traduccion ingles

7/21/2019 Traduccion Ingles

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Suficientes condiciones SNB son:

Condiciones (5.39c, d) se llaman condiciones de transversalidad. La primera de ellas (5.39c)

garantia !ue e"iste una funci#n local en el punto de $ifurcaci#n (fi%) " & %). 'n

trminos geomtricos, esto significa !ue el colector de e!uili$rio (5.39a) se crua la lnea " * " &

% transferencia de salida. La +ltima condici#n (5.39d) implica !ue el colector de e!uili$rio se

mantiene localmente en l un lado de la lnea

enga en cuenta !ue (5.39ad) son tam$in las condiciones suficientes para un valor e"tremo (-a

sea m"imos o mnimos) de / " su0eto a la restricci#n (5.39a).

1igura 5.22a, $, c ilustra tres casos de primer orden, los sistemas de parmetros individuales,

para los !ue se satisface la condici#n

e estos sistemas s#lo el primero, se muestra en la 1ig. 5.2 L4, tiene una $ifurcaci#n sillanodoen el origen. 'l segundo sistema, !ue se muestra en la 1ig. 5.2 li$ra, viola la segunda condici#n

derivada (5.39d), mientras !ue el tercer sistema, !ue se muestra en la 1ig. 5.22c, viola la primera

condici#n de transversalidad (5.39c). enga en cuenta !ue la violaci#n de cual!uiera de las

condiciones (5.39c, d) re!uiere una ecuaci#n adicional (un total de n f 6 ecuaciones con n

inc#gnitas f 2). 7or lo tanto, en las familias de los parmetros individuales, los e!uili$rios !ue

satisface la condici#n necesaria (5.39$) ser en general satisfacen tam$in (5.39c, d) - por lo

tanto estar puntos SNB.

'"aminemos a8ora ms de cerca el sistema (5.%a), el !ue tiene una comisi#n negociadora para

fi * %. Como se ve en la figura. 5.22a, este sistema tiene dos puntos de e!uili$rio de ; <%, un+nico e!uili$rio para i * % - no 8a- puntos de e!uili$rio para fi= %. 'l e!uili$rio a fi * % es un

nodo silla similar a la !ue 8emos analiado en la 1ig. 5.2, pero con una direcci#n diferente de

tiempo, es decir, las tra-ectorias para las condiciones iniciales negativos convergern 8asta el

punto " * % & e!uili$rio, mientras !ue las tra-ectorias con positiva condiciones iniciales "% va a

e"plotar en un tiempo finito



Figura 5.11 a) Condiciones suficientes para SNB> $) la violaci#n de (5.39d)> c) la violaci#n de

(5.39c)

Considere a8ora los puntos de e!uili$rio para 40uste con a= % los puntos de

e!uili$rio son:

'l ;aco$iano de (5.%a) es:

7or lo tanto es un e!uili$rio inesta$le - es esta$le. 'sto ilustra !ue para un sistema de

primer orden:

en una $ifurcaci#n sillanodo dos puntos de e!uili$rio, uno esta$le - uno inesta$le,

fundirse - desaparecer.

esde otro punto de vista, si el parmetro ;L es ma-or !ue el valor de $ifurcaci#n 1? -

disminu-e lentamente, en el punto SNB dos e!uili$rios, uno esta$le - uno inesta$le, emerge de

forma simultnea.

'sta propiedad se generalia para sistemas multivaria$les de la siguiente manera:



en una $ifurcaci#n sillanodo dos puntos de e!uili$rio se funden - desaparecen (o emergen

simultneamente). @no de los puntos de e!uili$rio tiene un positivo real - el otro un verdadero

valor propio negativo, tanto convertirse en cero en la $ifurcaci#n.

Si todos los dems valores propios del sistema multivaria$le (e"cepto el convertirse en cero en la

$ifurcaci#n) tienen partes reales negativas, uno de los e!uili$rios de coalescencia en el SNB esesta$le - el otro inesta$le.

La direcci#n de las tra-ectorias se apro"iman al e!uili$rio esta$le o salir de la inesta$le se

muestra con flec8as en la 1ig. 5.22a. ra-ectorias con condiciones iniciales

convergern al punto de e!uili$rio esta$le ra-ectorias con inicial condiciones

va a e"plotar en un tiempo finito. 7or lo tanto, la regi#n de la atracci#n del punto de

e!uili$rio esta$le es limitada por el e!uili$rio inesta$le (su variedad esta$le en el caso de

sistemas multivaria$les). enga en cuenta !ue la regi#n de la atracci#n se encoge como el SNB

es acercado.

Consideremos a8ora el punto de e!uili$rio en el origen, !ue es un nodo de silla de montar. 'l

colector esta$le de la sillanodo es el e0e " negativo, - su variedad inesta$le es el e0e positivo.

odo el e0e " el colector de formas centro de la sillanodo, !ue en este sistema de escalar es el

con0unto de espacio de estado.

1inalmente, puede ser verificada, -a sea analticamente, o por integraci#n numrica !ue para

todas las tra-ectorias, cual!uiera !ue sea la condici#n inicial estallan en tiempo finito.

No e"isten puntos de e!uili$rio en este caso.

Como se mencion# antes, en las familias individuales de los parmetros de las odas las

condiciones necesarias (5.3A,5.3) lo 8ar en los puntos SNB rendimiento general. 'n el caso de

m+ltiples parmetros, donde p es vector, los puntos de la de espacio de estado -

el parmetro dimensional !ue cumplan las condiciones necesarias para una SNB forman una (

l) colectordimensional. Los puntos !ue violen el formulario condiciones suficientes ( 6) su$

variedades dimensionales acostado en este m+ltiple. enga en cuenta !ue cuando los parmetros

de vectores se desplaa a lo largo de una curva dada, por e0emplo, cuando los parmetros

dependen de un escalar

el pro$lema se reduce a un solo parmetro uno a los puntos !ue satisfacen las condiciones

necesarias estn en $ifurcaciones sillanodo generales.

Deomtricamente, en una SNB seEalar el colector de puntos de e!uili$rio FplieguesF con

respecto al espacio de parmetros, como la curva de la 1ig. . 5.22a se pliega con respecto a la (i

e0e La pro-ecci#n de los puntos de SNB en el espacio de parmetros dimensional es una

8ipersuperficie de dimensi#n . 2, !ue llamamos superficie $ifurcaci#n La superficie

$ifurcaci#n forma un lmite de la regi#n de via$ilidad G HSI92J, es decir, la regi#n en el espacio



de parmetros para los !ue de e!uili$rio e"isten puntos. Kendo a travs de una $ifurcaci#n silla

nodo el n+mero de puntos de pro-ecci#n del colector de e!uili$rio en los cam$ios espacio de

parmetros por dos. 'n la 1ig. 5.2 la la regi#n de via$ilidad es el negativo '0e, delimitada por el

punto

'n sistemas multivaria$les, una $ifurcaci#n sillanodo es un e!uili$rio con un simple cero devalores propios satisfacer condiciones de transversalidad Go$9J. 'l colector centro de la silla

nodo es una curva en el espacio de estados de dimensi#n n tangente a la derec8a de la auto

vector valor propio cero. 'l colector central se compone de un esta$lo - una variedad inesta$le

separados por el punto de e!uili$rio, como en 1ig.5.c.

