trabajo de lineal algebra booleana
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
FUNCIONES BOOLEANAS Y COMPUERTAS AND, OR Y NOT
Curso : Algebra lineal
Profesora : Luque
Sección : «A»
Autor : LEON NUÑEZ RONNY
MANUEL GUSTAVO GAMARRA AGUILAR
Rímac, 17 de enero del 2014
Dedicado a mis padres por el apoyo
incondicional que me brindan.
Gracias a los maestros por sus enseñanzas,
y a nuestros padres por sus consejos.
FUNCIONES BOOLEANAS Y COMPUERTAS AND, OR Y NOT
ÍNDICE
CÁPÍTULO I: TEREMAS Y PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE CÁPÍTULO II: FUNCIONES BOOLEANAS2.1. Representación de funciones lógicas.
2.2. Formas canónica y normalizadaCÁPÍTULO III: SIMPLIFICACION DE FUNCIONES BOOLEANAS3.1. Método del mapa de Karnaugh 3.1.1. De dos variables3.1.2. De tres variables3.1.3. De cuatro variablesCÁPÍTULO IV: COMPUERTAS LOGICASCÁPÍTULO V: PROBLEMAS RESUELTOS 5.1. Ejercicios resueltos I5.2. Ejercicios resueltos II BIBLIOGRAFÍA
CÁPÍTULO I: TEREMAS Y PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE BOOLE
TEOREMA 1: El elemento complemento A es único.
TEOREMA 2: Para cada elemento de B se verifica:
A+1 = 1 A·0 = 0
TEOREMA 3: cada elemento identidad es el complemento del otro.
0=1
1=0
TEOREMA 4 (Idempotencia): para cada elemento de B, se verifica:
A+A=A
A·A=A
TEOREMA 5 (Involución): para cada elemento de B, se verifica:
A = A
TEOREMA 6 (Absorción): para cada par de elementos de B, se verifica:
A+A·B=A
A·(A+B)=A
TEOREMA 7: para cada par de elementos de B, se verifica:
A + A·B = A + B
A · (A + B) = A · B
TEOREMA 8 (Asociatividad): cada uno de los operadores binarios (+) y
(·) cumple la propiedad asociativa:
A+ (B+C) = (A+B)+C
A· (B·C) = (A·B) ·C
LEYES DE DEMORGAN: para cada par de elementos de B, se verifica:
A+B= A B
AB = A+B
CÁPÍTULO II: FUNCIONES BOOLEANAS
En matemáticas, una función booleana es una función cuyo dominio son
las palabras conformadas por los valores binarios 0 ó 1 ("falso" o
"verdadero", respectivamente), y cuyo dominio son ambos valores 0 y 1.
Formalmente, son las funciones de la forma ƒ : Bn → B, donde B = {0,1} y n
un entero no negativo correspondiente a la aridad de la función.
Una función booleana es un conjunto de variables relacionadas entre sí
mediante los operadores lógicos.
Una función booleana es también una variable booleana.
2.1. Representación de funciones lógicas.
2.1.1. Forma algebraica general:
F (A ,B ,C , D)=A+A BC+A BCD
Es la combinación de variables relacionadas por las operaciones lógicas.
Esta forma de representación tiene el inconveniente de que no es única,
pudiendo haber infinitas representaciones para una misma
función.
2.1.1. Mediante la tabla de verdad:
Son tablas en las cuales figuran todas las combinaciones posibles de las
variables de entrada y el valor correspondiente de la función para cada una
de ellas. Este tipo de representación elimina el inconveniente de la forma
anterior ya que toda función tiene una única tabla de verdad.
Una tabla de verdad, consta de tantas columnas de entrada como variables
tenga la función y una única columna de salida.
Para obtener la tabla de verdad por el método de columnas auxiliares para
obtener la función de salida, es muy aconsejable simplificar al máximo la
función dada
F (A ,B ,C , D)=A BCD+A BC D+A BC D
A B C D F0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 1 1 00 1 0 0 00 1 0 1 00 1 1 0 10 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 01 1 0 1 01 1 1 0 01 1 1 1 0
2.2. Formas canónica y normalizada
X Y Z Termino Designación Termino Designación
0 0 0 X Y Z m0 X+Y +Z M0
0 0 1 X Y Z m1 X+Y +Z M1
0 1 0 X Y Z m2 X+Y +Z M2
0 1 1 X YZ m3 X+Y +Z M3
1 0 0 X Y Z m4 X+Y +Z M4
1 0 1 X Y Z m5 X+Y +Z M5
1 1 0 XY Z m6 X+Y +Z M6
1 1 1 XYZ m7 X+Y +Z M7
F1=X Y Z+X Y Z+XYZ
F2=X Y Z+X Y Z+XY Z
F1=m1+m 5+m7=M 0.M 2.M 3.M 4.M 6=∑ (1,5,7 )=∏ (0,2,3,4,6)
F2=m2+m 4+m6=M 0.M 1.M 3.M 5.M 7=∑ (2,4,6 )=∏ (0,1,3,5,7)
CÁPÍTULO III: SIMPLIFICACION DE FUNCIONES BOOLEANAS
X Y Z F1 F20 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 0 10 1 1 0 01 0 0 0 11 0 1 1 01 1 0 0 11 1 1 1 0
3.1. Método del mapa de Karnaugh
Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o
diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un
diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas
Booleanas.
Este método consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el
número de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes
combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar
de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando
únicamente una variable, ya sea en forma negada o directa.
Este método se emplea fundamentalmente para simplificar funciones
de hasta cuatro variables. Para un número superior utilizan otros
métodos como el numérico. A continuación pueden observarse los
diagramas, también llamados mapas de Karnaugh, para dos, tres y
cuatro variables.
Es una práctica común numerar cada celda con el número decimal
correspondiente al término canónico que albergue, para facilitar el
trabajo a la hora de plasmar una función canónica.
Para simplificar una función lógica por el método de Karnaugh se
seguirán los siguientes pasos:
1º) Se dibuja el diagrama correspondiente al número de variables de la
función a simplificar.
2º) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos
canónicos que forman parte de la función.
3º) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes
siguiendo estrictamente las siguientes reglas:
a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian únicamente en
el estado de una sola variable.
b) Cada lazo debe contener el mayor número de unos posible,
siempre que dicho número sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.)
c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya
cuadrículas que pertenezcan a dos o más lazos diferentes.
d) Se debe tratar de conseguir el menor número de lazos con el
mayor número de unos posible.
4º) La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el
diagrama. Cada término se obtiene eliminando la o las variables que
cambien de estado en el mismo lazo.
3.1.1. De dos variablesEn el hay cuatro términos mínimos para dos variables es decir que el
mapa consiste en cuatro cuadrados uno para cada termino.
X Y 0 1 0
10
00 01
10 11
m0 m1
m2 m3
3.1.2. De tres variables
Hay ocho términos mínimos para las tres variables. El mapa consiste
en ocho cuadrados.
X Y 00 01 11 10
0
1
3.1.3. De cuatro variables
Consta de 16 términos y los cuadrados asignados a cada uno .
AB CD 00 01 11 10
00
01
11
10
m0 m1 m3 m2
m4 m5 m7 m6
000 001 011 010
100 101 111 110
0000 m0 0001 m1 0011 m3 0010 m2
0100 m4 0101 m5 0111 m7 0110 m6
1100 m12 1101 m13 1111 m15 1110 m14
1000 m8 1001 m9 1011 m11 1010 m10
CÁPÍTULO IV: COMPUERTAS LOGICAS
AND
F=XY
X F
Y
OR
F=X+Y
X F
Y
NAND
F=XY
X F
Y
NOR
F=X+Y
X F
Y
XOR
F=X⊕Y
X F
Y
NOR-exclusiva
F=X⊙Y
X F
Y
CÁPÍTULO V: PROBLEMAS RESULETOS
5.1. Ejercicios resueltos I1) Simplifique la expresión por medio de un mapa de karnaugh de cuatro
variables.a) F(A,B,C) = ∑ m=(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14 )
AB CD 00 01 11 10
00
01
11
10
½ L2 L1
½ L2
½ L3
½ L3
Lazo 1
A= 0o1 B= 0o1 C=0 D= 0o1
C
Lazo 2
A=0 B= 0o1 C= 0o1 D=0
A D
Lazo 3
A= 0o1 B= 1 C= 0o1 D=0
BD
F=C+A D+B D
0000 m0 0001 m1 0011 m3 0010 m2
0100 m4 0101 m5 0111 m7 0110 m6
1100 m12 1101 m13 1111 m15 1110 m14
1000 m8 1001 m9 1011 m11 1010 m10
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1
b) F(A,B,C) = A BC+BC D+ABC D+A BCF(A,B,C) = A BC (D+D)+BC D(A+A)+A BC D+A BC (D+D)F(A,B,C) = A BC D+A BC D+A BC D+A BC D+A BC D+A BC D+A BC D ¿F(A,B,C) = ∑ m=(0,1,2,6,8,9,10 )
AB CD 00 01 11 10
00
01
11
10
¼ L1 ½ L2 ¼ L1
L3
¼ L1 ½ L2 ¼ L1
Lazo 1
A= 0o1 B= 0 C=0 D= 0o1
BC
Lazo 2
A=0o1 B= 0 C= 0o1 D=0
0000 m0 0001 m1 0011 m3 0010 m2
0100 m4 0101 m5 0111 m7 0110 m6
1100 m12 1101 m13 1111 m15 1110 m14
1000 m8 1001 m9 1011 m11 1010 m10
1 1 1
1
1 1 1
BD
Lazo 3
A= 0 B= 0o1 C= 1 D=0
AC D
F=BC+B D+A C D
2) Simplificar la siguiente función booleana en suma de productos por medio de un mapa de karnaugh de 4 variables.Dibuje el circuito lógico con:a) Compuertas OR-ARb) Compuertas NAND
F(A,B,C) = ∑ m=(2,3.4,5,6,7,11,14,15)
AB CD 00 01 11 10
00
01
11
10
L1
L2
0000 m0 0001 m1 0011 m3 0010 m2
0100 m4 0101 m5 0111 m7 0110 m6
1100 m12 1101 m13 1111 m15 1110 m14
1000 m8 1001 m9 1011 m11 1010 m10
1 1
1 1 1 1
1 1
1
L3 L4
Lazo 1
A= 0 B= 0o1 C=1 D= 0o1
AC
Lazo 2
A=0o1 B= 1 C= 1 D=0o1
BC
Lazo 3
A= 0 B= 1 C= 0o1 D=0o1
A B
Lazo 4
A= 0o1 B= 0o1 C= 1 D=1
CD
F=AC+BC+A B+CD
Compuerta OR-AND
A
B
A
C F
B
C
C
D
Compuerta NAND
F=AC+BC+A B+CD
F=A B+A C+BC+CD
F= ´A B+A C+BC+CD
F=A B . AC . BC .CD
A
B
A
C F
B
C
C
D
3) Determine la expresión mínima para el siguiente mapa de karnaugh
e implemente su circuito lógico
AB CD 00 01 11 10
00
01
11
10
L2
L1
L3
1 0 1 1
1 0 0 1
0 0 0 0
1 0 1 1
0000 m0 0001 m1 0011 m3 0010 m2
0100 m4 0101 m5 0111 m7 0110 m6
1100 m12 1101 m13 1111 m15 1110 m14
1000 m8 1001 m9 1011 m11 1010 m10
1 0 1 1
1 0 0 1
0 0 0 0
1 0 1 1
Lazo 1
A= 0o1 B= 1 C=0o1 D= 1
BD
Lazo 2
A=0o1 B= 0o1 C= 0 D=1
C D
Lazo 3
A= 1 B= 1 C= 0o1 D=0o1
AB
F=AB+BD+C D
F=AB+BD+C D
F=AB. BD.C D
F=( A+B )(B+D)(C+D)
F=A D+BD+BC
Circuito lógico
A
D
B
D F
B
C
4) Simplifique la siguiente función booleana aplicando el mapa de karnaugh
y diseñe el circuito lógico correspondiente con compuertas NAND.
