tổng quan về quang phi tuyến
TRANSCRIPT
Chương I: Tổng quan về quang phi tuyến.
1.1 Sự lan truyền sóng điện từ trong tinh thể dị hướng
1.1.1 Tinh thể dị hướng
Tinh thể dị hướng là tinh thể mà trong đó tính chất vật lý theo những
phương khác nhau thì sẽ khác nhau. Tính chất vật lý ấy bao gồm tính chất:
cơ, nhiệt, điện, quang …. Trong các tinh thể dị hướng mặc dù theo những
phương khác nhau thì tính chất quang học có thể khác nhau nhưng cũng
có những phương mà dọc theo đó tính chất quang học không thay đổi.
Những phương đó gọi là quang trục của tinh thể
Đối với tinh thể dị hướng chúng ta sẽ xét mối quan hệ giữa véc-tơ
cảm ứng điện và véc-tơ cường độ điện trường thông qua việc xét khái
niệm ten-xơ hằng số điện môi
1.1.2 Sự lan truyền sóng điện từ trong tinh thể dị hướng
Trong môi trường dị hướng độ phân cực cảm ứng không luôn song
song với điện trường đặt vào. Độ cảm chia phối sự đáp ứng điện từ của
môi trường không phải chỉ là một đại lượng vô hướng mà là một ten-xơ
hạng hai. Về phương diện vật lý hiệu ứng này có thể hiểu được do trật tự
của các nguyên tử trong tinh thể không đồng nhất theo các phương khác
nhau
Độ phân cực:
EP
χε0= (1.1)
Trong hệ SI, các thành phần của P là:
( )( )( )33323213103
32322212102
31321211101
EEEP
EEEP
EEEP
χχχεχχχε
χχχε
++=++=++=
(1.2)
Chín yếu tố của ten-xơ hạng hai χ phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ.
Theo lý thuyết ten-xơ suy ra là có ba yếu tố độc lập (bất biến) trong ba
hướng đối với ten-xơ hạng hai. Hệ quả là với một cách chọn các trục x, y,
z đặc biệt (còn gọi là trục điện môi chính của tinh thể, không nhất thiết là
phải vuông góc với nhau) sẽ chỉ còn ba yếu tố khác không. Ten-xơ điện
môi cũng có thể viết dưới dạng:
( ) EEPED ijij
εχεε =+=+= 100 (1.3)
Trong đó ten-xơ độ cảm ijχ được thay bằng ten-xơ độ thẩm điện môi
ijε
Một sóng phẳng đơn sắc tần số ω được biểu diễn bằng các thành phần
điện trường và từ trường:
( )[ ]rktiEe−ω
( )[ ]rktiHe−ω
Trong đó k
là véc-tơ sóng có hướng là pháp tuyến mặt sóng:
sc
nk ω= (1.4)
Với n là chiết suất và s
là véc-tơ đơn vị
Đối với môi trường không từ tính thì hệ phương trình Maxwell là:
t
DH
t
BE
∂∂−=∇
∂∂−=∇
(1.5)
Từ hệ phương trình này ta có thể xác định được hướng tương quan
giữa các véc-tơ EHk
,, và D
Trong trường hợp sóng phẳng, sau khi lấy đạo hàm (1.5) ta được:
[ ][ ] DHk
HEk
ωωµ
−=
= 0 (1.6)
Từ các đẳng thức này ta thấy rằng, các véc-tơ H
và D
vuông góc
với nhau và vuông góc với véc-tơ sóng k
. Các thành phần H
và D
tạo
thành một sóng ngang trong một hệ trục vuông góc với k
. Đối với thành
phần điện trường ta có E
vuông góc với H
và ED
ε= . Nếu ε là vô
hướng thì véc-tơ E
hướng dọc theo D
và do đó E
vuông góc với véc-
tơ sóng k
. Nhưng trong trường hợp môi trường dị hướng ε là một ten-xơ
nên E
không còn vuông góc với k
nữa.
Hình 1.1 Mối quan hệ giữa HDE
,, và k
Một hệ quả quan trọng nữa là trong môi trường dị hướng véc-tơ
Poynting [ ]HES
= không còn hướng dọc theo k
nữa, hướng của dòng
năng lượng sẽ khác với hướng của vectơ sóng. Nói cách khác vận tốc pha
và vận tốc nhóm của ánh sáng là khác nhau không những về độ lớn mà cả
về hướng
Bằng cách khử H
trong phương trình (1.6) ta được:
[ ][ ] DEkk
20ωµ−=
Sử dụng hệ thức: [ ][ ] ( ) ( )BACCABCBA
−= ta có:
[ ][ ] ( ) ( ) DkkEEkkEkk
20ωµ−=−= (1.7)
Tương tự dưới dạng véc-tơ đơn vị:
( )[ ]EssEnD
−= 02ε (1.8)
Bây giờ ta chọn trục (x, y, z) ứng với hệ trục điện môi chính của môi
trường. Trong hệ trục này:
=
z
y
x
z
y
x
z
y
x
E
E
E
D
D
D
εε
ε
00
00
00
(1.9)
Trong đó độ thẩm điện môi của môi trường là khác nhau dọc theo
các trục chính khác nhau. Do đó đối với i = x, y, z ta có:
( )
−= Ess
DnD i
i
ii
εε 0
2 (1.10)
D
E
k
[ ]HE
Sau khi biến đổi:
( )i
i
i s
n
EsD
εε
ε0
2
0
1 −=
(1.11)
Do tích vô hướng của hai vectơ vuông góc nhau là bằng không nên:
0=++= zzyyxx sDsDsDsD
Do đó ta có:
0111 0
20
20
2
=−
+−
+−
z
z
y
y
x
x
n
s
n
s
n
s
εε
εε
εε (1.12)
Đây là phương trình Fresnel. Phương trình bậc hai nên có hai
nghiệm n’ và n’’. Sẽ có hai sóng khác nhau D’(n’) và D”(n”) tuân theo
phương trình Fresnel. Tính tích vô hướng hai nghiệm D’ và D” ta có:
( )
( ) ( )( )
−
+
−
−=
−
−
=
∑
∑
zyx
zyx
n
s
n
s
nn
nnEs
nn
sEsDD
,, 0
2
2
0
2
2
22
222
0
,, 0
2
0
2
222
0'''
''
1
'
1'''
'''
''
1
'
1
α
α
α
α
αα
α
εε
εε
ε
εε
εε
ε
(1.13)
Ở đây, tổng theo chỉ số zyx ,,=α
Khi áp dụng kết quả (1.12) tích vô hướng này bằng không.
