1

Torricelli, Boyle, GayTorricelli, Boyle, Gay--Lussac, AvogadroLussac, Avogadroe le e le leggi dei gasleggi dei gas

La lunga strada per capire le leggi che La lunga strada per capire le leggi che governano i gasgovernano i gas

Tre mattine all’Università

Evangelista Torricelli (1608-1647)

Joseph L. Gay-Lussac(1778-1850)

Amedeo Avogadro(1776 - 1856)

•• fino a giungere adfino a giungere ad AvogadroAvogadro e al suo e al suo “numero” che segna l’inizio del modello “numero” che segna l’inizio del modello atomicoatomico--molecolaremolecolare

•• TorricelliTorricelli misura la misura la pressionepressione•• BoyleBoyle scopre la relazione fra pressione e scopre la relazione fra pressione e

volumevolume•• CharlesCharles e Gaye Gay--Lussac Lussac scoprono la scoprono la

relazione fra pressione e temperaturarelazione fra pressione e temperatura

2

3. Le 3. Le leggi dei gasleggi dei gas

I I nuovi concettinuovi concetti tipici dei “sistemi a molti corpi”tipici dei “sistemi a molti corpi”•• sistema, sistema, statostato del sistema,del sistema,•• variabile di stato,variabile di stato,•• sistema insistema in equilibrio equilibrio

. . . e una nuova scienza, da raccordare alla meccanica, . . . e una nuova scienza, da raccordare alla meccanica, la “termodinamica”la “termodinamica”

Tre mattine all’Università

••variare pressione e/o temperatura ed variare pressione e/o temperatura ed esaminare tutte le possibili correlazioni esaminare tutte le possibili correlazioni fra le “variabili di stato”fra le “variabili di stato”

L’esperimento del “termometro a gas”L’esperimento del “termometro a gas”

3

La lunga storia per capire le leggi che governano i gasLa lunga storia per capire le leggi che governano i gasinizia con Torricelli (barometro)1643 si evolve sino al 1873 con equazione van der Waals

Torricelli, Pascal, von Guericke sono tre dei nomi tra i molti importanti per quanto concerne la comprensione del fenomeno “atmosfera”; ad essi si associano esperimenti che rappresentano pietre miliari per i successivi sviluppi:•La misura della pressione atmosferica(esperimento di Torricelli);•La variazione della pressione atmosferica con l’altitudine (esperimento di Pascal-Périer sulPuy de Dome);•L’applicazione di una pompa da vuoto per realizzare condizioni di rarefazione e dimostrare la “forza dell’aria” (esperimenti di Otto von Guericke con gli emisferi di Magdeburgo).•Termometri; scale temperatura. Galileo 1592, Fahrenheit 1714 ; Celsius 1742,Kelvin 1848•Leggi dei gas Boyle 1662 “relazione tra volume e pressione” Amontons 1702 “ relazione tra temperatura e pressione”Charles 1787 “ relazione tra volume e temperatura”Gay-Lussac 1802 “ temperatura pressione”, “volume temperatura” ,rapporti volumetriciAvogadro 1811 introduzione del concetto di molecola

“numero Avogadro”. Van der Waals 1873 “ equazione stato gas reali “

•Teoria cinetica dei gas Bernoulli ; Joule ; Clausius ; Maxwell ; Gibbs ; Boltzmann

4

Stati d’aggregazione della materiaStati d’aggregazione della materia

LIQUIDO:LIQUIDO:Forma del Forma del

recipiente in cui recipiente in cui è contenuto, ma è contenuto, ma volume propriovolume proprio.

SOLIDO:SOLIDO:Forma e Forma e

volume propri.

GASSOSO:GASSOSO:Forma e Forma e

volume del volume del recipiente in recipiente in

cui è contenutocui è contenuto.

volume propri.

. .

