UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NÚCLEO DE MONAGAS

INGENIERÍA DE SISTEMAS

MODELOS DE OPERACIONES I

(071-4633)

Profesor:

Ing. Ronceros Cristhian

Bachilleres:

Arevalo, Danelys

Barreto, Karen

Bastardo, Yohanna

Cordero, Francelys

Fernández, Jackelin

Fongaro, Grecia

José, Marín

Karina, Mayorga

MATURIN, ABRL 2014

INTRODUCCIÓN

La Programación no Lineal es una parte de la Investigación Operativa cuya tarea es facilitar una

serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función

objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo,

como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser

no lineales. Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que

en él intervengan. Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja

también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir

entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en

problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas

caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales.

Los métodos de la programación no lineal que empezaron a usarse para la solución de estos

casos pretenderían optimizar una función objetivo, estos métodos considerados como algoritmos

directos que buscan el máximo o el mínimo de un problema siguiendo la mayor tasa de aumento o

disminución, así como algoritmos indirectos donde el problema original se sustituye por otro del cual

se determina el óptimo.Los algoritmos usados en la programación no lineal buscan perfeccionar una

función objetivo con uno o más variables usando en algunos casos derivadas.

En paginas siguientes se expondrá un algoritmos para problemas no restringidos, el Método

búsqueda de la sección de oro que es estrictamente unimodal y que intenta buscar la región o el

intervalo de incertidumbre que comprende la solución optima

MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES UNIMODELOS DE UNA

SOLA VARIABLE EN PROBLEMAS NO RESTRINGIDOS

Métodos de búsqueda

Uno de los principales campos de la programación no lineal es el de la optimización no

restringida u optimización libre, que trata el problema de minimizar o maximizar una función en

ausencia de cualquier restricción. Existen métodos de búsqueda del valor óptimo de una función

f(x) que pueden ser aplicados para funciones de una ó varias variables, usando derivadas o sin

emplearlas.

A continuación analizaremos unos de los métodos de búsqueda que existen para resolver

problemas de programación no lineal no restringidos, después de presentar algunos conceptos

fundamentales.

Métodos de optimización de funciones unimodales de una sola variable en problemas no

restringidos:

Definición: Se dice que una función de una sola variable es unimodal, cuando tiene un solo

punto mínimo o máximo.

Para el caso de maximización; Si f(x) es estrictamente unimodal, entonces: para x1< x2< x*

entonces f(x1) < f(x2) < f(x*) y x* < x3<Xj entonces f(x*) > f(x3) > f(x4), siendo x* el valor que

optimiza la función f(x), es decir, f(x)<f(x*) para toda x.

Dada una función f(x) estrictamente unimodal y dos puntos x1 y x2 con x1< x2, existen tres

posibilidades a analizar para efectuar la eliminación. Por ejemplo, para el caso de maximización:

a) Si f(x1) > f(x2) entonces x* < x2

b) Si f(x1) < f(x2) entonces x1< x*

c) Si f(x3) = f(x2) entonces x1< x* < x2

Suponiendo que se requieren hacer k evaluaciones de una función f(x), que es estrictamente

unimodal, sean X0 y Xnlos extremos izquierdo y derecho del intervalo de búsqueda,

respectivamente, sea Xp el mejor punto obtenido y sean Xt, y Xr los puntos a la izquierda y derecha

de Xp, respectivamente. Obviamente el punto óptimo x* debe encontrarse en el intervalo X t, < X*

<Xr. La distancia Xr–Xt, se denomina intervalo de incertidumbre.

Figura 1.

Una medida de la efectividad de los métodos de búsqueda de puntos óptimos en funciones

unimodales de una sola variable es la siguiente:

E=X2−X1

XL−X R

Método de búsqueda de la Sección de Oro

Este método también requiere que la función sea de una sola variable y unimodal que sea

estrictamente cuasi-convexa. Si el rango de incertidumbre original es: a < x < b. el proceso reduce

este intervalo en cada evaluación, en un valor constante T (representa la letra griega tao).

