 0 -1 1 0 1 1 0; 0 1 2 0 0 1 0
2. Các tính chất về hạng của ma trận Định lý a) Rank(AT) = Rank(A)
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
27
c) Gạch bỏ hàng toàn số không, hoặc hàng là tổ hợp tuyến tính của những hàng khác thì hạng của nó không thay
II. Cách tìm hạng của ma trận Nhận xét:
g bằng số hàng khác không của nó bất kỳ ta thực hiện các phép
biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang, khi đó hạng của nó bằng số hàng khác không của ma trận bậc thang VÍ DỤ 2 Tìm hạng của ma trận sau:
⎞
⎞
đổi.
Hạng của ma trận bậc thanVì vậy muốn tìm hạng của ma trận
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟
4 1 -1 3 2-2 2 3 0 12 3 2 3 3
A⎜ ⎟⎝ ⎠4 1 3 1 1
+ →+ →+ →
⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→
2 1 12 3 3
2 4 4
2
2 -2 2 3 0 1h h hh h hh h h
⎛ 0 5 5
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0 5 5 3 40 5 9 1 3
3 4
− + → ⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→3
1 4 4h h h − + →1 3h h h
⎛⎜ ⎟
0 5 5 3 4
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0 0 0 0 00 0 4 -2 -1
-2 2 3 0 1
↔↔
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 1
3 4
h 0 5 5 3 40 0 4 -2 -10 0 0 0 0
ñoåi choã hñoåi choã h h
⎛ ⎞−⎜ ⎟
2 2 3 0 1
( )Vaäy rank A = 3
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
28
VÍ DỤ 3 Biện luận theo λ hạng của ma trận sau
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 -1 1 2 -1-1 -1 1 -1 1 1 0 11 -1 2 2 1
Aλ
λ
+ →− + →− + →
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 21 3 3
1 4 4
1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -10 2 -1 -2 20 0 1 0 2
h h hh h hh h h
λλ
+ →
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 3 3
1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -10 0 1 -1 +10 0 1 0 2
h h h λλ λ
− + →⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
1 -1 1 2 -10 -2 2 1 -1
0 0 0 1- - 1
h h h λ
λ λ
3 4 4
0 0 1 -1 +1λ λ
( )( )
λ λ
λ
⇒ = =
≠ =
=0 1 thì rank A 3
* 1 4
* 1-Neáu
Neáu thì rank A
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
29
VÍ DỤ 4 Biện luận theo m hạng của ma trận sau
…
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
-1 0 2 1 0 2 1 -1 2 2 1 1 1 3 2 -2 -1 1 m -2
A
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 0 2 1 0 0 1 3 4 2 0 0 0 m+2 00 0 0 0 0
( )( )
⇒ = − =
≠ − =
* m+2=0 2 thì rank A 2
* m 2 3
Neáu m
Neáu thì rank A
BÀI TẬP CHƯƠNG I
.1. Thực hiện phép toán trên ma trận và tính các yêu cầu đã hỉ ra
a) Cho
1c
5 24 7
A−⎛ ⎞ 1 2⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
và 6 3
B = ⎜ ⎟−⎝ ⎠. Tính B3 2C A= −
b) 2 1
30 4 ?
21 3
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
30
c) Cho và . Tính 1 2 12 3 21 4 3
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
0 0 10 1 01 0 0
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
AB và BA
d) Cho 2 13 2
A−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠. Tính ( ) 3 2
22 2f A A A A I= + + +
1.2. Tính định thức của các ma trận sau
a) 0 4A1 2 2
65 3 7
−⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎢= ⎢⎥⎥ b)
11
1
a aB a a
a a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
c) x y x y
C y x y xx y x y
+⎡ ⎤
⎢ ⎥+⎣ ⎦
⎢ ⎥= +⎢ ⎥ d) 2 4 7D m
1 2 3
3 3 10m
⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
e)
f)
3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3
E
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20
F
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1.3. Giải các phương trình sau
a) 0 1
4 0 41 2 1
xx
x
−− −− −
0=
b)
32 1 3
3 1 1
x x
x
−0− =
+
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
31
c) 1 1 22 2 5 01 1 2
xx x+ =+ +
.4. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau (nếu có) 1
a) 1 2 30 1 20 0 1
A−⎛ ⎞
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
b)
1 2 12 3 21 3 1
B⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
c)
1 3 5 70 1 2 30 0 1 20 0 0 1
C
−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
d)
1 2 3 42 1 1 03 0 2 14 1 0 3
D
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
1.5. Tìm hạng của các ma trận sau
a)
1 3 5 12 1 3 45 1 1 77 7 9 5
A
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
b)
0 2 41 4 5
3 1 70 5 102 3 0
B
−⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟
−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
c)
1 2 1 01 2 4 23 2 6 2
C−⎛ ⎞
⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
1 2 3 2 62 1 2 3 8
)3 2 1 2 42 3 2 1 8
−⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟
− −
d D
⎝
⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
32
1.6. Tìm λ để hạng của các ma trận sau bằng 2
a) b) 1 1 5 11 1 2 33 1 8 2
Aλ
− −⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟− +⎝ ⎠
1 1 3 33 2 8 83 2 8 32 1 5
Bλλ
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠
1.7. Tìm để hạng của ma trận sau bằng 3
. Biện luận theo tham số h của các ma trận sau
a) 2
b)
m
2 2 5 61 3 2 23 1 8 105 1 12m
−⎛ ⎞⎜ ⎟−
⎜ ⎟−⎝ ⎠
A ⎜ ⎟=⎜ ⎟−
1.8 ạng m
1 12 1 51 10 6
mA m
m
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
1 1 32 11 3
B mm
−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
c) 1
d)
1.9. Cho ma trận
1 1 11 11 1 11 1 1
mm
Cm
m
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3 1 1 44 10 1
1 7 17 32 2 4 3
mD
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3 42 3 4 53 4 5 64 5 6 2
X
a3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
Tìm giá trị của để hạng c a trận là nhỏ nhất.
a ủa m X
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
33
CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
2.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Các khái niệm 1. Định nghĩa. Cho h ương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn có dạng:
ệ ph
+ + + =⎧⎪ + + +⎪
⎪⎪
=⎨
+ + +⎩
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
. . .. . .
. . .
n n
m m mn n
a x a x a x ba x a x a x b
a x a x a x b= m
I)
ng đó:
21 1 22 2 2 2
..................................................n n (
Tro
= =_____
( 1, ; 1, ) laø caùc heä soá thöïc; ija i m j n
1 2, , . . ., laø aån soán ,x x x n 1 2b , , . . ., caùc haèng soá.mb b laø
=* Khi thì ta coù heä phöông trình n aån soám n n
( )= ∀ =hi 0 ( 1, ) thì heä I ñö goïi laø he* K ôïc ä PTTT hua nhaátib i n t àn phương trình tuy
à ma trận hệ2. Dạng ma trận của hệ ến tính Từ hệ (I) nếu ta đặt: A l số; B là ma trận tự do; X là ma trận ẩn số
⎟⎟
n
⎜= ⎜A⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
…11 1
1
n
m m
a a
a a
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
34
(=⎜ ⎟.
B= .b b ) ( )⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
.
T
nx
⎛ ⎞⎜
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1b
. .
m
b
b
b
⎟ ⎜ ⎟1
x⎜ ⎟⎜ ⎟
2
⎜ ⎟⎜ ⎟
1 2..
m =⎜ ⎟⎜ ⎟
1 2X= . . . . nx x x
T
⎜ ⎟⎜ ⎟
2
.
⎛ ⎞x
( ) ( )ä I ñöôïc vieát döôùi daïngma traän laø: II Khi ñoù he AX=B
( )
⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
…11 1 1
1
. b traän A
.
goïi laø ma traän heä soá môû roäng
n
m mn
a aMa A B
a a b
m
3. Định nghĩa nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Bộ n số thực ( nααα ,..., 21 ) gọi là nghiệm của hệ nếu thỏa các
gọi là tập
ương trình tương đương
Hai hệ phương trình có cùng số phương trình và cùng số ẩn
c gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
Các phép biến đổi sau đây chuyển một hệ phương trình
thành một hệ phương trình tương đương
+ Đổi vị trí 2 phương trình
+ Nhân 1 phương trình nào đó với 1 số khác 0
đẳng thức trong hệ. Tập tất cả các nghiệm của hệ
nghiệm
4. Định nghĩa hệ ph
đượ
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
35
+ Cộng vào 1 phương trình nào đó 1 phương trình khác
đã được nhân với 1 số khác 0
ghiệm N ( )= 0,0, . . .,0X được gọi là nghiệm tầm thường II. Định lý Kronecker_Capelli (về sự tồn tại nghiệm của hệ) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng có hạng bằng nhau: R(A)=R( A ) VÍ DỤ 1 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không?
48
4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 32 5 7
3 4
x x xx x x
x x x
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
BÀI GIẢI Xét ma trận mở rộng
3 1 32 1
3 1
2
1
1 2 3 4 1 2 3 4=−=−
⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎯⎯⎯h h
h h
2
3
1 2 3 4
3 4 4
0 1 1 0 0 1 1 00 0 0
=− +++
⎛ ⎞
⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠
h h hhh
2 5 7 8⎜ ⎟= = ⎜ ⎟A A B
0 1 1 0 0⎝ ⎠ ⎝Suy ra ( )A A Br r= =2 vậy hệ phương trình có nghiệm.
VÍ DỤ 2 Hệ phương trình sau có nghiệm hay không ?
⎧ + + =⎪
+ + =⎨⎪ + + =⎩ 1 2 34 8 3 x x x
1 2 3
1 2 3
2 12 4 3x x xx x x
7BÀI GIXét ma
ẢI trận mở rộng
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
36
− + →− + →
⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟
= ⎯⎯⎯⎜ ⎟1 22
4
2 1 1 1 2 1 1A 2 4 1 3 h h
h h
⎛⎜ ⎟
⎯→⎜ ⎟2
1 3 3
10 0 -1 1
8 3 7
hh
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠4 0 0 -1 3
+ →
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟2 3 3-h
1 2 1 10 0 -1 1h h ⎜ ⎟⎝ ⎠0 0 0 2
Ta thấy: ( ) ( )= < = ⇒ [R A 2] 3 heä voâ nghieämR A
VÍ DỤ 3 Cho hệ phương trình
7
1 2 32 1x x x+ − =⎧⎪
1 2 3
1 2 3
2 5 2 43 2
x x xx x x m
+ − =⎨⎪ + + − = +⎩
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm . BÀI GIẢI
Xét ma trận mở rộng
− + →⎜ ⎟ ⎜= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜− + →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟⎟⎜ ⎟ ⎜+ + ⎠
1 2 -1 1 1 2 -1 1 4 2
6
⎝ ⎠ ⎝1 3 3
1 3 -2 7 0 1 -1m m
1 2 22A 2 -3 4 0 1 -1h h hh h h
− + →
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
1 3 3
1 2 -1 10 1 -1 20 0 0 4
h h h
m
Để hệ phương trình có nghiệm thì R(A)=R( A ) suy ra m= -4
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
37
2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH. I. Giải hệ bằng phương pháp Cramer 1. Định nghĩa hệ Cramer: là hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn và có định thức của ma trận hệ số khác không: det(A) 0 2. Định lý Cramer: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất và nghiệm được tính theo công thức:
≠
det( )
; 1,det( )
jj
Ax j n
A= =
Trong đó
j Aởi cộ
là ma trận tạo thành từ ma trận A bằng cách thay
đổi cột j b t hằng số j(b ) CHỨNG MINH
( ) ( )−≠ ⇒ =1 *det A 0
det1A AA
Ta chứng minh là nghiệm của hệ phương trình
Thật vậy:
-1X=A BAX=B
( ) = = =-1 -1A A (AA ) (ñuùng)B B I BB
( )
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
11 21 n1 1
-1 12 22 2 2
1 2
A . . . A. . .1A
det ............................... . .
n
nn n nn
A bA A A b
BA
bA A A
⎜ ⎟
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
38
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
+1 11 +
+ + +
⎤⎦
11 1 21 2 1
1
n n
n
ức
⇒ =1
1 . . . det
x A b A b A bA
⎡= − + +⎣ 11 1 11 det . . . -1 det
det
det
n nM b M bA
A= 1
det ATương tự ta có công th 2 3x , , . . . , nx x Ta chứng minh sự duy nhất nghiệm:
= =Giaû söû heä coù vaø ' khi ñoù: ; vaø '2 nghieäm X X AX B AX
(= '
A
B
) ( )− −⇒ = ⇒ − = =
⇒ − = ⇒
1 1- ' 0 ' 0 0
' 0
X X A A X X A
X X X
X3. Giải và biện lu
pháp Cramerận hệ phương trình tuyến tính theo phương
* Nếu detA≠ 0 thì hệ có nghiệm uy nhất
* Nếu detA= 0 và
d
∃ ít nhất detA j ≠ 0 , =1,j n thì hệ
etA = 0 vàvô nghiệm
d * Nếu detA j = 0, 1,j n∀ = thì hệ có thể có vô số nghiệm
Í DỤ 1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
BÀI GIẢI Ta thấy
V
⎧ − + = ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟− + = − = =⎨ ⎜ ⎟⎪ ⎜ ⎟− + = ⎝ ⎠⎩
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 9 1 -1 3 93 5 4 3 - 5 1 ; -4
4 - 7 1 04 7 0
x x xx x x ta coù A Bx x x
( ) = − ≠det 2 0;A
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
39
= 98
= 53
= - 21
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1
9 -1 3detA det 4 -5 1
0 -7 1
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2
1 9 3detA det 3 -4 1
4 0 1
⎛ ⎞1 -1 9⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
3detA det 3 -5 -44 -7 0
Suy ra
( )( )( )( )( )( )
⎧= =⎪
−⎪⎪⎪ = =⎨ −⎪⎪
−⎪ =⎪
=−⎩
11
det 98d
Ax
22
det 53x
3
2et
2det
2t
A
A
A
DỤ 2 Tìm a để hệ phương trình không có nghiệm duy nhất?
