Torsión mecánica

Viga circular bajo torsión

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas. En lugar de eso una curva paralela al eje se retuerce alrededor de él (ver torsión geométrica).

El estudio general de la torsión es complicado porque bajo ese tipo de solicitación la sección transversal de una pieza en general se caracteriza por dos fenómenos:

1. Aparecen tensiones tangenciales paralelas a la sección transversal. Si estas se representan por un campo vectorial sus líneas de flujo "circulan" alrededor de la sección.

2. Cuando las tensiones anteriores no están distribuidas adecuadamente, cosa que sucede siempre a menos que la sección tenga simetría circular, aparecen alabeos seccionales que hacen que las secciones transversales deformadas no sean planas.

El alabeo de la sección complica el cálculo de tensiones y deformaciones, y hace que el momento torsor pueda descomponerse en una parte asociada a torsión alabeada y una parte asociada a la llamada torsión de Saint-Venant. En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.

Contenido

1 Torsión general: Dominios de torsión

2 Torsión de Saint-Venant pura

o 2.1 Torsión recta: Teoría de Coulomb

o 2.2 Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant

o 2.3 Analogía de la membrana de Prandtl

o 2.4 Secciones cerradas simples de pared delgada

o 2.5 Secciones multicelulares de pared delgada

3 Torsión alabeada pura

o 3.1 Secciones abiertas de pared delgada

4 Torsión mixta

5 Referencias

Torsión general: Dominios de torsiónEn el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario. A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:

Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J, Iω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta. Podemos clasificar los diversos casos de torsión general dentro de límites donde resulten adecuadas las teorías aproxiamdas expuestas a continuación.

De acuerdo con Kollbruner y Basler:1

Torsión de Saint-Venant pura, cuando .

Torsión de Saint-Venant dominante, cuando .

Torsión alabeada mixta, cuando .

Torsión alabeada dominante, cuando .

Torsión alabeada pura, cuando .

El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de deformación. El caso de la torsión alabeada mixta sólo puede ser tratado la teoría general de torsión. En cambio la torsión de Saint-Venant y la torsión alabeada puras admiten algunas simplifaciones útiles.

Torsión de Saint-Venant pura

La teoría de la torsión de Saint-Venant es aplicable a piezas prismáticas de gran inercia torsional con cualquier forma de sección, en esta simplificación se asume que el llamado momento de alabeo es nulo, lo cual no significa que el alabeo seccional también lo sea. La teoría de torsión de Saint-Venant da buenas aparoximaciones para valores λT > 10, esto suele cumplirse en:

1. Secciones macizas de gran inercia torsinal (circulares o de otra forma).

2. Secciones tubulares cerradas de pared delgada.

3. Secciones multicelulares de pared delgada.

Para secciones no circulares y sin simetría de revolución la teoría de Sant-Venant además de un giro relativo de la sección transversal respecto al eje baricéntrico predice un alabeo seccional o curvatura de la sección transversal. La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.

Torsión recta: Teoría de Coulomb

La teoría de Coulomb es aplicable a ejes de transmisión de potencia macizos o huecos, debido a la simetría circular de la sección no pueden existir alabeos diferenciales sobre la sección. De acuerdo con la teoría de Coulomb la torsión genera una tensión cortante el cual se calcula mediante la fórmula:

Donde:

: Esfuerzo cortante a la distancia ρ.

T: Momento torsor total que actúa sobre la sección.

: distancia desde el centro geométrico de la sección hasta el punto donde se está calculando la tensión cortante.

J: Módulo de torsión.

Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable sólo a elementos sección circular o circular hueca. Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:

El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:

A partir de estas componentes del tensor de deformaciones usando las ecuaciones de Lamé-Hooke llevan a que el tensor tensión viene dado por:

Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:

Donde , es el momento de inercia polar que es la suma de los segundos momentos de área.

Torsión no recta: Teoría de Saint-Venant

Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada. Para representar la deformación se puede tomar un sistema de ejes en el que X coincida con el eje de la viga y entonces el vector de desplazamientos de un punto de coordenadas (x, y, z) viene dado en la hipótesis cinemática de Saint-Venant por:

Donde es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal. Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional. Calculando las componentes del tensor de deformaciones a partir de las derivadas del desplazamiento se tiene que:

Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:

Analogía de la membrana de Prandtl

Para secciones macizas de gran rigidez torsional la distribución de las tensiones asociadas a la torsión guarda una analogía mecánica con la deformación de una membrana elástica cuasiplana. Concretamente Prandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección.2 Dicho de otra manera la pendiente de una membrana de Prandtl deformada coinciden con las tensiones tangenciales de torsión de un prisma mecánico cuya sección transversal tenga precisamente la misma forma que la membrana.

