Colegio Centroamérica del sagrado corazón de Jesús

Managua, Nicaragua

Sistemas de ecuaciones

Fernando Abraham Levia López.

9°C

Matemáticas.

Profesor: William Pérez.

Fecha: 7 de marzo de 2014

Conceptos:

Ecuaciones Lineales: es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables de la primera potencia, que no contiene productos entre variables o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable de la primera potencia.

Sistemas de ecuaciones lineales: es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Conjunto solución: está formado por todos los valores de la variable que hacen que la igualdad se cumpla.

Método de igualación:

Dos cantidades son iguales o equivalentes cuando tienen el mismo valor.

Pasos para resolver el método de igualación:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita

3. Se resuelve la ecuación

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de sustitución:

Consiste en despejar una de las variables de cualquiera de las dos ecuaciones y sustituir el despeje en la ecuación restante, así resulta la ecuación de primer grado, la cual se resuelve para obtener el valor de una de las variables.

Pasos para resolver el método de sustitución:

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método de reducción:

Consiste en multiplicar las ecuaciones dadas por algún numero, de tal forma que al sumar las ecuaciones equivalentes que resultan, una de las variables se elimina para obtener una ecuación con una incógnita, y al resolverla se determina su valor, para posteriormente sustituirla en alguna de las ecuaciones originales y así obtener el valor de la otra incógnita.

Pasos para resolver por el método de reducción:

1. se separan las dos ecuaciones, multiplicándolas por dos números que convengan.

2. Las restamos, y desaparece una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación restante.

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

Método por determinantes:

Determinante 2x2 es un arreglo rectangular de números.

Pasos para resolver por el método de determinantes:

1. Se comienza por buscar la determinante del sistema, con un arreglo numérico y haciendo uso 2 barras.

2. Se acomodan los coeficientes de las incógnitas de ambas ecuaciones y se restan los productos de la diagonal secundaria y de la diagonal principal.

3. Obtener la determinante de la incógnita x.

4. Obtener la determinante de Y, siguiendo el mismo proceso pero sustituyendo los valores de Y por los términos independientes.

5. Encontrar los valores de las incógnitas realizando las divisiones de las determinantes de cada incógnita entre la del sistema.

Ejemplo de un sistema resuelto por igualación:

{ 2 x+3 y=85x−8 y=51}1. 2x+3y=8

2x=8-3y

x=8−3 y2

2. 5x=51+8y

X=51+8y

x=51+8 y5

x=8−3 y2

=51+8 y5

X=5(8-3y)=2(51+8y)

X=40-15y=102+16y

=16y-15y=102-40

-31y=62

Y=-2

Sustituyo en cualquiera de las otras ecuaciones:

2x+3(-2)=8

2x-6=8

2x=8+6

2x=14 x=142 x=7

Ejemplos de una ecuación resuelta por el método de sustitución:

{ 4 x+ y=−295x+3 y=−45}

4x+y=-29

4x=-y-29

x=− y−294

¿5(− y−294 )+3y=-45

=-5y-145+12y=-180

=-5y+12y=-180

=7y=-35

Y=-5

4x+ (-5)=-29

4x-5=-29

4x=5-29

4x=-24

X=-6

Ejemplo de una ecuación resuelta por el método de reducción:

{7 x+4 y=655x−8 y=51}

(7 x+4 y=65 ) (-5) −35 x−20 y=−32535 x−56 y=21−76 y=−346

y=−304−76 y=4

(5 x−8 y=51 ) (7)

7x+4(4)=65

7x-16=65

7x=65-16

7x=49

X=7

Ejemplo de una ecuación resuelta por el método de determinantes:

{−3 x+8 y=138 x−5 y=−2 }

X= 13 8−2 −5 =

(13 ) (−5 )−(−2 )(8)(−3 ) (−5 )−(8 )(8)

= −65+1615−64 =

−49−49 X=-1

−3 88 −5

Y=−3 138 −2 =

(−3 ) (−2 )−(8 )(13)(−3 ) (−5 )−(8 )(8)

=6−10415−64 =

−98−49 y=2

−3 88 −5

Ejercicio resuelto por método de reducción: