1. Introdução

1.1. Contexto histórico

A topografia, cujo significado etimológico da palavra é “descrição do lugar”, estuda os instrumentos, métodos de operação no terreno, cálculos e desenhos necessários ao levantamento e representação gráfica de uma parte da superfície terrestre.

Os egípcios, os gregos, os árabes e os romanos nos legaram instrumentos e processos que, embora primitivos, serviram para descrever, delimitar e avaliar propriedades rurais, com finalidades cadastrais. Na História da Topografia (Laussedat) são mencionadas plantas e cartas militares e geográficas organizadas nos primórdios da Topografia, chamada ainda de Geometria aplicada.

Porém somente nos últimos séculos a topografia teve uma orientação orgânica, passando do empirismo às bases de uma autentica ciência, devido ao desenvolvimento notável da matemática e física.

Há registro de que o primeiro trabalho executado com técnicas e estilo próprio foi a Carta da França, publicada no século XIX pela Academia Francesa e compilada pelo cartógrafo italiano Cassini.

Os aperfeiçoamentos da mecânica de precisão introduzidos nos intrumentos topográficos contribuíram eficientemente para o progresso crescente da aplicação dos métodos desenvolvidos pela Topografia, principalmente no aperfeiçoamento da fotogrametria terrestre e aérea, esta ultima sendo utilizada na maioria dos grandes levantamentos topográficos, pela exatidão e custo reduzido. Se dá os créditos dos aperfeiçoamentos da mecânica de precisão ao suíço Henrique Wild, ao italiano Ignazio Porro, à Pulfrich, à Orel, à Casa Zeiss e tantos outros, que contribuíram para o progresso da aplicação dos métodos desenvolvidos pela topografia.

1.2. Objetivo, definição e classificação

A topografia tem por finalidade determinar o contorno (ou características tridimensionais), dimensão e posição relativa de uma porção limitada da superfície terrestre.

Além da Topografia, podem-se destacar três outras ciências diretamente ligadas aos processos de levantamento e representação de parte da superfície terrestre: a cartografia, a geodésia e a fotogrametria.

A cartografia é definida como o conjunto de estudos e observações científicas, artísticas e técnicas que, a partir de resultados de observações diretas ou da exploração de documentos, elabora cartas, planos e outros modos de expressão, assim como a sua utilização. A carta, vista como meio de transcrição gráfica de fenômenos geográficos, constitui o objeto principal da Cartografia. Portanto o objetivo principal da cartografia é pesquisar métodos, processos de elaboração e utilização de cartas, além do estudo de seu conteúdo.

A geodésia, do grego geo = terra, daiein = dividir, é uma ciência que tem por objetivo determinar a forma e a dimensão da terra. A ciência geodésica compreende o estudo das operações ou medições, assim como os métodos de cálculos aplicados para determinar a forma e as dimensões da terra e seu campo gravitacional.

A fotogrametria pode ser definida como a ciência, arte e tecnologia de obter informações confiáveis a partir de fotogramas aéreos ou terrestres, Divide-se em duas áreas de especialização: métrica e interpretativa. A fotogrametria métrica tem uma grande

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importância para área de mensuração, pois permite determinação de distancias, elevações, volumes etc. Além de elaborar documentos cartográficos a partir de medidas realizadas nos fotogramas. A fotometria interpretativa tem por objetivo proporcionar o reconhecimento de alguns padrões de objetos (formas, comprimentos, tonalidades, texturas, etc.) baseados em imagens fotográficas.

Observa-se que a topografia é definida como a ciência aplicada a estudar e desenvolver métodos e instrumentos destinados a levantar e processar dados do terreno, a partir dos quais seja possível representar graficamente a realidade física em um documento cartográfico.

Podemos perceber então que já dois processos interdependentes que constituem o fundamento dos trabalhos topográficos: o primeiro deles envolve questões métricas de medição e calculo e o segundo, as questões de representação, surgindo assim duas áreas de estudo: a topometria e a topologia

Na topometria estudam-se os diferentes métodos e instrumentos disponíveis para a obtenção das posições de pontos topográficos, bem como os métodos de processamento e ajustamento das medições. Os pontos topográficos são aqueles que conformam o terreno ou área de estudo sobre a qual será desenvolvido algum projeto.

A topometria se divide em dois estudos: planimetria e altimetria. A planimetria tem por objetivo determinar as posições relativas dos pontos topográficos no plano de projeção, segundo um sistema de referencia previamente estipulado (x,y). A altimetria estuda métodos e intrumentos destinador a quantificar as distancias verticais (z) dos pontos. Existem ainda métodos e instrumentos que permitem medir simultaneamente as três coordenadas dos pontos topográficos, que constituem a área denominada planialtimetria.

1.3. Importância e aplicações

Conforme já dito, desde as civilizações mais antigas tem sido necessário determinar limites de propriedades e dividir áreas de terra em partes menores. Através dos séculos os usos da topografia tem se expandido de tal forma que hoje é difícil imaginar qualquer tipo deprojeto de construção que não inclua algum tipo de levantamento.

Topos os tipos de engenheiros, assim como arquitetos, geólogos e silvicultores envolvem-se com a topografia como um recurso de planejamento e idealização de seus projetos. A topografia é necessária para: subdivisões, construções, auto-estradas, estradas de ferro, canais, píeres, desembarcadouros, barragens, redes de drenagens e irrigação, reflorestamento, locação de obras, planejamento urbano, monitoramento de estruturas, entre muitos outros projetos. A topografia também é exigida para as plantas de distribuição de equipamentos industriais, instalação de maquinas, controle das tolerâncias na fabricação de navios e aeronaves, elaboração de mapas florestais e geológicos, entre outras inúmeras aplicações

1.4. Sistemas de Coordenadas

1.4.1. Cartesianas

Quando se posiciona um ponto nada mais está se fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo. Estas coordenadas por sua vez deverão estar referenciadas a um sistema de coordenadas. Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns amplamente empregados em disciplinas como geometria e trigonometria, por

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exemplo. Estes sistemas normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional.

No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas retangulares ou cartesiano. Este é um sistema de eixos ortogonais no plano, constituído de duas retas orientadas X e Y, perpendiculares entre si (figura). A origem deste sistema é o cruzamento dos eixos X e Y.

Y

X

Figura 1 – Sistema de coordenadas cartesianas

Um ponto é definido neste sistema através de uma coordenada denominada abscissa (coordenada X) e outra denominada ordenada (coordenada Y). Um dos símbolos P(x,y) ou P=(x,y) são utilizados para denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y.

Na figura 2 é apresentado um sistema de coordenadas, cujas coordenadas da origem são O (0,0). Nele estão representados os pontos A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).

Figura 2 – Representação de pontos no sistema de coordenadas cartesianas

Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se interceptam em um único ponto, denominado de origem. A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é definida pelas coordenadas cartesianas retangulares (x,y,z) de acordo com a figura 3.

