tor vergata m. salerno laplace 1 esempio: interruttore ideale di apertura i(t) t v(t) t interruttore...
TRANSCRIPT
Tor Vergata
M. Salerno 1Laplace
Esempio: interruttore ideale di apertura i(t)
tv(t)
t
Interruttore idealeinterruttore di chiusura
v(t)+ i(t)
t = t0
per t > t0
i(t) = 0
v(t) = 0 per t < t0
interruttore di apertura
v(t)+ i(t)
t = t0
Per t > t0, v(t) è inderminata (dipende dal circuito)
Per t < t0, i(t) è inderminata (dipende dal circuito)
p(t) = v(t) i(t) = 0Potenza dissipata
per t > t0
v(t) = 0
i(t) = 0 per t < t0
Caso reale
Nell’intervallo (intervallo di apertura), v(t) , i(t) e la potenza dissipata p(t) sono diverse da zero.
Gli interruttori sono caratterizzati da: l’intervallo (interruttori rapidi, extrarapidi, ecc.) la massima corrente e la massima tensione
Tor Vergata
M. Salerno 2Laplace
Scarica del condensatore
C R
t = 0
vC (t)+
i(t)
vR (t)+
Il circuito è formato da tre componentiil condensatore Cil resistore Rl’interruttore, che si chiude per t = 0
Si supponga che vC(t) = V0 , per t < 0
V0 condizione iniziale
Per t < 0
i(t) = 0
vC(t) = V0
vR(t) = 0
Per t > 0 , interruttore chiuso : vC (t) = vR(t)
Determinazione equazione risolvente
i(t) = - C d vC (t) / dt
Attenzione ai segni
coordinati sul condensatore
= - C d vR(t) / dt = - C d R i(t) / dt
RC di(t) / dt + i(t) = 0
Equazione risolvente
RC di(t) / dt + i(t) = 0 Risoluzione equazione risolvente
Si scelga i(t) = A e t RC A e t + A e t = 0 Equazione caratteristica RC + 1 = 0
= - 1 / RC i(t) = A e t / RC
Integrale generale
Calcolo dell’integrale particolare
; i(t) = A e t / RC
Si definiscono gli istanti
t = 0- (lim per t 0 da sinistra)
t = 0+ (lim per t 0 da destra) Non essendo possibili discontinuità di tensione sul condensatore
vC (0+) = vC (0-) = V0
i(0+) = A e t / RC |t=0 = A = vC(0+) / R = V0 / R
i(t) = (V0 / R) e t / RC
integrale particolare
l’integrale particolare è stato calcolato utilizzando la
condizione iniziale
Tor Vergata
M. Salerno 3Laplace
Scarica del condensatore
C R
t = 0
vC (t)+
i(t)
vR (t)+
t < 0 i(t) = 0 , vC (t) = V0 , vR(t) = 0
t > 0 i(t) = (V0 / R) e t / RC
vC (t) = vR (t) = V0 e t / RC
= RC costante di tempo
e t /
e t /
costante di tempo in secondi ( s )
t
vC (t)
V0
Dal valore di dipende la velocità di decadimento della tensione e della corrente
R = 10 M, C = 1 mF, = 104 s(più di 2 ore e 45 minuti)
R = 10 , C = 10 pF, = 10-10 s = 100 ps
t
vC (t)
V0
grandi valori di
piccoli valori di
t
vR (t)
V0
Conservazione dell’energia
Per t < 0, l’energia EC immagazzinata dal condensatore è EC = ½ C V0
2
Per t > 0, l’energia ER assorbita dal resistore è:
ER = R i2(t) dt-
= R (V0 /R )2 e – t / RC dt
0
= [ - ½ C V0 2 e – t / RC ]0
= ½ C V0 2 t
i (t)i(t) = (V0 / R) e t / RC |t > 0
V0 /R
ER = ½ C V02
EC = ER
Determinazione dell’area Q della forma d’onda di corrente i(t)
Q
Q = i(t) dt
0= (V0 /R ) e –t / RC dt
0
= [ - C V0 e – t / RC ]0
= C V0
Si ha Q = C V0indipendente da R
Q è la quantità totale di carica elettrica che transita nel circuito per t > 0
t
i (t)i(t) = (V0 / R) e t / RC |t > 0
al variare di R
V0 /R
R minoreR maggiore
L’area della forma d’onda i(t) è invariante rispetto a R
Tor Vergata
M. Salerno 4Laplace
Analisi nel dominio del tempo
Metodo di analisi di un circuito contenente interruttori:
a) determinare l’equazione differenziale risolventeL’ordine dell’equazione differenziale risolvente è detto ordine del circuito (il
circuito RC è un circuito del primo ordine). L’ordine di un circuito non è mai
maggiore della somma del numero dei condensatori e degli induttori presenti
b) determinare l’integrale generale L’integrale generale dipende da un numero di costanti arbitrarie pari all’ordine del
circuito
c) determinare l’integrale particolare Le costanti arbitrarie presenti nell’espressione dell’integrale generale devono essere
calcolate in funzione delle condizioni iniziali (scelte fra le tensioni iniziali dei
condensatori e le correnti iniziali degli induttori)
Il metodo è detto analisi nel dominio del tempo perché
tutte le grandezze elettriche considerate sono funzioni
del tempo e le equazioni differenziali utilizzano il
tempo come variabile indipendente
In presenza di interruttori è spesso necessario
suddividere l’asse dei tempi in più tratti contigui ed
effettuare analisi indipendenti
Nel caso della scarica del condensatore è presente
un solo interruttore che si chiude per t = 0C R
t = 0
V0
+
L’analisi è effettuata considerando i seguenti
intervalli sull’asse dei tempi:
Intervallo t < 0 . In questo intervallo l’analisi è banale, essendo il circuito aperto
Intervallo 0 - < t < 0 + . In questo intervallo l’analisi è banale, poiché la condizione
iniziale V0 non subisce variazioni alla chiusura dell’interruttoreIntervallo t > 0 . In questo intervallo l’analisi è effettuata per mezzo di una equazione
differenziale ordinaria del primo ordine.
In circuiti più complessi le analisi per t < 0 e per 0 - < t < 0+ possono risultare non banali.
L’analisi nell’intorno di t = 0 nasce dal fatto che, quando scattano gli interruttori, il
circuito si modifica e le grandezze elettriche possono cambiare istantaneamente
Tor Vergata
M. Salerno 5Laplace
Funzione gradino unitario
definizione
uu-1-1(t) = (t) = 0 0 perper t < 0 t < 0
1 1 perper t > 0 t > 0
u-1(t)
t
1
il gradino unitario è una funzione discontinua utile per analizzare circuiti contenenti interruttori,
evitando di suddividere l’asse dei tempi in più tratti separati
la funzione u-1( t ) non è definita per t = 0
NotazionePer il gradino unitario è usato il simbolo u-1(t) perché questa funzione fa parte di un insieme numerabile di enti matematici, indicati con il simbolo uk(t) (che verranno
definiti in seguito) In altre trattazioni sono spesso usate
notazioni differenti
Schemi equivalenti che utilizzano il gradino unitario
generatore di tensione attivato per t = 0
vg(t)
+
B
A
t= 0
vg(t) u-1(t)
+
B
A
In molte applicazioni lo schema di sinistra può essere sostituito con il seguente
vg(t)
+
B
A
t = 0
generatore di corrente attivato per t = 0
ig(t)
B
A
t = 0
ig(t) u-1(t)B
A
Tor Vergata
M. Salerno 6Laplace
Funzione gradino unitarioRappresentazione di funzioni discontinue mediante gradini unitari
Gradino di ampiezza A, traslato all’istante t0
f(t) = A u-1(t - t0 )
t
f (t )
A
t0
f(t) = A u-1(t - t0 )
t
g( t )
Prodotto di un gradino traslato per una funzione g(t)
f(t) = g(t) u-1(t - t0 )
t0
t
f (t)
t0
f(t) = g(t) u-1(t - t0 )
La funzione g(t ) è
attivata per t > t0
t
f (t )
Funzione di tipo sinusoidale con inizio per t = 0
f(t) = F cos ( t + )
f(t) = F cos ( t + )
f0(t) = f(t) u-1( t ) f0(t) = F cos ( t + ) u-1( t )
f0(t) = F cos ( t + ) u-
1(t)
t
f0 (t )
Attenzione: in tutte le applicazioni è essenziale distinguere la funzione f(t) [ andamento sinusoidale per ogni t ] dalla funzione f0 (t) [ = 0 per t < 0 ]
t
f (t )
t0
A
La funzione f(t) si può esprimere nel modo seguente
f(t) = A [1 - u-1( t - t0 )]
f(t) = A [1 - u-1( t - t0 )]
Infatti per t < t0 u-1( t - t0 ) = 0 ; f(t ) = Aper t > t0 u-1( t - t0 ) = 1 ; f(t) = 0
t
g(t )
Si può disattivare la funzione g(t) per t > t0
t0 t
f(t )
t0
La funzione f(t) ha la seguente espressione
f(t) = g(t) [1 - u-1( t - t0 )]
f(t) = g(t) [1 - u-1( t - t0 )]
t
f (t )
A
T
La funzione f(t) rappresenta un impulso di ampiezza A e durata TEssendo presenti due discontinuità ( per t = 0 e per t = T ) , sono necessari due gradini unitari
f(t) = A [u-1( t ) - u-1( t - T )]
f(t) = A [u-1( t ) - u-1( t - T )]
Infattiper t < 0 : u-1( t ) = 0; u-1( t - T ) = 0; f(t) = 0 per 0 < t < T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 0; f(t) = A per t > T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 1; f(t) = 0
t
f (t )
T
A
B
Si determini l’equazione r(t) della retta r
rr(t) = a t + br(t) = a t + b | t = 0 = Br(t) = a t + b | t = T = A
b = B ; a = (A - B) / T
r(t) = (A – B) t / T+ B
f(t) = r(t) [u-1( t ) - u-1( t - T )]
Infattiper t < 0 : u-1( t ) = 0; u-1( t - T ) = 0; f(t) = 0 per 0 < t < T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 0; f(t) = r(t) per t > T : u-1( t ) = 1; u-1( t - T ) = 1; f(t) = 0
f(t) = [(A – B) t / T+ B] [u-1( t ) - u-1( t - T )]
f(t) = [(A – B) t / T+ B] [u-1( t ) - u-1( t - T )]r(t) = (A – B) t / T+ B
Tor Vergata
M. Salerno 7Laplace
La funzione u-1(t ) non può essere usata senza particolari accorgimenti nell’analisi dei circuiti elettrici, in quanto non è derivabile per t = 0.
