tópicos de geometria diferencial

Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

Tópicos de Geometria Diferencial

Ricardo Alexandre Batista

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-

Graduação � Mestrado Pro�ssional em Ma-

temática Universitária do Departamento de

Matemática como requisito parcial para a ob-

tenção do grau de Mestre

Orientador

Prof. Dr. João Peres Vieira

2011

Batista, Ricardo Alexandre Tópicos de geometria diferencial / Ricardo AlexandreBatista. - Rio Claro : [s.n.], 2011 91 f. : il., figs.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista,Instituto de Geociências e Ciências Exatas Orientador: João Peres Vieira

1. Geometria diferencial. 2. Aplicação de Gauss. 3.Curvatura gaussiana. 4. Superfícies mínimas. 5. TeoremaEgregium de Gauss. 6. Teorema de Gauss Bonnet. I. Título.

516.36B333t

Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESPCampus de Rio Claro/SP

TERMO DE APROVAÇÃO

Ricardo Alexandre Batista

Tópicos de Geometria Diferencial

Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de

Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Pro�ssional em Matemática

Universitária do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade

Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examina-

dora:

Prof. Dr. João Peres Vieira

Orientador

Profa. Dra. Elíris Cristina Rizziolli

Departamento de Matemática

UNESP - Rio Claro

Prof. Dr. Laércio Aparecido Lucas

Academia da Força Aérea - Pirassununga

Rio Claro, 21 de Setembro de 2011

Ao meu pai José Aparecido Batista e à minha mãe Maria José

Agradecimentos

A Deus por me amparar nos momentos difíceis, me dar força interior para superar

as di�culdades, mostrar os caminhos nas horas incertas e me suprir em todas as minhas

necessidades.

À minha mãe, Maria José, a qual eu amo, pelo apoio nos momentos difíceis e pela

compreensão em todas as minhas decisões.

Às minhas irmãs, Larissa e Leliane, pelo incentivo e apoio de sempre.

À minha namorada, Lidiane, pelo incentivo e compreensão pelo tempo dedicado

aos estudos e ausência nos momentos de saudade.

Aos meus amigos (irmãos) de Batatais, pelo companheirismo e amizade prestada

ao longo dos anos.

A todos amigos do mestrado, em especial ao Fabrício, Robson, Leda e Ana, pela

ajuda nos estudos, bem como nos momentos os quais pensávamos em desistir.

Aos meus amigos e companheiros de trabalho, pelo tempo que estive ausente,

dedicando-me ao curso.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Matemática Universitária do

Departamento de Matemática do IGCE-UNESP- Rio Claro-SP, pelos ensinamentos e

conselhos ao longo de todo o curso.

E, em especial, ao meu orientador, Prof. Dr. João Peres Vieira, agradeço as

cobranças, exigências, dinamismo, paciência e tamanha dedicação com tal trabalho.

Resumo

O principal objetivo deste trabalho é confeccionar um texto para alunos de gra-

duação na área de Ciências Exatas e da Terra concernente ao estudo da Curvatura

Gaussiana e Aplicação de Gauss, Superfícies Mínimas, Teorema Egregium de Gauss e

o Teorema de Gauss- Bonnet para curvas simples fechadas.

Palavras-chave: Aplicação de Gauss, Curvatura Gaussiana, Superfícies Mínimas,

Teorema Egregium de Gauss, Teorema de Gauss-Bonnet .

Abstract

The main objective from this work is to make a text for students of graduation

in the area of exact sciences and of the land concerning to the study of the Gaussian

Curvature and the Gauss Map, Minimal Surfaces, Gauss's Theorem Egregium and the

Gauss-Bonnet Theorem for Simple Closed Curves.

Keywords: Gauss Map, Gaussian Curvature , Minimal Surfaces, Gauss's Theorem

Egregium, Gauss-Bonnet Theorem .

Lista de Figuras

3.1 Aplicação de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Curvatura Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Superfície de Revolução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Pseudoesfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Tractrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 Superfície paralela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1 Catenóide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Helicóide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Sumário

1 Introdução 15

2 Pré-Requisitos 17

2.1 Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Superfícies Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Orientação de superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Curvatura Gaussiana e a Aplicação de Gauss 21

3.1 Aplicação de Gauss e suas propriedades fundamentais . . . . . . . . . . 21

3.2 Aplicação de Gauss em coordenadas locais . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 Superfícies de curvatura média constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Curvatura Gaussiana de Superfícies Compactas . . . . . . . . . . . . . 47

4 Superfícies Mínimas 49

4.1 O problema de Plateau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Exemplos de superfícies mínimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Teorema Egregium de Gauss 71

6 Teorema de Gauss-Bonnet 83

6.1 Gauss-Bonnet para curvas Simples Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Conclusão 89

Referências 91

1 Introdução

Num curso regular de Geometria Diferencial, o estudo de superfícies mínimas e os

Teoremas Egregium de Gauss e de Gauss-Bonnet são tópicos, em geral, abordados de

uma forma muito rápida e sem muitos detalhes.

O objetivo desse trabalho é elaborar um texto para alunos de graduação na área de

Ciências Exatas e da Terra, concernente ao estudo destes tópicos, evidenciando uma

conexão entre as áreas de Geometria, Álgebra e Análise.

Para isso é recomendado que o leitor tenha uma certa familiaridade com Álgebra

Linear, Equações Diferenciais Ordinárias e Análise, cujos resultados necessários serão

referenciados ao longo do texto.

Esse trabalho está organizado da seguinte forma:

Inicialmente, no capítulo 2, introduzimos algumas de�nições e resultados sobre

curvas e superfícies regulares, orientações de superfícies e isometrias necessários para

o entendimento dos capítulos posteriores.

No capítulo 3 estudamos a Aplicação de Gauss, suas propriedades fundamentais e

a Curvatura Gaussiana.

No capítulo 4 estudamos superfícies mínimas, mais propriamente, buscamos solu-

ções para o problema de Plateau, bem como vemos alguns exemplos de tais superfícies.

No capítulo 5 provamos o Teorema Egregium de Gauss e alguns corolários deste

teorema.

Finalmente, no capítulo 6 provamos o Teorema de Gauss-Bonnet para curvas sim-

ples fechada, e fazemos uma aplicação deste teorema.

15

2 Pré-Requisitos

Neste capítulo introduziremos algumas de�nições e resultados sobre curvas e super-

fícies regulares, orientações de superfícies e isometrias, que serão usados ao longo do

texto.

2.1 Curvas regulares

Nesta seção introduziremos alguns conceitos básicos para curvas no espaço e enun-

ciaremos o Teorema Fundamental das curvas planas. Para maiores detalhes veja [6].

De�nição 2.1. Uma curva parametrizada diferenciável é uma aplicação diferenciável

α : I → R3 de um intervalo aberto I =]a, b[ da reta real R em R3.

De�nição 2.2. Um curva parametrizada α : I → R3 é chamada regular se α′(t) = 0

para todo t ∈ I.

De�nição 2.3. Um curva regular α : I → R3 é dita parametrizada pelo comprimento

de arco, se para cada t0, t1 ∈ I, t0 ≤ t1o comprimento do arco da curva α de t0 a t1 é

igual a t1 − t0. Isto é ∫ t1

t0

∥α′(t)∥ dt = t1 − t0.

De�nição 2.4. Seja α : I → R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco

s ∈ I. O número ∥α′′(s)∥ = kα(s) chama-se curvatura de α em s.

Nos pontos onde kα(s) = 0, �ca bem de�nido pela equação α′′(s) = kα(s)nα(s), um

vetor unitário nα(s) na direção de α′′(s), chamado o vetor normal em s.

Indicaremos por tα(s) = α′(s) o vetor tangente unitário de α em s. Temos então

t′α(s) = kα(s)nα(s).

O vetor unitário bα(s) = tα(s) ∧ nα(s) será chamado o vetor binormal em s.

De�nição 2.5. Seja α : I → R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco

s tal que α′′(s) = 0, s ∈ I. O número τα(s) de�nido por b′α(s) = τα(s)nα(s) é chamado

torção de α em s.

17

18 Pré-Requisitos

O teorema a seguir mostra que a curvatura determina uma curva plana a menos de

sua posição no plano. Mais precisamente:

Teorema 2.1. Teorema Fundamental das curvas planas.

a) Dada uma função diferenciável k(s), s ∈ I ⊂ R, existe uma curva regular α(s),

parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura é k(s).

b) A curva α(s) acima é única quando �xamos α(s0) = p0 e α′(s0) = v0, onde v0 é um

vetor unitário de R2.

c) Se duas curvas α(s) e β(s) têm a mesma curvatura, então diferem por sua posição

no plano, isto é, existe uma rotação L e uma translação T em R2, tal que

α(s) = (L ◦ T )(β(s))

2.2 Superfícies Regulares

Nessa seção introduzimos a noção de uma superfície regular em R3. Para maiores

detalhes veja [2].

De�nição 2.6. Um subconjunto S ⊂ R3 é uma superfície regular, se para cada p ∈ S,

existe uma vizinhança V de p em R3 e uma aplicação χ : U → V ∩ S de um aberto U

de R3 em V ∩ S tal que:

(i) χ é diferenciável;

(ii) χ é um homeomor�smo;

(iii) para todo q∈U , a diferencial dχq : R2→R3 é injetiva.

De�nição 2.7. A aplicação χ é chamada uma parametrização ou um sistema de coor-

denadas (locais) em uma vizinhança de p. A vizinhança V ∩ S de p em S é chamada

uma vizinhança coordenada.

Veremos mais adiante, que a condição (iii) na de�nição 2.6 garante que para cada

p ∈ S, o conjunto de vetores tangentes às curvas parametrizadas de S, passando por

p, constituem um plano.

De�nição 2.8. Entendemos por vetor tangente a S, em um ponto p ∈ S, ao ve-

tor tangente α′(t0) de uma curva parametrizada diferenciável α:]a, b[ → S ⊂ R3 com

α(t0) = p.

Para a demonstração da proposição a seguir necessitaremos de um Teorema da

Álgebra Linear, que pode ser encontrado em [5], conhecido como Teorema do Núcleo e

da Imagem: Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão �nita e seja T : V → W uma

transformação linear. Então dimV=dim KerT + dim ImT , onde KerT = {v ∈ V :

T (v) = 0} é o Núcleo da transformação linear T e ImT = T (V ) = {T (v) : v ∈ V } ⊂ W

é a Imagem da transformação linear T .

Orientação de superfícies 19

Proposição 2.1. Seja χ : U ⊂ R2 → S uma parametrização de uma superfície regular

S e seja q ∈ U . Então dχq(R2) ⊂ R3 é um subespaço de dimensão 2, onde p = χ(q).

Demonstração. Pela condição (iii) da de�nição de superfície regular S, temos que,

dχq : R2 → R3 é injetiva. Logo, o núcleo de dχq é o subespaço nulo de R2. Assim, pelo

teorema do núcleo e da imagem, dim dχq(R2) = 2. Portanto, dχq(R2) é um plano.

De�nição 2.9. Chamamos de plano tangente à superfície S em p, que denotaremos

por TpS, ao subespaço dχq(R2), onde p = χ(q).

Proposição 2.2. Seja χ : U⊂R2→S uma parametrização de uma superfície regular S

e seja q ∈ U . Então TpS é o subespaço gerado por χu(q) e χv(q) onde p = χ(q).

Demonstração. Sendo dχq : R2 → R3 dada por (a, b) →

∂x∂u(q) ∂x

∂v(q)

∂y∂u(q) ∂y

∂v(q)

∂z∂u(q) ∂z

∂v(q)

( a

b

)inje-

tiva, temos que χu(q) =(

∂x∂u(q), ∂y

∂u(q), ∂z

∂u(q)

)e χv(q) =

(∂x∂v(q), ∂y

∂v(q), ∂z

∂v(q)

)são linearmente independentes, pois a matriz da transformação linear dχq tem posto 2.

Sendo {e1, e2} base canônica de R2 temos que χu(q) = dχq(e1) e χv(q) = dχq(e2) e

como dχq(R2) tem dimensão 2, segue que {χu(q), χv(q)} é uma base de TpS = dχq(R2).

2.3 Orientação de superfícies

Nesta seção vamos discutir em que sentido, e quando, é possível orientar uma

superfície. Para maiores detalhes veja [2].

Dada uma parametrização χ : U ⊂ R2 → S de uma superfície regular S, podemos

escolher, para cada ponto p ∈ χ(U) ⊂ S, um vetor normal unitário pela regra N(p) =χu∧χv

∥χu∧χv∥ (q), onde χ(q) = p e χu ∧ χv denota o produto vetorial de χu e χv.

Assim, temos uma aplicação diferenciável N : χ(U) → R3 que associa a cada

p ∈ χ(U) um vetor unitário N(p).

De maneira geral, temos a seguinte

De�nição 2.10. Se V ⊂ S é um conjunto aberto em S e N : V → R3 é uma aplicação

diferenciável que associa a cada v ∈ V um vetor normal unitário em v, dizemos que N

é um campo diferenciável de vetores normais unitários em V .

De�nição 2.11. Dizemos que uma superfície regular é orientável se ela admite um

campo diferenciável de vetores normais unitários de�nido em toda a superfície. A

escolha de um tal campo N é chamada uma orientação de S.

Uma orientação N em S induz uma orientação em cada plano tangente TpS, p ∈ S,

da seguinte maneira: de�na a base {v, w} ⊂ TpS como sendo positiva se o produto

interno ⟨v ∧ w,N⟩ > 0. Então o conjunto de todas as bases positivas de TpS é uma

orientação para TpS.

20 Pré-Requisitos

2.4 Isometrias

Nesta seção de�nimos a noção de isometria. Para maiores detalhes veja [2].

De�nição 2.12. Se S1 e S2 são superfícies regulares, uma aplicação f : S1 → S2

é diferenciável se, para cada p ∈ S1, existem parametrizações χ e χ (de S1 e S2,

respectivamente),

χ : U → S1, χ : U → S2

com p ∈ χ(U), f(p) ∈ χ(U) e f(χ(U)) ⊂ χ(U) de modo que h = χ−1 ◦ f ◦ χ : U → U

seja diferenciável. Diremos que f é um difeomor�smo de S1 em S2 se tanto f quanto

f−1 são diferenciáveis.

De�nição 2.13. Se S1 e S2 são superfícies regulares, uma aplicação f : S1 → S2 é

uma isometria se f é um difeomor�smo e para todo p em S1 e todo par w1,w2 ∈ TpS1,

temos

< w1, w2 >=< dfp(w1), dfp(w2) > .

Se uma isometria f : S1 → S2 existe, dizemos que S1 e S2 são isométricas.

3 Curvatura Gaussiana e a Aplicação

de Gauss

3.1 Aplicação de Gauss e suas propriedades funda-

mentais

Nesta seção estudaremos a Aplicação de Gauss e suas propriedades fundamentais

bem como de�niremos a segunda forma fundamental de uma superfície S em um ponto

p de S, curvatura normal, curvaturas principais, Curvatura Gaussiana e Curvatura

Média. Para maiores detalhes veja [2].

Ao longo desta seção, S denotará uma superfície regular orientável, onde foi esco-

lhida uma orientação (isto é, um campo diferenciável de vetores normais unitários N)

conforme seção 2.3; diremos simplesmente que S é uma superfície com uma orientação

N .

De�nição 3.1. Seja S ⊂ R3 uma superfície com uma orientação N . A aplicação N :

S → R3 toma seus valores na esfera unitária S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}.A aplicação N : S → S2, assim de�nida, é chamada a aplicação de Gauss de S.

21

22 Curvatura Gaussiana e a Aplicação de Gauss

Figura 3.1: Aplicação de Gauss.

É imediato veri�car que a aplicação de Gauss é diferenciável. A diferencial dNp

de N em p ∈ S dá uma aplicação linear de TpS em TN(p)S2, onde TpS e TN(p)S

2 são

os mesmos espaços vetoriais (a menos de um isomor�smo), e portanto dNp pode ser

tratada como uma aplicação linear em TpS.

A aplicação linear dNp : TpS → TpS opera da seguinte maneira: para cada curva

parametrizada α(t) em S, com α(0) = p, consideremos a curva parametrizadaNoα(t) =

N(t) na esfera S2; isso equivale a restringir o vetor normal N à curva α(t).

O vetor tangente N ′(0) = dNp(α′(0)) é um vetor de TpS. Ele mede a taxa de

variação do vetor normal N , restrito à curva α(t), em t = 0. Assim, dNp mede quanto

N se afasta de N(p) em uma vizinhança de p.

No caso das curvas, esta medida é dada por um número, denominado curvatura.

No caso das superfícies, esta medida é caracterizada por uma aplicação linear.

Proposição 3.1. A diferencial dNp : TpS → TpS da aplicação de Gauss é uma apli-

cação linear auto-adjunta.

Demonstração. Como dNp é linear, basta veri�carmos que dNp é auto-adjunta, ou seja,

basta veri�carmos que < dNp(v), w >=< v, dNp(w) >, onde {v, w} é uma base de TpS.

Seja χ(u, v) uma parametrização de S em p e {χu, χv} a base associada de TpS.

Se α(t) = χ(u(t), v(t)) é uma curva parametrizada em S, com α(0) = p, temos

dNp(χu)u′(0) + dNp(χv)v

′(0) = dNp(χuu′(0) + χvv

′(0)) = dNp(α′(0)) = d

dtN(u(t), v(t))

|t=0 = Nuu′(0) +Nvv

′(0).

Em particular, dNp(χu) = Nu e dNp(χv) = Nv. Portanto, para provar que dNp é

auto-adjunta, é su�ciente mostrar que < Nu, χv >=< χu, Nv >.