Parametri di statoParametri di statoVolume: Volume: in min m33, oppure in L, oppure in LMassa: Massa: in kgin kgPressione:Pressione: in N min N m--22 == PaPa, oppure in , oppure in atmatm, , torrtorr,,mbarmbarTemperatura:Temperatura: in K, in K, oppure oppure in in °°CC

5

• Studiare il comportamento di un gas (aria) al variare del volume V, della pressione p e della temperatura T.

• Studiare la dipendenza V(p) di V da p a T costante.-Verificare l’esistenza della relazione di proporzionalità inversa tra pressione e

volume a temperatura costante: pV = cost Legge di Boyle

• Studiare la dipendenza V(T) del volume V dalla temperatura T a pressione p costante e la dipendenza p(T) della pressione p dalla temperatura T a V costante.

-Vi è una relazione lineare:

p/T = costtra pressione p e T a V costante e

V/T = costtra volume V e T a p=cost. ?Leggi di Gay Lussac

• Si può definire una temperatura assoluta “ zero assoluto” quindi una scala assoluta delle temperature per estrapolazione verso le temperature più basse ?

Obiettivo

6

Strumenti e metodi• Misure di temperature• Termometri digitali e a

mercurio• Termometro a Gas

Scala assoluta• Misure di pressione• Barometro

Pressione atmosferica• Manometro differenziale• Pompe

• Studio di leggi fisiche:legge dei gas

• Grafici: interpretazione;trasformazione di scale e variabili

• Interpolazione dati:metodo minimi quadrati

• Analisi incertezze:valutazione errori misurapropagazione errori

• Uso di excel

7

Strumenti utilizzati• Termometro a Gas

• Termometro digitale

• Pompa a mano per vuoto

• Manometro differenziale a U

• Barometro (Fortin)

• Fornellino elettrico

• Recipiente in vetro

• Ampolla di vetro corredata di ancoretta magnetizzata

8

MISURA DELLA TEMPERATURAMISURA DELLA TEMPERATURA

scala Fahrenheit:scala Fahrenheit:[Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736) ha inventato il termometro ad alcool (1709) e quello a mercurio (1714)]lo zero e’ fissato dalla temperatura di una miscela di acqua, ghiaccio e sale da cucina, mentre la temperatura corporea media e’ circa 100.

scalascala CelsiusCelsius::[Anders Celsius, 1701-1744]lo zero e’ fissato dalla temperatura di fusione del ghiaccio, mentre la temperatura di ebollizione dell’acqua e’ 100.

scala assoluta delle temperature:scala assoluta delle temperature:[ Lord Kelvin 1848] termometro a gas perfetto. Valore zero della scala ( lo zero assoluto): temperatura alla quale il volume del gas si annulla ;

la divisione in gradi ( K) è la stessa della scala Celsius ( °C).

9

Termometro a Gas• Costituito da un tubo capillare di vetro

aperto ad un estremo, nel quale si puòracchiudere un volume variabile di gas per mezzo di una gocciolina di mercurio

• Lunghezza del volume gassoso racchiuso nel tubo letta su scala millimetrata incisa sul vetro del capillare.

Dati tecnici:Termometro a gas

• Lunghezza totale 475 mm• Diametro esterno 8 mm• Diametro interno (2.7 ± 0.2)mm

Provetta• Lunghezza 440 mm• Diametro esterno 30 mm

10

Pompa a Mano per vuoto e compressione

• Pompa ad aria azionabile a mano, per fare il vuoto o aumentare la pressione; dotata di manometro per misurare il vuoto.

• Sistema: pompa a membrana e pistone

• Pressioni raggiungibili :120 mbar (lato aspirazione)1270 mbar (lato compressione)

• Sensibilità manometro : ± 5 mbar

11

MISURA DELLA PRESSIONE DEI GASMISURA DELLA PRESSIONE DEI GAS

Evangelista Torricelli (1608-1647)

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Barometri a mercurioIl barometro di Torricelli è uno strumento a mercurio per la misura della pressione atmosferica.