3
det 21de
Ax
A
VÍ
+ =⎧⎪ + =⎨⎪ + =
- 62 3 - 4 2
- 5
ax y zx y zx y ax⎩7
a
BÀI GIẢI
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
40
Ta có ma trận hệ số 1 1
2 37 1
aA
a
−⎛ ⎞⎜ ⎟4= −
Để
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
hệ phương trình không có nghiệm duy nhất thì
= ⇔ − − =2det 0 3 6 5 0A a a Suy ra: ±
=3 2 6
3a
VÍ DỤ 3 Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm
I GIẢI
Ta có ma trận hệ số
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−+−=++−=+−
5)12(424
732
zmyxzyxzyx
−1
BÀ
2 3 11 4 21 4 2 1
Am
−⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
9det 22 9 det 022
A m A m= − ⇒ = ⇔ = và ta có
− ≠
ậy hệ phương trình vô nghiệm khi
3
2 3 7det det 1 4 1 4 0A
− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − =⎜ ⎟
1 4 5⎜ ⎟− −⎝ ⎠
V 922
m =
Chú ý: P ỉ dhương pháp Cramer ch ùng được a) Hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn, khi số phương trình bằng số ẩn lớn hơn 3 thì khối lượng tính toán khá
b) Định thức của ma trận hệ số khác không: det(A) lớn.
≠ 0
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
41
c) Khi det(A) = 0 hoặc số phương trình khác số ẩn thì không áp Cramer.Khắc p ục nhược điểm này ta s-Jordan
II. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss-Jordan
Xét hệ
dùng được phương ph hcó phương pháp Gaus
⎪
+ + + =⎧+ + +⎪
⎨⎪
=
⎪ + + + =. . .a x a x a x b⎩
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
...................................................
n n
m m mn n
a x a x a x b
11 1 12 2 1 1. . .. .
n na x a x a x b
m
ập ma trận mở rộng Bước 1: L ( )A A B= Bước 2: Dùng các p ơhép biến đổi s cấp trên hàng đưa ma trận A về dạng ma trận bậc thang hoặc tam giác .
ăn cứ vào hạng của A và Bước 3: C A mà kết luận số nghiệm của hệ phương trình, cụ thể:
) * Nếu rank(A ≠ rank( A ) thì hệ vô nghiệm * Nếu rank(A) = rank( A ) = n thì hệ có 1 nghiệm duy nhất
* Nếu rank(A) = rank( A ) = r < n thì hệ có vô số nghiệm, trong đó có n - r nghiệm tự do và r nghiệm phụ thuộc tuyến tính vào n – r ẩn tự do đó.
VÍ DỤ 4 Giải hệ phương trình
48
4
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 32 5 7
3 4
x x xx x x
x x x
+ + =⎪⎧
+ + =⎨⎪ + + =
⎩BÀI GIẢI
Ta có ma trận hệ số 1 2 32 5 7A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟
mà det A=0 1 3 4⎝ ⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
42
Xét ma trận mở r ng ộ
3 1 32 1 2
3 1 3
22 5 7 8 0 1 1 0 0 1 1h h hh h hh h hA B =− +=− +=− +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3⎛ ⎞ ⎛ 40
1 3 4 4 0 1 1 0 0 0 0 0
⎞ ⎛ ⎞⎟⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Vì ( )A A Br r=
h
=2 nên hệ có nghiệm. Từ ma trận bậc thang ta
có g trình đã cho tương đương với hệ: ệ phươn1 2 3 1 3
2 3 2 3 3
2 3 4 40 ;
+ + = = −⎧ ⎧→⎨ ⎨+ = = − ∈⎩ ⎩
x x x x xx x x x x R
VÍ DỤ 5 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số a
+ + =⎧
⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩4 8 3
1 2 3
1 2 3
2 12 4
1 2 3
3
x x xx x xx x x a
BÀI GIẢI
Xét ma trận mở rộng
− + →− + →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠4 8 3 a ⎝ ⎠
1 2 2
1 3 3
24
2 1 1A 2 4 1 3 0 0 -1 1
0 0 -1 4
h h hh h h
a
1 2 1 1 1
+ →
⎛ ⎞⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝0 0 0 ⎠
2 3 3-h
1 2 1 10 0 -1 1
5
h h
a
Từ ma trận bậc thang ta có
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
43
( ) ( )≠* Neáu a 5 thì [r A = < = ⇒2] 3 heä voâ nghieämr A
( )
( )⎧ ⎧= − − = −⎪ ⎪
⇒ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎪
1 2 3 1
2
x 1 2 2 2
heä coù voâ soá nghieäm = tuyø yù
x x xx x
α
α
II
( )
=
=
= − = −⎩⎩
2
3 3
* Neáu a=5 thì r(A)= 2
tuyø yù
x 1 1
r A
x
α
I. HỆ THUẦN NHẤT
Xét hệ thuần nhất n phương trình và n ẩn có dạng
Dạng ma trận
Hệ thuần nhất có nghiệm
1. Định nghĩa
( )
+ + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨
+ =
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
. . . 0. . . 0
.................................... 0
n n
n n
nn n
a x a x a xa x a x a x
III
a x⎪...............⎪ + +⎩ 1 1 2 2 . .n na x a x
AX=0
(0 0 0 . . .0)TX = được gọi là nghiệm tầm thường của hệ.
Định lý
Hệ thuần nhất (III) có nghiệm tầm thường
2.
⇔ ≠det 0A .
Hệ quả
I) có nghiệm không tầm thường khi Hệ thuần nhất (II=det 0A .
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
44
VÍ DỤ 6 Giải hệ phương trình + − =⎧
⎪ + + =⎨⎪− − + =⎩
2 4 02 0
4 5 2
x y zx y zx y z 0
BÀI GIẢI
Ta có
V
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 1 -4A= 1 2 1
-4 -5 2
à ( ) =det 0A nên hệ có vô số nghiệm,muốn tìm nghiệm Gauss
⎞⎟
⎟⎠
⎞⎟⎟⎟⎠
Ta có hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:
thì phải dùng phương pháp
↔⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟1 2A= 1 2 1 2 1 -4h h
⎛ 2 1 -4⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
1 2 1
-4 -5 2 -4 -5 2
+− ++
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
2 31 2
1 3
24
1 2 1 1 2 10 -3 -6 0 -3 -60 3 6 0 0 0
h hh hh h
2 03 6 0
x y zy z
+ + =⎧⎨ − − =⎩
⎪⇒ ⎨
⎪
⎧ =
= −= ∈⎩
32;
xyz R
αα
α α
Vậy hệ có nghiệm là 3 , , );2( Rα α α α ∈−
Hệ phương trình thuần nhất mà có số phương trình nhỏ hơn số nghiệm không tầm thường.
Chú ý:
ẩn thì sẽ có
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
45
2.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN Cho 3 ma trận A, B, X ∈M nxn( )
Nếu det(A)≠
I. Hệ phương trình ma trận có dạng AX = B (IV) CÁCH GIẢI
0 thì có ma trận A-1 Từ AX = B ta có A-1 AX = A-1B hay IX = A-1B nên X = A-1B
det(AVậy nếu )≠ 0 thì nghiệm của hệ (IV) là X = A-1B ương trình ma ận có dạng XA = B (V)
CÁCH GIẢI Nếu det(A) 0 thì có ma trận A-1
XA = B ta có X
II. Hệ ph tr
≠Từ AA-1 = B A-1 hay XI =B A-1 nên X =B A-1 Vậy nếu det(A)≠ 0 thì nghiệm của hệ (V) là X = B A-1 VÍ DỤ 7 Giải hệ phương trình ma trận sau
⎞⎟⎟⎟⎠
BÀI GIẢI Ta có
⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
1 2 - 5 1 - 2 3 4 0 5 , 4 0 5
1 1 - 2 -1 2 3AX B trong ñoù A B
= − − + =10 20 5 16 1A 0≠ ⇒ −
−⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
5 -1 1025
4 1 -8 = ⎜
⎜ ⎟13 3 -
A ⎟
−
−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜= = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜⎠⎝ ⎠ ⎝
1
5 -1 10 1 -2 3 -19 30 1013 3 -25 4 0 5 = 50 -76 -21
-8 -1 2 3 16 -24 -7X A B
⎞⎟⎟⎟⎠
⎜⎝4 1
VÍ DỤ 8 Giải hệ phương trình sau
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
46
⎧ − + = ⎛3 9 1 -1 3x x x ⎞⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
9-4
4 - 7 1 0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
có
⎪1 2 3
− + = − = =⎨ ⎜ ⎟1 2 33 5 4 3 - 5 1 ; x x x ta coù A B⎪ − +4 7x x x =⎩ 1 2 3 0BÀI GIẢI
Từ hệ phương trình ta đưa về dạng ma trận là AX=B và
( ) = − ≠det 2 0A ⇒ -1X=A B
mà ⎛ ⎞−2 20 14⎜ ⎟= ⎜
-1 1A 1 -11 8 nên ⎟− ⎟2 ⎜
⎝ ⎠-1 3 -2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
=
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1
2
49x 2 20 14 9 531X= 1 - 11 8 4 22
-1 3 -2 0 212
laø nghieäm cuûa heä phöông
trình
x
VÍ DỤ 9 Giải phương trình ma tr n sau
⎞⎟⎠
BÀI GIẢI
ặt ;
⎞⎟⎠
⎜ ⎟⎝ ⎠3x
ậ
⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
1 3 1 22 5 3 4
X
Đ1 32 5
A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 23 4
B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Ta có
1 1 2 5 3 1 13 4 2 1 7 5
XA B X BA− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= ⇒ = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
47
Chú ý: Có thể xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép nhân ma trận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính. Từ đầu bài suy ra X là ma trận vuông cấp 2 ta có ⎛ ⎞⎜ ⎟
1 2
⎝ ⎠3 4 x xx x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 32 5
=
2 và 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 23 4
⇒ 1 2
1 2
2 13 5x xx x+ =⎧
⎨ + =⎩
3 4
3 4
2 33 5x xx x+ =⎧
⎨ + =⎩
Nên X=
VÍ DỤ 10 Tìm X từ hệ sau
⎞⎟⎠
BÀI GIẢI
Đặ ; ;
Nếu det(A) 0 thì có ma trận A
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1-7 5
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛−=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
1 -2 1 3 15 6 5 8 2 7 9 4
X
t 1 2
5 8A
− −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
1 32 7
B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
15 69 4
C ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Ta có AXB=C ≠ -1
Và nếu det(B)≠ 0 thì có ma trận B-1 -1AXB B-1= A-1C B-1 Nên X= A-1C B-1 Khi đó A
Vậy 8 2 15 6 7 31X5 1 9 4 2 12
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
=
138 56
7 3 427 179184 34 2 1 328 1432
− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
48
VÍ DỤ 11 Cho các ma trận 1 2 1−⎛ ⎞
( )⎜ ⎟3 1 2 ; B = 4 3 7 1
= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
Am
2
a) Với giá trị nào của m thì ma trận A khả nghịch? b) Với m = 1, hãy tìm ma trận X sao cho XA =B.
