Potência de i

Potência de i

• No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade

Cardano

Bombelli

• Unidade imaginária:• define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como

sendo a raiz quadradade -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária

e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.

i 0  = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um. i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo.

i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja: i 3 = i2 . i = -1 . i = - i

i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1 i 5 = i4 . i = 1 . i = i

i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1. i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante.

Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4,

então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i.

Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.

• Potências de i :i0 = 1i1 = ii2 = -1i3 = i2 . i = -ii4 = (i2)2 = (-1)2 = 1i5 = i4 . i = 1.i = ii6 = i5 . i = i . i = i2 = -1 i7 = i6 . i = -i , etc.

• Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta elevá-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

• i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4). • Exemplo: Calcule i2001

Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .

Equipe

• Alunos 3.01

• Silvana Patrícia

• Juliana Martins

• Ticiane Carvalho

• Paulo Figueiredo

• Luis Henrique

• Emerson Paraíso