REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE

EXTENSIÓN BARCELONA – PUERTO LA CRUZ

ESCUELA DE SEGURIDAD INDUSTRIAL (77)

Profesor(a): Bachiller(es):

Ranielina Rondón Mejías Oscar García

C.I:20.052.437

Puerto la Cruz, Junio 2014

INTRODUCCIÓN

el espacio tridimensional. así como los puntos de un plano se ponen en

correspondencia con pares ordenados de números reales, los puntos del

espacio tridimensional se pueden poner en correspondencia uno a uno con

tríos ordenados de números reales, usando tres rectas coordenadas

mutuamente perpendiculares llamadas ejes. De este modo se forma un

sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares para el espacio

tridimensional al punto de intersección se le llama origen del sistema de

coordenadas y se usan las letras x, y, z para denotar dichos ejes. cada

pareja de ejes coordenados determina un plano llamado plano coordenado.

Se distinguen así los planos xy, xz yyz. Estos planos dividen el espacio en

ocho octantes. El sistema permite asociar a cada punto p del espacio

tridimensional un trío (a, b, c ) llamadas las coordenadas de p . Cuando

escribimos p(a, b, c)”. Estamos asociando al punto p con sus coordenadas

las cuales representan: a: b: c:

Es la distancia dirigida del punto p al plano y z. Es la distancia dirigida del

punto p al plano xz es la distancia dirigida del punto p al plano x y.

DEFINICIÓN DE VECTORES

Es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas

características que son:

ORIGEN

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que

actúa el vector.

MÓDULO

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen

y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector,

debemos medir desde su origen hasta su extremo.

DIRECCIÓN

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

SENTIDO

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector,

indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que

estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de

referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema

de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas

cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios,

son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí

y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario   o

también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario   o también

denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario   o

también denominado .

POR TANTO, OBTENDRÍAMOS UN EJE DE COORDENADAS

CARTESIANAS DE LA SIGUIENTE FORMA:

EN MATEMÁTICAS SE DEFINE UN VECTOR

Como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y

para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores

mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver espacio vectorial). En

particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son

representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden

representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas»)

en el plano   o en el espacio .

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales:

la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo

por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino

que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige);

la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de

su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también,

el desplazamiento de un objeto.

VECTORES EN R2 (DEFINICIÓN):

EN R2:

 La suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2,

entonces  a + b = (a1, a2)  +  (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).

 

EL PRODUCTO ESCALAR SE DEFINE POR: sea α Є R  y a un vector en

R2, entonces  αa = α(a1, a2) = (α a1, α a2). 

 

Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto

escalar en R2.

  

Observa que si  a = (a1, a2)   y   b = (b1, b2),  entonces

la  suma  de  los  vectores

 a + b = (a1, a2)  +  (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).  El cual se obtiene

trasladando la representación de los vectores a y b.  De manera, que se

puede obtener  a + b dibujando un paralelogramo.  A esta regla de suma se

le llama la regla del paralelogramo.

 

 

 

Para el producto escalar αa, se puede observa que si α > 0 se alarga o se

acorta el vector a por un factor α.  Si α < 0 se invierte la dirección del

vector a.

 

VECTOR EN R3

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud

vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que

cabe distinguir:

Un origen o punto de aplicación: A.

Un extremo: B.

Una dirección: la de la recta que lo contiene.

Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.

Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

VECTORES IGUALES

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma

dirección.

VECTOR LIBRE

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El

vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos

a+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k

PROPIEDADES

Conmutativa: a+b=b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

VECTORES UNITARIOS Y COMPONENTES DE UN VECTOR

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres

vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la

siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el

vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su

extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las

diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los

vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos

vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico.

Basta con aplicar la propiedad asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina

resultante.

SUMA DE VECTORES

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes,

analítica y gráficamente.

PROCEDIMIENTO GRÁFICO

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada

Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores

hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que

obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la

diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo

vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo

del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya

desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la

siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se

suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores),

pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el

apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un

ejemplo desuma y resta de vectores.

 

MÉTODO ALGEBRAICO PARA LA SUMA DE VECTORES

Dados tres vectores:

La expresión correspondiente al vector suma   es:

o bien

siendo, por tanto,

LA SUMA DE VECTORES GOZA DE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES:

Conmutativa

a + b = b + a

Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

ELEMENTO NEUTRO O VECTOR 0

a + 0 = 0 + a = a

ELEMENTO SIMÉTRICO U OPUESTO A'

a + a' = a' + a = 0

a' = -a

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado

analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características:

1.- Tiene la misma dirección que v.

2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el

opuesto, si k es un número negativo.

3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es

0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las

coordenadas del vector.

Ejemplo: Dado el vector v de componentes: vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v

= 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas

veces como indica el escalar.