In tutti gli altri istanti, u-1(t ) è derivabile con derivata nulla.
ApprossimantiApprossimante di u-1(t )
u-1,(t )derivabile per ogni t lim u-1,(t ) = u-1 (t ) 0
con
Definizione
Approssimante dell’impulso unitario
u0,(t ) = d td u-1,(t )
Esempio: induttore
iL(t) = u-1(t) corrente vL(t) = L d iL(t)/dt tensionerisulta: per t = 0, vL(t) = 0 per t = 0, vL(t) non calcolabile
/
Esempio di u-1,(t )
0 0 perper t < 0 t < 0
1 1 perper t > t > t /t / perper 0 < t < 0 < t < uu-1, -1, (t) =(t) =
t
u-1, ( t )
1
decrescente
t
u-1, ( t )
1
Approssimante dell’impulso unitario
u0,(t ) = d u-1,(t ) / dt
uu0, 0, (t) =(t) = 0 0 perper t < 0 t < 0 ee t > t >
1 /1 / perper 0 < t < 0 < t <
t
u0, ( t )1/
Per ogni ,
l’area A è uguale a 1
A
Esempio di u-1,(t ) Approssimante dell’impulso unitario
u0,(t ) = d u-1,(t ) / dt
t
u-1, ( t )
t
u0, ( t )
0 0 perper t < 0 t < 0
1 – e1 – e-t /-t / perper t > t > uu-1, -1, (t) =(t) =
1decresc
ente
t
u-1, ( t )
uu0, 0, (t) =(t) = 0 0 perper t < 0 t < 0
(1 /(1 / )e )e-t /-t / perper t > 0 t > 0
11/
Per ogni ,
l’area A è uguale a 1
A
C R
t = 0
V0
+i(t)
Nella scarica del condensatore, l’andamento della corrente i(t) è una approssimante dell’impulso
i(t ) = 0 per t < 0(V0 /R )e - t /RC per t > 0
(V0 /R ) e - t /RC = (C V0 / ) e - t /
con = RC
Si tratta dell’approssimante dell’impulso unitario moltiplicata per C V0
Tor Vergata
M. Salerno 8Laplace
Impulso unitario
Per il gradino u-1 (t ) = lim u-1,(t ) 0
Per l’impulso u0 (t ) = lim u0,(t ) 0
uu0 0 (t )(t )
impulso unitario impulso unitario o o
impulso di Diracimpulso di Dirac
Proprietà fondamentale delle funzioni u0,(t)
-
u0, (t) d t = 1 per ogni e
quindilim
0 -
u0, (t) d t = 1
Questa proprietà non è soddisfatta dall’impulso unitario u0(t). Infatti :
-
u0(t) dt = lim
0-
u0, (t) d t = 0
Questo risultato non è soddisfacente per le applicazioni
-
u0(t) dt = 1
Affinché risulti
l’impulso di Dirac è definito nell’ambito di una teoria matematica, detta teoria delle distribuzioni.
Tale teoria è un’estensione della teoria delle funzioni, in cui risultano modificate opportunamente le definizioni di derivata e di integrale
L’integrale di u0(t) è effettuato nel senso delle distribuzioni
Definizione Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, l’impulso unitario u0(t) è definito dalla seguente relazione
-
TT
uu00(t) dt = (t) dt = 0 0 perper T < 0 T < 0
1 1 perper T > 0 T > 0
Poiché l’integrale di u0(t) non varia per T < 0 e per T > 0, risulta:
uu00(t) = 0 per t < 0(t) = 0 per t < 0
uu00(t) = 0 per t > 0(t) = 0 per t > 0
Al crescere di t , la variazione del valore dell’integrale avviene in un intorno infinitesimo dell’origine (integrale nel senso delle distribuzioni)
t
u0(t)impulso di Dirac
L’impulso di Dirac è rappresentato come una funzione nulla, con una discontinuità nell’origine.
La discontinuità è caratterizzata dal valore dell’integrale, che è uguale a 1
1
Tale valore non è l’altezza dell’impulso
Tor Vergata
M. Salerno 9Laplace
Impulso unitarioAlcune proprietà dell’impulso unitario u0(t)
Impulso di ampiezza A, traslato all’istante t0
h(t) = A u0(t - t0 )
t
h(t )A
h(t) = A u0(t - t0 )
t0
L’ampiezza A è il valore dell’integrale, nel senso delle distribuzioni, in un intorno di t0
A u0(t - t0 ) dt = A
è un qualunque intervallo
[anche infinitesimo] comprendente t0
t
h(t )
Prodotto di un impulso traslato per una funzione f(t)
f(t)
h(t) = f(t) u0(t - t0 )
h(t) = f(t) u0(t - t0 )
t0
h(t) è un impulso
f(t) u0(t - t0 ) dt = f(t0)
è un qualunque intervallo
[anche infinitesimo] comprendente t0
di ampiezza f (t0 )
f(t0 )
in particolare f(t) u0(t ) = f(0) u0(t )
f(t) u0(t - t0 ) = f(t0) u0(t - t0 )
t
h(t )
Prodotto di un impulso u0 (t) per un gradino u-1(t)
u-1(t )
h(t) = u-1(t ) u0(t )
h(t) = u-1(t ) u0(t )
h(t) è un impulsoPer determinare l’ampiezza non si può usare l’espressione u-1(t ) u0(t ) = u-1(0) u0(t )
perché il gradino non è definito per t = 0
è un qualunque intervallo
[anche infinitesimo] comprendente l’origine
u-1(t ) u0(t ) dt =
u-1(t ) d u-1(t ) =
a b
= ½ [ u-12(t ) ] =a
b ½½
di ampiezza ½
t
u-1(t )Estensione della
definizione di gradino
u-1 ( t ) =0 per t < 0
1 per t > 0½ per t = 0
½
in questo modo si ha: h(t) = u-1(t ) u0(t ) = u-1(0 ) u0(t ) = 1/2 u0(t )
h(t) è un impulsodi ampiezza ½
Tor Vergata
M. Salerno 10Laplace
EsempioV0 +
CR
t = 0
i(t)
t
i (t)V0 /R
i(t) = (V0 / R) e t / RC u-1 (t)
Q
; Q = CV0 EC = ½ CV0
2 assorbita da R
Questa soluzione vale per ogni valore di R , ma non per R = 0
Ct = 0
i(t)
V0 + I
Sono presenti due componenti ideali: il condensatore e l’interruttore I
L’analisi del circuito è possibile solo nell’ambito della teoria delle distribuzioni, utilizzando il gradino u-1(t) e l’impulso u0(t)
v(t)
t
v (t)
V0
v(t) = V0 [1 – u-1(t)]
i(t) = - C dv/dt = - C d V0 [1 – u-1(t)] /dt
effettuando la derivata di u-1(t) nel senso delle distribuzioni
i(t) = C V0 u0(t)
t
i (t)
i(t) = C V0 u0(t)
Q = C V0
Q
EC = ½ CV02 assorbita da I
Energia assorbita dall’interruttore
= V0[1 – u-1(t)] CV0 u0(t) dt = CV0
2 [1 – ½ ] = ½ CV02
EI = p(t) dt = v(t) i(t) dt =
Questa soluzione, congrua con la precedente, vale solo nell’ambito della teoria delle distribuzioni.
