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1Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
3- Filtrage numérique
• Généralités sur les filtres numériques et sur le filtrage
– Forme générale d’un filtre numérique
– Réponse en fréquence des systèmes discrets
– Spécification et méthodologie de calcul des filtres (numériques et analogiques)
– Classification des filtres
– Comparaison RIF-RII
• Structures des filtres numériques
– Structures non récursives
– Structures récursives
– Structures cascade, paralléle...
• Calcul des filtres RII
• Calcul des filtres RIF
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2Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
3-1 Généralités sur les filtres et sur le filtrage
• Forme générale d’un filtre numérique
G zB z
A z
b b z b Q z
a z a P z
bz z
p z
Q
P
ii
Q
ii
P
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( )
0 1
1 1
01
1
1
1
1
1
1
1
• Les coefficients a(i) et b(j) sont réels• Fonction de transfert G(z) à P pôles pi et Q zéros zi réels ou en paires complexes conjuguées• Réponse impulsionnelle g(k)
G z g g z g k z k( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1
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3Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Forme générale d’un filtre numérique
• FILTRE RIF: Si P=0, le filtre n’a que des zéros
G zB z
A zb b z b Q z
b z z
Q
ii
Q
( )( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1
0 1
1
1
1
• Les coefficients b(k) forment la réponse impulsionnelle
• La Réponse Impulsionnelle est de durée Finie FILTRE RIF
• Filtre à moyenne mobile, ou filtre MA (Moving Average).
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4Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Filtre RIF• ATTENTION G(z) a Q zéros et Q pôles
situés à l’origine z=0
• ATTENTION la forme de G(z) peut être trompeuse
• Exemple: Filtre moyenneur
g k
N k N
ailleurs( )
/ ,
1 0 1
0
G zN
z
z N
z
z z
N N
N( )( )
1 1
1
1 1
11 1
N zéros et 1 pôleN zéros, N-1 pôles enz=0, 1 pôle en z=1
z=1 est à la fois pôle et zéro
il reste N-1 zéros et N-1 pôles en z=0
G zN
z i
i
N
( )
1
0
1
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5Traitement du Sigal - 3TC
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Forme générale des filtres numérique
• FILTRE RII: Si G(z) a des pôles (différents de z=0)
– La Réponse Impulsionnelle est de durée Infinie
– Un pôle correspond à une réponse impulsionnelle exponentielle
G zaz
a z
g k a pour k
i i
i
k
( )
( ) ,
1
1
0
10
Pôle en z=aRemarque: série convergente pour |a|<1
k
g(k)
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6Traitement du Sigal - 3TC
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Filtres RII
• Si le filtre RII n’a que des pôles (et des zéros en z=0)
– Filtre AR (Auto-Régréssif)
– Filtre tout-pôles, (All pole filter)
• Si le filtre RII a des pôles et des zéros différents de z=0
G zB z
A z
b
a z a P z
bp z
P
ii
P
( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )( )
0
1 1
01
1
1
1
1
G zB z
A z
b b z b Q z
a z a P z
Q
P( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1
1 1
1
1
Modèle ARMA d’ordre P et Q
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7Traitement du Sigal - 3TC
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Forme générale des filtres numériques
• En règle générale
G zB z
A z
b b z b Q z
a z a P z
Q
P( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1
1 1
1
1
posséde Q zéros et P pôles et• Q-P pôles en z=0 si Q>P• P-Q zéros en z=0 si P>Q
Exemples• 1) Voir filtre moyenneur• 2) Filtre AR d’ordre 1
G zaz
a zz
z a
g k a pour k
i i
i
k
( )
( ) ,
1
1
0
10
Pôle en z=aP=1, Q=0 donc 1 zéro en z=0
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8Traitement du Sigal - 3TC
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Forme générale des filtres numériques
• Filtre stable si les pôles sont à l’intérieur du cercle unité dans le plan des z
1
x
xx
o
o