Ideato da Evangelista Torricelli nel 1643, consiste in un lungo tubo di vetro riempito di mercurio e immerso con l'estremità aperta in una bacinella piena anch'essa di mercurio.Lo spazio all'interno del tubo al di sopra della colonna di mercurio contiene solo vapori di quest'ultimo, la cui pressione alle temperature ordinarie è trascurabile (la pressione di vapore del mercurio a 20 °C è pari a 160,12 10-3 Pa).

La colonna si alzerà tanto quanto necessario ad equilibrare la pressione atmosferica esercitata sulla superficie libera del fluido della bacinella.

Se indichiamo con p2 = 0 la pressione della sommità della colonna (a quota y2) e con patm la pressione sulla superficie a quota y1 del mercurio della vaschetta, la legge di Stevino nella forma:

( )1212 yygpp −−=− ρ

hgpatm ρ=dà :

( )12 yyh −=dove :

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Barometro Fortinmisura della pressione atmosferica

• Si rileva la temperatura sull’astuccio• Si regola il livello della superficie del

mercurio facendola sfiorare dalla punta in avorio, riferimento di zero

• Si tocca la superficie del menisco nella colonna con l’indice, leggendo il valore di altezza su graduazione e nonio

• Si applicano due correzioni di compensazione, una per la dilatazione del mercurio con temperature al disopra di 0°C e l’altra per la sua depressione capillare.

• Si riporta il valore letto alla quota dei mari mediante un coefficiente dipendente dalla quota del luogo di misura, ottenendo un risultato con precisione fino a 0.05 mmHg o 0.05 mbar.

pATM = p'ATM - b0 + cg

14

I manometri misurano pressioni incognite sfruttando il fatto che la differenza di pressione è direttamente proporzionale alla profondità del fluido.Essi sono costituiti da un tubo ad U collegato ad una estremità alla pressione p da misurare e l'altra è aperta all'aria: nel tubo è contenuto un liquidomanometrico di densità ρ conosciuta.

Con questo tipo di manometro si misura la

pressione differenziale = p - pATM = ρ g h

dove h è la differenza tra le estremità delle colonne di liquido nei rami del tubo.

La pressione assoluta è quella realmente esistente entro il serbatoio e si ottiene da quella differenziale aggiungendovi patm misurata a parte.

Sensibilità scala manometro (lettura h) : ± 1 mm

Manometri a liquido

15

Variazione di pressione producono una deformazione che si traduce in un allargamento della spirale. Un indice mobile segnala su apposita scala la deformazione al variare della pressione.

Manometro Manometro BourdonBourdon

16

Torricelli, Pascal, von Guericke sono tre dei nomi tra i molti importanti per quanto concerne la comprensione del fenomeno “atmosfera”; ad essi si associano esperimenti che rappresentano pietre miliari per i successivi sviluppi:

•La misura della pressione atmosferica(esperimento di Torricelli);

Egli progetto un esperimento nel 1644 , in grado di evidenziare variazioni della pressione dell’aria e di produrre il vuoto .

Esso dimostrava chiaramente che lo spazio al di sopra del mercurio ,quando la colonna veniva capovolta all’interno di un recipientecontenente anch’esso mercurio , era vuoto. Il livello del mercurio eraindipendente dal volume sopra di esso.

L’esperimento di Torricelli:

•La variazione della pressione atmosferica con l’altitudine (esperimento di Pascal-Périer su Puy de Dome);

un barometro e 4kg di mercurio furono portati sul Puy de Dome( circa 1000 m di altezza).

Quando il barometro fu sistemato sulla cima della montagna , la colonna di mercurio risultò essere 7.5 cm più corta di una colonna simile posta alla base e tenuta continuamente sotto osservazione.Esistenza vuoto naturale

17

Otto von Guericke: la pompa trasportabile e gli esperimenti di Magdeburgo.

Intorno al 1640 egli collegò una pompa ad acqua ad una botte di legno riempita d’acqua per vedere se, dopo aver pompato via l’acqua, rimaneva uno spazio vuoto.