Se i(t) [ o v(t) ] è impulsiva, l’interruttore ideale può assorbire energia
Tor Vergata
M. Salerno 11Laplace
Distribuzioni successive
Derivate successive dell’impulso unitario
L’impulso unitario può essere derivato infinite volte, nel senso delle distribuzioni
Notazione
uukk(t) = (t) = ----------- ----------- d t d t
d ud uk-1k-1(t)(t) , k = 1, 2, …, k = 1, 2, …
Esempio: uu11(t)(t)
doppietto unitariodoppietto unitariou1(t) = d u0(t) / dt
Approssimantiu1,(t) = d u0,(t) / dt t
u0,(t)
t
u1,(t)
Al diminuire di il doppietto è assimilabile a due impulsi di area opposta nell’intorno dell’origine
Integrali successivi del gradinoIl gradino unitario può essere
integrato infinite volte, rimanendo nell’ambito delle funzioni
Notazione
, k = 1, 2, …u-k-1(t) = u-k() d-
t
Esempio: u-2(t) rampa unitaria
t
u-2(t)
1
1
….. u-2(t) u-1(t) u0(t) u1(t) u2(t) …..….. rampa gradino impulso doppietto tripletto …..
derivazioneintegrazione
funzioni
….. u-2(t) u-1(t) u0(t) u1(t) u2(t) …..….. rampa gradino impulso doppietto tripletto …..
distribuzioni
….. u-2(t) u-1(t) u0(t) u1(t) u2(t) …..….. rampa gradino impulso doppietto tripletto …..
nulle per t < 0 nulle per t = 0/
Tor Vergata
M. Salerno 12Laplace
Analisi nel dominio di Laplace
Circuiti senza Circuiti senza memoriamemoria Circuiti privi di
condensatori, induttori, induttori accoppiati
Circuiti contenenti condensatori, induttori,
induttori accoppiati
Circuiti con Circuiti con memoriamemoria
Analisi nel dominio del tempoAnalisi nel dominio del tempoequazioni algebriche
equazioni differenziali
L’analisi di circuiti con memoriaè differente dall’analisi di circuiti senza memoria
ed è molto complessa
Analisi nel dominio di LaplaceAnalisi nel dominio di Laplaceequazioni algebriche
L’analisi di circuiti con memoriaè simile all’analisi di circuiti senza memoria
ed è molto semplificata
Metodo della trasformata di Metodo della trasformata di LaplaceLaplace
1. Definizione1. Definizione
2. Trasformate elementari2. Trasformate elementari
3. Proprietà3. Proprietà 4. Applicazione ai componenti4. Applicazione ai componenti elettrici elettrici 5. Antitrasformazione5. Antitrasformazione
Tor Vergata
M. Salerno 13Laplace
Trasformata di Laplace: definizioneTrasformata di Laplace
1. Definizione2. Trasformate elementari3. Proprietà4. Applicazione ai
componenti elettrici5. Antitrasformazione
f(t)f(t) ee-s t-s t
00TT
dtdt
limlim TT
F(s) =F(s) =
Notazione
F(s) =F(s) =
LL [[ f(t) f(t) ]] F(s) L-trasformata di f(t)
Nell’analisi dei circuiti, tutte le grandezze elettriche, tensioni e correnti, sono sostituite con le rispettive L-trasformate
V(s) = L [ v(t) ]
I(s) = L [ i(t) ]
NotazioneCon la lettera minuscola, p.es. v(t), è indicata la grandezza nel tempo, con la lettera maiuscola, p. es. V(s), la rispettiva trasformata
La variabile di Laplace s non ha un immediato significato fisico e viene considerata come una variabile complessa
f(t) : funzione di variabile reale
F(s) : funzione di variabile complessa
DimensioniV(s) = lim v(t) e-s t dt
0
T
T adimensionale tempovariabile s : sec -1 (s -1) V(s) : volt . sec ( V s )
I(s) : ampère . sec ( A s ) analogamente
Proprietà del limite per T Se il limite esiste ed è finito per s = s0
allora esiste ed è finito per ogni s tale che Re[ s ] > Re[ s0 ]
Estremo inferiore di Re[ s0 ] : ascissa di convergenza
= Im[s]
= Re[s]
piano s
semipiano di convergenza
Se il limite non esiste o non è finito per alcun valore di s , f(t) non è L-trasformabile
L’andamento di f(t) per t < 0 non dà contributo all’integrale, perché i tempi negativi sono esclusi dall’integrazione (trasformata unilatera).
Conviene considerare f(t) = 0 per t < 0
Calcolo dell’integrale nel senso delle distribuzioni contribuiscono all’integrale eventuali impulsi, in particolare per t = 0
0 0 --
l’estremo inferiore di integrazione è indicato con 0 -
Antitrasformata: operatore inverso,
per passare da F(s) a f(t) Esiste una formula integrale,
poco utilizzata nell’analisi dei circuiti
Notazione
f(t) =f(t) = LL -1-1[[ F(s) F(s) ]]
Metodi operativi di antitrasformazione di Laplace saranno descritti in seguito
Tor Vergata
M. Salerno 14Laplace
LL [[ u u-1-1(t) (t) ]]
==
ss11
TrasformateTrasformate 1. Definizione2. Trasformate elementari3. Proprietà4. Applicazione ai
componenti elettrici5. Antitrasformazione
Trasformata di Laplace
Trasformate elementari F(s) = lim f(t) e-s t dt0 -
T
T
Gradino f(t) = u-1(t)
F(s) = lim u-1(t) e-s t dt0 -
T
T
= lim e-s t dt0
T
T = lim [ e-s t ]0T
T s1
= lim [ e -s T ] +T s
1s1 = s
1
per Re[ s ] > 0
ascissa di convergenza = 0
Esponenziale f(t) = e a t u-1(t)a : reale o complesso
F(s) = lim u-1(t) e-s t ea t dt0 -
T
T
= lim u-1(t) e- (s-a) t dt0
T
T = s - a
1
per Re[ s - a ] > 0 ; Re[ s ] > Re[ a ]
ascissa di convergenza = Re [ a ]
l’integrale è identico a quello relativo al gradino, eccetto la sostituzione di s con s-a
LL [[eeatat u u-1-1(t)(t)]] ==
s-as-a----------11
Impulso f(t) = u0(t)
F(s) = lim u0(t) e-s t dt0 -
T
T
= lim [ e-s t ]t=0T
= 1
per ogni valore di s
ascissa di convergenza = -
l’integrale è calcolato nel senso delle distribuzioni
è essenziale che l’estremo inferiore di integrazione sia 0 -
LL [[uu00(t)(t)]] = = 11
AntitrasformateAntitrasformate
LL-1-1 [[ ]] = = eeatat u u-1-1(t)(t) s-as-a----------11
LL-1-1[[ ]] = = uu-1-1(t)(t) ss11
LL-1-1 [[11]] = = uu00(t)(t) Queste sono le uniche
trasformate di cui sarà effettuato
il calcolo dell’integrale
Una ulteriore antitrasformata
d’interesse è la seguente : LL-1-1[[ ]]= t= tn-1n-1 e eatat u u-1-1(t)(t) (s-a)(s-a)nn------------11 ----------
(n-1)!(n-1)!11
Tor Vergata
M. Salerno 15Laplace
Trasformata di Laplace: proprietà
1. Definizione2. Trasformate elementari3. Proprietà4. Applicazione ai
componenti elettrici5. Antitrasformazione
Trasformata di Laplace LinearitàLinearità
LL [[ f f11(t) (t) ]] = F= F11(s) ;(s) ; LL [[ f f22(t) (t) ]] = F= F22(s)(s) SeSe
LL [[ c c11 f f11(t) + c(t) + c22 f f22(t) (t) ]] = c= c11 F F11(s) + c(s) + c22 F F22(s)(s) alloraallora
oveove cc11 ee c c22 sono due costanti reali o complessesono due costanti reali o complesseLa proprietà di linearità permette di applicare il metodo delle trasformata di Laplace a tutti i circuiti (e sistemi) lineariSono circuiti lineari quelli contenenti componenti nei quali vi è una relazione lineare fra le grandezze elettriche. Tutti i componenti considerati in questo corso sono lineariAltri componenti (come il diodo) sono non lineari e allora il metodo della trasformata di Laplace non può essere applicato
DerivazioneDerivazione
LL [[ f(t) f(t) ]] = F(s)= F(s) SeSe
LL [[ d f(t) / dt d f(t) / dt ]] = s F(s) – f (0 = s F(s) – f (0 --)) alloraallora
oveove f (0 f (0 --) ) è il valore di è il valore di f(t) f(t) per per t = 0 t = 0 --
La proprietà di derivazione permette di sostituire operazioni differenziali nel dominio del tempo con operazioni algebriche nel dominio di s
Se f(t) presenta discontinuità, la derivata e la trasformata di Laplace devono essere applicate nel senso delle distribuzioni
L’istante 0 - è considerato per tenere conto di eventuali discontinuità nell’origine. Nell’ambito delle funzioni si considera semplicemente f(0)
TraslazioneTraslazione
LL [[ f(t) f(t) ]] = F(s)= F(s) SeSe
LL [[ f(t – T) f(t – T) ]] = F(s) e= F(s) e-sT-sT alloraallora
La proprietà di traslazione è molto utile per tenere conto di ritardi nella trasmissione di segnali elettrici (è poco usata nei circuiti elementari)
Molte altre proprietà della trasformata di Laplace sono omesse perché non assolutamente essenziali alla trattazione
oveove f (t - T) f (t - T) è la è la f(t) f(t) traslata dell’intervallo traslata dell’intervallo TT
Tor Vergata
M. Salerno 16Laplace
Proprietà di derivazione: esempiVerifica proprietà di derivazione
f(t) = e t u-1(t) F(s) = L[f(t)] = 1/ (s-1)
f(0-) = 0
dalla proprietà di derivazione L[df(t)/dt] = sF(s) – f(0-)
= s/(s-1)
verifica df(t)/dt = e t u-1(t) + e t u0(t)
= e t u-1(t) + u0(t)
L[df(t)/dt] = 1/(s-1) + 1 = s/(s-1)
dalla proprietà di linearità
Trasformate delle distribuzioni successive