0''' =DD
Từ đây suy ra quy tắc chung là một tinh thể dị hướng có thể truyền
qua các sóng phân cực thẳng theo một trong hai hướng vuông góc với
nhau. Hai sóng này có hai chiết suất khác nhau n’ và n’’. Hướng của dòng
năng lượng bây giờ vuông góc với mặt sóng
1.2 Lý thuyết về sự tương tác của ba sóng quang học (TWM)
Hình 1.2: Sơ đồ sự trộn ba sóng
Đưa vào môi trường phi tuyến bậc hai hai sóng đơn sắc tần số ω1,
ω2:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]zktizktizktizkti ezEezEezEezEE 22221111 *22
*11 2
1
2
1 −−−−−− +++= ωωωω
(1.14)
Trong đó: ( )ωωn
ck i
i = (i = 1, 2, 3)
Độ phân cực vĩ mô của môi trường phụ thuộc vào điện trường được
cho bởi công thức:( ) ...33
02
00 +++= EdEEP χεχε (1.15)
Trong biểu thức này ta sẽ bỏ qua số hạng thứ nhất vì nó là thành
phần tuyến tính và xem như kể từ số hạng thứ ba trở đi đều không đáng
kể:( ) 2dEP NL = (1.16)
Sau khi thay (1.14) vào (1.16) thì độ phân cực phi tuyến bậc hai sẽ:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2*2
*121
)( 22112211
2zktizktizktizktiNL ezEezEezEezE
dP −−−−−− +++= ωωωω
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )zkktizkkti
zkktizkkti
zktizktizktizktiNL
ezEzEezEzEd
ezEzEezEzEd
ezEezEezEezEd
P
12211221
21212121
22112211
2*1
*21
*2
*121
22*2
22*1
222
221
222
222
2
−−−−−−−
+−++−+−
−−−−−−
++
++
+++=
ωωωω
ωωωω
ωωωω
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )zkktizkkti
zkktizkkti
zktizkti
zktizktiNL
ezEziEezEziEd
ezEziEezEziEd
ezEiezEid
ezEiezEid
t
P
12211221
21212121
2211
2211
2*121
*2121
*2
*1212121
22*22
22*11
2222
2211
222
222
222
222
−−−−−−−
+−++−+−
−−
−−−−
−+−−+
+++−+
++
−−=∂
∂
ωωωω
ωωωω
ωω
ωω
ωωωω
ωωωω
ωω
ωω
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )zkktizkkti
zkktizkkti
zktizkti
zktizktiNL
ezEzEezEzEd
ezEzEezEzEd
ezEezEd
ezEezEd
t
P
12211221
21212121
2211
2211
2*1
221
*21
221
*2
*1
22121
221
22*2
22
22*1
21
222
22
221
212
2
222
222
442
442
−−−−−−−
+−++−+−
−−
−−−−
−−−−+
+−+−+
−−+
−−=∂
∂
ωωωω
ωωωω
ωω
ωω
ωωωω
ωωωω
ωω
ωω
Tính đạo hàm của (1.14) lần lượt ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−+++
−++=
−−−−−−
−−−−−−
zktizktizktizkti
zktizktizkizkti
ezEikedz
zdEezEike
dz
zdE
ezEikedz
zdEezEike
dz
zdE
dz
dE
22222222
11111111
*22
*2
222
*11
*1
111
2
1
2
1
ωωωω
ωωωω
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−+
−+
−+
++
−−+
−+
−+
+=
−−
−−
−−−−
−−−−
−−
−−
−−−−
−−−−
zktizkti
zktizkti
zktizkti
zkizkti
zktizkti
zktizkti
zktizkti
zktizkti
ezEkedz
zdEik
edz
zdEike
dz
zEd
ezEkedz
zdEik
edz
zdEike
dz
zEd
ezEkedz
zdEik
edz
zdEike
dz
zEd
ezEkedz
zdEik
edz
zdEike
dz
zEd
dz
Ed
2222
2222
2222
2222
1111
1111
1111
1111
*2
22
*2
2
*2
22
*2
2
222
22
222
22
*1
21
*1
1
*1
12
*1
2
12
11
1
112
12
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
Xem như E(z) biến đổi chậm theo trục z so với exp(2kz), ta sẽ bỏ
qua đạo hàm cấp hai của E(z):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zktizkti
zktizkti
ezEkdz
zdEikezEk
dz
zdEik
ezEkdz
zdEikezEk
dz
zdEikE
2222
1111
*2
22
*2
2222
22
*1
21
*1
112
11
12
22
12
2
1
22
12
2
1
−−−
−−−
−+
−+
−+
−=∇
ωω
ωω
Khi lấy đạo hàm theo t hàm E thì:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )zktizkti
zktizkti
ezEiezEi
ezEiezEit
E
2222
1111
*2222
*1111
2
12
1
−−−
−−−
+−+
+−=∂∂
ωω
ωω
ωω
ωω
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )zktizkti
zktizkti
ezEezE
ezEezEt
E
2222
1111
*2
222
22
*1
211
212
2
2
12
1
−−−
−−−
−−+
−−=∂∂
ωω
ωω
ωω
ωω
Thay( )
2
2
0 t
P NL
∂∂µ , E2∇ và 2
2
0 t
E
∂∂εµ vào phương trình truyền sóng
của Maxwell:
( )
2
2
02
2
02
t
P
t
EE
NL
∂∂=
∂∂−∇ µεµ (1.17)
Chú ý hệ thức:
020
2 =− ωεµk
Ta thu được:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) kzi
kzi
kzi
ezEzdEidz
zdE
ezEzdEidz
zdE
ezEzdEidz
zdE
∆
∆−
∆−
=
=
=
213
03
3
3*1
2
02
2
3*2
1
01
1
εµω
εµω
εµω
(1.18)
Trong đó: 321 kkkk −+=∆ (1.19)2
