trabajo kriging

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERIA DIVISION DE INGENIERIA EN CIENCIA DE LA TIERRA INTRODUCCION AL TRATAMIENTO DE SEÑALES METODO DE INTERPOLACIÓN DE KRIGING EQUIPO

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método de kriging

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Page 1: Trabajo Kriging

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERIA

DIVISION DE INGENIERIA EN CIENCIA DE LA TIERRA

INTRODUCCION AL TRATAMIENTO DE SEÑALES

METODO DE INTERPOLACIÓN DE KRIGING

EQUIPO

Page 2: Trabajo Kriging

Aplicar el método de interpolación de Kriging es introducirse en la disciplina Geoestadística cuyos antecedentes se dan en la década de los 50, cuando un puñado de ingenieros de minas sudafricanos se enfrentó a la necesidad de estimar de la forma más óptima, la pureza del oro que se encontraba en diversas vetas.

En dicho grupo, estaba el Ingeniero D. G. Krige, un pionero en la estadística matemática y, es quien desarrolla un conjunto de técnicas estadísticas para el análisis numérico de las muestras, con lo cual obtendría nuevos puntos, por medio de la correlación espacial, esto ayudaría a hacer predicciones en la evaluación de reservas de las minas de oro en Sudáfrica.

Por otra parte, George Matheron desarrolló un conjunto teórico y, además toma la parte de Krige, de tal manera que formaliza el trabajo denominado: La teoría de las variables regionalizadas, a él se debe el término Geoestadística. Y la define como “la aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación de fenómenos naturales” (Matheron, 1962)

Geoestadística es una disciplina perteneciente, podría decirse, a la estadística y a la geología, debido a sus antecedentes; Una herramienta matemática muy útil con numerosas aplicaciones en Geografía, Geofísica, Hidrogeología y Geología, por mencionar las más importantes, es necesario decir el impacto que ha tenido éste método Geoestadístico, pues, ha sido la piedra angular para el desarrollo de los sistemas de información geográfica (SIG).

En contraposición con la estadística convencional, el conjunto de muestras, cuando se somete a un análisis y modelación de la variabilidad de la propiedad en juego, no se consideran independientes, por el contrario, están correlacionados unos con otros. Intuitivamente esto indica que mientras más cercanos se localizan las muestras existe una dependencia espacial y mientras más separadas hay menos relación entre estos.

Finalmente, trabajar con la técnica de interpolación de Kriging es necesario, a priori, estudiar el modelo de variograma con ello, se logra obtener el comportamiento de la variable distribuida en el espacio, luego se integra con dicha técnica de interpolación tan socorrida en ciencias de la tierra.

Page 3: Trabajo Kriging

Para realizar un estudio Geoestadístico, se tienen las siguientes tres etapas:

ETAPA 1 ETAPA 2 ETAPA 3

En la E1. En esta fase se estudian los datos muestrales sin tener en cuenta su distribución geográfica. Se aplica Estadística, se eliminan datos erróneos y se define el tipo de distribución.

En la E2. Se analiza la continuidad espacial de la variable. Se calcula el variograma, o cualquier otra función que nos explique la variabilidad espacial.

En la E3. En esta etapa se hacen las estimaciones de la variable estudiada en los puntos no muestrales. La herramienta base para la estimación del variograma es el denominado variograma experimental, constituido a partir de los datos muestrales, debe ajustarse a un modelo que se integre en el Krigeado.

Deber enfocarse en la etapa dos para realizar el proceso Geoestadístico de un conjunto de datos muestrales. Ya que, al proceso de estimación del variograma se le denomina: Análisis estructural. Mediante el variograma se resume la información que se puede obtener de una variable en un punto, a partir del conocimiento de una serie de valores en las proximidades de dicho punto. Ello permite que el método de Krigeado, como se verá mas adelante, tenga en cuenta la variabilidad espacial de la propiedad o fenómeno objeto de estudio.

SEMIVARIOGRAMA

Entonces se nombra una variable regionalizada z(x), distribuida en el espacio y presenta una estructura espacial de correlación y por tanto, es una función aleatoria.

Sea una función aleatoria definida en un espacio de entonces el vector

aleatorio se caracteriza por su función de distribución de probabilidad n-variada

Análisis exploratorio de los datos

Análisis estructural

Predicciones

Page 4: Trabajo Kriging

Lo siguiente es obtener los momentos de la distribución z(x), el primero momento es la esperanza matematica, definida:

Es el segundo momento, se considera

Luego se tiene, la covarianza de dos variables aleatorias

El semivariograma se define como:

Considerando una función aleatoria estacionaria e invariante respecto a un vector h, entonces la función de distribución del vector aleatorio

Es idéntica a la del vector para cualquier h

La estacionaridad de la varianza implica que la varianza existe, es finita y no depende de x, es decir

Bajo la anterior hipótesis el semivariograma es estacionario

Page 5: Trabajo Kriging

Se llega a una relación directa

Para validar el modelo obtenido del variograma se puede proceder de varias maneras. Un método que resulta atractivo por su sencillez y eficiencia es el leave one out, que consiste en sacar un elemento de la muestra y estimar el valor en ese punto usando Kriging con el modelo del variograma obtenido.

Método de kriging

Los métodos geoestadísticos de interpolación conocidos como kriging, intentan

dar la mejor estimación lineal insesgada de los valores de los puntos, esto es,

elegir el promedio ponderado de los valores de las muestras la cual tenga la

mínima varianza, la limitación a la clase de estimadores lineales es bastante

natural ya que esto significa que solamente se requiere el conocimiento del

momento de segundo orden de la función aleatoria (la covarianza o el

variograma) y que en general en la práctica es posible inferir a partir de una

realización de la misma.

Conociendo el variograma y las observaciones originales, se puede conseguir

un conjunto de realizaciones para mostrar el intervalo de valores posibles.

Los algoritmos de regresión lineal por mínimos cuadrados usados por kriging,

son apropiados para los datos que solo tengan en cuenta el atributo continuo

que se desea estimar.

El método de kriging consiste en una familia de algoritmos de regresión

mediante mínimos cuadrados.

De acuerdo a la tendencia de los datos del modelo m(x) se pueden distinguir

tres tipos de modelos de kriging:

a) kriging simple: con media m(x) conocida y contante en toda el área.

Page 6: Trabajo Kriging

b) Kriging ordinario: considera fluctuaciones locales de la media

m(x)=constante pero desconocida

c) Kriging universal: media desconocida, se amolda a la tendencia de los

datos y se modela con una combinación lineal de funciones.

La precisión de los métodos depende de varios factores.

1. El número de muestras y la calidad de los datos en cada punto.

2. La posición de las muestras en el depósito.

3. La distancia entre las muestras y el punto a ser estimado. La

continuidad espacial bajo consideración.

Método de Kriging simple

Si se considera a la media m(x) estacionaria, el estimador se puede considerar

una combinación lineal de n+1 datos. Por lo que la ecuación del estimador nos

queda:

Donde:

wi son los pesos asignados a los datos Z(xi)

Z*(x) es el estimador.

Z(xi) es la valor en el punto de observación xi

m(x) es el valor esperado o media del estimador

m(xi) es el valor esperado o media de los datos observados

n es el numero de observaciones

Debido a que los datos desconocidos Z(x) así como los datos observados Z(xi)

son variables aleatorias, se puede definir el error de la estimación Z*(x)-Z(x)

como una variable aleatoria. El objetivo de kriging es minimizar la varianza del

error con la restricción de ser un estimador insesgado con la siguiente formula

Donde:

Z*(x) es el estimador

Page 7: Trabajo Kriging

Z(x) es la variable aleatoria que define el atributo medido

σ2 es la varianza del error.

Se debe obtener la estimación de los pesos garantizando la mínima varianza,

esto está dado por la ecuación:

Donde Z*(x) es el estimador y Z(x) la variable aleatoria. Sin embargo, la

ecuación anterior se puede reescribir desarrollando el binomio como:

[1]

Desarrollando cada uno de los elementos de la ecuación anterior tenemos:

La esperanza de Z*(x) está definida por

E [Z*(x)]=E [ ]

Por lo que la esperanza de (Z*(x))2 queda:

[2]

Pero sabemos que

Donde C( es la covarianza entres dos punto.

Reescribiendo la ecuación [2] queda:

Page 8: Trabajo Kriging

Ahora para el tercer miembro de la ecuación [1] la podemos reescribir como

[3]

Pero la esperanza de

Donde C( es la covarianza entres un punto observado y uno estimado.

Reescribiendo la ecuación [3] nos queda:

Para el segundo miembro de la ecuación [1] :

Rescribiendo la ecuación [1] en función de las covarianzas nos queda:

[4]

Donde

ωi y ωj son los pesos

C(xi-xj ) es la covarianza entre dos puntos observados

C(xi-xi ) la covarianza del mismo punto

C(xi-x ) a covarianza de un punto observado con un punto estimado.

La minimización de la varianza consiste en igualar a cero la primer derivada

con respecto a por lo que al derivar la ecuación [4] con respecto a nos

queda:

Page 9: Trabajo Kriging

Igualando a 0 y separando nos queda

La varianza mínima del error o varianza de kriging simple está definida por la

siguiente ecuación:

Donde

σ2 es la covarianza entre un punto observado y un punto estimado

C(xi-x) es la covarianza entre un punto observado y el punto a estimar

ωi es el peso de cada dato.

El peso asignado a la media serán dados por:

Donde

ω es el peso asignado a la media

ωi es el peso de cada uno de los puntos observados.

El sistema de kriging simple se expresa matricialmente donde se tiene la matriz

C(ui-uj) que es la matriz de , una matriz de pesos i y la matriz del modelo

C(ui-u).

Page 10: Trabajo Kriging

Método de kriging ordinario

Cuando la media no es una constante en toda el área de estudio, el estimador

se convierte en una combinación lineal de las n variables aleatorias más la

media local contante.

En el sistema de kriging ordinario, Hay que buscar los valores de peso ω que

minimizan la varianza y que satisfagan que su suma sea igual a 1, para

garantizar la condición de insesgamiento.

El estimador se calcula con la siguiente formula:

Donde:

wi son los pesos asignados a los datos Z(xi)

Z*(x) es el estimador.

Z(xi) es la valor en el punto de observación xi

m(x) es el valor esperado o media del estimador

n es el numero de observaciones

los ωi representan los pesos o ponderaciones de los valores originales y se

calculan en función de la distancia entre los puntos muestreados y el punto

donde se va a hacer la correspondiente predicción. La suma de los pesos debe

Page 11: Trabajo Kriging

ser igual a uno para que la esperanza del estimador sea igual a la esperanza

de la variable aleatoria. Esto último se conoce como el requisito de insesgadez.

La estimación de los pesos se obtiene minimizando

Recordando la ecuación [4] dentro del método de kriging simple:

Luego se debe minimizar la función anterior sujeta a la restricción .

Este problema de minimización con restricciones se resuelve mediante el

método de los Multiplicadores de Lagrange. Esto se hace sustituyendo el

segundo elemento de la ecuación anterior por lo siguiente:

Reesribiendo la ecuación con el multiplicador de lagrange nos queda:

Donde:

ωi y ωj son los pesos

C(xi-xj ) es la covarianza entre dos puntos observados

2μ el multiplicador de lagrange

C(xi-x ) a covarianza de un punto observado con un punto estimado.

Una vez más debe derivar e igualar a cero para los valores extremos de la

función

Al despejar obtenemos el valor de la covarianza entre un punto

observado y un punto estimado por lo que nos queda:

Page 12: Trabajo Kriging

[5]

Donde

μ es el multiplicador de lagrange

C(xi-x) es la covarianza entre un punto observado y el punto a estimar

C(xi-xj) es la covarianza entre 2 puntos observados

ωj es el peso de cada dato.

Matricialmente nos queda una matriz de pesos wi multiplicada por una matriz

de varianza C(ui-uj) sumando al parámetro de lagrange y dando como

resultado la matriz de las estimaciones C(xi-x).

En este sistema podemos aplicar el variograma para considerar las tendencia

que tienen los datos sustituyendo C(ui-uj) por (ui-uj) y C(xi-xj).por (xi-x) donde

(ui-uj) es la semivarianza para las distancia entre xi y xj y (xi-x) es la

semivarianza ente el punto xi y el punto estimado x.

La ecuación final matricial nos queda:

Page 13: Trabajo Kriging

Al expresar la función [5] como en función a la semivarianza, que proviene del

variograma de los datos, la ecuación se reescribe de la siguiente forma:

Donde

μ es el multiplicador de lagrange

γ(xi-x) es la semivarizan entre un punto observado y el punto a estimar

γ(xi-xj) es la semivarianza entre 2 puntos observados

ωj es el peso de cada dato.

La varianza mínima del error para kriging ordinario queda:

Y en función del variograma queda:

Método de kriging universal o con modelo de tendencia

En este sistema se modeliza la variación local de la media como una función de

las coordenadas:

Donde la variable a es desconocida y f j es una función conocida de la cual

mencionaremos más adelante y L son los términos usados para ajustar la

media.

La obtención de los pesos es igual que en el método de kriging ordinario, se

determina minimizando la varianza del error de predicción con la restricción de

Page 14: Trabajo Kriging

insesgamiento y se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange,

obtenemos los pesos óptimos.

El estimador queda como una combinación lineal de n variables aleatorias:

Dependiendo del tipo de problema que se investiga se sugiere el uso de alguna

de las funciones terminadas para fj(x) algunos ejemplos son:

a) Tendencia lineal: (k=2); m(x)= m(x,y)=a0+a1x+a2y

b) Tendencia cuadrática:( k=5); a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5x

Matricialmente lo representamos como

A

B C

Donde en la

matriz A

El recuadro superior contiene la matriz de covarianza entre los puntos

muéstrales C(xi-xk), el recuadro inferior contiene las funciones de tendencia.

La matriz B contiene arriba el vector de pesos y abajo el vector de

multiplicadores de lagange y la matriz C formada por la covarianza entre el

estimado y los observados arriba y los valores de la función de tendencia para

los datos estimados.

Page 15: Trabajo Kriging

BIBLIOGRAFIA

- GEOESTADÍSTICA APLICADA MARTÍN A. DÍAZ VIERA Instituto de

Geofísica, UNAM Instituto de Geofísica y Astronomía, CITMA, Cuba

2002

- LA REPRESENTACION GRAFICA DE LAS VARIABLES

REGIONALIZADAS. GEOESTADISTICA LINEAL, Francisco Jesús Moral

García. Universidad de Extremadura, 2003

- KRIGING C&PE 940, 19 October 2005 Geoff Bohling Assistant Scientist

Kansas Geological Survey [email protected] 864-2093

- Kriging: Un Método de Interpolación sobre Datos Dispersos, resenta

Jorge Zavaleta Sánchez, Universidad Nacional Autónoma de México

Laboratorio de Cómputo Científico, F. C., 2010

Page 16: Trabajo Kriging

- Solution to Ordinary and Universal Kriging Equations Meredith Franklin

February 6, 2014