uk(0-) = 0 , k = 0, 1, 2, …
uk(t) = d uk-1(t) / dt , k = 1, 2, …
L[u0(t)] = 1
L[uk(t)] = s L[uk-1(t)]L[uk(t)] = sk
Tor Vergata
M. Salerno 17Laplace
Proprietà di linearità: esempiTrasformata della funzione
sinusoidale f(t) = F cos (t + ) u-1(t)
nel campo complesso f(t) = ½ (F e jt + F* e -jt ) u-1(t) ove F = Fe j è il fasore di f(t)
L[e + jt u-1(t)] = 1/(s j)
+
dalle trasformate elementari
dalla proprietà di linearità
F(s) = L[f(t)] = ½ [F /(s - j) + F*/(s + j) ]
L’espressione trovata può essere considerata soddisfacente in vari casi
Tuttavia è possibile sviluppare ulteriormente i calcoli
F(s) = ½ [F /(s - j) + F*/(s + j) ];
F = Fe j = F (cos + j sin )
F(s) = ½ F[(cos + j sin ) /(s - j) + (cos - j sin ) /(s + j) ] =
= ½F[(cos + j sin )(s + j) + (cos - j sin )(s - j) ]/(s2 + ) =
= F (s cos - sin ) /(s2 + )
F(s) = ½ [F /(s - j) + F*/(s + j) ]
= F (s cos - sin ) /(s2 + )
F(s) è una funzione razionale (rapporto fra polinomi) a coefficienti reali
F(s) è detta razionale reale, perché assume valori reali per s reale
F(s) è anche espressa come somma di due funzioni complesse coniugate, per s reale
Sulla base di queste osservazioni, i calcoli precedenti possono essere semplificati
f(t) = Re[ F e jt ] u-1(t) , con F = Fe j
F(s) = Re[ F /(s - j) ]
ove l’operatore Re[.] è applicato considerando s reale
F(s) = F Re[(cos + j sin ) /(s - j) ] =
= F Re[(cos + j sin ) (s + j) ] /(s2 + )
(è sufficiente calcolare i termini reali del prodotto)
F(s) = F (s cos - sin ) /(s2 + )
NotazioneLa lettera “F” ha vari significati:
f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t)
F (maiuscolo) è l’ampiezza (modulo)
F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore
F(s) (maiuscolo) è la trasformata di Laplace
Tor Vergata
M. Salerno 18Laplace
Proprietà di traslazione: esempi
f(t) = A [ u-1(t) - u-1(t-T)]Trasformata della funzione
t
f(t)
T
A
F(s) = A (1 - e-sT)/s
dalle proprietà di traslazione
e di linearità :
t
f(t)
T 2T 3T 4T 5T
A
L’impulso di ampiezza A e durata T può essere replicato indefinitamente, ottenendo un’onda quadra. Tale funzione è nulla per t < 0
f(t) = A [(-1)k u-1(t – k T)] k=0
La forma d’onda è costituita dalla somma di infiniti gradini alternativamente positivi e negativi, di ampiezza A e traslati dell’intervallo di tempo T l’uno rispetto all’altro
Dalle proprietà di traslazione e linearità :
F(s) = (A/s) [(-1)k e –k sT ] k=0
= 1 – x + x2 – x3 + x4 - …
1 + x1 =
Si ricordi che
s ( 1 + e – sT ) A=
Tor Vergata
M. Salerno 19Laplace
Bipoli nel dominio di Laplace
1. Definizione2. Trasformate elementari3. Proprietà4. Applicazione ai
componenti elettrici5. Antitrasformazione
Trasformata di Laplace Trasformate di Laplace Trasformate di Laplace di tensione e correntedi tensione e corrente
Si definisce un istante iniziale, tipicamente t = 0
LL [[ v(t) v(t) ]] = V(s) ; = V(s) ; LL [[ i(t) i(t) ]] = I(s) = I(s)
All’istante t = 0- sono assegnate le condizioni iniziali
tensione: v(t) in Volt (V) ; V(s) in Volt.sec (V.s)corrente: i(t) in Ampère (A) ; I(s) in Ampère.sec (A.s)
Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo
+
v(t)
i(t)
bipolo nel dominio del tempo
Indicando le trasformate invece delle grandezze nel tempo si ottieneil bipolo nel dominio di Laplace
+
V(s)
I(s)
bipolo nel dominio di Laplace
Il bipolo nel dominio di Laplace è utilizzato solo a scopi di calcolo
Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni del tempo
Tor Vergata
M. Salerno 20Laplace
Nel dominiodi Laplace
Resistore + R
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)Nel dominio del tempo
v(t) = R i(t)v(t) = R i(t)
L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = L L [ [ R i(t)R i(t) ]]per la linearità
L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = RR L L [[i(t)i(t) ]]
V(s)V(s) = = RR I(s)I(s)
V(s) = R I(s)V(s) = R I(s) V(s) = R I(s)
+ R
Tor Vergata
M. Salerno 21Laplace
Induttore +v(t) = L d i(t) / d t
L
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d tNel dominio del tempo
Nel dominiodi Laplace
v(t) = L d i(t) / d tv(t) = L d i(t) / d t
per le proprietà di linearità e di derivazione
L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = L L [[L d i(t) / d L d i(t) / d tt ]]
L L [ [ v(t)v(t) ] = ] = L L [[s s L L [[ i(t) i(t) ] - ] - i(0 i(0 --))]]
V(s)V(s) = = s L I(s)s L I(s) – – L i(0 L i(0 --))
V(s)V(s) = = s L I(s)s L I(s) – – L i(0 L i(0 --))i(0 -) condizione iniziale
Caso particolare condizione iniziale nulla:
i(0 -) = 0
V(s)V(s) = = s L I(s)s L I(s)
+V(s) = sL I(s)
sL
s L impedenza
caso generale : i(0 -) = 0 /sL
+L i(0 -)I(s)
V(s)+Li(0 -) tensione impressa del generatore,con segno positivo a destra
V(s), I(s) grandezze elettriche esterne
Equivalenza: dominio del tempo : bipolo ab dominio di Laplace: bipolo AB completo
A B
ba
Tor Vergata
M. Salerno 22Laplace
Induttore: schemi equivalenti
sL+
L i(0 -)
V(s)+
I(s)A B
Dominio di Laplace
+
i(0 -)
Lba
i(t)v(t)
Dominio del tempo
vg
+ R
ig R
Equivalenza fra generatori
vg / R = ig l’impedenza sL svolge lo stesso ruolo della resistenza R
V(s)+
I(s)A B
La corrente impressa dal generatore di corrente è pari a L i(0 -) / sL = i(0 -) / s
i(0 -)/s Si ricordi che
L-1[L i(0-)] = L i(0-)u0(t)
L-1[i(0-)/s] = i(0-) u-1(t)
Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti dell’induttore
Dominio del tempo
L+
L i(0 -) u0(t)i(t)A B
i(0 -) u-1(t)
v(t)+
i(t)A B
L
In questi schemi equivalenti, gli induttori sono considerati con condizioni iniziali nulle
Tor Vergata
M. Salerno 23Laplace
Condensatorei(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d tNel dominio del tempo i(t) = C d v(t) / d t
C+
Nel dominiodi Laplace
i(t) = C d v(t) / d ti(t) = C d v(t) / d t
per le proprietà di linearità e di derivazione
L L [ [ i(t)i(t) ] = ] = L L [[C d v(t) / d C d v(t) / d tt ]]
L L [ [ i(t)i(t) ] = ] = C C [[s s L L [[ v(t) v(t) ] - ] - v(0 v(0 --))]]
I(s)I(s) = = s C V(s)s C V(s) – – C v(0 C v(0 --))
I(s)I(s) = = s C V(s)s C V(s) – – C v(0 C v(0 --))v(0 -) condizione iniziale
Caso particolare condizione iniziale nulla:
v(0 -) = 0
1/sC impedenza
I(s)I(s) = = s C V(s)s C V(s)I(s) = sC V(s)
1/sC+
s C ammettenza
caso generale : v(0 -) = 0 /
V(s), I(s) grandezze elettriche esterne
C v(0 -)
V(s)+
I(s)
1/sC
bipolo ab bipolo AB completo
A B
a b
Tor Vergata
M. Salerno 24Laplace
Dominio di Laplace Dominio del tempo
v(t)C
+ i(t)
v(0 -)+
baC v(0 -)
V(s)+
I(s)
1/sCA B
Condensatore: schemi equivalenti
vg
+ R
ig R
Equivalenza fra generatori
vg= R ig l’impedenza 1/sC svolge lo stesso ruolo della resistenza R
La tensione impressa dal generatore di tensione è pari a C v(0 -) / sC = v(0 -) / s
1/sC
V(s)+
I(s)A B+
v(0 -)/s
Si ricordi che
L-1[C v(0-)] = C v(0-)u0(t)
L-1[v(0-)/s] = v(0-) u-1(t)
Queste espressioni permettono di interpretare nel dominio del tempo gli schemi equivalenti del condensatore
Dominio del tempo
C v(0 -) u0(t)
v(t)+
i(t)
CA B
C
v(t)+
i(t)A B+
v(0 -) u-1(t)
In questi schemi equivalenti, i condensatori sono considerati con condizioni iniziali nulle
Tor Vergata
M. Salerno 25Laplace
Esempio: circuito RC
Ct = 0
R
v0
+
v0 condizione iniziale
circuito nel dominio di s
1/sCR
v0 /s+
A
B
a
b
Il bipolo completo fra i morsetti AB è l’equivalente del condensatore nel dominio del tempo, inclusa la condizione iniziale
analisi nel dominio di s
antitrasformazione
I(s)i(t)
I(s) (R + 1/sC) = v0 /s
I(s) (sRC + 1)/C = v0 I(s) = v0 C/(sRC + 1)
I(s) = (v0 /R)/(s + 1/RC)
i(t) = L-1[I(s)] =
= (v0 /R) e –t /RC u-1 (t)
= L-1[(v0 /R)/(s + 1/RC)] =
Tor Vergata
M. Salerno 26Laplace
Esempio: circuito RCC
R
C C1
t = 0
+
v0
dominio di t
R1/sC
1/sC1C v0
dominio di s
condizioni iniziali A
B
a
bil condensatore C equivale all’intero bipolo a sinistra
dei morsetti AB
condensatore C : v0 condensatore C1 : 0
V(s)+
analisi nel dominio di s
v(t)+
antitrasformazione
V(s) (sC + s C1 + 1/R) = C v0
V(s) = C v0 / (sC + s C1 + 1/R)
V(s) = v0 C + C1
C
R(C + C1 )1s +
1
v(t) = v0 e-t/R (C + C1) u-1 (t)C + C1
C
v(t) = L-1[V(s)]
da L-1[1/(s+a)] = e-at u-1(t)e dalla proprietà di linearità
La costante di tempo è : = R (C + C1 ).