Como N = χu∧χv

∥χu∧χv∥ , temos:

< N,χu >= 0 ⇒< Nv, χu > + < N,χuv >= 0 (3.1)

Aplicação de Gauss e suas propriedades fundamentais 23

< N,χv >= 0 ⇒< Nu, χv > + < N,χvu >= 0 (3.2)

Subtraindo (3.2) de (3.1) temos:

< Nv, χu > − < Nu, χv >= 0, e portanto < χu, Nv >=< Nv, χu >=< Nu, χv >.

O fato de dNp ser uma aplicação linear auto-adjunta nos permite associar à dNp

uma forma quadrática Q em TpS, dada por Q(v) =< dNp(v), v >, v ∈ TpS.

De�nição 3.2. A forma quadrática∏

p, de�nida em TpS por∏

p(v) = − < dNp(v), v >

é chamada a segunda forma fundamental de S em p.

De�nição 3.3. Seja C uma curva regular em S passando por p ∈ S, k a curvatura de

C em p, e cosθ =< n,N >, onde n é o vetor normal a C e N é o vetor normal a S

em p. O número kn = k cos θ é chamado a curvatura normal de C ⊂ S em p.

Figura 3.2: Curvatura Normal.

Considere uma curva regular C ⊂ S parametrizada por α(s), onde s é o parâmetro

comprimento de arco de C, com α(0) = p. Se indicarmos por N(s) a restrição do vetor

normal N à curva α(s), teremos < N(s), α′(s) >= 0, donde segue que

< N ′(s), α′(s) > + < N(s), α′′(s) >= 0, ou equivalentemente,

< N(s), α′′(s) >=− < N ′(s), α′(s) >, ∀sPortanto,∏

p(α′(0)) = − < dNp(α

′(0)), α′(0) >= − < N ′(0), α′(0) >=< N(0), α′′(0) >=

< N(0), k(0)n(0) >= k(0) < N(0), n(0) >= k(0) cos θ, onde θ é o ângulo formado

pelos vetores n(0) e N(0).

Portanto,∏

p(α′(0)) = kn(p).


Em outras palavras, o valor da segunda forma fundamental∏

p em um vetor unitário

v ∈ TpS é igual à curvatura normal de uma curva regular passando por p e tangente a

v.

Em [5] temos o

Teorema 3.1. Se A : V → V é uma aplicação linear auto-adjunta, então existe uma

base ortonormal {e1, e2} de V tal que A(e1) = λ1e1 e A(e2) = λ2e2, isto é, e1 e e2 são

auto-vetores e λ1 e λ2 são auto-valores de A.

Observação 3.1. Observamos que na base {e1, e2} do teorema 3.1, a matriz de A é

diagonal e os elementos λ1 e λ2 (com λ1 ≥ λ2) da diagonal, são os valores máximo

e mínimo, respectivamente, da forma quadrática Q(v) =< Av, v > sobre o círculo

unitário de V , pois para qualquer vetor unitário v ∈ V temos que v = xe1 + ye2 com

x2 + y2 = 1. Assim,

Q(v) =< Av, v >=< xA(e1) + yA(e2), xe1 + ye2 >=< xλ1e1 + yλ2e2, xe1 + ye2 >=

λ1x2 + λ2y

2.

Supondo λ1 ≥ λ2 temos:

Q(v) = λ1x2 + λ2y

2 ≥ λ2(x2 + y2) = λ2

e

Q(v) = λ1x2 + λ2y

2 ≤ λ1(x2 + y2) = λ1

e portanto λ2 ≤ Q(v) ≤ λ1, para qualquer v pertencente ao círculo unitário de V e

como Q(1, 0) = λ1 ≥ Q(0, 1) = λ2, segue que λ2 é o mínimo e λ1 é máximo da forma

quadrática Q(v).

De acordo com o teorema 3.1 e a observação 3.1(fazendo A = −dNp), podemos dizer

que para cada p ∈ S existe uma base ortonormal {e1, e2} de TpS tal que −dNp(e1) =

k1e1 e −dNp(e2) = k2e2.

Além disso k1 e k2 (k1 ≥ k2) são o máximo e o mínimo da segunda forma fundamen-

tal∏

p restrita ao círculo unitário de TpS; isto é, são os valores extremos da curvatura

normal em p.

De�nição 3.4. O máximo da curvatura normal k1 e o mínimo da curvatura normal

k2, são chamados curvaturas principais em p. As direções correspondentes, isto é, as

direções dadas pelos auto-vetores e1 e e2 são chamadas direções principais em p.

Observamos que esses números não dependem da base escolhida, e são portanto,

associados à aplicação linear.

Lembramos que o determinante de um operador linear T : V → V é o determinante

da matriz desse operador linear em relação à alguma base de V.

Assim, a matriz do operador linear dNp é dada por:(−k1 0

0 −k2

)

Aplicação de Gauss em coordenadas locais 25

e portanto o determinante de dNp é o produto (−k1)(−k2) = k1k2 das curvaturas

principais, e o traço de dNp é o negativo da soma das curvaturas principais −(k1+ k2).

Observamos que se mudarmos a orientação da superfície, o determinante não muda,

mas o traço, contudo, muda de sinal. Assim temos:

De�nição 3.5. Seja p ∈ S e seja dNp : TpS → TpS a diferencial da aplicação de

Gauss. O determinante de dNP é chamado a curvatura Gaussiana K de S em p. O

negativo da metade do traço de dNp é chamado a curvatura média de S em p. Assim,

em termos das curvaturas principais k1 e k2, temos K = k1k2 e H = k1+k22

.

3.2 Aplicação de Gauss em coordenadas locais

Agora obteremos as expressões da segunda forma fundamental e da diferencial da

aplicação de Gauss em um sistema de coordenadas locais. Deste modo, teremos um

método sistemático para o cálculo de exemplos especí�cos.

Todas as parametrizações χ : U ⊂ R2 → S consideradas neste capítulo são compatí-

veis com a orientaçãoN de S, isto é, em χ(U), N(p) = χu∧χv

∥χu∧χv∥(q) com p = χ(q) ∈ χ(U).

Seja χ(u, v) uma parametrização em um ponto p de uma superfície S, e seja

α(t) = χ(u(t), v(t)) uma curva parametrizada em S, com α(0) = χ(q) = p onde

q = (u(0), v(0)).

O vetor tangente a α(t) em p é α′(0) = χu(q)u′(0) + χv(q)v

′(0) e dNp(α′(0)) =

N ′(0) = Nu(q)u′(0)+Nv(q)v

′(0) onde N(t) = N(χ(u(t), v(t))) que simplesmente escre-

veremos como N(u(t), v(t)).

Temos < N,N >= 1. Assim, < Nu, N > + < N,Nu >= 0 e portanto < Nu, N >=

0. Da mesma forma, < Nv, N >= 0. Assim, Nu e Nv pertencem a TpS. Logo, podemos

escrever

Nu = a11χu + a21χv (3.3)

Nv = a12χu + a22χv (3.4)

e portanto,

dNp(α′(0)) = Nu(q)u

′(0) + Nv(q)v′(0) = (a11χu(q) + a21χv(q))u

′(0) + (a12χu(q) +

a22χv(q))v′(0) = (a11u

′(0) + a12v′(0))χu(q) + (a21u

′(0) + a22v′(0))χv(q)

ou seja,

dNp

(u′(0)

v′(0)

)=

(a11 a12

a21 a22

)(u′(0)

v′(0)

)Isto mostra que na base {χu(q), χv(q)}, dNp é dada pela matriz (aij), i, j = 1, 2.

Por outro lado, a expressão da segunda forma fundamental na base {χu(q), χv(q)}é dada por


∏p(α

′(0)) = − < dNp(α′(0)), α′(0) >

= − < Nu(q)u′(0) +Nv(q)v

′(0), χu(q)u′(0) + χv(q)v

′(0) >

= −u′(0)2 < Nu(q), χu(q) > −u′(0)v′(0) < Nu(q), χv(q) >

−v′(0)u′(0) < Nv(q), χu(q) > −v′(0)2 < Nv(q), χv(q) >

Como < N,χu >= 0 =< N,χv >, temos:

• < Nu, χu > + < N,χuu >= 0 e portanto

< N,χuu >= − < Nu, χu > (3.5)

• < Nu, χv > + < N,χvu >= 0 e portanto

< N,χuv >=< N,χvu >= − < Nu, χv > (3.6)

• < Nv, χu > + < N,χuv >= 0 e portanto

< N,χuv >= − < Nv, χu > (3.7)

• < Nv, χv > + < N,χvv >= 0 e portanto

< N,χvv >= − < Nv, χv > (3.8)

Logo,∏p(α

′(0)) = < N(p), χuu(q) > u′(0)2 + 2 < N(p), χuv(q) > u′(0)v′(0)

+ < N(p), χvv(q) > v′(0)2

Lembrando que p = χ(q) e fazendo

< N(p), χuu(q) >= e(q)

< N(p), χuv(q) >= f(q)

< N(p), χvv(q) >= g(q)

temos:

∏p(α

′(0)) = e(q)u′(0)2 + 2f(q)u′(0)v′(0) + g(q)v′(0)2

Vamos obter o determinante de dN(p), isto é, det(aij), a partir das equações

Nu(p) = a11χu(q) + a21χv(q)


Nv(p) = a12χu(q) + a22χv(q)

Fazendo

E(q) =< χu(q), χu(q) >

F (q) =< χu(q), χv(q) >

G(q) =< χv(q), χv(q) >

obtém-se

−e(q) = < Nu(p), χu(q) >

= < a11χu(q) + a21χv(q), χu(q) >

= a11 < χu(q), χu(q) > +a21 < χv(q), χu(q) >,

ou seja,

−e(q) = a11E(q) + a21F (q) (3.9)

−f(q) = < Nu(p), χv(q) >

= < a11χu(q) + a21χv(q), χv(q) >

= a11 < χu(q), χv(q) > +a21 < χv(q), χv(q) >,

ou seja,

−f(q) = a11F (q) + a21G(q) (3.10)

−f(q) = < Nv(p), χu(q) >

= < a12χu(q) + a22χv(q), χu(q) >

= a12 < χu(q), χu(q) > +a22 < χv(q), χu(q) >,

ou seja,

−f(q) = a12E(q) + a22F (q) (3.11)

−g(q) = < Nv(p), χv(q) >

= < a12χu(q) + a22χv(q), χv(q) >

= a12 < χu(q), χv(q) > +a22 < χv(q), χv(q) >,

ou seja,

−g(q) = a12F (q) + a22G(q) (3.12)

As relações de (3.9) à (3.12) podem ser expressas na forma matricial por:(a11 a21

a12 a22

)(E(q) F (q)

F (q) G(q)

)= −

(e(q) f(q)

f(q) g(q)

)


Como ∥χu(q) ∧ χv(q)∥2 = ∥χu(q)∥2 ∥χv(q)∥2 sen2θ onde θ é o ângulo formado por

χu(q) e χv(q), tem-se

∥χu(q) ∧ χv(q)∥2 = ∥χu(q)∥2 ∥χv(q)∥2 (1− cos2θ)

= ∥χu(q)∥2 ∥χv(q)∥2 − (∥χu(q)∥ ∥χv(q)∥ cosθ)2

= ∥χu(q)∥2 ∥χv(q)∥2− < χu(q), χv(q) >2

Logo ∥χu(q) ∧ χv(q)∥2 = E(q)G(q)− F 2(q) e portanto E(q)G(q)− F 2(q) > 0

Assim, a matriz (E(q) F (q)

F (q) G(q)

)é inversível e (

a11 a21

a12 a22

)= −

(e(q) f(q)

f(q) g(q)

)(E(q) F (q)

F (q) G(q)

)−1

(3.13)

onde ( )−1 indica a matriz inversa de ( ).

Logo,

det

(a11 a12

a21 a22

)= det

(a11 a21

a12 a22

)

= det

(e(q) f(q)

f(q) g(q)

)1

det

(E(q) F (q)

F (q) G(q)

)=

e(q)g(q)− f2(q)

E(q)G(q)− F 2(q)

Portanto

K(q) =e(q)g(q)− f2(q)

E(q)G(q)− F 2(q)(3.14)

Para o cálculo da curvatura média necessita-se dos cálculos de a11 e a22. De (3.13)

tem-se (a11 a21

a12 a22

)= −

(e(q) f(q)

f(q) g(q)

)(E(q) F (q)

F (q) G(q)

)−1

.

Mas (E(q) F (q)

F (q) G(q)

)−1

=1

E(q)G(q)− F 2(q)

(G(q) −F (q)−F (q) E(q)

)t

,

onde ( )t indica a matriz transposta de ( ).

Assim


(a11 a21

a12 a22

)= − 1

E(q)G(q)− F 2(q)

(e(q) f(q)

f(q) g(q)

)(G(q) −F (q)−F (q) E(q)

)(3.15)

Logo,

a11 =f(q)F (q)− e(q)G(q)

E(q)G(q)− F 2(q)(3.16)

a22 =f(q)F (q)− g(q)E(q)

E(q)G(q)− F 2(q)(3.17)

Lembremos também que −k1 e −k2 são os autovalores de dNp. Portanto, k1 e k2sastisfazem a equação dNp(v) = −λv = −λI(v) para algum v ∈ TpS, v = 0, onde I é

a aplicação identidade.

Decorre então que (dNp + λI)(v) = 0 para algum v ∈ TpS, v = 0. Logo

ker(dNp + λI) = 0 e assim dNp + λI não é inversível e portanto tem determinante

nulo.

Assim,

det

(a11 + λ a12

a21 a22 + λ

)= 0,

ou seja,

(a11 + λ)(a22 + λ)− a21a12 = 0

ou

λ2 + (a11 + a22)λ+ a11a22 − a21a12 = 0

ou ainda

λ2 + (a11 + a22)λ+K(q) = 0 (3.18)

Como k1 e k2 são raízes da equação quadrática acima, concluímos que:

H(q) =k1 + k2

2=

−(a11 + a22)

2=e(q)G(q)− 2f(q)F (q) + g(q)E(q)

2(E(q)G(q)− F 2(q))(3.19)

Conhecido então H(q), obtemos a11 + a22 = −2H(q). Logo, a equação (3.18) �ca

λ2 − 2H(q)λ+K(q) = 0

e como

H2(q)−K(q) =(k1 − k2)

2

4≥ 0


segue que

λ = H(q)±√H2(q)−K(q)

e portanto as curvaturas principais são

H(q) +√H2(q)−K(q) e H(q)−

√H2(q)−K(q) (3.20)

3.3 Exemplos

Para os exemplos a seguir usaremos a notação < u∧v, w >= (u, v, w) para todos u,

v, w em R3, onde < u∧ v, w > é o produto interno entre u∧ v e w, e u∧ v é o produtovetorial entre u e v. Lembremos que (u, v, w) é o determinante de uma matriz 3 × 3

cujas colunas (ou linhas) são as componentes dos vetores u, v e w na base canônica{i, j, k

}de R3.

Ainda, faremos uso da

Proposição 3.2. Se χ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) é uma superfície parametrizada

regular com curvatura gaussiana K(u, v) = a2 > 0, então χ(u, v) = (ax(u, v), ay(u, v), az(u, v))

tem curvatura gaussiana K(u, v) = a−2K(u, v) = 1. Reciprocamente, se χ(u, v) tem

curvatura gaussiana constante K(u, v) = 1, então χ(u, v) tem curvatura gaussiana

constante K(u, v) = a2 > 0.

Demonstração. Com efeito, temos

K(q) =e(q)g(q)− f2(q)

E(q)G(q)− F 2(q)

onde

E(q) =< χu, χu >=< aχu, aχu >= a2 < χu, χu >= a2E(q)

F (q) =< χu, χv >=< aχu, aχv >= a2 < χu, χv >= a2F (q)

G(q) =< χv, χv >=< aχv, aχv >= a2 < χv, χv >= a2G(q)

e(q) =< N(p), χuu >

f(q) =< N(p), χuv >

g(q) =< N(p), χvv >

Desde que

N(p) =χu ∧ χv

∥χu ∧ χv∥(q)

=aχu ∧ aχv

∥aχu ∧ aχv∥(q)

=χu ∧ χv

∥χu ∧ χv∥(q) = N(p)

Exemplos 31

segue que

e(q) =< N(p), χuu >=< N(p), aχuu >= ae(q)

f(q) =< N(p), χuv >=< N(p), aχuv >= af(q)

g(q) =< N(p), χvv >=< N(p), aχvv >= ag(q)

Assim,

K(u, v) =e(q)g(q)− f 2(q)

E(q)G(q)− F 2(q)

=ae(q)ag(q)− (af(q))2

a2E(q)a2G(q)− (a2F (q))2

=a2e(q)g(q)− a2f2(q)

a4E(q)G(q)− a4F 2(q)

=a2(e(q)g(q)− f 2(q))

a4(E(q)G(q)− F 2(q))

= a−2K(u, v)

Portanto, se K(u, v) = a2 > 0 então K(u, v) = 1 e reciprocamente, se K(u, v) = 1

então K(u, v) = a2 > 0.

No exemplo a seguir, calculamos a curvatura gaussiana de uma Superfície de Re-

volução.

Exemplo 3.1. (Superfície de Revolução) Considere a superfície de revolução

χ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)) onde f(u) > 0 e f ′(u)2 + g′(u)2 = 1, para

todo u.

Figura 3.3: Superfície de Revolução.