ÀI IẢI a) Ma trận A khả nghịch khi B G
det 0A ≠ .
và 13det A = 5 13 det 05
m A m− + ⇒ ≠ ⇔ ≠
b) Với m = 1 thì 1 2 13 1 22 1 1
A−⎛
⎜⎞⎟ det 10A= ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇒ =
ận nghịch đảo Ta có ma tr 1
3 1 51 1 3 5
105 5 5
A−
−⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜−⎝
⎟− ⎠
Từ 1XA B X BA−= ⇔ =
Vậy ( )3 1−⎛ 5 20 2
1 45 5 5 0 3
− −⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T T
Y
14 3 7 1 3 5⎜= −X 4010 10
3=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −
HA ( )2 4 3= − −X
ý: Nếu det(A)= 0 thì A KHÔNG có ma trận A-1
Có thể xác định cấp của ma trận, rồi thực hiện phép nhân ma ận đưa về giải hệ phương trình tuyến tính bằng PP GAUSS.
Chú
tr
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
49
BÀI TẬP CHƯƠNG II 2.1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau
1a) 2 3 7 16x y z+ − =⎨
⎪b) 1 2 32 3 1
1x x x
2 6x y z+ − =⎧⎪
5 2 16x y z+ + =⎩ 1 2 32 3x x x
1 2 33 2 5x x x+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
c) ⎪
1 2 3 42 4 2 2x x x x+ − + =⎧
2 3 4
3 4
4
2 6 2 3 1 1
x x xx x
x
+ + =⎪⎨ + = −⎪⎪ = −⎩ 4
d)
6848
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
22 2 33 2 22 3 2
x x x xx x x xx x x xx x x x
+ + − =⎧⎪
2 3− − − =⎪
⎨ + − + =⎪⎪ − + + =⎩
2.2. Tìm để hệ phương trình sau vô nghiệm
a)
b) 1
m
( )4 2 14 2 1
x y zx y m z
⎪+ + = −⎨− + − = −
2 3 7x y z⎧ − + = − =
5⎪⎩
22 5 2 2 23 7 3 3 1
x y z t mx y z t mx y z t
+ − +⎧⎪ + − + = +⎨⎪ + − + =⎩
để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
1
2.3. Tìm a
a) 2 2
x y 2 33
z
3 3 4x a y− +⎨
⎪z
=⎧
=x y z+ + =⎩ ( ) (2x a y a− + + + −⎩
− +⎪ b)
0( )
)
2 3 02 4 7 0
1
x y zx a y z
z
⎧ − + =⎪
+ − + =⎨⎪ =
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
50
2.4. Cho hệ phương trình
3( )
)3
1 2 3
2 5 2 4
1
x m x x
m x m
⎪+ + − =⎨
( ) (1 2
3x m x⎪
1 2 32 1x x x⎧ + − =
+ + + − = +⎩
a) Tìm t. iệ
m để hệ phương trình có nghiệm duy nhấ b) Tìm để hệ phương trình có vô số ngh m. Tìm
nghiệm tổng quát trong trường hợp đó. .5. Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau
3
b)
m
2
a) ( )
( )( )
1 2 3
1 2
1 2 3
1 1
1 1
1 1
a x x x
x a x x
x x a x
+ + + =⎧⎪
+ + + =⎨⎪ + + + =⎩
2
1x y zx y zx y z
λλ λ
λ λ
⎧ + + =⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
2.6. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau
0
a)
b) 1 2 3
1 2 3
1 2 3
02 2 0
10 6 0
x x xx x x
x x x
+ − =⎧⎪ − + =⎨⎪ + − =⎩
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
2 2 0 3 5 0
4 6 9 7
x x x xx x x
x x x x
+ + + =⎧⎪ − − =⎨⎪ + + + =⎩
2.7. 2 0 0⎛ ⎞
Tìm ma trận sao cho
2.8. Cho hệ phương trình
3 0
X0 0
X = ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( ) ( )
1 2 3
2 3
1 2
3 02 5 7 0
2 1
x x xm x x
x m x m x
⎧ + =⎪
+ − + =⎨⎪
1
2x−
− + + + − =⎩
a) Tìm để hệ có nghiệm duy nhất. b) Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ khi
m 0m =
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
51
2.9. Giải các phương trình ma trận sau
⎠ b)
⎞⎟⎠
a) 1 2 6 4
X⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟3 4 4 2⎝ ⎠ ⎝
1 3 1 22 5 3 4
X ⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
c) 1 0 1 1 20 1 1 3 1X⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d)
1 2 1 0 1 12X
1 1 0 2 4⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 7 1 1 1
3 3 2 1 12
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ = −⎟ ⎜ ⎟
⎟⎠
2.10. Giải các phương trình ma trận sau
a) ⎞
c)
⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
9 10⎟⎠b) X
3 1 5 6 14 165 2 7 8
X−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝( )
2 07 3
3 1−⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎝ ⎠
( )0 3 3
5 1 61 3 4
X−⎛ ⎞
= −⎜ ⎟−⎝ ⎠ d)
213
2 4 21 2 1
3 6 3X
−⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜− = − −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜
⎞⎟⎟⎟−⎝ ⎠ ⎝
⎠
.11. Hãy xác định k để phương trình ma trận XA=B có
m. k= đó
2nghiệTìm ma trận X với 14 trong
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟
1 3 -21 3 5
A= 2 k 3 vaø B=1 2 3
⎝ ⎠4 k 1
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
52
CHƯƠNG III ÁC BÀI TOÁN ỨNG D NG TRONG KINH TẾ
Trong nền kinh tế thị trường, các doanh nghiệp luôn luôn
ng hoạt động của mình sao cho lợi nhuận đạt được là cao
nhất. Nhà nước lãnh đạo tế thông qua các chính sách
inh tế của mình, chứ không phải bằng mệnh lệnh, như trong
h. Thông thường nhà
ước điều hành nền kinh tế kế hoạch. Khi đó nhà nước điều
h nền kinh tế thông qua các ch h sách về thuế và lãi suất
Sau đây chúng ta xét một số bài toán thường gặp trong kinh
nh và điều hành kinh tế.
3.1 Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA O HÀM Biên tế
là các quan hệ hàm. đại lượng kinh tế x và y được liên hệ với nhau
bằng quan hệ hàm y=f(x). Quan hệ trên cho phép chúng ta nghiên cứu sự th đổi của đại lượng y khi đại lượng x thay đổi. Ta sẽ luôn giả thuyết rằng hàm số f(x) có đạo hàm tại m i điểm. Ta xét tại trạng thái
)
C Ụ
hướ
nền kinh
k
nền kinh tế tập trung, nền kinh tế kế hoạc
n
hàn ín .
doa
ĐẠI.
Khi xét đến các mô hình kinh tế, chúng ta luôn luôn quan tâm đến quan hệ giữa các đại lượng kinh tế. Đặc biệt khi các quan hệ giữa các đại lượng kinh tế1.Giả sử các
ay
ọ0 0,x( y , trong đó 0 0( )y f x= . Chúng ta muốn biết tại trạng
ái đó , khi x tăng lên 1 đơn vị, thì đại lượng y thay đổi bao nhiêu. Điều đó dẫn chúng ta đ một khái niệm trong kinh tế: đại lượng biên tế.
thến
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
53
a) Định nghĩa: Biên t đại lượng x tại , ế của đại lượng y theo 0xkí hiệu là 0M ( )x y x là độ biến đổi của đại lượng y khi đại lượ x tăng lên 1 đơn vị. b) Biểu thức toán học của biên tế
ng
Giả sử tại 0x ta cho x tăng lên 0x x xΔ = − đơn vị. Khi đó độ biến đổi tương ứng của đại lượng y sẽ là
0 0 0( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f xΔ = − = + Δ − . Vậy khi x tăng lên 1 đơn vị độ biến đổi trung bình của đại
lương y sẽ là 0
0
( ) ( )f x f xyx x x
−Δ=
Δ −
Để biết được chính xác độ biến đổi của đại lượng y khi x tăng lên 1 đơn vị, tại trạng thái 0 0( , )x y ta phải chuyển qua giới hạn khi x tiến tới 0x tức là
0M ( )x y x0
0( ) ( )lim
x x 0
f x f xx→ x−
=− 0
limx
yxΔ →
Δ=
Δ.=f’( 0x )
Như vậy biên tế của đại lượng y theo đại lượng x tại là
i, nếu không sợ nhầm lẫn ta viết
0xđạo hàm của hàm số f(x) tại điểm 0x .
Đôi kh 0M ( )y x thay cho
0M ( )x y x . VÍ DỤ 1 Nếu ta xét mô hình sản xuất một loại sản phẩm, trong mô hình này tổng chi phí C có thể coi như một hàm của tổng sản lượng Q là ( )C C Q= Vậy chi phí biên tế ( )MC Q là đạo hàm của hàm ( )C Q .
( ) '( )MC Q C Q= VÍ DỤ 2 Chi phí C(Q) phụ thuộc vào sản lượng Q và có mô
g chi phí sản xu oanh nghiệp là:
hình tổn ất của d
= − + + >3 2C(Q) Q 5Q 14Q 144; (Q 0)
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
54
Chi phí biên của C theo Q (chi phí cận biên), kí hiệu
2) 3Q 10Q 14= − + MC(Q
Xét tại mức 0Q 100= thì MC(100) 29014=
Ý nghĩa
= Đang sản xuất với tổng sản lượng 0 nếu tăng sản
lượn vị. Như í tăng thêm là
hàm :
0Q 10
ực tế chi phQ
y, , ,x x
ng lên một đơn vị thành Q 101= thì tổng chi phí tăng thêm 29014 đơ
1ng trong th
ế
− = = ∫ 1
01 0 Q
C(Q ) C(Q ) 29310 MC(Q)dQ
2. Giả sử ta có các đại lượng kinh t , x… liên hệ với nhau bằng quan hệ
1 2 n
1 2( , , , )ny f x x x= … .
Như vậy j j
y fx x∂ ∂
=∂ ∂
với 1 j n≤ ≤ là tỉ số của ến i
ị tại trạng thái :
của đại
độ bi đổ
của đại lượng y khi jx tăng lên 1 đơn v
( 1x
theo đại lư j
)2, , , ,j nx x x… … .Đó là đại lượng biên tế lượng y
ợng x tại trạng thái ( ), , , nx…1 2x x và ta kí hiệu :
jxj
fM yx∂
=∂
( )1 2, , , nx x x… .
VÍ DỤ 3 Ta xét hàm sản xuấ trong ó K là vốn ; L là
lao động ; Q là khối lượ đầu ra). Đây là hàm hai
thể lấy các đạo hàm riêng
t Q=Q(K,L)ng sản phẩm (
đ
biến. Giả thiết hàm này có các đạo hàm riêng liên tục. Ta có QK∂∂
và QL
∂∂
.
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
55
Đạo hàm riêng QK∂∂
là tỉ số của sự thay đổi của đại lượng Q
đổi vô cùng bé của đại lượng K trong khi lao
hay đổi. V
đối với sự thay
động không t ậy QK∂∂
tượng trưng cho hiệu suất biên
tế của vốn.
Tương tự QL
∂∂
là tỉ số của sự thay đổi ng Q đối với
sự thay đổi vô cùng bé của đại hi vốn không thay đổi.
Vậy
của đại lượ
lượng L kQK∂∂
chính là năng suất lao động biên tế.
II. Hệ số co giãn được liên hệ u
a) Độ i tuyệt đối và thay đổi t T đại lượng x. Khi ta lấy
1.Giả sử các đại lượng kinh tế x và y với nhabằng quan hệ hàm y=f(x).
thay đổ độ ương đối a xét một x x xΔ = − thì 0 xΔ được
gọi là độ thay đổi tuy đối của đại lượng x.
x. Ví dụ, đại lượng x diễn tả trọng lượngcủa sản phẩm ch ng hạn. Ta hãy ta chọn đơn vịđể đo trọng lượ là kilôgam thì
ệt Độ thay đổi tuyệt đối của đại lượng x phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo đại lượng
ẳ hình dung, nếu ng 2 ( )x kgΔ = .