C + C1 condensatore parallelo (condensatore visto dalla resistenza R dopo la chiusura dell’interruttore)
C+C1C1C
v (t)
v0 C/(C+C1 )
v(t) = v0 e-t/R(C + C1) u-1 (t)C + C1
C
t
v (t)
v0 C/(C+C1 )
v0
vc(t) = v0 e-t/R(C + C1 ) |t > 0C + C1
C
vc(t) = v0 |t < 0
t
vc(t)
C C1 /(C+C1 ) condensatore serie (condensatore visto dall’interruttore)
C1C
C C1 /(C+C1 )
EP è pari all’energia immagazzinata dal condensatore serie, carico alla tensione iniziale v0 EP è assorbita dall’interruttore, per t=0
E1 è assorbita dal resistore, per t>0
Bilancio energetico
t < 0 : E0 = ½ C vo2
t = 0+ : E1 = ½ C [vo C/(C+C1 )] 2 +
+ ½ C1 [vo C/(C+C1 )] 2 =
= ½ C vo2[C/(C+C1 )] < E0
Energia perdutaEP = E0 - E1 = ½ C vo
2 [1 - C/(C+C1 )] = = ½ vo
2 [C C1 /(C+C1 )]
Tor Vergata
M. Salerno 27Laplace
Esempio: circuito RL
dominio di s
R
+v0 /s
sL
I(s)R
t = 0
+v0
dominio di t
L
i(t)
i(t) = 0 | t < 0
analisi nel dominio di s I(s) (sL + R) = v0 /s
I(s) = [v0 / L]/[s (s + R/L)] Per antitrasformare I(s) si pone I(s) = A/s + B /(s + R/L) Risulta A (s + R/L)] + B s = v0 / L
A = v0 / R ; B = - v0 / R
antitrasformazione
i(t) = L-1[I(s)] == L-1[(v0 / R) / s - (v0 / R) / (s +
R/L)]Per la proprietà di linearità
i(t) = (v0 /R) (1 - e – t L/R ) u-1 (t)
i (t)
t
v0 /R
i(t) = (v0 /R) (1 - e – t L/R ) u-1 (t)
Costante di tempo = R / L
Tor Vergata
M. Salerno 28Laplace
Antitrasformazione
1. Definizione2. Trasformate elementari3. Proprietà4. Applicazione ai
componenti elettrici5. Antitrasformazione
Trasformata di Laplace Metodo delle Trasformata di LaplaceMetodo delle Trasformata di Laplace
Per i componenti R, L, C, utilizzare i circuiti equivalenti Per i generatori, calcolare la trasformata delle grandezze impresse
1. Dal circuito nel dominio del tempo determinare il circuito nel dominio di Laplace
2. Risolvere il circuito nel dominio di Laplace
Tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) sono funzioni di s
3. Antitrasformare le grandezze di interesse per ottenere le relative funzioni del tempo
Le funzioni di s da antitrasformare sono funzioni razionali (rapporto di polinomi) nella variabile s
F(s) = N(s) D(s)
Tor Vergata
M. Salerno 29Laplace
s0 polo di F(s) se
F(s) funzione razionale reale nella variabile complessa s
k=0 D(s) = ak sk = (s - pk )
n
k=1
n
N(s) = bk sk = (s - zk )k=0
m
k=1
m
Funzioni razionali: notazioniF(s) = N(s)
D(s)
zk radici di N(s) ; zeri di F(s)
F(s) funzione razionale propria : m = gr [N] < n = gr [D]
F(s) funzione razionale impropria : m = gr [N] > n = gr [D]
funzione razionale nella variabile complessa s
polinomio a numeratore di grado : gr [N] = m
polinomio a denominatore di grado : gr [D] = n
F(s) reale per s reale : coefficienti ak e bk reali
pk radici di D(s) ; poli di F(s)
lim F(s) = s s0
poli di F(s) pk radici di D(s)
se gr [N] > gr [D]
Tor Vergata
M. Salerno 30Laplace
F(s) = N(s) D(s)
Ipotesi:
Caso di funzioni razionali proprie funzione razionale reale propria, con poli pk semplici: radici di D(s) distinte
F(s) = N(s) D(s)
Sviluppo in frazioni parziali
ck residuo di F(s) sul polo pk
Calcolo dei residui
k=1
n
s - pk
ck F(s) =(s – ph ) (s – ph )polo ph
lim s ph
k=1
n
s - pk
ck lim s ph
(s – ph )
= k=1
n
s - pk
ck
k=1
nlim s ph
= 0 per k h= ch per k h{
= ch
(s – pk )lim s pk
F(s)ck =
Nota: il termine (s - pk ) è un fattore del polinomio D(s)D(s) = (s - pk ) Dk(s),ove Dk(s) è pari a D(s) privato del fattore (s -
pk )
ck = N (s) Dk(s) s = pk
= N (s) Dk(s) s = pk
(s – pk )lim s pk
F(s)ck =
Antitrasformazione da L-1[1/(s-a)] = eat u-1(t)e dalla proprietà di linearità
f(t) = L-1 [ F(s) ] = k=1
n
kck e p t u-1(t)
Tor Vergata
M. Salerno 31Laplace
Caso di funzioni razionali proprieF(s) = N(s)
D(s) Ipotesi: funzione razionale reale propria,
con poli multipli: radici di D(s) coincidenti
F(s) = N(s) D(s)
Sviluppo in frazioni parziali
Lo sviluppo in frazioni parziali nel caso di poli multipli (noto anche come sviluppo di Hermite) è piuttosto complesso. Per l’algoritmo si rimanda al libro di testo
Antitrasformata Si ricorda che:
L-1[ ]= tn-1 eat u-1(t) (s-a)n------ -----
(n-1)!11
caso di un polo di ordine n
caso di un polo di ordine 2
L-1[ ]= t eat u-1(t) (s-a)2------1
Tor Vergata
M. Salerno 32Laplace
Esempio di antitrasformazioneF(s) = s + 1
s3 + 5s2 + 6s
= s(s2 + 5s + 6) == s(s + 2)(s + 3)
= Im[s]
= Re[s]
piano s
xxx0-2-3
poli
s3 + 5s2 + 6s =
Fattorizzazionedel denominatore s0 = 0; s1 = -2; s2 = -3
Poli di F(s)
s + 1s (s+2)(s+3)
=
s2 + 5s + 6 = 0Radici di
s1,2 = ½ (-5 + 52 – 4 6 ) = ½ (-5 + 1).
