Etude  du  circuit  RLC  série    

 Cette  séance  de  TP  porte  sur   l’étude  du  circuit  RLC   série  dans   tous  ses  régimes  de   fonctionnement  (régime  libre  et  réponse  à  un  échelon  de  tension,  régime  sinusoïdal  forcé),  ainsi  que  de  sa  résonance.  Dans  toutes  les  manipulations,  on  choisira  une  valeur  maximale  de  la  tension  d’entrée  délivrée  par  la  générateur   basses   fréquences   n’excédant   pas   5V.   D’autre   part,   pour   pouvoir   considérer   le   GBF  comme   un   générateur   de   tension   idéal,   il   faut   s’assurer   que   la   résistance   du   circuit   étudié   est   très  supérieure  à  la  résistance  interne  du  générateur,  qui  est  de  l’ordre  de  50  Ω  (cf.  TP  E1).  

1. Etude  du  régime  transitoire  d’un  circuit  RLC  série  

1.1.  Etude  théorique  On  va  étudier  le  régime  transitoire  d’un  circuit  série  RLC  série,  en  alimentant  le  circuit  à  l’aide  d’une  tension  créneau.  

 

Préparation  :   Déterminer   l’équation   différentielle   vérifiée   par   la   tension   𝑢! 𝑡   et   retrouver   les  expressions  des  paramètres  d’un  circuit  RLC  série  (pulsation  propre  et  facteur  de  qualité).  Quelle  est  la  condition  sur  le  facteur  de  qualité  pour  que  le  régime  soit  apériodique  ?  critique  ?  pseudo-­‐périodique  ?  Déduire  l’expression  de  la  résistance  critique,  notée  𝑅! ,  en  fonction  de  L  et  C.  Représenter  sur  un  même  graphique  𝑢! 𝑡  𝑒𝑡  𝑒 𝑡  pour  chaque  régime  de  fonctionnement.  

1.2.  Etude  expérimentale  

On  réalise  un  circuit  𝑅𝐿𝐶  série,  en  prenant  :  𝐿 = 10  mH  et  𝐶 = 47  nF  et  R  variable  (potentiomètre  de  10  kΩ).  

Préparation  :  Déterminer  les  valeurs  de  la  pulsation  propre  𝜔!,  de  la  période  propre  𝑇!  ainsi  que  de  la  résistance  critique  𝑅! .  

Ce  circuit  est  alimenté  par  un  GBF,  délivrant  une   tension  créneau  𝑒 𝑡  de  période  T.  On  choisira   la  période  T  de  telle  sorte  que  le  régime  transitoire  ait   le  temps  de  se  terminer  à  chaque  demi-­‐période.  On  admettra  que  ce  temps  est  de  l’ordre  de  5𝑇!.  

Préparation  :  Quelle  doit  alors  être  la  fréquence  maximale  de  la  tension  créneau  ?  

 

2                                                                                        TP  E3  :  Etude  du  circuit  RLC  série  

•  Observations  de  la  tension  aux  bornes  du  condensateur  

Expérience  :  Réaliser  le  montage  pour  observer  simultanément  à  l’oscilloscope  les  tension  𝑒 𝑡 et  𝑢!(𝑡).  Faire  un  schéma  du  montage  en  indiquant  les  branchements  effectués.  En  changeant  progressivement  la  valeur  de  la  résistance,  observer  les  différents  régimes  (apériodique,  critique  et  pseudo-­‐périodique).  Reproduire  les  courbes  𝑒 𝑡  et  𝑢!(𝑡)  observées  sur  l’écran  de  l’oscilloscope  pour  chaque  régime  de  fonctionnement.  

Interprétation  :  En  déduire  une  mesure  de  la  résistance  critique  et  la  comparer  à  la  valeur  théorique.  

•  Observations  de  l’intensité  circulant  dans  le  circuit  

Expérience  :   Réaliser   le   montage   pour   observer   simultanément   à   l’oscilloscope   la   tension   𝑒 𝑡   et  l’intensité   𝑖(𝑡)   du   courant   circulant   dans   le   circuit.   Faire   un   schéma   du   montage   en   indiquant   les  branchements  effectués.  En  changeant  progressivement  la  valeur  de  la  résistance,  observer  les  différents  régimes  (apériodique,  critique  et  pseudo-­‐périodique).  Reproduire  les  courbes  𝑒 𝑡  et  𝑖(𝑡)  observées  sur  l’écran  de  l’oscilloscope  pour  chaque  régime  de  fonctionnement.  

