PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

También llamado producto PUNTO produce un resultado

ESCALAR que resulta al multiplicar el producto de sus

módulos por el coseno del ángulo que forman

Puede ser positivo, negativo o cero dependiendo del ángulo

entre los vectores

1)

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL

PRODUCTO ESCALAR

El valor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos

es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro

sobre él.

CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR DE

VECTORES

1.Conmutativa

2. Homogénea

3.Distributiva

4.Producto escalar de un vector no nulo por si mismo es

siempre positivo

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

DE VECTORES

ALGUNAS BASES ESPECIALES

CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR DE

VECTORES USANDO COMPONENTES

2)

3)

ANALIZANDO LOS PRODUCTOS DE LOS VECTORES UNITARIOS:

4)

SEIS DE LOS NUEVE TERMINOS DE EC 2) SON CERO Y EL RESTO

DA LA SIGUIENTE VERSIÓN SIMPLIFICADA:

5)

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES ES LA SUMA DE

LOS PRODUCTOS DE SUS RESPECTIVAS COMPONENTES

CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR DE

VECTORES USANDO COMPONENTES

CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR

EJEMPLO 1

1. IDENTIFICAR:

las magnitudes y direcciones estan

dadas, se pide calcular el producto

escalar

2. PLANTEAR:

existen 2 formas:

a) usando las magnitudes y el

ángulo

b) Usando las componentes de los

dos vectores

3. EJECUTAR:

a)

CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR

EJEMPLO 1

3. EJECUTAR:

b)

CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR

EJEMPLO 1

3. EVALUAR:

Se obtiene el msmo

resultado con los dos

métodos, como tendría que

ser!

CÁLCULO DEL PRODUCTO ESCALAR

EJEMPLO 1

CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS

VECTORES – EJEMPLO 2

1. IDENTIFICAR:

las componentes x, y y z de dos

vectores estan dadas. Se pide

calcular el ángulo φ entre

ambos

2. PLANTEAR:

ec 1) relaciona a los vectores

con su ángulo, también se

relacionan las componentes con

el ángulo. En casos como este

PRIMERO se determina el

producto escalar y LUEGO la

incógnita φ

CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS

VECTORES – EJEMPLO 2

1. EJECUTAR:

Calculamos el producto:

Determinamos A y B:

CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS

VECTORES – EJEMPLO 2

1. EJECUTAR:

Luego usando ec 1) y ec 5):

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

También llamado producto CRUZ produce un resultado

VECTORIAL, cuyo módulo resulta al multiplicar el

producto de sus módulos por el seno del ángulo que

forman

1)

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

Para vectores no nulos y no proporcionales:

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

Geométricamente: prod. vectorial coincide con el área del

paralelogramo que tiene por lados a esos vectores

PROPIEDADES DEL PRODUCTO

VECTORIAL DE VECTORES

1. Anticonmutativo

2. Homogénea

3. Distributivo

4. Vectores apralelos = vector nulo

2)

3)

4)

5)

REGLA DE LA MANO DERECHA

CÁLCULO DE LA MAGNITUD

CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL

POR MEDIO DE COMPONENTES De manera análoga al producto escalar:

El producto de cualquier vector consigo mismo es cero:

Utilizando las ecuaciones 1) y 2):

6)

7)

8)

CÁLCULO DEL PRODUCTO VECTORIAL

POR MEDIO DE COMPONENTES

Simplificando la ecuación 8):

Por tanto las componentes de C = A x B están dadas por:

Es también usual expresa al producto cruz en forma de

determinante:

9)

10)

11)

PRODUCTOS CRUZ USANDO

(I, J, K)

x

z

y Considere ejes 3D (x, y, z)

Defina vectores unitarios i, j, k i j

k Considere producto cruz: i x i

i x i = (1)(1) sen 00 = 0 i

i

j x j = (1)(1) sen 00 = 0

k x k = (1)(1) sen 00= 0

Las magnitudes son

cero para productos

vectoriales paralelos.

PRODUCTOS VECTORIALES USANDO

(I, J, K)

Considere ejes 3D (x, y, z)

Defina vectores unitarios i, j, k x

z

y

i j

k Considere producto punto: i x

j

i x j = (1)(1) sen 900 = 1

j x k = (1)(1) sen 900 = 1

k x i = (1)(1) sen 900 = 1

j

i

Las magnitudes son

“1” para productos

vectoriales

perpendiculares.

PRODUCTO VECTORIAL (DIRECCIONES)

x

z

y

i j

k

i x j = (1)(1) sen 900 = +1 k

j x k = (1)(1) sen 900 = +1 i

k x i = (1)(1) sen 900 = +1 j

Las direcciones están

dadas por la regla de la

mano derecha. Rote el

primer vector hacia el

segundo.

k

j

i

PRÁCTICA DE PRODUCTOS VECTORIALES

(I, J, K)

x

z

y

i j

k i x k = ?

k x j = ?

Las direcciones están dadas por

la regla de la mano derecha.

Rote el primer vector hacia el

segundo.

k

j

i 2 i x -3 k = ?

- j (abajo)

- i (izq.)

+ 6 j (arriba)

j x -i = ? + k (afuera)

USO DE NOTACIÓN I, J – PRODUCTOS

VECTORIALES

Considere: A = 2 i - 4 j y B = 3 i + 5 j

A x B = (2 i - 4 j) x (3 i + 5 j) =

(2)(3) ixi + (2)(5) ixj + (-4)(3) jxi + (-4)(5) jxj k -k 0 0

A x B = (2)(5) k + (-4)(3)(-k) = +22 k

Alternativa: A = 2 i - 4 j

B = 3 i + 5 j

A x B = 10 - (-12) = +22 k

Evalúe el

determinante