3 pôles z = -0.5 + 0.5 i , -0.5-0.5i , 0.52 zéros z = -1-i , -1+i
• Si les zéros sont aussi à l’intérieur du cercle unité, le filtre est à phase minimale
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9Traitement du Sigal - 3TC
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Réponse en fréquence des filtres numériques
• Evaluation de G(z) sur le cercle unité
• Evaluation de G(z)pour z=exp(j2f)
f variant de 0 à 1
• Evaluation de G(z) pour z=exp(j2fTe)
f variant de 0 à Fe=1/Te , fréquence d’échantillonnage réelle
• Transformée de Fourier discrète de la réponse impulsionnelle
• Représentation en module et en phase
• Périodique en fréquence (période 1 ou Fe)
• Réponse impulsionnelle réelle
Module pair, phase impaire
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10Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Réponse en fréquence des filtres numériques
• Exemple
H zaz
a z
rép impuls h k a k
H fae
h k e
H f a eae
k k
k
k
j fj fk
k
k j fk
kj f
( )
. . ( ) ,
( ) ( )
( )
1
1
0
1
1
1
1
10
22
2
02
H fa a f
( )cos( )
1
1 2 22
Arg H f ArcTana f
a f( ( )) (
sin( )
cos( ))
2
1 2
TFD
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11Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Réponse en fréquence des filtres numériques
• Exemple (suite)
pour a=0,5
Module |H(f)|
Pair, période 1
Phase
Impaire, période 1
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12Traitement du Sigal - 3TC
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Réponse en fréquence des filtres numériques
• Exemple
Filtre de Butterworth passe-bas ordre 2
Fréquence de coupure 0.25 (c.à.d 0.25 Fe)
MATLAB: > [b,a]=butter(2,0.5) (2 = Fe)
b = 0.2929 0.5858 0.2929
a = 1.0000 0.0000 0.1716
H zz z
z( )
. . .
.
0 2929 0 5858 0 2929
1 01716
1 2
2
•Pôles et zéros ( > [z,p,k]=butter(2,0.5))z = -1.0000 , -1.0000 p = 0.4142i , - 0.4142i
•Réponse en fréquence z = exp(j2f)f =[0,1]
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13Traitement du Sigal - 3TC
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Réponse en fréquence des filtres numériques
• Exemple (suite)
Module Phase
o(2)
x
x
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14Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Méthodologie de calcul des filtres
• Spécification (Gabarit)
– Module de la réponse en fréquence
– Phase, temps de propagation de groupe
– Réponse impulsionnelle ou indicielle
Entrée Sortie
Filtre
Application
Spécification
CalculApproximationRéalisationTest
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15Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
• Approximation
Spécifications H(p), H(z)
Trouver une fonction de transfert réalisable dont la réponse (en fréquence, en temps et/ou en phase) respecte la spécification
– Fonctions bien connues (tables, abaques)
• Butterworth, Tchebysheff, Bessel
Legendre, Cauer (filtres elliptiques)...
– Méthodes directes
• Manuelles
• Par ordinateur
– Méthodes itératives (par ordinateur!)
• Approximations optimales au sens d’un certain critère
Méthodologie de calcul des filtres
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16Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Méthodologie de calcul des filtres
• Synthèse (réalisation)
Choisir la structure, calculer les composants, format des calculs et des coefficients (nb de bits)...
– Analogique
• Filtres passifs
• Filtres actifs (Sallen&Key, NIC...)
– Numérique
• Circuits numériques spécifiques
• Programmation (P, DSP...)
• FIR, IIR, récursif, non récursif, en cascade, en parallèle, en treillis...
– Mixte
• Capacités commutées
• Approximation et synthèse sont parfois intimement liées.
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17Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Méthodologie de calcul des filtres
• Test
La réalisation ne respecte pas toujours l’approximation et les spécifications
– Réglage (analogique, coûteux)
– Retour en arrière
• Modification des spécification (!)