Este valor constante llamado "Sección de Oro" se calcula de la siguiente manera:

Supóngase que se esta examinando el intervalo de búsqueda a < x < b con dos valores X1 y

X2 conocidos, tales que a < x < b pertenece a los métodos de búsqueda lineal basados en intervalos,

además es una versión mejorada de la búsqueda de Fibonacci.

En la búsqueda de la Sección Dorada se usan tres valores de la función para detectar el valor

extremo, se toma un cuarto número, y se determina donde ocurre el mínimo, en los primeros tres o

los últimos tres valores.

Figura 2.

Se minimiza la evaluación de la función objetivo al reemplazar los valores anteriores con los

nuevos, haciendo que se cumplan las siguientes condiciones:

La primera condición específica que la suma de las dos sub-longitudes l1 y l2 debe ser igual a

la longitud original del intervalo.

l0=l1+l2

La segunda indica que el cociente o razón de las longitudes debe ser igual.

l1

l0

=l2

l1

Sustituyendo, l1

l1+l2

=l2

l1

Se toma el reciproco y haciendo R=l2

l1se llega a: 1+R= 1

R

R2+R−1=0

Resolviendo para la raíz positiva:

Este valor se conoce como la Razón Dorada y

permite encontrar de forma eficiente el óptimo.

Se comienza con los valores extremos del intervalo xl, xu que contienen el extremo local de

f(x).

Dos puntos interiores de escogen de acuerdo a:

d=R ( Xu−X l ){ X1=X l+dX 2=Xu−d

Se evalúa la función en los dos puntos interiores:

Si f ( X1 )< f ( X2 )→ X l=X2 ; X2=X1; X1=X l+R( Xu−X l)Si f ( X2 )< f ( X1 )→ Xu=X1 ; X1=X 2; X2=Xu+R( Xu−X l)

Algoritmo de la búsqueda dorada:

( Xu , X l , f ( x ) , tol )1 mientras (X u−X l)>tol

2 {

3d ←R (Xu−X l)

4X1=X l+d

5X2=Xu−d

6 K= k+1

7Sif ( X1 )< f ( X2 )

8 entonces X l=X2

9 sino Xu=X1

10 }

11 entonces regresar X1

12 sino X2

Ejemplo nº 1.

Determine el máximo valor de la siguiente función, suponga que ∆ = 0.3. en el intervalo que va de

(-1,0.5) :

Maximizar f(x) = - X2 – 1

Iteración 1:

A = -1

B = 0.5

X1 = (0.5) – (0.6180) (0.5-(-1)) = - 0.427

X2 = (-1) + (0.6180) (0.5-(-1)) = - 0.073

F(X1) = -(-0.427)² - 1 = -1.1823

F(X2) = -(-0.073)² - 1 = -1.0053

F(X1) <F(X2), entonces X1 < X* < B. Se define A = X1

Nuevo Rango (li) = (-0.427,0.5)

Cálculo de error:

E=0.5−(−0.427)

0.5−(−1)=0.618

Iteración 2:

A = -0.427

B = 0.5

X1 = (0.5) – (0.6180) (0.5-(-0.427)) = - 0.0728

X2 = (-0.427) + (0.6180) (0.5-(-0.427)) = - 0.1458

F(X1) = -(-0.0728)² - 1 = -1.0052

F(X2) = -(-0.1458)² - 1 = -1.0212

F(X1) >F(X2), entonces, se define B = X2

Nuevo Rango (Ii) = (-0.427,0.1458)

Cálculo de error:

E=0.1458−(−0.427)

0.5−(−1)=0.381924

Iteración 3:

A = -0.427

B = 0.1458

X1 = (0.1458) – (0.6180) (0.1458-(-0.427)) = - 0.2081

X2 = (-0.427) + (0.6180) (0.1458-(-0.427)) = - 0.0730

F(X1) = -(-0.2081)² - 1 = -1.0433

F(X2) = -(-0.0730)² - 1 = -1.0053

F(X1) <F(X2), entonces, se define A = X1

Nuevo Rango (Ii) = (-0.2081, 0.1458)

Cálculo de error:

E=0.1458−(−0 .2081)

0.5−(−1) = 0.23599

Se cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.23<0.3en la 7

3ra iteración.