0 ii nεε = (i = 1, 2, 3) (1.20)
Ta thấy rằng trong môi trường phi tuyến ngoài hai sóng dao động có
tần số ω1, ω2 còn xuất hiện thêm một sóng dao động với tần số ω3 khác tần
số ban đầu. Sóng mới sinh này lại tác động trở lại hình thành nên quá trình
trộn ba sóng. Điện trường thu được sau khi qua môi trường phi tuyến sẽ có
tần số: 0, 12ω , 22ω , 21 ωω + , 21 ωω −
1.2.1 Sự phát tần số tổng (SFG)
Hình 1.3: Sơ đồ sự phát tần số tổng
Sự phát tần số tổng là trường hợp điện trường thu được có tần số
213 ωωω += , khi đó ta có thể viết:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]zktizkti ezEezEE 3333 *333 2
1 −−− += ωω (1.21)
Tính E2∇ và 2
2
t
E
∂∂
của (1.21) rồi thay vào (1.17) cùng với ( )
2
2
t
P NL
∂∂
, so sánh với thành phần ω1 + ω2 của P (NL) ta được:
( ) ( ) ( ) ( )32121
03
3 kkkiezEzdEidz
zdE −+=εµω (1.23)
Với ω3 = ω1 + ω2
1.2.2 Sự phát tần số hiệu (DFG)
Hình 1.4: Sơ đồ sự phát tần số hiệu
Sự phát tần số hiệu là trường hợp điện trường thu được có tần số
21 ωω − , khi đó một cách tương tự :
( ) ( ) ( ) ( )( )zktizkti ezEezEE 4444 *444 2
1 −−− += ωω (1.24)
Ta cũng làm tương tự như sự phát tần số tổng, kết quả thu được:
( ) ( ) ( ) ( )42121
04
4 kkkiezEzdEidz
zdE −+=εµω (1.25)
Trong đó: ω4 = ω1 – ω2
1.3 Sự phát sóng hài bậc hai (SHG)
Hình 1.5: Sơ đồ sự phát sóng hài bậc hai
Sự phát sóng hài bậc hai là trường hợp đặc biệt của sự phát tần số
tổng, khi đó hai sóng đưa vào có tần số ωωω == 21 và sóng thu được có
tần số ω2
Khi đó (1.19) được viết lại:
( ) ( ) kziezdEidz
zdE ∆= 2
2
02 2 ωω
ω
εµω (1.26)
Biểu thức (1.19) lúc này là: ωω 22 kkk −=∆
Giả sử gần đúng Eω là hằng số: ( ) ( )0ωω EzE = , lấy tích phân (1.26) ta
thu được:
( ) ( )kz
kzzeEdizE
kzi
∆
∆
=∆
2
12
1sin
0 22
2
02 ω
ωω ε
µω (1.27)
Điện trường điều hòa tại mặt ra của tinh thể là:
( ) ( )kL
kLLeEdiLE
kLi
∆
∆
=∆
2
12
1sin
0 22
2
02 ω
ωω ε
µω (1.28)
1.3.1 Hiệu suất phát sóng hài bậc hai
Cường độ sóng hài bậc hai:
( ) 2
20
22 2
1LEI ω
ωω µ
ε= (1.29)
Với ( ) ( )2
2
4220
22
2
2
12
1sin
∆
∆
=kL
kLoELd
LEω
ωω ε
µω(1.30)
Thay (1.30) vào (1.29) và biến đổi thì ta có:
( ) ( ) ( )
2
3
0
02
22222
2
12
1sin
2
12
∆
∆
=
kL
kL
nnoILdI
εµ
ωωω ωω
Hiệu suất được định nghĩa:
( )( )oI
LIeSHG
ω
ω2= (1.31)
( ) ( ) ( )
2
3
0
02
222
2
12
1sin
2
12
∆
∆
=
kL
kL
nnoILdeSHG ε
µωω
ω ω (1.32)
Nếu 0=∆k thì:
( )3
0
03
222 12
=
εµω ω
noILdeSHG (1.33)
1.3.2 Sự hợp pha
Theo (1.32) thì hiệu suất phát sóng hài bậc hai (công suất phát sóng
hài bậc hai) cực đại khi:
1
2
1
2
1sin
lim
2
12
1sin
2
2
0
2
≈
∆
∆
→
∆
∆
→∆
kL
kL
kL
kL
k
0=∆k
ωω 22 kk =
Điều kiện này gọi là điều kiện đồng bộ về không gian, khi đó công
suất lối ra của sóng hài bậc hai sẽ tỉ lệ với bình phương độ dài của tinh
thể:
( ) ( ) 222 ~ LLSILP ωω =
Nếu Δk ≠ 0 thì khi L biến đổi, công suất sóng hài bậc hai sẽ đi qua loạt điểm 0 và cực đại, chúng cách nhau một độ dài kết hợp Lc
Theo toán học, cực đại của hàm 2
2sin
x
x được xác định từ
0sin
2
2
=
x
x
dx
d, là nghiệm của phương trình siêu việt xx tan=
Bảng giá trị và vị trí các cực đại của hàm 2
2sin
x
x
x 0 4,49 7,73 10,10
2
2sin
x
x 1 0,047 0,016 0,008
Bảng 1.1 Giá trị và vị trí cực đại của hàm 2
2sin
x
x
Theo bảng 1.1 ta thấy rằng giá trị cực đại thứ hai chỉ gần bằng 5%
giá trị cực đại thứ nhất (Δk = 0)
eSHG (Δk = 0) là lớn nhất
eSHG (Δk ≠ 0) ≈ 5% eSHG (Δk = 0)
1.4 Laser Nd:YAG
Laser Nd: YAG là loại laser rắn phát bức xạ có bước sóng 1064nm,
môi trường hoạt tính của laser là một tinh thể nhân tạo AYG (yttri –
Aliminium granat), trong đó có khoảng 1% ion Y+3 được thay bằng các ion
đất hiếm Nd+3. Laser Nd: YAG làm việc theo sơ đồ 4 mức năng lượng
(hình 1.6)
Các laser Nd: YAG công suất lớn thường dùng nguồn bơm là các
đèn: flash, Xe…Tuy nhiên, cũng có thể dùng laser diode có bước sóng
thuộc vùng hồng ngoại gần (≈ 800nm) làm nguồn bơm cho laser Nd: YAG