F ( A , B ,C ,D )=(B+D)(A+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)
F ( A , B ,C ,D )=(B+D)(A+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)
F=( A+B+D ) ( A+B+D ) (A+B+C+D ) ( A+B+C+D )(A+B+C+D)(A+B+C+D)
F=( A+B+C+D ) (A+B+C+D ) ( A+B+C+D ) (A+B+C+D ) ( A+B+C+D ) (A+B+C+D ) ( A+B+C+D ) (A+B+C+D )
F ( A , B ,C ,D )=∏ (5,6,7,10,11,13,14,15 )=∑ (0,1,2,3,4,8,9,12)
AB CD 00 01 11 10
00
01
11
10
L1
½ L3
L2
½ L3
Lazo 1
A= 0 B= 0 C=0o1 D= 0o1
A B
Lazo 2
A=0o1 B= 0o1 C= 0 D=0
C D
Lazo 3
0000 m0 0001 m1 0011 m3 0010 m2
0100 m4 0101 m5 0111 m7 0110 m6
1100 m12 1101 m13 1111 m15 1110 m14
1000 m8 1001 m9 1011 m11 1010 m10
1 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 1 0 0
A= 0o1 B= 0 C= 0 D=0o1
BC
F=A B+C D+BC
F= ´A B+C D+BC
F=A B .C D . BC
A
B F
C
D
B
C
5) Simplificar la siguiente función booleana:F=( A ,B ,C ,D )=A C D+BCD+A BC D+ABD+A BC D+A D+BC
Utilizando el mapa de karnaugh. Implementar el circuito lógico correspondiente utilizando compuertas NAND.
F=( A ,B ,C ,D )=A C D+BCD+A BC D+ABD+A BC D+A D+BC
F ( A , B ,C ,D )=AC D(B+B)+BCD (A+A)+A BC D+ABD(C+C)+A BC D+A D(B+B)+BC (A+A)
F ( A , B ,C ,D )=ABC D+A BC D+ABCD+A BCD+A BC D+ABCD+ABC D+A BC D+AB D+A B D+A BC+A BC
F ( A , B ,C ,D )=ABC D+A BC D+ABCD+A BCD+A BC D+ABCD+ABC D+A BC D+AB D(C+C)+A B D(C+C)+A BC(D+D)+A BC(D+D)
F ( A , B ,C ,D )=ABC D+A BC D+ABCD+A BCD+A BC D+ABCD+ABC D+A BC D+ABC D+ABC D+A BC D+A BC D+A BCD+A BC D ¿+ABCD+A BC D
F=( A ,B ,C ,D )=∑ (2,3,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15 )
AB CD 00 01 11 10
00
01
11
10
L1
½ L2
½ L2
Lazo 1
A= 0 B= 0 C=0 D= 0o1
A BC
Lazo 2
A=0 B=1 C= 0o1 D=0
A BD
F=A BC+A BD
F=A BC+A BD
F=A BC . A B D
F=(A+B+C)(A+B+D)
0000 m0 0001 m1 0011 m3 0010 m2
0100 m4 0101 m5 0111 m7 0110 m6
1100 m12 1101 m13 1111 m15 1110 m14
1000 m8 1001 m9 1011 m11 1010 m10
0 0 1 1
0 1 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
F=A+A B+AD+AB+BD+AC+BC+CD