• Autre approximation
• Choix de la structure
• Choix des composants (précision).
• Les spécifications ne doivent pas être trop rigoureuses, ou contradictoires.
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18Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Spécification des filtres• Spécification par gabarit
Atténuation(dB)
Fréquence(kHz8 100
60
40
3
15
Bande passante Bande coupée
Bande de transition
• Module de la réponse en fréquence• Atténuation (inverse du gain)• Filtre réel, donc module pair• Simplification (ex: 60dB entre 10 et 15 kHz)• Bande de transition INDISPENSABLE
Mais: Ordre du filtre, complexité de la réalisation, temps de calcul...
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19Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Classification des filtres
• Classification fréquentielle
– Passe-bas
• Atténuation des hautes fréquences
– Passe-haut
• Atténuation des basses fréquences
– Passe-bande
• Atténuation des hautes et des basses fréquences
– Coupe-bande ou réjecteur
• Atténuation d’une bande de fréquences intermédiaires
– Autres : Dérivateur, intégrateur, réseau déphaseur (passe-tout)
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20Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Classification des filtres
• Sélectivité
– Passe-bas
kf
fp
a
1
ffafp
A(dB)
– Passe-haut
kf
fa
p
1
ffa fp
A(dB)
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21Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Classification des filtres
– Passe-bande
kf f
f f
Bf f
f
f f f f f
p p
a a
p p
p p a a
2 1
2 1
2 1
0
02
2 1 2 1
1
fa1 fp1 fp2 fa2
– coupe-bande
kf f
f f
Bf f
f
f f f f f
a a
p p
p p
p p a a
2 1
2 1
2 1
0
02
2 1 2 1
1
fp1 fa1 fa2 fp2
f0
f0
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22Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Classification des filtres
• Attention: cas des filtres numériques
40
Atténuation(dB)
100
60
3
15
40
Fréquence(kHz)FeFe/2
• Le gabarit est implicitement périodisé• La bande «intéressante» est [0, Fe/2]• Fe --------> 1
Fe/2 -------> 0,5f ----------> f/Fe
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23Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Classification des filtres
pour les filtres numériques
• Classification d’après la réponse impulsionnelle
– RIF (FIR) Réponse Impulsionnelle finie
– RII (IIR) Réponse impulsionnelle infinie
• Classification méthodologique
– Implantation non récursive (RIF)
y(n)=a0x(n)+a1x(n-1)+...+akx(n-k)
– Implantation récursive (RIF et RII)
y(k)= a0x(k)+a1x(k-1)+...+anx(k-n) -
b1y(k-1)-...-bmy(k-m)
– Implantation par Tr. de Fourier
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24Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Comparaison des filtres RIF et RII
Caractéristique Filtre FIR Filtre IIR
Fonction detransfert
ne contient quedes zéros
contient despôles et des zéros
Réponse enfréquence
Aucunerestriction
Les méthode sontplutôt limitéesaux filtres passe-bas passe-haut,passe-bande etréjecteur.
Réponse enphase
Parfaitementlinéaire sinécessaire;déphaseurs pursirréalisables
Approximationd'une phaselinéairedéphaseursréalisables
Stabilité Toujours stables Les pôles doiventêtre à l'intérieurdu cercle unité
Complexité de lastructure
Proportionnelle àla longueur de laréponseimpulsionnelle
Plus faible qu'unfiltre FIR pour lamême sélectivité.