(công suất nhỏ, phát liên tục)
Hình 1.6: Sơ đồ năng lượng của laser Nd:YAG bốn mức
1: quá trình bơm; 2, 4: dịch chuyển nhanh không phát xạ; 3: phát laser
1.5 Tinh thể phi tuyến
Là những vật liệu mà dưới ảnh hưởng của các tác nhân bên ngoài
như: điện trường, từ trường, lực nén…thì trong tinh thể sản sinh ra một sự
đáp ứng lại như: phân cực, từ hóa, dao động cơ học…Sự đáp ứng này phụ
thuộc phi tuyến vào cường độ của tác nhân bên ngoài nên được gọi là tinh
thể phi tuyến
Tác nhân bên ngoài thường được sử dụng chủ yếu là điện trường
trong bức xạ quang học. Vì vậy, những vật liệu có sự đáp ứng một cách
không tuyến tính vào cường độ điện trường áp vào được gọi là tinh thể
quang phi tuyến (NLO), hay gọi tắt là tinh thể phi tuyến
Từ lâu, khi nghiên cứu về tinh thể nói riêng hay chất điện môi nói
chung, người ta thấy rằng khi chiếu ánh sáng vào tinh thể thì có thể có hai
trường hợp xảy ra: một nhóm các tinh thể cho ánh sáng lan truyền như
nhau theo mọi phương, tức là tính chất quang của tinh thể là như nhau dù
cho ánh sáng truyền theo bất kỳ phương nào và một nhóm các tinh thể
khác thì tính chất quang của tinh thể khác nhau khi truyền theo các
phương khác nhau. Nhóm tinh thể hay chất điện môi mà tính chất quang
không phụ thuộc vào phương truyền của ánh sáng được gọi chung là môi
trường đẳng hướng (isotropic medium). Ngược lại, nhóm tinh thể hay chất
điện môi có tính chất quang phụ thuộc vào phương truyền của ánh sáng
được gọi là môi trường bất đẳng hướng (anisotropic medium). Các tinh thể
phi tuyến mà chúng ta đang khảo sát, bao gồm tinh thể lưỡng chiết (hay
tinh thể đơn trục) và tinh thể lưỡng trục là môi trường bất đẳng hướng.
Trong số các đại lượng vật lý đặc trưng cho tính chất quang của tinh
thể, đại lượng phản ánh rõ rệt nhất tương tác giữa môi trường và ánh sáng
lan truyền chính là chiết suất. Với các tinh thể bất đẳng hướng thì khi
chiếu ánh sáng theo những phương khác nhau thì chiết suất của tinh thể
cũng khác nhau. Dựa vào sự phân bố chiết suất của tinh thể theo các
phương khác nhau mà người ta phân tinh thể phi tuyến thành 2 loại: Tinh
thể lưỡng chiết (hay tinh thể đơn trục) và tinh thể lưỡng trục, đồng thời,
đưa ra khái niệm “ellipsoid chiết suất”. Ellipsoid chiết suất là một
ellipsoid biểu diễn sự phân bố chiết suất trong một tinh thể với các bán
trục nằm theo phương của các trục chính của tinh thể. Một ellipsoid có
phương trình dạng tổng quát như sau:
2 2 2
2 2 2x y z
x y z + + = 1
n n n (2.1)
Các trục chính của tinh thể trùng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz và
có độ dài tương ứng là 2nx, 2ny, 2nz (tức bằng 2 lần độ dài bán trục của
ellipsoid trên các phương Ox, Oy, Oz).
Hình 1.7: Ellipsoid chiết suất của tinh thể
(a): đẳng hướng; (b): đơn trục; (c): lưỡng trục
Với tinh thể đẳng hướng: chiết suất không phụ thuộc vào phương
truyền ánh sáng thì nx = ny = nz = n, khi đó (2.1) trở thành:
x2 + y2 + z2 = n2 (2.2)
Ellipsoid chiết suất trở thành mặt cầu chiết suất (Hình 1.7a)
1.5.1 Tinh thể đơn trục (UC):
Với tinh thể lưỡng chiết hay tinh thể đơn trục: chiết suất không phụ
thuộc phương truyền ánh sáng chỉ khi phương truyền vuông góc với mặt
phẳng Oxy, vì trong mặt phẳng này nx = ny ≠ nz. Nếu đặt: n0 = nx = ny, ne =
nz, khi đó (2.1) trở thành:
2 2 2
2 2 20 0 e
x y z + + = 1
n n n (2.3)
Ellipsoid chiết suất là một ellipsoid tròn xoay với trục quay là trục
Oz (Hình 1.7b). Nếu n0 > ne, ta có tinh thể đơn trục âm. Nếu n0 < ne, ta có
tinh thể đơn trục dương. Dễ dàng thấy rằng trong trường hợp này tiết diện
của ellipsoid theo mặt cắt là mặt phẳng (Oxy) sẽ là một đường tròn. Trục
Oz sẽ vuông góc với đường tròn này và được gọi là trục quang học. Vì chỉ
tồn tại duy nhất một trục quang học nên tinh thể loại này được gọi là tinh
thể đơn trục.