Ejemplo nº 2.

Use el método de la sección dorada para encontrar el minimo de la función = 3 x2+sen xcon

un error menor de E= 0,11 en los intervalos [3,8]

1) 3 x2+sen x∆< 0,11 [3,8]

CONDICIONES

a) F(X1) < F(X2) → a= X1 X1=X2

b=b F(X1)=F(X2)

b) F(X1) > F(X2) → a= a X2=X1

b= X2 F(X2)= F(X1)

X1= B - (0.618)*(B-A)

X2= A + (0.618)*(B-A)

E= A−BA−B

** √5−12 = 0.618 (RAZON DORADA) Punto Optimo

Iteración1 (3, 8)

X1= 8 – (0.618)*(8– 3) = 4,91

F(X1)= 3*(4,91)2 + sin(4,91) = 72,41

X2= 3 +(0.618)*(8– 3) = 6.09

F(X2)= 3*(6.09)2 + sin(6.09)= 111,37

F(X1) < F(X2)

A= 3 B= 6.09

E=6,09−38−3

= 0.62

Iteración2 (3,6.09)

X1= 6,09 – (0.618)*(6,09 – 3) = 4,18

F(X1) = 3*(4,18)2 + sin(4,18)= 52,49

X2= 3+(0.618)*(66,09– 3) =4,91

F(X2)= 3*(4,91)2 + sin(4,91)= 72,41

F(X1) < F(X2)

A= 3 B= 4,91

E=4,91−38−3

= 0.38

Iteración3 (3, 4.91)

X1= 4,91– (0.618)*(4,91– 3) = 3,73

F(X1) = 3*(3,73)2 + sin(3,73)= 41,80

X2= 3+(0.618)*(4,91 – 3) = 4,18

F(X2)= 3*(4,18)2 + sin(4,18)= 52,49

F(X1) < F(X2)

A= 3B= 4,18

E=4,18−38−3

= 0.23

Iteración4 (3, 4.18)

X1= 4,18 – (0.618)*(4,18– 3) = 3,45

F(X1) = 3*(3,45)2 + sin(3,45)= 35,77

X2= 3+(0.618)*(4,18 – 3) = 4,18

F(X2)= 3*(4,18)2 + sin(4,18)= 41,80

F(X1) < F(X2)

A= 3B= 3,73

E=3,73−38−3

= 0.14

Iteración5 (3, 373)

X1= 3,73 – (0.618)*(3,73– 3) = 3,28

F(X1) = 3*(3,28)2 + sin(3,28)= 32,33

X2= 3+(0.618)*(3,73 – 3) = 3,45

F(X2)= 3*(3,45)2 +sin(3,28)=35,77

F(X1) < F(X2)

A= 3B= 3,45

E=10−9 . 2810−2

= 0.09

Se cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.09<0.11en la 5ta iteración.

Ejemplo nº 3.

Use el método de la sección dorada para encontrar el máximo de la función = log χ²  con un

error de E= 0,10 en los intervalos [0, 10]

Max = log χ²  ∆ = 0.10 [0, 10]

X1 = b - (0,618) (b - a)

X2 = a + (0,618) (b - a)

E = b –a

b– a

Condición:

f(x1) < f(x2) a = x1 x1 = x2

b = b f(x1) = f(x2)

f(x1) > f(x2) a = a x2 =x1

b = x2 f(x2) = f(x1)

Interacción 1

X1 = 10 - (0,618) (10 - 0) = 3,82

X2 = 0 + (0,618) (10 - 0) = 6,18

F(X1) = log (3,82) ² = 0,3387

F(x2) = log (6, 18) ² = 0, 6256

f(x1) < f(x2)

a= 3, 82; b= 10

E= 10 – 3, 82 = 0,62

10 -0

Interacción 2

X1= 10 – (0,618) (10 – 3,82) = 6,18

X2= 3, 82 + (0,618) (10 – 3, 82) = 7, 63

F(x1) = log (6, 18) ² = 0, 6256

F(x2) = log (7, 63) ² = 0, 7788

f(x1) < f(x2)

