Calculo integral

Gina Lorena Ramírez Chiriboga

Universidad mariana

Facultad de ingeniería

Ingeniería de procesos

Pasto-Nariño

2015

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CONTENIDO

Pág.

INTRODUCCION……………………………………………………………………… 4

OBJETIVOS…………………………………………………………………………….. 4

CONOCIMIENTOS PREVIOS………………………………………………………… 4

CONCEPTO DE INTEGRAL………………………………………………………….. 4

INTEGRAL INDEFINIDA…………………………………………………………….. 5

1. INTEGRACION POR FRACCION PARCIALES………………………………… 7

1.1 PROTOCOLO……………………………………………………………………….. 7

1.2 DIAGRAMA DE FLUJOS ……………………………………………………........ 8

1.3 EJERCICIOS RESUELTOS ……………………………………………………….. 9

1.4 RECOMENDACIONES……………………………………………………………. 13

2. INTEGRACION POR PARTE.……….……………………………………………… 14

2.1 PROTOCOLO………………………….……………………………………………. 14

2.2 DIAGRAMA DE FLUJOS…………….……………………………………………. 15

2.3 EJERCICIOS RESUELTOS…………….…………………………………………… 16

2.4 RECOMENDACIONES………………………………………………………………17

3. PARA PRACTICAR………………………………………………………………….. 17

4. CONCLUSION…………………………………………………………….…………. 18

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………

ANEXOS

TABLAS DE INTEGRACION………………………………………………………….

2

3

INTEGRALES INDEFINIDAS

INTRODUCCION

Como parte de mi proceso de formación como futura ingeniera de procesos de la universidad mariana, el conocimiento a cerca de cálculo integral y la aplicación de los ejercicios matemáticos es de vital importancia para el desarrollo de las habilidades y destrezas en la solución de problemas de carácter profesional.

La finalidad de este informe de investigación sobre las integrales indefinidas comprende los conceptos básicos del cálculo integral, como también para poder adquirir destrezas en las técnicas de integración y a la vez poder reconocer los elementos más importantes para el desarrollo de estas.

En la primera y segunda sección de este informe, abordaremos todo lo que comprende los métodos de integración a trabajar los cuales corresponden a fracciones parciales en la sección 1e integración por partes en la sección 2, los cuales serán explicados a través de diagramas de flujo y protocolos lo cuales sirven para poder resolver integrales por medio de estas dos forma de integración; de igual manera se ha dejado al final un taller para que el estudiante pueda aplicar lo aprendido con anterioridad.

OBJETIVOS Adquirir destrezas en el desarrollo de las dos técnicas de integración a explicar. Comprensión del texto para el estudiante. Servir de herramienta para los estudiantes de formación profesional. Hallar integrales por el método de integrales por partes y fracciones parciales.

CONOCIMIENTOS PREVIOS

Para poder aprovechar al máximo este informe es recomendable que el estudiante tenga conocimientos básicos sobre la derivación y funciones de variables.

CONCEPTO DE INTEGRAL

La integral es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos de cálculo.

El cálculo de integrales es el proceso inverso a la derivación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración y la función a determinar se llama antiderivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original.

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En la que se dice que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que: F´(x)=f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

LA INTEGRAL INDEFINIDA

La integral indefinida es una función mas una constante arbitraria

Se define como la función f con respecto a x como el conjunto de todas las antiderivada de f, lo que se denota mediante

∫ f ( x )dx

Como cualesquiera dos antiderivada de f difieren en la constante la notación para la integral indefinida f significa que para cualquiera antiderivada F de f ,

∫ f ( x )dx=F ( x )+C

Donde C es cualquier constante arbitraria

Tabla 1

Integrales inmediatas

Tabla 2

integrales inmediatas

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1. INTEGRACIÓN POR FRACCIÓN PARCIALES

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El método de integración por fracciones parciales es una forma de integración que permite resolver integrales de cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios) que difícilmente podrían ser resueltas por otros métodos.