Sensibilité à laquantificationdes coefficientset aux erreursd'arrondi
Faible, sauf dansle cas d'uneréalisationrécursive
Les pôlespeuvent passer àl'extérieur ducercle unité.Apparition de
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25Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
3-2 Structures de calcul des filtres numériques
• Fonction de transfert en Z
Equations de réalisation
Filtre RIF
y n b i x n i
b x n b x n b Q x n Qi
Q
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0 1 1
Filtre RII
y n b x n b x n b Q x n Q
a y n a P y n P
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
1 1
G zY z
X z
b b z b Q z
a z a P z
Y z a Y z z a P Y z z
b X z b X z z b Q X z z
Q
P
P
Q
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )
0 1
1 1
1
0 1
1
1
1
1
Par transformée en Z inverse, on obtient:
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26Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Structure des filtres numériques
• Calcul des équations précédentes
– Par programme (C, Matlab, langage machine sur P, DSP...)
– Avec une électronique spécifique
Additionneurs, multiplieurs,
registres (mémoires).
a
y(n)
x(n)+y(n)x(n)
x(n) x(n-1)T
x(n) a x(n)
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27Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Exemple de réalisation programmée «simpliste» d’un filtre numérique
/* b(0) + b(1) z -1 + b(2) z-2
H(z) = ------------------------------
1 + a(1) z -1 + a(2) z -2 */
int x[3],y[2], xin,yout=0;
float b[3], a[2];
/* xin contient l'echantillon d'entree */
x[0]=xin
/* calcul du numérateur */
for(i=0;i<3;i++) yout=yout+x[i]*b[i];
/* calcul du dénominateur , partie recursive du filtre */
for(i=0;i<2;i++) yout=yout-y[i]*a[i];
/* decalage du tampon d'entrée */
for(i=0;i<2;i++) x[i+1]=x[i];
/* decalage du tampon de sortie */
for(i=0;i<1;i++) y[i+1]=y[i];
y[0]=yout;
/* sortie de yout */
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28Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Structure des filtres numériques
• Structure non récursive ou
filtre transverse
x(n) x(n-1) x(n-Q)
b(0) b(1) b(2) b(Q-1) b(Q)
y(n)
T T T
y n b x n b x n b Q x n Q( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1
• Q mémoires (tampon, tableau à Q) élements)• Q multiplieurs• Q additionneurs
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29Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Structure des filtres numériques
• Structure récursive
forme directe de type 1
x(n) x(n-1) x(n-Q)
b(0) b(1) b(2) b(Q-1) b(Q)
T T T
-a(P) -a(P-1) -a(P-2) -a(1)
y(n)
T T T
y n b x n b x n b Q x n Q
a y n a P y n P
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1
1 1
• Q+P mémoires• Q+P multiplieurs• Q+P additionneurs
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30Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Structure des filtres numériques
• Structure récursive
forme canonique directe de type 2
y(n)
x(n)
b(Q) b(Q-1) b(1) b(0)
-a(P) -a(P-1) -a(P-2) -a(1)
T T T
• Max(P,Q) mémoires• P+Q multiplieurs• P+Q additionneurs• Variable intermédiaire mémorisée
Variable d’état ?
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31Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Structure des filtres numériques
• Structure cascade
– Décomposition en pôles et zéros
G z br z z z z z
s z p z p z
ii
Q
i ii
Q
ii
P
i ii
P( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )
*
*
0
1 1 1
1 1 1
1
1
11 1
1
2
1
1
11 1
1
2
Regroupement par paires de pôles et de zéros
G zb b z b z
a z a zk k k
k kk
N
( )
0 1
12
2
11
22
1 1
Cellule2nd ordre
Cellule2nd ordre
Cellule2nd ordre
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32Traitement du Sigal - 3TC
Transparents C. Odet, Prof. GE
Structure des filtres numériques
• Structure paralléle
– Décomposition en fraction partielle
G z C zA
c z
B e z
d z d z
C ze e z
a z a z
kk
k
N
k
kk
Nk k
k kk
N
kk
k
N
ok k
k kk
N
p
p s
( )( )
( )( )*
01
1
1
1 11
0
11
11
22
1
1
1
1 1
1
1 2
Cellule 2nd ordre
Cellule 2nd ordre
Retard etMultiplication
x[n] y[n]