trabajo gauss seidel

MÉTODO DE GAUSS GAUSS-SEIDEL

APLICADO A FLUJO DE POTENCIA

Universidad Nacional de San Agustín Arequipa Faculta de Ingeniería de Producción y Servicios

Escuela Profesional de Ingeniería Eléctrica

Análisis de Sistemas de Potencia 2

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 3

I. Método de Gauss Seidel ...................................................................................................... 4

A. Caso General .................................................................................................................... 4

B. Sistemas con barras de carga y flotante solamente ................................................... 4

C. Sistemas con barra de carga, tensión controlada y flotante ..................................... 5

D. Estructura de Gauss-Seidel .......................................................................................... 11

II. Descripción del Método ...................................................................................................... 12

III. Gauss-Seidel utilizando el problema de Flujo de aaiiPotencia .................................... 17

IV. Método Gauss Seidel mediante inversión parcial aaade Y nodal ............................... 20

V. Bibliografía ............................................................................................................................ 23




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INTRODUCCIÓN

Uno de los procedimientos computacionales más comúnmente usados en análisis de sistemas de

potencia, es el cálculo de flujo de potencia o flujo de potencia como tradicionalmente es llamado.

La planificación, diseño y operación de sistemas de potencia requiere de tales cálculos para

analizar el rendimiento en régimen permanente del sistema de potencia bajo variedad de

condiciones operativas y a estudiar los efectos de cambios de configuración y equipos.

Las soluciones de flujo de potencia son realizadas usando programas de computadoras diseñados

específicamente para este propósito. La pregunta básica del flujo de potencia es: dado el flujo de

potencia consumido en todas las barras de una conocida configuración de sistema de potencia, y

la potencia producida en cada generador, encontrar el flujo de potencia en cada línea y

transformador de la red interconectada y el voltaje en magnitud y ángulo de fase en cada barra.

Analizando la solución de este problema para numerosas condiciones ayuda a asegurar que el

sistema de potencia está diseñado para satisfacer su criterio de rendimiento mientras se incurre

la más favorable inversión y costo de operación.

Los sistemas de potencia son complejos y poseen muchas partes o ramales sobre los cuales se

producen flujos de potencia.; tales sistemas forman partes en serie y paralelo.

El flujo de potencia eléctrica en esas redes se divide entre los ramales mientras un balance es

logrado de acuerdo con las leyes de Kirchoff.

Los programas de computación para resolver el flujo de potencia son dividido en dos tipos

estáticos (Off-Line) y dinámica (tiempo real). La mayoría de los estudios de flujo de potencia están

basados en modelos estáticos de redes.




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I. Método de Gauss Seidel

A. Caso General

Corresponde a una modificación del método de Gauss tendiente a acelerar la

convergencia del proceso iterativo. En el método de Gauss se calculan todos los valores

de las incógnitas correspondientes a una iteración y luego se emplean para determinar

los nuevos valores de las incógnitas en la iteración siguiente. En el método de Gauss-

Seidel en cambio, los valores calculados en una iteración determinada, se utilizan

inmediatamente para calcular los valores de las incógnitas que restan por calcular en la

misma iteración.

De este modo, si el proceso de cálculo se encuentra en la iteración (k+1) y ya se han

determinado

Por tanto, la fórmula iterativa del Método de Gauss-Seidel aplicada a un sistema de n

ecuaciones de la forma dada por (3.12) es:

El cálculo de las tensiones de barras aplicando el procedimiento explicado anteriormente

es distinto según sean los tipos de barras existentes en el SEP. Por ello se considerarán

en primer lugar los sistemas con barras de carga y flotante solamente, por ser el caso

más simple. A continuación se analizará la situación de las barras de tensión controlada.

B. Sistemas con barras de carga y flotante solamente

Aplicando las ecuaciones:

La secuencia de solución según este método es como sigue:




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a) Se suponen valores iniciales de tensión para todas las barras a excepción de la

flotante, cuya tensión está especificada, o sea ese dato del problema, al igual que Pp

y Qp en todas las barras de carga y los términos de la matriz admitancia de barras

(YB)

b) Se aplica la fórmula iterativa (3.19) hasta que se cumpla algún criterio de

convergencia, por ejemplo:

c) Determinadas las tensiones Vp & , se calculan los flujos de potencia pq Sqp

d) Conocidos los valores de pq y Sqp se determinan las pérdidas en el sistema

C. Sistemas con barra de carga, tensión controlada y flotante

Normalmente un SEP incluye además de las barras de carga y flotante, barras de tensión

controlada (BTC) que tienen por objeto permitir regular la tensión en uno o varios puntos

del sistema. En las barras de tensión controlada debe existir una fuente regulable de

potencia reactiva para poder cumplir su cometido.