En algebra el método de fracciones se refiere a desumar una fracción, es decir; deshacer una suma en fracciones con un común denominador para encontrar el resultado de la fracción original.

1.1 PROTOCOLO Analizamos la función a integrar. Para este método de integración se debe de tener en cuenta 2 opciones para su

solución:

-si denominador > numerador se factoriza el denominador. -si numerador >=denominador se realiza una división de fracciones, hasta que el grado del numerador quede inferior al del denominador

cuando ya se tiene la factorización debemos analizar si es cuadrático o lineal siguiendo estos 4 casos:

caso1 factor lineal no repetido: en este caso a cada factor lineal ax+b del denominador de

la fracción racional propia le corresponde una fracción de la forma A

ax+bsiendo A una

constante a determinar. caso2 factores lineales repetidos: en este caso a cada factor lineal ax+b que se encuentre repetido n número de veces en el numerador de una fracción racional propia le corresponde una suma de n fracciones así:

A1

ax+b+

A2

(ax+b ) 2…+ An

(ax+b )n

caso3 factores cuadráticos repetidos: en este caso a cada factor cuadrático reducible Ax2+Bx+C que se repita n número de veces en el denominador de una fracción racional

propia le corresponde una suma de n número de fracciones así:A1 x+B1

Ax2+Bx+C +…+

An x+Bn

( Ax¿¿2+Bx+C)2¿

caso4 factores cuadráticos no repetidos: en este caso a cada factor cuadrático reducible Ax2+Bx+C que se encuentre en el denominador de una fracción racional propia, le

corresponde Ax+B

Ax2+Bx+C siendo A y B a determinar.

Cuando ya tenemos el caso que corresponde esa integral procedemos a formar fracciones sumándose entre sí cada una con su respectiva constante.

Resolvemos la suma de fracciones heterogéneas aplicando:ab+ d

c=ac+db

bc

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Al valor obtenido le aplicamos ley distributiva y los agrupamos de forma descendente.

Obtenemos ya sean ecuaciones 3*3 o 2*2 para resolver este sistema de ecuaciones debemos sustituir sus valores en la constante perteneciente a ello.

Cuando conocemos los valores de las constantes reescribimos la ecuación inicial dándole a cada una de las fracciones obtenidas el símbolo de la integral con su respectivo dx.

Resolvemos las integrales. Simplificamos lo máximo el resultado al integrar.1.2 DIAGRAMA DE FLUJO

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Tener en cuenta

Denominador > numerador

División de fraccionario

Factoriza denominador

Hasta que numerador de grado menor al denominador

Caso1: factor lineal no repetido

Integración por fracciones parciales

Numerador >= denominador

Caso 2: factores lineales repetidos

Factores cuadráticos no repetidos

Factores cuadráticos repetidos

Suma de fracciones heterogéneas ab+ d

c=ac+db

bc

Obtención de sistema de ecuaciones Sustituimos en las constantes

Se integra cada fracción parcial obtenida

1.3 EJERCICIOS RESUELTOS.

∫ 6 x2+23 x2+4 x+15x2+3

dx

6x4+23x2+4x+15 x2 + 3 - 6x4-18x2 6x2 + 5

5x2 +4x+15

-5x2 -15

4x

∫ 6 x4+23 x2+4 x+15x2+3

dx=6 x2+5+ 4 xx2+3

∫ 6 x4+23 x2+4 x+15x2+3

dx=∫(6 x2+5+ 4 xx2+3 )dx

∫ ( 6 x2+5 ) dx+∫ 4 x

x2+3dx

¿ 6 x3

3+5 x+∫ 4 x

x2+3dx Q=x2+3 dQ=2 x dxdx=dQ

2 x

2 x3+5 x+∫ 4 xQ

.dQ2 x

2 x3+5 x+∫ 2dQQ

¿2 x3+5 x+2∫ 1Q

dQ

≡2 x3+5x+2 ln|Q|+c

≡2 x3+5 x+2 ln|x2+3|+c

≡2 x3+5x+ ln ( x2+3 )2+c

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Analizamos la integral indefinida.