Quando, per effetto della pompa l’acqua fu completamente estratta si sentì il rumore dell’aria che penetrava attraverso ipori del legno.Egli apportò varie modifiche e miglioramenti allasua pompa e, con i suoi esperimenti, riuscì a formulare delle ipotesi sull’origine di alcuni fenomeni metereologici , ad esempio che vento e tempeste potessero essere causati da differenze nella pressione atmosferica.

L’invenzione della pompa ad aria ad opera di Otto von Guericke

fu definita una delle quattro più grandi invenzioni tecniche del secolo

(insieme con il telescopio, il microscopio ed il pendolo).

Egli condusse esperimenti molto spettacolari anche nelle piazze.

18

Otto von Guericke: la pompa trasportabile e gli esperimenti di Magdeburgo.

Tra il 1654 ed il 1657 Otto von Guerickecondusse i suoi esperimenti più famosi quelli detti degli “emisferi di

Magdegurgo”.In figura è rappresentato un altro esperimento, cioè il tentativo diseparare i due emisferi applicando dei pesi per ricavare anche un valore approssimato delle forze in gioco.

Gli esperimenti degli “emisferidi “Magdeburgo” divennero così famosi che furono ripetuti in molti altri luoghi e da altri sperimentatori tra cui va annoverato Robert Boyle che apportò molte modifiche alla pompa di Guericke e stabilì le leggi che legano pressione e volume a temperatura costante.

19Robert Boyle, 1629-1691

RELAZIONE TRA VOLUME E PRESSIONERELAZIONE TRA VOLUME E PRESSIONE

V ∝ 1/pcon T,n = cost.

20

Dipendenza dalla pressione pdel volume V di un gas a T cost.

• Misurare mediante il barometro patm = p0.• Leggere hHg altezza della colonnina di mercurio• Mantenendo a T=cost. il termometro a gas,

variare la pressione p esercitata sul gas della colonnina, creando una depressione mediante la pompa a vuoto.

• Mediante pompaggio dell’aria creare una depressione ∆p rispetto a p0

p = p0 + ∆p+ pHgdove: pHg= ρghHg pressione colonnina mercurio

• Variare il valore della pressione a partire da p0fino a una depressione di 700 mbar con passo di 100 mbar.

• Leggere il valore h colonnina di aria e il valore ∆p a temperatura costante.

• Volume quantità aria racchiusa V = A*hA = πd2/4 sezione capillare; d diametroh = lunghezza della colonna aria (letta sulla scala

del termometro a gas)

h

hHg

21

Tabella valori misurati

∆p [mbar] ± p [mbar] ± h [cm] ± V [cm3] ± pV [mbar cm3] ±

22

Rappresentazione dei dati sperimentaliandamento p (V) : pV = cost

200

400

600

800

1000

1200

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

V [cm3]

p [m

bar]

∆p [mbar] p [mbar] h [cm] V [cm3] pV [mbar cm3]

0 1000,62 6,1 0,35 349,48100 900,62 7,0 0,40 360,96200 800,62 8,0 0,46 366,72300 700,62 9,0 0,52 361,03400 600,62 10,5 0,60 361,08500 500,62 12,7 0,73 364,02600 400,62 15,6 0,89 357,83700 300,62 20,7 1,19 356,29

cambio scala: scala bilogaritmica

100

10000

0,10 1,00 10,00

V [cm 3]

p [m

bar]

cambio di variabile: p --> 1/p

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

V [cm3]

1/p

[mba

r-1

]

23

Rappresentazione ed elaborazione dei dati sperimentali

Dall’osservazione di un fenomeno alla formulazione di una legge : p V = cost

• Valutare gli errori di misura per V, p e θ• Riportare in tabella i valori (corredati di errore e unità misura) di p, di h e di V

• Quale tipo di legge lega la pressione e il volume?

• Valutare per ogni misura il prodotto pV e la relativa incertezza. Il prodotto pV si può ritenere costante? (grafico)• Se essi risulteranno costanti entro le incertezze che relazione si può assumere esista tra P e V?

andamento p (V) : pV = cost

200

400

600

800

1000

1200

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

V [cm3]p

[mba

r]

• Riportare su grafico con scale lineari l’andamento del valore di V in funzione di p. Cosa suggerisce l’esame della figura? A quale funzione assomiglia il ramo di curva che si adatta ai dati sperimentali? Si può ritenere un’iperbole e quindi la relazione cercata possa essere del tipo pV = K?