EJEMPLO :

PROPIEDADES

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se

obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y

otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo

sistema de coordenadas:

r = rxi + ryj + rzk

v = vxi + vyj + vzk

TENIENDO EN CUENTA QUE EL PRODUCTO ESCALAR DE LOS

VECTORES:

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = i · k = j · k = 0

EL RESULTADO DE MULTIPLICAR ESCALARMENTE R POR V ES:

r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los

segmentos orientados que representan (sus módulos ), sino también calcular

el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar

también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo

que forman mediante la fórmula:

r · v = |r| · |v| · cos (r, v)

PROPIEDADES

Conmutativa: r · v = v · r

Distributiva: r · (v + u) = r · v + r · u Asociativa: ( k · r ) · v = k · ( r · v ) = r

· (K · v ) siendo k escalar.

Además:

1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.

2.- Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares,

(cos 90º = 0).

3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar

escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.

EJEMPLO:

Proyección ortogonal (rv) de r sobre v

rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · rv

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde

su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento

de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,

Donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido

del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.

Propiedades:

MÓDULO DE UN VECTOR

Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una

magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.

GRÁFICAMENTE: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y

se representa por:

COORDENADAS CARTESIANAS: En muchas ocasiones es conveniente

tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares

OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.

Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ,

entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ,

respectivamente, tales que:

y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de

a es:

SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL, GRÁFICO DEPUNTOS EN

R3.

LOS PUNTOS EN EL ESPACIO R 3

Pueden representarse de manera análoga a como selo hace en el plano

cartesiano. Para realizar esta representación escogemos tres rectas dirigidas

perpendiculares entre sí que se corten en un punto común del espacio, a

estas rectas se las conoce como:

Eje x ,eje y, eje z , y el punto común de corte se lo llama origen, como se

muestra en la

 FIGURA 1-1

Se define una escala adecuada sobre cada uno de los ejes y se representan

los números reales de la terna (x, y, z) de tal forma que el valor de x se lo

representa sobre el eje x, positivos adelante del origen y negativos atrás, el

valor y, sobre el eje y, positivos a la derecha del origen y negativos a la

izquierda, el valor z, sobre el eje z, positivos arriba del origen y negativos

abajo es común llamar a este conjunto de ejes como

Sistema de Coordenadas Cartesianas en el  Espacio, la característica de

este sistema es que existe una correspondencia biunívocaentre los puntos

del espacio R 3 y la terna (x, y, z).

EJEMPLO (PARA DISCUSIÓN): HALLA EL PRODUCTO INTERNO DE:

 a = (1, 1)  y  b = (1, -1) en R2

a = (3, 5)  y  b = ( 6, 10) en R2

a = (2, -3, 6)  y  b = ( 8, 2, -3) en R3

a = (1, -2, -3)  y  b = (2, -5, 4)  en R3

 

DEFINICIÓN: Sea a = (a1, a2, a3, …, an)  un vector en Rn, la

norma (magnitud o longitud) del vector , representada de la forma │a│ ó ║a

║, se define como la raíz cuadrada no negativa de a ∙ a = <a, a>.  Esto es:

 

 

EJEMPLOS (PARA DISCUSIÓN): CALCULA LA NORMA DE:

 a = (2, 2) en R2

a = (1, 3, -2) en R3  

 

NOTAS:

 El vector cero tiene magnitud cero.  Como el punto inicial y el punto terminal

coinciden, se dice que el vector no tiene dirección.

 

Como la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, se dice que:

║a + b║ ≤ ║a║ + ║b║.

 

EJEMPLO PARA DISCUSIÓN: Sean a = (1, 5)  y b = (3, 1).  Compara  ║a +

b║  y  ║a║ + ║b║.

  

DEFINICIÓN: Sean   a   y   b  vectores  en  Rn,  donde   a = (a1, a2, a3,…,

an)   y  b = (b1, b2, b3,…, bn).  La distancia entre a y b  representada por d(a,

b) está definida por:

 

 

EJEMPLOS (PARA DISCUSIÓN): HALLA LA DISTANCIA DE:

 

a = (1, 7)  y  b = (6, -5) en R2

a = (3, -5, 4)  y  b = (6, 2, -1) en R3

 

EJERCICIOS:

 HALLA EL PRODUCTO INTERNO A ∙ B DE:

 a) a = (3, -5, 2)  y  b = (4, 1,  -2)

b) a = (1, -8, 0, 5)  y  b = (3, 6, 4, 0)

c) a = (3, -1)  y  b = (2, 4)

 

Halla el valor de k para que los vectores a = (1, k, -3)  y  b = (2, -5, 4) sean

vectores ortogonales.

HALLA LA NORMA DE LOS SIGUIENTES VECTORES:

 

a) (2, -7)

b) (3, -12, -4)

 

Determina el valor de k tal que ║a║ = √39  si a = (1, k, -2, 5).

 

CONCLUSIÓN

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que

estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de

referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema

de Coordenadas Cartesianas.

Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar

geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el

plano   o en el espacio .

Algunos ejemplos de magnitudes físicas que son magnitudes vectoriales:

la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo

por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino

que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige);

la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de

su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también,

el desplazamiento de un objeto.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las

diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los

vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos

vectores.

BIBLIOGRAFÍA

http://tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici

%C3%B3n_de_vectores.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

http://aguilarcastillovictor.blogspot.com/2012/06/vector-un-vector-es-la-

expresion-que.html

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/vectores%20en%20r2%20y

%20r3.htm

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/vectores%20en%20r2%20y

%20r3.htm