3

Figura 3 – Sistema de coordenadas cartesianas dextrógiro e levógiro

Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um sistema de coordenadas cartesianas pode ser dextrógiro ou levógiro (GEMAEL, 1981, não paginado). Um sistema dextrógiro é aquele onde um observador situado no semi-eixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido anti-horário. Um sistema levógiro é aquele em que o semi-eixo OX coincide com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no sentido horário (figura 3).

1.4.2. Esféricas

Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de forma unívoca, conforme a figura 4, pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo ângulo α que a projeção do segmento OR sobre o plano xy forma com o semi-eixo OX. As coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por (r, α, β). A figura 4 ilustra este sistema de coordenadas.

Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistema de coordenadas cartesianas (TORGE, 1980, p.16). Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano (x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esféricas (r, α, β), sendo o relacionamento entre os dois sistemas obtido pelo vetor posicional:

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P(x,y,z) Q(x,y,z)

Y

X

ZZ

X

Y

Figura 4 – Sistema de coordenadas esféricas

1.5. Forma e dimensões da Terra

A superfície física do nosso planeta é muito irregular, constituída de grandes elevações e depressões - estas alterações são, no entanto, bem pequenas comparadas com as dimensões da Terra - de fato, a maior elevação, o Everest no Himalaia, com aproximadamente 8 850 metros acima do nível do mar, é pouco maior do que o milésimo do raio terrestre. A profundidade máxima oceânica é a fossa das marianas no oceano Pacífico, com aproximadamente 11 000 metros abaixo no nível do mar.

1.6. Superfícies de Referencias

Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua representação, mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Cada um destes modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a figura empregada para a representação da Terra, mais complexos serão os cálculos sobre esta superfície.

1.6.1. Esférica

Em diversas aplicações a Terra pode ser considerada uma esfera, como no caso da Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas são denominadas de latitude e longitude astronômicas. A figura 5 ilustra estas coordenadas.

- Latitude Astronômica (Φ): é o arco de meridiano contado desde o equador até oponto considerado, sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e negativa nohemisfério Sul.- Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador contado desde o meridiano deorigem (Greenwich) até o meridiano do ponto considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich.

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Figura 5 – Modelo Esférico

1.6.2. Geoidal

O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes.

Figura 6 – Geóide Mundial (áreas azuis mais altas e áreas vermelhas mais profundas)

A superfície da terra não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura 7 são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide.

Figura 7 – Superfície física da Terra, geóide e elipsóide

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O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado.

As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical. A figura 8 ilustra este conceito.

Figura 8 – Linha Vertical

1.6.3. Elipsoidal

A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução (figura 9). O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo. Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicional considerar como parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f, expresso pela equação:

f=a−ba

Sendo,a: semi-eixo maior da elipseb: semi-eixo menor da elipse

Figura 9 – Elipsóide de revolução

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As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas:

Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul.

Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste.

A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física.

Figura 10 – Coordenadas Elipsóidicas

No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são:

a = 6.378.137,000 mf = 1/298,257222101

1.6.4. Plana

Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km. Segundo a NBR 13133, as características do sistema de projeção utilizado em Topografia são:

a) as projetantes são ortogonais à superfície de projeção, significando estar o centro de projeção localizado no infinito.

b) a superfície de projeção é um plano normal a vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimetrico o referido datum vertical brasileiro.

c) as deformações máximas inerentes à desconsideração da curvatura terrestre e a refração atmosférica têm as seguintes aproximadas:

ΔL(mm) = - 0,001 L3 (km)Δh (mm) = +78,1 L² (km)Δh´(mm) = +67 L² (km)

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Onde:ΔL = deformação planimetrica devida a curvatura da Terra, em mm.Δh = deformação altimétrica devida a curvatura da Terra, em mm.Δh´ = deformação altimétrica devida ao efeito conjunto da curvatura da Terra e da

refração atmosférica, em mm.L = distância considerada no terreno, em km.

d) o plano de projeção tem a sua dimensão máxima limitada a 80 km, a partir da origem, de maneira que o erro relativo, decorrente da desconsideração da curvatura terrestre, não ultrapasse 1:35000 nesta dimensão e 1:15000 nas imediações da extremidade desta dimensão.

e) a localização planimétrica dos pontos, medidos no terreno e projetados no plano deprojeção, se dá por intermédio de um sistema de coordenadas cartesianas, cuja

origem coincide com a do levantamento topográfico;f) o eixo das ordenadas é a referência azimutal, que, dependendo das particularidades

do levantamento, pode estar orientado para o norte geográfico, para o norte magnético ou para uma direção notável do terreno, julgada como importante. Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma:

Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo);Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira);Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).

Figura 11 - Plano em Topografia

Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o alinhamento de uma rua.

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Figura 12 – Eixos definidos por uma direção notável

1.7. Efeitos da curvatura nas distancias e alturas

A seguir é demonstrado o efeito da curvatura nas distâncias e na altimetria. Na figura 12 tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S’ a projeção desta distância sobre o plano topográfico.

Figura 13 – Efeito da curvatura para a distancia (R=raio da terra=6370 km)

A diferença entre S´e S será dada por:ΔS = S´ – S

Calculando S e S´e substituindo na equação tem-se:

S’ = R tg θ

S = R θ

ΔS = R tgθ - R θ

ΔS = R (tg θ − θ)

Desenvolvendo tg θ em série e utilizando somente os dois primeiros termos:

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onde θ = S/R, logo:

A tabela 1 apresenta valores de erros absolutos e relativos para um conjunto dedistâncias.

Tabela 1 – Efeito da curvatura para diferentes distanciasS(km) ∆s1 0.008 mm10 8.2 mm25 12.8 cm50 1.03 m70 2.81 m

Analisando agora o efeito da curvatura na altimetria, de acordo com a figura 13.

Figura 14 – Efeito da curvatura na altimetria

Através da figura 14 é possível perceber que:

Isolando Δh na equação anterior:

Desenvolvendo em série 1/cos θ e considerando que:

tem-se:

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A tabela 2 apresenta o efeito da curvatura na altimetria para diferentes distâncias.

Tabela 2 – Efeito da curvatura na altimetriaS ∆h

100m 0.8mm500m 20mm1km 78mm

10km 7,8m70km 381,6m

1.8. Sistema de projeção UTM

O sistema de projeção Universal Transversal de Mercator (UTM) é resultado da modificação da projeção da Transversa de Mercator (TM), que também é conhecida como projeção de Gauss Krüger. Esta projeção foi idealizada pelo Belga Gerard Krämer (Mercator) a partir de modificações efetuadas na projeção Gauss, o sistema UTM utiliza como superfície de projeção 60 cilindros transversos e secantes à superfície de referencia. Cada cilindro é responsável pela representação de 6° de amplitude em longitude, contada a partir do antimeridiano de Greenwich. O primeiro fuso UTM situa-se de forma intermediaria entre os meridianos 180° e 174° W, ou seja, 177°.