1.3.  Etude  du  régime  pseudo-­‐périodique  

On  se  place  en  régime  pseudo-­‐périodique  très  peu  amorti  (c’est-­‐à-­‐dire  qu’on  prend  une  valeur  de  la  résistance  variable  permettant  d’observer  une  dizaine  de  pseudo-­‐oscillations)  et  on  étudie  la  tension  𝑢!(𝑡)  aux  bornes  du  condensateur,  le  circuit  étant    toujours  alimenté  par  une  tension  créneau.  

Expérience  :   Visualiser   les   oscillations   de   la   tension  𝑢! 𝑡   et   ajuster   la   fréquence   du   GBF   de   façon   à  visualiser   des   oscillations   qui   finissent   par   être   complètement   amorties.   Choisir   une   base   de   temps   de  l’oscilloscope  permettant  d’obtenir  sur  l’écran  une  demi-­‐période  du  signal  délivrée  par  le  GBF.  Mesurer   le   demi-­‐temps   de   décroissance   du   régime   transitoire   et   en   déduire   la   valeur   du   facteur   de  qualité  du  circuit.  

Interprétation  :   Compter   le   nombre   d’oscillations   avant   l’amortissement   complet.   De   quelle   grandeur  caractéristique  du  circuit  ce  nombre  est-­‐il  proche  ?  Est-­‐ce  cohérent  avec  le  résultat  précédent  ?  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 TP  E3  :  Etude  du  circuit  RLC  série                                                            3  

2. Etude  du  régime  sinusoïdal  forcé  d’un  circuit  RLC  série  

2.1.  Etude  théorique  On   souhaite   étudier   le   fonctionnement   d’un   circuit   RLC   série   en   régime   sinusoïdal   forcé,   en  déterminant  à  tout  instant  l’expression  des  différentes  grandeurs  électriques  du  circuit.  Pour  cela,  on  considère  un  circuit  RLC  série  soumis  à  une  tension  sinusoïdale  de  pulsation  𝜔  et  de  valeur  efficace  𝑈  :  

 𝑢! = 2𝑈 cos 𝜔𝑡  

 

L’étude  est  réalisée  en  régime  sinusoïdal  forcé,  c’est-­‐à-­‐dire  que  l’on  suppose  que  la  tension  d’entrée  est  appliquée  depuis  suffisamment  longtemps  pour  que  le  régime  transitoire  soit  terminé.  La  tension  aux   bornes   du   condensateur   et   l’intensité   circulant   dans   le   circuit   s’identifient   donc   aux   solutions  particulières  de  l’équation  différentielle  et  peuvent  se  mettre  sous  la  forme  :  

 𝑢! = 2𝑈! cos   𝜔𝑡 + 𝜑    et        𝑖 𝑡 = 2𝐼 cos   𝜔𝑡 + 𝜑′  

•  Etude  de  la  résonance  en  intensité  

Préparation  :  Déterminer  l’expression  de  l’intensité  efficace  I  circulant  dans  le  circuit  en  fonction  de  U,  et  de  𝜔!  pulsation  propre  et  Q  facteur  de  qualité  du  circuit  RLC.  Pour  quelle  valeur  de  la  pulsation  d’excitation  y  a-­‐t-­‐il  résonance  en  intensité  ?  

•  Etude  de  la  résonance  en  tension  

Préparation  :  Montrer  que  la  fonction  de  transfert  du  circuit  RLC  peut  se  mettre  sous  la  forme  :  

𝐻 =1

1 − 𝜔!

𝜔!!+ 𝑗𝜔𝑄𝜔!

 

Pour   quelle   valeur   du   facteur   de   qualité   existe-­‐il   un   phénomène   de   résonance   en   tension  ?   A   quelle  valeur  de  résistance,  cette  valeur  du  facteur  de  qualité  correspond-­‐elle  ?  Par  rapport  aux  régimes  de   fonctionnement  du  régime  transitoire,  dans  quel  régime  a-­‐t-­‐on  résonance  en  tension  ?  Commenter.  

2.2.  Etude  expérimentale  

On  réalise  un  circuit  𝑅𝐿𝐶  série,  en  prenant  𝐿 = 10  mH,  𝐶 = 22  nF  et  𝑅 = 1,0  kΩ.  Ce  circuit  est  alimenté  par  un  GBF,  délivrant  une  tension  sinusoïdale  de  fréquence  f  variable.  

•  Observations  du  phénomène  de  résonance  en  intensité  

Expérience  :   Réaliser   le   montage   pour   observer   simultanément   à   l’oscilloscope   la   tension   𝑒 𝑡   et  l’intensité   𝑖(𝑡)   du   courant   circulant   dans   le   circuit.   Faire   un   schéma   du   montage   en   indiquant   les  branchements  effectués.  

