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Traitement du signal et Applicationscours 9
Master Technologies et Handicaps1ère année
Philippe Foucher
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Traitement du signal sous Scilab� Scilab : Programmer
en utilisant les fonctions.
� SIP Toolboxes: Boite à outils de traitement d’images qui regroupe des fonctions spécifiques
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Étude du code et des fonctions
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Fonctions pour récupérer des données.� Image:
Image = imread(‘E:\repertoire1\nom.jpg’)
nom.jpg Image
Imshow(Image); � affichage de l’imageIm2gray(Image); � change une image couleur en niveaux de gris
Imagegris
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� Différences entre:Image = imread(‘E:\repertoire1\nom.jpg’); Image = imread(‘E:\repertoire1\nom.jpg’)
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Quelques fonctions graphiques� xdel([0:5]) efface les fenêtres graphiques de 0:5.� xset (‘window’, n) crée la fenêtre graphique n.� plot2d (x,y) affiche un graphique avec les
données x en abscisse et y en ordonnée. x et y doivent être de même taille.� on peut directement utiliser plot2d(y) et un graphique affiche le vecteur y.
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Ajout de bruit� On peut ajouter du bruit aux images.
Image_bruit=imnoise(image_gris,'gaussian',0,0.02);
Salt & pepper:Ajout de bruit selon une certaine densité
gaussien:Densité gaussienne
Speckle:bruit multiplicatif
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2 sortes de bruit� Bruit additif (le plus souvent), noté n(x)
g(x) = f(x) + n(x) en général, gaussien: probabilité que la valeur s’écarte de la moyenne
� Bruit multiplicatif, noté m(x)g(x) = f(x)* m(x)Exemple: speckle
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Problème.� Image = signal en deux dimensions.� Dans le cours, plutôt des signaux 1D.� Extraction d’un signal 1D
Je prends une ligne du de l’image
Signal=Imagegris (38,:)
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� Signal 1D(sans bruit)
0 20 40 60 80 100 120 1400.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
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� Signal 1D(Avec bruit)
0 20 40 60 80 100 120 140-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
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Enlever le bruit� On peut enlever le bruit en utilisant la
Transformée de Fourier.� Permet d’enlever les hautes fréquences� Problème: on lisse souvent le signal.
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0 20 40 60 80 100 120 140-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2� Signal lisséaprès filtrage
par TF
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� fourier_Signal=fft(Signal);� FFT: Fast Fourier Transform: algorithme
rapide de Transformée de Fourier
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� FFT d’un signal 1D (non bruité)
0 20 40 60 80 100 120 140-10
0
10
20
30
40
50
60
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� FFT d’un signal 1D (bruité)
0 20 40 60 80 100 120 140-10
0
10
20
30
40
50
60
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� FFT d’un signal 1D (bruité)
0 20 40 60 80 100 120 140-10
0
10
20
30
40
50
60
Fréquences facteur de bruit. Donc on enlève
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� FFT d’un signal 1D (les hautes fréquence sont enlevées)
0 20 40 60 80 100 120 140-10
0
10
20
30
40
50
60
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� Ce type de filtre s’appelle passe-bas, il laisse passer les basses fréquences.
� En fait les filtres sont basées sur des techniques appelées produits de convolution.
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De façon mathématique
�∞
=
+=0
]2
sin2
cos[)(n
nn Tnt
bTnt
atfππ
� Signal périodique (période T) = somme pondérée de signaux sinusoïdaux
1/T : fréquence fondamentale (on utilise souvent �=2�/T)n/T: harmoniquean et bn coefficients pondérateurs de Fourier
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Exemples (1)
Somme pondérée de deux signaux de fréquence f et 3f (H3) � signal résultant (b): addition point par point des deux courbes de (a).
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Exemples (2)
� Meilleure approximation d’un Signal carré f(t): décomposition de la façons suivante
)23sin(231
...)5sin(51
)4cos(0)3sin(31
)2cos(0)sin()( tttttttf ϖϖϖϖϖϖ ++++++=
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Analyse spectrale (1)
� Représentation des amplitudes des différentes harmoniques (n=1,3,5,7…23) d’un signal �analyse spectrale.
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Remarque (1)� les séries de Fourier sont une décomposition en
cosinus et sinus, on utilise souvent la notation complexe:
� Avec Fn=(an+ibn)/2 et F-n=(an-ibn)/2� eix = cos x + i sin x
�∞
−∞=
=n
n TFtf )
int2exp()(
π
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Remarque (2)
� A partir de l’équation précédente, les coefficients de Fourier se calculent de la façon suivante:
dtT
tfT
FT
Tn )
int2exp()(
1 2/
2/
π−= �−
Le nombre de descripteurs de Fourier calculés ainsi est en théorie infini
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Interprétation
� Plus n est grand, plus les fonctions sinusoïdales varient rapidement.� une fonction lisse (c.a.d qui ne varient pas beaucoup) aura des coefficients an et bn qui prendront rapidement (hautes fréquences) des valeurs faibles� une fonction très perturbée et très changeante (ou bruitée) auront des composantes importantes dans les hautes fréquences.
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Transformée de Fourier (1)
� Souvent fonctions non périodiques et non bornées, la transformée de Fourier permet de généraliser le concept de séries de Fourier à ce type de fonction:
dttitfF �∞
∞−−= )2exp()()( υπυ
On peut noter le changement de variable � = n/T, ce qui explique la disparition du facteur 1/T avant la somme.
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Interprétation
� De façon peu rigoureuse, on pourrait considérer un signal analogique non périodique comme un signal dont la période tendrait vers l’infini, la fréquence tendrait alors vers 0 (dν)
� et on obtient un spectre de Fourier continu appelé spectre de bande (et non un spectre de raies):
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Exemple de spectre de bande
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� En pratique, signal non borné: très rare !on définit une fenêtre d’application [-T/2,T/2]
� Échantillonnage à une fréquence f telle que T=K/f
Vers la transformée de Fourier discrète
�−
−=
−=1)2/(
2/
)2
exp(1 K
KkKn K
inkf
KF
π
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Remarque � Le signal numérique est décomposé en K
segments. Le nombre total de coefficients de Fourier sera K.
� En traitement de signal, on utilise la FFT (Fast Fourier Transform) qui, sous certaines conditions, permet d’accélérer le calcul
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TF inverse� A partir d’un signal fréquentiel, on retrouve
le signal initial (temporel ou spatial) par la transformée de Fourier inverse.
� On parle souvent d’espace dual (temps/fréquence)
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0 20 40 60 80 100 120 140-10
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
ifft
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� Des questions ?