Debido a que en este tipo de barra sólo se conocen el módulo de la tensión y la potencia

activa, es necesario calcular previamente la potencia reactiva, antes de emplear la

ecuación para determinar el voltaje complejo en ella.

A partir de la ecuación para la barra p de la expresión se puede escribir:

Es decir:

Cuando se emplea la ecuación en una BTC, el valor de Qp, que debe emplearse

corresponde al indicado el que se debe actualizar en cada iteración. Al determinar el

voltaje, debe tenerse en cuenta que su módulo en esta barra está especificado y por lo

tanto sólo puede cambiar su ángulo.




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Límites de Potencia reactiva en una Barra de tensión Controlada

En el cálculo del flujo de potencias en un SEP con Barras de tensión controlada es

necesario tomar en cuenta los límites de potencia reactiva de las fuentes de potencia.

Sea p una BTC, entonces el valor de Qp se puede escribir como:

Los límites de potencia reactiva para la barra p serán:

Si el valor de la potencia reactiva calculado en una iteración cualquiera k, Qp

k, excede el límite máximo o mínimo prefijado, significa que es imposible obtener una

solución con la tensión especificada en esta barra y en consecuencia, ella debe ser

considerada como una barra de carga en esa iteración, en la cual la potencia reactiva es

igual al límite superior e inferior según corresponda. En las iteraciones siguientes, el

método intentará mantener el voltaje especificado originalmente en esa barra, siempre

que no se violen los límites de Qp. Esto es posible, porque pueden ocurrir cambios en

otros puntos del sistema, que lo permitan.

Para explicar mejor el procedimiento, considérese el sistema de 3 barras de la Figura 3.6.




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Sean:

Barra 1: Flotante

Barra 2: de carga

Barra 3: de tensión controlada

La secuencia de cálculo aplicando el Método de Gauss-Seidel YB es:

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Para el sistema de tres barras de la Figura 3.7, los datos en pu, base común, se dan en

las Tablas

Nº 1 y Nº 2. Realizar una iteración con el método de Gauss-Seidel YB, para determinar el

voltaje en todas las barras. Con los valores obtenidos, determinar los flujos de potencia

en todas las líneas, las pérdidas del sistema, la potencia entregada por el generador de la

barra slack y la verificación de la potencia entregada a la carga SC1.




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Solución:

Determinación de la matriz de admitancia de barras YB

Valores iniciales y otros datos

Proceso iterativo:




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Cálculo de los flujos de potencia en las líneas

Pérdidas




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Potencia entregada por el generador de la barra slack

Verificación de la potencia recibida por la carga SC1

Los métodos de Gauss y de Gauss-Seidel son procedimientos iterativos para resolver

simultáneamente ecuaciones no lineales.

Tanto Gauss como Gauss-Seidel implican la formulación:

En Gauss se calculan los nuevos valores de x(n+1) a partir de los x(n) obtenida en la

iteración anterior. En Gauss-Seidel, los valores obtenidos son utilizados inmediatamente

después de haber sido calculados aunque no haya terminado la iteración en curso (mayor

rapidez, suele llamarse Gauss-Seidel con actualización de variables). De valores iniciales

a las tensiones en las barras (las que no conozca fíjelas en 1 p.u., todas con ángulo

inicial 0).

Calcule los valores de tensión de la siguiente iteración como:

En el caso de las barras PV usted no conocerá el valor de la Potencia Aparente

Inyectada, por lo que debe calcularlo como:




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D. Estructura de Gauss-Seidel

El método de Gauss-Seidel pertenece a la familia de los métodos iterativos utilizados

para obtener la o las raíces de una función cualquiera, especialmente en forma de

matrices de n ecuaciones [A]{X}={B}

Si los elementos de la diagonal de

la matriz que se está

solucionando no son todos cero

la 1era se resuelve para x1, la

2da para x2 y la tercera

para x3, y la enésima para xn

para obtener:

X1= ( b1 – a12x2 – a13x3 ) / a11

X2 = ( b2 – a21x1 – a23x3 ) / a22

X3 = ( b3 – a31x1 – a32x2 ) / a33

…….

