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ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA(RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS)
Resolución:
Los ángulos son consecutivos y distribuidos en una vuelta completa, por lo que suman 360º:
Θ + 42º + 49º + 124º + 72º = 360º
Θ + 287º = 360º
Θ = 73º
Resolución:
Si AOC = ∡ y BOC = ∡ , entonces:
AOB = AOC – BOC ∡ ∡ ∡
AOB = ∡ –
Luego, si OM es bisectriz del AOB∡ tenemos que:
AOM = ∡ – = MOB ∡ 2
Por lo que: COM = MOB + BOC ∡ ∡ ∡
COM = ∡ – + 2
COM = ∡ – + 2 2
COM = ∡ + 2
Resolución:
Si = 37º 90’ 180’’ < > 37º 93’ < > 38º 33’
También se tiene que AB es bisectriz, por lo tanto: = 38º 33’ / 2
Luego: – 2 = 38º 33’ – 2 (38º 33’ / 2)
– 2 = 0º
Finalmente el complemento de ( – 2) = C(0º)
( – 2) = 90º
Resolución:
Si L4 es bisectriz de entonces = 2 por ser puestos por el vértice. Es decir que:
= 2 = 2(35º) = 70º
También 2 y son ángulos conjugados osea son suplementarios:
2 + = 180º 70 + = 180º
= 110º S (110º) = 70º
S() = 70º
Resolución:
Sea : el ángulo 3 – 20 = 110º 75 – 20 = 110º 4 100 100
55 = 11000º = 200º
Luego, 10% del ángulo (200º) es 20º
Por lo que: C(20º) = 70º
Resolución:
Si 25 = 5º 30’ 1 = 5º 30’ 100 4
= 4 (5º 30’) = 20º 120’ < > 22º
También 40 = 52º 2 = 52º 100 5
= 5 (52º) / 2 = 130º
Por lo que: + = 152º
Resolución:
Por la gráfica tenemos que: 30º
60º
Luego por ángulo externo que es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes, tenemos:
x = 30º + 90º x = 120º < > 118º 120’
Por lo que: x = 118º 120’
Resolución:
Como AC es secante, forma ángulos conjugados internos (son suplementarios) con las bisectrices AE y CE.
Luego tenemos que:
2x + 2y = 180º
x + y = 90º
Ahora = x + y = 90º
Por lo que:
= 90º
Resolución:
1
1
xx
y y
Por la gráfica podemos tomar como dato la suma de los ángulos internos del triángulo:
(180º – ) + 63º + (180º – 133º) = 180º
180º – + 63º + 47º = 180º
– = –110º
Por lo tanto:
= 110º
Resolución:
Por dato tenemos: = 3 = 3 ; = 82º 4 4
Por suma de ángulos internos de un triángulo:
+ + = 180º
3 + + 82º = 180º 4 3 + 4 = 4 (180º – 82º)
7 = 392ºPor lo tanto:
= 56º
Resolución:
Por dato tenemos: = 2 = 5 5 2
Por suma de ángulos internos de un triángulo:
+ + 40º = 180º
+ 5 = 140º 2 2 + 5 = 2 (140º)
7 = 280ºPor lo tanto:
= 40º
Resolución:
Por la gráfica tenemos que el ángulo 58º y x son alternos internos (es decir son iguales):
58º = x
Así mismo + x = 180º
= 122º
También tenemos que y son correspondientes (es decir iguales), por lo que:
= 122º y = 122º
Resolución:
Se observa en la gráfica que y = 2(80º) por ser ángulos correspondientes.