5.2.3 Hopf bifurcación

emos visto 8asta a8ora !ue una SNB se caracteria por un valor propio cero - !ue la respuesta

del sistema a una sillanodo es monot#nica. 48ora vamos a 8a$lar de la aparici#n de

inesta$ilidad oscilatoria. 's $ien sa$ido !ue un punto de e!uili$rio esta$le puede volverse

inesta$le despus de una variaci#n de los parmetros !ue o$liga a un par de valores propios

comple0os de cruar el e0e imaginario en el plano comple0o. 'ste tipo de inesta$ilidad oscilatoria

se asocia en los sistemas no lineales con la $ifurcaci#n de opf (B) mencionados en el inciso

5.6.2.

'n una $ifurcaci#n sillanodo de la regi#n de la atracci#n de un e!uili$rio esta$le se reduce

de$ido a un e!uili$rio inesta$le se acerca - la esta$ilidad es finalmente perdi# cuando los dos

e!uili$rios funden - desaparecen. 'n una $ifurcaci#n opf la esta$ilidad de un e!uili$rio se

pierde a travs de su interacci#n con un ciclo lmite. a- dos tipos de opf $ifurcaci#n

dependiendo de la naturalea de esta interacci#n:

HB subcrítico: un ciclo lmite inesta$le, e"istente antes de la $ifurcaci#n, se contrae -,

finalmente, desaparece -a !ue se une con un punto de e!uili$rio esta$le en el Bifurcati#n.

espus de la $ifurcaci#n, el punto de e!uili$rio se convierte resultante inesta$le en oscilaciones

crecientes>

HB supercrítico: un ciclo lmite esta$le se genera en la $ifurcaci#n, - un punto de e!uili$rio

esta$le se vuelve inesta$le con el aumento de las oscilaciones de amplitud, !ue son finalmente

atrados por el ciclo lmite esta$le.

La condici#n necesaria para una $ifurcaci#n opf es la e"istencia de un e!uili$rio con valores

propios puramente imaginarios. 'sta condici#n no es tan fcil de esta$lecer como condici#n

valor propio cero, !ue es simplemente la de un determinante de fuga. La ma-ora de los

e!uili$rios con valores propios puramente imaginarios 8a$r puntos de $ifurcaci#n de opf,

pero, al igual !ue el caso del BNS, pueden e"istir casos e"cepcionales, para las !ue la parte real



de la pare0a de valores propios crticos no cam$ia de signo despus de ir a cero: estos puntos son

no puntos B.

1igura 5.26a Su$criticai opf $ifurcaci#n 1igura 5.26$ supercrtica B

'n la 1ig. 5.26a, $ los dos tipos de opf $ifurcaci#n se ilustran grficamente. La lnea recta

corresponde a un punto de e!uili$rio - la lnea curva representa la amplitud del ciclo lmite. Las

lneas continuas corresponden a ciclos de e!uili$rios o limitar esta$les, mientras !ue las lneas

discontinuas indican ciclos e!uili$rios o limitar inesta$les. 'n cada figura la a$scisa es el valor

del parmetro M , - / "% es el valor de $ifurcaci#n. La ordenada representa la amplitud del ciclo

lmite

'n las 1igs. 5.26a la amplitud de la ciclo lmite inesta$le se ve a disminuir como el parmetro de

valor se apro"ima a la $ifurcaci#n. 'n el punto de $ifurcaci#n del ciclo lmite desaparece - el punto de e!uili$rio se vuelve inesta$le. La regi#n de atracci#n del e!uili$rio esta$le antes de la

$ifurcaci#n est delimitada por la variedad esta$le del ciclo lmite inesta$le. ra-ectorias

despus de la $ifurcaci#n son sin lmites, con oscilaciones de amplitud creciente. 4 veces se

denomina Fdura prdida de esta$ilidadF G4rnOJ. La $ifurcaci#n se llama su$crtico, de$ido a

!ue la rama de ciclos lmite !ue emanan en la $ifurcaci#n se dirige 8acia la i!uierda, es decir,

!ue e"iste para valores ms pe!ueEos del parmetro.

La evoluci#n de la respuesta del sistema es mu- diferente en el caso de la $ifurcaci#n opf

supercrtico se ilustra en la 1ig. 5.26$. 4ntes de la $ifurcaci#n no 8a- ciclo lmite !ue limita la

regi#n de atracci#n del e!uili$rio esta$le. @n ciclo lmite se genera en el punto de $ifurcaci#n -es esta$le. espus de la $ifurcaci#n de las tra-ectorias !ue comienan cerca del e!uili$rio

inesta$le se sienten atrados por el ciclo lmite esta$le - las oscilaciones estn acotadas. 'sto 8a

sido llamado una Fprdida suave de la esta$ilidadF G4rnOJ. esde un punto de vista glo$al, esta

$ifurcaci#n 8ace pocos cam$ios inicialmente. e 8ec8o, antes de la $ifurcaci#n las tra-ectorias

convergen al e!uili$rio esta$le con ligeramente amortiguadas, oscilaciones sostenidas>

inmediatamente despus de la $ifurcaci#n de las mismas tra-ectorias son atradas por un ciclo



lmite pe!ueEa amplitud esta$le. enga en cuenta !ue, desde el punto de vista de ingeniera

am$os casos (0usto antes o 0usto despus de la $ifurcaci#n) suelen ser inacepta$le.

5.3 DIFERENI!"E#$ #I#%E&!# !"'EBR!I!#

'n esta secci#n se analian los sistemas descritos por un con0unto de ecuaciones diferenciales,

!ue inclu-en una serie de varia$les alge$raicas - estn su0etos a un con0unto de restricciones

alge$raicas. e particular inters para el tema de este li$ro son los sistemas alge$raicas

diferenciales !ue resultan de la descomposici#n de escala de tiempo !ue se introduce en la

siguiente secci#n.

5.3.1 (untos )e e*ui+ibrio , estabi+i)a)

Los sistemas diferenciales alge$raicas (4) se descri$en mediante de un con0unto de n - m

diferenciales alge$raicas ecuaciones, !ue se supone suave a lo largo de este anlisis:

donde " es el vector de varia$les n del estado, - es el vector de varia$les m alge$raicas, - p sonlas varia$les de parmetros . Las ecuaciones alge$raicas (m 5.2$) definen un colector de

dimensi#n n P Q, llamados colector de restricci#n G92J, en el el espacio

dimensional de ", -, p.