Figura 15 - Cilindro secante ao Elipsóide de Referencia

Observa-se que os Meridianos Centrais estão localizados nas longitudes múltiplas de 6°, acrescidas de 3°. Sobre este meridiano, as distâncias apresentam-se deformadas segundo o coeficiente de deformação Ko= 0,9996. Portanto, as distancias no terreno serão reduzidas nessa região, à medida que se afasta do MC, para direita ou para esquerda. Esse coeficiente aumenta até atingir o valor Ko=1, sobre as linhas de secância do cilindro com o elipsóide, onde não ocorrem deformações lineares, Afastando-se dos meridianos de secância, o coeficiente aumenta até atingir o valor Maximo, próximo a 1,001 nos meridianos limites do fuso, onde as distancias no terreno são ampliadas. Este valor Ko=1,001 é calculado para as imediações da linha do Equador, sendo que em quaisquer outras latitudes ele tende a diminuir.

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Figura 16 – Divisão de fusos UTM no estado de São Paulo e adjacentes

Cada um dos 60 cilindros possui seu próprio sistema de referencia, tendo como origem a interseção das linhas do Equador com o Meridiano Centras de cada fuso. As abscissas do sistema UTM denominam-se coordenadas E (leste) e assumem o valor 500 000,00 m no MC . À direita de MC, as coordenadas são crescentes (>500 000,00 m), e a esquerda, decrescentes (< 500 000,00 m).

Figura 17 – Sistema de projeção UTM

Um fuso UTM representa os paralelos como linhas retas horizontais e os meridianos como arcos, com concavidade voltada para o MC. Este último é o único meridiano representado como uma linha reta. A malha de coordenadas UTM é definida por linhas

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verticais e horizontais, que se interceptam segundo ângulos retos. Então, na superposição dos reticulados, apenas o MC coincide com um dos eixos coordenados UTM.

O ângulo formado entre uma linha paralela ao MC e uma linha N-S (transformada de meridiano), dá-se o nome de Convergência Meridiana, representada pela letra gama (γ) . Sobre o meridiano central, a convergência meridiana é nula, uma ver que o norte verdadeiro coincide com o norte da quadricula. À medida que se afasta do meridiano central, a convergência meridiana aumenta.

A convergência meridiana é dada por:

C = ∆γ . senφ

Onde: ∆γ é a diferença de longitude entre MC e o ponto considerado Φ é a latitude do ponto

2. Introdução a topografia

2.1. Teoria dos erros de observação

Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas comodireções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros.

As fontes de erro poderão ser:• Condições ambientais: causados pelas variações das condições ambientais, comovento, temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com variação da temperatura.• Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas particulares de observação.• Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma medição, cansaço, etc.

Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser classificados em:

2.1.1. Erros grosseiros

Causados por engano na medição, leitura errada nos instrumentos, identificação de alvo, etc., normalmente relacionados com a desatenção do observador ou uma falha no equipamento. Cabe ao observador cercar-se de cuidados para evitar a sua ocorrência ou detectar a sua presença. A repetição de leituras é uma forma de evitar erros grosseiros.

Alguns exemplos de erros grosseiros: anotar 196 ao invés de 169, engano na contagem de lances durante a medição de uma distância com trena.

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2.1.2. Erros sistemáticos

São aqueles erros cuja magnitude e sinal algébrico podem ser determinados, seguindo leis matemáticas ou físicas. Pelo fato de serem produzidos por causas conhecidas podem ser evitados através de técnicas particulares de observação ou mesmo eliminados mediante a aplicação de fórmulas específicas. São erros que se acumulam ao longo do trabalho.

Exemplo de erros sistemáticos, que podem ser corrigidos através de fórmulas específicas: efeito da temperatura e pressão na medição de distâncias com medidor eletrônico de distância, correção do efeito de dilatação de uma trena em função da temperatura.

Um exemplo clássico apresentado na literatura, referente a diferentes formas de eliminar e ou minimizar erros sistemáticos é o posicionamento do nível a igual distância entre as miras durante o nivelamento geométrico pelo método das visadas iguais, o que proporciona a minimização do efeito da curvatura terrestre no nivelamento e falta de paralelismo entre a linha de visada e eixo do nível tubular.

2.1.3. Erros aleatórios

São aqueles que permanecem após os erros anteriores terem sido eliminados. São erros que não seguem nenhum tipo de lei e ora ocorrem num sentido ora noutro, tendendo a se neutralizar quando o número de observações é grande. De acordo com GEMAEL (1991, p.63), quando o tamanho de uma amostra é elevado, os erros acidentais apresentam uma distribuição de freqüência que muito se aproxima da distribuição normal. Exemplo de erros acidentais: inclinação da baliza na hora de realizar a medida e erro de pontaria na leitura de direções horizontais

Algumas peculiaridades dos erros acidentais são: • Erros pequenos ocorrem mais freqüentemente do que os grandes, sendo mais

prováveis;• Erros positivos e negativos do mesmo tamanho acontecem com igual freqüência, ou

não igualmente prováveis;• A média dos resíduos é aproximadamente nula;• Aumentando o número de observações, aumenta a probabilidade de se chegar

próximo ao valor real.

2.1.4. Correção de erros

A teoria dos erros tem como objetivo estabelecer um método seguro e conveniente para estabelecermos o valor mais aceitável de uma medida, uma vez que qualquer medida q se faça está isenta de perfeição

Erro verdadeiro é o afastamento q existe entre o verdadeiro valor de uma grandeza e uma medida qualquer que se obtenha da mesma grandeza. O erro verdadeiro é dado por:

E= valor verdadeiro - valor da medida

Erro aparente é o afastamento que existe entre o valor mais aceitável que se tomou para definir uma grandeza e uma medida qualquer:

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V=valor mais aceitável – valor da medida

Erro médio aritmético é obtido através da somatória em módulo dos erros aparentes dividido pelo numero de medidas:

Ema=Σ|v|/n

Erro médio quadrático é o afastamento mais adequado entre o valor real x da grandeza que se mede e o seu valor mais provável.

Erro médio quadrático da média aritmética se dá pela média aritmética simples entre os valores das medidas.

2.1.5. Precisão e Exatidão (acurácia)

A precisão está ligada a repetibilidade de medidas sucessivas feitas em condições semelhantes, estando vinculada somente a efeitos aleatórios.

A acurácia expressa o grau de aderência das observações em relação ao seu valor verdadeiro, estando vinculada a efeitos aleatórios e sistemáticos. A figura 18 ilustra estes conceitos.

Figura 18 - Precisão e acurácia.

O seguinte exemplo pode ajudar a compreender a diferença entre eles: um jogador de futebol está treinando cobranças de pênalti. Ele chuta a bola 10 vezes e nas 10 vezes acerta a trave do lado direito do goleiro. Este jogador foi extremamente preciso. Seus resultados não apresentaram nenhuma variação em torno do valor que se repetiu 10 vezes. Em compensação sua acurácia foi nula. Ele não conseguiu acertar o gol, “verdadeiro valor”, nenhuma vez.