4                                                                                        TP  E3  :  Etude  du  circuit  RLC  série  

En   changeant   progressivement   la   valeur   de   la   fréquence   f   du   signal   sinusoïdal   délivré   par   le   GBF,  observer  la  résonance  en  intensité.    Tracer  la  courbe  𝐼 𝑓  et  en  déduire  une  mesure  de  la  fréquence  de  résonance.  

Interprétation  :  Vérifier  que  la  résonance  en  intensité  a  bien  lieu  pour  𝜔 = 𝜔!.  

Pour  aller  plus  loin  :  Que  vaut  le  déphasage  à  la  fréquence  de  résonance  ?  En  déduire  une  méthode  pour  déterminer  plus  précisément  la  fréquence  de  résonance.  Comparer  la  mesure  à  la  valeur  théorique.  

•  Observations  du  phénomène  de  résonance  en  tension  

Expérience  :  Remplacer  la  résistance  précédente  par  un  potentiomètre  de  10  kΩ.    Réaliser   le  montage   pour   observer   simultanément   à   l’oscilloscope   les   tension   𝑒 𝑡   et  𝑢!(𝑡).   Faire   un  schéma  du  montage  en  indiquant  les  branchements  effectués.  En   utilisant   le   mode   wobulation   du   GBF   et   le   mode   XY   de   l’oscilloscope   visualiser  𝑢!(𝑓)   sur  l’oscilloscope.  En   changeant   progressivement   la   valeur   de   la   résistance,   déterminer   la   valeur   de   la   résistance   pour  laquelle  le  phénomène  de  résonance  en  tension  apparaît.  

Interprétation  :  En  déduire  une  mesure  de  la  résistance  critique  et  la  comparer  à  la  valeur  théorique.  En  remplaçant  le  signal  sinusoïdal  par  un  signal  créneau,  vérifier  que  cette  valeur  de  résistance  correspond  bien  au  régime  critique  étudié  dans  la  partie  1.  

2.3.  Comportement  fréquentiel  

Choisir  une  valeur  de  résistance  pour  laquelle  le  circuit  est  non  résonnant  en  tension.  Reprendre  le  montage  permettant  de  visualiser  simultanément  sur  l’oscilloscope  les  tension  𝑒 𝑡  et  𝑢!(𝑡).  

•  Comportement  haute  fréquence  

Expérience:  On  étudie   la  tension  𝑢!(𝑡)  aux  bornes  du  condensateur   lorsque   le  circuit  est  alimenté  par  une   tension  créneau.  Observer   simultanément  𝑒 𝑡  𝑒𝑡  𝑢!(𝑡)  à   l’oscilloscope.  Augmenter   la   fréquence  du  signal  délivré  par  le  générateur  de  façon  à  ce  que  𝑇 ≪ 𝑇!.  Reproduire  les  courbes  𝑒 𝑡  et  𝑢!(𝑡)  observées  sur  l’écran  de  l’oscilloscope.  Reprendre  l’expérience  précédente  lorsque  le  circuit  est  alimenté  par  une  tension  triangulaire.  

Interprétation  :  D’après  l’expérience  précédente,  quel  est  le  comportement  haute  fréquence  d’un  circuit  RLC  série  ?  Pouvez-­‐vous  retrouver  ce  résultat  à  l’aide  de  la  fonction  de  transfert  du  circuit  ?  

•  Comportement  basse  fréquence  

Expérience:  On  étudie   la  tension  𝑢!(𝑡)  aux  bornes  du  condensateur   lorsque   le  circuit  est  alimenté  par  une   tension   créneau.   Observer   simultanément   𝑒 𝑡  𝑒𝑡  𝑢!(𝑡)   à   l’oscilloscope.   Diminuer   la   fréquence   du  signal  délivré  par  le  générateur  de  façon  à  ce  que  𝑇 ≫ 𝑇!.  Reproduire  les  courbes  𝑒 𝑡  et  𝑢!(𝑡)  observées  sur  l’écran  de  l’oscilloscope.  Reprendre  l’expérience  précédente  lorsque  le  circuit  est  alimenté  par  une  tension  triangulaire.  

Interprétation  :  D’après  l’expérience  précédente,  quel  est  le  comportement  basse  fréquence  d’un  circuit  RLC  série  ?  Pouvez-­‐vous  retrouver  ce  résultat  à  l’aide  de  la  fonction  de  transfert  du  circuit  ?