Sviluppo in frazioni parziali
F(s) = s + 1s (s+2)(s+3)
Bs+2
As
Cs+3 = + +
A = s F(s)|s=0 = s + 1(s+2)(s+3) s=0
= 1/6
B = (s+2) F(s)|s= -2 = s + 1s(s+3) s= -2
= 1/2
s + 1s(s+2) s= -3
C = (s+3) F(s)|s= -3 = = -2/3
12(s+2)
16s
23(s+3) = + -
Antitrasformata
f(t) = 16
23
12[ + e-2t - e-3t ] u-1(t)
andamento f(0+) = 1/6 + ½ - 2/3 = 0 f( ) = 1/6f(t)max per -2(1/2) e –2t + 3(2/3) e –3t = 0
- e –2t + 2 e –3t = 0; e t = 2; t = ln 2 = 0.69 f(t)max = f(0.69) = 0.21 > 1/6
f(t)
t0.69
1/6
Tor Vergata
M. Salerno 33Laplace
Esempio di antitrasformazioneF(s) = s
s2 + 2s + 5
= (s + 1-2j)(s + 1+2j)s2 + 2s + 5 =
Fattorizzazionedel denominatore
s2 + 2s + 5 = 0s1,2 = -1 + 1 – 5 = -1 + 2j Radici di
s1 = -1+2j; s2 = -1-2jPoli di F(s)
s(s+1-2j)(s+1+2j)
=
= Im[s]
= Re[s]
piano s
x
x-1
2
poli-2
Sviluppo in frazioni parziali
F(s) s(s+1-2j)(s+1+2j)
= A
s+1-2j= +B
s+1+2j
A = (s+1-2j)F(s)|s= -1+2j = ss+1+2j s= -1+2j
=
= ½ + ¼ j-1+2j
4j=
B = (s+1+2j)F(s)|s= -1-2j = ss+1-2j s= -1-2j
=
= ½ - ¼ j-1-2j-4j=
½ + ¼ js+1-2j= +
½ - ¼ js+1+2j
polo : -1 +2j ; residuo A = ½ + ¼ jpolo : -1 - 2j ; residuo B = ½ - ¼ j B = A*
In generale: per ogni funzione razionale reale (cioè a
coefficienti reali), a poli complessi coniugati corrispondono residui complessi coniugati
Antitrasformata
f(t) = [ (½+ ¼ j)e(-1+2j)t (½ ¼ j)e(-1-2j)t ] u-1(t)
complessi coniugati per ogni t
f(t) = 2 Re[(½+ ¼ j)e(-1+2j)t ] u-1(t) =
= e-t Re[(1+ ½ j)e2jt ] u-1(t) = 1+ ½ j =
= 1.12 e0.46 j
= 1.12 e-t cos(2t + 0.46) u-1(t)
= 1.12 e-t Re[e j(2t+0.46) ] u-1(t) =
Antitrasformata
f(t) = 1.12 e-t cos(2t + 0.46) u-1(t)
Andamento
f(t)
t
-1.12
1.12 1
Tor Vergata
M. Salerno 34Laplace
Caso di funzioni razionali improprieF(s) = N(s)
D(s) Ipotesi: funzione razionale reale impropria
gr [N] > gr [D]
Divisione fra polinomi
F(s) = = Q(s) + N(s) D(s)
R(s) D(s)
Q(s) = qk sk
k=0
gr[Q]
: polinomio quoziente
grado : gr [Q] = gr [N] - gr [D] R(s) : polinomio resto
grado : gr [R] < gr [D]
funzione razionale propria
Antitrasformazione da L-1[sk] = uk(t)
e dalla proprietà di linearità
f(t) = L-1 [ F(s) ] =
L-1 [ qk sk ] + L-1
[ ] =k=0
gr[Q]R(s) D(s)
qk uk(t) + L-1
[ ]k=0
gr[Q]R(s) D(s)
Le funzioni razionali improprie possono essere antitrasformate solo nell’ambito
della teoria delle distribuzioni
Tor Vergata
M. Salerno 35Laplace
Esempio di antitrasformazioneF(s) =
s + 1s2 + 3s + 5
s1 = -1 ; s2 = Poli di F(s)
Divisione fra polinomi
N(s) = s2 + 3s + 5D(s) = s + 1
s2 + 3s + 5 s + 1ss2 + s
2s + 5+ 2
2s + 23
Q(s) = s + 2R(s) = 3
F(s) = = Q(s) + N(s) D(s)
R(s) D(s)
= s + 2 + s + 13
Antitrasformata
f(t) = u1(t) + 2 u0(t) + 3 e-t u-1(t)
= s + 2 + s + 13
Tor Vergata
M. Salerno 36Laplace
Poli di Vu(s)Analisi nel dominio di s
sL
+ R1/sC
V/sdominio di s
Esempio: circuito RLC
dominio di t
L+ R
C
V u-
1(t)condizioni iniziali nulle
Vu(s)vu(t) ++
Vu (sC + 1/sL) + (Vu - V/s)/R = 0
Vu (sC + 1/sL + 1/R) = V/(sR)
Vu [s2 + s/(RC) + 1/(LC)] = V/(RC)
Vu = RCV
s2 + s/(RC) + 1/(LC)1
s2 + s/(RC) + 1/(LC) = 0Radici di
= 1/(R2 C2 ) – 4 /(LC)Discriminante
> 0 poli reali distinti
= 0 poli reali coincidenti
< 0 poli complessi coniugati
Vu = RCV
s2 + s/(RC) + 1/(LC)1
Esempio : R= 1/3 ; L = ½ ; C =1
Vu = 3V s2 + 3 s + 2
1(s + 1) (s + 2)
3V=
Poli reali distinti: -1; -2
s + 1A= + s + 2
B
A = = 3V s + 23V
s = -1
s + 13V
s = -2B = = - 3V
s + 13V= - s + 2
3V
vu(t) = 3V (e-t – e-2t) u-1(t)
vu(t)
t
R= 1/4 ; L = 1/4 ; C =1
Vu = 4 V s2 + 4 s + 4
1(s + 2)2
4 V=
Polo reale doppio: -2
vu(t) = 4 V t e-2t u-1(t)
vu(t)
t
R= 1/2 ; L = 1/2 ; C =1
Vu = 2V s2 + 2 s + 2
1(s + 1-j) (s + 1+j)
2V= s + 1-j
A= + s + 1+j
A*
Poli complessi coniugati: -1+j ; -1-j A = = -j V
s + 1+j2V
s = -1+j
s + 1-j-jV
= + s + 1+jjV
vu(t) = 2 Re [-j V e (-1+j) t ] u-1(t) = 2 Ve- t Re [-j e j t ] u-1(t) = = 2 Ve- t Re [-j (cos t +j sin t) ] u-1(t) = 2 Ve- t sin t u-1(t)
vu(t) = 2 Ve- t sin t u-1(t)
vu(t)
t
Tor Vergata
M. Salerno 37Laplace
Sviluppo in frazioni parziali
Esempio: partitore
dominio di t
R
+
R1
C
V
condizioni iniziali nulle
C1
t=0
Vu(s)(sC+G) + [Vu(s) – V/s](sC1+G1) =
0Vu(s) [s(C+C1)+G +G1] = (sC1+G1 )
V/s
Poli : s0 = 0 ; s1 = -(G+G1 ) / (C+C1 )
Vu(s) =
s(C+C1 )+G
+G1
sC1+G1
V
s
Vu(s) =
s [s+(G +G1 ) / (C+C1 )]
sC1+G1
C+C1
V
= +B
s+(G +G1 ) / (C+C1 )
A
sA =
s+(G +G1 ) / (C+C1 )
sC1+G1
C+C1
V
s = 0 G +G1
G1
= V
G+G1
V
= - - C1+G1C+C1
G+G1
G+G1
G1
C+C1
C1
= V - C+C1
V
B =
sC1+G1
s s = -G+G1
C+C1
dominio di s
G
+
G1
Vs
Gi = 1/Ri ammettenzeconduttanze
sC1
sC
Vu(s)
AntitrasformataVu(s)
= +
B
s+(G +G1 ) / (C+C1 )
A
sG+G1
G1
C+C1
C1
B = V -
con eG +G1
G1
A = V
vu(t) = V + e u -1(t)G +G1
G1
G+G1
G1
C+C1
C1
-
-t (G +G1 ) / (C+C1 ) C+C1
C1
vu(0+) = V partizione capacitiva
G +G1
G1
vu( ) = V partizione resistiva
G+G1
G1
C+C1
C1
=se G C1 = G1 C
R1 C1 = R C partitore compensato
Andamentovu(t) = V + e u -1(t)G +G1
G1
G+G1
G1
C+C1
C1
-
-t (G +G1 ) / (C+C1 ) C+C1
C1
vu(0+) = V
partizione capacitiva
G +G1
G1
vu( ) = Vpartizione resistiva
vu(t) vu( )
t
vu(0+) > vu( )vu(0+) < vu( ) t
vu(t) vu( )
vu(0+) = vu( ) t
vu(t) vu( )
partitore compensato
Applicazioni:
Assegnati i due resistori e il condensatore C, parassita, la tensione vu(t) è distorta rispetto alla tensione del generatore (partitore non compensato).Ponendo C1 , tale che R1 C1 = R C , si ottiene vu(t) priva di distorsioni
Dati i due condensatori, i resistori possono rappresentare le correnti di dispersione fra le armature. Appena applicata la tensione di alimentazione, la partizione dipende dai condensatori. Dopo il transitorio, dipende invece dai resistori di dispersione.
Tor Vergata
M. Salerno 38Laplace
Dominio del tempo Dominio di Laplace
Funzioni di rete
Generatori indipendenti(di tensione e di corrente)
Condizioni iniziali
(su induttori e condensatori)
Generatori indipendenti(di tensione e di corrente)
Funzione di eccitazione (tensione o corrente)Funzione di eccitazione (tensione o corrente)
e(t) =e(t) = LL -1-1[[ E(s) E(s) ]]
In un circuito deve essere
presente almeno una funzione di eccitazione diversa da zero
Un circuito privo di generatori indipendenti e con condizioni
iniziali tutte nulle rimane a riposo
I generatori controllati non danno luogo a funzioni di eccitazione Risposta (tensione o corrente)Risposta (tensione o corrente)
qualunque grandezza elettrica d’interesse del circuitoqualunque grandezza elettrica d’interesse del circuito
u(t) =u(t) = LL -1-1[[ U(s) U(s) ]]
circuitonel dominio del tempo
u(t)e(t) circuitonel dominio di Laplace
U(s)E(s)
e(t) =e(t) = L L --
11[[ E(s)E(s)]] u(t) =u(t) = L L --
11[[ U(s)U(s)]]
E(s) F(s) = U(s)E(s) F(s) = U(s)
F(s) funzione di reteF(s) funzione di rete
Si suppone che E(s) sia l’unica eccitazione presenteF(s) dipende dal circuito e dalla coppia eccitazione / risposta E(s) e U(s) sono trasformate di Laplace di e(t) e u(t), rispettivamente F(s) non è una trasformata di Laplace
Classificazione delle funzioni di rete
E(s) F(s) = U(s)
Ve(s)F(s) = Vu(s) funzione di trasferimento
in tensione
Ve(s) F(s) = Vu(s)Ve(s) Vu(s)
Ie(s)F(s) = Iu(s) funzione di trasferimento
in corrente
Ie(s) F(s) = Iu(s)Ie(s) Iu(s)
Ve(s)Y(s) = Iu(s) ammettenza di trasferimento
Ve(s) Y(s) = Iu(s)Ve(s) Iu(s)
Ie(s)Z(s) = Vu(s) impedenza di trasferimento
Ie(s) Z(s) = Vu(s)Ie(s) Vu(s)
Se la tensione e la corrente si riferiscono alla stessa coppia di
morsetti, le impedenze e le ammettenze
sono dette di ingresso
ingresso
ingresso
Esempio
sL
R
RIe
Vu
+
sL impedenza di
trasferimentosL Ie = Vu
Vu +(R+sL) Ie = Vu
R+sL impedenza di ingressoVu
+Ie
Ve
+sL/(R+sL) Ve =
VusL/(R+sL) funzione di trasferimento in tensione
Tor Vergata
M. Salerno 39Laplace
Risposta impulsivaDominio del tempo Dominio di Laplace
circuitonel dominio del tempo
u(t)e(t) U(s)E(s)E(s) F(s) = U(s)
se E(s) = 1se E(s) = 1
F(s) = U(s)F(s) = U(s)
1 F(s)
e(t) =e(t) = LL -1-1[[ 1 1 ]]= = uu00(t)(t)u(t) = h(t) : risposta impulsivau(t) = h(t) : risposta impulsiva
h(t)u0(t)
h(t) =h(t) = LL --
11[[ F(s) F(s) ]]
la risposta impulsiva èla risposta impulsiva èl’antitrasformata della l’antitrasformata della
funzione di retefunzione di rete
prodotto di convoluzioneprodotto di convoluzione
Dominio del tempo Dominio di Laplace
circuitonel dominio del tempo
u(t)e(t) U(s)E(s)E(s) F(s) = U(s)
E(s) F(s) = U(s)E(s) F(s) = U(s)
e(t) =e(t) =
L L -1-1[[E(s)E(s)]]h(t) =h(t) =
L L -1-1[[F(s)F(s)]]u(t) =u(t) =
L L -1-1[[U(s)U(s)]]
relazione diretta fra e(t), h(t), u(t)e(t) e(t) h(t) = u(t)h(t) = u(t)
e(t) h(t) = u(t)
e(e() h(t-) h(t-) d ) d = u(t) = u(t)00 --
e(t-e(t-) h() h() d ) d = u(t) = u(t)00 --
il prodotto di
convoluzione è commutativo
Tor Vergata
M. Salerno 40Laplace
Circuito in regime impulsivo u(t)e(t)e(t) h(t) = u(t)
Risposta impulsivaLa risposta impulsiva h(t) caratterizza il circuito nel dominio del tempo e può essere rilevata sperimentalmente
Da h(t) si può determinare la funzione di rete F(s) : F(s) = L[h(t)]
u(t) = h(t) per e(t) = u0 (t)
approssimantedi u0 (t)
t
e(t)
e(t) forma d’onda generica = 0 per 0 < t < /
u(t) = e() h(t-) d = 0 -
e() h(t-) d =
0
= e() h(t) d =0
h(t) e() d 0
= A h(t)
Ipotesi: tale che h(t-) h(t) per ogni t e per 0
<<
La risposta u(t) è pari alla risposta impulsiva h(t), moltiplicata per l’area A della forma d’onda d’ingresso [A in Volt sec]
A
A = e() d
0
Tor Vergata
M. Salerno 41Laplace
circuito stabile
Stabilità
Un circuito può dare luogo a più risposte impulsive in funzione della coppia eccitazione - risposta. Un circuito è stabile, se lo è rispetto a tutte le possibili risposte impulsive
h(t)u0(t)e(t) h(t) = u(t) rispetto alla risposta
impulsiva h(t)
F(s) = L[h(t)] = Im[s]
= Re[s]
piano s
poli
t
polo reale negativo semplice: s = -a
fattore di D(s): (s+a) x
-a
andamento stabile
F(s) = L[h(t)]
t
polo reale negativo multiplo: s = -a
fattore di D(s): (s+a)n
andamento stabile
x
F(s) = L[h(t)]
t
coppia di poli semplici complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd
fattori di D(s): (s+c jd)
+
andamento stabile
x
x-c
d
-d
F(s) = L[h(t)]
t
coppia di poli multipli complessi coniugati con parte reale negativa: s = -c + jd
fattori di D(s): (s+c jd)n
+
andamento stabile
x
x
regione di stabilità semipiano sinistro del piano s Re[s] < 0
= Im[s]
= Re[s]
piano s
poli
F(s) = L[h(t)]
t
polo reale semplice o multiplo con parte reale positiva: s =
fattore di D(s): (s-)n
forma d’onda illimitata
andamento instabile
x
F(s) = L[h(t)]
t
coppia di poli complessi coniugati, semplici o multipli, con parte reale positiva: s = + j
fattori di D(s): (s- j)n
+
forma d’onda illimitata andamento instabile
x
x
= Im[s]
= Re[s]
piano s
poli instabilitàstabilità
F(s) = L[h(t)]
t
coppia di poli complessi coniugati semplici, sull’asse immaginario: s = + j b
fattore di D(s): (s2+b2)
forma d’onda limitata
andamento al limite di stabilità
x
x
b
-b
regione di instabilità semipiano destro del piano s Re[s] > 0
limite di stabilità asse immaginario del piano s Re[s] = 0
F(s) = L[h(t)]
t
coppia di poli multipli, complessi coniugati, sull’asse immaginario: s = + j b
fattore di D(s): (s2+b2)n
forma d’onda illimitata
andamento instabile
poli semplici
lim h(t) = 0 t
Tor Vergata
M. Salerno 42Laplace
L’eccitazione, uu00(t) (t) , fornisce l’energia EE al circuito.EE non può né aumentare né diminuire. Le risposte impulsive h(t)h(t) rimangono tutte limitate, senza tendere a zero
Stabilità dei circuitiCircuiti reattiviCircuiti reattiviComponenti reattivi: induttori, condensatori, induttori accoppiati, trasformatori ideali
stabilestabile poli per Re[s] < 0
Circuiti passiviCircuiti passiviComponenti reattivi + resistori
EE può diminuire. Le h(t)h(t) possono tendere a zero, o rimanere limitate
Circuiti attiviCircuiti attiviComponenti reattivi + resistori, generatori controllati, nullori
EE può aumentare. Le h(t)h(t) possono tendere a zero, rimanere limitate o divergere
poli per Re[s]>0 instabileinstabile
poli per Re[s]=0 multipli
al limite di stabilitàal limite di stabilità poli per Re[s] = 0 sempliciF(s) =F(s) = LL[[h(t)h(t)]]
Tor Vergata
M. Salerno 43Laplace
= Im[s]
= Re[s]
piano s
poli
Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)]
Stabilità: esempi+
Ve(s)
sL
+Vu(s)
1/
sC
Circuito reattivo
F(s) = = Ve(s)Vu(s) 1/sC
sL + 1/sC
Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione
F(s) = = 1s2LC + 1
1s2 + 0
21
LC
F(s) = 2 Re[ ] ; As + j0
A = = ½ (LC)-1/2 j 1/LCs - j0 s=- j0
h(t) = 2 Re[A e-j t ] u-1(t)0
1s2LC + 1=
x
x
0
0
0 = (LC)-1/2
Si ricordi cheF(s) = + = 2 Re[ ]
As + j0
As + j0
A*s - j0
= (LC)-1/2 sin 0 t u-1(t)
2 Re[A e-j t ]0 = 2 Re[½(LC)-1/2 j (cos 0 t - j sin 0 t)] = (LC)-1/2 sin 0 t
h(t)
tandamento al limite di stabilità
Circuito passivoRL
RC
Ipotesi: RL / L = 1/(CRC ) = DsL + RL = L(s+ RL /L) =L(s+D) = LpsC + 1/Rc = C(s+ 1/CRc )=C(s+D) =Cpp = s + D D reale e positivo
F(p) = = 1p2LC + 1
1p2 + 0
21
LC
F(p) = 2 Re[ ] ; Ap + j0
+Ve
+Vu
pL
1/
pC
Nella variabile p, il circuito è reattivo
F(p) = 1/pC
pL + 1/pC1
p2LC + 1=
L’analisi è identica a quella del circuito LC
Il piano p è traslato a destra di D rispetto al piano s
= Im[p]
= Re[p]
piano p
poli = + D
Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)] 1
p2 + 02
1LCF(p) = = 1
p2LC + 1x
x
0
0
0 = (LC)-1/2
A = = ½ (LC)-1/2 j 1/LCp - j0 p=- j0
F(p) = 2 Re[ ] ; Ap + j0
F(s+D) = 2 Re[ ] ; As+D + j0
= Im[p]
= Re[p]
piano s
polipoli in s : -D + j0
x
x
0
0
-D
h(t) = 2 Re[A e(-D-j )t ] u-1(t)0
= 2 e-Dt Re[A e-j t ] u-1(t)0
= (LC)-1/2 e-Dt sin 0 t u-
1(t)
L’espressione è identica a quella del circuito LC, eccetto il fattore e-Dt . Pertanto lo spostamento a sinistra dei poli della quantità D corrisponde allo smorzamento della risposta impulsiva
h(t) = (LC)-1/2 e-Dt sin 0 t u-
1(t)h(t)
tandamento stabile
Tor Vergata
M. Salerno 44Laplace
+Vu
Ve
+
sL 1/sC
Stabilità: esempiCircuito attivo
Funzione di rete: funzione di trasferimento in tensione
I1
I1 I1 = Ve /
sLVu = - (1/sC)
I1
= -1/(s2LC)
Risposta impulsiva h(t) = L-1[F(s)] = Im[p]
= Re[p]
piano s
poli
; polo : s = 0, doppio
xx
h(t) = L-1[F(s)] =
L-1[-1/(s2LC)]
F(s) = Ve(s)Vu(s)
= (-1/LC) u-2(t)
h(t)
t
rampa andamento
instabile
Il polo doppio all’origine (s = 0) dà luogo ad andamento instabile. Dal punto di vista della
stabilità, l’origine del piano s ha le stesse proprietà degli altri punti dell’asse immaginario Dopo l’applicazione dell’impulso, una corrente costante percorre l’induttore e, proseguendo nel condensatore, lo carica indefinitamente. L’energia corrispondente è fornita dal noratore.
Tor Vergata
M. Salerno 45Laplace
Regime permanenteU(s)E(s)
E(s) F(s) = U(s)
Ipotesie(t) = L-1[E(s)] = E cos(t + ) u-
1(t )circuito stabile
Si ricordi che: E(s) = L[e(t)] = L[E cos(t + ) u-1(t )] =
E = E e j fasore di e(t) = L[½[E e jt + E* e- jt] u-1(t )] = ½ [ +
]
Es - j
E*s + j
E(s) = ½ [ + ]
Es - j
E*s + j
U(s) = ½ [ + ]F(s)
Es - j
E*s + j
Poli di U(s) : + Poli di F(s) : per Re [s ] < 0Poli di E(s) : per s = + j
Sviluppo in frazioni
parziali
U(s) = Up(s) + Ut (s)
sviluppo sui poli di E(s)
sviluppo sui poli di F(s) u(t) = up(t) + ut (t)
andamento sinusoidale permanente
tende a zero per la stabilità: transitorio Calcolo di Up(s)
Up(s) = ½ [ +
]
Us - j
U*s + j
½ U = U(s)(s – j)|s=j =
= ½ F(s) [ + ](s –
j)|s=j
Es - j
E*s + j= ½ F( j)
EU = F( j) E
Tor Vergata
M. Salerno 46Laplace
Regime permanenteLaplaceU(s)E(s)
E(s) F(s) = U(s)UE
E F(s)|s=j = URegime
permanente
Circuito stabile: al crescere di t , tutte le risposte impulsive tendono a zero
tutte le risposte transitorie tendono a zero
tutte le grandezze elettriche del circuito sono in regime sinusoidale permanente
Analisi in regime permanenteAnalisi nel dominio di LaplaceGrandezze elettriche:
L-trasformate di tensioni e correntiGrandezze elettriche:
fasori di tensioni e correnti
Funzioni di rete F(s) Funzioni di rete F(s), con s = jLa sostituzione s = jpuò essere effettuata in qualunque punto del procedimento
Circuito al limitedi stabilitàp.es. circuiti reattivi
Se j è un polo di F(s), la suddivisione della risposta in permanente e transitorio non può essere effettuata
F( j) = /
Al crescere di t , alcune risposte impulsive non tendono a zero, ma rimangono limitateL’analisi in regime permanente può essere effettata, ma alcune risposte transitorie di tipo sinusoidale si sovrappongono alle sinusoidi del regime permanente
Circuito instabile Al crescere di t , alcune risposte impulsive non tendono a zero e possono divergere
L’analisi in regime permanente può essere effettata formalmente, ma può perdere di validità, perché alcune risposte transitorie possono mascherare il regime permanente
L’analisi con il metodo dei fasori non permette di determinare i transitori, né di verificare la stabilità, o meno, del circuito
Tor Vergata
M. Salerno 47Laplace
poli di I(s)
= Im[p]
= Re[p]
piano s
poli
V(s) = ½ [ + ] ;
Vs - j
V*s + j
V = V e j
Regime permanente: esempio
(sL+R)I(s) = V(s)
I(s) = ½ [ + ]
Vs - j
V*s + j
sL+R1
F(s) = sL+R1 funzione di rete:
ammettenza d’ingresso
circuito stabile
s = + jpoli della eccitazionex
x
s = -R/Lpolo della funzione di rete
x-R/
L
Sviluppo in frazioni parziali di I(s)
I(s) = ½ [ + ] +I
s - j
I*s + j
s+R/LA
½ I = I(s)(s - j)|s = j= j L+R½ V
A = I(s)(s + R/L)|s = -R/L=
= [ + ]
V*-R/L + j
V-R/L - j
12L
permanente transitorio
t = 0
+V cos(t+)
dominio di t
L
i(t)
i(t) = 0 | t < 0
R
+V(s)
dominio di s
sL
I(s)
R
I = ;j L+RV
A = - Re[ ]
j L+RV
= - Re[I ]
Re[ ] =
j L+RV
L+R
(cos + j sin )(- j L+R)V Re[ ] =
L+R
R cos + L sin
= V
A = - Re[I ] = 0 per R cos + L sin =
0tan = - R / L
I = V / ( j L+R)
A = - V L+R
R cos + L sin = - Re[I ]
A = - Re[I ] = 0 per tan = - R / L
i(t) = ip(t) + it(t)
Andamenti nel tempo
ip(t) = Re[I e j t] u-1(t)
it(t) = A e - (R/L) t u-1(t)
ip(0+) = Re[I ]it(0+) = A ;
All’istante 0+
i(0+) = A + Re[I ] = 0
t
i(t)
Re[I ]
permanente
A
transitoriorisposta completa
Il circuito è rilevante in molte applicazioni, in quanto rappresenta l’inserzione di un carico induttivo (p. es. un trasformatore, un motore, ecc.) su un generatore sinusoidale (p. es. la tensione di alimentazione di rete)
t = 0
+V cos(t+)
dominio di t
L
i(t)
i(t) = 0 | t < 0
R
Nelle applicazioni tutti i parametri sono noti, eccetto l’angolo , che dipende dall’istante di inserzione, in genere casuale. Risulta così non prevedibile l’andamento della risposta completa
Il caso più favorevole si ha quando il transitorio è assente (A = 0 ; tan = - R / L) e la corrente massima è pari a | I | .
Nel caso peggiore, il valore assoluto della corrente può raggiungere il valore di 2 | I |