Secciones cerradas simples de pared delgada

En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente constantes sobre una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza. La tensión tangencial en este caso puede expresarse mediante:

Donde:

, es el área encerrada por la línea media de la sección tubular.

, es el espesor de la sección tubular en el punto s de la curva del contorno.

Mientras que el giro:

En caso de que el espesor sea e(s) = e0constante esta última ecuación se reduce a:

Secciones multicelulares de pared delgadaTorsión alabeada pura

Para piezas de muy escasa inercia torsional, como las piezas de pared delgada abierta, puede construirse un conjunto de ecuaciones muy simples en la que casi toda la resistencia a la torsión se debe a las tensiones cortantes inducidas por el alabeo de la sección. En la teoría de torsión alabeada pura se usa la aproximación de que el momento de alabeo coincide con el momento torsor total. Esta teoría se aplica especialmente a piezas de pared delgada abierta, donde no aparecen esfuerzos de membrana.

Secciones abiertas de pared delgada

Para un rectángulo muy alargado (b << a) la tensión tangencial máxima y el giro pueden aproximarse por:

Para una perfil I o perfil H que puede ser aproximado uniendo rectángulos de dimensiones (ai,bi) (dos alas rectangualres alargadas y un alma rectangular alargada) las expresiones anteriores se pueden generalizar a:

Donde τi,max es la tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, bi es el espesor (ancho) de dicho rectángulo y ai su largo.

Torsión mixta En el dominio de torsión de Saint-Venant dominante y de torsión alabeada dominante, pueden emplearse con cierto grado de aproximación la teoría de Sant-Venant y la teoría de torsión alabeada. Sin embargo en el dominio central de torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario usar la teoría general más complicada.

Donde las magnitudes geométricas son respectivamente el segundo momento de alabeo y el

módulo de torsión y los "esfuerzos" se denominan bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas mecánicos.

Ensayo de torsión

INTRODUCCIÓN

Consideremos una barra sujeta rígidamente en un extremo y sometida en el otro a un par T (=Fd) aplicado en un plano perpendicular al eje. Se dice que esa barra esta sometida a torsión. El ensayo de torsión es un mecanismo en que se deforma una muestra aplicándole un par torsor.

La deformación plástica alcanzable con este tipo de ensayos es mucho mayor que en los de tracción (estricción) o en los de compresión (abarrilamiento, aumento de sección).

Éste ensayo da información directamente del comportamientoa cortadura del material y la información de su comportamiento a tracción se puede deducir fácilmente.

Los efectos de la aplicación de una carga de torsión a una barra son: (1) producir un desplazamiento angular de la sección de un extremo respecto al otro y (2) originar tensiones cortantes en cualquier sección de la barra perpendicular a su eje.

A veces, a lo largo de un eje actúan una serie de pares. En este caso, es conveniente introducir un nuevo concepto, el momento torsor, que se define para cada sección de la barra, como la suma algebraica de los momentos de los pares aplicados, situados a un lado de la sección considerada. Naturalmente, la elección de lado es arbitraria en cada caso.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Obtener el módulo de rigidez del material ensayado en nuestro caso el cobre.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Conocer el funcionamiento y manejo de la máquina para ensayo de torsión. Utilizar adecuadamente el extensómetro y el vernier. Estudiar las características de la fractura por torsión en materiales dúctiles y frágiles. Determinar la relación entre momento torsor y deformación angular para los materiales

ensayados. Comparar los resultados obtenidos de los materiales ensayados.

MARCO TEÓRICO

La Torsión en sí, se refiere a la deformación helicoidal que sufre un cuerpo cuando se le aplica un par de fuerzas (sistema de fuerzas paralelas de igual magnitud y sentido contrario). La torsión se puede medir observando la deformación que produce en un objeto un par determinado. Por ejemplo, se fija un objeto cilíndrico de longitud determinada por un extremo, y se aplica un par de fuerzas al otro extremo; la cantidad de vueltas que dé un extremo con respecto al otro es una medida de torsión. Los materiales empleados en ingeniería para elaborar elementos de máquinas rotatorias, como los cigüeñales y árboles motores, deben resistir las tensiones de torsión que les aplican las cargas que mueven.