a= 6,18; b= 10

E= 10 – 6,18 = 0,38

10 -0

Interacción 3

X1= 10 – (0,618) (10 – 6,18) = 7,63

X2= 6, 18 + (0,618) (10 – 6, 18) = 8, 54

F(x1) = log (7, 63) ² = 0, 7788

F(x2) = log (8,54) ² = 0,8676

f(x1) < f(x2)

a= 7,63; b= 10

E= 10 – 7,63 = 0,23

10 -0

Interacción 4

X1= 10 – (0,618) (10 – 7,63) = 8,54

X2= 7,63 + (0,618) (10 – 7,63) = 9,09

F(x1) = log (8, 54) ² = 0, 8676

F(x2) = log (9,09) ² = 0,9188

f(x1) < f(x2)

a= 8,54; b= 10

E= 10 – 8,54 = 0,14

10 -0

Interacción 5

X1= 10 – (0,618) (10 – 8,54) = 9,09

X2= 8,54 + (0,618) (10 – 8,54) = 9,44

F(x1) = log (9, 09) ² = 0, 9188

F(x2) = log (9, 44) ² = 0, 9505

f(x1) < f(x2)

a= 9, 09; b= 10

E= 10 – 9,09 = 0,09

10 -0

Ejemplo nº 4.

Use el método de la sección dorada para encontrar el máximo de la función =  5X2 + 8X

– 4 con un error menor de E= 0,04 en los intervalos [2, 10]

1) Max = 5X2 + 8X – 4 ∆< 0.04 [2, 10]

CONDICIONES

c) F(X1) < F(X2) → a= X1 X1=X2

b=b F(X1)=F(X2)

d) F(X1) > F(X2) → a= a X2=X1

b= X2 F(X2)= F(X1)

X1= B - (0.618)*(B-A)

X2= A + (0.618)*(B-A)

E= A−BA−B

** √5−12

= 0.618 (RAZON DORADA) Punto Optimo

Iteración1 (2, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 2) = 5.05

F(X1)= 5*(5.05)2 + 8*(5.05) – 4= 164.26

X2= 2 +(0.618)*(10 – 2) = 6.94

F(X2)= 5*(6.94)2 + 8*(5.05) – 4= 292.64

F(X1) < F(X2)

A= 5.05 B= 10

E=10−5 . 0510−2

= 0.62

Iteración2 (5.05, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 5.05) = 6.94

F(X1) = 5*(6.94)2 + 8*(6.94) – 4= 292.64

X2= 5.05 +(0.618)*(10 – 5.05) = 8.11

F(X2)= 5*(8.11)2 + 8*(8.11) – 4= 389.82

F(X1) < F(X2)

A= 6.94 B= 10

E=10−6 . 9410−2

= 0.38

Iteración3 (6.94, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 6.94) = 8.11

F(X1) = 5*(8.11)2 + 8*(8.11) – 4= 389.82

X2= 6.94 +(0.618)*(10 – 6.94) = 8.83

F(X2)= 5*(8.83)2 + 8*(8.83) – 4= 456.48

F(X1) < F(X2)

A= 8.11 B= 10

E=10−8 . 1110−2

= 0.23

Iteración4 (8.11, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 8.11) = 8.83

F(X1) = 5*(8.83)2 + 8*(8.83) – 4= 456.48

X2= 8.11 +(0.618)*(10 – 8.11) = 9.28

F(X2)= 5*(9.28)2 + 8*(9.28) – 4= 500.83

F(X1) < F(X2)

A= 8.83 B= 10

E=10−8.8310−2

= 0.14

Iteración5(8.83, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 8.83) = 9.28

F(X1) = 5*(9.28)2 + 8*(9.28) – 4=500.83

X2= 8.83+(0.618)*(10 – 8.83) = 9.55

F(X2)= 5*(9.55)2 + 8*(9.55) – 4=528.41

F(X1) < F(X2)

A= 9.28 B= 10

E=10−9 . 2810−2

= 0.09

Iiteración6 (9.28, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 9.28) = 9.55

F(X1) = 5*(9.55)2 + 8*(9.55) – 4= 528.41

X2= 9.28 +(0.618)*(10 – 9.28) = 9.72

F(X2)= 5*(9.72)2 + 8*(9.72) – 4= 546.15

F(X1) < F(X2)