F=A+BD+BC+CD
Compuerta NAND
F= ´A+BD+BC+CD
F=A .BD .BC .CD
A
B
D F
B
C
C
D
5.2. Ejercicios resueltos II
Solución:
=> ∑ m(0,1,2,5,8,9,10)
Mapa de 4 variables
½Lazo 2
¼ lazo 1 ¼ lazo 1
Lazo 3
¼ lazo 1 ¼ lazo 1
½Lazo 2
Lazo 1 => a= (0,1) b=0 c= (0,1) d=0 = B’D’
Lazo 2 => a= (0,1) b=0 c=0 d= (0,1) = B’C’
111
1
111
Lazo 3 => a=0 b= (0,1) c=0 d=1 = A’C’D’
=>B’D’+ B’C’+ A’C’D’
= (A+A’) B’D’+ (A+A’) B’C’+A’C’ (B+B’) D
= AB’D’+A’B’D’+AB’C’+A’B’C’+A’BC’D+A’BC’D+A’B’C’D
= AB’CD’+AB’C’D’+A’B’CD’+A’B’C’D’+AB’C’D+AB’C’D’+A’B’C’D+
A’B’C’D’+A’BC’D+A’B’C’D
m (0, 1, 2, 5, 8, 9,10)
a) A’B+AB’C’+ABC’= (A C’
A’B+AC’ (B+B’)+AB’C= (A C’
A’B+AC’+AB’C = (A C’
A’B+A (C’+B’C)= (A C’
A’B+A (C’+B’)= (A C’
A’B+AC’+AB’ = (A C’
(A C’= (A C’
b) F=AB’CD’+A’BCD’+AB’C’D+A’BC’D
F=AB’ (CD’+C’D)+A’B (CD’+C’D)
F= (AB’+A’B) (CD’+C’D)
F= (A (CD
a) AB’+C’D’+A’CD’
=AB’+D’ (C’+A’C)
=AB’+D’ (C’+A’)
=AB’+C’D’+A’D’
= ((AB’+C’D’+A’D’)’)’
= (((A’+B) ’+(C+D) ’+ (A+D) ’) ’) ’
b) AB’CD’+A’BCD’+AB’C’D+A’BC’D
=AB’ (CD’+C’D) +A’B (CD’+C’D)
= (AB’+A’B) (CD’+C’D) Complemento dos veces
= ((A+B) ’+ (A’+B’) ’+(C+D) ’+ (C’+D’)) ’
a) F=A’BE+BCDE+BC’D’E+A’B’DE’+B’C’DE’
F=DE’ (A’B’+B’C’) +BE (CD+C’D’) +A’BE
F=DE’B’ (A’+C’) +BE+A’BE
F= DE’B’A’+DE’B’C’+BE (1+A’)
F=A’B’DE’+B’C’DE’+BE = (A’+C’) B’DE’+BE
F=BE+B’DE’
b) F=AB’CD’+A’BCD’+AB’C’D+A’BC’D
F=CD’ (AB’+A’B) +C’D (AB’+A’B)
F= (AB’+A’B) (CD’+C’D)
F= ((AB’+A’B)’+ (CD’+C’D)’) ’
a) = (A (B’+C) + (CD) ’) ’
= (A (B’+C) ’) ’.CD
= (A’+ (B’+C)).CD
= A’CD+B’CD+CD
= CD (A’+B’+1)
= CD
b) F=A’CD+B’CD+CD
F=A’CD (B’+B)+B’CD(A+A’)+CD(A+A’)(B+B’)
F=A’BCD+A’B’CD+AB’CD+A’B’CD+(ACD+A’CD)(B+B’)
F=A’BCD+A’B’CD+AB’CD+ABCD
F=CD
1
1
1
BIBLIOGRAFÍA
Matemática discreta /J. C. Ferrando, Valentín Gregori
Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas /Carlos Barco Gómez
Problemas de matemática discreta /Carmen Alegre
Diseño de sistemas digitales: introducción práctica/ Joan Oliver, Carles
Ferreri Ramis