Xn = ( bn – an1x1 - …- ann-1xn-1 ) / ann




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II. Descripción del Método

Partiendo de la definición de balance nodal de potencia compleja:

Donde, la potencia compleja neta inyectada puede escribirse en términos de voltaje y

corriente:

Rescribiendo la ecuación de balance de potencia nodal como:

Despejando a la corriente compleja:

Por otra parte, la corriente neta inyectada en cualquier nodo i del sistema eléctrico es:

De esta última ecuación,

Despejando al voltaje complejo del nodo i:




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Esta ecuación, está expresada de una manera tal que es posible aplicar ya sea el Método

de Gauss o el Método de Gauss-Seidel. Como puede observarse, involucra términos de

voltajes complejos nodales (variables dependientes), inyecciones de potencia nodales

(variables de control o especificadas) y elementos de la matriz de admitancias nodal

(parámetros constantes y especificados de la red eléctrica). Sin embargo, es conveniente

modificar esta expresión, a fin de hacerla computacionalmente más eficiente.

Expresando las partes constantes en coordenadas rectangulares:

De modo que:

(10.57)




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Definiendo:

Se obtiene:

Del mismo modo:

Para obtener:

Substituyendo estas expresiones

Expresando los voltajes complejos nodales en coordenadas rectangulares:




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y substituyendo

Desarrollando la primera parte

Ahora, desarrollando la segunda parte

Substituyendo la ultima parte

Separando partes reales e imaginarias:




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Finalmente, en la iteración k, el Método de Gauss-Seidel se aplica en la forma siguiente:

i = 1, …, n

Donde:

j = k +1 cuando m i

j = k cuando i m

De acuerdo al planteamiento del método de Gauss-Seidel, el proceso iterativo debe

continuar hasta que no haya cambios significativos en los voltajes, es decir,

i = 1, …, n

Esto, normalmente representa la aplicación de tolerancias de convergencia demasiado

estrechas (del orden de 10-6), que, para problemas de tamaño relativamente grandes,

puede causar problemas de convergencia si el programa de computadora desarrollado

maneja variables reales de precisión sencilla. Por otro lado, esta medida no garantiza que

el balance de potencia nodal se cumpla con aproximaciones aceptables.




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Adicionalmente, aun cuando el método es económico en trabajo computacional por

iteración, presenta el inconveniente de que su convergencia es dependiente del número

de ecuaciones, de modo que su proceso iterativo tiende a ser demasiado lento para

problemas involucrando varios centenares de ecuaciones.

Por las razones anteriores, la aplicación de otros métodos de solución ha sido

investigada, a fin de obtener algoritmos más eficientes.

En las siguientes secciones se aplica el Método de Newton(-Raphson), para resolver el

problema de flujos de potencia tanto en coordenadas polares como rectangulares.

III. Gauss-Seidel utilizando el problema de Flujo de aaiiPotencia

Tuvieron gran acogida en los años 60 por su facilidad en la implementación (mínimos

requerimientos de memoria y facilidad en su programación).

Ecuaciones planteadas:

De la ecuación anterior, se despeja el

voltaje del nodo k:




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Además en los nodos tipo voltaje controlado se calcula:

En estos nodos se deberá satisfacer que:

El criterio de parada:

Por facilidad se acostumbra suponer el vector de voltajes iniciales en los nodos del

sistema de la siguiente manera:

En la barra de referencia se conoce la magnitud y el ángulo del voltaje, por lo tanto se

tienen n-1 incógnitas, así que en el cálculo de los voltajes nodales no se tendrá en cuenta

la ecuación de este nodo.




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Algoritmo de Gauss-Seidel

Los métodos de Gauss y de Gauss‐Seidel son procedimientos iterativos para resolver

simultáneamente ecuaciones no lineales. Ilustramos el método Gauss con el ejemplo

siguiente.

Tanto Gauss como Gauss‐Seidel implican la formulación: x = F(x) y la formula iterativa

x(n+1 = F(x(n)




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En Gauss se calculan los nuevos valores de x(n+1 a partir de los x(n obtenida en la

iteración anterior En Gauss‐Seidel, los valores obtenidos son utilizados inmediatamente

después de haber sido calculados aunque no haya terminado la iteración en curso (mayor

rapidez).

