topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji
DESCRIPTION
Topologija - mogu ć nosti primene u arhitektonskoj geometriji. Srđan Vukmirović Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu. Arhitektonski fakultet Beograd, 1. april 2011. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Topologija - mogućnosti primene u arhitektonskoj geometriji
Srđan Vukmirović
Matematički fakultetUniverzitet u Beogradu
Arhitektonski fakultet
Beograd, 1. april 2011.
Šta je topologija?
Topologija je matematička disciplina koja se bavi osobinama objekata koje se ne menjaju pri deformacijama (tzv. homeomorfizmi) koje “ne kidaju i ne lepe”, odnosno čuvaju okolinu svake tačke.
Tačnije, smemo da pokidamo objekat, da ga deformišemo, ali na kraju moramo da zalepimo objekat tamo gde smo ga pokidali.
Dobijanje cilindra
Cilindar – dva puta uvrnut
Dobijanje Mebijusove trake
Dobijanje torusa
Dobijanje Klajnove boce
Šta je (poliedarska) površ?
Okolina svake unutrašnje tačke mora da bude kao delić ravni. Dozvoljeno je da površ ima rub.
Površ ne sme da ima samopreseke (osim ako drugačije ne možemo da je smestimo u 3D prostor).
1) Rub (granica) poliedarske površi
Sfera NEMA RUB Torus NEMA RUB Klajnova boca NEMA RUB Rub cilindra su dva kruga Šta je sa dva puta uvrnutim cilindrom? Rub Mebijusove trake je krug
Topološki iste (homeomorfne) površi imaju (topološki) isti rub
2) Ojlerova karakeristika površi
Za neki poliedarski model površi M (može i sa rubom) Ojlerova karakteristika je broj
= T – I + P kocka= 8 – 12 + 6 = 2 (tetraedar)= 4 – 6 + 4 = 2 Keopsova piramida= 5 – 8 + 5 = 2 (torus)= 16 – 32 + 16 = 0 (Mebijusova traka)= domaći
Homeomorfne površi imaju istu Ojlerovu karakteristiku.
3) Orjentabilnost površi
Intuitivno, površ je orjentabilna ako na njoj postoji sat na kazaljke (unutrašnja definicija)
Ekvivalentno, površ je orjentabilna ako je normala definisana u svakoj tački površi (spoljašna definicija)
Svaka površ bez ruba (površ nema samopreseke) je orjentabilna.
Sfera, torus, Platonova tela, cilindar... su orjentabilni Ako su dve površi homeomorfne one su ili obe
orjentabilne, ili obe neorjentabilne.
Mebijusova traka nije orjentabilna!
Jednostranost Mebijusove trake
Osobine neorjentabilnih površi
Na njima ne postoje satovi na kazaljke Jednostrane su (tj. možemo ih potpuno obojiti ne
podižući četkicu, odnosno ako ih uronimo u vodu sasvim će se smočiti)
Nemaju jedinstveno definisanu normalu u svim tačkama odjednom
Ako nemaju rub, tada se ne mogu “smestiti” u 3D prostor bez samopreseka (u 4D mogu!)
Svaka neorjentabilna površ sadrži neku Mebijusovu traku, i obrnuto, ako površ sadrži Mebijusovu traku, ona je neorjentabilna.
Dobijanje novih površi od postojećih
Osnovni metod: lepljenje dve površi po rubu
Primer: Lepljenje dve Mebijusove trake
Rub svake je krug, po kome treba da ih zalepimo. Rezultujuća površ nema rub (jer smo po njemu zalepili) Rezultujuća površ je neorjentabilna (jer sadrži
Mebijusovu traku) Pošto je neorjentabilna i nema rub ne u 3D prostoru
mora da se samopreseče. Koja je to površ? Odgovor: Klajnova boca
Topološka klasifikacija površi bez ruba
Želimo da vidimo kako topološki izgledaju sve površi bez ruba.
RučkaSfera sa k rupa Mebijusova traka
Orjentabilne površi bez ruba Sve orjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što
se na sferu sa k rupa nalepi k ručki.
k=0, sfera k=1, torus
k=2, pereca sa 2 rupe
k=1, torus
Neorjentabilne površi bez ruba
Sve neorjentabilne površi bez ruba se dobijaju tako što se na sferu sa k rupa nalepi k Mebijusovih traka.
k=2, Klajnova bocak=1, Bojeva površ
Rod površi
Rod orjentabilne površi bez ruba je “broj rupa” te površi.
Ako onda je sfera Ako onda je torus Ako onda je pereca sa 2 rupe...
Reference
JavaView, www.javaview.de
В. Г. Болтянский, В. А. Ефремович, Наглядная топология, (выпуск 21 серии "библиотечка квант"), Наука, Москва, 1982
S. Vukmirovic, Gluing two Moebius strips into a Klein bottle, Wolfram Mathsource, library.wolfram.com/infocenter/MathSource/823/