Clculo por elementos finitos

Clculo por elementos finitos

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1ra Prctica Calificada2Enunciado del problema2Solucin:31.Diagrama de flujo32.Modelado del cuerpo real43.Grados de libertad nodales (Vector Desplazamiento)54.Vector de carga65.Matriz de rigidez76.Ecuaciones de rigidez y condiciones de contorno87.Calculo de esfuerzos98.Resultados99.Cdigo-Matlab910.Conclusiones10

1ra Prctica CalificadaENUNCIADO DEL PROBLEMA

Considere la placa delgada (acero) de la figura .La placa tiene un espesor uniforme t = 150mm, mdulo de Young E =3.0x105 N/mm2 y peso especfico = 8.0gr-f/cm3. Adems de su propio peso, la placa est sometida a una carga concentrada PA= 50000 N en el punto indicado.

Modele la placa con tres elementos finitos. Escriba expresiones para las matrices de rigidez del elemento y vectores fuerza de cuerpo del elemento. Ensamble la matriz de rigidez estructural K y el vector de carga global. Evale los esfuerzos en cada elemento. Determine la fuerza de reaccin en el soporte.

Datos:PA= 50KN

t (espesor)= 150 mm

E= 3.0x105 N/mm2

Y= 8.0 gr-f/cm3 = 78,45x10-6 N/mm3

SOLUCION:1. DIAGRAMA DE FLUJO

2. MODELADO DEL CUERPO REAL

Para el modelo se consideran tres elementos finitos. Para facilitar los clculos, la longitud del primer elemento finito est definido por L1 y la de los restantes por L2 y L3. Y haciendo L2=L3.Entonces, el modelado del cuerpo sera el siguiente:

Definiendo a Bi como las bases de las particiones y bi el ancho promedio de cada elemento finito.Por semejanza se tiene:

Las bases de cada triangulo sern:

1000

500

250

Para la base de cada elemento finito (bi), se realiza el promedio tal como se muestra en la siguiente expresin:

Las bases de cada elemento finito sern:

750

375

125

El rea de cada elemento finito se calcula en base a la siguiente expresin:

Dado el cuadro de conectividad:eNODOSGDL()()

(1)(2)12

11212750112500

2232337556250

3343437518750

3. GRADOS DE LIBERTAD NODALES (Vector Desplazamiento)

En el grafico se muestran los grados de libertad nodales globales:

Luego el vector de desplazamiento ser:

Donde = 0 pues la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas que tendrn que ser calculadas.4. VECTOR CARGA

Debido a que la densidad es: = 8.0gr-f/cm3= 8.0x10^-3gr-f/mm3Debido a la homogeneidad especificada en el problema se procede a hallar las fuerzas de cada elemento:

Fuerzas en cada elemento finito:

Notar que el signo de R1 (reaccin en el empotramiento) es positivo pues an se desconoce su valor y direccin. Esto depender del valor y signo calculados en los pasos siguientes.Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces el vector carga se expresara de la siguiente manera:

5. MATRIZ DE RIGIDEZPara el clculo de la matriz de rigidez global se hace uso de la siguiente ecuacin:

Reemplazando los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad tenemos:

6. ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNOLa ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:

Para poder resolver este sistema de ecuaciones tomamos la siguiente submatriz:

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:

Para obtener la reaccin en el empotramiento tomamos la siguiente submatriz:

Reemplazando los valores de Q obtenemos:

7. ESFUERZOSPara calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Y obtenemos lo siguiente:

8. RESULTADOSFinalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

9. Cdigo-Matlab

clear all;close all;clcH=1500;% altura de la placa triangular en mmB=1000; %base de la placa en mmpa=50000; %carga aplicada en el punto At=150; %Espesorj= 8; %peso espesifico del material en grf/cm3E=3*10^5; %modulo de elasticidad en N/mm2h=[H/2 H/4 H/4];j=j*9.81*10^(-6); %N/mm3s=0; %j en N/mmw=zeros(4);K44=zeros(4);%matriz para llenar la rigidezfor i=1:3 a(i)=(H-(s+h(i)/2))*B/H*t; s=s+h(i); w(i,i)=1; w(i,i+1)=-1; w(i+1,i)=-1; w(i+1,i+1)=1; K44=K44+a(i)*E/h(i)*w; w=zeros(4);end p=[];p(2)= pa + a(1)/2*h(1)*j+a(2)/2*h(2)*j;p(3)= a(2)/2*h(2)*j+a(3)/2*h(3)*j;p(4)= a(3)/2*h(3)*j;%extrayendo matrizk44=K44(2:4,2:4);p=p(2:4);Q=k44\p';%vector de deformacion totalQ=[0;Q];%hallando Rk=K44(1,1:4)*Q;R=k-a(1)/2*h(1)*j;es=[];for i=1:3 es(i,1)=E/h(i)*[-1 1]*Q(i:i+1,1);endclc;%MOSTRANDO LOS RESULTADOSdisp('..............................');disp(' RESULTADOS');disp('============');disp('EL VECTOR DESPLAZAMIENTO');disp(Q);disp('LA REACCION EN EL APOYO(N)');disp(R);disp('..............................');disp('EL VECTOR DE ESFUERZOS(MPa)');disp(' e1 e2 e3');disp(es');10. CONCLUSIONES

Se puede apreciar que las deformaciones son realmente pequeas (dcimas de micras), adems todas son hacia abajo y positivas en la misma direccin del eje referencial x tomado inicialmente

Los esfuerzos son positivos, lo que indica esfuerzos de traccin para nuestro sistema de referencia.

La reaccin en el empotramiento es negativo lo cual indica que apunta hacia arriba. Esta fuerza compensar a todas las fuerzas en sentido contrario para mantener el equilibrio.