Então temos:


E(u, v) = < χu(u, v), χu(u, v) >

= < (f ′(u) cos v, f ′(u) sen v, g′(u)), (f ′(u) cos v, f ′(u) sen(u), g′(u)) >

= f ′(u)2 cos2 v + f ′(u)2 sen2 v + g′(u)2

= f ′(u)2 + g′(u)2

= 1

F (u, v) = < χu(u, v), χv(u, v) >

= < (f ′(u) cos v, f ′(u) sen v, g′(u)), (−f(u) sen v, f(u) cos(v), 0) >= −f ′(u)f(u) cos v sen v + f ′(u)f(u) cos v sen v

= 0

G(u, v) = < χv(u, v), χv(u, v) >

= < (−f(u) sen v, f(u) cos v, 0), (−f(u) sen v, f(u) cos v, 0) >= f(u)2 sen2 v + f(u)2 cos2 v

= f(u)2

e(q) = < N(u, v), χuu(u, v) >

= <χu(u, v) ∧ χv(u, v)

∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥, χuu(u, v) >

=(χu(u, v), χv(u, v), χuu(u, v))

∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥Mas χuu(u, v) = (f ′′(u) cos v, f ′′(u) sen v, g′′(u)). Assim,

(χu(u, v), χv(u, v), χuu(u, v)) =

∣∣∣∣∣∣∣f ′(u) cos v −f(u) sen v f ′′(u) cos v

f ′(u) sen v f(u) cos v f ′′(u) sen v

g′(u) 0 g′′(u)

∣∣∣∣∣∣∣= f ′(u)f(u)g′′(u) cos2 v − f ′′(u)f(u)g′(u) sen2 v

−f ′′(u)f(u)g′(u) cos2 v + f ′(u)f(u)g′′(u) sen2 v

= f ′(u)f(u)g′′(u)− f ′′(u)f(u)g′(u)

= f(u)(f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u))

Ainda

χu(u, v) ∧ χv(u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣i j k

f ′(u) cos v f ′(u) sen v g′(u)

−f(u) sen(v) f(u) cos v 0

∣∣∣∣∣∣∣= (−f(u)g′(u) cos v,−f(u)g′(u) sen v, f ′(u)f(u) cos2 v + f ′(u)f(u) sen2 v)

= (−f(u)g′(u) cos v,−f(u)g′(u) sen v, f ′(u)f(u))

e portanto

Exemplos 33

∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥ =√f(u)2g′(u)2 cos2 v + f(u)2g′(u)2 sen2 v + f ′(u)2f(u)2

=√f(u)2g′(u)2 + f ′(u)2f(u)2

=√f(u)2(g′(u)2 + f ′(u)2)

= f(u)

Portanto

e(u, v) =f(u)(f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u))

f(u)

= f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u)

f(u, v) = < N(u, v), χuv(u, v) >

= <χu(u, v) ∧ χv(u, v)

∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥, χuv(u, v) >

=(χu(u, v), χv(u, v), χuv(u, v))

∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥Mas χuv(u, v) = (−f ′(u) sen v, f ′(u) cos v, 0). Assim,

(χu(u, v), χv(u, v), χuv(u, v)) =

∣∣∣∣∣∣∣f ′(u) cos v −f(u) sen v −f ′(u) sen v

f ′(u) sen v f(u) cos v f ′(u) cos v

g′(u) 0 0

∣∣∣∣∣∣∣= −f ′(u)f(u)g′(u) sen v cos v + f ′(u)f(u)g′(u) sen v cos v

= 0

Logo

f(u, v) = 0.

g(u, v) = < N(u, v), χvv(u, v) >

= <χu(u, v) ∧ χv(u, v)

∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥, χvv(u, v) >

=(χu(u, v), χv(u, v), χvv(u, v))

∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥Mas χvv(u, v) = (−f(u) cos v,−f(u) sen v, 0). Assim,

(χu(u, v), χv(u, v), χvv(u, v)) =

∣∣∣∣∣∣∣f ′(u) cos v −f(u) sen v −f(u) cos vf ′(u) sen v f(u) cos v −f(u) sen vg′(u) 0 0

∣∣∣∣∣∣∣= f(u)2g′(u) sen2 v + f(u)2g′(u) cos2 v

= f(u)2g′(u)

Como ∥χu(u, v) ∧ χv(u, v)∥ = f(u), temos

g(u, v) =f 2(u)g′(u)

f(u)

= f(u)g′(u)


Portanto

K(u, v) =e(u, v)g(u, v)− f 2(u, v)

E(u, v)G(u, v)− F 2(u, v)

=(f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u))(f(u)g′(u))− 02

1f(u)2 − 02

=(f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u))(f(u)g′(u))

f(u)2

=(f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u))g′(u)

f(u)

Podemos simpli�car essa fórmula observando que f ′(u)2 + g′(u)2 = 1 implica que

2f ′(u)f ′′(u) + 2g′(u)g′′(u) = 0

ou

f ′(u)f ′′(u) + g′(u)g′′(u) = 0

ou ainda,

g′(u)g′′(u) = −f ′(u)f ′′(u)

Portanto

(f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u))g′(u) = f ′(u)g′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u)2

= −f ′(u)f ′(u)f ′′(u)− f ′′(u)g′(u)2

= −f ′(u)2f ′′(u)− f ′′(u)g′(u)2

= −f ′′(u)(f ′(u)2 + g′(u)2)

= −f ′′(u)

Assim,

K(u, v) =−f ′′(u)

f(u)(3.21)

Agora apresentaremos exemplos de superfícies com curvatura gaussiana constante

nula, positiva e negativa. Para esse �m,

Exemplo 3.2. Consideremos novamente a superfície de revolução

χ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)) (3.22)

onde f(u) > 0 e f ′(u)2 + g′(u)2 = 1, para todo u.

Vimos no Exemplo 3.1 que a curvatura gaussiana da superfície de revolução (3.22)

é dada por

K(u, v) = −f′′(u)

f(u)(3.23)

Suponha primeiro que K(u, v) = 0 , ∀ (u, v). Assim da equação(3.23) temos que

f ′′(u) = 0. Logo f ′(u) = a e portanto f(u) = au+ b para algumas constantes a e b.

Exemplos 35

Como f ′(u)2 + g′(u)2 = 1, temos que g′(u) = ±√1− a2 (onde |a| ≤ 1) e portanto

g(u) = ±√1− a2u+ c, onde c é uma constante. Assim

χ(u, v) = ((au+ b) cos v, (au+ b) sen v,±√1− a2u+ c)

Efetuando-se a translaçãox = x1

y = y1

z = z1 + c

podemos assumir que χ(u, v) = ((au+ b) cos v, (au+ b) sen v,±√1− a2u) e se

z1 = −√1− a2u, aplicando-se a rotação

x1 = x2

y1 = y2

z1 = −z2podemos �nalmente supor que

χ(u, v) = ((au+ b) cos v, (au+ b) sen v,√1− a2u)

Se a = 0, χ(u, v) = (b cos v, b sen v, u) onde b > 0 ( pois f(u) = b > 0) e portanto a

superfície descreve o cilindro circular de raio b, de equação x22

b2+

y22b2

= 1

Se |a| = 1, χ(u, v) = ((±u+b) cos v, (±u+b) sen v, 0) e portanto a superfície descreveo plano Ox2y2 de equação z2 = 0

Se 0 < |a| < 1, χ(u, v) = ((au + b) cos v, (au + b) sen v,√1− a2u). Colocando

u = au+ b e v = v, obtemos

χ(u, v) = (u cos v, u sen v,

√1− a2

a(u− b))

ChamandoX = u cos v

Y = u sen v

Z =√1−a2

a(u− b)

obtemosX2 + Y 2 = u2

=

[a√

1− a2Z + b

]2=

a2

1− a2

(Z +

b√1− a2

a

)2

Assim,X2

a2

1− a2

+Y 2

a2

1− a2

=

(Z +

b√1− a2

a

)2

Efetuando-se a translação


X = x3

Y = y3

Z = z3 −b√1− a2

a

obtemosx23a2

1− a2

+y23a2

1− a2

= z23

que é a equação de um cone circular.

Podemos supor, sem perda de generalidade, que K(u, v) = 1 para qualquer (u, v),

uma vez que qualquer superfície com curvatura gaussiana constante positiva, pode ser

reduzida a este caso, conforme proposição 3.2 acima.

Então da equação (3.23) temos que f ′′(u) + f(u) = 0 cujo polinômio associado é

λ2 + 1 = 0 com raízes λ = ±i. Portanto as soluções particulares de f ′′(u) + f(u) = 0

são a parte real e a parte imaginária do complexo eiu = cosu+ i sen u.

Assim a solução geral de f ′′(u) + f(u) = 0 é f(u) = A cosu + B sen u tal que

A2 + B2 = a2 > 0. Portanto, (Aa)2 + (B

a)2 = 1. Então A

a= cos b e B

a= − sen b para

alguma constante b.

Logof(u) = a cos b cosu− a sen b senu

= a(cosu cos b− sen u sen b)

= a cos(u+ b), a = 0.

De f ′(u)2 + g′(u)2 = 1 segue que

g′(u)2 = 1− (−a sen(u+ b))2

= 1− a2 sen2(u+ b)

e portanto

g′(u) = ±√

1− a2 sen2(u+ b)

e daí

g(u) = ±∫ √

1− a2 sen2(u+ b)du+ c

Assim,

χ(u, v) = (a cos(u+b) cos v, a cos(u+b) sen v,±∫ √

1− a2 sen2(u+ b)du+c) , a = 0

Fazendo u = u+ b e v = v obtemos

χ(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sen v,±∫ √

1− a2 sen2 udu+ c), a = 0

Efetuando-se a translaçãox = x1

y = y1

z = z1 + c

Exemplos 37

obtemos

χ(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sen v,±∫ √

1− a2 sen2 udu), a = 0

e se z1 = −∫ √

1− a2 sen2 udu, aplicando-se a rotação

x1 = x2

y1 = y2

z1 = −z2

podemos assumir que

χ(u, v) = (a cos u cos v, a cos u sen v,

∫ √1− a2 sen2 udu), a = 0

A integral∫ √

1− a2 sen2 udu não pode ser calculada em termos de funções ele-

mentares a menos que a = ±1 (desde que a = 0)

O caso a = −1 pode ser reduzido ao caso a = 1 efetuando-se a rotação

x2 = −x3y2 = −y3z2 = z3

Assim basta considerarmos o caso a = 1 em que

χ(u, v) = (cos u cos v, cos u sen v,

∫ √1− sen2 udu).

Mas se f(u) = cos u > 0 então∫ √1− sen2 udu =

∫ √cos2 udu

=

∫cos udu = sen u

e assim

χ(u, v) = (cos u cos v, cos u sen v, sen u)

que representa a superfície esférica x23 + y23 + z23 = 1.

Finalmente, suponha que K(u, v) = −1. Então da equação 3.23 temos que

f ′′(u)− f(u) = 0.

O polinômio associado a esta equação é λ2 − 1 = 0, cujas raízes são ±1. Assim, as

soluções particulares da equação f ′′(u) − f(u) = 0 são eu e e−u e portanto a solução

geral é f(u) = aeu + be−u com a e b constantes.

De f ′(u)2 + g′(u)2 = 1 temos que g′(u) = ±√1− (aeu − be−u)2 e portanto

g(u) = ±∫ √

1− (aeu − be−u)2du+ c


para alguma constante c.

Para muitos valores de a e b não podemos expressar g(u) em termos de funções

elementares, pois não é possível resolver∫ √1− (aeu − be−u)2du

por técnicas elementares de integração. Assim, consideraremos somente o caso a = 1 e

b = 0

Então f(u) = eu e g(u) = ±∫ √

1− e2udu+ c com u ≤ 0.

Aplicando-se a translação

x = x1

y = y1

z = z1

obtemos

χ(u, v) = (eu cos v, eusinv,±∫ √

1− e2udu) com u ≤ 0.

Se z1 = −∫ √

1− e2udu, aplicando-se a rotação

x1 = x2

y1 = y2

z1 = −z2podemos assumir que

χ(u, v) = (eu cos v, eu sen v,

∫ √1− e2udu), u ≤ 0

Mas, fazendo w = eu temos∫ √1− e2udu =

∫ √1− w2

wdw

=

∫1− w2

w√1− w2

dw

=

∫(1

w− w)

1√1− w2

dw

=

∫1

w√1− w2

dw −∫

w√1− w2

dw

Agora, calculemos A =

∫1

w√1− w2

dw e B =

∫w√

1− w2dw.

Para o cálculo de A façamos x = w−1 e portanto

Exemplos 39

A =

∫w−1

√1− w2

dw

=

∫− x√

1− x−2

dx

x2

=

∫−x−1

√1− x−2

dx

=

∫− x−1√

1− 1

x2

dx

=

∫− x−1√

x2 − 1

x2

dx

=

∫− x−1

√x2−1x

dx

= −∫

1√x2 − 1

dx

= − cosh−1x

= − cosh−1w−1

= − cosh−1(e−u)

Para o cálculo de B façamos y = 1− w2 e portanto

B =

∫w√

1− w2dw

=

∫− 1

2√ydy

= −1

2

∫y−

12dy

= −1

2

y12

1

2= −√

y

= −√1− w2

= −√1− e2u

.

Logo ∫ √1− e2udu = − cosh−1(e−u) +

√1− e2u + d

e portanto

χ(u, v) = (eu cos v, eu sen v,√1− e2u − cosh−1(e−u) + d), u ≤ 0,

para alguma constante d.

Efetuando-se a translaçãox2 = x3

y2 = y3

z2 = z3 + d


obtém-se

χ(u, v) = (eu cos v, eu sen v,√1− e2u − cosh−1(e−u)), u ≤ 0,

que é a equação de uma superfície chamada pseudoesfera,

Figura 3.4: Pseudoesfera.

a qual é obtida pela rotação da curva α(u) = (eu,√1− e2u − cosh−1(e−u)), u ≤ 0

em torno do eixo z. Esta curva α(u) é chamada tractrix e é dada no plano Oxz pela

equação z =√1− x2 − cosh−1(

1

x), com 0 < x ≤ 1.

Figura 3.5: Tractrix.

3.4 Superfícies de curvatura média constante

Nesta seção, vamos considerar superfícies cuja curvatura média H é constante e

não nula. Estudaremos as superfícies para as quais H é identicamente nula no próximo

capítulo.

Superfícies de curvatura média constante 41

Vamos apresentar uma construção que faz correspondência entre superfícies de cur-

vatura média constante não nula e superfícies de curvatura gaussiana constante posi-

tiva.

De�nição 3.6. Seja χ uma superfície parametrizada regular com orientação N e seja

λ uma constante. A superfície paralela χλ de χ é de�nida por χλ = χ+ λN

Figura 3.6: Superfície paralela.

A superfície χλ pode ser obtida transladando-se a superfície χ uma distância λ

perpendicular a ela mesma (mas isso não é uma translação usual sobre a superfície χ

desde que N varia).

Proposição 3.3. Sejam k1 e k2 as curvaturas principais da superfície parametrizada

regular χ : U → R3, e suponha que exista uma constante C tal que |k1| e |k2| são ambos

≤ C. Seja λ uma constante com |λ| < 1

Ce seja χλ a superfície paralela correspondente

a χ. Então

(i) χλ é uma superfície parametrizada regular;

(ii) a orientação Nλ de χλ em χλ(u, v) é a mesma que a orientação N de χ em

χ(u, v), para todo (u, v) ∈ U ;

(iii) as curvaturas principais de χλ são k1(1−λk1)

e k2(1−λk2)

e os vetores principais

correspondentes são os mesmos de χ para as curvaturas principais k1 e k2, respectiva-

mente;

(iv) as curvaturas gaussiana e média de χλ são, respectivamente K1−2λH+λ2K

e H−λK1−2λH+λ2K

Demonstração.

(i) Para mostrarmos que χλ é uma superfície parametrizada regular, devemos veri-

�car que χλ é diferenciável, que χλ : U → χλ(U) é um homeomor�smo e que o

produto vetorial χλu ∧ χλ

v = 0.

De fato, χλ é diferenciável pois χ e N o são;

Considere (χλ)−1 : χλ(U) → U de�nida por (χλ)−1(χλ(p)) = χ−1(χλ(p)−λN(p))

para todo p ∈ U . Então (χλ)−1 é contínua e desde que

χλ ◦ (χλ)−1(χλ(p)) = χλ(χ−1(χλ(p)− λN(p))) = χλ(χ−1(χ(p))) = χλ(p) e


(χλ)−1 ◦ χλ(p) = (χλ)−1(χλ(p)) = χ−1(χλ(p)− λN(p)) = χ−1(χ(p)) = p.

segue que χλ é um homeomor�smo.

Mostremos agora que χλu ∧ χλ

v = 0.

De fato, temos

χλu = χu + λNu

χλv = χv + λNv

Desde que

Nu = a11χu + a21χv

Nv = a12χu + a22χv

temos

χλu = χu + λ(a11χu + a21χv) = (1 + λa11)χu + λa21χv

χλv = χv + λ(a12χu + a22χv) = λa12χu + (1 + λa22)χv

Com isso temos,

χλu ∧ χλ

v = [(1 + λa11)(1 + λa22)− λ2a12a21]χu ∧ χv

= [(a11a22 − a12a21)λ2 + (a11 + a22)λ+ 1]χu ∧ χv

= [(k1k2)λ2 − (k1 + k2)λ+ 1]χu ∧ χv

= [(1− λk1)(1− λk2)]χu ∧ χv = 0

pois χu ∧ χv = 0 e como |ki| ≤ C, i = 1, 2 e |λ| < 1

Centão λki ≤ |λki| < 1 e

consequentemente 1− λki > 0, i = 1, 2.

