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importantisima collecion

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Suficientes condiciones SNB son:

Condiciones (5.39c, d) se llaman condiciones de transversalidad. La primera de ellas (5.39c) garantiza que existe una funcin local en el punto de bifurcacin (fi0) x * 0). En trminos geomtricos, esto significa que el colector de equilibrio (5.39a) se cruza la lnea x = x * 0 transferencia de salida. La ltima condicin (5.39d) implica que el colector de equilibrio se mantiene localmente en l un lado de la lnea

Tenga en cuenta que (5.39ad) son tambin las condiciones suficientes para un valor extremo (ya sea mximos o mnimos) de \ x sujeto a la restriccin (5.39a).

Figura 5.11a, b, c ilustra tres casos de primer orden, los sistemas de parmetros individuales, para los que se satisface la condicin

De estos sistemas slo el primero, se muestra en la Fig. 5.1 LA, tiene una bifurcacin silla-nodo en el origen. El segundo sistema, que se muestra en la Fig. 5.1 libra, viola la segunda condicin derivada (5.39d), mientras que el tercer sistema, que se muestra en la Fig. 5.11c, viola la primera condicin de transversalidad (5.39c). Tenga en cuenta que la violacin de cualquiera de las condiciones (5.39c, d) requiere una ecuacin adicional (un total de n -f 2 ecuaciones con n incgnitas -f 1). Por lo tanto, en las familias de los parmetros individuales, los equilibrios que satisface la condicin necesaria (5.39b) ser en general satisfacen tambin (5.39c, d) y por lo tanto estar puntos SNB.

Examinemos ahora ms de cerca el sistema (5.40a), el que tiene una comisin negociadora para fi = 0. Como se ve en la figura. 5.11a, este sistema tiene dos puntos de equilibrio de J 0. El equilibrio a fi = 0 es un nodo silla similar a la que hemos analizado en la Fig. 5.1, pero con una direccin diferente de tiempo, es decir, las trayectorias para las condiciones iniciales negativos convergern hasta el punto x = 0 * equilibrio, mientras que las trayectorias con positiva condiciones iniciales x0 va a explotar en un tiempo finito

Figura 5.11 a) Condiciones suficientes para SNB; b) la violacin de (5.39d); c) la violacin de (5.39c)

Considere ahora los puntos de equilibrio para Ajuste con a> 0 los puntos de equilibrio son:

El Jacobiano de (5.40a) es:

Por lo tanto es un equilibrio inestable y es estable. Esto ilustra que para un sistema de primer orden:

en una bifurcacin silla-nodo dos puntos de equilibrio, uno estable y uno inestable, fundirse y desaparecer.

Desde otro punto de vista, si el parmetro JL es mayor que el valor de bifurcacin FDQ y disminuye lentamente, en el punto SNB dos equilibrios, uno estable y uno inestable, emerge de forma simultnea.

Esta propiedad se generaliza para sistemas multivariables de la siguiente manera:

en una bifurcacin silla-nodo dos puntos de equilibrio se funden y desaparecen (o emergen simultneamente). Uno de los puntos de equilibrio tiene un positivo real y el otro un verdadero valor propio negativo, tanto convertirse en cero en la bifurcacin.Si todos los dems valores propios del sistema multivariable (excepto el convertirse en cero en la bifurcacin) tienen partes reales negativas, uno de los equilibrios de coalescencia en el SNB es estable y el otro inestable.La direccin de las trayectorias se aproximan al equilibrio estable o salir de la inestable se muestra con flechas en la Fig. 5.11a. Trayectorias con condiciones iniciales convergern al punto de equilibrio estable Trayectorias con inicial condiciones va a explotar en un tiempo finito. Por lo tanto, la regin de la atraccin del punto de equilibrio estable es limitada por el equilibrio inestable (su variedad estable en el caso de sistemas multivariables). Tenga en cuenta que la regin de la atraccin se encoge como el SNB es acercado.Consideremos ahora el punto de equilibrio en el origen, que es un nodo de silla de montar. El colector estable de la silla-nodo es el eje x negativo, y su variedad inestable es el eje z positivo. Todo el eje x el colector de formas centro de la silla-nodo, que en este sistema de escalar es el conjunto de espacio de estado.Finalmente, puede ser verificada, ya sea analticamente, o por integracin numrica que para todas las trayectorias, cualquiera que sea la condicin inicial estallan en tiempo finito. No existen puntos de equilibrio en este caso.Como se mencion antes, en las familias individuales de los parmetros de las odas las condiciones necesarias (5.37,5.38) lo har en los puntos SNB rendimiento general. En el caso de mltiples parmetros, donde p es vector, los puntos de la de espacio de estado y el parmetro dimensional que cumplan las condiciones necesarias para una SNB forman una (k - l) colector-dimensional. Los puntos que violen el formulario condiciones suficientes (k - 2) sub-variedades -dimensionales acostado en este mltiple. Tenga en cuenta que cuando los parmetros de vectores se desplaza a lo largo de una curva dada, por ejemplo, cuando los parmetros k dependen de un escalar