y = 160º
Entonces: x + y = 180º
x + 160º = 180º
x = 20º
También x = por ser correspondientes por lo que:
= 20º
Resolución:
Observamos que:
x y
+ x + 90º = 180º
+ x = 90º
Despejando x tenemos
x = 90º –
Resolución:
Si DC y DE son bisectrices, entonces forman ángulos congruentes. Luego:
2 + 2 = 180º (∡ conjugados internos)
+ = 90º
Por lo tanto deducimos que:
x = 90º < > 88º 120’
x = 88º 120’
Resolución:
Observamos que
+ = 180º (∡ conjugados internos)
= 180º –
Por suma de ángulos internos de un triángulo:
35º + x + = 180º
35º + x + 180º – = 180º
x = – 35º
Resolución:
Observamos que
x + = 180º (∡ conjugados internos)
x = 180º –
Resolución:
Observamos que = 65º (∡ correspondientes)
x
Entonces: + + 65º = 180º
65º + + 65º = 180º
= 50º
Por suma de ángulos internos de un triángulo:
+ + = 180º
+ 50º + = 180º
+ = 130º
Por lo que: + – = 80º
Resolución:
Observamos que:
= 10º (∡ opuestos por el vértice)Entonces: + = 90º
= 80º
Luego por suma de ángulos internos de un triángulo:
+ x + ( + 55º) = 180º
80º + x + 65º = 180º
x = 180º – 145º
Por lo que: x = 35º
Resolución:
Por la gráfica tenemos que:
+ 150º = 180º (∡ adyacentes y
suplementarios) = 30º
Luego por suma de ángulos internos de un triángulo:
+ + 90º = 180º
30º + + 90º = 180º
= 180º – 120º
Por lo que: = 60º
Resolución:
Por la gráfica tenemos que:
= 55º 30’ (∡ alternos internos)
Luego:
2x + = 180º
2x + 55º 30’ = 180º
2x = 180º – 55º 30’
x = 124º 30º / 2
Por lo que: x = 62º 15’ < > 62º 14’ 60’’
Resolución:
Por la gráfica tenemos que:
= 45º (∡ correspondientes)
x
Y por dato: = 90º
Entonces: + + x = 180º
45º + 90º + x = 180º
x = 180º – 135º
Por lo que: x = 45º
Resolución:
Observamos en la gráfica que:
+ 60º = 180º (∡ conjugados externos) = 120º
Por dato sabemos que L5 es bisectriz, entonces:
x = / 2 (∡ opuestos por el vértice)x = 120º / 2
Por lo que: x = 60º
Resolución:
Según la gráfica tenemos que:
/2
+ 70º = 180º (∡ conjugados internos) = 110º
Pero nos piden como respuesta la mitad de :
/ 2 = 110º / 2 = 55º
Resolución:
Tenemos que:
x + 122º = 180º
x = 58º (∡ correspondientes)También se tiene que:
y = 45º (∡ correspondientes)Entonces:
+ 58º + 45º = 180º
= 180º – 103º
Por lo tanto: = 77º
Resolución:
Por la gráfica tenemos que:
x58ºy
+ = 180º (∡ conjugados internos)Por dato:
= 2 = 3 3 2
Entonces:
+ = 180º
3 + = 180º 3 + 2 = 360º 2
= 360º / 5 = 72º
Pero como = por ser correspondientes, tenemos:
= 72º
Resolución:
Según la gráfica tenemos que:
2y + 2z = 180º (∡ conjugados internos) y + z = 90º
También sabemos que:
x = y + z
Por lo que:
x = 90º
Resolución:
y y
zz
Por dato tenemos que:
+ = 70º
También:
= 2 = 2 3 3
Entonces:
+ = 70º 2 + = 70º 3
2 + 3 = 210º = 210º / 5 = 42º
El valor de es:
= 2 = 2(42º) = 84º = 28º 3 3 3
Por lo tanto:
= 28º y = 42º
Resolución:
Según la gráfica podemos obtener lo siguiente:
z = 180º – 111º z = 69º
También:
91º + y = 130º (∡ correspondientes)
Luego:
91º + y = x + z
130º = x + 69º x = 130º – 69º
Por lo que:
z
x = 61º
Resolución:
Por la gráfica podemos fácilmente determinar que:
x + 10º = 90º
x = 90º – 10º
Por lo que:
x = 80º
x 10º
10º