1.5.2 Tinh thể lưỡng trục (BC):
Với tinh thể lưỡng trục: chiết suất phụ thuộc phương truyền ánh sáng
theo hầu hết các phương, tức nx ≠ ny ≠ nz. Phương trình ellipsoid chiết suất
có dạng như (2.1). Ellipsoid chiết suất không phải là ellipsoid tròn xoay
(Hình 1.7c). Tuy nhiên, bằng hình học và giải tích, người ta chứng minh
được rằng trong ellipsoid không tròn xoay này, vẫn tồn tại hai tiết diện là
đường tròn (Hình 1.8). Hai trục vuông góc với hai tiết diện tròn này là hai
trục quang học của tinh thể. Vì tinh thể có hai trục quang học nên được
gọi là tinh thể lưỡng trục.
Hình 1.8: Hai trục quang học của tinh thể lưỡng trục.
Tinh thể KTP (Potassium Titanyl Phosphate) là tinh thể lưỡng trục,
nó được dùng thông dụng nhất trong sự phát sóng hài bậc hai vì những
tính chất quan trong như:
• Hệ số quang phi tuyến bậc hai lớn
• Góc băng thông rộng và góc ra nhỏ
• Băng thông phổ và nhiệt độ rộng
• Hằng số điện môi thấp và hệ số điện quang cao
• Hệ số phẩm chất lớn
• Không hút ẩm, bền vững hóa học và cơ học
• Độ dẫn nhiệt cao
• Không hút ẩm
• Gradient độ lệch cực tiểu
• Rẻ hơn BBO và LBO
Trong đó quan trọng nhất là: KTP có hệ số phi tuyến bậc hai lớn, gấp
15 lần so với tinh thể truyền thống được dùng trong sự phát sóng hài bậc
hai là tinh thể KDP
Ngoài ra yếu tố giá cả cũng góp phần giúp tinh thể KTP được sử
dụng rộng rãi trong sự phát sóng hài bậc hai ngày nay
Góc Pm (hợp pha) θ = 900, φ = 23.50
Hệ số SHG hiệu dụng deff = 8.3*d36(KDP)Góc nhận 20mradNhiệt độ nhận 250CPhổ nhận 0.56nmGóc tách 4.5mradGiới hạn phá hủy quang >500MW/cm2
Bảng 1.2 Bảng đặc tính của KTP
Chương II: Sự hợp pha trong tinh thể phi tuyến.
2.1 Tinh thể đơn trục.
Trong tinh thể đơn trục tồn tại một phương đặc biệt gọi là trục quang học ( trục
Z). Mặt phẳng chứa trục Z và véc tơ sóng k gọi là mặt phẳng chính. Chùm sáng có
phương phân cực (phương của véc tơ dao động E ) vuông góc với mặt phẳng
chính gọi là chùm tia bình thường ( o-beam) (hình…), còn chùm sáng có phương
phân cực của chùm tia nằm trong mặt phẳng chính gọi là chùm tia bất thường (e-
beam) (hình…). Chiết suất của chùm tia bình thường không phụ thuộc vào phương
phân cực như chùm tia bất thường. Vì vậy chiết suất của tinh thể bất đẳng hướng
thông thường phụ thuộc vào phương phân cực và phương truyền ánh sáng.
Hình…: Mặt phẳng chính của tinh thể ( )kZ và chùm tia thường.
Hình: Mặt phẳng chính của tinh thể ( )kZ và chùm tia bất thường.
Hình: Tọa độ cực mô tả tính chất khúc xạ của tinh thể đơn trục ( k là chiều
truyền ánh sáng, Z là trục quang học, θ và ϕ là góc cực).
Sự khác nhau giữa chỉ số chiết suất của chùm tia bình thường và chùm tia bất
thường gọi là lưỡng chiết n∆ . Giá trị n∆ bằng 0 dọc theo trục Z và đạt giá trị cực
đại theo hướng vuông góc với trục Z. Chỉ số chiết suất của chùm tia thường và bất
thường trong mặt phẳng vuông góc với trục Z được xác định bởi những giá trị
chính của chỉ số chiết suất được kí hiệu tương ứng là on và en . Không nên nhầm
lẫn giá trị on với giá trị chiết suất 0n đối với sự hiện diện của điện trường.Chỉ số
chiết suất của sóng bất thường là một hàm theo góc phân cực θ giữa trục Z và véc
tơ k (hình). Được xác định bởi phương trình:
2
2 2
1 tan( )
1 ( / ) tane
oo e
n nn n
θθθ
+=+
Theo phương trình ta thấy:
00
00
0
0
00
0
( )
( 0 )
( 90 )
( 0 ) 0
( 90 )
( ) ( )
e
ee
e
e
n n
n n
n n
n
n n n
n n n
θθθθθθ θ
≡
= =
= =
∆ = =∆ = = −
∆ = −
Nếu 0 0en n− < thì tinh thể đơn trục được gọi là tinh thể đơn trục âm, còn nếu
0 0en n− > thì gọi là tinh thể đơn trục dương. Giá trị en không phụ thuộc vào góc
phương vị φ ( góc giữa hình chiếu của k lên mặt phẳng XY và trục X) (hình). Sự
phụ thuộc của chỉ số chiết suất lên phương truyền của ánh sáng bên trong tinh thể
đơn trục (mặt chiết suất) là sự kết hợp của mặt cầu bán kính 0n (đối với chùm tia
bình thường) và elip tròn xoay với bán trục là on và en (đối với chùm tia bất
thường trục của elip tròn xoay là trục Z). Theo hướng của trục Z mặt cầu và elip
tiếp xúc với nhau. Trong tinh thể đơn trục âm elip nằm trong mặt cầu (hình), còn
đối với tinh thể đơn trục dương thì mặt cầu nằm trong elip.(hình)
Hình: Sự phụ thuộc của chiết suất vào phương truyền và sự phân cực (bề mặt
chiết suất) trong tinh thể đơn trục âm (a) và tinh thể đơn trục dương (b).