Sistemas en forma de (5.2 a, $) se 8an considerado Fte#ricamente pro$lemticaF G9J, -a

!ue el sistema de m ecuaciones alge$raicas no lineales (5.2$) puede tener puntos singulares

donde no pueda ser resuelto por el m las varia$les alge$raicas dependientes -. 'n estos puntos la

respuesta del sistema no se puede definir, lo !ue contradice la intuici#n de ingeniera afirmando

!ue Fcual!uier sistema fsico de$e tener una soluci#n de tiempoF G7SL95$J.

Sistemas diferenciales alge$raicos se analiaron usando el teorema de la funci#n implcita. ConSider un punto ", -, p para el !ue el ;aco$iano alge$raica es no singular. e

acuerdo con el teorema de la funci#n implcita, e"iste una +nica localmente, liso funci#n 1 de la

forma:

a partir del cual se 8an eliminado las varia$les alge$raicas. esde 1 puede ser definida - es



suave en todos los puntos donde es no singular, sa$emos por el teorema de e"istencia de la

Secci#n 5.2.2 de !ue e"iste una soluci#n +nica ve del sistema de diferencial alge$raica (5.2 a,

$) para todos estos puntos. enotamos el dominio de 1 en el espacio de estados para un valor

dado del parmetro vector de p como (A7. 'l dominio asta limitada por los puntos !ue

satisfacen la condici#n de singularidad de D-. am$in puede ser limitado por lmites estrictos

impuestos a las varia$les de estado G;HS9OJ.

7ara un valor fi0o de p los puntos de e!uili$rio de (5.2a, $) son soluciones del sistema:

f (", -, p) * % (5.34)

g (", -, p) * % (5.3$)

la esta$ilidad de los puntos de e!uili$rio se puede determinar por linealiaci#n (5.2a,$)

alrededor del e!uili$rio:

[∆ x

0 ]= j [∆ x

∆ y ]onde ; es el ;aco$iano no reducida del sistema 4:

J =[ f x f yg x g y

]Suponiendo g- es no singular podemos eliminar 4- de (5.):

∆ x=[ fx−fyg y−1

gx ]∆ x (5.O)

e este modo podemos o$tener la matri de estado 4 del sistema linealiado:

A= Fx=[ fx−fyg y−1

gx ] (5.A)

?ue es el complemento de Sc8ur GCotAJ del alge$raica g- ;aco$iano ecuaci#n en el no reducido

;aco$iano ;. 7or esta ra#n, en la $i$liografa sistema de energa, 4 menudo se llama el

;aco$iano reducido en comparaci#n con el no reducido.

La esta$ilidad de un punto del sistema fiscal para un valor dado de p de e!uili$rio depende de

los valores propios de la matri de estado 4. Las variedades esta$les e inesta$les de la mentira punto de e!uili$rio en el colector de restricci#n, cuando se ve en el espacio de estado -

alge$raica varia$les. Como p es varia$le, el sistema 4 puede e"perimentar $ifurcaciones

como un sistema R' simple. 'l caso de un SNB merece una atenci#n especial. 1#rmula

determinante conocido de Sc8ur GSc8lAJ rendimientos (por g- no singular):

det J =det gy det [ fx−fyg y−1

gx ]=det gy detA (5,)



Hamos a utiliar (5.) en varios lugares en los captulos posteriores. Su implicaci#n principal es

!ue la matri de estado 4 se convierte en singular 0unto con el no reducido ;aco$iano ;, cuando

g- es no singular. 7or lo tanto, una condici#n necesaria para una $ifurcaci#n sillanodo del

sistema 4 es la singularidad de la no reducido ;aco$iano ;.

5.3.2 In-estigación )e singu+ari)a)es a+gebraicas

Como se 8a seEalado en el apartado anterior, una comple0idad introducida por los sistemas de

4 es la e"istencia de singularidades alge$raicas. Las implicaciones de esto se discuten a

continuaci#n.

Ipases en +as superficies )e singu+ari)a)

Los puntos en el colector de restricci#n, para lo cual el ;aco$iano ecuaci#n alge$raica es singular

vienen dados por la soluci#n simultnea de las ecuaciones de restricci#n m alge$raica (5.2$) -

la siguiente ecuaci#n escalar:

etg- (", -, p) * % (5.9)

Las ecuaciones (5.2$) - (5.9) forman, en general, una (n P 2) dimensional superficie,

situada en el colector de restricci#n, -a !ue uno ms ecuaci#n alge$raica se aEade a la m los

iniciales. 'ste 8ipersuperficie se llama superficie de estancamiento G9, 92J, por!ue no

puede ser atravesada por las tra-ectorias del sistema. 'l colector de restricci#n se descompone

por la superficie impasse en diferentes componentes llamados regiones de causalidad. La

causalidad est ligada a la e"istencia de una soluci#n local de (5.2$) para - GQ7BOJ.

7ara dado parmetros p, la pro-ecci#n de la superficie de estancamiento en el espacio de estado,da un (n 2) Sp superficie dimensional, !ue consiste en puntos de singularidad ecuaci#n

alge$raica. e acuerdo con la discusi#n anterior de esta superficie (si e"iste) fuera 'l dominio

arri$a, en la !ue una ecuaci#n diferencial en la forma (5.6) se puede definir para el valor dado

de p. La regi#n @p puede reducir o aumentar dependiendo de la variaci#n de p.

Deomtricamente, la superficie calle0#n sin salida puede ser vista como la colecci#n de puntos,

en el !ue el colector de restricci#n FpliegaF con respecto al espacio de estado !ue tiene dos

pro-ecciones antes Sp - ninguna despus. No vamos a discutir a!u singularidades orden

superior, como Fc+spidesF G4rnOJ.

Consideremos un punto inicial ("%, -%, 7o) en el colector de restricci#n, cu-a pro-ecci#n en elespacio de estados es "% ' @7R. 4plicando el teorema de e"istencia de la Secci#n 5.2.2, se

puede o$servar !ue las soluciones de (5.6) !ue tiene un lmite superior finito en su intervalo de

la e"istencia, -a sea divergen 8asta el infinito, o terminan en el lmite de arri$a, parte de la cual

es la superficie singularidad. el mismo modo, las tra-ectorias con menor aa finita o$ligados a

en su intervalo de e"istencia, son o no acotada cuando t = a, o salen de la superficie de la

singularidad. e este modo la superficie singularidad contiene puntos de la !ue emergen las

tra-ectorias - puntos en los !ue las tra-ectorias se desvanecen en el tiempo finito.