Como el grado del numerador es mayora la del denominador entonces debemos comenzar por efectuar la división de polinomios teniendo en cuenta que:

*el dividendo debe estar organizado de forma descendente. *el divisor debe estar organizado de forma descendente. *la división de fraccionario ha terminado cuando el residuo es de grado inferior al divisor.

Utilizando los componentes de la división Dd

≡ c+ rd

debemos decir que ∫ Dd

Como tenemos la integral de una suma procedemos a repartir el símbolo de la integral a las dos expresiones cada una con su respectivo diferencial dx.

La primera integral es resuelta de manera directa debido que se tiene la integral de una suma de dos términos en la que únicamente utilizamos la regla de integración para potencias; la segunda integral no puede ser resuelta de manera directa utilizamos integración por sustitución dando una variable auxiliar al denominador y derivando implícitamente con respecto a x.

Reconstruimos la integral utilizando la sustitución y eliminando la variable inicial, dejando más simple la integral.

Extraemos la constantes que se encuentra dentro de la integral.

Al desarrollar la integral se convierte en una integral directa debido a una propiedad de los

logaritmos en que la ∫ 1Q

es igual ln|Q|+c

Le damos un valor a Q el cual es de x2+3, hacemos este cabio dentro del valor absoluto para así retornar a la variable inicial que es x; Por medio de una propiedad de logaritmo

ln AB=BLnA en laque ln ( AB )c.

∫ 78

x2+3 x−10dx

78

x2+3 x−10= 78

( x+5 )(x−2)

78( x+5 )(x−2)

= A( x+5 )

+ B(x−2)

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78( x+5 )(x−2)

=A ( x−2 )+B ( x+5 )

( x+5 )(x−2)

78=A (x−2 )+B ( x+5 )

Ax−2 A+Bx+5B=78

A( x+5 )

+ B( x−2 )

12

( x+5 )+

5( x−2 )

∫ 78

x2+3 x−10dx=∫

12

( x+5 )+

5( x−2 )

dx

∫12

( x+5 )dx+∫ 5

( x−2 )dx

12∫

dx(x+5 )

+5∫ dx( x−2 )

12

ln ( x+5 )+5 ln ( x−2 )+ C

12

ln ( x+5 )+ln ( x−2 )5+C

Tomamos el integrando de la función y hacemos el proceso de descomposición en sus fracciones parciales, factorizando el denominador quedando en expresiones de primer grado.

Se obtiene dos fracciones sumándose entre si, en la que tienen como denominar a cada expresión obtenida al factorizar y en cada numerador colocamos una constante.

Realizamos multiplicaciones de fraccionarios heterogéneos y eliminamos los denominadores de la igualdad.

Para el lado derecho hemos aplicado ley distributiva. Agrupamos los términos de acuerdo al grado exponencial de cada variable.

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Reemplazamos los valores de A y B en la integral inicial.

La integral inicial va hacer igual a la integral de los resultados dados.

Como en la integral tenemos una suma de fracciones heterogéneas repartimos el símbolo de la integral a ambos lados.

Resolvemos las integrales directamente sacando las constantes presentes.

Para finalizar utilizamos las propiedades de los logaritmos.