IV. Método Gauss Seidel mediante inversión parcial aaade Y nodal

Otra forma de plantear el proceso iterativo, para la solución de voltajes nodales, se tiene

por medio del método de Gauss. Con la matriz Ynodai, y considerando conocido el

voltaje del nodo 1, los voltajes en todos los nodos son desconocidos. Se considera que la

potencia en los nodos de carga es conocida y constante. Se requiere un valor de

arranque para todos los voltajes y normalmente se selecciona el valor del voltaje del nodo

fuente. Las corrientes nodales Inodab se obtienen mediante la multiplicación de la matriz

de admitancias por los voltajes nodales. Con el sistema de la Figura 2.3 se ilustra el

procedimiento.

La representación matricial para el sistema de la Figura 2.3

En cada nodo del sistema se tiene una potencia neta, la cual se calcula. Con el voltaje

inicial supuesto para cada nodo y se obtiene la comente en los nodos de carga.

Para el sistema de cuatro nodos de la Figura. 2.3 se considera al nodo 1 como nodo

compensador o fuente y en el caso de redes radiales, como es el caso para flujos en

distribución convencionales, se considera que el nodo fuente es la única aportación de




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potencia al sistema. Aplicando la relación entre potencia y corriente nodal, se puede

escribir una forma iterativa.

En el nodo 1, la incógnita es la corriente inyectada por la fuente, pero el voltaje de la

fuente Vi es conocido. Las condiciones nodales descritas determinan los pivotes para

solucionar la ecuación matricial, y la "inversión parcial" [6] se hará sobre aquellos nodos

en los que se conoce el valor del lado derecho. En este caso ilustrativo se toma como

pivotes a todos los nodos, excepto el nodo 1, procedimiento que resulta en la inversa

parcial de Ynodai. Por lo tanto, partiendo de (2.19) y considerando las modificaciones a

los elementos de la matriz de admitancias original, se tiene.

Esta última expresión matricial permite calcular, por medio de una multiplicación, el valor

de las incógnitas. Los valores corregidos para los voltajes nodales reemplazan o

actualizan los voltajes de la iteración anterior. Con los voltajes nodales de la iteración k y

los obtenidos en la iteración k+1, se calcula el valor absoluto de la diferencia de voltajes V

,r - V^ y se compara respecto a una tolerancia preestablecida. El procedimiento de

solución hasta este momento está planteado usando matrices de dimensión n x n, donde

n es el número de nodos del sistema. Por lo tanto, para un sistema eléctrico de




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distribución con una gran cantidad de nodos este procedimiento resultará

computacionalmente ineficiente.

Con computadoras digitales en la actualidad no es problema mayor el resolver, usando

matrices, sistemas con menos de 30 nodos, pero se requiere memoria y un tiempo de

cálculo considerable al resolver iterativamente las ecuaciones para sistemas de más de

30 nodos. Es importante, por tanto, plantear el método de solución usando técnicas de

dispersidad y usar los factores de la matriz inversa parcial para representar la matriz de

coeficientes de (2.20.b).

En la Figura 2.4 se presenta el diagrama de flujo para el procedimiento de solución

usando la inversa parcial de Ja matriz Yn 0 dai- El valor absoluto de la diferencia de

voltaje, entre iteraciones sucesivas, se usa como criterio para probar convergencia. Para

probar la convergencia también se puede usar el criterio que emplea el desajuste de

potencia, ver Figura 2.5 para este caso.

Ambos criterios de convergencia fueron aplicados en este trabajo de tesis, con lo cual se

puede hacer una comparación entre ambos criterios.




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V. Bibliografía

www.inele.ufro.cl/.../6-Gauss-Seidel.pdf

www.aiu.edu/applications/.../1-962012-124345-1054188656.doc

www.u-cursos.cl/ingenieria/2010/2/EL57A/1/material.../328050

www.frsf.utn.edu.Gausss-Seidel/visitante/bajar

www.frsf.utn.edu.ar/matero/visitante/bajar_apunte.php?id

www.tesis.ipn.mx/dspace/bitstream/123456789/4243/1/Gauss-Seidel.pdf

https://eva.fing.edu.uy/.../6_Gauss-Seidel.n

www.ieec.uned.es/Web.../Libro%20de%20centrales%202011

www.etsii.upct.es/antonio/html_demanda/Sistemas%20Electricos.

www.buenastareas.com/...flujos-de-potencia...método-de-gauss-seidel

www.centroenergia.cl/literatura/.../Memoria%20Ricardo_Fuentes

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