A= 9.55 B= 10

E=10−9 . 5510−2

= 0.05

Iteación7 (9.55, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 9.55) = 9.72

F(X1) = 5*(9.72)2 + 8*(9.72) – 4= 546.15

X2= 9.55 +(0.618)*(10 – 9.55) = 9.82

F(X2)= 5*(9.82)2 + 8*(9.82) – 4= 556.72

F(X1) < F(X2)

A= 9.72 B= 10

E=10−9 . 7210−2

= 0.03

Se cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.03<0.04 en la 7ma iteración.

Ejercicio nº5.

Ejemplo nº 5.

Use el método de la sección dorada para encontrar el máximo de la función =

X2−4 X−12 un error menor de E= 0,04 en los intervalos [1, 10]

Max = X2−4 X−12 ∆ < 0.04 [1, 10]

Condiciones

e) F(X1) < F(X2) → a= X1 X1=X2

b=b F(X1)=F(X2)

f) F(X1) > F(X2) → a= a X2=X1

b= X2 F(X2)= F(X1)

X1= B - (0.618)*(B-A)

X2= A + (0.618)*(B-A)

E= A−BA−B

** √5−12

= 0.618 (Razón dorada) Punto Optimo

Iteración1 (0, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 0) = 3,82 F(X1)= (3,82)2 – 4(3,82) – 12= – 12,68

X2= 0+(0.618)*(10 – 0) = 6,18 F(X2)= (6.56)2 – 4(6,18) = 1,47

F(X1) < F(X2)

A= 3,82 B= 10

E=10−3,8210−0

= 0.62

Iteración2 (3,82, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 3,82) = 6,18 F(X1) = (6,18)2 –4*(6,18) –12 = 1,47

X2= 3,82 + (0.618)*(10 – 3,82) = 7,63 F(X2)= (7,63)2 –4*(7,63) –12= 15,69

F(X1) < F(X2)

A= 6.18 B= 10

E=10−6.1810−0

= 0.38

Iteración3 (6.18, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 6.18) = 7,63 F(X1) = (7.87)2 – 4*(7,63) –12= 15,69

X2= 6.18 – (0.618)*(10 – 6,18) = 8,54 F(X2)= (8.68)2 –4*(8,54)= 26,77

F(X1) < F(X2)

A= 7.63 B= 10

E=10−7.6310−0

= 0.23

Iteración4 (7,63, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 7.63) = 8.54 F(X1) =(8.54)2 –4*(8.54) –12= 26,77

X2= 7.63+(0.618)*(10 – 7.63) = 9.18 F(X2)=(9.18)2 –4*(9,18) –12 = 34,26

F(X1) < F(X2)

A= 8.54 B= 10

E=10−8.5410−0

= 0.14

Iteración5 (8.54, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 8.54) = 9.09 F(X1) =(9.09)2 –4*(9.09) –12= 34,26

X2= 8.54+(0.618)*(10 – 8.54) = 9,44 F(X2)=(9.44)2–4*(9.44) –12 = 39,35

F(X1) < F(X2)

A= 9,09 B= 10

E=10−9,0910−0

= 0.09

Iteración6 (9.09, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 9,09) = 9,44 F(X1) =(9.44)2 –4*(9.44) –12= 39,35

X2= 9,09+(0.618)*(10 – 9,09) = 9,65 F(X2)=(9.65)2–4*(9.65) –12 = 42,52

F(X1) < F(X2)

A= 9,44 B= 10

E=10−9,4410−0

= 0.05

Iteración7 (9.44, 10)

X1= 10 – (0.618)*(10 – 9.44) = 9.65 F(X1) =(9.65)2 –4*(9.65) –12= 42,52

X2= 9,44+(0.618)*(10 – 9.44) = 9,78 F(X2)=(9.78)2–4*(9.78) –12 = 44,52

F(X1) < F(X2)

A= 9,65 B= 10

E=10−9,6510−0

= 0.03

En la 7ma iteración, se cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.03<0.04

Ejemplo nº6.