#ingu+ari)a) bifurcación in)uci)a

@n tipo especial de $ifurcaci#n, e"istente s#lo en sistemas de 4, se produce cuando el colector

de e!uili$rio dimensional , !ue se encuentra en el colector de restricci#n de un sistema de 4,

se crua con el (n P 2) Superficie de estancamiento dimensional. Los puntos en cuesti#n

satisfacen tanto (5.34, $) las condiciones de singularidad (5,9), - el e!uili$rio. enga en

cuenta !ue e"isten tales puntos en general, incluso en el caso solo parmetro ( * 2).

cnicamente,

'stos puntos no son e!uili$rios, por!ue el sistema no puede definirse en la superficie calle0#n sin

salida. Sin em$argo, pueden e"istir puntos de e!uili$rio ar$itrariamente cerca de am$os lados de

una singularidad tales.

Considere la posi$ilidad de una familia de puntos de e!uili$rio se acercan a la superficie impasse

$a0o una variaci#n de parmetros lento. 'l determinante de la ecuaci#n alge$raica g- ;aco$iana

calculada en estos puntos se vuelve progresivamente mu- pe!ueEa como la superficie calle0#nsin salida se apro"ima, - en consecuencia el determinante de la reducida 0aco$iano 4 se 8ace

mu- grande de$ido a (5.). 7or lo tanto, al menos uno de los valores propios de la matri de

estado tiende a infinito. el mismo modo, en el otro lado de la superficie de calle0#n sin salida,

los puntos de e!uili$rio tienen tam$in un valor propio !ue tiende a infinito, pero con un signo

opuesto. enemos, pues, un cam$io de las propiedades de esta$ilidad del sistema, en los dos

lados de la singularidad - esto constitu-e una $ifurcaci#n, !ue 8a sido llamado singularidad

$ifurcaci#n inducida GHSI92, HSI93J.

enga en cuenta !ue en los sistemas de 4 el determinante de la matri de estado 4 se puede

cam$iar de signo, -a sea cuando se convierte en singular, !ue tiene un valor propio cero, o

cuando tiene un valor propio infinita !ue va desde menos infinito a ms infinito.

E/ep+o

Hamos a ilustrar el concepto de la $ifurcaci#n inducida singularidad con un e0emplo. Considere

el sistema:

" * - sen " (5.5%a)

% * %.5 -6 P -cos" (5.5%$)

donde es un parmetro escalar - -= %. 'n este sistema de n * m * 2. 'l espacio de estado -

de parmetros tiene dimensi#n n P m P - * 3. 'n este espacio el colector de restricci#n es una

superficie de dimensi#n n P * 6, la Fsuperficie calle0#n sin salidaF es una curva (n P 2 * 2)

- el colector de e!uili$rio es otra curva ( * 2), situada tam$in en el colector de restricci#n.

1igura 5.23 muestra una vista de las " 3dimensionales, -, espacio, con correspondiente a la

elevaci#n. 'l colector de restricci#n de 6dimensional, definida por (5.5%$), se representa a

travs de una colecci#n de contornos se muestran con lneas s#lidas para diferentes valores de .



La curva de calle0#n sin salida se define por la condici#n de singularidad:

dg

dy=−2 y+cosx=0

(5.52)

Figura 5.13 Singularidad $ifurcaci#n inducida

;unto con la restricci#n (5.5%$). Se muestra como una curva de traos marcada 'S en la 1ig.

5.23. 'ste +ltimo se divide el colector de restricci#n en dos regiones de causalidad. enga en

cuenta !ue cada uno (s#lido) curva del colector de restricci#n se pliega con respecto al e0e " en

su punto de cruce con la curva de punto muerto.

'l colector de e!uili$rio satisface la condici#n:

-sin" * % (5.56)

0unto con (5.5%$). La eliminaci#n de de estas dos relaciones, o$tenemos la curva:

- * cos " %.5sen" (5.53)

'T marcada en la 1ig. 5.23. Como se ve en esta figura, el colector de e!uili$rio intersecta la

superficie calle0#n sin salida est en el punto SUB, !ue es una $ifurcaci#n inducida singularidad,

con coordenadas dadas por la soluci#n simultnea de las ecuaciones, (5.5%$, 5.52,5.56):



x=π

4 y=√ 2/4 z=0.25

Hamos a8ora a seguir la curva de e!uili$rio como el parmetro vara lentamente empeando

por %. 7ara * % tenemos un +nico e!uili$rio " * %, - * 2. 'ste e!uili$rio es esta$le - la

atracci#n a nivel mundial. Como los parmetro aumenta lentamente nos movemos 8acia arri$a

a lo largo de la curva discontinua de e!uili$rio, 8asta !ue llegamos a un punto (para

ligeramente ma-or !ue %,3), despus de lo cual no e"iste un e!uili$rio para aumentar . 'ste es

un punto de $ifurcaci#n sillanodo, en el !ue un e!uili$rio esta$le (como 4) se une con un

e!uili$rio inesta$le (tal como B), !ue limita su regi#n de atracci#n. La tra-ectoria descendente

en la direcci#n de B, se compone de e!uili$rios inesta$les cada ve ms inesta$le, con un valor

propio acercarse P V en el punto de SUB,

'n este caso la $ifurcaci#n inducida singularidad est FprotegidoF por un camino de puntos de

e!uili$rio inesta$le. Si el sistema llega a la $ifurcaci#n sillanodo por un aumento gradual de ,

como la !ue se 8a descrito anteriormente, la tra-ectoria se apartar de la superficie e!uili$rio a

lo largo de la variedad inesta$le de la SNB - !ue va a terminar en una singularidad alge$raica en

el punto (!ue no es un e!uili$rio).

5.0 &"%I("E# E#!"!# DE %IE&(

5.0.1 perturbación #ingu+ar

Tuc8os sistemas tienen dinmicas cam$iantes en diferentes escalas de tiempo. 4lgunos sonrpidos, otros lentos. 'n la ma-ora de los casos no es prctico para mane0ar todas estas

dinmicas com$inadas en un solo modelo. 4l derivar modelos de componentes rpidas por lo

general consideramos !ue los estados lentos son prcticamente constante durante los transitorios

rpidos - en la o$tenci#n de modelos de componentes lentos !ue asumen !ue los transitorios

rpidos no estn entusiasmados durante los cam$ios lentos. al separaci#n escala de tiempo es

muc8as veces llevan a ca$o de manera intuitiva: por e0emplo, cuando se derivan modelos de

generadores en el Captulo 3, se consider# !ue los transitorios electromagnticos mueren mu-

rpido despus de una pertur$aci#n, por lo !ue no de$en ser incluidos en el modelo desarrollado.