El ensayo de torsión es un ensayo en que se deforma una muestra aplicándole un par torsor.

La deformación plástica alcanzable con este tipo de ensayos es mucho mayor que en los de tracción (estricción) o en los de compresión

(Abarrilamiento, aumento de sección).

Da información directamente del comportamiento a cortadura del material y la información de su comportamiento a tracción se puede deducir fácilmente.

La torsión en sí se refiere a un desplazamiento circular de una determinada sección transversal de un elemento cuando se aplica sobre éste un momento torsor o una fuerza que produce un momento torsor alrededor del eje (Ver figura 19). El ángulo de torsión varía longitudinalmente.

DESCRIPCIÓN DEL ENSAYO DE TORSIÓN

El ensayo de torsión consiste en aplicar un par torsor a una probeta por medio de un dispositivo de carga y medir el ángulo de torsión resultante en el extremo de la probeta. Este ensayo se realiza en el rango de comportamiento linealmente elástico del material.

Los resultados del ensayo de torsión resultan útiles para el cálculo de elementos de máquina sometidos a torsión tales como ejes de transmisión, tornillos, resortes de torsión y cigüeñales.

Las probetas utilizadas en el ensayo son de sección circular. El esfuerzo cortante producido en la sección transversal de la probeta (t ) y el ángulo de torsión (q ) están dados por las siguientes relaciones:

Figura 19. Angulo de torsión

;

Donde T: Momento torsor (N.m)

C: Distancia desde el eje de la probeta hasta el borde de la sección transversal (m) c = D/2

: Momento polar de inercia de la sección transversal (m4)

G: Módulo de rigidez (N/m2)

L: Longitud de la probeta (m)

MÁQUINA PARA EL ENSAYO DE TORSIÓN

DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA MÁQUINA:

La máquina de torsión, está destinada a ser usada en los Laboratorios de Ensayo de Materiales, en las Escuelas de Ingeniería Industrial, Civil, Eléctrica, Mecánica, etc.

Especificaciones:

Nombre: máquina manual para pruebas de torsión

Capacidad: hasta 1,500 kg. - cm.

Registro de la carga: electrónico con indicación digital del valor del par

Voltaje: 115 V

Longitud Máxima de Probeta: 225 mm

Diámetro Máximo de Probeta: 9.525 mm (ACERO).

Área ocupada en Mesa

De Trabajo: 29 cm. * 85 cm.

Altura Máxima: 40 cm.

Relación del Reductor: 1:60

Capacidad del fusible: 0.75 A

Aceite para el Reductor: SAE-90

La máquina consta de una barra (1), que soporta todas las partes de la misma. Las patas ajustables (2), permiten la nivelación de la máquina.

Los mandriles (3, 4) son para fijar las probetas. Del lado derecho de la máquina, se tiene un reductor de velocidad, de tornillo sinfín y rueda helicoidal, en cuya flecha de salida está montado un mandril (3). La base del reductor, está fija en la barra (1) y fijarlo, si se desea, en cualquier punto con la palanca (6) y la cuña (7).

El transportador (8) mide aproximadamente los ángulos totales de torsión de la probeta.

El volante (9) montado en la flecha de entrada del reductor, permite aplicar el par de torsión.

Del lado izquierdo de la máquina, se tiene el cabezal con el otro mandril (4) y el sistema electrónico de registro. Este sistema de registro, emplea como transductor una celda de carga (10) unida al mandril (4) mediante un eje (11), montado sobre baleros (12) para reducir al mínimo la fricción.

La cubierta (13) contiene también las partes electrónicas del sistema de registro de la carga. En el display (14) se puede leer el valor del par aplicado a la probeta en kg. - cm.

En el lateral derecho, se tiene un interruptor para encender/apagar la máquina (15). En la parte trasera, el fusible de protección (16) y la clavija para conectar la máquina en 115 V. (17).

Finalmente, en el lateral derecho del cabezal, se encuentra el ajustador a cero del sistema (18).

INSTALACIÓN.

La máquina puede quedar convenientemente instalada sobre una mesa firme. No requiere anclaje, pero si conviene tener cerca un contacto de 115 V./60 HZ.