∫ 5 x2+3 x−1x3−2 x2+x−2

dx

x3−2 x2+x−2=( x3−2 x2 )+ ( x−2 )

x2 ( x−2 )+1 ( x−2 )

(x−2)(x2+1)

∫ 5 x2+3 x−1¿¿ ¿

5 x2+3 x−1¿¿

5 x2+3 x−1=Ax2+A+Bx2+Cx−2 Bx−2 C

5 x2+3 x−1=Ax2+Bx2+Cx−2Bx+ A−2 C

A+B=5

C-2B=3

A-2C=-1

5 x2+3 x−1¿¿

∫ 5 x2+3 x−1¿¿ ¿

∫( 5x−2 )dx+∫( 3

x2+1 )dx

12

5∫ 1x−2

dx+3∫ 1

x2+1dx

5 ln|x−2|+3 tan−1 x+C

ln∨( x−2 )5+3 tan−1 x+C

Tenemos una fracción algebraica en el integrando habiendo en el numerador un trinomio de grado 2 y en el denominador un polinomio de grado 3, ya analizado esto la integral es resuelta por medio de fracciones parciales debido a que su denominador es de grado mayor al numerador.

Debemos factorizar el denominador y para eso observamos 4 términos de los cuales no se observa un factor común es por esto que lo resolvemos por medio de factor común por agrupación de términos sacando así el factor común de cada expresión.

Formamos dos fracciones sumándose entre si cada una con los factores comunes obtenidos, para la primera fracción en el numerador tenemos una expresión de grado cero y para la segunda fracción en el numerador tenemos una expresión de grado uno.

Resolvemos la suma de fracciones heterogéneas a partir de un modelo para fraccionarios; igualamos con la expresión del lado izquierdo y como observamos la igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores estos son eliminados.

Aplicamos ley distributiva para el lado derecho de la igualdad agrupando los términos semejantes de forma descendente.

Encontramos las ecuaciones estas se obtuvieron a partir de las igualaciones de las expresiones con los coeficientes obtenemos así un sistema 3 x 3(3 ecuaciones con 3 incógnitas).

Para resolver este sistema de ecuaciones utilizamos sustitución en donde despejamos en cada ecuación una variable, sustituyendo las variables encontradas en una ecuación.

Cuando ya conocemos los valores de las variables reescribimos la expresión inicial y en el lado derecho reemplazamos las variables por los datos obtenidos cada una con su respectivo denominador, obteniendo así las fracciones parciales de la expresión original en el integrando.

Reescribimos el ejercicio original sustituyéndolo por la suma de las fracciones parciales con su respectivo diferencial dx.

Tenemos que la suma de integral es igual a la suma de sus integrales, es por esto que el símbolo de la integral es repartida para cada expresión presente.

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A la izquierda de cada integral sacamos las constantes.

Resolvemos cada una de las integrales analizando las tablas para integrales.

Para simplificar el resultado utilizamos una de las propiedades de los logaritmos en la que el número que está siendo multiplicado por el logaritmo se convierte en potencia.

1.4 RECOMMENDACIONES

Para finalizar esta primera sección en el desarrollo de las integrales por el método de las fracciones parciales se debe tener en cuenta.

Que factorizar el denominador debe ser de grado exponencial menor al numerador y si no es así se debe realizar división de fracciones hasta que el residuo de grado menor al que corresponde al denominador.

Observar los cuatros casos detenidamente.

2. INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto  de funciones como se muestra a continuación

d(u.v) = u dv + v du

Es por esto que para el método de integración por partes se usa integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre sí.

∫udv=u v−∫ v du

Se llama integración por partes, porque la integral se divide en dos partes una u y otra dv. La integral debe estar completa y sin alterar la operación dentro de ella. Esta selección es lo más importante y se debe realizar de la siguiente manera

2.1 PROTOCOLO

Analizamos la integral

Si la función no puede ser resuelta de manera directa utilizamos integraciones por partes.

Para este método de integración se tiene u y dv. En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar,  En u deben ir  aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), y estas son derivadas implícitamente.

Aplicamos la fórmula de la integración por partes, en la cual reemplazamos por los datos obtenidos en u y dv el procedimiento se puede repetir tantas veces como la integral lo

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amerite. La constante de Integración solo  debe considerase en la integral principal no en la que completa la fórmula.