Cuando un modelo multiescala de tiempo est disponi$le, se puede derivar modelos precisos, de

orden reducido adecuados para cada escala de tiempo. 'ste proceso se denominadescomposici#n escala de tiempo. La forma correcta de 8acer esto se $asa en el anlisis

conocido como singular pertur$aci#n G%WTA, QQROJ.

@n sistema singularmente pertur$ado es uno para el cual un pe!ueEo parmetro e multiplica uno

o ms derivados del estado. 7or lo tanto para e * % el orden de los cam$ios en el sistema. 'n su

forma estndar un sistema singularmente pertur$ados se escri$e como:

" * f (", -, e) (5.5a)



X- * g (", -, e) (5.5$)

donde Y es un vector n " 2 - K un vector m " 2. 4un!ue f - g puede depender de correo novamos a mostrar este e"plcitamente en la secuela de simplificar la notaci#n. 7ara un sistema

fsico !ue puede 8a$er ms de una manera de o$tener un modelo en forma estndar (5.5a, $).

La descomposici#n de escala de tiempo consiste en la o$tenci#n de dos su$sistemas orden

reducido, de tal manera !ue uno descri$e la dinmica lento - las otras las dinmicas rpidas de

(5.5a, $). enotamos con "s, -s la lenta - por "f ,.-f a los componentes rpido de las varia$les de

estado, de tal manera !ue:

Y * Ys P Yf (5.55)

K * Ks P Kf (5.5O)

e$ido al trmino e, la dinmica de - son ms rpidos !ue los de ". 4s, un, intuitivamente

atractiva apro"imaci#n de la lenta dinmica de (5.5a, $) consiste en tomar e * % en (5.5$) a

menudo acepta$le. 'sto define la apro"imaci#n constante cuasiestado (?SS) del lento

su$sistema:

Ys * f ("s, -s) (5.5Aa)

% * g ("s, -s) (5.5A$)

7ara "s dadas (5.5A$) o$viamente la condici#n de e!uili$rio para -, pero como esto se logra

mediante la creaci#n e * % a+n podemos tener - diferente de %, - Ks se permite cam$iar demanera !ue (5.5A$) es satisfec8a como Ys vara durante los transitorios lentos. La tasa de

cam$io de - durante los transitorios, por el estado cuasiestacionario lento puede, de 8ec8o, se

calcula mediante la diferenciaci#n (5.5A$), utiliando la regla de la cadena - (5.5a).

'l su$sistema lento ?SS (5.5Aa, $) es un sistema de diferencial alge$raica !ue puede ser

analiada como se descri$e en la secci#n anterior. 'n particular, la esta$ilidad de este sistema se

caracteria ser el estado (o reduce) la matri 4 dada por (5.A). Como se 8a seEalado antes, la

singularidad $f esta matri coincide con la singularidad del 0aco$iano no reducido (5.5).

Hamos a discutir el su$sistema rpido despus de la introducci#n del concepto del colector lento

o integral.

5.0.2 o+ector +ento

La apro"imaci#n ?SS se puede me0orar a cual!uier grado de precisi#n al introducir el concepto

del colector integral, tam$in llamado colector lento.

'mpeamos con un e0emplo de un sistema lineal de segundo orden:



´ x= y

e y - x - l \ y 45.5b6

Cuando e es pe!ueEo este sistema tiene dos valores propios negativos correspondientes a lento

(4i) - (46) dinmica rpida, es decir:

4 6 4 i < %

Considere la vi vector propio derec8o !ue corresponde a la lenta valor propio. e$ido a la

propiedad de invariancia de vectores propios (5,6%), s#lo los transitorios lentos estn

entusiasmados por las condiciones iniciales !ue mienten en vi. Las tra-ectorias de partida fuera

de este vector propio convergern en l con un transitorio rpido - entonces van a acercarse

lentamente al punto de e!uili$rio restante en vi. 'sto se muestra en la figura. 5.2a donde varias

tra-ectorias se representan con lneas de traos, - los dos vectores propios con lneas continuas.

'l valor de e utiliado en esta figura es %,%5, para el !ue los valores propios son 46 * 62,%5, 4i

* %,95.

1igura 5.2a vectores propios lentas - rpidas 1igura 5.2$ apro"imado colector lenta

'n la Secci#n 5.2.3 se 8a visto !ue en un sistema no lineal, eigenspaces son reemplaadas por

variedades invariantes. 4s, en un sistema no lineal la lenta vector propio se sustitu-e por un

colector lento. 'ste +ltimo se define como un colector de invariante en el !ue la dinmica

rpidos no son e"citados, de modo !ue " * "s, -s * -. 'l colector lento es ndimensional

(correspondiente a las n varia$les lentas) - puede ser definido por las ecuaciones m:

,s748s6 45.596

7ara "s, -s ser soluciones del sistema original (5.5a, $), las funciones 8 !ue definen el colector

lenta de$e satisfacer la siguiente condici#n, !ue se o$tiene mediante la sustituci#n de (5.59) -

(5.5a) en (5.5$):

eh x f(x s ,h) = g(x s , h) (5.60)



donde 8" es el 0aco$iano de 8 con respecto a ". 'stas ecuaciones diferenciales parciales no se

pueden resolver analticamente, e"cepto en algunos casos mu- especiales GS4IJ. 7or lo tanto,

la lenta colector se apro"ima por lo general mediante un desarrollo en serie en el correo.

7ara e * %Ze o$tener la primera 8o trmino de esta e"pansi#n, por lo !ue (5.O%) es de:

g4857;6 ;'s decir, para c [ % el lento colector est dada por su apro"imaci#n ?SS (5.5A$). ado !ue el

error cometido por esta apro"imaci#n tiende a cero como e [ %, decimos !ue el error de

apro"imaci#n es Forden eF. 'n general escri$imos e * % (e), cuando 8a- constantes 4 - 4 tales

!ue: e <4c para e <a.

Se ilustra a8ora el concepto colector lenta - su apro"imaci#n con un e0emplo. Considere el

sistema lineal de segundo orden:

x y 45.<1a6

ey = —x — x 1 — l . l y (5.61b)

'ste sistema tiene s#lo un e!uili$rio en el origen. 'l sistema linealiado alrededor de este

e!uili$rio es la !ue 8emos 8a$lado anteriormente (5.5a, $). Las respuestas del sistema no lineal

para diferentes condiciones iniciales se representan con lneas de traos en la 1ig. 5.2$.

am$in nos traamos en esta figura el colector lenta apro"imada correspondiente a e * % en

(5.O2$):

y , = h o ( x s ) = ~ ( x s + x z s ) / \ . \

Como se ve, esto se apro"ima muc8o a la dinmica lenta reales de la no lineal, de dos sistema de

escala de tiempo. La precisi#n de la apro"imaci#n se puede me0orar mediante el uso de ms

trminos de la e"pansi#n en serie de a-lor de 8. @sando esta tcnica es sencillo calcular los

componentes del colector lento 8asta cual!uier potencia de e usando (5.O%) GQQ%OJ. 'n esteli$ro vamos a utiliar +nicamente la apro"imaci#n ?SS.