2.2. Sistema de unidades

A origem do metro ocorreu em 1791 quando a Academia de Ciências de Paris o definiu como unidade padrão de comprimento. Sua dimensão era representada por 1/10.000.000 de um arco de meridiano da Terra.

Em 1983, a Conferência Geral de Pesos e Medidas estabeleceu a definição atual do “metro” como a distância percorrida pela luz no vácuo durante o intervalo de tempo de 1/299.792.458 s.

O metro é uma unidade básica para a representação de medidas de comprimento no sistema internacional (SI).

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Tabela 3 - Prefixos.

Nome Valor Numérico SímboloDeca 101 dadeci 10-1 d

Hecto 102 Hcenti 10-2 cKilo 103 Kmili 10-3 m

Mega 106 Mmicro 10-6 μGiga 109 Gnano 10-9 nTera 1012 Tpico 10-12 p

2.3. Escalas

É comum em levantamentos topográficos a necessidade de representar no papel certa porção da superfície terrestre. Para que isto seja possível, teremos que representar as feições levantadas em uma escala adequada para os fins do projeto. De forma simples, podemos definir escala com sendo a relação entre o valor de uma distância medida no desenho e sua correspondente no terreno. A NBR 8196 (Emprego de escalas em desenho técnico: procedimentos) define escala como sendo a relação da dimensão linear de um elemento e/ou um objeto apresentado no desenho original para a dimensão real do mesmo e/ou do próprio objeto.

Normalmente são empregados três tipos de notação para a representação da escala:

E= 1M

= dD

onde:M = denominador da escala;d = distância no desenho;D = distância no terreno.

As escalas mais comumente usadas em topografia são: 1:250, 1:200, 1:500 e 1:1000A escala gráfica deve oferecer rapidamente e sem cálculos o valor real das medidas

executadas sobre o desenho, qualquer que tenha sido a redução ou ampliação sofrida por este.

A contrução de uma escala gráfica deve obedecer os seguintes critérios: Conhecer a escala nominal da planta Conhecer a unidade e o intervalo de representação desta escala Traçar uma linha reta AB de comprimento igual ao intervalo da escala da

planta Dividir este segmento em 5 ou 10 partes iguais

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Determinar a precisão gráfica da escala

Por exemplo, uma planta que tenha escala 1:1000 e o intervalo de representação de 1 metro, a escala gráfica correspondente terá o seguinte aspecto:

Figura 19 – Representação de escala

2.4. Conceitos básicos

Plano topográfico é um plano normal à vertical do lugar no ponto da superfície terrestre considerado como origem do levantamento, sendo seu referencial altimétrico referido no datum vertical.

Ponto topográfico é uma posição em destaque, estrategicamente localizado na superfície terrestre.

Pontos cotados são representações gráficas de pontos, acompanhados de sua altura.Pontos de apoio são pontos físicos (materializados) convenientemente distribuídos de

forma com que auxiliem o levantamento topográfico.Pontos de detalhe são pontos importantes nos acidentes naturais ou artificiais q

definem formas do detalhe ou relevo, indispensável à sua representação gráfica.Alinhamento topográfico se define por dois pontos topográficos e servem de origem

para o levantamento dos detalhes da superfície.Levantamento topográfico é o conjunto de atividades dirigidas para as medições e

observações que se destinam a representação do terreno em um plano ou desenho topográfico em escala.

Tem como finalidade: Controle, pois oferece dados suficientes para a utilização em outros

levantamentos topográficos de ordem inferior; Cadastral, destina-se o levantamento, detalhamento e avaliação de áreas

rurais ou urbanas, busca-se enfatizar a quantificação da ocupação humana e suas intervenções;

Engenharia, empregado na locação, instalação e contrução de obras de engenharia;

Topográfica, pois trás o levantamento da superfície da terra, seus acidentes e configurações.

O levantamento topográfico é planimétrico quando as projeções dos contornos e pontos medidos são representados sobre um plano básico horizontal de referencia.

O levantamento topográfico é dito altimétrico quando são medidas as alturas desses pontos com relação a um plano de referencia de nível. Para levantamento planimétrico são empregados principalmente os teodolidos, que são goniômetros com círculos horizontais e verticais graduados.

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Um levantamento topográfico pode ainda ser planialtimétrico, quando um levantamento planimétrico é acrescido da determinação altimétrica do relevo do terreno e da frenagem natural.

2.5. Equipamentos topográficos

2.5.1. TripéTem finalidade de apoiar o teodolito ou estação total

Figura 20 – Tripés armazenados2.5.2. Teodolito

Instrumento destinado a medir ângulos horizontais e verticais. Podem ser mecânicos ou eletrônicos.

Figura 21 – Teodolito e tripé em campo

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Figura 22– Teodolito no case

2.5.3. Fio de prumoInstrumento para detectar a vertical do lugar onde está se realizando o

levantamento. Pode ser adaptado num prisma ortogonal ou num tripé.

2.5.4. TrenaÉ uma fita de pano oleado em que estão ligados ao próprio tecido fios

de arame muito fino, para lhes dar consistência e invariabilidade de comprimento. Podem ser de fibra, aço ou lona.

Seu comprimento é variável de 10 a 50 metros, na pratica usa-se a trena de 20 metros.É importante aferir a trena ocasionalmente, para evitar erros.

A trena de aço oferece maior precisão nas medidas, pois é constituída de uma lamina de aço inoxidável ou não, de 10 a 12 mm de largura e com divisão métrica em cm.

Figura 23– Trena de 20 metros2.5.5. Baliza

Para demarcar ou balizar um alinhamento no terreno é preciso fazer uso de balizas, que podem ser tanto de madeira como de tubo de aço.

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Uma baliza de madeira é uma haste bem reta, sextavada, ou oitavada, com 2 metros de comprimento, de madeira leve e resistente, terminada em ponta guarnecida de ferro, dividida e pintada de branco e encarnado, de 50 em 50 cm ou de 20 em 20 cm. Uma baliza de cano de aço usada de preferência, tem 2 m de comprimento, 16 a 20 mm de diâmetro e é pintada do mesmo modo que a de madeira.

Figura 24 – Baliza desrosqueada para guardar

Para se manter uma baliza bem a prumo, deve-se segura-la levemente com as pontas dos dedos das mãos e em coincidência com a tacha da piqueta, atento ao sinal do operador no instrumento.

A baliza deve estar perfeitamente verticalizada, por isso a importância no nível de cantoneira.