El equipo se suministra sin aceite en el reductor, por lo que es conveniente ponerle el necesario de (SAE-90).

ACCESORIOS.

La máquina se complementa con un "TORSIOMETRO" que permite medir ángulos directamente sobre la probeta.

OPERACIÓN DE LA MÁQUINA.

La probeta se coloca entre las mordazas. Se ajusta primero el mandril del lado del cabezal de medición (4) y luego girando el volante (9) se alinean el mandril opuesto (3) y se aprieta.

Se hace girar el transportador (8) para ponerlo en la posición de cero.

Se enciende la maquina unos 15 minutos antes de empezar a usarla, para permitir que el registrador electrónico entre en régimen.

Al encender la máquina, se verá iluminada la pantalla (14). La máquina está lista para aplicar carga a la probeta, lo cual se hace girando el volante (9). Hay que tener en cuenta que una vuelta del volante, corresponde a 6º de torsión de la probeta.

Es conveniente aplicar la carga de incrementos de torsión de la probeta de 0.2 a 1.0 grados, por cada incremento, según el material de que se trate.

Sugerencia para incremento de deformación para distintos materiales:

MATERIAL INCREMENTO GRADOS

Acero al C. 0.15 %

Acero al C. 0.15 % Normalizado

Acero al C. 0.4 %

Acero al C. 0.4 % Normalizado

Hierro Vaciado

Latón

Aluminio

0.5

0.2

0.5

0.4

0.5

0.5

1.0

El par de torsión se transmite a la probeta y de ésta al sistema electrónico de medición que muestra en la pantalla (14) el valor del par de torsión en kg. - cm.

El ángulo de torsión aproximado para toda la longitud de la probeta, se puede ver en el transportador (8).

OPERACIÓN DEL TORSIÓMETRO

El torsiometro es una figura de precisión para medir directamente en la probeta, el ángulo de torsión de la misma.

En la figura 2 se muestra un dibujo esquemático del torsiometro. Este se monta sobre la sección cilíndrica de la probeta (1) y primero se fija la pieza (6) mediante su tornillo (2)

Las piezas (3), (4) y (5), forman un conjunto que se coloca después de haber situado el separador (7). Este separador permite tener entre puntas de los tornillos (2) una distancia de exactamente 50 mm.

La tuerca (3), permite fijar el brazo (4) contra la pieza (5). El apriete contra el separador. Debe permitir el deslizamiento de las partes.

La pieza (6) tiene un brazo donde se monta al comparador (8), cuyo palpador hace contacto con la pieza (4), para medir el desplazamiento relativo entre las dos secciones de apoyo entre puntos.

Cuando se tiene fijo el torsiometro en la probeta y esta se sujeta a esfuerzo, se presenta un giro entre las secciones coincidentes con los ejes de los tornillos (2) y este giro se transmite por la pieza (4) hasta el vástago del comparador que registrara en su carátula una cierta magnitud en centésimos de milímetros.

(Maquina para el ensayo de torsión automática)

Bastidor de máquina resistente a la torsión

Modelo 205

Las maquinas realizan la medida y la valoración de losa siguientes parámetros:

Fuerza de apriete inicial de la unión atornillada

1. Par de apriete total 2. Par de aflojado total 3. Par de rozamiento bajo la cabeza del tornillo 4. Par de rozamiento de la rosca 5. Ángulo 6. Dilatación

En las máquinas de ensayo de tornillería, TesT utiliza detectores especiales patentados de componentes múltiples, modelo 201, que operan como cabezales de medida.

Para realizar la medida simultánea y ONLINE de todos estos parámetros y para su procesamiento, se necesitan tarjetasde PC especiales, modelo 840 (WIN 95, 98, ME, NT, 2000), y el software SoftWinner 940 (WIN 95, 98, ME, NT, 2000).

En principio, las tarjetas y el software son iguales que en las máquinas universales de ensayo, con las ampliaciones específicas para las funciones y valoraciones que requieren los ensayos en tortillería

Las balanzas de torsión, están construidas para calcular las fuerzas eléctricas, magnéticas o gravitatorias muy pequeñas a partir del ángulo que forma un brazo al girar, antes de que la resistencia ejercida por la fuerza de torsión detenga su movimiento. Fue diseñada originalmente por el geólogo británico John Michelle, y mejorada por el químico y físico de la misma nacionalidadHenry Cavendish. El instrumento fue inventado de forma independiente por el físico francés Charles de Coulomb, que lo empleó para medir la atracción eléctrica y magnética.