5.0.3 DIN=&I!# "EN%!# > R=(ID!#

@na ve !ue el colector 8 lento ("5) se calcula a cual!uier precisi#n deseada, la dinmica lenta

son dados por el de orden reducido su$sistema lento:

80 f480748066 45.<26

- los componentes lentos -s de - estn dadas por (5.59).

Con el fin de apro"imar el su$sistema rpido tenemos en cuenta !ue " es predominantemente

lento (" \ "5). 7or lo tanto, las varia$les de estado del su$sistema rpido son los componentesrpido K1 -a introducidas, !ue tam$in se llaman fuera de m+ltiples varia$les:

,? , $ ,@ , $ &8@6 45.<36

Sustitu-endo (5.O3) en (5.5$) o$tenemos el su$sistema rpido apro"imada:

1



;A g48s ,? C 74866 45.<06

enga en cuenta !ue (5.O) define un sistema con punto de e!uili$rio en el colector lento (donde

- M %), - !ue las varia$les lentas "s son parmetros para el su$sistema rpido.

4lineaci#n de (5.O) en un punto ("5, 8 (")), situada en el lento colector se o$tiene:

e !, g,!,? 45.<56

7or lo tanto, la esta$ilidad de la dinmicaoff colector est determinada por el ;aco$iano DK

's necesario me0orar la precisi#n cuando grandes pertur$aciones se imponen a las varia$les

rpidas. 'sto est claro en la 1ig. 5.2a, $, donde se ve !ue la varia$le lenta no puede

considerarse constante durante los transitorios rpidos, cuando las condiciones iniciales no estn

cerca del vector propio lento (colector). 'l componente " M correspondiente se e"tingue con el

transitorio rpido. La precisi#n de (5.O) se puede aumentar a cual!uier orden de correo

mediante el clculo del componente de " M con el mtodo de e"pansi#n asint#tica se descri$e en

G%WTAJ.

eoremas de e"pansi#n asint#tica G%WTA, QQ%OJ garantian la valide de la descomposici#n

escala de tiempo descrito anteriormente. 'n particular, se 8a demostrado !ue para t= t / (es decir,

e"clu-endo el primer transitorio inicial cuando se inicia fuera de la lenta colector) el su$sistema

lento ?SS (5.5Aa, $) se apro"ima a la lenta dinmica del sistema a escala de dos de tiempo

original (5.5a, $) con un error orden e:

8 x s - j - 0 ( e ) 45.<<6, , 5C;4e6 45.<A6

$a0o las siguientes condiciones:

2. La DK ;aco$iano es no singular.

6. La dinmica de despegue innumera$les son esta$les, es decir g- tiene valores propios con

partes reales estrictamente negativos. 3

'l primer supuesto est implcito en el segundo, pero se declar# por separado de$ido a su

importancia para la definici#n de un colector 8 lento (").

Como se di0o antes, durante los transitorios lentos las varia$les lentas act+an como parmetros

del su$sistema rpido !ue descri$en la dinmica fuera del colector. 7or lo tanto, como un

transitorio lenta evoluciona, el su$sistema de la dinmica rpida (5.O) puede e"perimentar una

$ifurcaci#n, por e0emplo una $ifurcaci#n sillanodo, o una $ifurcaci#n de opf. 'n esos puntos

la decom]position escala de tiempo se rompe, -a !ue las 8ip#tesis 2 - 6 (en el caso SNB), oasunci#n 6 (en el caso B) son violados. 'n la prctica, la descomposici#n escala de tiempo se

descompone - la tra-ectoria se apartar de la lenta m+ltiples, incluso antes de !ue el punto

$ifurca]tion, de$ido por e0emplo a la regi#n cada ve menor de atracci#n del e!uili$rio

dinmicaoff colector !ue puede causar una violaci#n de 8ip#tesis 3.

enga en cuenta !ue una $ifurcaci#n inducida singularidad (ver Secci#n 5.3.6) del sistema ?SS

(5.5Aa, $) es e!uivalente a una $ifurcaci#n sillanodo del su$sistema rpido, am$os $ifur]cations



se caracterian por la singularidad de D-. 'sto proporciona una manera de eliminar la

singularidad de un sistema fiscal mediante la rela0aci#n de las restricciones alge$raicas en

ecuaciones diferenciales, como veremos en la Secci#n 5..5.

5.0.0 EE&(": DE#&(GE#% #I"!DR

emostramos a8ora la descomposici#n de escala de tiempo - los lmites de su valide utiliando

el oscilador esta$le introducida en (5.65a, $) reescri$irse como:

x — y 45.<a6

e y ~ - x C y $ y 3 45.<b6

La apro"imaci#n ?SS del lento colector se encuentra tomando e * %:

- X s + V s - y 3 s - 0 (5.69)

- se muestra como la curva en forma de S en la 1ig. 5.25. odas las tra-ectorias !ue comienan

fuera de esta curva convergen en l con un transitorio rpido. Como se mencion# anteriormente,

los puntos en el lento innumera$les son los e!uili$rios del su$sistemaoff colector (5.O), !ue en

nuestro caso es:

Vf = ( - !yl)yj - 3 ys y" f - y

3 f

donde -s es el componente lento de - dado por (5.O9), - -0 * - -s es la varia$le colector off.

Como se ve, -s es un parmetro del sistema colectoroff dependiendo de "s. Como "s vara, dos puntos SNB se pueden identificar en el lento colector en el

1igura 5.25 colector Lento - ciclo lmite

valores -s * ^ l M / M 3 donde la parte lineal del sistema colectoroff desvanece. 'stos se muestran

como puntos 4 - B en la 1ig. 5.25.



Considere la posi$ilidad de una tra-ectoria a partir del punto C en la 1ig. 5.25. La tra-ectoria

ser primero converger en el lento colector con un transitorio rpido. 4 partir de a8, el sistema

es impulsado por la dinmica lenta a lo largo de la lenta m+ltiples. e$ido a (5.Oa), la dinmica

lenta toman el sistema a la derec8a en el semiplano superior - 8acia la i!uierda en el semiplano

inferior. e este modo el SNB en el punto 4 se acerc#. Suponiendo !ue e es infinitamente

pe!ueEo, el sistema vendr mu- cerca del punto 4. donde la tra-ectoria se apartar de la lentacolector con un transitorio rpido, como se muestra por la lnea de puntos. 'ste transitoria

converger en el lado inferior de la lenta colector en el punto ', despus de lo cual un transitorio

lenta impulsar el sistema 8acia la i!uierda, 8asta !ue se encuentra el segundo punto B SNB.