ì khi đó x V
đơn vị để đo trọng lượng là tấậy khi ta chọn
n, th 0,002Δ =i người của đạ
(tấn). Vì vậy trong kinh tế, ngoài độ biến i ta còn xét
i tương đối. Độ biến i lượng x tạ hư tỷ số a
đổi tuyệt đốđổi tương đố giữ
độ biến đổi 0x được định nghĩa n a độ biến đổi tuyệt đối củ
x với 0x tức là bằng 0
xxΔ .
Độ biến đổi tương đối củ ại lượa đ ng x không phụ thuộc vào đơn vị chúng ta chọn để đo.
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
56
VÍ D ọ
à:
Ụ 4 Nếu ta ch n đơn vị để đo là kilôgam, xét tại =100.000.000(kg) và độ biến đổi tuyệt đối
5.000.000xΔ = (kg) thì độ biến đổi tương đối sẽ l0x
0
5100
xxΔ
= =(5%).
Nếu ta chọn đơn vị để đo trọng lượng là tấn thì :
(t0x =100.000 (tấn) và khi đó độ biến đổi tuyệt đối của x
5.000xΔ = ấn) và độ biến đổi tương đối của x vẫn bằng
0 0.000 100xĐộ ến đổi tương đối thường đo bằng phầ
5.000 5xΔ= = (=5%).
10 bi n trăm (%).
ại trạng thái )
Nếu ta lặp lại việc xét sự phụ thuộc của đại lượng kinh tế y
vào đại lượng kinh tế x t 0 0( ,x y với
0 0( )y f x= cũng giống như khi ta xét biên tế, nhưng b ờ
thay cho độ biến đổi tuyệt đối của x và y là
ấy gi
) ( ,x yΔ Δ bằng độ
biến đổi tương đối của chúng 0 0
,x yx y
⎛ ⎞Δ Δ⎜ ⎟⎝ ⎠
thì ta sẽ được một đại
lượng mới, mà trong kinh tế gọi là hệ số co n.
b) Định nghĩa
Hệ số co giãn của đại lượng y theo đại lượng x tại 0x , ta kí
0yx
giã
hiệu là ( )xε là độ biến đổi tương đối của đại lượng y (tính
ra %) khi đại lượng x tăng tương đối lên 1(%).
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
57
c) Biểu thức toán học của hệ số co giãn
Ta xét ( )y f x= tại điểm 0x . Ta cho ăng lên xx t Δ đơn vị
tăng tuy( xΔ là độ đối) th ng tương đối ệt ì x tă0
100× (%)xxΔ .
Khi đó, độ biến đổi tuyệt đối tương ứng của đại lượng y sẽ là
0 0 0( ) ( ) ( )( )y f x f x f x x f x− = + Δ − . Độ biến đổi tương
ẽ là:
Δ =
đối của đại lượng y s 0 )
0 0
( ) (100% 100%
f x f xy yy −Δ× = ×
Vậy khi x tăng tương đối lên 1% thì độ biến đổi tương đối
trung bình của đại lượng y sẽ là :
0
0
100
100
yx
×
Δ×
Để biết được chính xác độ bi ơng đối của đại lượng
y tại 0x khi x tăng lên 1% ta phải chuyển qua gi
(%)
y
x
Δ
ến đổi tư
ới hạn khi
0xΔ → .
Tức là chúng ta có: 0 00 0
0 0( ) lim . '( )yx
x xyx f x0
.x x y y
ε Δ= = Δ → Δ
VÍ DỤ 5 Ta xét khối lượng cầu DQ v
( )p
ề một loại hàng nào đó
ô hình thị
ường một loại hàng:
phụ thuộc vào giá bán p của loại hàng đó. Trong m
tr DQ Q= .Nói chung khối lượng cầu
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
58
DQ nghịch biến với giá bán của nó (p). Tức là khi p tăng thì
cầu sẽ gi ể khối lượng ảm. Để th hiện được tính chất trên ta giả
thuyết '( ) 0Q p < với mọi p>0.
(giảm đi bao nhiêu %) khi giá bán p tăng lên 1%. Như vậy ta
Chúng ta muố
số co giãn c
n biết độ thay đổi tương đối của lượng cầu
ệ ủa hàm cầu xét h ( )Q pε .
ệ
Th
u
ông thường hệ số co
giãn của hàm cầu người ta kí hi Dε thay cho kí hiệu
QPε .V o giãn của hà được tính theo công thức: ậy hệ số c m cầu
'( ).DpQ pQ
ε = .
Vì giá p và khối lượng cầu Q là dương và '( ) 0Q p < nên
0Dε <
Chú ý:
.
Trong một số sách kinh tế người ta còn định nghĩa hệ
số co giãn của hàm cầu: '( ). 0DpQ pQ
ε = >
VÍ DỤ 6 Cho hàm cầu PDQ 1000 5= − , hệ số co giãn Dε là
: D Q (P)′ε =P 5PQ 1000 5⋅ = −
−
P
Tại P 120= , D 0(P ) 1,5(%)ε = − hĩa là khi đang bán với đơn giá 0P 120= , nếu ta tăng giá lên 1%, thì lượng cầu sẽ giảm đi khoảng 1,5%.
, ng
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
59
VÍ DỤ 7 Lượng cầu DQ của một loại hàng phụ thuộc vào giá
bán p của nó như sau: 6000 2DQ p= − .
a) co giãn của hàmTìm hệ số cầu.
b) Xét tại giá bán p=2000 và p=1200 thì hàm cầu sẽ thay
đổi bao nhiêu?
BÀI GIẢI
a) Hệ số co giãn của hàm cầu: 2.Dp p
ε−
= = '6000 2
QQ p−
b) Nếu thì 2000p = 2Dε = − tức là tại đó khi giá bán p tăng
lên 1% thì khối ợng cầu giảm đi 2%. lư
Nếu 1200p = thì 4 26 3Dε− −
tăng lên ợng cầu giảm đi 2%.
= = , tức là khi giá bán p
3% thì lư
d) Phân loại điểm trạng thái: Dựa vào hệ số co giãn người ta
phân loại điểm trạng thái ( )0 0,x y của hai đ ượng x và y.
Trong kinh tế người ta định nghĩa như sau:
ại l
• Nếu 0( ) 1yx xε > thì điểm ( )0 0,x y được gọi là điể co
giãn.
m
ếu • N 0( ) 1yx xε = thì điểm ( )0 0,x y được gọi là điểm
đẳng co g hi còn gọi là điểm co giãn đơn vị). iãn (đôi k
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
60
• Nếu 0( ) 1yx xε < thì điểm ( )0 0,x y được gọi là điểm
không co giãn.
Quay lại ví dụ 7:- Nếu giá bán 200p 0= thì 2 1Dε = > . Do
-Còn nếu giá bán
đó trạng thái đang xét ở điểm co giãn.
1200p = thì 2 13Dε = < ,
trạng thái đang xét ở điểm không co giãn.
Còn tại điểm đẳng co giãn, giá bán p được tính như sau
2 1 2 6000 2 4 6000 15006000 2D p p
p−p p pε = = ⇒ = − ⇒ = ⇒ =
giãn viế ạng vi phân
Như chúng ta đã biết hệ số co giãn
e) Hệ số co t dưới d
yxε được viết dưới
dạng ' .yxxyy
ε = và ta lại biết vi phân ' .dy y dx= suy ra
: ' dyydx
= . Thay biểu thức vừa tìm được vào biểu thức của hệ
, ta số co giãn sẽ có : .yxdy xdx y
ε =
Biểu thức trên ta có thể biến đổi đưa về dưới dạng sau đây:
(ln ).yx yx
dyd
(ln )y x d yy
dxdx y d xx
ε ε= = ⇒ = .
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
61
2. Trường ợp tổng quát: Xét mối quan hệ kinh tế h= 1 2 nY f (x , x ,..., x )
Ta có Δ ix
: % sự thay đổi của xi
xi ;
YYΔ : đổi củ% sự thay a Y
Hệ số co giãn riêng của Y theo biến xi
Δ
Δε = =
Δ ΔiY xi
Y
x x Y⋅ i
i
xYY
Nếu khả vi theo biến , ta có
ix
= 1 2 nY f (x , x ,..., x ) ix
∂ε = ⋅
∂i
i iY X
i ix Y=
x Mf(x )fAf (x )
Ý n
i 1% thì Y
ghĩa: Trong điều kiện các yếu tố khác không đổi, nếu
thay đổ thay đổi
ix
εiY x %.
p sau Khi tất cả các biến cùng thay đổi 1%, ta có hệ số co giãn toàn hần như
VÍ hàm Cobb Douglas như sau
DỤ 8 Xét mối quan hệ giữa các biến được biểu diễn qua
321Q f (L,K) L Kββ= = β
Tìm hệ số co giãn của Q
=
ε = ε∑ i
n
Y X Y Xi 1
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
62
BÀI GIẢI
Hệ số co giãn riêng của Q theo L
32
32
11 2 2Q L
1
Q L LL KL Q L K
ββ −ββ
∂ε = ⋅ = β β ⋅ = β
∂ β
Hệ số co giãn riêng của Q theo K
32
32
11 3 3Q K
1L Kβ
Q K KL KK Q
β −βββ
∂ε = ⋅ = β β ⋅ = β
∂
Hệ số co giãn của Q theo L và K
2 3Q L,Kε = β + β
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
63
3.2 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN TRONKINH TẾ
G
I. Bài toán tìm sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa
n xuất độc quyền một loại sản phẩm.
u của xí nghiệp xét trong một đơn vị thời gian là :
1. Bài toán
Giả sử một xí nghiệp sả
Biết hàm cầ
( )DQ D P= . Trong đó, DQ là lượ
b
ng hàng cầu, P là đơn giá
tổng chi pán.Và hàm hí: ( )C C Q= , trong đó C là tổng chi
ng một đơn vị thời gian.
Hãy tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
. Lược đồ giải bài toán
sản phẩm trong một đơn vị
ết số sản phẩm trên, xí nghiệp chỉ có
thể bán với giá cao nhất p sao cho .
Từ đó ta suy ra
phí, Q là tổng sản lượng sản xuất tro
2
Giả sử xí nghiệp sản xuất ra Q
thời gian. Khi đó để bán h
( )DQ Q D P= =
1( ) ( )P P Q D P−= =
(D có hàm ngược vì D là hàm giảm).
Vậy doanh thu của xí nghiệp sẽ là ( ) ( ) .R Q P Q Q=
Lợi nhuận của xí nghiệp: ( ) ( ) ( )Q R Q C Qπ = −
a 0Q > để
và mức sản
ng Q chính là giá trị củlượ π đạt cực đại tại Q.
rước hết chúng ta hãy xét điều kiện cần. Ta giả thiết tất cả các
àm đều có đạo hàm liên tục đến cấp 2.
Để
T
h
π đạt cực đại tại Q thì '( ) '( ) '( ) 0Q R Q C Qπ = − =
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
64
hay: ( ) ( ) 0MR Q MC Q− = ( ) ( )MR Q MC Q⇔ =
Vậy qua điều kiện trên ta rút ra một kết luận quen thuộc trong
hân tích kinh tế: Muốn cho xí nghiệp có lợi nhuận tối đa, thì
phí biên tế. Tất nhiên đó chỉ là điều kiện cần chứ
ả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại
gian là
p
xí nghiệp phải sản xuất mức sản lượng sao cho doanh thu biên
tế bằng chi
không phải là đủ.
VÍ DỤ 1 Gi
sản phẩm. Biết hàm cầu của xí nghiệp xét trong một đơn vị thời
1600 .2
P= − và hàm tổng chi phí
3 261,25 ,5 2000C Q Q= − +
Hãy tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
DQ
BÀất Q sản phẩm thì để bán hết số sản
phẩ
1528Q +
I GIẢI Nếu xí nghiệp sản xum trên, xí nghiệp chỉ có thể bán với giá tối đa là p sao cho:
1600 hay 1200 22
Q P P Q= − = −
Doanh thu của xí nghiệp sẽ là: (1200 2 )R Q Q= −
Lợi hiệp: nhuận của xí ng π =R-C 2 3 2
3 2
1528,5 2000
2000
Q− −
1200 2 61,25Q Q Q Qπ = − − +
59,25 328,5Q Q Q= − + − −Đạo hàm bậc nhất, bậc hai của π ta có
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
65
2' 3 118,5 328,5d Q QdQ
2''d
2 6 118,5QdQ
π π= = − + −
π π= = − +
Giải phương trình 2' 0 3 118,5 328,5 0Q Qπ = ⇒ − + − =
Ta được 1 23, 36,5.Q Q= =
Tại điểm 1 3Q = ta có: 2
2 (3) 6 3 118,5 0ddQπ
= − × + >
Vậy π đạt cực tiểu tại 1 3Q = (loại) Tại điểm 2 36,5Q = ta có:
2d π2 (36,5) 6 36,5 118,5 90,5 0
dQ= − × + = − <
Vậy π đạt cực đại tại 2 36,5Q = . Khi đó max 16.318,44π = đơn vị tiền tệ.