(ii)

Nλ =χλu ∧ χλ

v

∥χλu ∧ χλ

v∥=

[(1− λk1)(1− λk2)]χu ∧ χv

|(1− λk1)(1− λk2)| ∥χλu ∧ χλ

v∥=

(1− λk1)(1− λk2)

(1− λk1)(1− λk2).χu ∧ χv

∥χu ∧ χv∥=

χu ∧ χv

∥χu ∧ χv∥= N

(iii) Temos que χλ = χ+ λN e Nλ = N . Logo,

Nλu = Nu = a11χu + a21χv

Nλv = Nv = a12χu + a22χv

e portanto

χλu = (1 + λa11)χu + λa21χv


χλv = λa12χu + (1 + λa22)χv

Assim,

(1 + λa11 λa21

λa12 1 + λa22

)(χu

χv

)=

(χλu

χλv

)ou equivalentemente(

χu

χv

)=

1

det

(1 + λa11 λa21

λa12 1 + λa22

) ( 1 + λa22 −λa21−λa12 1 + λa11

)(χλu

χλv

)

=1

(1− λk1)(1− λk2)

(1 + λa22 −λa21−λa12 1 + λa11

)(χλu

χλv

)

=1

(1− λk1)(1− λk2)

[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a21−a12 a11

)](χλu

χλv

)(3.24)

Como Nλ = N ,

(Nλ

u

Nλv

)=

(a11 a21

a12 a22

)(χu

χv

)(3.25)

onde

(a11 a12

a21 a22

)é a matriz de dNp cujos autovalores são −k1 e −k2. Substituindo (3.23) em (3.24),

obtemos(Nλ

u

Nλv

)=(

a11 a21

a12 a22

){ 1

(1− λk1)(1− λk2)

[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a21

−a12 a11

)](χλu

χλv

)}

=1

(1− λk1)(1− λk2)

(a11 a21

a12 a22

)[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a21−a12 a11

)](χλu

χλv

)

Assim,

{1

(1− λk1)(1− λk2)

(a11 a21

a12 a22

)[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a21−a12 a11

)]}t


é a matriz de dNλp cujos autovalores são −kλ1 e −kλ2 . Mas

{1

(1− λk1)(1− λk2)

(a11 a21

a12 a22

)[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a21−a12 a11

)]}t

=1

(1− λk1)(1− λk2)

[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a12−a21 a11

)](a11 a12

a21 a22

)

Mostremos agora que se v é autovetor de(a11 a12

a21 a22

)

associado aos autovalores (−k1) e (−k2), então v é autovetor de

1

(1− λk1)(1− λk2)

[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a12−a21 a11

)](a11 a12

a21 a22

)

associado aos autovalores −k11−λk1

e −k21−λk2

.

Faremos para −k1. O caso −k2 é análogo.

De fato, temos que

(a11 a12

a21 a22

)v = −k1v

e

1

(1− λk1)(1− λk2)

[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a12−a21 a11

)](a11 a12

a21 a22

)v

=−k1

(1− λk1)(1− λk2)

[(1 0

0 1

)v + λ

(a22 −a12−a21 a11

)v

]

Chamando v =

(a

b

), temos que

(a11 a12

a21 a22

)(a

b

)= −k1

(a

b

)donde,

a11a+ a12b = −k1a (3.26)

a21a+ a22b = −k1b (3.27)


Assim, (a22 −a12−a21 a11

)(a

b

)=

(a22a− a12b

−a21a+ a11b

)(3.25);(3.26)

=

(a22a+ k1a+ a11a

k1b+ a22b+ a11b

)

=

((k1 + a22 + a11)a

(k1 + a22 + a11)b

)

=

((−k1 − k2 + k1)a

(k1 − k1 − k2)b

)

=

(−k2a−k2b

)

= −k2

(a

b

)= −k2v

Portanto

1

(1− λk1)(1− λk2)

[(1 0

0 1

)+ λ

(a22 −a12−a21 a11

)](a11 a12

a21 a22

)v

=−k1

(1− λk1)(1− λk2)[v + λ(−k2v)] =

−k1(1− λk1)(1− λk2)

(1−λk2)v =−k1

(1− λk1)v

Assim, provamos o ítem (iii).

(iv) Como as curvaturas principais de χλ são kλ1 =k1

(1− λk1)e kλ2 =

k2(1− λk2)

, temos

que:

Kλ =k1

(1− λk1)

k2(1− λk2)

=k1k2

1− λk2 − λk1 + λ2k1k2

=k1k2

1− λ(k1 + k2) + λ2k1k2

=K

1− 2λH + λ2K

e


Hλ =

k1(1− λk1)

+k2

(1− λk2)

2

=

k1(1− λk2) + k2(1− λk1)

(1− λk1)(1− λk2)

2

=k1 − λk1k2 + k2 − λk1k22(1− λk1)(1− λk2)

=k1 + k2 − 2λk1k2

2(1− λ(k2 + k1) + λ2k1k2)

=2H − 2λK

2(1− 2λH + λ2K)

=H − λK

1− 2λH + λ2K

O corolário a seguir nos dá uma correspondência entre superfícies de curvatura

média constante não nula e superfícies de curvatura gaussiana constante positiva.

Corolário 3.1. Se χ é uma superfície parametrizada regular com curvatura média

constante H = 0, então para λ = 12H

, χλ terá curvatura gaussiana constante 4H2 > 0.

Reciprocamente, se χ tiver curvatura gaussiana constante K > 0 com K = H2 então

para λ = ± 1√K, χλ terá curvatura média constante ∓1

2

√K = 0.

Demonstração. Para λ = 12H

temos

Kλ =K

1− 2λH + λ2K

=K

1− 2 12HH + ( 1

2H)2K

=K

1− 1 + K4H2

=KK

4H2

= 4H2

.

Reciprocamente, para λ = 1√K

temos

Hλ =H − λK

1− 2λH + λ2K

=H − 1√

KK

1− 2 1√KH + ( 1√

K)2K

=

H√K−K√K

1− 2H√K+ K

K

=

H√K−K√K

2− 2H√K

=

H√K−K√K

2√K−2H√K

Curvatura Gaussiana de Superfícies Compactas 47

=H√K −K

2√K − 2H

= −1

2

(K −H√K)

(√K −H)

= −12

K−H√K

(√K−H)

√K√K

= −1

2

K −H√K

K−H√K√

K

= −1

2

√K

.

O caso λ = − 1√K

é análogo.

3.5 Curvatura Gaussiana de Superfícies Compactas

Nesta seção, apresentaremos um resultado que mostra como a curvatura gaussiana

in�uencia na forma total de uma superfície. Para maiores detalhes veja [1].

Proposição 3.4. Se S é uma superfície compacta, existe um ponto P de S no qual a

curvatura gaussiana K é > 0.

Lembramos que um subconjunto X de R3 é compacto se ele for fechado (isto é, seu

complementar é aberto) e limitado (isto é, está contido em alguma bola aberta).

Na prova desta proposição usaremos a seguinte propriedade sobre conjuntos com-

pactos: Se X ⊂ R3 é compacto e f : R3 → R é uma função contínua, então existem

pontos P e Q em X tal que f(Q) ≤ f(R) ≤ f(P ) para todos os pontos R em X, isto

é, f assume um valor máximo em X no ponto P e um valor mínimo em Q. Para uma

prova veja [[7],Theorem 6.4,p.175]

Demonstração. De�na f : R3 → R por f(v) = ∥v∥2. Então f é contínua, e como S

é uma superfície compacta, então existe um ponto P em S onde f assume seu valor

máximo. Suponha que P tenha um vetor posição p. Então S está contida em uma

bola fechada de raio ∥p∥ e centro na origem, e a intersecção de S com o bordo dessa

bola fechada é o ponto P .

A idéia é que S tem localmente em P , curvatura gaussiana no máximo igual a da es-

fera de centro na origem e raio ∥p∥, isto é, no máximo 1∥p∥2 , desde que uma parametriza-

ção para esta esfera é dada por χ(u, v) =(∥p∥ cos u

∥p∥ cos v, ∥p∥ cosu

∥p∥ sen v, ∥p∥ senu

∥p∥

)com cos u

∥p∥ > 0.

Seja γ(t) uma curva regular em S, parametrizada pelo comprimento de arco, pas-

sando por P quando t = 0.

Então f(γ(t)) tem um máximo local com t = 0, isto é,

d

dtf(γ(t)) |t=0 = 0 e

d2

dt2f(γ(t)) |t=0 ≤ 0.


Assim f ′(γ(t))γ′(t) |t=0 = 0 e f ′′(γ(t))(γ′(t))2 + f ′(γ(t))γ′′(t) |t=0 ≤ 0.

Como f(v) = ∥v∥2 =< v, v >, temos

f ′(v) = 2 < v′, v > e f ′′(v) = 2(< v′′, v > + < v′, v′ >).

Portanto temos:

0 = f ′(γ(0))γ′(0) = 2 < γ′(0), γ(0) > γ′(0)

e

0 ≥ f ′′(γ(0))(γ′(0))2 + f ′(γ(0))γ′′(0) =

2(< γ′′(0), γ(0) > + < γ′(0), γ′(0) >)(γ′(0))2 + 2 < γ′(0), γ(0) > γ′′(0).

Mas como γ(t) é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco,

γ′(t) = 0, para todo t, e < γ′(t), γ′(t) >= 1, para todo t. Logo γ′(0) = 0 e

< γ′(0), γ′(0) >= 1. Logo,

< γ′(0), γ(0) >= 0 e (< γ′′(0), γ(0) > +1)(γ′(0))2 ≤ 0

ou equivalentemente

< γ′(0), γ(0) >= 0 e < γ′′(0), γ(0) > +1 ≤ 0 (3.28)

A equação (3.28) mostra que p = γ(0) é perpendicular a todo vetor tangente

unitário a S em P e portanto é perpendicular ao plano tangente de S em P .

Seja Y uma parametrização regular de S em P e seja N seu vetor unitário padrão.

Assim, pela observação anterior, N = ± p

∥p∥ .

A desigualdade em (3.28) implica que a curvatura normal kn(P ) =< γ′′(0), N > de

γ em P , satisfaz

kn(P ) ≤−1

∥p∥se N =

p

∥p∥ou

kn(P ) ≥1

∥p∥se N =

−p∥p∥

Se N = p

∥p∥ , k1 é o máximo e k2 é o mínimo da curvatura normal em P , assim,

k2 ≤ kn(P ) ≤ k1 ≤ −1∥p∥ .

Se N = −p∥p∥ , k1 é o mínimo e k2 é o máximo da curvatura normal em P , assim,

1∥p∥ ≤ k1 ≤ kn(P ) ≤ k2.

Logo as curvaturas principais de Y em P são ou ambas ≤ −1∥p∥ ou ambas ≥ 1

∥p∥ .

Em qualquer caso, a curvatura gaussiana K = k1k2 ≥ 1∥p∥2 > 0 em P .

4 Superfícies Mínimas

As superfícies mínimas são geralmente associadas às películas de sabão, que podem

ser obtidas mergulhando uma moldura formada por um arame em uma solução de

sabão e retirando-a em seguida com cuidado. Se o experimento for bem executado,

obtém-se uma película de sabão que tem o arame como fronteira. Pode-se mostrar, por

considerações físicas, que a película assume a posição onde, em seus pontos regulares,

a curvatura média é nula.

A conexão entre super�cies mínimas e películas de sabão motivou o famoso Pro-

blema de Plateau ( Plateau foi um físico belga que realizou cuidadosos experimentos

com películas de sabão por volta de 1850).

O problema pode ser, a grosso modo, descrito da seguinte maneira: �xada uma

curva, encontrar dentre todas as superfícies que contém esta curva, aquela cuja área

determinada por ela e a curva, seja mínima.

Veremos que as soluções para este problema resultam em superfícies cuja curvatura

média se anula em todo lugar.

O estudo destas superfícies, conhecidas como superfícies mínimas, foi iniciado por

Euler e Lagrange em meados do século XVIII. Para maiores detalhes veja [1] e [2].

4.1 O problema de Plateau

Seja χ : U ⊂ R2 → R3 uma superfície parametrizada regular. Escolha um domínio

limitado D ⊂ U e uma função diferenciável h : D → R onde D é a união do domínio

D e sua fronteira ∂D. A variação normal de χ(D), determinada por h , é a aplicação

φ : D×]− ϵ, ϵ[→ R3 dada por

φ(u, v, t) = χ(u, v) + th(u, v)N(u, v) com (u, v) ∈ D e t ∈]− ϵ, ϵ[.

Para cada t ∈]− ϵ, ϵ[ �xado, a aplicação χt : D → R3 dada por χt(u, v) = φ(u, v, t)

é uma superfície parametrizada com

∂χt

∂u= χu + thNu + thuN

∂χt

∂v= χv + thNv + thvN.

49


Desde que

Et =< χtu, χ

tu >,

F t =< χtu, χ

tv >

e

Gt =< χtv, χ

tv >

segue que

Et = < χtu, χ

tu >

= < χu + thNu + thuN,χu + thNu + thuN >

= < χu, χu > + < χu, thNu > + < thNu, χu > + < thNu, thNu >

+ < thuN, thuN >

= E + 2th < χu, Nu > +t2h2 < Nu, Nu > +t2h2u

F t = < χtu, χ

tv >

= < χu + thNu + thuN,χv + thNv + thvN >

= < χu, χv > + < χu, thNv > + < thNu, χv > + < thNu, thNv >

+ < thuN, thvN >

= F + th(< χu, Nv > + < Nu, χv >) + t2h2 < Nu, Nv > +t2huhv

Gt = < χtv, χ

tv >

= < χv + thNv + thvN,χv + thNv + thvN >

= < χv, χv > + < χv, thNv > + < thNv, χv > + < thNv, thNv >

+ < thvN, thvN >

= G+ 2th < χv, Nv > +t2h2 < Nv, Nv > +t2h2v

Das equações (3.5), (3.6), (3.7), (3.8) e (3.19) temos:

−e = < χu, Nu >

−2f = < χu, Nv > + < χv, Nu >

−g = < χv, Nv >

e

H =Eg − 2Ff +Ge

2(EG− F 2).

AssimEt = E − 2the+ t2h2 < Nu, Nu > +t2h2uF t = F − 2thf + t2h2 < Nu, Nv > +t2huhv

Gt = G− 2thg + t2h2 < Nv, Nv > +t2h2v

LogoEtGt − (F t)2 = EG− F 2 − 2th(Eg − 2Ff +Ge) +R

= (EG− F 2)− 2th[2H(EG− F 2)] +R

= (EG− F 2)(1− 4thH) +R

onde limt→0

(R

t

)= 0 pois todos os termos de R contém pelo menos um t2.

O problema de Plateau 51

Portanto ∥∥χtu ∧ χt

v

∥∥2 = EtGt − (F t)2 = (EG− F 2)(1− 4thH) +R

onde limt→0

(R

t

)= 0.

Segue-se que para ϵ > 0 su�cientemente pequeno, χt é uma superfície parametrizada

regular poislimt→0

∥∥χtu ∧ χt

v

∥∥2 = limt→0

(EG− F 2)(1− 4thH) +R

= EG− F 2 + limt→0

R

= EG− F 2 + limt→0

t(R

t)

= EG− F 2 > 0

Assim, para ϵ > 0 su�cientemente pequeno χtu ∧ χt

v = 0.

Além disso, a área A(t) de χt(D) é

A(t) =∫ ∫

D

√EtGt − (F t)2dudv

=∫ ∫

D

√(EG− F 2)(1− 4thH) +Rdudv

=∫ ∫

D

√(EG− F 2)(1− 4thH) + R

EG−F 2 (EG− F 2)dudv

=∫ ∫

D

√(EG− F 2)(1− 4thH + R)dudv

onde R = R(EG−F 2)

.

Portanto,

A(t) =

∫ ∫D

√1− 4thH + R

√EG− F 2dudv

Assim, para ϵ su�cientemente pequeno, A é uma função diferenciável e sua derivada

em t = 0 é

A′(0) = limt→0

A(t)− A(0)

t

= limt→0

∫ ∫D

(√1− 4thH + R−

√1 + R

)√EG− F 2

tdudv

=∫ ∫

D

(limt→0

(√1− 4thH + R−

√1 + R)

t

)√EG− F 2dudv

Mas

limt→0

√1− 4thH + R−

√1 + R

t=


= limt→0

(√1− 4thH + R−

√1 + R

)(√1− 4thH + R +

√1 + R

)t(√

1− 4thH + R +√1 + R

)= lim

t→0

1− 4thH + R− 1− R

t(√

1− 4thH + R +√1 + R

)= lim

t→0

−4hH√1 + R +

√1 + R

= limt→0

−4hH

2√1 + R

=−4hH

2= −2hH

desde que limt→0

R = limt→0

R

(EG− F 2)= 0 pois lim

t→0R = 0.

Portanto

A′(0) =

∫ ∫D

−2hH√EG− F 2dudv

Dada uma curva γ em R3 , consideremos para cada t ∈]−ϵ, ϵ[, a família de superfícies

parametrizadas regulares χt : D → R3 onde D = int(π), com π uma curva simples

fechada contida em U , tal que γ = χt ◦ π.Então

A(t) =

∫ ∫D

√1− 4thH + R

√EG− F 2dudv

Se a área determinada por χ = χo e a curva γ é mínima dentre todas as superfícies

que contém esta curva, então A deve ter um mínimo absoluto em t = 0. Assim,

A′(0) = 0 para todas as famílias de superfícies como acima.

Portanto 0 =∫ ∫

D2hH

√EG− F 2dudv para toda função diferenciável h : D → R.

Em particular, para h : D → R dada por h(q) = H(q), q ∈ D, hH = H2 e portanto

0 =∫ ∫

D2H2

√EG− F 2dudv e como

√EG− F 2 > 0 e 2H2

√EG− F 2 ≥ 0, isto só é

possível se H ≡ 0.

Isso sugere a seguinte de�nição:

De�nição 4.1. Uma superfície mínima é uma superfície cuja curvatura média é iden-

ticamente nula.