Figura 25 – Modo correto e modo incorreto, gerando erro na medida

2.5.6. Piquete e Estaca

Peças de madeira que são cravadas no terreno para a determinação dos pontos visados. O piquete, com tamanho variando de 15 a 30 cm é cravado na posição do ponto visado com parte dele (cerca de 3 a 5 cm) permanecendo visível, sendo que sua principal função é a materialização de um ponto topográfico no terreno

A estaca tem função de deixar o ponto em que esta o piquete mais visível, tem de 20 a 40 cm, é cravada a um raio de 50 cm do piquete, com a parte chanfrada voltada ao piquete, indicando o nome ou numero do piquete.

Figura 26 – Piquete e estaca

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2.5.7. Nível

Instrumento destinado a gerar um plano horizontal de referencia para calcular os desníveis entre pontos. Porem ser automáticos ou digitais.

Figura 27 – Modelo de nível

2.5.8. Mira

Instrumento para medir a distância vertical de um ponto até o plano horizontal do nível. Para os níveis digitais, a mira deve ser com códigos de barras.

Figura 28 - Mira

2.5.9. Sapata para nivelamento

Instrumento utilizado para apoiar a mira.

2.5.10. Nível de Cantoneira

Instrumento utilizado para detectar a vertical de outro instrumento. Pode ser adaptado numa baliza ou numa mira.

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Figura 29 – Níveis de cantoneira

2.5.11. Distanciômetro

Instrumento destinado a medir distâncias inclinadas

2.5.12. Bastão

Instrumento que serve para elevar o ponto topográfico com o objetivo de torna-lo visível. Possui encaixe para adaptação de prisma ou antena GPS.

2.5.13. Prisma

Instrumento destinado à reflexão do sinal emitido por um distanciômetro ou uma estação total.

Figura 30 – Prisma com bastão

2.5.14. Termômetro

Instrumento usado para medir a temperatura, importante para a correção de valores obtidos no levantamento.

2.5.15. Barômetro

Instrumento usado para medir a pressão atmosférica, importante para correção de valores obtidos no levantamento.

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2.5.16. Estação Total ou Taqueômetro Eletrônico

Instrumentos eletrônicos para medida de ângulos e distancias inclusive armazenamento de dados coletados execução de cálculos em campo.

Figura 31 – Estação total

2.5.17. Bússola

Instrumento que se utiliza para a determinação no norte magnético, direções e ângulos horizontais. Uma bússola consiste essencialmente de uma agulha magnetizada, livremente suportada no centro de um círculo horizontal graduado, também conhecido como limbo.

2.5.18. Rádio de comunicação

Instrumento para comunicação entre os operadores do levantamento.

Figura 32 – Radio de comunicação

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3. Planimetria

3.1. Medidas lineares

A medição de distâncias sobre um terreno é problema fundamental para os levantamentos topográficos, para o planejamento e implantação de obras.

Em um trecho plano realiza-se a medida simples, apenas esticando uma trena entre os pontos a serem medidos.

Se o trecho a ser medido não for plano, não permitindo medida direta, procede-se da mesma forma, porém em sucessivos segmentos, obtendo assim distancia total por somatória de segmentos de distancia.

3.1.1. Direta, Indireta e Eletrônica Medida direta é aquela que se percorre a grandeza medindo com trena,

diastímetro ou outra medida padrão. Embora mais lenta que a medida indireta, o processo direto de medida de distancia permite obter melhor precisão. Durante a medição direta com trena PE comum o uso de baliza, neveis de cantoneira, piquetes entre outros.

Medida Indireta é aquela em que a distancia é calculada em função da medida de outras grandezas, não havendo necessidade de percorrer a distancia para medir e comparar coma grandeza padrão. Na estadimetria, a distancia é geralmente obtida através de um triangulo retângulo ou um triangulo isósceles, utilizando-se semelhança de triângulos (teorema de Tales).

Medida eletrônica é aquela q utiliza equipamento eletrônico de medição de distancia, chamados distanciometros eletrônicos. Com esse tipo de equipamento se atinge ma precisão bem maior do que utilizando outro método. Medidas antes impossíveis ou sem alcance óptico podem ser obtidas diretamente pelos medidores eletrônicos de distancia.

3.2. Medidas Angulares

3.2.1. Horizontal e VerticalÂngulo horizontal é o ângulo entre projeções ortogonais de duas direções em um

plano horizontal – ângulo diedroÂngulo vertical é o ângulo de uma direção com a vertical ou horizontal

3.2.2. Azimute, Rumo e TransformaçõesAzimute é o ângulo de um alinhamento com a linha Norte-Sul, apresentando como

origem a direção do norte e grandeza variável de 0° a 360°.

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Figura 33 – Representação do azimute

Azimute recíproco trata-se de um alinhamento em sentido contrario, ou seja, um azimute BA é dito azimute recíproco de um azimute AB, os quais diferem 180°.

Rumo é o ângulo entre o alinhamento e a linha Norte-Sul, apresentando como origem a direção norte ou sul e com grandeza variável de 0° a 90°, com indicação de quadrante em que ele está situado (NE, SE, SW ou NW).

Figura 34 – Representação do rumo

Sempre que possível é recomendável a transformação dos rumos em azimutes, tendo em vista a praticidade nos cálculos de coordenadas, por exemplo, e também para a orientação de estruturas em campo.

Figura 35 – Representação do rumo em função do azimute

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3.3. Orientação

3.3.1. Magnético e Verdadeiro (geográfico)

O planeta Terra pode ser considerado um gigantesco imã, devido a circulação da corrente elétrica em seu núcleo formado de ferro e níquel em estado líquido. Estas correntes criam um campo magnético ao redor da terra com a forma aproximada do campo magnético ao redor de um imã de barra. Esse campo magnético exerce uma força de atração sobre a agulha da bussola, fazendo com que a mesma entre em movimento e se estabilize quando sua ponta imantada estivar apontando para o norte magnético.

Figura 36 – Campo magnético ao redor da terra

Nos levantamentos geodésicos o nos topográficos de precisão é obrigatório a orientação em relação ao meridiano geográfico. Os levantamentos topográficos ordinários ,de extensões relativamente reduzidas e uso mais imediato, podem ser referidos ai meridiano magnético.

Uma planta está devidamente orientada quando nela está representado o traço do meridiano geográfico ou do meridiano magnético da região, ou de ambos.

Como o eixo terrestre não coincide com o eixo geográfico, há muita diferença entre a indicação do pólo norte magnético dado pela bússola e a posição do pólo norte geográfico,denominada de declinação magnética.

A determinação do Norte verdadeiro, fundamentada em determinações astronômicas e utilizando o sistema GPS ou um giroscópio, é mais precisa que a técnica que se baseia na determinação do Norte magnético para uma posterior transformação. Esta técnica deve ser evitada, independente da precisão solicitada, quando se aplica em locais onde existe exposição de rochas magnetizadas que por ventura possam induzir a uma interpretação errônea por suas influências sobre a agulha imantada da bússola.