ột xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biế
thờ
II. Bài toán thuế doanh thu 1. Bài toán Giả sử m
t hàm cầu của xí nghiệp trong một đơn vị thời gian: ( )DQ D P= và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị
i gian: C C( )Q= Hãy xác định mức thuế địn
nghiệp để thu được của xí nghih trên 1 đơn vị sản phẩm của xí ệp nhiều thu nhất.
1 đơn vị sản phẩm của xí nghiệp là . Khi đó xí nghiệp sẽ điều chỉnh mức sản lượng sao cho lợi nhuận của xí nghiệp lớn nhất.
ế 2. Lược đồ giải bài toán
Giả sử ta định mức thuế trên0t >
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
66
Trước hết ta hãy tìm hiểu quy luật để xí nghiệp điều chỉnh mức sản lượng của mình.
Nếu xí nghiệp sản xuất ra sản phẩm trong một đơn vị thờ u t số sản phẩm, xí nghiệp chỉ có thể bán vớ tối đa là p sao cho
. Từ phương trình trên ta tìm được
Q
i giái gian, khi xí nghiệp muốn tiê thụ hế
( )DQ Q D P= =( )P P Q= .
Doanh thu của xí nghiệp sẽ là ệp là t
hiệp là
( ) .R P Q Q= Thuế thu được từ xí nghiLợi nhuận của xí ng
.T Q= ( ) . ( ) .P Q Q C Q Q tπ = − −
Vậy xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức sản lượng ( )Q Q t= để π đạt
Khi đó thuế thu được từ xí nghiệp là: cực đại.
( ) .T Q t t= Để thu đư a xí ngh i ợc củ iệp nhiều thuế nhất thì phả định
mức thu t sao cho T c i. ý: àmế ực đạ
Chú Thông thường h ( )Q t Q = xác định ở trên là một hàm o t, và m ác định theo hai cách trên thường rất cao. Với mức thuế như vậy, xí nghiệp sản xuất cầm chừng, không tận dụng hết khả năng sản xuất của họ. Do đó sẽ dẫn đến một số hậu quả xã hội như thất nghiệp, … Vì lý do đó, nhà ức thuế t p hơn để khuyến khích sản sẽ nói rõ hơn tron au
ền một loại sản ghiệp trong một đơn vị thời gian
Hãy xác địnể thu đượ ủa xí nghiệp nhiều thuế nhất.
rên một đơn
giảm the ức thuế x
nước thường định ở m hấ xuất. Ta g ví dụ cụ thể s
ản xuất độc quyVÍ DỤ 2 Giả sử một xí nghiệp shàm cầu của xí nphẩm. Biết
2800DQ P= − và hàm chi phí sản xuất trong thời gian ấy là 2( ) 1000 120C Q Q Q= + + .
a) h mức thuế t định trên 1 đơn vị sản phẩm của xí nghiệp đ c c
b) Nếu muốn xí nghiệp sản xuất không ít hơn 400 sản phẩm trong một đơn vị thời gian thì mức thuế t định ra tvị sản phẩm là bao nhiêu?
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
67
BÀử x
iá cao nhất xí nghiệp có t
I GIẢI a) Giả s í nghiệp sản xuất ra Q sản phẩm trong một đơn
vị thời gian khi đó để bán hết sản phẩm, ghể bán là p sao cho: 2800 hay 2800Q P P Q= − = − . Doanh thu của xí nghiệp sẽ là: Q
là(2800 ).R Q= −
Thuế thu được của xí nghiệp : .T Q t= Lợi nhuận của xí nghiệp π =R-C-T
2 2− − − − −
22 (1800 ) 120Q t Q= − + − −
2800 1000 120 .Q Q Q Q t Qπ =
Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 của π ta có
' 4 1800QdQdπ π t= = − + − ;
2
2 '' 4 0ddQπ π= = − <
Vậy π đạt cực đại khi và chỉ khi ' 0 4 1800 0Q tπ = ⇒ − + − = Từ đó ta suy ra xí nghiệp luôn luôn điề ức su chỉnh m ản
lượng theo công thức 1800 tQ4−
=
Vậy thuế thu được từ xí ngh iệp sẽ là 21 1(1800 ) (1800 )
4 4T t t t t= − = −
Lấy đạo hàm cấp 1, cấp 2 của T ta có 1 1' (1800 2 ); '' 04 2
T t T −= − = <
Vậy để thu được nhiều thuế nhất ta phải định mức thuế t
sao cho 1' (1800 2 ) 0T t= − = hay 900t =
ất 4
Khi đó xí nghiệp sản xu ở mức
01800 900
4Q −
= =225 sản phẩm / 1 đơn vị thời gian
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
68
b) Nếu ta muốn xí nghiệp sản xuất không ít hơn 400 sản phẩm trong một đơn vị thời gian thì mức thuế t trên 1 sản phẩm sẽ là
1800 4004
≥ 200t⇒ ≤
Từ đó ta suy ra kết luận: Để thu được nhiều i đị
t−
thuế nhất của xí nghiệp thì phả nh mứ n vị tiền). Muốn xí nghiệp sản đ n vị thời gian thì mứ n 00 (đơn vị tiền). III. Bài toán định mức thuế nhập khẩu 1. Bài toán G sử biết hàm cung và hàm cầu về 1 loại sản phẩm cho thị trườ
c thuế trên 1 sản phẩm là 900 (đơ xuất không ít hơn 400 sản phẩm trong 1 ơc thuế tối đa định trên 1 sả phẩm là 2
iảng nội địa là ( )SQ S P= và ( )Q D P=D
c tế cộng vớ.Biết rằng giá bán
sản phẩm đó trên ố i chi phí nhập khẩu (chưa kể thuế) là
thị trường quP nhỏ hơn giá 0P tại điểm cân bằng c a thị
trườ i c độc quyền nhập loại hàng trên. Hãy định mức thuế t trên 1 sản phẩm để thu được của hập khẩ ng
2. Lược đồ giải bài toán ị sản phẩm, tất nhiên
và
ủng nộ địa. Giả sử một công ty đượ
công ty nhiều thuế nhất (giả thiết rằng, khối lượng nu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán trên thị trườ
quốc tế)
Giả sử t là mức thuế định trên 1 đơn v0t > 0P t p+ < . Khi đó công ty nhập về bán với giá P:
0t P p< < thì khối lượng công ty có P + thể nhập về là Q sao cho
( ) ( ) ( ) ( )Q S P D P Q D P S P+ = ⇒ = − Khi đó lợi nhuận của xí nghiệp sẽ là
[ ] [ ] [ ]( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ].
. ( )
P D P S P D P S P P D P S P
p
π = − − − − −
= −
t
P P t D p S− −
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
69
Ta tìm ( )P P t= để π đạt cực đại. Khi đó thuế nhập khẩu thu được sẽ là [ ]. ( ( )) ( ( ))D P t S P t− T t=
Mức thuế t định trên 1 sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất là 0t > sao cho T đạt cực đại. VÍ DỤ 3 Giả sử biết hàm cung và hàm cầu về 1 loại sản phẩm cho thị trường nội địa và giá bán ẩm đó trên thị trường quố í khẩu (chưa kể thuế) là
sản phc tế cộng với chi ph nhập p :
( ) 4200 ; ( ) 200 ; 1600D P P S P P P= − = − + = Giả sử một công ty được độc quyền nhập loại hàng trên. a) Hãy định mức thuế t trên 1 sản phẩm để thu được của
công ty nhiều thuế nhất (giả thiết rằng, khối lượng nhập khẩu trên thị trường quốc
ẩu t là bao nhiêu?
ng chính là khối lượng hàng mà công ty sẽ nhập. Nếu sản phẩm thì số thuế thu được sẽ là
Lợi n của công
của công ty không ảnh hưởng đến giá bántế). b) Muốn giá bán tại thị trường nội địa không dưới 2100 thì mức thuế nhập kh
BÀI GIẢI
a)Nếu công ty nhập hàng về và bán với giá p thì khối lượng bán được sẽ là:
Đó cũ
t là mức thuế định trên 102( )p p t−
huận ty T =
0 0 0( ) 2( ) 2( )p p p p p p p p t− − − − −2
0 0 0
2
2 2( ) 2 2p p p t p p P p t
π =
= − + + + − −
2' 4 2( );p P p tπ π= = − − + + =0 2 '' 4 0d d
dp dpπ π
= − <
0 0( ) ( ) 4400 2 2( ); ( 2200)Q D p S p p P P P= − = − = − =
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
70
Vậy công ty thu được lợi nhuận cao nhất khi bán với giá để: ( )p p t= 0' 0 4 2( ) 0p p p tπ = ⇒ − + + + =
Tức làmm 0 119002
tp t+
Vậy khi đó thuế2
p p+ += =
thu được sẽ là 2
01 1 11900 2 300 600T p t t t t⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = − = − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
2 2 2 ⎠
'( ) 2 600T t t
= ⎟
= − + ; ''( ) 2 0T t = − < Vậy T đạt cực đại khi '( ) 2 600 0 300T t t t= − + = ⇒ = Khi đó giá bán tại thị trường nội địa sẽ là
1900 150 2050P = + = hì b) Muốn giá bán tại thị trường nội địa không dưới 2100 t
mức thuế nhập khẩu là t sao cho 11900 21002
t+ ≥
Từ bất phương trình trên ta suy ra 400t ≥ Do đó, thuế nhập khẩu tối thiểu phải là 400 đơn vị tiền tệ trên 1 sản phẩm. Vậy nếu muốn bảo trợ cho hàng sản xuất nội địa thì nhà nước
huế nhập khẩu để sao cho giá bán không được thấp
G sử hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội địa là:
phải đánh tquá. IV. Bài toán định mức thuế xuất khẩu
. Bài toán 1 iả
( )S P= và ( )DQ D pSQ = .Biết rằng giá bán sản phẩm trên thị
trường quốc tế là 0 0;p p p> là đơn giá bán tại điểm cân bằng ộcủa thị trường n i địa. Một công ty được phép độc quyền xuất
y định mức thuế xuất khẩu t trên 1 đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất (với giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu không làm thay đổi giá bán sả ẩm đó trên thị trường quốc tế).
khẩu mặt hàng trên. Hã
n ph
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
71
2. Lược đồ giải bài toán Giả sử t là mức thuế định trên 1 sản phẩm. Kh đó công ty i
sẽ thu mua với giá bán ( )0( )p p t p p p t= < < − sao cho l
u về t
ợi
nhuận th là lớn nhất. Với giá p, công ty sẽ hu mua được với khối lượng hàng là: ( )( ) ( )S p D p−
Lợi nhuận công ty sẽ có [ ] [ ] [ ][ ]( )
0
0
) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) . (S p D p p S pπ = − − D p p S p D p t
S p D p p p t
− − −
= − − −
Công ty sẽ thu mua với giá ( )p p t= để π đạt cực đại. Khi ó thuế xuất khẩu thu đượ đ c sẽ là
( ) ( )) .( ) (T S p t D p t⎡= −⎣ t
c t
⎤⎦Ta tìm 0t > để T đạt cực đại.
VÍ DỤ 4 Giả sử hàm cung và hàm cầu tại thị trường nội địa và giá bán sản phẩm trên thị trường quố ế là p
( ) 200S p p= − + ; ( )D p 4200 ; 3200p p= − = xuất kh u mặt hàng trên.