Khi ánh sáng phẳng truyền trong tinh thể đơn trục, chiều truyền của pha sóng
(véc tơ k ) không trùng với véc tơ năng lượng s . Chiều của s được xác định bằng
cách vẽ đường vuông góc với tiếp tuyến với tiếp điểm là giao điểm của véc tơ k
và đường cong ( )n θ . Đối với sóng thường đường cong ( )n θ phụ thuộc vào mặt
cầu bán kính 0n . Vì vậy đường vuông góc với tiếp tuyến chính là véc tơ k . Đối
với sóng bất thường đường vuông góc với tiếp tuyến (ngoại trừ trường hợp
0 00 , 90θ θ= = ) không trùng với véc tơ k nhưng s quay từ vị trí đó tới góc lưỡng
chiết.(hình)
( ) 2
0( ) arctan / tanen nρ θ θ θ = ± m
Ở đây kí hiệu trên cho tinh thể âm còn kí hiệu dưới cho tinh thể dương.
Hình: Cách bố trí véc tơ sóng ( )k và véc tơ chùm ( )s trong môi trường đẳng
hướng (a) và môi trường bất đẳng hướng tinh thể đơn trục âm (b) và tinh thể đơn
trục dương (c)
Mối liên hệ giữa ρ và θ cung cấp cơ sở về cách đơn giản để định hướng các
tinh thể đơn trục. Để một chùm tia laser phân cực thẳng tùy ý chiếu vuông góc vào
bề mặt tinh thể chiều dài L. Sau khi đi qua tinh thể, chùm tia chia thành hai chùm
phân cực trực giao, mà tại bề mặt ra của tinh thể chúng tách ra một khoảng
tanLδ ρ=
Góc cắt tinh thể cθ , là góc giữa trục quang học Z và đường vuông góc với bề
mặt tinh thể, tương ứng với một trong hai giá trị sau
( ) 1/22 2 22 2 200 0
2 2 4 20 0
arctan2 4
ee
ce
n n Ln n L n
n n nθ
δ δ
−− ÷= ± − ÷
2.1.1 Tính chất của tinh thể đơn trục.
2.1.2 Sự hợp pha cộng tuyến trong tinh thể đơn trục (+,-).
Để đáp ứng điều kiện hợp pha trong tương tác ba sóng, các sóng phân cực khác
nhau có thể được sử dụng.
-Nếu các sóng trộn có sự phân cực giống nhau, phát xạ tần số tổng sẽ phân cực
theo hướng vuông góc, trường hợp này gọi là sự hợp pha loại I.
+Trong tinh thể âm: 01 02 3 ( )e θ+ =k k k (gọi là hợp pha “ooe” hay tương tác
“ooe” hay hợp pha ( )I − )
+Trong tinh thể dương: ( ) ( )1 2 3e e
oθ θ+ =k k k (hợp pha “eeo” hay tương tác
“eeo” hay hợp pha loại ( )I + ).
- Nếu các sóng trộn phân cực vuông góc với nhau gọi là sự hợp pha
loại II
+ Đối với sóng bất thường trong tinh thể âm: ( ) ( )1 2 3e e
o θ θ+ =k k k (hợp pha
loại “oee” hay loại ( )II − ). Hay ( )1 02 3( )e eθ θ+ =k k k (hợp pha loại “eoe” hay loại
( )II − ).
+ Đối với sóng thường trong tinh thể dương: ( ) ( )1 2 o3e
o θ θ+ =k k k (hợp pha
loại “oeo” hay hợp pha loại ( )II + . Hay 1 02 3( )eoθ + =k k k (hợp pha loại “eoo” hay
hợp pha loại ( )II + ).
Ở đây sóng có tần số 3ω lớn hơn gọi là sóng bơm, hai sóng còn lại là sóng
đệm 1ω và sóng tín hiệu 2ω .
Hình 2.8 mô tả cách chúng ta tìm hướng của sự hợp pha cộng tuyến loại I(-)
của SHG ( 3 12ω ω= ) trong tinh thể đơn trục âm. Đối với tương tác ooe
(1)o1 1 3 1( ) (2 , )e
pmn nω ω θ=
Hay (1)
o1 1 3 12 ( ) (2 , )epmk kω ω θ=
Vì vậy hướng hợp pha Oz (z là phương truyền khác với trục quang học Z) đối
với trường hợp này được thiết lập khi đường tròn của chiết suất tia thường tại tần
số 1ω cắt elip chiết suất của tia bất thường tại tần số 12ω (hình 2.8a) hay đường
tròn o12k cắt elip 3 ( )ek θ (hình 2.8b).
Sự hợp pha loại ( )I − với góc hợp pha (2)pmθ (hình 2.9) chỉ xảy ra khi
(1) (2) (1)pm pm pmθ θ π θ≤ ≤ − , trong vùng tán sắc bất thường đặc biệt, vì bất đẳng thức
3 1 o1 1(2 ) ( )en nω ω≤ thì thỏa mãn với các góc trong vùng này
Hình 2.10 mô tả vị trí của sự hợp pha loại II trong tinh thể đơn trục âm đối với
sóng phẳng ( (3)pmθ ) và vectơ sóng ( góc (4)
pmθ ). Hướng hợp pha được xác định bởi
phần giao nhau của elip 3 ( )ek θ với đường o11 1 ( )ek k θ+ . Sự hợp pha của vectơ sóng
loại II xảy ra trong vùng (3) (4) (3)pm pm pmθ θ π θ< < − .
Nếu sự hợp pha cộng tuyến xảy ra tại 090pmθ = , thì sự hợp pha của vectơ sóng
cũng cùng loại. Bên cạnh đó, nếu (1) 090pmθ = thì không xảy ra hợp pha loại II.