'n este punto, otra transitoria rpida tomar el sistema al punto , donde la misma secuencia se

repite de nuevo. 'l sistema por lo tanto e"8i$ir un ciclo lmite.

Comparando el ciclo lmite as o$tenido a la e"acta una a proa * %.2 (!ue se muestra en la 1ig.

5.25 con una lnea discontinua) vemos !ue los dos son cualitativamente similares. enga en

cuenta, sin em$argo, !ue de$ido a la no tan pe!ueEo valor de e el ciclo lmite e"acto sale del

colector lenta apro"imada antes de !ue se cumplan los puntos SNB 4 o B.

5.0.5 #IN'G"!RID!D EN #I#%E&!# DE D# EE# ! E#!"!

48ora vamos a discutir una manera de lidiar con la singularidad alge$raica en los sistemas de

4. 'ste consiste en considerar las ecuaciones alge$raicas como las condiciones de e!uili$rio

de la dinmica rpida, no modelados. e esta manera el sistema de 4 se transforma en un

sistema de dos tiempo escala con c % GB, R9%J.

Cuando e es distinto de cero, la tra-ectoria real de un sistema de dosescala de tiempo se aparta

de la lenta colector antes de !ue el punto de singularidad, como se ve en la 1ig. 5.25. 'sta

discrepancia se reduce a medida c



6MODELOS: SISTEMA DE

PERSPECTIVA

"Toda la ciencia está dominado por la idea de aproximación"

Bertrand Russell

Después de lidiar con modelado de componentes en los capítulos 2 a 4, dedicamos

este capítulo para la discusión de modelos de todo el sistema.

En primer lugar, se describe un modelo dinámico, alojarse en un nivel bastante alto de

generalidad preiriéndose en su caso a los capítulos 2 a 4. ! continuación,

consideramos con más detalle la modelo de red, "ue está presente incluso en la

#erramienta de análisis de estabilidad de la tensión simple. En este punto, se proponeuna ilustración detallada en un sistema pe"ue$o pero representativo, "ue servirá como

un ejemplo en el capítulo %.

Después de esto, se introduce el concepto importante de la descomposición de escala

de tiempo "ue proporcionará en los &ltimos capítulos de un marco para la clasiicación

de los mecanismos de inestabilidad ' derivando métodos analíticos apropiados.

El resto del capítulo está dedicado a derivar modelos de e"uilibrio, "ue desempe$an un

papel importante en el análisis de estabilidad de la tensión. (olvemos al ejemplo

sencillo para ilustrar estos conceptos.

6.1 ESQUEMA DE UN MODELO GENERAL DINÁMICO

En esta sección describiremos la derivación de un modelo general dinámico de la red,

del tipo normalmente utili)ado en simulación dinámica de sistemas de potencia. El

modelo se describe en compacto, orma vectorial, de enómenos más rápidos a más

lento dinámica.



6.1.1 Respuesta Instantánea: La Re

*e asume una respuesta instantánea de la red, de #ec#o, como se se$aló en la

sección +..2, los transitorios correspondientes, de tipo electromagnético, son mu'

rápidos en comparación con el intervalo de tiempo de interés en estudios de estabilidad

de voltaje. En consecuencia, la red se describe por un conjunto de ecuaciones

algebraicas-

% ( , , , )c d g x y z z =

/.0

donde g son unciones suaves ' 1' es el vector de voltajes del bus. (ectores 1g ' 1'

tienen la misma dimensión, vectores 3, )c ' )d se deinen en la secuela. Estas

ecuaciones juegan un papel importante en el análisis de estabilidad de tensión '

sección /.2 se dedica a su derivación detallada.

6.1.! D"ná#"$a a $%&t% p'a(%

a escala de tiempo a corto pla)o es la escala de tiempo de los generadores síncronos

' su reguladores !(Rs ' gobernadores0, motores de inducción, componentes de 5 (

D6 ' *(6s. a dinámica correspondiente dura normalmente varios segundos después

de un disturbio ' #a sido también conocida como la dinámica transitoria. a transitoria

del término con inestabilidad de ángulo transitoria, "ue inclu'e los mismos

componentes ' evoluciona en el mismo marco de tiempo, sin embargo, por motivos

e3plicados en el capítulo , adoptamos la terminología a corto pla)o a lo largo de estelibro.

a dinámica a corto pla)o es capturada por las siguientes ecuaciones dierenciales-

( , , , )c d x f x y z z =&&

/.20

donde son unciones lisas ' 3 es el vector del estado correspondiente. Ejemplos de

las ecuaciones anteriores se #an dado en las secciones, +..2, +..+ ' +..4 para la

inducción ' generador síncrono motor, respectivamente.

6.1.) D"ná#"$a a 'a&*% p'a(%

a escala de tiempo a largo pla)o es la escala de tiempo de los enómenos,

controladores ' dispositivos de protección "ue act&an normalmente durante varios

minutos después de un disturbio. En el caso de los controladores ' dispositivos de

protección, los componentes están dise$ados generalmente para actuar después de

los transitorios a corto pla)o #an muerto #acia uera, para evitar acciones innecesarias



o incluso inestable interacción con la dinámica a corto pla)o. 7abla /. muestra los

componentes más relevantes para la estabilidad de voltaje, con reerencia a las

secciones donde se #an descrito.7abla /. componentes importantes de la dinámica a largo pla)o

Clasificaci#n componente escripci#

n

fen#menos la recuperaci#n de carga termosttica

recuperaci#n de la carga agregada

.5

.O.6

controladore

s

control de la tensi#n secundaria

control de cargafrecuencia

Cam$iadores transformador de tomas en carga

(LC)

condensador en paralelo M conmutaci#n reactor

5.3.O

O.3

O.5.

5..5

dispositivos

de protecci#n

So$ree"citaci#n limitadores (RYLs)

limitadores de corriente de inducido

3.3

3.3

( , , , )

( 2) ( , , , ( ))

c c c d

d d c d

z h x y z z

z k h x y z z k

=

+ =

&

a dinámica de largo tiempo se representa mediante

ecuaciones continuas ' de tiempo discreto-/.+0/.40

donde )c resp.8d0 son los continuos vectores de estado a largo pla)o o discreta0.

os siguientes son dispositivos "ue involucran dinámica a largo pla)o 'a sea continua

o discreta-

• conmutación de compensación de desviación ' la operación de 76 son típicos

eventos discretos por /.409 el 8d es la susceptancia de la desviación ' la relación de

transormación, respectivamente.