24

Uso di variabili trasformate: p 1/pandamento p (V) : pV = cost

200

400

600

800

1000

1200

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

V [cm3]

p [m

bar]

In realtà non è semplice riconoscere ad occhio un tale tipo di curva. Supponiamo che le due grandezze siano legate dalla legge:

pV=Kse p è inversamente proporzionale V ciò vuol dire che 1/p è proporzionale a V.Costruire il grafico ponendo in ordinata i valori di 1/p e in ascissa i valori di V: dovremo ottenere un andamento lineare e i punti devono giacere su una retta passante per l’origine.Valutare la pendenza e la relativa incertezza in modo grafico (e stimando i parametri con metodo minimi quadrati!)

cambio di variabile: p --> 1/p

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

V [cm3]

1/p

[mba

r-1

]

25

RELAZIONE TRARELAZIONE TRAPRESSIONE E TEMPERATURAPRESSIONE E TEMPERATURA

Joseph Louis Gay-Lussac(1778-1850)

Jacques Charles(1746-1823)

26

ESPERIMENTO DI CHARLES E GAYESPERIMENTO DI CHARLES E GAY--LUSSACLUSSAC

P ∝ Tcon V,n = cost.

-273,15 °C

P

Θ (°C)0 °C

P

T (K)0 K

T( Kelvin )= Θ (°C) + 273,15°

27

Dipendenza del volume V dalla temperatura T a pressione p cost.

• Variare la temperatura θ del gas (da θamb. fino a 80 °C; passo 5 °C). Misurare θ col termometro digitale.

• Per ogni valore di θ rilevare: θ, h, V e pnelle tre condizioni di pressione p:

p = p amb.; p = p amb ± ∆p

• Il valore della pressione ∆p, letto sul manometro, si varia agendo sullo stantuffo

• Rappresentare V(θ) per i tre valori di p.

• Estrapolare l’andamento di V(θ) perV → 0 .

• Ricavare zero assoluto.

28

Tabella valori misurati

θ [° C] ± h [cm] ± θ [° C] ± h [cm] ± θ [° C] ± h [cm] ±

p = pATM p = pATM + ∆p p = pATM - ∆p

29

Rappresentazione dei dati sperimentali

θ [° C] h [cm] θ [° C] h [cm] θ [° C] h [cm]

23,1 6,1 23,1 5,5 23,1 7,028,2 6,3 28,5 5,7 28,8 7,333,1 6,5 32,4 5,8 33,0 7,438,1 6,6 37,8 5,9 37,8 7,643,1 6,7 42,2 5,9 42,6 7,747,2 6,8 47,6 6,1 48,4 7,853,0 6,9 52,7 6,2 53,6 8,058,4 7,0 57,7 6,3 58,1 8,163,2 7,1 62,6 6,4 62,3 8,268,3 7,2 67,3 6,5 68,1 8,3

73,1 7,3 71,8 6,5 71,9 8,478,2 7,4 78,7 6,6 78,8 8,580,1 7,5 80,0 6,8 81,2 8,7

p = pATM p = pATM + ∆p p = pATM - ∆p

V (q)

V = 0,0012θ + 0,3298(p = pATM)

V = 0,0011θ + 0,2962(p =pATM + ∆p)

V = 0,0014θ + 0,3799(p = pATM - ∆p)

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50 100

θ [° C]

V [c

m3 ]

V (q)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

θ [° C]

V [c

m3 ]

p = pATM p = pATM + ∆p p = pATM - ∆p

30

Studiare la dipendenza di V da T a P costanteDefinire una temperatura assoluta “zero”

Legge dei gas• Riportare in tabella i valori misurati (corredati di errori e unità di misura)• Riportare su grafico gli andamenti del valore di V in funzione di θ nelle tre condizioni di

pressione.• Verificare se i punti possono essere rappresentati mediante l’equazione:

V = V0 (1+ α*θ) a p costante: Legge di Gay Lussac.Trovare la retta che meglio interpola i dati (maniera grafica e metodo minimi quadrati).Determinare: V0 e α (coefficiente di dilatazione)V0 è il volume a 0 °C; α si ottiene dalla pendenza della retta. : ∆V/∆θ = V0*α

• Estrapolare l’andamento al valore V= 0. Come punto zero della temperatura assoluta 0 Ksi può definire il punto di intersezione della retta con l’asse delle temperature (V=0). Ricavare tale valore e il relativo errore. Come è legato ad α ?

• Ricavare la temperatura T assoluta: T = θ + 273.15.Per ogni T determinare i corrispondenti valori di p e V

• La proporzionalità diretta di pressione p e volume V con la temperatura è valida per una scala di temperature con lo zero a – 273.15 C°.

Verificare se V / T= cost a p costante: Legge di Gay Lussac• Calcolare l’espressione p V / T.

Verificare la legge pV / T= cost per una determinata quantità di gas. Legge dei gas• Stimare nR ( n = numero moli e R costante gas)

31

La Legge diLa Legge di CharlesCharles e Gaye Gay--LussacLussac. La Scala della Temperatura assoluta. La Scala della Temperatura assoluta

-273,15 °C

V

Θ (°C)0 °C α=1/273 è stato determinato sperimentalmente.

a P costante, V è proporzionale a θ e aumenta di 1/273 del volume V0 che occupa a 0°C, per ogni aumento della temperatura θ di 1°C

V

T (K)0 K

V0

Andamento lineareV=V0 +(V0 /273)θ

θ fusione ghiaccio = 0 °C θ negativi; V0

scelta scala temperatura T tale che: θ =( T- 273.15)

V=V0 +( V0 / 273.15) θ =V0 +( V0 / 273.15)(T- 273.15) = = V0 + V0/ 273.15 T – V0 V= (V0 / 273.15) T

Posto :273.15 ° = T0 V =(V0/T0) TV = (V0 /273) T

T indica la temperatura nella scala in gradi Kelvin (K)

0 (K) = Zero assoluto = -273.15 °C

per θ < -273oC = 0oK V < 0

assurdo

zero assolutoLimite di natura

T (K) = θ (°C) + 273.15°

V / T= COSTV / T= COST

V= V0(1+ α θ) α = 1/273.15a V costanteP= P0(1+ α θ) ; P0 : pressione a 0°C

Sposto origine assi a : – 273.15 °

32

Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadroconte di Quaregna e di Cerreto

(1776 - 1856)

LeggeLegge AvogadroAvogadro::

“Volumi uguali di gas, “Volumi uguali di gas, alla stessa pressione e alla stessa pressione e temperatura, temperatura, contengono ugual contengono ugual numero di molecole.”numero di molecole.”

V ∝ ncon T,P = cost.

33

Equazione di stato dei gas idealiEquazione di stato dei gas idealilegge di Boyle legge di Charles legge di Avogadro

equazione di statoEquazione di stato = equazione che indica come si comportano le variabili volume (V), temperatura(T), pressione(P) ed il numero di moli (n) con il passare del gas da uno stato all’altro

Legge di Boyle V inversamente proporzionale a PV ∝ 1/P “ a T e n costanti”

Legge di Charles V direttamente proporzionale a TV ∝ T “a P e n costanti”

Legge di Avogadro V direttamente proporzionale ad n V ∝ n “ a T e P costanti”

V ∝ (1/P) (T) (n) V= R(1/P)(T)(n)

Equazione di stato PV= n RT PV= n RT R = costantedei gas ideali universale dei gas

34

Il valore di R : costante universale dei gasIl valore di R, come avviene per tutte le costanti sperimentali, dipende dalle unità di misura usate per esprimere le variabili in gioco. Un modo di calcolare il valore di R quando si misuri la pressione in atm è quello di fare riferimento al volume molare: 1 mole occupa in condizioni standard (T0= 0°C e P0=1 atm) un volume di 22.413 litri ( volume molare, V0). In questo volume sono contenute un numero diAvogadro (N = 6.022 x 1023) di molecole del gas.