(biểu thức góc hợp pha tính theo bước sóng)
(Cộng tuyến: tia tới trùng với tia khúc xạ)
2.2 Tinh thể lưỡng trục.
.(ví dụ các tinh thể đặc trưng cho SHG)
2.2.1 Tính chất của tinh thể lưỡng trục.
Đối với tinh thể lưỡng trục sự phụ thuộc của chiết suất vào phương truyền ánh
sáng và sự phân cực ánh sáng đồng nghĩa với hàm phức tạp đối với tinh thể đơn
trục. Phương truyền của ánh sáng phẳng được xác định bởi hai góc cực θ và góc
phương vị φ .
Chú ý cách sử dụng số hạng sóng thường (o) và sóng bất thường (e) đối với
sóng ánh sáng truyền trong tinh thể lưỡng trục là vô nghĩa. Chúng ta sẽ sử dụng
thuật ngữ sóng chậm (s) và sóng nhanh (f) ( ,s f s fn n v v> < ). Thuật ngữ cũ chỉ có ý
nghĩa trong mặt phẳng chính của tinh thể lưỡng trục.
Để dễ hiểu ta giới hạn đối với trường hợp ánh sáng truyền trong mặt phẳng
chính XY, YZ và XZ. Trong những mặt phẳng này sự phụ thuộc của chiết suất vào
phương truyền của hai sóng có phương phân cực vuông góc biểu diễn sự kết hợp
của một đường elip và một đường tròn ( hình 2.12a,b)
Chúng ta sẽ liên hệ giữa trục điện môi (X, Y, Z) và trục tinh thể trong tinh thể
lưỡng trục theo hướng trục quang học, các hướng đó được đưa ra bởi giao điểm
của đường elip và đường tròn sẽ luôn luôn sai trong mặt phẳng chính XZ.
Xem xét một trong hai trường hợp có thể xảy ra X Y Zn n n< < (hình 2.12a) với
, ,X Y Zn n n là giá trị chính của chiết suất. Góc ZV tạo bởi một trục quang học với
trục Z được xác định bởi
2 2 1/2
2 2 1/2
( )sin
( )Z Y X
ZY Z X
n n nV
n n n
−=−
Góc giữa các trục quang học trong mặt phẳng XZ bằng 2 ZV . Trong mặt phẳng
XY chiết suất của sóng phân cực thường với mặt phẳng này là hằng số và bằng Zn ,
và chiết suất của sóng phân cực trong mặt phẳng này thay đổi từ Yn tới Xn với φ
thay đổi từ 00 đến 090 . Vì thế, một tinh thể lưỡng trục với X Y Zn n n< < trong mặt
phẳng XY thì tương tự với tinh thể đơn trục âm với Z on n= và
2 1/2
1/22 2
(1 tan )( )
1 ( / ) tan
eY
Y X
n nn n
φφφ
+= +
Hình 2.12: Sự phụ thuộc của chiết suất vào phương truyền của ánh sáng và sự
phân cực (chiết suất bề mặt) trong tinh thể lưỡng trục dưới mối liên hệ giữa các
giá trị chiết suất chính: a) X Y Zn n n< < , X Y Zn n n> > .
Trong mặt phẳng YZ chiết suất của sóng phân cực đối với mặt phẳng này là
hằng số và bằng Xn , trong khi đối với sóng phân cực trong mặt phẳng này chiết
suất thay đổi từ Yn đến Zn với θ thay đổi từ 00 đến 090 . Vì vậy tinh thể lưỡng trục
với X Y Zn n n< < trong mặt phẳng YZ thì tương tự với tinh thể đơn trục dương với
o Xn n= và:
2 1/2
1/22
(1 tan )( )
1 ( / ) tan
eY
Y Z
n nn n
θθθ
+= +
Chúng ta cũng có thể thấy rằng trong mặt phẳng XZ tại ZVθ < tinh thể lưỡng
trục với X Y Zn n n< < tương tự với tinh thể đơn trục âm, tại ZVθ > đối với tinh thể
đơn trục dương.
Tinh thể lưỡng trục với X Y Zn n n> > có thể được xem xét theo cách tương tự. Ở
đây góc ZV giữa trục quang học và trục Z được xác định bởi
2 2 1/2
2 2 1/2
( )cos
( )X Y Z
ZY X Y
n n nV
n n n
−=−
Tinh thể lưỡng trục được gọi là tinh thể quang học dương nếu đường phân giác
của góc nhọn giữa trục quang học trùng với maxn , và gọi là tinh thể quang học âm
nếu đường phân giác trùng với minn .
Để ước lượng góc “walk-off” trong tinh thể lưỡng trục dương với giá trị gần
đúng bậc nhất bằng cách sử dụng công thức đối với tinh thể đơn trục (2.21); tính
toán chính xác góc walk-off theo phương hợp pha trong tinh thể lưỡng trục phi
tuyến được đưa ra ở [2.8]. Công thức ở trên (2.32 38)→ đối với tinh thể đơn trục
có thể dùng để tính toán sự phản xạ và khúc xạ của sóng ánh sáng tại bề mặt tinh
thể lưỡng trục, đặc biệt đối với ánh sáng truyền trong mặt phẳng chính; tuy nhiên
sự mô tả chính xác đối với tinh thể lưỡng trục phức tạp hơn nhiều.
2.2.2 Sự hợp pha.
(Lí giải các kiểu hợp pha. Tính góc hợp pha ứng với từng bước sóng)
Có thể thấy rằng trong tinh thể lưỡng trục chỉ có 3 loại hợp pha chính: ss-f, sf-
f, fs-f (chỉ số thứ ba biểu thị cho sóng có tần số cao hơn 3ω ). Trường hợp ss-f ta kí
hiệu là sự hợp pha loại I, sf-f và fs-f gọi là hợp pha loại II. Chú ý trong tài liệu
[2.9, 10] không chỉ sự hợp pha loại I, II được thảo luận mà còn có sự hợp pha loại
II (sf-f là loại II, fs-f là loại III), nhưng trong kí hiệu này theo ý kiến chúng tôi
những phân loại đó có cùng một ý nghĩa chỉ trong các mặt phẳng chính phù hợp
với kí hiệu của tinh thể lưỡng trục (âm hay dương) trong các mặt phẳng này.