el problema se reduce a un solo parmetro uno a los puntos que satisfacen las condiciones necesarias estn en bifurcaciones silla-nodo generales.Geomtricamente, en una SNB sealar el colector de puntos de equilibrio "pliegues" con respecto al espacio de parmetros, como la curva de la Fig. . 5.11a se pliega con respecto a la (i eje La proyeccin de los puntos de SNB en el espacio de parmetros k-dimensional es una hipersuperficie de dimensin k -. 1, que llamamos superficie bifurcacin La superficie bifurcacin forma un lmite de la regin de viabilidad [ VSZ91], es decir, la regin en el espacio de parmetros para los que de equilibrio existen puntos. Yendo a travs de una bifurcacin silla-nodo el nmero de puntos de proyeccin del colector de equilibrio en los cambios espacio de parmetros por dos. En la Fig. 5.1 la la regin de viabilidad es el negativo Eje, delimitada por el punto En sistemas multivariables, una bifurcacin silla-nodo es un equilibrio con un simple cero de valores propios satisfacer condiciones de transversalidad [Dob94]. El colector centro de la silla-nodo es una curva en el espacio de estados de dimensin n tangente a la derecha de la auto vector valor propio cero. El colector central se compone de un establo y una variedad inestable separados por el punto de equilibrio, como en Fig.5.4c.

5.2.3 Hopf bifurcacin

Hemos visto hasta ahora que una SNB se caracteriza por un valor propio cero y que la respuesta del sistema a una silla-nodo es monotnica. Ahora vamos a hablar de la aparicin de inestabilidad oscilatoria. Es bien sabido que un punto de equilibrio estable puede volverse inestable despus de una variacin de los parmetros que obliga a un par de valores propios complejos de cruzar el eje imaginario en el plano complejo. Este tipo de inestabilidad oscilatoria se asocia en los sistemas no lineales con la bifurcacin de Hopf (HB) mencionados en el inciso 5.2.1.

En una bifurcacin silla-nodo de la regin de la atraccin de un equilibrio estable se reduce debido a un equilibrio inestable se acerca y la estabilidad es finalmente perdi cuando los dos equilibrios funden y desaparecen. En una bifurcacin Hopf la estabilidad de un equilibrio se pierde a travs de su interaccin con un ciclo lmite. Hay dos tipos de Hopf bifurcacin dependiendo de la naturaleza de esta interaccin:

HB subcrtico: un ciclo lmite inestable, existente antes de la bifurcacin, se contrae y, finalmente, desaparece ya que se une con un punto de equilibrio estable en el Bifur-catin. Despus de la bifurcacin, el punto de equilibrio se convierte resultante inestable en oscilaciones crecientes;HB supercrtico: un ciclo lmite estable se genera en la bifurcacin, y un punto de equilibrio estable se vuelve inestable con el aumento de las oscilaciones de amplitud, que son finalmente atrados por el ciclo lmite estable.

La condicin necesaria para una bifurcacin Hopf es la existencia de un equilibrio con valores propios puramente imaginarios. Esta condicin no es tan fcil de establecer como condicin valor propio cero, que es simplemente la de un determinante de fuga. La mayora de los equilibrios con valores propios puramente imaginarios habr puntos de bifurcacin de Hopf, pero, al igual que el caso del BNS, pueden existir casos excepcionales, para las que la parte real de la pareja de valores propios crticos no cambia de signo despus de ir a cero: estos puntos son no puntos HB.

Figura 5.12a Subcriticai Hopf bifurcacin Figura 5.12b supercrtica HB

En la Fig. 5.12a, b los dos tipos de Hopf bifurcacin se ilustran grficamente. La lnea recta corresponde a un punto de equilibrio y la lnea curva representa la amplitud del ciclo lmite. Las lneas continuas corresponden a ciclos de equilibrios o limitar estables, mientras que las lneas discontinuas indican ciclos equilibrios o limitar inestables. En cada figura la abscisa es el valor del parmetro / , y \ x0 es el valor de bifurcacin. La ordenada representa la amplitud del ciclo lmite

En las Figs. 5.12a la amplitud de la ciclo lmite inestable se ve a disminuir como el parmetro de valor se aproxima a la bifurcacin. En el punto de bifurcacin del ciclo lmite desaparece y el punto de equilibrio se vuelve inestable. La regin de atraccin del equilibrio estable antes de la bifurcacin est delimitada por la variedad estable del ciclo lmite inestable. Trayectorias despus de la bifurcacin son sin lmites, con oscilaciones de amplitud creciente. A veces se denomina "dura prdida de estabilidad" [Arn86]. La bifurcacin se llama subcrtico, debido a que la rama de ciclos lmite que emanan en la bifurcacin se dirige hacia la izquierda, es decir, que existe para valores ms pequeos del parmetro.

La evolucin de la respuesta del sistema es muy diferente en el caso de la bifurcacin Hopf supercrtico se ilustra en la Fig. 5.12b. Antes de la bifurcacin no hay ciclo lmite que limita la regin de atraccin del equilibrio estable. Un ciclo lmite