Nếu ta muốn giá tiêu dùng tại thị trường trong nước ẩu phải là bao nhiêu
với giá p thì số lượng slà
Một công ty được phép độc quyền ẩ a) Hãy định mức thuế xuất khẩu t trên 1 đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất (với giả thiết rằng lượng hàng xuất khẩu không làm thay đổi giá bán sản phẩm đó trên thị trường quốc tế). b)không vượt quá 2400 thì mức thuế xuất khBÀI GIẢI a) Giả sử thuế xuất khẩu là t trên 1 sản phẩm và công ty thu mua ản phẩm công ty thu mua được sẽ
0( ) ( ) 2 4400 2( 2200) 2( )S p D p p p p p− = − = − = − ( 0 2200p = giá tại điểm cân bằng tại thị trường nội địa khi chưa xuất khẩu)
Lợi nhuận công ty thu được sẽ là
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
72
( )t0 0 0 02( ). 2( ). 2( ). 2( ).p p p p p p p p t p p p pπ = − − − − − = − − −
( )20 02 2 2 2p p p t p p p pπ = − + + − − + 0t
( )0' 4 2p P p tdp
π= = − + + − ; dπ 2
'' 0d ππ2 4
dp= = − <
Vậy π đạt cực đại khi ( )0' 0 4 2 0p p p tπ = ⇒ − + + − =
Từ đó suy ra 0( )2 2
p t =12700
p tt= −
Thuế thu được sẽ là
p + −
212 2700 2200 10002⎝ ⎠
Ta có
T t t t t⎛ ⎞= − − = − +⎜ ⎟
22 1000;d T d Tt
dt2 2 0dt
= − + = − <
c đạT đạt cự i khi 2dT t 1000 0dt
= − + = , tức khi 500t = .
Khi đó giá tại thị trường nội địa sẽ là ( ) 2700 250 2450p t = − = b) Ta cần tìm mức thuế xuất khẩu để giá tiêu dùng tại thị trường trong nước không vượt quá 2400
Gọi mức thuế là t ta có giá tiêu dùng tại thị trường nội địa
sẽ là 1 1( ) 2700 2400 300 6002 2
p t t t t= − ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥
Vậy muốn giá tiêu dùng tại thị trường nội địa không vquá 2400 thì mức thuế xuất khẩu không ít hơn 600 đơn vị tiền
sản phẩm.
ượt
tệ trên một
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
73
3.3 CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM 2 BIẾN TRON
KINH TẾ
G
ưu thường gặp trong kinh tế. Trước hết ta xét bài toán tìm mức sản lượng để thu được lợi nhuận lớn nhất cho xí nghiệp sản xuất nhiều loại sản phẩm.
Ta sẽ xét trong hai điều kiện; cạnh tranh hoàn hảo và sản xuất độc quyền. I. Bài toán 1 Xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm trong điều kiện cạnh
1. Bài toán ghiệp sản xuất n loại sản phẩm điều kiện
cạnh tranh hoàn hảo (trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo nhà sản m với giá do thị trường quyết định). Biết giá bán của các sản phẩm trên là
Sau đây ta xét một số bài toán tối
tranh hoàn hảo.
Xét một xí n trong
xuất phải bán sản phẩ1 2, , , nP P P…
i gian là n lượng
và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thờ
) . Tìm mức sả1 2( , , , nC C Q Q Q= … ( 1. )jQ j n của các phẩm trên trong một đơn vị thời gian để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. 2. L
của các loại sản phẩm ian. Khi đó doanh thu sẽ à :
=
loại sản
ược đồ giải Giả sử 1 2, , , nQ Q Q… là sản lượng
được sản xuất trong 1 đơn vị thời g l1 1 2 2 n nR P Q P Q P Q= + + +
Lợi nhuận thu được :
1 2 1 21
( , , , ) ( , , ,n j jj
)n
nR C Q Q Q P Q C Q Q Qπ=
= − = −∑… …
Mức sản lượng 1 2, , , nQ Q Q… phải tìm là các giá trị dương để hàm π đạt cực đại. VÍ DỤ 5 Giả sử một xí nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo, bán với giá 1 2,P P .
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
74
Hàm tổng chi phí : ìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
BÀI GIẢI
i. Theo đầu bài doanh thu của xí nghiệp là
2 21 2 1 1 2 2( , ) 2 2C Q Q Q Q Q Q= + +
T 1 2,Q Q
Giả sử xí nghiệp sản xuất 1Q sản phẩm thứ nhất ; 2Q sản phẩm thứ ha
1 1 2 2R P Q P Q= + Lợi nhuận của xí nghiệp
( )2 21 1 2 2 1 1 2 22 2P Q P Q Q Q Q Qπ = + − + +
Tính các đạo hàm riêng cấp 1
1 1 2 2 1 21 2
4 ; 4Q Q
P Q Q P Q Qπ π∂− = − −
nghiệm của hệ
∂= −
∂ ∂
Điểm dừng là
1
2
0
0
Q
Qπ
=⎪∂⎪⎨ ∂⎪ =⎪∂⎩
1 2 1
1 2 2
44
Q Q PQ Q P
+ =⎧⇒ ⎨ + =⎩
Dùng phương pháp Cramer ta được
π∂⎧
11 1 2 2
2 2
14 ; 4
1 4 4 1P 1
2 144 1
15;P
D D P D P= = = − P PP P
= = − =
Suy ra 1 2 2 12
4;
1514
15P P P P
QQ− −
=
u kiện đủ ta
=
Để xét đề tính đạo hàm riêng cấp 2 của π 2 2 2
2 21 2
4 ; 1 ;1 2
4A B CQ Q
= − = = − = = − =∂
=15>0 VÀ A < 0.
Vậy
Q Q∂ ∂ ∂2
π π π∂ ∂ ∂
Δ = −AC Bπ đạt giá trị lớn nhất tại ( )1 2,Q Q .
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
75
II. hi hiều sản phẩm trong điều kiện sản
n n sản phẩm. Biết hàm n loại sản phẩm trên trong một ơn
Bài toán 2 Xí ng ệp sản xuất nxuất độc quyền. 1. Bài toán
Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyề cầu của xí nghiệp về đ
vị thời gian là : ( )1 1 2, , ,
1D nP P P… Q D=
( )2 2 1 2, , ,D nQ D P P P= …
( ), , ,1 2nD n n
và hàm tổng chi phí của xí nghi
Q D P P P= …
ệp là 1 2( , , , )nC C Q Q Q= … Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
Giả sử là sản lượng của các loại sản phẩm mà xí nghiệ một đơn vị thời gian. Để bán hết các hải bán với giá
2. Lược đồ giải 1 2, , , nQ Q Q…p sản xuất trong
loại sản phẩm trên xí nghiệp p 1 2, , , nP P P… sao cho
( )1 1 2 1, , , nD P P P Q=…
( )2 1 2 2, , , nD P P P Q=…
( )1 2, , ,n n nD P P P Q=… Từ hệ phương trình trên ta tìm được
( )1 1 1 2, , , nP P Q Q Q= …
( )2 2 1 2, , , nP P Q Q Q= …
( )1 2, , ,n n nP P Q Q Q= … Doanh thu của xí nghiệp sẽ là
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
76
j( )1 2
1, , , .
nj n
jR P Q Q Q Q
== ∑ …
Lợi nhuận của xí nghiệp ( ) ( )1 2, , , , , ,1 2 n nR Q Q Q C Q Q Qπ = −… …
Mức sản lượng 1 2, , , nQ Q Q… phải tìm là giá trị dương để π đạt cực đại.
VÍ DỤ 6 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản àm cầphẩm. Biết h
mộtu về hai loại sản phẩm của xí nghiệp trong
đơn vị thời gian
1 1 240 2DQ P P= − + ; 2 1 215DQ P P= + −
và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian
Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa. BÀI GIẢI
Giả sử là sản lượng của sản phẩm thứ nhất và thứ hai củ p trong một đơ ị thời gian. Để bán hết số sản phẩ
2 21 2 1 1 2 2( , )C Q Q Q Q Q= + + Q
1 2,Q Qa xí nghiệ n v
m trên xí nghiệp phải bán với giá 1, 2P P sao cho
1⎧⎨
1 2 1 1 240 2 55Q P P P Q Q= − + = − −⎧
2 115 P⇒ ⎨= + −
2 2 1 270 2Q P P Q Q= − −⎩ ⎩
Doanh thu của xí nghiệp ( ) (1 2 1 155 . 70 2 )2 . 2R Q Q Q Q Q= − − + − −
Lợi nhuận của xí nQ
ghiệp
2
nh các đạo hàm riêng cấp 1
( ) ( ) 2 21 2 1 1 2 2 1 1 2
2 21 2 1 2 1 2
55 . 0 2 .
2 3 3 55 70
Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q
= − − + − − − − −
= − − − +
7π
+Tí
1 21 2
4 3 55;Q QQ Q 1 23 6 70Q Qπ π
− + ∂ ∂= − − + = −
∂ ∂
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
77
Điểm dừng là nghiệm của hệ
1
2Q∂
0
0
Qπ
π
∂⎧ =⎪∂⎪⎨ ∂⎪ =⎪⎩
50
1 2
1 2
4 3 53 6 7Q QQ Q
+ =⎧⇒ ⎨ + =⎩
Ta có ( )1 22, 8,73
Q Q ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Tính các o hàm riêng cấp 2 cđạ ủa π ta có
2 2 2
2 21 2 1 2
4 ; 3 ; 6A B CQ
π π π∂ ∂ ∂= − = = − = = − =
∂
=15>0 VÀ A<0 .
Q Q Q∂ ∂ ∂
Δ = − 2AC B
Vậy π đạt cực đại tại ( )1 2,3
Q Q⎝ ⎠
III.
ề lãi suất ghép liên tục. ta gửi ngân hàng số ền
28,7⎛ ⎞= ⎜ ⎟
Bài toán 3 Lựa chọn đầu vào cho sản xuất Trước khi trình bày bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất,
chúng ta hãy trình bày vGiả sử ti 0P với lãi suất trong 1 đơn
vị thời gian là s. Nếu thời gian gửi là 1 đơn vị thời gian
n thì
ngân hàng cho ta hưởng lãi suất là sn
. Như vậy sau một đơn vị
thờ sẽ có i gian ta 0(1 )P s+ nhưng nếu cứ sau 1n
đơn vị thời
gian ta rút cả vốn lẫn lãi rồi lại gửi tiếp thì tổng cộng sau một
đơn vị thời gian ta sẽ có 0P 1 sn
+ và sau t đơn vị thờ
ta s
n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
i gian
ẽ có : 0 1ntsP ⎛ ⎞+⎜ ⎟
n⎝ ⎠Nếu ta tăng số lần gửi lên vô hạn ta sẽ có số tiền sau t đơn
vị thời gian là
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
78
0 0( ) lim 1 .nt
stn
sP t P Pn→+∞
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠
e
để ý rằng giá trị tiền tệ thay đổi theo th ực tế. Như vậy, trong điều kiện ghép liên tục, với lãi suất 1 đơn vị thời gian là s, nếu ta có số v
Trong kinh doanh ta luôn luôn ời gian tuỳ theo lãi suất th
ốn 0P thì sau t đơn vị thời gian giá trị của nó sẽ là 0 . stP e . ản xuất.
1. Bài toán Giả sử 1 công ty sản suất mộ n phẩm phải dùng 2
loại nguyên liệu có thể thay thế được cho nhau và có hàm sản xuất
Trở lại bài toán lựa chọn đầu vào cho s
t loại sả
( , )Q Q x y=
ả thiết rằ
tức là muốn sản xuất ra Q sản phẩm phải dùn y ệu thứ 2. Gi ng giá nguyên liệu
g x đơn vị nguyên liệu thứ nhất và đơn vị nguyên li1 2,P P và giá bán sản phẩm
củ đổi. Quá trình gia công kéo dài một thời t ghép liên tục là s, chi phí gia công
a công ty là P không gian là t và lãi suấ
( , )C C x y= . Hãy lựa chọn khối lượng nguyên liệu 1 và 2 sao cho lợi
nhu đ 2. Lược đồ giải
y về thời điểm t là
ận thu ược là lớn nhất.
Ta tính tất cả các giá trị tại thời điểm cuối t của quá trình gia công. Nếu ta dùng x đơn vị nguyên liệu thứ nhất; y đơn vị nguyên liệu thứ hai thì chi phí về nguyên liệu qu
( )1 2stP x P y e+ .
Vậy lợi nhuận tính tại thời điểm t sẽ là :
1 2( ). ( , ) ( , )stP Q x y P x P y e C x yπ = − + −
Ta tìm (x,y) để π đạt cực đại. VÍ DỤ 7 Giả sử 1 công ty sản suất một loại sả ẩm phải dùng 2 loại nguyên thể thay thế được cho nhau và có hàm sản xuất, giá nguyên liệu 1 2,
n ph liệu có
P P và giá bán sản phẩm của
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
79
công ty là P. Quá trình gia công kéo dài một thời gian là t và
; lãi suất ghép liên tục là s, chi phí gia công là C cho như sau:
( , ) 2 3Q x y x y= + 2 2( , ) 10 15C x y x y xy x y= + + + + ; ; % / năm; t=1 quý
Hãy lựa chọn khối lượng nguyên liệu 1 và 2 sao cho lợi nhu
Với những số liệu trên ta có :
1 2100P P= ; 200; 10.000P = = 10s =
ận thu được là lớn nhất. BÀI GIẢI
12 24010.000(2 3 ) (100 200 ) 10 15x y x y e x y xy xπ = + − + − − − − y−
Tính
14020.000 100 10 2e y x
xπ∂= − − − −
∂
14030.000 200 15 2e x y
y∂π∂= − − − −
Điểm dừng là nghiệm của hệ 140
40
02 19.990 100.