Hobden [2.11] xét 14 trường hợp hợp pha trong tinh thể lưỡng trục, Stepanov
et al [2.10] khái quát hóa các trường hợp đối với SFG và DFG và tìm ra 30 trường
hợp đối với trường hợp hợp pha cộng tuyến trong [2.9] sự phân loại hoàn toàn và
tính toán quĩ tích hướng trong thì có 72 loại đối với sự hợp pha cộng tuyến trong
tinh thể phi tuyến đơn trục và lưỡng trục.
Trong trường hợp phát sóng hài bậc hai ( 3 12ω ω= ) trong tất cả các mặt phẳng
chính của tinh thể lưỡng trục chỉ có hai loại hợp pha
3 1 1 3 3( ) ( )S f fn n n nω ω= = =
(sự hợp pha loại II sf-f)
1 1 32S f fn n n+ =
(sự hợp pha loại II sf-f)
Sự khác nhau giữa các loại hợp pha này đối với các mặt phẳng chính khác
nhau sai trong cách kí hiệu của chúng (hợp pha “+” hay “-” và trong các loại hợp
pha tương ứng ooe, oee, eeo hay eoo đối với tinh thể đơn trục.
Đối với trường hợp X Y Zn n n< < trong mặt phẳng XY ta có loại hợp pha “+”
(loại ( )I − và ( )II − trong mặt phẳng YZ loại “+” (loại ( )I + và ( )II + ), trong mặt phẳng
XZ với ZVθ < loại “-” và với ZVθ > loại hợp pha “+”. Sóng giống nhau (chậm hay
nhanh) có thể là sóng thường hay sóng bất thường phụ thuộc vào vị trí hệ trục
không gian. Xét các loại hợp pha trong trường hợp X Y Zn n n> > theo cách tương
tự.
Tương tự tinh thể đơn trục sự tồn tại một loại hợp pha hay các loại khác phụ
thuộc vào mối liên hệ các giá trị chính của chiết suất. Ví dụ, trong trường hợp
X Y Zn n n< < loại hợp pha ( )I − trong mặt phẳng XY thay thế hoàn toàn bởi bất đẳng
thức 1 3( ) ( )Z Yn nω ω< .
Bảng 2.2 đưa ra các công thức tính góc hợp pha pmθ hay pmφ theo sự lan truyền
cộng tuyến của các sóng tương tác trong mặt phẳng chính của tinh thể lưỡng trục.
Chú ý có một vài công thức tính gần đúng.
Để tính chính xác góc hợp pha, sự phụ thuộc pmθ và pmφ , cách tiếp cận của
Hobden [2.11], Stepanov [2.10], Kashke và Koch [2.13].
Xét công thức Fresnel chúng ta có thể tính toán vận tốc pha của sóng nhanh (f)
và sóng chậm (s) đối với hướng tùy ý với góc θ và φ [2.13]
1/22,
2 4j js f
j j
P Pv Q
= ± − ÷ ÷
(2.45)
Với j=1, 2, 3 ( 3 2 1ω ω ω= + đối với tương tác ba sóng).
Bảng 2.2: Công thức tính toán góc hợp pha trong tinh thể lưỡng trục theo
phương truyền trong các mặt phẳng chính.
…………2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
j X jY X jZ Y jX Y jZ Z jX Z jYP s v s v s v s v s v s v= + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2i X jY jZ Y jX jZ Z jX jYQ s v v s v v s v v= + +
, ,X Y ZS là hình chiếu của vectơ đơn vị sóng k
k trên ba trục X, Y, Z.
cos cos , sin sin , cos .X Y Zs s sθ φ θ φ θ= = =
Trong công thức (2.45) kí hiệu “+” dành cho sóng nhanh, “-” dành cho sóng
chậm; đối với sự hợp pha cộng tuyến.
1 2, ,
3 1 3 2 3
1 1 1f s f s fv v v
ω ωω ω
= +
Sau khi thay thế (2.45) vào (2.49), sự phụ thuộc ( )pm pm pmθ θ φ= có thể tính được
(trong trường hợp chung chỉ là số lượng). Đối với những tính toán như thế cần
biết các giá trị chính , ,jX jY jZn n n .
Chú ý rằng những trường hợp sf-f và fs-f thì khác nhau cơ bản nếu 1 2ω ω≠ .
Công thức gần đúng đơn giản hơn để tính hướng hợp pha cộng tuyến, ví dụ đối
với sự phụ thuộc ( )pm pmθ φ trong tinh thể lưỡng trục trong trường hợp SHG
3 1( 2 )ω ω= ở [2.14] đối với độ chính xác nhỏ hơn 8%. Ví dụ đối với sự hợp pha
loại I trong tinh thể lưỡng trục dương được tính bởi công thức sau:
2 22 2 2 2 2 23 1 1 1 3 3
1 1 1 1 1 1 1sin sinpm pm
Y X X Y X YK n n n n n nθ φ
= − − + − ÷
(2.50)
Với
22 2 2 21 1 1 1
1 1 1 1sin pm
Z X X Y
Kn n n n
φ
= − + − ÷
Để thu được sự mô tả tương ứng đối với sự hợp pha loại I trong tinh thể lưỡng
trục âm cần thay đổi chỉ số 1 và 3 trong (2.50 51). Đối với sự hợp pha loại II
trong tinh thể dương sử dụng phép tính gần đúng trong [2.14]:1/22 2 2
2 2
sin cos sin1 ( )Y Y X
X Y X
n n nn n n
φ φ φ−
+ ≈ − −
(2.52)
Và sau đó ta có:
( ){ }22 1 2 2 2 2 23 1 3 1 3 1 1 1 1sin 2 2 2 sin ( )sinpm Y Y X X Y Y pm X X Y pmK n n n n n n n n nθ φ φ
−− − − − = − + − − + − + −
Biểu thức tính góc hợp pha theo bước sóng tới
(viết chương trính nhỏ)
Chương III: Thực nghiệm phát SHG với tinh thể KTP.
Chương IV: Kết luận (chung)