Dall’equazione di stato :

PV/T = n(P0V0/T0)= nR R=P0V0/T0

R = (1 atm ) (22.413 litri) / (1 mole) (273.15 K)= 0.08205 atm. litro mol-1 K-1

Se P misurata in Pa ( 1 atm = 1.013 105 Pa)

R= 8.31 joule mol-1 K-1

E' bene sottolineare che la costante R non è una costante limitata alle leggi dei gas, ma compare in numerose relazioni termodinamiche. Per rendersi conto dell'universalità di R, ricordiamo che il suo valore è dato dal prodotto della costante di Avogadro (NA) per la costante di Boltzmann(k), una costante fondamentale che vale ca. 1.38 x 10-23 joule/K.

R = NAk

35

Calcolo del volume della quantità di gas studiataCalcolo del volume della quantità di gas studiataPV/T= nR

Abbiamo verificato che: PV/T = coste calcolato il valore della cost=PV/TQuale sarebbe il volume occupato dal gas ( n rimane costante)alle condizioni normali (NTP) ?.Alle condizioni normali di pressione e temperatura (P0 =1 atm,T0=273.15 K) la quantità di gas raggiunge il volume normale Vn (per n=1 moli il volume sarebbe: V0 = 22.411 litri mol-1)

Vale:PV/T= P0Vn / T0=cost Vn =(PV/T)(T0/P0)La quantità di gas studiata contiene un numero di moli:

n= Vn/V0 = numero moli di gas

36

Analisi errori. Propagazione errori

• Grandezza Incertezza• G = x + y ∆G = ∆x +∆y• G = x – y ∆G = ∆x + ∆y• G = x * y ∆G/|G| = ∆x/|x|+∆y/|y|• G = x/y ∆G/|G| = ∆x/|x|+∆y/|y|• G = xm ∆G/|G| = |m|*∆x/|x|• G = A*x ∆G =|A|*∆x ( A = cost.)• G = G(x) ∆G = |(dG/dx)|* ∆x• G=G(x,y) ∆G = |(δG/δx)|* ∆x +

|(δG/δy)|* ∆y

• Grandezza Incertezza• G = x + y • G = x – y • G = x * y • G = x/y • G = xm σG/|G| = |m|*σx/|x|• G = A*x σG =|A| σx ( A = cost.)• G = G(x) σG = |(dG/dx)|* σx• G=G(x,y) σ2G = (δG/δx)2* σ2x +

(δG/δy)2* σ2y

22yxG σσσ +=

22

+

=

yxGyxG σσσ

}}

pV/T = K

∆K/|K| = ∆p/|p| + ∆V/|V| + ∆T/|T|

37

InterpolazioneInterpolazioneMetodo Minimi Quadrati

V [cm3] p [mbar] 1/p [mbar-1]

0,35 1000,62 0,00100,40 900,62 0,00110,46 800,62 0,00120,52 700,62 0,00140,60 600,62 0,00170,73 500,62 0,00200,89 400,62 0,00251,19 300,62 0,0033

Metodo Minimi Quadrati

Caso di andamento lineare:

y = m x + b

N coppie valori ( xi; yi ±σ)cambio di variabile: p --> 1/p

y = 0,0028x - 2E-05

0,000

0,001

0,002

0,003

0,004

0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20

V [cm3]

1/p

[mba

r-1

]

Formule utilizzate per stimare m e bcon le relative incertezze:

m = [N ∑xiyi – (∑ xi) (∑ yi)] /∆b = [(∑ yi)(∑ xi

2)-(∑ xiyi)(∑ xi)]/∆∆= N ∑xi

2-(∑ xi)2

σ2m = σ2N/∆ σ2

b= σ2(∑ xi2)/∆