Teorema 4.1. Seja γ uma curva de R3 �xada. Se a área determinada por uma super-

fície S e a curva γ é mínima dentre todas as superfícies que contém esta curva, então

S é uma superfície mínima.

Demonstração. Se χ é uma parametrização regular de S, segue da hipótese do teorema,

que A′(0) = 0 e portanto segue da discussão feita acima da de�nição 4.1, que H ≡ 0.

Logo S é uma superfície mínima.

Exemplos de superfícies mínimas 53

4.2 Exemplos de superfícies mínimas

A superfície mínima mais simples é o plano, pois suas curvaturas principais são nulas

em todo lugar. À parte disto, as primeiras superfícies mínimas descobertas foram as

dos dois exemplos abaixo.

Exemplo 4.1. Catenóide

Um catenóide é uma superfície gerada pela rotação da curva x = 1acosh az no plano

Oxz em torno do eixo Oz, onde a é uma constante não nula. Tomemos a = 1 por

simplicidade. A catenóide pode ser parametrizada por

χ(u, v) = (coshu cos v, coshu sen v, u), 0 < v < 2π,−∞ < u <∞

Figura 4.1: Catenóide.

Então,

χu = (senhu cos v, senh u sen v, 1)

χv = (− coshu sen v, coshu cos v, 0)

χu ∧ χv = (− coshu cos v,− coshu sen v, senh u coshu)

N =χu ∧ χv

∥χu ∧ χv∥= (−sechu cos v,−sechu sen v, tghu)

χuu = (coshu cos v, coshu sen v, 0)

χuv = (− senhu sen v, senh u cos v, 0)

χvv = (− coshu cos v,− coshu sen v, 0)

Assim,E = < χu, χu >

= senh2 u cos2 v + senh2 u sen2 v + 1

= senh2 u(cos2 v + sen2 v) + 1

= senh2 u+ 1

= cosh2 u


F = < χu, χv >

= − senh u coshu sen v cos v + senh u coshu sen v cos v

= 0

G = < χv, χv >

= cosh2 u sen2 v + cosh2 u cos2 v + 0

= cosh2 u(sen2v + cos2v)

= cosh2 u

e = < N,χuu >

= −sechu coshu cos2 v − sechu coshu sen2 v

= −sechu coshu(sen2 v + cos2 v)

= −sechu coshu= − 1

coshucoshu

= −1

f = < N,χuv >

= sechu senh u sen v cos v − sechu senh u sen v cos v

= 0

g = < N,χvv >

= sechu coshu cos2 v + sechu coshu sen2 v

= sechu coshu(sen2 v + cos2 v)

= sechu coshu

= 1coshu

coshu

= 1

Portanto,H = eG−2fF+gE

2(EG−F 2)

= (−1) cosh2 u+cosh2 u

2(cosh2 u cosh2 u−02)

= 02 cosh4 u

= 0

mostrando que a catenóide é uma superfície mínima

Proposição 4.1. Toda superfície mínima de revolução S ou é parte de um plano ou,

a menos de um movimento rígido, é parte de uma catenóide.

Demonstração. A menos de um movimento rígido podemos assumir que o eixo da

superfície S é o eixo z e que a curva geradora está no plano Oxz.

Assim, uma parametrização de S é

χ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sen v, g(u)),

onde a curva geradora é dada por

α(u) = (f(u), 0, g(u))


(a qual assumiremos parametrizada pelo comprimento de arco) com f(u) > 0.

De acordo com o exemplo 3.1 temos que

E = 1

F = 0

G = f2(u)

e = f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u)

f = 0

g = f(u)g′(u)

e como H = eG−2fF+gE2(EG−F 2)

, obtemos:

H =[f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u)]f2(u) + f(u)g′(u)

2f2(u)

= 12[f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u) + g′(u)

f(u)]

Suponhamos agora que, para algum valor de u, digamos u = u0, temos g′(u0) = 0.

Teremos então g′(u) = 0 para u em algum intervalo aberto contendo u0. Considere

]α, β[ o maior tal intervalo.

Suponha agora que u ∈]α, β[. Como α está parametrizada pelo comprimento de

arco temos

(f ′(u))2 + (g′(u))2 = 1.

Logo, como vimos no exemplo 3.1, temos

f ′(u)g′′(u)− f ′′(u)g′(u) =−f ′′(u)

g′(u).

Assim obtemos

H =1

2

(g′(u)

f(u)− f ′′(u)

g′(u)

)Desde que (g′(u))2 = 1− (f ′(u))2, temos que S é minimal se, e somente se, H = 0,

ou equivalentemente

(g′(u))2 − f(u)f ′′(u) = 0

ou ainda

f(u)f ′′(u) = 1− (f ′(u))2 (4.1)

Para simpli�car, escreveremos (4.1) como

ff ′′ = 1− (f ′)2 (4.2)

Para resolver a equação diferencial (4.2) coloque h = dfdu

e note que

f ′′ =dh

du=dh

df· dfdu

= hdh

df


Portanto a equação (4.2) �ca

hfdh

df= 1− h2 (4.3)

Note que, sendo g′(u) = 0 e h2 + (g′)2 = 1, então 1− h2 = (g′)2 > 0.

Assim, podemos integrar essa equação como segue∫h

1− h2dh =

∫df

f+ c

onde podemos assumir c = lna, a > 0.

Fazendo a mudança de coordenadas x = 1 − h2 > 0, obtemos dx = −2hdh e

portanto ∫h

1− h2dh =

∫dx

−2x=

−1

2lnx =

−1

2ln(1− h2) = ln

1√1− h2

.

Logo

ln1√

1− h2= lnf + lna

ou ainda,

ln1√

1− h2= lnaf,

e portanto1√

1− h2= af

Assim, 1− h2 = ( 1af)2, ou equivalentemente,

h2 = 1− ( 1af)2

= a2f2−1a2f2

,

ou ainda,

|h| =√a2f 2 − 1

af, a > 0.

Note que podemos supor h > 0, pois caso contrário bastaria trocar f(u) por −f(u)e h por −h > 0. Assim h =

√a2f2−1

af.

Substituindo h = dfdu

obtemos

df

du=

√a2f 2 − 1

af,

ou equivalentemente,af√

a2f 2 − 1df = du.

Integrando, ambos os lados, obtemos:∫af√

a2f 2 − 1df =

∫du.


Fazendo x = a2f 2 − 1 temos que dx = 2a2fdf , ou ainda, dx2a

= afdf

Logo ∫af√

a2f2−1df =

∫dx

2a√x

= 12a

∫x−

12dx

= 2 12ax

12

= 1ax

12

= 1a

√a2f 2 − 1

e portanto √a2f 2 − 1

a= u+ b,

com b constante.

Assim, a2f 2− 1 = a2(u+ b)2, ou equivalentemente, a2f 2 = a2(u+ b)2+1, ou ainda,

f2 =1

a2[a2(u+ b)2 + 1]

e consequentemente,

f = |f | =√a2(u+ b)2 + 1

a,

com b constante.

Efetuando-se a mudança de parâmetro u→ u− b podemos assumir que b = 0.

Assim,

f =

√a2u2 + 1

a.

Para calcular g, note que, como (g′)2 = 1− (f ′)2 = 1− h2 = 1a2f2 segue-se que,

dg

du= ± 1√

a2u2 + 1

e portanto

g = ±∫

1√a2u2 + 1

du+ c,

com c constante.

Vamos calcular∫

1√a2u2+1

du.

Fazendo u = senhxa

temos du = 1acoshxdx.

Assim, ∫1√

a2u2+1du =

∫1√

(senhx)2+1

1acoshxdx

= 1a

∫1√

(coshx)2coshxdx

= 1a

∫dx

= xa

.

Como senh x = au temos x = arcsenh(au) e daí∫1√

a2u2 + 1du =

1

aarcsenh(au).


Logo,

g = ±arcsenh(au) + ca

a.

e portanto,

a(g − c) = ± arcsenh(au),

ou equivalentemente,

arcsenh(au) = ∓a(g − c),

ou ainda,au = senh[∓a(g − c)]

= ∓ senh[a(g − c)].

Consequentemente,

f =

√(senh[a(g − c)])2 + 1

a= 1

a

√(cosh[a(g − c)])2

= 1acosh[a(g − c)]

.

Assim, a curva geradora de S é

α(u) = (1

acosh[a(g(u)− c)], 0, g(u))

que no plano Oxz é dada por

x =1

acosh[a(z − c)].

Por uma translação ao longo do eixo z, podemos assumir c = 0, e assim,

x =1

acosh(az)

e portanto temos um catenóide.

Assim, mostramos que a parte de S correspondente a u ∈]α, β[ é parte do catenóide,pois na prova usamos essencialmente que g′(u) = 0.

Suponha que β < ∞. Então, se a curva geradora é de�nida para valores u ≥ β,

devemos ter g′(β) = 0, pois caso contrário ]α, β[ não seria o maior intervalo contendo

u0 tal que g′(u) = 0.

Por outro lado

(g′(u))2 =1

1 + a2u2, se u ∈]α, β[

e assim, desde que g′(u) é uma função contínua de u, g′(β) = ±(1 + a2β2)−12 = 0, o

que é uma contradição.

Logo a curva geradora não é de�nida para valores u ≥ β.

Se β = ∞, g′(u) = 0 para todo u > α e portanto mostramos que a parte de S

correspondente a u ∈ (α,∞) é parte do catenóide.

Se α < ∞, então se a curva geradora é de�nida para valores u ≤ α devemos ter

g′(α) = 0, pois caso contrário ]α, β[ não seria o maior intervalo contendo u0, tal que

g′(u) = 0.


Por outro lado, analogamente ao caso β <∞, g′(u) = ±(1 + a2α2)−12 = 0.

Se α = −∞, g′(u) = 0 para todo u < β e portanto mostramos que a parte de S

correspondente a u ∈ (−∞, β) é parte do catenóide.

Portanto, ]α, β[ é o domínio todo da nossa curva geradora e assim S é parte de um

catenóide.

O único caso que falta considerar é aquele no qual g′(u) = 0 para todo u no qual a

curva geradora é de�nida. Mas, então, g(u) = d, onde d é constante. E portanto S é

parte do plano z = d, já que

χ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sen v, d).

Exemplo 4.2. Helicóide

Considere a hélice de passo 2πα sobre o cilindro x2 + y2 = 1 dada por θ(v) =

(cosωv, senωv, αv), onde ωv mede o ângulo que o eixo Ox faz com a reta que liga a

origem O = (0, 0, 0) à projeção do ponto θ(v) sobre o plano Oxy. Por cada ponto da

hélice, trace uma reta paralela ao plano Oxy e que intercepta o eixo Oz. A superfície

gerada por essas retas é chamada um helicóide. Uma parametrização do helicóide é

dada por:

χ(u, v) = (u cosωv, u senωv, αv), 0 < v <2π

ω,−∞ < u <∞.

Figura 4.2: Helicóide.

Então,

χu = (cosωv, senωv, 0)

χv = (−uω senωv, uω cosωv, α)

χu ∧ χv = (α senωv,−α cosωv, uω)


∥χu ∧ χv∥ =√α2 + u2ω2

N =χu ∧ χv

∥χu ∧ χv∥=

(α senωv,−α cosωv, uω)√α2 + u2ω2

χuu = (0, 0, 0)

χuv = (−ω senωv, w cosωv, 0)

χvv = (−uω2 cosωv,−uω2 senωv, 0)

AssimE = < χu, χu >

= cos2 ωv + sen2 ωv

= 1

F = < χu, χv >

= −uω senωv cosωv + uω senωv cosωv

= 0

G = < χv, χv >

= u2ω2 sen2 ωv + u2ω2 cos2 ωv + α2

= u2ω2 + α2

e = < N,χuu >

= < N, (0, 0, 0) >

= 0

f = < N,χuv >

=−αω sen2 ωv − αω cos2 ωv√

α2 + u2ω2

=−αω√

α2 + u2ω2

g = < N,χvv >

=−αuω2 senωv cosωv + αuω2 senωv cosωv√

α2 + u2ω2

= 0

PortantoH = eG−2fF+gE

2(EG−F 2)

= 0G−2f0+0E2(EG−F 2)

= 0

mostrando que a helicóide é uma superfície mínima

Exemplo 4.3. Uma superfície regrada é uma superfície que é uma união de retas,

chamadas de geratrizes da superfície. Suponha que C é uma curva em R3 que encontra

cada uma dessas retas. Todo ponto P da superfície pertence a uma das retas dadas

que intercepta C, digamos em Q.


Se γ é uma parametrização da curva C com γ(u) = Q, e se δ(u) é um vetor diretor

da reta passando por γ(u), P tem um vetor posição da forma

χ(u, v) = γ(u) + vδ(u)

Temos que:

χu = γ′(u) + vδ′(u)

e

χv = δ(u).

Assim, χ é regular se γ′(u)+ vδ′(u) e δ(u) são linearmente independentes. Isso será

verdade, por exemplo, se γ′ e δ são linearmente independente e v é su�cientemente

pequeno.

Portanto para obter uma superfície, a curva C nunca deve ser tangente às geratrizes.

Proposição 4.2. Toda superfície mínima regrada ou é parte de um plano ou é parte

de um helicóide.

Demonstração. Tomemos a parametrização usual

χ(u, v) = γ(u) + vδ(u)

(veja exemplo acima), onde γ é uma curva que encontra cada uma das geratrizes e δ(u)

é um vetor paralelo às geratrizes passando por γ(u).

Iniciaremos a prova fazendo algumas simpli�cações para a parametrização.

Primeiro, podemos, certamente assumir que ∥δ(u)∥ = 1 , para todos os valores de

u.

Assumiremos também que δ′(u) = 0 para todos os valores de u (consideraremos

mais tarde o caso em que δ′(u) = 0, para alguns valores de u).

Podemos assumir que δ é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco (não

assumiremos que γ é parametrizada pelo comprimento de arco).

De ∥δ(u)∥ = 1 temos que < δ(u), δ(u) >= 1 e portanto < δ′(u), δ(u) >= 0.

Também como δ é parametrizada pelo comprimento de arco, temos < δ′(u), δ′(u) >= 1

e portanto < δ′′(u), δ′(u) >= 0.

Podemos assumir também que < γ′(u), δ′(u) >= 0, pois caso contrário basta con-

siderarmos a curva

γ(u) = γ(u)− < γ′(u), δ′(u) > δ(u).

Com isso, temos que, fazendo v = v+ < γ′(u), δ′(u) > a superfície pode ser reparame-

trizada usando γ e os parâmetros u e v como

Y (u, v) = γ(u) + vδ(u),


poisχ(u, v) = γ(u) + (v− < γ′(u), δ′(u) >)δ(u)

= γ(u) + vδ(u) + (γ(u)− γ(u))

= vδ(u) + γ(u) = Y (u, v)

Logo, como

γ′(u) = γ′(u)− [< γ′′(u), δ′(u) > + < γ′(u), δ′′(u) >]δ(u)− < γ′(u), δ′(u) > δ′(u),

< δ(u), δ′(u) >= 0

e

< δ′(u), δ′(u) >= 1,

então< γ′(u), δ′(u) > = < γ′(u), δ′(u) > − < γ′(u), δ′(u) >

= 0.

Para simpli�car as notações, de agora em diante, omitiremos o parâmetro u.

Assim temos,

χu = γ′ + vδ′

χv = δ

e portanto,E = < χu, χu >

= ∥χu∥2

= ∥γ′ + vδ′∥2

F = < χu, χv >

= < γ′ + vδ′, δ >

= < γ′, δ > +v < δ′, δ >

= < γ′, δ >

pois < δ′, δ >= 0

G = < χv, χv >

= < δ, δ >

= 1

.

Colocando A = (EG− F 2)12 temos

N =χu ∧ χv

∥χu ∧ χv∥= (γ′+vδ′)∧δ

A

= A−1[(γ′ + vδ′) ∧ δ]

.

Temos ainda

χuu = γ′′ + vδ′′


χuv = δ′

χvv = 0

Assim,e = < N,χuu >

= A−1 < (γ′ + vδ′) ∧ δ, γ′′ + vδ′′ >

f = < N,χuv >

= A−1 < (γ′ + vδ′) ∧ δ, δ′ >= A−1 < γ′ ∧ δ + vδ′ ∧ δ, δ′ >= A−1 < γ′ ∧ δ, δ′ > +v < δ′ ∧ δ, δ′ >= A−1 < γ′ ∧ δ, δ′ >

pois < δ′ ∧ δ, δ′ >= 0

g = < N,χvv >

= 0

Portanto a condição de superfície mínima H = eG−2fF+gE2(EG−F 2)

= 0, nos dá

< (γ′ + vδ′) ∧ δ, γ′′ + vδ′′ >= 2 < γ′ ∧ δ, δ′ >< γ′, δ >

para todo (u, v).

Sem perda de generalidade, assumiremos que nosso domínio contém a origem (0, 0).

Mas,

< (γ′ + vδ′) ∧ δ, γ′′ + vδ′′ > = < γ′ ∧ δ + vδ′ ∧ δ, γ′′ + vδ′′ >

= < γ′ ∧ δ, γ′′ > +v[< γ′ ∧ δ, δ′′ > + < δ′ ∧ δ, γ′′ >]+v2 < δ′ ∧ δ, δ′′ >

Assim temos,

2 < γ′ ∧ δ, δ′ >< γ′, δ > = < γ′ ∧ δ, γ′′ > +v[< γ′ ∧ δ, δ′′ > + < δ′ ∧ δ, γ′′ >]+v2 < δ′ ∧ δ, δ′′ >

.

Em particular, para os pares do tipo (u, 0) temos

< γ′ ∧ δ, γ′′ >= 2 < γ′ ∧ δ, δ′ >< γ′, δ > (4.4)

e portanto

v[< γ′ ∧ δ, δ′′ > + < δ′ ∧ δ, γ′′ >] + v2 < δ′ ∧ δ, δ′′ >= 0,

para qualquer (u, v).