Una balanza de torsión está formada por dos esferas pequeñas, que suelen tener una masa del orden de 1 g y van unidas a los extremos de una varilla horizontal suspendida por su centro de un alambre fino o, en los experimentos más recientes, de una fibra de cuarzo. Si, por ejemplo, se colocan dos esferas grandes de plomo junto a las esferas de la balanza, pero en lados opuestos, las esferas de la balanza se verán atraídas por las esferas grandes y el alambre o la fibra experimentarán una torsión. El grado de torsión se mide a través del movimiento de un rayo de luz reflejado por la varilla sobre una escala. Esto permite hallar la fuerza gravitacional entre las dos masas.

El vernier, conocido también como pie de rey, consiste usualmente en una regla fija de 12 cm. con precisión de un milímetro, sobre la cual se desplaza otra regla móvil o reglilla. La reglilla graduada del vernier divide 9mm en 20 partes iguales de manera que pueden efectuarse lecturas con una precisión de un vigésimo de milímetro.

La precisión de estos instrumentos depende mucho de la calidad y estado del instrumento en sí; por ejemplo, hay verniers que son precisos hasta los milésimos de una pulgada (.001"), cuando otros son aun más precisos (.0005").

La medida se lee en decimales de pulgada o de unidades métricas; algunos presentan ambas unidades.

A parte de los vernieres quizás más conocidos, están los que se pueden considerar como "digitales", si es que muestran la medida en una pantalla.

Existen los que son de una longitud y alcance de 4". Quizá más comunes son los de 6", pero también los hay de 12".

Este instrumento es versátil por su diseño, pues permite medir en distintas formas.

MATERIALES Y EQUIPOS

1. Máquina para ensayo de torsión

2. Extensómetro

3. Vernier

4. Probetas

PROCEDIMIENTO

1. Medir el diámetro de la probeta.

2. Fijar la probeta a las mordazas fijas y móviles de la máquina de torsión, ajustándola con los tornillos de fijación.

3. Montar el extensómetro y calibrarlo en cero.

4. Aplicar una carga.

5. Leer el ángulo de torsión correspondiente y registrar el valor en la tabla 22.

6. Repetir el procedimiento con distintos valores de carga.

TABLA DATOS

Material Cobre

D (mm) 9,00

LAB (mm) 500

LBC (mm) 200

F ( N )( ° )

0,00 0,00

2,50 0,82

7,50 1,51

12,50 2,10

17,50 3,30

22,50 4,01

27,50 4,68

32,50 5,55

37,50 6,40

42,50 7,08

 

GRAFICO

ANÁLISIS DE RESULTADOS

Podemos ver que el modulo de rigidez hallado comprende los resultados esperados, además pudimos Estudiar las características de la fractura por torsión en materiales dúctiles y frágiles. Y determinar la relación entre momento torsor y deformación angular para los materiales ensayados. También que La deformación plástica alcanzable con este tipo de ensayos es mucho mayor que en los de tracción (estricción) o en los de compresión.

CONCLUSIONES

Pudimos reconocer y aplicar un nuevo ensayo muy útil para nuestra vida como futuros ingenieros, también hemos reconocido el funcionamiento y manejo de la máquina para ensayo de torsión.

Como conclusión principal podemos decir que La Torsión en sí, se refiere a la deformación helicoidal que sufre un cuerpo cuando se le aplica un par de fuerzas (sistema de fuerzas paralelas de igual magnitud y sentido contrario).

Los resultados del ensayo de torsión resultan útiles para el cálculo de elementos de máquina sometidos a torsión tales como ejes de transmisión, tornillos, resortes de torsión y cigüeñales.

BIBLIOGRAFÍA DAVIS, Harmer E. Y TROXELL, George E. Ensaye de los materiales en

ingeniería: 7 ED. México: C.E.C.S.A. 1979. 477 p. NORMA TÉCNICA COLOMBIANA NTC 4525. Terminología de ensayos

mecánicos. Instituto Colombiano de Normas Técnicas y Certificación. ICONTEC. 1998-10-28.

BEER, Ferdinand P. y JOHNSTON, E. Russell. Mecánica de materiales. 2 ed. México: McGraw Hill, 1999. 742 p. ISBN 958-600-127-X