02 29985 200.
x1
y ex
x y ey
π
π
∂⎧ ⎧=⎪ ⎪ + = −∂⎪ ⎪⇔⎨ ⎨∂⎪ ⎪=+ = −⎪ ⎪∂ ⎩⎩
Ta được
1403331 ; y 13326 100e
3 3= −
2 2x =
2 2 21 ; 22 22 ;A B C
x yπ∂
= − = = − =∂ ∂
y x∂ ∂
Δ = − 2AC B =3>0 VÀ A<0. Vậy
π∂ ∂= − =
π
π đạt cực đại tại ( ),x y .
14 02 2
3 3 3 1 ; 1 3 . 3 2 6 1 0 03 3
x y e= = −
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
80
3.4 NG Trong kinh t p 3 hàm s m cung ký hiệu Qs, hàm cầu ký u C(Q). Môn kinh tế vi mô-
. TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG THỊ TRƯỜ
ế ta gặ ố: hàhiệu Qd, hàm tổng chi phí ký hiệ
vĩ mô sẽ phân tích kỹ các hàm số này. I. Bài toán Giả sử các hàm cung 1 2( , , , )si si nq q p p p= … và các hàm
cầu 1 2( , , , ) 1,di di nq q p p p i= ∀…
1 2, , , np p p… của n loại hàng hóa. n= là các hàm bậc n ủa
ương pháp giải
hất ccác giá
II. Ph Để tìm điểm cân bằng thị trường, ta giải hệ si diq q=
hay
( )
( )
1 1 2
2 1 2
1 2
, , , 0
, , , 0
n
n
n n
p p p
E p p p
( ), , , 0E p p p
E⎧ =⎪
=⎪⎨⎪⎪ =⎩
…
…
… (1)
c điểm của các hàm cung và cầu và ý nghĩa của các giá trong các hàm và , h (1) được đưa về
dạng
n
(2)
Trong đó :
Do đặhệ số của ệ ip diq siq
11 1 12 2 1 1
2 2
1 1 2 2
n n
n n
n n nn n
a p a p a p ba p a p a p b
a p a p a p b
− − − =⎪− + − − =
⎪⎪− − − + =⎩
21 1 22 2⎪⎨
⎧
0, , 0, 1ij ia pj b i≥ > ∀ = n
Để tìm giá cả các mặt hàng tại điểm cân bằng thị trường ta ệ (2). phải giải h
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
81
Lời giải của (2) có ý nghĩa kinh tế khi các thành phần của nghiệm phải dương và khi thay nhữ giá trị đó vào các hàm cung và cầu, giá trị các hàm đó cũng phải dương. Hệ (2) được viết dưới dạng
ng
.A P B= (2’) Kí hiệu :
1
n
b
b
⎟⎟⎟⎠
Ụ 1 Thị trường có 3 loại hàng ho
Giải hệ thống phương trình này, nhưng chỉ chấp nhận nếu: (có một trong ba số , ta không có
11
21 22 2n
aa a
A
⎛⎜ − −⎜ ⎟=⎜ ⎟
;
12 1na aa
− − ⎞⎟
1pp b
⎛ ⎞ ⎞⎜ ⎟ ⎟
1 2n n nna a a⎜ ⎟− −⎝ ⎠ np⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 2;P B
⎛⎜
⎜ ⎟ ⎜= =⎜ ⎟ ⎜
⎜⎝
… …
Giải hệ (2) bằng một trong hai phương pháp đã nêu ở phần hệ phương trình.
VÍ D á. Hàm cung và hàm cầu của n là : 3 loại hàng trê
ường.
Xét hệ 1 1 1 1 2 30 24 3 17
0 3 20 2 230s DE Q Q p p p
E Q Q p p p= − = − − =⎧ ⎧
⎪ ⎪= − = ⇔ − + − =
Tìm điểm cân bằng thị trBÀI GIẢI
2 2 2 1 2 3
3 3 3 2 3
5
0 15 230s D
s DE Q Q p p⎨ ⎨
= − = + =
1 4p⎪ ⎪− −⎩ ⎩
1 2 30, 0, 0P P P> > >điể
0iP >m cân bằng thị trường) và 1 2 3, ,S S SQ Q Q phải là những số
dương Gi
ải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer Ta có :
2 3 1 1 2
2 1
1 2 3 3
18 45; 6 2 13010; 2 715; 3 5
D
D
P P Q P PQ P PQ P P
= − − − = − + +
− = −
− = −
1 1s DQ P= − +2 1 2 3 2 3
3 2 3
13 22010 215
s
s
P P PQ P P P
− + +
= − − + +
Q P
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
82
24 3 1det( ) 3 20 2 6835 0
1 4 15A
− −= − − = ≠− −
1( ) 230 20 2 68350;230 4 15
A = − =−
175 3 1
det− −
2
24 175 1det( ) 3 230 2 102525A
−= − − =
1 230 15−
3
24 3 175det( ) 3 20 230 136700
1 4 230A
−= − =− −
Vậy nghiệm của hệ là
31 21 2
det( )det( ) det( ) AA A
cân bằng thị trường là (10,15,20). VÍ DỤ 2 Xét thị trường có 3 loại hàng biết hàm cung và hàm cầu 3 loại hàng trên theo giá là :
3P
ng. gười ta xuất đi 10 đơn vị hàng
đơn vị hàng thứ ba và nhập về 8 đơn vị hàng thứ hai, tìm điểm cân bằng mới. BÀI GIẢI
310; 15; 20det( ) det( ) det( )
pA A A
= = = = = = .
Do đó điểm
p p
1 1 2 1 1 2
2 2 3 2 1 2
10 30, 143 912 13, 80 10
s D
s D
Q P P Q P PQ P P Q P P
= − − = − + +
= − − = + −
3 1 3 3 2 39 20, 79 2 8s DQ P P Q P P= − + − = + − a) Tìm điểm cân bằng thị trườ
ứ 1 đơn vị thời gian n b) Nếu cthứ nhất, 15
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
83
a) Điểm cân bằng thị trường là trường hợp giá cả các mặt cho lượng cung hàng sao SQ và lượng cầu của hàng hoá DQ
bằng nhau hay : 0S DQ Q− =
Ta có: 9
ệ thống phương trình trên với điều kiện chấp nhận là
1 2 3
2 3
1 2 3
19 2 17393
2 17
P P PP P
P P P
− − =⎧⎪ − =⎪− − +⎩
Giải h
1 229
P− +⎨=
1P 2 30, 0, 0P P> > > : 19 2 1
det 1 22 1 70081 2 17
A− −
= − − =− −
;
1
173 2 1det( ) 93 22 1 70080
99 2 17A
− −= − =
−
2
19 173 1det 1 93 1 35040
1 99 17A
−= − − =−
;
3
19 2 173det 1 22 93 49056
1 2 99A
−= − =− −
Vậy điểm cân bằng với hệ thống giá
31 10;det deA
= = = 21 2 3
detdet det5; 7
t detAA A
p p pA A
= = = .
. 1 1 2 2 3 3
65; 40; 33S D S D S DQ Q Q Q Q Q= = = = = =
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
84
b) Nếu ta xuất đi A đơn vị hàng loại I thì lượng cung SiQ giảm đi A đơn vị, nếu nhập về thì lượng cầu DiQ tăđơn vị.
Nên : hàng thứ nhất xuất đi 10 đơn vị hàng thứ ba xuất đi 15 đơn vị hàng thứ hai nhập về 8 đơn vị
ng lên A
lúc đó : ' 10 10 40Q Q P P= − = − −1 1 1 2'
2 2 1 2'
3 3 1
8 10 88
15D D
S S
Q Q P P
Q Q P
= + = − +
= − = − +
39 35
S S
P −
Ta có: ' ' '1 1 2 2 3 3; ;S D S D S DQ Q Q Q Q Q= = =
1 2 3
1 2 3
1
19 2 18322 12
P P PP P PP P
− − =⎧⎪⇒ − + − =⎨⎪− −⎩
2 3
1017 114P+ =
Giải hệ thống phương trình này, nhưng chỉ chấp nhận nếu (có một trong ba số , ta không có ng) và
1 2 30, 0, 0P P P> > >điểm ằng thị trườ
0iP >
3 cân b 1 2, ,S S SQ cũQ Q ng phải là những số dương.
Điểm cân bằng mới :
1 27008; det 74448; det 38096;A A A= = =
3
detdet 55856A =
1 2 310,62; 5,44; 7,97P P P= = =
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
85
3.5. MÔ HÌNH INPUT-OUPUT Mô hình này nhằm xác định u ra của mỗi ngành trong n
ngành kinh tế sao cho vừa đủ để thỏa mãn toàn bộ nhu cầu về loại sản phẩm đó. I. Mô hình mở
Giả sử các hệ số là hệ số đầu vào đối với nền kinh tế n- ngành, được xếp trong ma trận
đó mỗi cột cho biết những yêu cầu của đầu vào ể sản xuất ra một lượng hàng hoá của đầu ra trị giá một đơn vị tiền tệ.
c ập u
hụ thuộc như đầu vào) của n- ngành kinh tế. Bản thân o ngành kinh tế mở
cun ngành kinh tế nào tron
của n- ngành kinh tế là và các yêu cầu cuối cùng về các loại hàng hóa c ế mở là
Hệ phương trình tuyến tính xác đị ức độ “chính xác” của đầu ra là :
nNếu viết dạng ma trận ta có
đầ
ija
11 12 1
1 2
n
n n nn
a a a
a a a
⎛ ⎞
=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
…
…
21 22 2na a aA
⎜ ⎟⎜ ⎟…
Trong đ
Trong mô hình mở, nền kinh tế xác định một cách độ lnhững nhu cầu cuối cùng về các loại hàng hoá (những nhu cầkhông pnó lại cung ứng những đầu vào đặc biệt d
ỳg cấp không được sản xuất bởi bất kg số n ngành kể trên.
độ “chính xác” của các đầu raGọi mức1 2, , , nx x x… ủa ngành kinh t 1 2, , , nd d d… .
nh m
11a x⎪− +
1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
(1 )(1 )
(1 )
n n
n n
n n nn n
a x a x a x da x a x d
a x a x x d
− − − − =⎧− − − =⎪
⎨⎪⎪− − − + − =⎩
a( ).I A X D− = (3)
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
86
Trong đó I là ma trận đơn vị, A là ma trận của các hệ số xác định các yếu tố đ viết dưới dạng
cột, D là vectơ yêu cầu cuối cù . Nếu ( )
đầu vào, X là ma trận ầu ra ng ở dạng cột
I A− là ma trận không suy bi ì ta tìm được 1
ến th
phương trình (3) có nghiệm ( )I A− − và hệ 1( ) .X I A D−= − . VÍ DỤ 3 Trong mô hình input - output mở biết ma trận đầu
⎞
a) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số
vào 0, 3 0,1 0,⎛ 10,1 0,2 0,30, 2 0,3 0,2
A ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
23 0,3a = . b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế, nếu ngành kinh mở yêu cầu 3 ngành trên phải cung cấp cho nó những lượng ản phẩm trị giá tương ứng (35, 45, 15).
a
ể sản xuất một lượng hàng hóa thứ 3 trị giá 1
b ận vectơ ở dạng cột.
tếsBÀI GIẢI
) Ý nghĩa kinh tế của hệ số 23 0,3a = Cần một lượng hàng hoá thứ 2 (nguyên liệu thứ 2) trị giá
0,3 (đơn vị tiền), đ(đơn vị tiền).