Por outro lado, para os pares do tipo (0, v1) e (0, v2) com v1 = v2 e v1v2 = 0,

colocando

x =< γ′ ∧ δ, δ′′ > + < δ′ ∧ δ, γ′′ >

e

y =< δ′ ∧ δ, δ′′ >


temos, (v1 v21v2 v22

)(x

y

)=

(0

0

)

Como det

(v1 v21v2 v22

)= v1v

22 − v2v

21 = v1v2(v2 − v1) = 0, então x = y = 0, ou

equivalentemente,

< γ′ ∧ δ, δ′′ > + < δ′ ∧ δ, γ′′ >= 0 (4.5)

< δ′ ∧ δ, δ′′ >= 0 (4.6)

A equação (4.6), mostra que δ , δ′ e δ′′ são linearmente dependentes. Desde que δ e δ′

são vetores unitários perpendiculares, existem funções C∞, α(u) e β(u), tais que

δ′′ = αδ + βδ′.

Mas, desde que δ é parametrizado pelo comprimento de arco, < δ′, δ′ >= 1 e assim

< δ′, δ′′ >= 0. Logo β = 0 pois como < δ′, δ >= 0 e < δ′, δ′ >= 1 temos

0 =< δ′, δ′′ >=< δ′, αδ + βδ′ >= α < δ′, δ > +β < δ′, δ′ >= β

Ainda, α = −1, pois como < δ′, δ >= 0 então < δ′′, δ > + < δ′, δ′ >= 0 e assim

< δ′′, δ >= − < δ′, δ′ >= −1 . Além disso, < δ, δ >= 1 e < δ′, δ >= 0 e portanto

−1 =< δ′′, δ >=< αδ + βδ′, δ >= α < δ, δ > +β < δ′, δ >= α

Logo,

δ′′ = −δ (4.7)

A equação (4.7), mostra que a curvatura da curva δ é 1, pois kδ = |δ′′| = |−δ| = |δ| = 1

e que seu vetor normal é nδ =δ′′

kδ= −δ.

Portanto, seu vetor binormal é bδ = tδ ∧ nδ = δ′ ∧ (−δ) e assim

τδ =< b′δ, nδ >=< δ′′ ∧ (−δ) > +δ′ ∧ (−δ′), nδ >=< δ′′ ∧ (−δ), (−δ) >= 0.

Segue portanto que a torção é nula. Logo δ é uma curva plana.

Assumindo δ no plano Oxy, pelo Teorema 5.1 (Teorema fundamental das Curvas

Planas) de [[6],p.52], temos:

δ(s) = (x(s), y(s), 0)

onde

x(s) = x0 +

∫ s

s0

cos[θ(s) + λ]ds

e

y(s) = y0 +

∫ s

s0

sen[θ(s) + λ]ds


com θ(s) =∫ s

s0ds = s− s0 e portanto

x(s) = x0 +

∫ s

s0

cos[s− s0 + λ]ds

e

y(s) = y0 +

∫ s

s0

sen[s− s0 + λ]ds

ou equivalentemente

x(s) = x0 + sen(s− s0 + λ)− senλ

e

y(s) = y0 − cos(s− s0 + λ) + cosλ

Logo,

δ(s) = (x0 + sen(s− s0 + λ)− senλ, y0 − cos(s− s0 + λ) + cosλ, 0)

Colocando x(s) = x(s)− x0 + senλ e y(s) = y(s)− y0 − cosλ temos

δ(s) = (sen(s− s0 + λ),− cos(s− s0 + λ), 0)

Agora fazendo s = s− s0 + λ, obtemos

δ(s) = (sen s,− cos s, 0)

Colocando s = u+ π2, sen s = cosu e cos s = − senu obtemos

δ(u) = (cosu, sen u, 0),

ou seja, mostramos que a menos de um movimento rígido, podemos assumir que δ é

um círculo de raio 1 e centro na origem do plano Oxy.

Da equação (4.7), obtemos < δ′′, γ′ ∧ δ >= − < δ, γ′ ∧ δ >= 0 e assim pela equação

(4.5), < γ′′, δ′ ∧ δ >= 0.

Segue que, γ′′ é ortogonal a δ′ ∧ δ. Como δ(u) = (cosu, senu, 0) temos,

δ′(u) = (− sen u, cosu, 0)

e portanto δ′ ∧ δ = (0, 0,−1).

Escrevendo γ(u) = (f(u), g(u), z(u)), temos

γ′(u) = (f ′(u), g′(u), z′(u))

e

γ′′(u) = (f ′′(u), g′′(u), z′′(u)).

Como γ′′ é ortogonal à (0, 0,−1) então < γ′′, (0, 0,−1) >= 0, ou equivalentemente,

z′′(u) = 0.

Logo z′(u) = a e z(u) = au+ b.


Portanto

γ(u) = (f(u), g(u), au+ b),

onde f e g são funções C∞ e a e b são constantes.

Se a = 0, a superfície é parte do plano z = b, pois γ(u) = (f(u), g(u), b) e portanto

como χ(u, v) = γ(u) + vδ(u), obtemosχ(u, v) = (f(u), g(u), b) + v(cosu, senu, 0)

= (f(u) + v cosu, g(u) + v sen u, b)

Logo χ(u, v) é parte do plano z = b.

Se a = 0, da equação (4.4) temos

< (f ′′(u), g′′(u), 0), (f ′(u), g′(u), a) ∧ (cosu, senu, 0) >=

= 2 < (cosu, sen u, 0), (f ′(u), g′(u), a) >< (− sen u, cosu, 0),

(f ′(u), g′(u), a) ∧ (cosu, senu, 0) >

= 2(f ′(u) cos u+ g′(u) senu) < (− sen u, cosu, 0),

(−a senu, a cosu, f ′(u) senu− g′(u) cosu) >

= 2(f ′(u) cos u+ g′(u) senu)a

com a = 0.

Por outro lado,

< (f ′′(u), g′′(u), 0), (f ′(u), g′(u), a) ∧ (cosu, senu, 0) >=

= < (f ′′(u), g′′(u), 0), (−a sen u, a cosu, f ′(u) sen u− g′(u) cosu) >

= a(−f ′′(u) sen u+ g′′(u) cosu)

Portanto,

g′′(u) cosu− f ′′(u) sen u = 2(f ′(u) cosu+ g′(u) sen u) (4.8)

Finalmente fazendo uso da condição < γ′, δ′ >= 0, obtemos

< (f ′(u), g′(u), a), (− sen u, cosu, 0) >= 0

ou equivalentemente

f ′(u) sen u = g′(u) cosu (4.9)

Derivando (4.9) obtemos

f ′′(u) sen u+ f ′(u) cosu = g′′(u) cosu− g′(u) sen u (4.10)

As equações (4.8) e (4.10) juntas nos dão

f ′(u) cosu+ g′(u) sen u = 2(f ′(u) cosu+ g′(u) sen u)

ou equivalentemente

f ′(u) cosu+ g′(u) sen u = 0 (4.11)


Multiplicando (4.11) por senu, obtemos

f ′(u) sen u cosu+ g′(u) sen2 u = 0

e usando (4.9), obtemos

g′(u) cos2 u+ g′(u) sen2 u = 0.

Logo g′(u) = 0.

Se multiplicarmos (4.11) por cosu, obtemos

f ′(u) cos2 u+ g′(u) sen u cosu = 0

e novamente usando a equação (4.9), obtemos

f ′(u) cos2 u+ f ′(u) sen2 u = 0.

Logo f ′(u) = 0.

Portanto f(u) = c e g(u) = d, com c e d constantes.

Assim, γ(u) = (c, d, au+ b) eχ(u, v) = (c, d, au+ b) + v(cosu, sen u, 0)

= (c+ v cosu, d+ v senu, au+ b)

= (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).Fazendo as mudanças de coordenadas:

x′(u, v) = x(u, v)− c

y′(u, v) = y(u, v)− d

z′(u, v) = z(u, v)− b

obtemos

χ(u, v) = (v cos, v sen u, au)

que é um helicóide.

Assumimos no início que δ′(u) = 0, para todo u.

Se δ′(u) = 0 para todos valores de u, então δ(u) = a com |a| = 1 e podemos supor

que γ(u) está num plano perpendicular a a.

De fato, se isso não ocorre, considere a curva

γ(u) = γ(u)− < γ(u), a > a

Então:< γ(u), a > = < γ(u), a > − < γ(u), a > |a|2

= < γ(u), a > − < γ(u), a >

= 0

Portanto, γ(u) está num plano perpendicular a a. Além disso,

χ(u, v) = γ(u) + vδ(u)

= γ(u)+ < γ(u), a > a+ va

= γ(u) + (< γ(u), a > +v)a.


Chamando v =< γ(u), a > +v, temos

χ(u, v) = γ(u) + va = χ(u, v).

Logo, podemos supor que χ(u, v) = γ(u)+va, onde γ(u) está num plano perpendicular

a a e |a| = 1.

Por um movimento rígido podemos assumir que γ(u) está no plano Oxy e a =

(0, 0, 1).

Logo, podemos assumir que γ(u) = (f(u), g(u), 0) e a = (0, 0, 1). Assim,χ(u, v) = γ(u) + vδ(u)

= (f(u), g(u), 0) + v(0, 0, 1)

= (f(u), g(u), v)

Podemos assumir também que γ(u) está parametrizada pelo comprimento de arco.

Então temos:

χu = γ′(u)

= (f ′(u), g′(u), 0)

e

χv = (0, 0, 1)

Portanto χ é regular se γ′(u) e (0, 0, 1) são linearmente independentes.

Assim,

E = < χu, χu >

= ∥γ′(u)∥2

= 1

F = < χu, χv >

= 0

G = < χv, χv >

= 1.

Temos também


χuu = γ′′(u)

= (f ′′(u), g′′(u), 0)

χuv = (0, 0, 0)

χvv = (0, 0, 0)

N = χu∧χv

∥χu∧χv∥

= (γ′(u) ∧ (0, 0, 1))

= (g′(u),−f ′(u), 0)

.

Assim,e = < N,χuu >

= < (g′(u),−f ′(u), 0), (f ′′(u), g′′(u), 0) >

= g′(u)f ′′(u)− f ′(u)g′′(u)

f = < N,χuv >

= 0

g = < N,χvv >

= 0

Como γ(u) é parametrizada pelo comprimento de arco, temos < γ′, γ′ >= 1 e portanto

< γ′′(u), γ′(u) > + < γ′(u), γ′′(u) >= 0, ou ainda < γ′′(u), γ′(u) >= 0.

Logo

f ′(u)f ′′(u) + g′(u)g′′(u) = 0 (4.12)

A condição de superfície mínima H =eG− 2fF + gE

2A2= 0, nos dá

f ′′(u)g′(u)− f ′(u)g′′(u) = 0 (4.13)

Portanto, de (4.12) e (4.13) temos{f ′′(u)g′(u)− g′′(u)f ′(u) = 0

f ′(u)f ′′(u) + g′(u)g′′(u) = 0

ou, equivalentemente, (−f ′(u) g′(u)

g′(u) f ′(u)

)(g′′(u)

f ′′(u)

)=

(0

0

)

Como det

(−f ′(u) g′(u)

g′(u) f ′(u)

)= −(f ′(u)2 + g′(u)2) = −1, temos que g′′(u) = 0 e

f ′′(u) = 0 e assim, g(u) = au+ b e f(u) = cu+ d, com a, b, c e d constantes.


Portanto temos dois casos a analisar:

i) Para a = 0, temos

χ(u, v) = (f(u), g(u), 0) + v(0, 0, 1)

= (cu+ d, au+ b, v)

= (d, b, 0) + u(c, a, 0) + v(0, 0, 1)

que é a equação vetorial de um plano passando por (d, b, 0) e tendo como vetores

diretores (c, a, 0) e (0, 0, 1).

ii) Para a = 0, temos χ(u, v) = (cu + d, b, v) e portanto χ(u, v) é parte do plano

y = b.

Vamos supor agora, que para algum valor de u, digamos u = u0, temos que δ′(u0) =

0. Temos então que δ′(u) = 0 para u em algum intervalo contendo u0. Seja ]α, β[ o

maior destes intervalos.

A prova é agora completada, usando-se um argumento similar ao usado no �nal da

prova da proposição 4.1, que mostra que a superfície toda ou é parte de um plano ou

é parte de um helicóide.

5 Teorema Egregium de Gauss

Uma das mais importantes descobertas de Gauss sobre superfícies é que a curva-

tura gaussiana é inalterada quando as superfícies se comportam localmente da mesma

maneira, no que se refere à questões métricas intrínsecas (comprimento, área, ângulo).

Gauss chamou este resultado de egregium e esta palavra, que em latim signi�ca extra-

ordinária, �cou ligada ao seu teorema desde então.

O objetivo desta seção é provar este importante teorema e estudar suas consequên-

cias. Para maiores detalhes veja [1].

Necessitaremos do seguinte resultado:

Teorema 5.1. f : S1 → S2 é uma isometria se, e somente se, para qualquer parame-

trização σ1 : U → S1, a aplicação σ2 = f ◦ σ1 : U → S2 tem E2, F2 e G2 iguais a E1,

F1 e G1, respectivamente.

Demonstração. (=⇒) Inicialmente, lembremos que se σi : U → Si é uma parametriza-

ção, então, para todo q ∈ U , dσiq : R2 → Tσi(q)(Si) é dada por

dσiq(e1) = σi

u(q)

dσiq(e2) = σi

v(q)

onde {e1, e2} é a base canônica de R2.

Agora, desde que σ2 = f ◦σ1 : U → S2, então, para todo q ∈ U , dσ2q : R2 → Tσ2(q)S2

é dada por dσ2q : dfσ1(q) ◦ dσ1

q onde dfσ1(q) : Tσ1(q)(S1) → Tσ2(q)(S2) é dada por

dfσ1(q)(σ1u(q)) = dfσ1(q) ◦ dσ1

q (e1) = dσ2q (e1) = σ2

u(q)

dfσ1(q)(σ1v(q)) = dfσ1(q) ◦ dσ1

q (e2) = dσ2q (e2) = σ2

v(q)

Assim, como f : S1 → S2 é uma isometria,

E1(q) = < σ1u(q), σ

1u(q) >σ1(q)

= < dfσ1(q)(σ1u(q)), dfσ1(q)(σ

1u(q)) >σ2(q)

= < σ2u(q), σ

2u(q) >σ2(q)

= E2(q)

71


F1(q) = < σ1u(q), σ

1v(q) >σ1(q)

= < dfσ1(q)(σ1u(q)), dfσ1(q)(σ

1v(q)) >σ2(q)

= < σ2u(q), σ

2v(q) >σ2(q)

= F2(q)

G1(q) = < σ1v(q), σ

1v(q) >σ1(q)

= < dfσ1(q)(σ1v(q)), dfσ1(q)(σ

1v(q)) >σ2(q)

= < σ2v(q), σ

2v(q) >σ2(q)

= G2(q)

(⇐=) Suponha a existência de parametrizações σ1 : U → S1 e σ2 : U → S2 tais que

E1 = E2, F1 = F2 e G1 = G2 em U . Mostremos que a aplicação f = σ2 ◦ (σ1)−1 : S1 →S2 é uma isometria.

Inicialmente lembremos que se f = σ2 ◦ (σ1)−1 então dfp = dσ2(σ1)−1(p) ◦ d(σ1)−1

p e

d(σ1)−1p = (dσ1

q )−1 onde p = σ1(q).

Desde que Tp(S1) = ⟨σ1u(q), σ

1v(q)⟩ onde p = σ1(q) temos, para cada i = 1, 2, que se

wi ∈ Tp(S1) então

wi = aiσ1u(q) + biσ

1v(q).

Logo

dfp(wi) = aidfp(σ1u(q)) + bidfp(σ

1v(q)).

Masdfp(σ

1u(q)) = dσ2

(σ1)−1(p) ◦ d(σ1)−1p (σ1

u(q))

= dσ2(σ1)−1(p) ◦ (dσ1

q )−1(σ1

u(q))

= dσ2(σ1)−1(p)((dσ

1q )

−1(σ1u(q)))

= dσ2(σ1)−1(p)(e1)

= σ2u((σ

1)−1(p))

edfp(σ

1v(q)) = dσ2

(σ1)−1(p) ◦ d(σ1)−1p (σ1

v(q))

= dσ2(σ1)−1(p) ◦ (dσ1

q )−1(σ1

v(q))

= dσ2(σ1)−1(p)((dσ

1q )

−1(σ1v(q)))

= dσ2(σ1)−1(p)(e2)

= σ2v((σ

1)−1(p))

Portanto,

dfp(wi) = aiσ2u((σ

1)−1(p)) + biσ2v((σ

1)−1(p))

Agora, f é um difeomor�smo, pois σ2 e σ−11 o são. Assim, basta mostrar que para

todo p ∈ S1 e para todos os pares w1, w2 ∈ TpS1, temos

< dfp(w1), dfp(w2) >f(p)=< w1, w2 >p .