3.3.2. Declinação magnética

Declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano verdadeiro e o meridiano magnético; ou também pode ser identificado como desvio entre o azimute ou rumo verdadeiros e os correspondentes magnéticos (figura ???). Varia com o tempo e com a posição geográfica, podendo ser ocidental (δW), negativa quando o Pólo magnético estiver a Oeste (W) do geográfico e oriental (δE) em caso contrário. Atualmente, em nosso país a declinação é negativa, logo ocidental.

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Figura 37 - Representação da Declinação Magnética.

A representação da declinação magnética em cartas é feita através de curvas de igual valor de variação anual em graus (curvas isogônicas) e curvas de igual variação anual em minutos (curvas isopóricas). A interpolação das curvas do grau e posteriormente no minuto, para uma dada posição na superfície física da Terra, nos permite a determinação da declinação magnética com precisão na ordem do minuto.

No Brasil o órgão responsável pela elaboração das cartas de declinação é o Observatório Nacional e a periodicidade de publicações da mesma é de 10 anos.

Para que se possa calcular a declinação magnética para um determinado ponto da superfície física da terra são necessários alguns dados preliminares, tais como:

- Latitude geográfica (φ);- Longitude geográfica (λ);- Carta de declinação magnética da região em questão.De posse destes dados, listados a cima e utilizando a equação, é possível obter a

declinação magnética para a região em questão.

D = Cig + [(A + fa) . Cip]

Onde:D : Valor da declinação magnética;Cig : Valor interpolado da curva isogônica;

4. Levantamentos Planimétricos

4.1. Levantamento planimétrico

Durante um levantamento topográfico, normalmente são determinados pontos de apoio ao levantamento (planimétricos, altimétricos ou planialtimétricos) e a partir destes são levantados os demais pontos que permitem representar a área levantada. A primeira etapa é conhecida como estabelecimento do apoio topográfico e a segunda de levantamento de detalhes.

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Os levantamentos panimetricos podem ser classificados quanto a sua importância e precisão:

Métodos primários: cuidam do levantamento do conjunto. São estes: triangulação, interseção caminhamento e deflexão

Métodos Secundários: cuidam do levantamento de detalhes, ou seja, dos pontos que caracterizam os acidentes, são apoiados no levantamento principal. São estes: irradiação e coordenadas retangulares

Métodos Auxiliares: determinam detalhes de menor importância, cuja representação dispensa um levantamento mais cuidadoso. São estes: alinhamento e decomposição em triângulos.

Os princípios matemáticos que regem estes métodos são as coordenadas polares, coordenadas bipolares, coordenadas retangulares e medida de várias distancias.

A medição de uma distancia deverá ser feita pelo menos de duas formas diferentes (ida e volta) comparando a diferença em função da precisão do equipamento utilizado, O valor mais provável é a média das medidas obtidas.

Para medidas de ângulos, deverá ser feito no mínimo duas medidas pelo método de leituras conjugadas (direta e inversa).

O ângulo medido deverá ser verificado em campo. Entre os métodos de verificação temos:

Fechamento em 360° Repetição Ângulo duplo Reiteração

A reiteração consiste em medir o ângulo em posições diferentes do limbo e em ambas as posições do instrumento, não sendo necessário zerar o aparelho. A reiteração simples pode ser de duas maneiras:

Reiteração simples: é efetuada em uma única posição do limbo em apenas uma série de leituras.

Reiteração múltipla: é quando a leitura do ângulo é efetuada em varias posições do limbo. Cada posição denomina-se de série.

As fases do levantamento planimétrico são: Reconhecimento do terreno Levantamento da poligonal Levantamento de detalhes

4.2. Método de levantamento planimétrico

Os métodos mais utilizados na determinação das coordenadas de um ponto topográfico a partir de um ou mais pontos conhecidos são:

4.2.1. Irradiação ou coordenadas polares

A irradiação é o procedimento mais utilizado para “amarrar” pontos de detalhes a um sistema de referencia por meio da medição de uma direção e uma distância.

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Y=NXB-XA

YB B AzBA

YB-YA

AzAB

YA

AX

XA XB

Figura 38 – Coordenadas de um ponto a partir de outro

Na figura pode-se ver que se conhecermos as coordenadas do ponto A = (XA,YA) será suficiente medir no ampo a distancia AB (DAB) e o azimute AB (AzAB) para que se possa calcular as coordenadas do ponto B=(XB,YB).

Sendo ∆X a diferença de abscissas entre os pontos e ∆Y a diferença de ordenadas, temos:

∆XAB=DAB.sen(AzAB)∆YAB=DAB.cos(AzAB)

Logo,

XB=XA+DAB.sen(AzAB)YB=YA+DAB.cos(AzAB)

A formula mostra que é possivel determinar as coordenadas de um pondo a partir de outro, medindo a distancia entre eles e o azimute do alinhamento.

Por outro lado, se conhecermos as coordenadas dos pontos, é possível calcular a distancia dentre eles e o azimute do alinhamento, que eles formam.

A distancia entre dois pontos A e B será:

DAB=√ (X B−X A) ²+(Y B−Y A)²

O calculo do azimute de um alinhamento dado pelas coordenadas de dois pontos é dado por:

AzAB=arctan(XB−X AY B−Y A

)

Para um mesmo valor de tangente existem dois ângulos correspondentes. Se positivo, o ângulo será do I ou III quadrante trigonométrico, se negatico, será do II ou IV quadrante trigonométrico (diferença de 180°).

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4.2.2. Caminhamento perimétrico ou poligonação

A poligonação é um dos métodos mais empregados para a determinação de coordenadas de pontos em Topografia, principalmente para a definição de pontos de apoio planimétricos. Uma poligonal consiste em uma série de linhas consecutivas onde são conhecidos os comprimentos e direções, obtidos através de medições em campo. O levantamento de uma poligonal é realizado através do método de caminhamento, percorrendo-se o contorno de um itinerário definido por uma série de pontos, medindo-se todos os ângulos, lados e uma orientação inicial (figura 39). A partir destes dados e de uma coordenada de partida, é possível calcular as coordenadas de todos os pontos que formam esta poligonal.

Figura 39 – Levantamento de uma poligonal

Utilizando-se uma poligonal é possível definir uma série de pontos de apoio ao levantamento topográfico, a partir dos quais serão determinadas coordenadas de outros pontos, utilizando, por exemplo, o método de irradiação a ser visto posteriormente. A NBR 13133 (ABNT, 1994) classifica as poligonais em principal, secundária e auxiliar:

• Poligonal principal: poligonal que determina os pontos de apoio topográfico de primeira ordem;

• Poligonal secundária: aquela que, apoiada nos vértice da poligonal principal determina os pontos de apoio topográfico de segunda ordem;

• Poligonal auxiliar: poligonal que, baseada nos pontos de apoio topográfico planimétrico, tem seus vértices distribuídos na área ou faixa a ser levantada, de tal forma que seja possível coletar, direta ou indiretamente, por irradiação, interseção ou ordenadas sobre uma linha de base, os pontos de detalhes julgados importantes, que devem ser estabelecidos pela escala ou nível de detalhamento do levantamento. As poligonais levantadas em campo poderão ser fechadas, enquadradas ou abertas.