• En la práctica actual, son reguladores de voltaje ' recuencia secundarios digital '

transmitir a cambios discretos de generadores en puntos de la reerencia de tensión '

potencia, "ue son así componentes de 8d, en la otra mano, sus le'es de control interno

pueden implicar las ecuaciones de estado en tiempo continuo del tipo /,+0. :n ejemplo

típico es la le' de control de ;<D utili)ada en los controladores anteriores.

• imitación de sobree3citación puede ser ra)onablemente considerado como un evento

discreto en cuanto a la tardía decisión para cambiar el campo actual bajo limite

consultando la iguras +.2 ' +.+, =t ' <re. componentes de 8c, la aplicación del límite

sí mismo cae en la misma categoría a corto pla)o como el generador síncrono.



• a termostática ' agregado de carga modelos de recuperación 4.4%a, b0 o 4.>a, b0

son en la orma de las ecuaciones dierenciales /.+0, así como la apro3imación de

tiempo continuo 4.+>0 de la dinámica de la 76.

?ormalmente, un paso de tiempo suicientemente pe"ue$o delta 7 debe ser asumido

para las ecuaciones /.40, para "ue todas las transiciones discretas ocurren en

m&ltiplos de delta 7, en otras palabras, las variables discretas valores de cambio de

8d@0 a 8d @ A 0 a veces

( %,2,6,...)k = k t k T = × ∆

7enga en cuenta "ue con la anterior deinición de delta 7, es probable "ue los

componentes a largo pla)o más discretos permanecerán invariables para muc#os

pasos de tiempo9 es incluso mu' com&n "ue muc#os pasos de tiempo sin ninguna

transición, especialmente durante el período a corto pla)o.

6.! MODELO DE RED DE RED

6.!.1 M%e'"(a$"+n en ,%&#a -e$t%&"a'

a modeli)ación de la red se basa en dos supuestos básicos-

• a casi sinusoidal, recuencia nominal recordado en la sección +..2, esto nos permite

representar tensiones ' corrientes a través de asores varían con el tiempo ' uso red

impedancias o admitancias09

• a deinición de una reerencia &nica para todos estos asores9 Esta reerencia ue

deinida en la sección +../ ' toma la orma de dos ejes ortogonales, girando a la

velocidad síncrona ' denotada por = ' , respectivamente ver ?ig. +.40.

% I Y V − × =

Bajo los supuestos anteriores, las relaciones voltaje corriente en

comparación con un Csistema del autob&s se puede escribir en orma vectorial como-

/.>0

donde I es el vector Cdimensional del complejo in'ección de corrientes

V es el vector Cdimensional de voltajes bus del complejo

es C 3 la matri) de admitancia de autob&s C de la red con el nodo de tierra

tomada como reerencia de voltaje0.



Cota "ue las corrientes in'ectadas son unciones no lineales de los voltajes ( '

algunos deinición previamente las variables de estado =, 8c ' 8a. ;or lo tanto,

ecuación /.>0 es no lineal.

/"*u&a 6.1 odelo de dos puertos de componentes #abituales de la red

/"*u&a 6.! Cotación de dos puertos

6.!.! M%e'a#"ent% e %s pue&t%s

os componentes de red generalmente son principalmente líneas de transmisión,

cables, transormadores ' condensadores serie posiblemente ' despla)adores de ase,

los modelos estándar de estos componentes son los dos puertos "ue se muestra en la

igura /.. :na derivación de sus parámetros está disponible en muc#os libros de te3to

por ejemplo, ElgF, Ber%/, GunH40.

Bajo los supuestos anteriores, cada dos puertos pueden ser descritos por la matri) deadmitancia nodal. ;ara un autobuses de cone3ión de dos puertos i ' j, como en la

igura /.2, la relación voltaje corriente siguiente sostiene-



ij sij ijij i

ji ji sji ji j

Y Y Y I V

Y Y Y I V

+ − = × − +

/./0

Figura <.3 E*ui-a+ente (i )e )os puertos recíprocos

N#tese !ue los modelos de dos puertos de todos los componentes mencionados

anteriormente, e"cepto el desplaador de fase, son recprocas, lo !ue implica !ue:

i. Su matri admitancia es simtrica,Y ij=Y ji

ii. 7ueden ser representados por un e!uivalente 7i como se muestra en la 1ig O.3

Sin em$argo la derivaci#n siguiente es general - no se limita a los dos puertos

recprocos

N#tese tam$in !ue para transformadores e!uipados con LCs, los cam$ios discretos en proporciones capturados por (O.3), son causados por cam$ios en los parmetros del

e!uivalente 7i.

<.2.3. Foru+ación cop+e/a )e corriente.



'l modelo de red se o$tiene montando las diferentes $ipuertas de acuerdo a la topologa

del sistema. Sea N el n+mero de los $uses del sistema - sea N (i) el con0unto de los

$uses directamente conectado al $us i (i=1, … , N), como se muestra en la 1ig.O..

@sando la le- de corrientes de Qirc88off, tenemos:

´ I i−Y si V́ i−∑ j∈ N (i )

´ I ij=0

K, usando (O.O):

´ I i−Y si V́ i− ∑ j∈ N (i )

Y sij V́ i− ∑ j∈ N ( i)

Y ij ( V́ i− V́ j )=0

ondeY si es la admitancia de todos los elementos de derivaci#n presente en el $us i

-´ I i , es la corriente in-ectada por cual!uier generador, carga - M o compensador

conectado a este $us (mirar 1ig. O..)

'n las siguientes dos secciones derivamos modelos de red utiliando ecuaciones reales

6N en lugar de los comple0os N (O.A). 4 tal efecto, lo primero !ue pro-ectamos son los

fasores en los e0es Y e K del arma#n sncrono de referencia definido en la Secci#n 3.2.O

(vase la figura 3.)



Figura <.0 Definición )e canti)a)es no)a+es

'sta formulaci#n se utilia com+nmente en el sistema de potencia de simulaci#n

dinmica. erivamos un modelo de red alternativa el cual es ms conveniente cuando se

trata del sistema de energa en e!uili$rio. 'n este modelo, cada corriente in-ectada se

divide en sus componentes activos - reactivos, como se muestra en la figura 3.25 - los

fasores de tensi#n se e"presan en forma polar.

Los dos tipos de pro-ecci#n fasor se resumen en la 1ig O.5

<.2.0. Foru+acion )e corriente Rea+ e Iaginaria

e0amos definido, de acuerdo a la 1ig. O.5:

´ I i=i xi+ j ii

V́ i=v xi+ j v yi

4s como las siguientes conductancias - susceptancias:



Y si= j Bsi

Y sij=Gsij+ j B sij

Y ij=Gij+ j Bij

traduccion ingles

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