73

De fato,

<dfp(w1),dfp(w2)>f(p) = <a1σ2u((σ

1)−1(p))+b1σ2v((σ

1)−1(p)),a2σ2u((σ

1)−1(p))+b2σ2v((σ

1)−1(p))>f(p)

= a1a2<σ2u((σ

1)−1(p)),σ2u((σ

1)−1(p))>f(p)+a1b2<σ2u((σ

1)−1(p)),σ2v((σ

1)−1(p))>f(p)

+b1a2<σ2v((σ

1)−1(p)),σ2u((σ

1)−1(p))>f(p)+b1b2<σ2v((σ

1)−1(p)),σ2v((σ

1)−1(p))>f(p)

= a1a2E2((σ1)−1(p))+a1b2F2((σ1)−1(p))+b1a2F2((σ1)−1(p))+b1b2G2((σ1)−1(p))

= a1a2E1((σ1)−1(p))+a1b2F1((σ1)−1(p))+b1a2F1((σ1)−1(p))+b1b2G1((σ1)−1(p))

= a1a2<σ1u((σ

1)−1(p)),σ1u((σ

1)−1(p))>p+a1b2<σ1u((σ

1)−1(p)),σ1v((σ

1)−1(p))>p

+b1a2<σ1u((σ

1)−1(p)),σ1v((σ

1)−1(p))>p+b1b2<σ1v((σ

1)−1(p)),σ1v((σ

1)−1(p))>p

= <a1σ1u((σ

1)−1(p))+b1σ1v((σ

1)−1(p))>p,a2σ1u((σ

1)−1(p))+b2σ1v((σ

1)−1(p))>p

= <w1,w2>p

Isto signi�ca, mais precisamente, que se S1 e S2 são duas superfícies e se f : S1 → S2

é uma isometria entre elas, então para qualquer ponto p de S1, a curvatura gaussiana

de S1 em p é igual à curvatura gaussiana de S2 em f(p).

Em outras palavras, a curvatura gaussiana de uma superfície é preservada por

isometrias.

Para provar esse resultado, é su�ciente, pelo teorema 5.1, considerar o caso de uma

superfície parametrizada regular σ1 sobre S1 e provar que, se σ1 e σ2 = f ◦ σ1 tem

E1, F1, G1 e E2, F2, G2, iguais respectivamente, então elas tem a mesma curvatura

gaussiana.

Isto está longe de ser óbvio, pois a fórmula K = eg−f2

EG−F 2 , que obtivemos para curva-

tura gaussiana K, na equação (3.14), depende dos coe�cientes e, g e f , bem como de

E, F e G.

Portanto o teorema nos diz que eg − f 2 pode ser expresso em termos de E, F e G

(embora não diz que e, f e g, individualmente, podem ser assim expressados).

Para provar o teorema faremos uso da base ortonormal {e′, e′′} do plano tangente

em cada ponto P da superfície parametrizada regular σ, onde e′(q) = σu(q)∥σu(q)∥ e se

w(q) = σv(q)− < σv(q), e′(q) > e′(q) então e′′(q) = w(q)

∥w(q)∥ onde σ(q) = P .

Então, {e′, e′′, N} é uma base ortonormal do R3, onde podemos assumir que

N(q) = e′(q) ∧ e′′(q) é o vetor normal à superfície S em q, pois caso contrário,

bastaríamos trocar a ordem de e′(q) e e′′(q), no produto vetorial, para obtermos N(q).

Chamando q = (u, v), podemos sempre expressar as derivadas parciais de e′ e e′′

com respeito a u e v em termos da base ortonormal {e′, e′′, N}.A partir de agora, omitiremos o q para simpli�car a notação.

Desde que < e′, e′ >= 1 e < e′′, e′′ >= 1, segue que, < e′u, e′ >= 0, < e′v, e

′ >= 0,

< e′′u, e′′ >= 0 e < e′′v, e

′′ >= 0.

Portanto a componente de e′u e e′v na direção de e′ é zero, bem como a componente

de e′′u e e′′v na direção de e′′ também é zero.

Portanto


e′u = αe′′ + λ′N

e′v = βe′′ + µ′N

e′′u = γe′ + λ′′N

e′′v = δe′ + µ′′N

para alguns escalares α, λ′, β, µ′, γ, λ′′, δ, µ′′ (que podem depender de u e v).

Além disso, desde que < e′, e′′ >= 0, < e′u, e′′ > + < e′, e′′u >= 0 e portanto

< e′u, e′′ >= − < e′, e′′u >, isto é, < αe′′ + λ′N, e′′ >= − < e′, γe′ + λ′′N >, ou ainda

α < e′′, e′′ > +λ′ < N, e′′ >= −γ < e′, e′ > −λ′′ < e′, N > e portanto α = −γ.Similarmente, derivando < e′, e′′ >= 0 em relação a v, obtemos β = −δ. Portanto

e′u = αe′′ + λ′N (5.1)

e′v = βe′′ + µ′N (5.2)

e′′u = −αe′ + λ′′N (5.3)

e′′v = −βe′ + µ′′N (5.4)

O lema abaixo é um passo crucial para a prova do teorema 5.2 a seguir.

Lema 5.1. Com a notação acima temos

< e′u, e′′v > − < e′′u, e

′v > = λ′µ′′ − λ′′µ′

= αv − βu

= eg−f2

(EG−F 2)12

(5.5)

Demonstração. Para provarmos a primeira igualdade da equação do lema 5.1 note que

<e′u,e′′v>−<e′′u,e

′v> = <αe′′+λ′N,−βe′+µ′′N>−<−αe′+λ′′N,βe′′+µ′N>

= −αβ<e′′,e′>+αµ′′<e′′,N>−λ′β<N,e′>+λ′µ′′<N,N>

+αβ<e′,e′′>+αµ′<e′,N>−λ′′β<N,e′′>−λ′′µ′<N,N>

= λ′µ′′−λ′′µ′

Para provar a segunda igualdade da equação do lema 5.1 observe que das equações

(5.1) e (5.2) temos

< e′u, e′′ >= α < e′′, e′′ > +λ′ < N, e′′ >= α

e

< e′v, e′′ >= β < e′′, e′′ > +µ′ < N, e′′ >= β

75

Portanto

αv − βu = < e′uv, e′′ > + < e′u, e

′′v > − < e′vu, e

′′ > − < e′v, e′′u >

= < e′u, e′′v > − < e′v, e

′′u >

Para provarmos a terceira igualdade da equação do lema 5.1 observamos que Nu ∧Nv = Kσu ∧ σv

De fato, vimos na seção 3.2, equações (3.3) e (3.4), respectivamente, que podemos

escrever Nu = a11σu + a21σv e Nv = a12σu + a22σv, onde

(a11 a21

a12 a22

)é dada pela

equação (3.15).

Portanto,

Nu ∧Nv = (a11σu + a21σv) ∧ (a12σu + a22σv)

= a11a12(σu ∧ σu) + a11a22(σu ∧ σv)−a21a12(σu ∧ σv) + a21a22(σv ∧ σv)

= (a11a22 − a21a12)σu ∧ σv

= det

(a11 a21

a12 a22

)σu ∧ σv

= det

[− 1

EG−F 2

(e f

f g

)(G −F−F E

)]σu ∧ σv

=

[1

(EG−F 2)2det

(e f

f g

)det

(G −F−F E

)]σu ∧ σv

= 1(EG−F 2)2

(eg − f2)(EG− F 2)σu ∧ σv= eg−f2

EG−F 2σu ∧ σv= Kσu ∧ σv

(onde K = eg−f2

EG−F 2 ).

Lembrando que N = σu∧σv

∥σu∧σv∥ e que ∥σu ∧ σv∥ = (EG− F 2)12 obtemos

Nu ∧Nv = eg−f2

EG−F 2σu ∧ σv= eg−f2

EG−F 2 ∥σu ∧ σv∥N= eg−f2

EG−F 2 (EG− F 2)12N

= eg−f2

(EG−F 2)12N

Portanto

< Nu ∧Nv, N >=eg − f2

(EG− F 2)12

(5.6)

Desde que N = e′ ∧ e′′ obtemos

< Nu ∧Nv, N >=< Nu ∧Nv, e′ ∧ e′′ >


Desde que para quaisquer a,b,c,d de R2, temos

< a ∧ b, c ∧ d >=< a, c >< b, d > − < a, d >< b, c >

então

< Nu ∧Nv, e′ ∧ e′′ >=< Nu, e

′ >< Nv, e′′ > − < Nu, e

′′ >< Nv, e′ >

Desde que < N, e′ >= 0, derivando em relação a u, obtemos < Nu, e′ > + <

N, e′u >= 0 e portanto

< Nu, e′ >= − < N, e′u >

Analogamente, derivando < N, e′ >= 0 em relação a v, obtemos

< Nv, e′ >= − < N, e′v >

Também de < N, e′′ >= 0, temos < Nv, e′′ > + < N, e′′v >= 0 e portanto

< Nv, e′′ >= − < N, e′′v >

.

Analogamente, derivando < N, e′′ >= 0, em relação a u, obtemos

< Nu, e′′ >= − < N, r′′u >

Portanto

< Nu ∧Nv, e′ ∧ e′′ > = < N, e′u >< N, e′′v > − < N, e′′u >< N, e′v >

= < N,αe′′ + λ′N >< N,−βe′ + µ′′N > −< N,−αe′ + λ′′N >< N, βe′′ + µ′N >

= λ′µ′′ − λ′′µ′

(5.7)

Da primeira igualdade da equação (5.5) e das equações (5.6) e (5.7), segue

< e′u, e′′v > − < e′′u, e

′v > = λ′µ′′ − λ′′µ′

= < Nu ∧Nv, N >

= eg−f2

(EG−F 2)12

Agora podemos provar o

Teorema 5.2. A curvatura gaussiana de uma superfície é preservada por isometrias.

77

Demonstração. Da segunda e terceira igualdades da equação (5.5) do lema 5.1 obtemos

K =eg − f 2

EG− F 2=

[eg − f 2

(EG− F 2)12

]1

(EG− F 2)12

=αv − βu

(EG− F 2)12

(5.8)

Assim, para provar o teorema é su�ciente mostrar que para a base {e′, e′′}, de�nidaanteriormente, os escalares α e β dependem somente de E, F e G.

Lembramos que e′ = σu

∥σu∥ = σu

E12

= ϵσu, onde ϵ = E− 12 , e que e′′ = w

∥w∥ , onde

w = σv− < σv, e′ > e′.

Portantow = σv− < σv, ϵσu > ϵσu

= σv − ϵ2 < σv, σu > σu

= σv − ϵ2Fσu

e

∥w∥ = < w,w >12

= < σv − ϵ2Fσu, σv − ϵ2Fσu >12

= (< σv, σv > − < σv, ϵ2Fσu > − < ϵ2Fσu, σv > + < ϵ2Fσu, ϵ

2Fσu >)12

= (G− ϵ2F 2 − ϵ2F 2 + ϵ4F 2E)12

= (G− 2ϵ2F 2 + ϵ4F 2E)12

= (G− 2E−1F 2 + E−2F 2E)12

= (G− 2E−1F 2 + E−1F 2)12

= (G− E−1F 2)12

= (G− F 2

E)12

= (EG−F 2)12

E12

Logo e′′ = E12

(EG−F 2)12σv − FE− 1

2

(EG−F 2)12σu.

Chamando γ = − FE− 12

(EG−F 2)12e δ = E

12

(EG−F 2)12, temos

e′′ = γσu + δσv (5.9)

Agora vamos calcular α e β.

Inicialmente, observemos que de E =< σu, σu > segue que Eu = 2 < σuu, σu > e

portanto < σuu, σu >=Eu

2

Também Ev = 2 < σuv, σu > e portanto < σuv, σu >=Ev

2.

De F =< σu, σv > segue que:

Fu = < σuu, σv > + < σu, σvu >

= < σuu, σv > + < σuv, σu >

= < σuu, σv > +Ev

2

Portanto < σuu, σv >= Fu − Ev

2.

De G =< σv, σv > segue que:


Gu = 2 < σvu, σv >= 2 < σuv, σv >

Portanto < σuv, σv >=Gu

2.

Também observemos que de < e′, e′′ >= 0, segue que

0 = < ϵσu, γσu + δσv >

= ϵγE + ϵδF

= ϵ(γE + δF )

e como ϵ = 0, temos que γE + δF = 0.

Da equação (5.1) e observações acima, temos

α = < e′u, e′′ >

= < ϵuσu + ϵσuu, γσu + δσv >

= ϵuγE + ϵuδF + ϵγ < σuu, σu > +ϵδ < σuu, σv >

= ϵu(γE + δF ) + ϵγEu

2+ ϵδ

(Fu − Ev

2

)= ϵγEu

2+ ϵδ

(Fu − Ev

2

)(5.10)

(desde que γE + δF = 0), e portanto α só depende de E, F e G.

Finalmente,

β = < e′v, e′′ >

= < ϵvσu + ϵσuv, γσu + δσv >

= ϵvγE + ϵvδF + ϵγ < σuv, σu > +ϵδ < σuv, σv >

= ϵv(γE + δF ) + ϵγEv

2+ ϵδGu

2

= ϵγEv

2+ ϵδGu

2

(5.11)

(desde que γE + δF = 0), e portanto β só depende de E, F e G.

Isto completa a prova do Teorema de Gauss.

Corolário 5.1. A curvatura gaussiana é dada por

K =

∣∣∣∣∣∣∣−1

2Evv + Fuv − 1

2Guu

12Eu Fu − 1

2Ev

Fv − 12Gu E F

12Gv F G

∣∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣∣

0 12Ev

12Gu

12Ev E F

12Gu F G

∣∣∣∣∣∣∣(EG− F 2)2

Demonstração. Usando a equação (5.8) temos que K = (αv−βu)

(EG−F 2)12= (αv−βu)(EG−F 2)

32

(EG−F 2)2.

Assim, basta mostrar que

(αv−βu)(EG−F 2)32 =

∣∣∣∣∣∣∣−1

2Evv + Fuv − 1

2Guu

12Eu Fu − 1

2Ev

Fv − 12Gu E F

12Gv F G

∣∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣∣

0 12Ev

12Gu

12Ev E F

12Gu F G

∣∣∣∣∣∣∣Substituindo os valores de γ, δ e ϵ nas fórmulas (5.10) e (5.11), respectivamente, e

derivando α em relação a v e β em relação a u, obtemos:

79

(EG−F 2)32 (αv−βu) = (EG−F 2)

32 [ 12 (ϵγ)vEu− 1

2(ϵγ)uEv+(ϵδ)v(Fu− 1

2Ev)− 1

2(ϵδ)uGu+ϵδ(Fuv− 1

2Evv− 1

2Guu)]

Mas

ϵγ = − FE−1

(EG− F 2)12

e

ϵδ = (EG− F 2)−12

Assim,

(ϵγ)u = −(FuE−1+F (E−1)u)(EG−F 2)

−12 +

1

2(FE−1)(EG−F 2)

−32 (EuG+EGu−2FFu).

De modo análogo,

(ϵγ)v = −(FvE−1+F (E−1)v)(EG−F 2)

−12 +

1

2(FE−1)(EG−F 2)

−32 (EvG+EGv−2FFv).

Também

(ϵδ)v =−1

2(EG− F 2)

−32 (EvG+ EGv − 2FFv)

e de modo análogo

(ϵδ)u =−1

2(EG− F 2)

−32 (EuG+ EGu − 2FFu).

Ainda, desde que E = ∥σu∥2 = 0, então E−1 = 1E

e (E−1)u = −Eu

E2 . De modo

análogo (E−1)v =−Ev

E2 .

Assim

Eu(E−1)v = Eu

(−Ev

E2

)=

(−Eu

E2

)Ev = (E−1)uEv (5.12)

Portanto

(EG−F 2)32 (αv−βu) = 1

4(FE−1)(EvG+EGv−2FFv)Eu− 1

2 [FvE−1+F (E−1)v](EG−F 2)Eu

− 14(FE−1)(EuG+EGu−2FFu)Ev+

12(EG−F 2)[FuE−1+F (E−1)u]Ev

− 12(EvG+EGv−2FFv)(Fu− 1

2Ev)+

14(EuG+EGu−2FFu)Gu

+(EG−F 2)(Fuv− 12Evv− 1

2Guu)

= − 12EuFvG− 1

2EFG[Eu(E−1)v−(E−1)uEv]+ 1

2F 3[Eu(E−1)v−(E−1)uEv]

+ 14EuFGv− 1

4EvFGu− 1

2EFuGv+FFuFv+

14E2

vG+ 14EEvGv− 1

2EvFFv

+ 14EuGGu+

14EG2

u− 12FFuGu+(EG−F 2)(Fuv− 1

2Evv− 1

2Guu).

Como, pela equação (5.12), Eu(E−1)v = (E−1)uEv temos


(EG−F 2)32 (αv−βu) = (Fuv− 1

2Evv− 1

2Guu)(EG−F 2)+ 1

2Eu( 1

2FGv−FvG+ 1

2GGu)

12Ev( 1

2EvG− 1

2FGu)+Fu(FFv− 1

2FGu− 1

2EGv)− 1

2Ev(FFv− 1

2EGv)+ 1

4EG2

u

= (Fuv− 12Evv− 1

2Guu)(EG−F 2)+ 1

2Eu( 1

2FGv−FvG+ 1

2GGu)

12Ev( 1

2EvG− 1

2FGu)+Fu(FFv− 1

2FGu− 1

2EGv)− 1

2Ev(FFv− 1

2EGv)

14EG2

u+14EvFGu− 1

4EvFGu

= (Fuv− 12Evv− 1

2Guu)(EG−F 2)+ 1

2Eu( 1

2FGv−GFv+

12GGu)

+(Fu− 12Ev)(FFv− 1

2FGu− 1

2EGv)+ 1

2Ev( 1

2EvG− 1

2FGu)− 1

2Gu( 1

2EvF− 1

2EGu)

= (Fuv− 12Evv− 1

2Guu)(EG−F 2)+ 1

2Eu

∣∣∣∣∣∣∣F Fv − 1

2Gu

G 12Gv

∣∣∣∣∣∣∣(Fu− 1

2Ev)

∣∣∣∣∣∣∣Fv − 1

2Gu E

12Gv F

∣∣∣∣∣∣∣+ 12Ev

∣∣∣∣∣∣∣12Ev F

12Gu G

∣∣∣∣∣∣∣− 12Gu

∣∣∣∣∣∣∣12Ev E

12Gu F

∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1

2Evv + Fuv − 1

2Guu

12Eu Fu − 1

2Ev

Fv − 12Gu E F

12Gv F G

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1

2Ev

12Gu

12Ev E F

12Gu F G

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Corolário 5.2.