Use el método de la sección dorada para encontrar el mínimo de la función =

3 tan x+2 x2−3 con un error menor de E= 0,1 en los intervalos [2,6]

min=3 tan x+2 x2−3∆ < 0,11 [ 2,6]

Condiciones

g) F(X1) < F(X2) → a= X1 X1=X2

b=b F(X1)=F(X2)

h) F(X1) > F(X2) → a= a X2=X1

b= X2 F(X2)= F(X1)

X1= B - (0.618)*(B-A)

X2= A + (0.618)*(B-A)

E= A−BA−B

** √5−12

= 0.618 (Razón dorada) Punto Optimo

Iteración1 (2, 6)

X1= 6 – (0.618)*(6– 2) = 3.528

F(X1)= 3 tan (3.528)+2(3.528)2−3 = 22.059

X2= 2 +(0.618)*(6– 2) = 4.472

F(X2)= 3 tan (4.472)+2(4.472)2−3 =37.232

F(X1) < F(X2)

A= 2 B= 4.472

E=4.472−26−2

= 0.62

Iteración2 (2, 4.472)

X1= 4.472 – (0.618)*(4.472 – 2) = 2.945

F(X1) = 3 tan (2.945)+2(2.945)2−3

X2= 2 + (0.618)*(4.472– 2) =3.528

F(X2)= 3 tan (3.528)+2(3.528)2−3 =22.059

F(X1) < F(X2)

A= 2 B= 3.528

E=3.528−26−2

= 0.38

Iteración3 (2, 3.528)

X1= 3.528– (0.618)*(3.528– 2) =2.583

F(X1) = 3*(3,73)2 + sin(3,73)= 10.465

X2= 3+(0.618)*(4,91 – 2) = 2.945

F(X2)= 3*(4,18)2 + sin(4,18)= 14.484

F(X1) < F(X2)

A= 2 B= 2.945

E=2.945−26−2

= 0.23

Iteración4 (2, 2.945)

X1= 2.945 – (0.618)*(2.945– 2) = 2.360

F(X1) = 3 tan (2.360)+2(2.360)2−3 =8.250

X2= 2+(0.618)*(2.945 – 2) = 2.583

F(X2)= 3 tan (2.583)+2(2.583)2−3 =10.465

F(X1) < F(X2)

A= 2 B= 2.583

E=2.583−26−2

= 0.14

Iteración5 (3, 373)

X1= 2.583– (0.618)*(2.583– 2) = 2.222

F(X1) = 3 tan (2.222)+2 (2.222)2−3 = 6.979

X2= 2+(0.618)*(2.583– 2) = 2.360

F(X2)= 3 tan (2.360)+2(2.360)2−3 = 8.250

F(X1) < F(X2)

A= 2 B= 2.360

E=2.360−26−2

= 0.09

Se cumple que el valor del error es menor, es decir, 0.09<0.1 en la 5ta iteración.

CONCLUSIÓN

La programación no lineal tiene la limitante de la no existencia de un algoritmo único para

cualquier problema no lineal, tal como el Método Simplex.

Muchos de los problemas de programación no lineal requieren de software de computadora,

para alcanzar su solución completa, tal como el paquete GINO, aunque, entre más pequeño sea el

error permisible (E) es mejor su aproximación al punto óptimo.

Los métodos de solución de programación no lineal se pueden clasificar en términos

generales como procedimientos directos o indirectos. Los métodos directos son los algoritmos de

gradiente, donde el máximo (mínimo) de un problema se busca siguiendo la tasa de incremento

(disminución) más rápida de la función objetivo en un punto. En los métodos indirectos, el

problema original se transforma primero en un problema auxiliar del cual se determina el óptimo.

BIBLIOGRAFÍA

TAHA, HAMDY A.Investigación de operaciones, 7ma. Edición, PEARSON EDUCACIÓN,

México, 2004

PRAWDA JUAN. Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones, 1era ediacion, LIMUSA,

Mexico 2004

Calderón, F. (2005). Optimizacion no lineal (documento en linea). Disponible en: «

http://lc.fie.umich.mx/~calderon/optimizacion/notas/file.pdf » [consulta: 23 de julio de 2012]