• Poligonal fechada: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e retorna ao mesmo ponto (figura 40). Sua principal vantagem é permitir a verificação de erro de fechamento angular e linear.

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Figura 40 – Poligonal Fechada

• Poligonal enquadrada: parte de dois pontos com coordenadas conhecidas e acaba em outros dois pontos com coordenadas conhecidas (figura 41). Permite a verificação do erro de fechamento angular e linear.

Figura 41 – Poligonal Enquadrada

• Poligonal aberta: parte de um ponto com coordenadas conhecidas e acaba em um ponto cujas coordenadas deseja-se determinar (figura 42). Não é possível determinar erros de fechamento, portanto devem-se tomar todos os cuidados necessários durante o levantamento de campo para evitá-los.

Figura 42 – Poligonal aberta

Para o levantamento de uma poligonal é necessário ter no mínimo um ponto com coordenadas conhecidas e uma orientação. Segundo a NBR 13133 (ABNT, 1994 p.7), na hipótese do apoio topográfico vincular-se à rede geodésica (Sistema Geodésico Brasileiro – SGB), a situação ideal é que pelo menos dois pontos de coordenadas conhecidas sejam comuns (figura 43). Neste caso é possível, a partir dos dois pontos determinar um azimute de partida para o levantamento da poligonal.

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Figura 43 - Dois pontos com coordenadas conhecidas e vinculadas ao SGB comuns apoligonal

Estes dois pontos não necessitam serem os primeiros de uma poligonal.

Figura 44- Pontos com coordenadas conhecidas entre pontos da poligonal

Outros casos podem ocorrer:• Um vértice do apoio topográfico coincide com um dos vértices da poligonal e é

possível observar outro ponto para a obtenção do azimute de partida.

Figura 45 – Um vértice de apoio pertencente a poligonal e observação a um segundovértice

• Um vértice, sem ser possível observar outro ponto. Determina-se o Norte geográfico com precisão compatível à precisão do levantamento.

Figura 46– Norte Geográfico e um ponto com coordenadas conhecidas

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• Nenhum ponto referenciado ao SGB faz parte da poligonal, porém existem pontos próximos a poligonal de trabalho. Neste caso efetua-se o transporte de coordenadas através de uma poligonal de apoio.

Figura 47 – Transporte de coordenadas utilizando uma poligonal de apoio

• Nenhum ponto referenciado ao SGB faz parte da poligonal, porém existem alguns pontos próximos a poligonal de trabalho permitindo que, através do problema de Pothénot, sejam determinadas as coordenadas de um ponto da poligonal (figura 48).

Figura 48 – Problema de Pothénot.

• Como caso mais geral e menos recomendado, são atribuídas coordenadas arbitrárias para um vértice e determinado o Norte geográfico por Astronomia ou utilizando um giroscópio. Se isto não for possível, determina-se a orientação através do Norte magnético.

• É possível ainda ter o eixo Y orientado segundo uma direção qualquer como o alinhamento de um meio fio. Deve ser indicada a direção do Norte geográfico ou magnético.

Um dos elementos necessários para a definição de uma poligonal são os ângulos formados por seus lados. A medição destes ângulos pode ser feita utilizando técnicas como pares conjugados, repetição ou outra forma de medição de ângulos. Normalmente são determinados os ângulos externos ou internos da poligonal. Também, é comum realizar a medida dos ângulos de deflexão dos lados da poligonal.

Figura 49 – Ângulos internos e externos de uma poligonal fechada

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O sentido de caminhamento para o levantamento da poligonal será considerado como sendo o sentido horário. Dois conceitos importantes a saber: estação ré e estação vante. No sentido de caminhamento da poligonal, a estação anterior a estação ocupada denomina-se de estação RÉ e a estação seguinte de VANTE (figura 50).

Figura 50 – Estação Ré e Vante.

Neste caso os ângulos determinados são chamados de ângulos horizontais horários (externos) e são obtidos da seguinte forma: estaciona-se o equipamento na estação onde serão efetuadas as medições, faz-se a pontaria na estação ré e depois faz-se a pontaria na estação vante. O ângulo horizontal externo será dado por:

ângulo = leitura de vante – leitura de ré

Deve-:se tomar o cuidado de posicionar exatamente sobre o alvo o fio de retículo vertical, visto que este será a referência para a medida do ângulo horizontal.

Os comprimentos dos lados da poligonal são obtidos utilizando-se trena, taqueometria ou estação total, sendo este último o método mais empregado atualmente. Não se deve esquecer que as distâncias medidas devem ser reduzidas a distâncias horizontais para que seja possível efetuar o cálculo das coordenadas.

4.3. Cálculo de áreas

Os métodos mais utilizados para o calculo da área dos polígonos são:

4.3.1. Método gráfico

Este método consiste em dividir o polígono em figuras geométricas conhecidas, geralmente triângulos. Com uma escala obtêm-se as distancias individualmente, que somadas fornecem a área total do polígono. Para se obter mais segurança usa-se repetir o calculo distribuindo as figuras geométricas conhecidas de formas diferentes.

4.3.2. Método mecânico

Existem três tipos de métodos mecânicos para a obtenção da área de um polígono, são eles:

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4.3.2.1. PlanímetroÉ um instrumento que deslizando-o pelo contorno do polígono registra um valor que multiplicado por uma constante fornece a área do polígono. Deve-se fazer cinco leituras para se obter a média.

4.3.2.2. Balança de precisãoConsiste na pesagem de um papel cortado com a área do polígono desejado, e a pesagem de um papel de área conhecida, por regra de três obtém-se a área do polígono.

4.3.2.3. Mesa digitalizadoraUtilizando um computador, desliza-se o mouse sobre o contorno do polígono clicando varios pontos que ficam registrados num programa de computador e ao termino da digitalização obtém-se a área diretamente na tela.

4.3.3. Método trigonométrico

O método trigonométrico para irradiações é um método de precisão, pois depende do desenho da área. Calcula-se cada triangulo independentemente, pois o levantamento por irradiação é feito medindo dois lados do triangulo e o ângulo formado entre eles.

A fórmula para encontrar a área é:

A=( L1 x L2 x sen) /2

4.3.4. Método analítico

A partir dos dados medidos em campo (ângulos e distâncias), orientação inicial e coordenadas do ponto de partida, é possível calcular as coordenadas de todos os pontos da poligonal. Inicia-se o cálculo a partir do ponto de partida (costuma-se empregar a nomenclatura OPP para designar o ponto de partida). A figura 51 ilustra o processo de cálculo.

Figura 51 – Cálculo das coordenadas.Onde: Az: Azimute da direção OPP-P1; d: distância horizontal entre os pontos OPP e P1;Xo e Yo: Coordenadas do ponto OPP;X1 e Y1: Coordenadas do ponto P1.