(i) Se F = 0, temos

K =−1

2√EG

{∂

∂u

(Gu√EG

)+∂

∂v

(Ev√EG

)}(ii) Se E = 1 e F = 0, temos

K =−1√G

∂2

∂2u(√G)

Demonstração.

(i) Se F = 0, temos que

δ = E12

(EG−F 2)12= E

12

(EG)12= G

−12

γ = −FE− 12

(EG−F 2)12= 0

ϵ = E− 12

Substituindo nas equações (5.10) e (5.11), temos

α = E− 12G− 1

2

(−1

2Ev

), ou equivalentemente, α = −1

2(EG)−

12Ev.

Também β = 12E− 1

2G− 12Gu, ou equivalentemente, β = 1

2(EG)−

12Gu

Portanto

K = αv−βu

(EG)12

=14 (EG)

− 32 (EvG+EGv)Ev− 1

2 (EG)− 1

2 Evv

(EG)12

+14 (EG)

− 32 (EuG+EGu)Gu− 1

2 (EG)− 1

2 Guu

(EG)12

Por outro lado

81

−1

2(EG)12

{∂∂u

(Gu

(EG)12

)+ ∂

∂v

(Ev

(EG)12

)}= −1

2(EG)12

{Guu(EG)

12 −Gu

12 (EG)

− 12 (EuG+EGu)

EG+

Evv(EG)12 − 1

2 (EG)− 1

2 (EvG+EGv)EvEG

}= K

(ii) Se F = 0 e E = 1, pelo item (i), temos:

K = −12√G

∂∂u

(Gu√G

).

Por outro lado;

−1√G

∂2

∂u2 (√G) = −1√

G∂∂u

(∂∂u

√G)

= −1√G

∂∂u

(12G− 1

2Gu

)= −1

2√G

∂∂u

(Gu√G

)= K

6 Teorema de Gauss-Bonnet

O Teorema de Gauss-Bonnet é o resultado mais belo e profundo na teoria das

superfícies.

Sua versão mais importante relaciona a integral da curvatura gaussiana de uma su-

perfície com uma propriedade da superfície chamada número de Euler, que é topológica,

isto é, é alterada por qualquer deformação contínua da superfície. Tais deformações

em geral, mudarão o valor da curvatura gaussiana. Mas o Teorema diz que a integral

da curvatura gaussiana da superfície não muda.

A versão mais simples, e que será tratada neste capítulo, é a versão do Teorema

de Gauss-Bonnet que envolve curvas simples fechadas sobre uma superfície. Intuiti-

vamente, estas são curvas que começam e terminam num mesmo ponto, mas não tem

auto-interseção. Para maiores detalhes veja [1].

6.1 Gauss-Bonnet para curvas Simples Fechadas

No caso especial, quando a superfície é um plano, existe um resultado padrão ( veja

[[1],p.48] ), mas altamente não trivial, chamado de Teorema da curva de Jordan, que

diz que qualquer curva simples fechada no plano tem um �interior� e um �exterior�:

mais precisamente, o conjunto de pontos de R2 que não estão sobre a curva γ é a união

disjunta de dois subconjuntos de R2, denotados por int(γ) e ext(γ) com as propriedades

abaixo:

(i) int(γ) é limitado, isto é, está contido dentro de um círculo de raio su�cientemente

grande;

(ii) ext(γ) não é limitado;

(iii) ambas as regiões int(γ) e ext(γ) são conexas, isto é, tem a propriedade que

quaisquer dois pontos na mesma região podem ser ligados por uma curva contida

inteiramente na região (mas qualquer curva unindo um ponto de int(γ) à um ponto de

ext(γ) deve cruzar a curva γ).

De�nição 6.1. Seja a ∈ R uma constante positiva. Uma curva simples fechada em

R2, com período a, é uma curva regular γ : R → R2 tal que γ(t) = γ(t′) se, e somente

se, t′ − t = ka, para algum inteiro k.

83


De�nição 6.2. Dizemos que uma curva simples fechada γ em R2 está orientada posi-

tivamente se o vetor normal à curva γ aponta para int(γ) em todo ponto de γ.

De�nição 6.3. Uma curva γ(t) = σ(u(t), v(t)) sobre uma superfície parametrizada

regular σ : U → R3 é chamada uma curva simples fechada com período a, se π(t) =

(u(t), v(t)) é uma curva simples fechada em R2 com período a, tal que, a região int(π)

de R2, determinada por π, está inteiramente contida em U .

A curva γ é dita estar orientada positivamente se π esta orientada positivamente.

Finalmente, a imagem de int(π) via σ é de�nida ser o interior int(γ) de γ.

Se γ(t) = σ(u(t), v(t)) é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de

arco em uma superfície parametrizada regular σ, então γ′ é um vetor unitário e é, por

de�nição, um vetor tangente a σ. Portanto γ′ é perpendicular ao vetor normal N de

σ, e assim, γ′, N e N ∧ γ′ são vetores unitários, dois a dois ortogonais.

Desde que γ é parametrizada pelo comprimento de arco, γ′′ é ortogonal a γ′, e

portanto γ′′ é uma combinação linear de N e N ∧ γ′, isto é,

γ′′ = knN + kgN ∧ γ′ (6.1)

Os escalares kn e kg são chamados a curvatura normal e a curvatura geodésica de

γ, respectivamente.

Desde que N e N ∧ γ′ são vetores unitários ortogonais, segue da equação 6.1 que

kn =< γ′′, N > (6.2)

kg =< γ′′, N ∧ γ′ > (6.3)

∥γ′′∥2 = k2n + k2g (6.4)

Portanto a curvatura k = ∥γ′′∥ de γ é dada por k2 = k2n + k2g .

Além disso, se n é o vetor normal da curva γ, segue que γ′′ = kn. Portanto

kn =< kn,N >= k < n,N >= k cosψ (6.5)

onde ψ é o ângulo entre n e N .

Então das equações (6.4) e (6.5) temos que k2 = ∥γ′′∥2 = k2cos2ψ + k2g e portanto

k2g = k2sen2ψ, ou equivalentemente, kg = ±k senψ.Agora podemos estabelecer o Teorema de Gauss-Bonnet para curvas simples fecha-

das.

Teorema 6.1 (Teorema de Gauss-Bonnet). Seja γ(s) uma curva simples fechada,

parametrizada pelo comprimento de arco, de comprimento l(γ), sobre uma superfície σ

Gauss-Bonnet para curvas Simples Fechadas 85

e suponha que γ está orientada positivamente. Então∫ l(γ)

0

kgds = 2π −∫ ∫

int(γ)

KdAσ

onde kg é a curvatura geodésica de γ, K é a curvatura gaussiana de σ e dAσ =

∥σu ∧ σv∥ dudv = (EG− F 2)12dudv é o elemento de área de σ.

Para a prova deste teorema necessitaremos dos teoremas a seguir, os quais enun-

ciaremos sem demonstrações. Para uma prova do Teorema de Green veja [[8],p.283] e

para uma `prova' do Teorema da Rotação veja [[1],p.250-251].

Teorema 6.2 (Teorema de Green). Para quaisquer funções f(x, y) e g(x, y) de classe

C∞ (isto é, funções contínuas com derivadas parciais contínuas de todas as ordens),

temos que ∫ ∫int(γ)

(∂g

∂x− ∂f

∂y

)dxdy =

∫γ

f(x, y)dx+ g(x, y)dy

se γ é uma curva simples fechada orientada positivamente.

No Teorema de Green acima e se x = x(s) e y = y(s) então∫γ

f(x, y)dx+ g(x, y)dy =

∫ l(γ)

0

{f (x(s), y(s)) x′(s) + g(x(s), y(s))y′(s)} ds

onde l(γ) denota o comprimento da curva γ.

Teorema 6.3 (Teorema da Rotação). Seja γ(s) uma curva simples fechada, parametri-

zada pelo comprimento de arco, de comprimento l(γ) sobre uma superfície σ e suponha

que γ está orientada positivamente. Seja θ(s) um ângulo entre o vetor tangente unitário

γ′ de γ em γ(s) e o vetor unitário e′ = σu

∥σu∥ no mesmo ponto. Então∫ l(γ)

0

θ′(s)ds = 2π

Agora estamos prontos para provar a versão mais simples do Teorema de Gauss-

Bonnet.

Demonstração. Como na prova do teorema 5.1 escolha uma base ortonormal {e′, e′′}do plano tangente de σ em cada ponto de modo que {e′, e′′, N} é uma base ortonormal

positiva de R3 (isto é, tem a mesma orientação da base canônica), onde N é o vetor

normal unitário de σ.

Considere a seguinte integral

I =∫ l(γ)

0< e′(u(s), v(s)), d

dse′′(u(s), v(s)) > ds

=∫ l(γ)

0< e′(u(s), v(s)), e′′u(u(s), v(s))u

′(s) + e′′v(u(s), v(s))v′(s) > ds

=∫ l(γ)

0{< e′(u(s), v(s)), e′′u(u(s), v(s)) > u′(s)+ < e′(u(s), v(s)), e′′v(u(s), v(s)) > v′(s)} ds

=∫γ< e′(u, v), e′′u(u, v) > du+ < e′(u, v), e′′v(u, v) > dv


Pelo Teorema de Green e o lema 5.1, segue que:

I =∫ ∫

int(γ)

(∂∂u< e′(u, v), e′′v(u, v) > − ∂

∂v< e′(u, v), e′′u(u, v) >

)dudv

=∫ ∫

int(γ)(< e′u(u, v), e

′′v(u, v) > + < e′(u, v), e′′vu(u, v) >

− < e′v(u, v), e′′u(u, v) > − < e′(u, v), e′′uv(u, v) >)dudv

=∫ ∫

int(γ)(< e′u(u, v), e

′′v(u, v) > − < e′v(u, v), e

′′u(u, v) >) dudv

=∫ ∫

int(γ)eg−f2

(EG−F 2)12

=∫ ∫

int(γ)eg−f2

EG−F 2 (EG− F 2)12dudv

=∫ ∫

int(γ)KdAσ

(6.6)

Agora seja θ(s) o ângulo entre o vetor tangente unitário γ′ de γ em γ(s) e o vetor

unitário e′ no mesmo ponto. Como {e′, e′′} é uma base do plano tangente de σ em γ(s)

e ∥γ′(s)∥ = 1, então

γ′(s) = cos θ(s)e′(u(s), v(s)) + sen θ(s)e′′(u(s), v(s)) (6.7)

Então

N (u(s), v(s)) ∧ γ′(s) = cos θ(s)N(u(s), v(s)) ∧ e′(u(s), v(s))+ sen θ(s)N(u(s), v(s)) ∧ e′′(u(s), v(s))

= cos θ(s)e′′(u(s), v(s))− sen θ(s)e′(u(s), v(s))

(6.8)

Agora da equação (6.7) temos que:

γ′′(s) = −θ′(s) sen θ(s)e′(u(s),v(s))+cos θ(s) dds

e′(u(s),v(s))+θ′(s) cos θ(s)e′′(u(s),v(s))+sen θ(s) dds

e′′(u(s),v(s))

= cos θ(s) dds

e′(u(s),v(s))+sen θ(s) dds

e′′(u(s),v(s))+θ′(s){− sen θ(s)e′(u(s),v(s))+cos θ(s)e′′(u(s),v(s))}

(6.9)

Assim por (6.8), (6.9) e (6.3) a curvatura geodésica de γ é

kg = <N(u(s),v(s))∧γ′(s),γ′′(s)>

= <θ′(s)(− sen θ(s)e′(u(s),v(s))+cos θ(s)e′′(u(s),v(s)),− sen θ(s)e′(u(s),v(s))+cos θ(s)e′′(u(s),v(s))>

+<− sen θ(s)e′(u(s),v(s))+cos θ(s)e′′(u(s),v(s)),cos θ(s) dds

e′(u(s),v(s))+sen θ(s) dds

e′′(u(s),v(s))>

= θ′(s)(sen2 θ(s)+cos2 θ(s))+cos2 θ(s)<e′′(u(s),v(s)), dds

e′(u(s),v(s))>− sen2 θ(s)<e′(u(s),v(s)), dds

e′′(u(s),v(s))>

+sen θ(s) cos θ(s){<e′′(u(s),v(s)), dds

e′′(u(s),v(s))>−<e′(u(s),v(s)), dds

e′(u(s),v(s))>}

Desde que e′(u(s), v(s)) e e′′(u(s), v(s)) são vetores unitários ortogonais, derivando-

se < e′(u(s), v(s)), e′(u(s), v(s)) >= 1 =< e′′(u(s), v(s)), e′′(u(s), v(s)) obtemos

< e′(u(s), v(s)),d

dse′(u(s), v(s)) >= 0 =< e′′(u(s), v(s)),

d

dse′′(u(s), v(s)) > .

Por outro lado, derivando-se < e′(u(s), v(s)), e′′(u(s), v(s)) >= 0 obtemos

Gauss-Bonnet para curvas Simples Fechadas 87

<d

dse′(u(s), v(s)), e′′(u(s), v(s)) >= − < e′(u(s), v(s)),

d

dse′′(u(s), v(s)) > .

Portanto kg = θ′(s)− < e′(u(s), v(s)), ddse′′(u(s), v(s)) > e pela de�nição de I, temos

I =∫ l(γ)

0< e′(u(s), v(s)), d

dse′′(u(s), v(s)) > ds

=∫ l(γ)

0(θ′(s)− kg)ds

Assim, ∫ l(γ)

0

(θ′(s)− kg)ds =

∫ ∫int(γ)

KdAσ.

Portanto ∫ l(γ)

0

kgds =

∫ l(γ)

0

θ′(s)ds−∫ ∫

int(γ)

KdAσ.

Como, pelo Teorema da Rotação∫ l(γ)

0θ′(s)ds = 2π, segue o resultado.

De�nição 6.4. Seja σ : U → R3 uma superfície parametrizada regular. Uma curva

regular γ(t) = σ(u(t), v(t)) é uma geodésica da superfície σ se, para todo t ∈ I, γ′′(t) é

um vetor normal a σ em (u(t), v(t))

Agora, como uma aplicação do Teorema de Gauss-Bonnet para curvas simples fe-

chadas obtemos o

Corolário 6.1. Seja S uma superfície orientável com curvatura gaussiana K ≤ 0.

Então duas geodésicas γ1 e γ2 que partem de um mesmo ponto p ∈ S não podem

se encontrar novamente em um ponto q ∈ S de tal forma que os traços de γ1 e γ2constituam uma curva simples fechada da superfície S.

Demonstração. Suponha o contrário, isto é, que os traços de γ1 e γ2 constituam uma

curva simples fechada γ a qual suporemos parametrizada pelo comprimento de arco e

orientada positivamente.

Então pelo Teorema de Gauss-Bonnet para curvas simples fechadas∫ ∫int(γ)

KdAσ = 2π −∫ l(γ)

0

kgds,

onde l(γ) denota o comprimento de γ.

Desde que γ é uma geodésica da superfície S, pois γ1 e γ2 o são, então γ′′(s) é

paralelo ao vetor normal N da superfície S.

Assim, a curvatura geodésica


kg = < γ′′, N ∧ γ′ >= < αN,N ∧ γ′ >= α < N,N ∧ γ′ >= 0

e portanto∫ ∫

int(γ)KdAσ = 2π > 0, o que é uma contradição, pois a curvatura

gaussiana K ≤ 0

7 Conclusão

Neste trabalho, atendendo ao nosso principal objetivo, elaboramos um texto para

alunos de graduação na área de Ciências Exatas e da Terra, concernente ao estudo de

alguns tópicos da Geometria Diferencial, que evidenciam uma relação entre as áreas de

Geometria, Álgebra e Análise.

As re�exões deste texto podem levar os leitores a descobrirem algumas riquezas

da Geometria Diferencial, bem como de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), que de um

menino prodígio, demonstrou um dos maiores Teoremas da Geometria Diferencial que

chamou de egregium, palavra esta que em latim signi�ca extraordinária e que �cou

ligada a esse Teorema desde então.

Para um maior aprofundamento desse trabalho, sugerimos que o leitor no capítulo

5 desenvolva mais aplicações do Teorema Egregium de Gauss bem como, no capítulo

6, explore o Teorema de Gauss-Bonnet para Polígonos Curvilíneos e para Superfícies

Compactas, os quais podem ser encontrados em [1].

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Referências

[1] PRESSLEY, A. Elementary Di�erential Geometry. 1. ed. London: Springer-Verlag,

2001.

[2] CARMO, M. P. do. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies. 1. ed. Rio de

Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2005.

[3] CARMO, M. P. do. Elementos de Geometria Diferencial. 1. ed. Rio de Janeiro: Ao

Livro Técnico S. A. e Editora Universidade de Brasília, 1971.

[4] ARAÚJO, P. V. Geometria Diferencial. 1. ed. Rio de Janeiro: Coleção Matemática

Universitária, 1998.

[5] HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Álgebra Linear. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos

e Cientí�cos Editora S.A., 1979.

[6] TENENBLAT, K. Introdução à Geometria Diferencial. 2. ed. São Paulo: Edgard

Blucher, 2008.

[7] MUNKRES, J. R. Topology A First Course. 1. ed. New Jersey: Prentice Hall, Inc.,

1975.

[8] RUDIN, W. Principles of Mathematical Analysis. 3. ed. New York: McGraw-Hill,

Inc., 1976.

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tópicos de geometria diferencial

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