) Ta gọi I là ma tr đơn vị cấp 3, A là ma trận đầu vào và D là nhu cầu cuối cùng với X là Ta có : ( )I A X D− =
1
2
3
0,7 0,1 0,1 350,1 0,8 0,3 450,2 0,3 0,8 15
xxx
− − ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Đặt 0,7 0,1 0,1 7 1 1
10,1 0,8 0,3 1 8 3B− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
−⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟10⎜ ⎟ ⎜ ⎟0,2 0,3 0,8 2 3 8− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
87
3
3
7 1 11 352det 1 8 3
10 102 3 8B
−−⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠ −
11 12 132 21 1 1.14; .19;
10 10 10B B B= = 2 .55;=
21 22 232 2 21 1.11; .54; .23,
10B B B= = = 1
10 10
31 32 332 21 1.11; .22; .55;
10 10 10B B B= = = 2
1
31 *
551 10 1−
⎛ ⎞⎜ ⎟
2. 14 54 22det 352 10 19 23 55
BB
= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
11 11B
55 11 1154 22
35219 23 55
⎞⎟= ⎜ ⎟
⎜ ⎟ 10 14⎜
⎛
⎝ ⎠
155 11 11 35
10 14 54 22 45352
15X B D−
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠
19 23 55⎝ ⎠ ⎝
1925 495 165 2585
10 100 2430 330 3250+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + =73,4⎛ ⎞
49352
665⎜⎜ 352
1035 825 2525⎟⎟+ +⎝ ⎠
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
92,371,7
⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
88
VÍ DỤ 4 Trong mô hình input m - output ở gồm 3 ngành kinh tế v
mức sản lư ở đối với 3 ế trên là (110, 52, 90).
b) Tìm mức sản lượng của 3 ngành với điều kiện bổ sung : do cải tiến kỹ thuật ở ngành 1 tiết kiệm được 25% nguyên liệu của ngành 2, còn yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành kinh tế trên là (124, 66, 100). BÀI GIẢI a) ơ sản lượng của 3 ngành kinh tế viết theo cột ta có:
ới ma trận hệ số đầu vào là
0,1 0,3 0,2
A⎛ ⎞⎜ ⎟= 0,4 0,2 0,1
0, 2 0,3 0,3⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ủa 3 ngành kinh tế m a) Tìm ợng cngành kinh t
Gọi X là vect( )I A X D− = Hay
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜⎜⎝ ⎠
Đặ Ta tìm được
1
2
3
0,9 0, 3 0, 2 1100,4 0,8 0,1 520, 2 0, 3 0,7 90
xxx
− − ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟− − =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎟
t 0,9 0,3 0,20,4 0,8 0,10,2 0,3 0,7
B− −⎛ ⎞
⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
1X B D−=
b) Do cải tiến kỹ thuật ngành 1 nên nguyên liệu ngành thứ 2 giảm 25%. Như vậy 21 0,4a = lúc đầu chưa cải tiến, sau khi cải tiến kỹ thuật 21a 0,3= .
Ta có ma trận các hệ số đầu vào
áp dụng cách như trên để tìm X.
0,1 0,3 0,20, 3 0,2 0,10, 2 0,3 0,3
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
89
II. Mô hình đóng Trong mô hình đóng, ngành kinh tế mở được xét trong hệ
thống giống như những ngành kinh tế khác (tức là những yêu g không phải được xác định một
ch độc lập, mà chúng được xác định dựa vào đầu ra của các ành kinh tế khác và các yếu tố kỹ thuật). Trong mô hình đóng, nhu cầu cuối cùng và đầu vào đặc
biệt không còn nữa, thay vào đó là những yêu cầu đầu vào và đầu ra của ngành kinh tế mở. Tất cả các loại hàng hóa bây giờ
g mối liên hệ khắng khít với nhau, bởi vì tất cả những ci đượ sản xuất chỉ nhằm thoả mãn những nhu cầu đầu vào của (n+1) ngành kinh tế trong mô hình.
Giả sử có (n+1) ngành kinh tế (kể cả ngành kinh mở mà ta kí hiệu bằng chỉ số 0) thì mức độ “chính xác” của đầu ra
cầu cuối cùn 1 2, , , nd d d… cáng
ở tronc
tế
0,ix i n∀ = sẽ là nghiệm của hệ
00 01 01 a a a− − −⎛ 0
10 11 1 1
0 1
01 0
1 0
n
n
n n nn n
xa a a x
a a a x
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟=
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
(4) ⎜
⎝ ⎠ Giải hệ phương trình thuần nhất, ta tìm được ix trong mô
hình đóng thì ta luôn có ( ) 0I A X− = do đó hệ (4) luôn luôn có nghiệm không tầm thường nghĩa là có vô số nghiệm. Điều đó có nghĩa trong mô hình đóng, thì hệ phương trình tuyến tính
ẽ không có mức “chính xác” duy nhất của đầu ra.
thuần nhất s
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
90
BÀI TẬP CHƯƠNG III
3. 1. Cho hàm doanh thu
2TR(Q) 1200Q Q ,(Q 0)= − ≥ . a) Tìm hàm doanh thu biên. b) Tại 0Q 590= , khi Q tăng một đơn vị thì doanh thusẽ thay đổi bao nhiêu đ c) Tính gi
ơn vị?
á trị doanh thu biên tại 00Q 61= và giải thích ý n3. 2. Cho hàm tổng chi phí
ghĩa.
2TC(Q) 0.1Q 0 100, (Q 0).3Q= + + ≥ a) Tìm hàm chi phí biên n lượng
MC(Q) b) Tính chi phí biên tại mức sả 0Q 120= và giải
n
thích ý nghĩa kết quả nhận được
3. 3. Cho hàm sản xuất 1/4 3/4Q 20K L= . Hãy tìm sản lượng cậ
biên tại K 16,L 81= = . Giải thích ý nghĩa
3. 4 0.2 0.3−. Cho hàm cầu D 0.4Y p= . Hãy tính DYε và DPε
3. 5. Tính hệ số co dãn của các hàm sau tại điểm cho trước
a) 2 21 2 1 2
5Q(P ,P ) 6300 2P P3
= − − , tại (20,30) .
b) 1/3 2/3Q(K, L) 120K L=
3. 6. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản
àm cầu của xí nghiệp phẩm. Biết h xét trong một đơn vị thời
gian là và hàm tổng chi phí
.
100DQ P= −
3 263 120Q= − + 250C Q Q +
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
91
Hãy tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
3. 7. Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền phẩm. Biết hàm cầu của xí nghiệp trong một đơn v
và hàm chi phí sản xuất trong thời gian đó là
. Hãy xác định mức thuế t định trên 1 đơn
một loại sản ị thời gian
2400DQ P= −2( ) 120C Q Q= + 60Q +
vị sản phẩm của xí nghiệp để thu được của xí nghiệp nhiềuthuế nhất. 3. 8. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là SQ P 200= − và
P− (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản DQ 1800=phẩm đó trênnhưng chưa
thị trtính
ường quốc tế cộ ập khẩu thuế nhập khẩ
ng với chi phí nhu) là 1P 500( = . Một công ty
ược độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức ế nhập khẩu t trên một đơn vị sàn phẩm để thu được từ công
ẩu của công ty uốc tế).
ất ngắn hạn
đthuty nhiều thuế nhất. (Giả sử khối lượng nhập khkhông ảnh hưởng đến giá bán trên thị trường q3. 9. Cho biết hàm sản xu 5 3Q 100 L , L 0= > và giá của sản phẩm là P 5USD= , giá thuê lao động là
ại sản p
cạnh tranh hoàn hảo, bán với giá
L 3U ao động để lợi nhuận tối đa. 3.10.
P SD . Hãy tìm mức sử dụng l=
Giả sử một xí nghiệp sản xuất 2 lo hẩm trong
điều kiện 1 260; 75P P= =
2 21 2 2Q Q+
.
ìm mứ nghiệp có lợi nhuận tối đa.
Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm. ủa xí nghiệp trong một đơn
Hàm tổng chi phí : 1 2 1( , )C Q Q Q Q= +
T c sản lượng 1 2,Q Q để xí
3.11.Biết hàm cầu về hai loại sản phẩm c
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
92
vị thời gian : 1
40DQ 14 2P 2P= −2 1 215 2 2P+ ; DQ P= + − v
hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian
à
để n tối đa.
. ầu về hai loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn là:
:
ức sản lượng 1 2,Q Q 2 21 2 2Q Q Q Q= + + .Tìm m1 2 1( ,
xí nghiệp có lợi nhuậ
)C Q Q
3.12. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩmBiết hàm cvị thời gian
1 1 2Q 280 4 2D P P= − + ; 2 1 2Q 402 2 4D PP= + − .
chi phí cho bởi biểu thức:
Một xí nghi hai loại sản phẩm. Biết hàm cầu về hai loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị thời gian là:
Hàm tổng ( ) 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2C Q ,Q = 40Q +180Q + Q Q + Q + Q .
Tìm mức sản lượng để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 3.13. ệp sản xuất độc quyền
1 1 2Q 1200 2D P P= − + ; 2 1 2Q 1440D P P= + −
c:
.
Hàm
3.14. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 1 lọai sản phẩm nhưng tiêu thụ trên 2 thị
– 2P và hàm tổng chi phí của xí nghi p trong một
Tìm mức sản lư
tổng chi phí cho bởi biểu thứ( 1 2 1 2C Q ,Q = 480Q + 720Q + 400 .
Tìm mức sản lượng để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa
trường tách biệt. Biết hàm cầu của lọai sản phẩm này trên các thị trường lần lượt là Q
1D = 360 – P1; 620
)
Q2D = 2
đơn vị thời gian là C = Q2 + 20Q + 20.
ợng phân phối trên từng thị trường để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất.
ệ
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
93
3. 15. Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất 2 2Q 2K 3KL 3L 30K 20L; K, L 0= − + − + + >
Biết giá thuê một đơn vị tư bản K bằng 4, giá thuê m đơn vị lao động bằng 22, giá sản phẩm địnhmức sử dụng K, L để được lợi nhuận tối đa.
3.16. Xét mô
ột bằng 2. Hãy xác
hãng thu
hình cân bằng thị trường gồm 3 loại hàng hóa,
1 2 3 1 2 3
8 P2 + 2P3 + 1000 – 270 Q = 2P1 + 2P2 – 7P3 + 900
Hãy tìm điểm cân bằng thị trường.
A= ( =
a) Nêu ý nghĩa kinh tế của số
biết hàm cung và hàm cầu của các loại hàng hóa đó là: Q
1 = 9P – P – 2P – 120 Q
1 = –6P + P + P + 800
Q S = – 2P1 + 10P2 – 2P3 – 200 Q D = P1 –Q
3S = – P1 – P2 + 8P3
S D
2 2
3D
3.17 Xét mô hình input – Out mở gồm 3 ngành kinh tế choma trận hệ số đầu vào:
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
2,02,04,0,0
1,02,03,0
0,4 trong ma trận A. b) Biết yêu cầu cuối cùng của ngành kinh tế mở đối với ba ngành là D= (369, 205, 246). Tìm sản lượng ba ngành kinh
a ij ) 33x ⎥⎥
⎢⎢ 1,012,0
tế sản xuất.
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
94
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi: Toán Cao Cấp khối kinh tế Thời g (Sinh viên không sử dụng tài liệu) Câu 1 ủa ma trận sau
ian: 60 phút
Tìm hạng c
3 2 0 5 124 3 5 0 5
0 1 3 4 51 0 2 3 4
A
− −⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟= ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
Câu 2 Trong mô hình input - output mở gồ ba ngành kinh tế, cho ma trận hệ số đầu vào
0, 2
m
A = 0,10,3 0,10,1 0, 4
0, 2 0, 2 0,3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Biết yêu cầu cuối cùng của ngành kinh tế mở đối với g ba ngành
1 2c sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.
ba ngành là D= (90, 126, 162). Tìm sản lượninh tế sản xuất. k
Câu 3 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm.Biết hàm cầu hai loại sản phẩm trên :
QD1=720-2P1+P2; QD2=660+P1-P2 à hàm tổng chi phí C=780Q +1040Q +200 v
Tìm mứ
TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM BOÄ MOÂN TOAÙN
95
1.Đại số tuyến tính dùng trong kinh tế -GS. TS Trần Văn Hạo
ọc Kinh tế TP HCM
3. Toán cao cấp cho nhà kinh tế Lê Đình Thúy
Trường đại học Kinh tế quốc dân Hà nội
4. Toán cao c
p B ội
TÀI LIỆU THAM KHẢO
2. Toán cao cấp -chủ biên PGS. TS Lê Văn Hốt
Trường đại h
-
ấp -chủ biên Ngu n Đình Trí yễ
5. Giáo trình Toán cao c và C -chủ biên TS Trần Ngọc Hấ
Trường đại học Mở TPHCM