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As coordenadas do ponto P1 serão dadas por:X1 = Xo + ΔXY1 = Yo + ΔY

Onde ΔX e ΔY são calculados por:ΔX = d . sen (Az)ΔY = d . cos (Az)

A partir da coordenada do ponto P1 será possível calcular a coordenada do próximoponto e assim por diante. De posse de todas as coordenadas dos pontos do polígono,

encontra-se a área deste de maneira simples.

4.3.5. Método da dupla distancia

Seja uma poligonal da qual são conhecidas as coordenadas dos vértices e as projeções dos lados sobre os eixos X e Y. Projetando-se os lados do polígono sobre o eixo X, as áreas dos trapézios limitados por cada um dos lados e sua projeção resultará do produto da ordenada média pela abscissa relativa. Nestas condições, a área total do polígono é a soma algébica de toas as áreas parciais.

4.4. Erro de fechamento de poligonais

Para a poligonal fechada, antes de calcular o azimute das direções, é necessário fazer a verificação dos ângulos medidos. Uma vez que a poligonal forma um polígono fechado é possível verificar se houve algum erro na medição dos ângulos. Em um polígono qualquer, o somatório dos ângulos externos deverá ser igual a:

Somatório dos ângulos medidos = (n + 2) . 180°

E o somatório dos ângulos internos será:

Somatório dos ângulos medidos = (n - 2) . 180°

onde n é o número de estações da poligonal

O erro angular (Ea) cometido será dado por:

Ea = Somatório dos ângulos medidos – (n+2).180°

Para ângulos internos o somatório dos mesmos deverá ser igual ao número de estações menos dois, multiplicado por 180°.

Este erro terá que ser menor que a tolerância angular (a), que pode ser entendida como o erro angular máximo aceitável nas medições. Se o erro cometido for menor que o erro aceitável, deve-se realizar uma distribuição do erro cometido entre

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as estações e somente depois realizar o cálculo dos azimutes. É comum encontrar a seguinte equação para o erro maximo admissível de fechamento angular:

Ea = K.en.√ N

onde N é o número de ângulos medidos na poligonal K é o coeficiente de majoração variável de 1 a 3.

E a equação do erro maximo admissível de fechamento linear é dado por:

EL = K.em.√ L

onde L é o somatório dos comprimentos dos lados ou perímetro da poligonal (apoiada ou fechada)

K é o coeficiente de majoração

Caso o erro cometido seja maior que o erro tolerável é necessário refazer as medições angulares.

Quando a pontaria for realizada sobre uma baliza deve-se tomar o cuidado de posicionar o retículo vertical exatamente sobre o eixo da baliza, considerando-se que a mesma encontra-se perfeitamente na vertical. Do ponto de vista prático, quando a baliza está próxima ao equipamento, a chance de cometer um erro de pontaria é maior, conforme ilustra a figura 52.

Figura 52 – Pontaria em baliza próxima ao equipamento e longe.

Assim, um critério utilizado para a eliminação do erro angular cometido é distribuí-lo nos ângulos formados pelos menores lados da poligonal. Outro critério empregado é distribuir proporcionalmente o erro para cada estação. Em qualquer um dos casos, a correção calculada não deve ser inferior à precisão com que foram realizadas as medições.

Como a orientação é determinada apenas para uma direção da poligonal, é necessário efetuar o cálculo dos azimutes para todas as demais direções da poligonal. Isto é feito utilizando os ângulos horizontais medidos em campo.

A partir do ponto de partida (0PP), calculam-se as coordenadas dos demais pontos até retornar ao ponto de partida. A diferença entre as coordenadas calculadas e as fornecidas para este ponto resultará no chamado erro planimétrico ou erro linear cometido (figura 9.19).

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Como os ângulos foram ajustados, este erro será decorrente de imprecisões na medição das distâncias.

Figura 53 – Erro PlanimétricoO erro planimétrico pode ser decomposto em uma componente na direção X e outra

na direção Y (figura 54).

Figura 54 – Decomposição do erro planimétrico.

Os valores de eX e ey podem ser calculados por:

onde: XOPPC e YOPPC são as coordenadas calculadas;XOPP e YOPP são as coordenadas fornecidas.

O erro planimétrico Ep será dado por:

É necessário verificar se este erro está abaixo de uma determinada tolerância linear. Normalmente esta é dada em forma de escala, como por exemplo, 1:1000. O significado disto é que, em uma poligonal com 1000 m o erro aceitável seria de 1 m. Para calcular o erro planimétrico em forma de escala utilizam-se as seguintes fórmulas:

onde Σd é o perímetro da poligonal (somatório de todas as distâncias da poligonal)

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4.5. Memorial descritivo

Entende-se por memorial descritivo o relatório ou a narração descrita sobre os fatos que se realizam ou atos que se executaram em cumprimento dos objetivos desejados.O memorial descritivo refere-se precisamente ao relatório que deve ser apresentado pelo engenheiro, após a execução dos trabalhos que tenha realizado em cumprimento do que lhe foi cometido. Este deve conter a descrição da propriedade, incluindo:

O nome da propriedade, nome do proprietário, localização A descrição do perímetro citando distâncias e ângulos entre alinhamentos O nome dos confrontantes em cada trecho A área abrangida, data, assinatura, nome e registro do profissional

responsável pelo levantamento

4.6. Planilha para calculo analítico

A planilha é a disposição metódica para calculo analítico das coordenadas obtidas em campo anotadas em uma caderneta.

Tabela 3 – Exemplo de dados obtidos em campo organizados na Caderneta

EST. hi

P.V.(RV VR)

ÂNGULOS HORIZONTAIS ÂNGULOS VERTICAIS

LIDOS AJUSTE/COLIMAÇÃO LIDOS

1A1,32m

4DIR.

295°38’45” α1 96°42’15” A2 32°21’00”

α 96°42’15”B

2INV.

212°21’00” C 90°15’00”4 115°38’45” α2 96°42’15” D 91°50’09”

2A1,36m

1DIR.

217°00’06” α1 114°04’43” A 271°34’03”3 331°04’49”

α 114°04’43”B

3INV.

151°04’49” C 91°53’24”1 37°00’06” α2 114°04’43” D

3A1,35m

2DIR.

25°51’12” α1 63°27’18” A 269°30’20”4 89°18’30”

α 63°27’18”B

4INV.

269°18’30” C 91°16’45”2 205°51’12” α2 63°27’18” D

4A1,25m

3DIR.

124°58’21” α1 85°45’49” A1 210°44’10”

α 85°45’49”B 269°14’45”

1INV.

30°44’10” C3 304°58’21” α2 85°45’49” D 90°06’48”

Os registros são feitos em uma folha apropriada. Existem vários modelos de planilha de calculo. Será abordada a planilha de calculo analítico reduzida (manual) e a planilha de calculo analítico para Excel.

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