Al aplicar la fórmula de integración por partes debemos solucionar aquellas expresiones que se encuentran dentro de la integral, estas se resuelven aplicando las tablas para integrales.

Al solucionar la integral casi siempre resulta una función menos compleja y por eso debemos aplicar otro método para volver a integrar y así dejar el resultado más sencillo.

Lo siguiente es simplificar al máximo el resultado obtenido después de haber integrado.

2.2 DIAGRAMA DE FLUJOS

Integrar

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Integración por partes

Calcula la integral de un producto de dos funciones

∫¿¿

NoSi

Buscar otro método para integrar

∫udv=u v−∫ v du

dv U

Se derivaSe integra

2.3 EJERCICIOS RESUELTOS

∫ t sent dt

U= t dv= sent dtdu= dt v= -cost

∫ t sent dt=t−cost−∫— cost dt

∫ t sent dt=−t cost+∫ cost dt

∫ t sent dt=−t cost+sent+C

Analizamos la integral indefinida

Dividimos la integral en dos partes u se deriva y dv se integra

Aplicamos la fórmula para este método, las funciones que se encuentran antes de la integral se pasan tal cual están.

Aplicando la ley de los signos tenemos que (-)(-)=+ y este se cambia en la integral

La integral es resuelta de manera directa; para esta aplicamos las tablas de integraciones, en

la que ∫ senx=−cosx.

Cuando ya obtenemos el resultado debemos colocar las constantes de integración por tratarse de una integral indefinida.

∫ ( x2+5 x+6 ) cos2 x dx

u=x2+5 x+6dv=cos2x dx

du=(2 x+5 )dx v=12

sin 2 x

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Reemplazamos en integral inicial

Solucionamos integral Simplificamos resultado

∫ ( x2+5 x+6 ) cos2 x dx=¿ x2+5 x+612

sin 2x−∫ 12

sin2 x (2x+5 ) dx ¿

∫ ( x2+5 x+6 ) cos2 x dx=¿ x2+5 x+62

sin 2 x−12∫ (2 x+5 )sin 2 xdx ¿

Integramos por partes nuevamente

u=2 x+5 dv=sin2 x dx

du=2 dx v=−12

cos2 x

∫ ( x2+5 x+6 ) cos2 x dx=2x+5−12

cos2 x−∫−12

cos2 x2 dx

∫ ( x2+5 x+6 ) cos2 x dx=2 x+5−cos2 x2

+12∫ cos2 xd x

∫ ( x2+5 x+6 ) cos2 x dx=¿ 2 x+5−cos2x2

+ 14

sen2 x+c¿

∫ ( x2+5 x+6 ) cos2 x dx=2 x+5−cos2 x8

sen2 x+c

2.4 RECOMENDACIONES Después de haber integrado analizar que la función sea sencilla si no es así

buscar otro método para integrar, hasta que la integral resultante sea sencilla. Integración por partes siempre tendrá únicamente una formula siendo:

∫udv=u v−∫ v du

3. PARA PRACTICAR

1¿∫ x6 dx

2¿∫ cosx dx

3¿∫ (6 x5 ) dx

4 ¿∫ 5

X 4

5¿∫( X

X2+1 )6¿∫¿¿

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4. CONCLUSIONES

Después de haber desarrollado este informe sobre las integrales indefinidas he llegado a las siguientes conclusiones:

Que para la integración indefinida no existen reglas generales, debido a que estas son las practicas sistemática las cuales son determinadas a partir de la aplicación del método adecuado de integración, según sea el integrando.

Solo a partir de la práctica, se podrá llegar a entender y resolver los ejercicios de las integrales indefinidas.

BibliografíaDemidovich B, Ejercicios y problemas de análisis matemático Ed Mir Moscú 2014.

Thomas George, (2010). Calculo de una variable. México. Pearson educación de México.

Rafael salcedo. Matemáticas aplicadas a la administración. Universidad tecnológica san Antonio de Machala. 2010

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