tranf fourier
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Curso de Introducción a las telecomunicaciones
Transformada de Fourier
Representación exponencial de señales no periódicas-TF
• Dada la señal no periódica g(t)
)()(lim tgtg pT =∞→La serie de Fourier quen representa a gp(t) tambien representará a g(t), en el límite.
∑= tjnnp eGtg 0)( ω dtetg
TG tjn
T
T
pn0)(
1 2/
2/
ω−
−∫=
ω ω∆ → ⇒∞ →0 0 T
ωπ
ωπ
∆== 22
00T
Continuación.........
Vemos que)()( 0
2/
2/
0 ωω ∆== −
−∫ nGdtetgGT tjnT
T
pn
tjnn
np eTnG
tg ωω ∆∞=
−∞=∑ ∆=0
)()(
tjnn
np enG
tg ωωπ
ω ∆∞=
−∞=∑ ∆∆=2
)()(
ωωπ
ω ∆∆= ∆∑ tjnp enGtg )(
21
)(
Cont....
• Aplicando limites
ωωπ
ωω ∆∆= ∆
→∆ ∑ tjnenGtg )(21
lim)( 0
)(lim)( tgtg pT ∞→=
ωωπ
ω deGtg tj∫∞
∞−
= )(21
)(
dtetgnG tjnT
T
pTωω ∆−
−∞→ ∫=∆ )(lim)(
2/
2/
dtetgG tjn∫∞
∞−
−= ωω )()(
Transf. Inversa de Fourier
Transf. Directa de Fourier
Cont............
• La TF es una función compleja por lo tanto tiene magnitud y fase.
• La Magnitud es una función par de
• La Fase es una función impar de
• EXISTENCIA DE LA TRANSF. FOURIER
)(ωG
|)(| ωG ω)(ωθ ω
∫∞
∞−
≤ dttgG |)(|)(ωSi el 2do término es finito entonces la existencia de la TF queda garantizada.
finitoG =)(ω)()]([ ωGtg =ℑ
)()( ωGtg ↔
Ejemplos
• Determine la TF de )()( tetg atµ−=
ωµω ωω
jadtedteteG tjatjat
+=== ∫∫
∞+−−
∞
∞−
− 1)()(
0
)(
22
1|)(|
ωω
+=a
G
)()(a
arctgωωθ −=
CONT....Ejemplos
• Determinar la TF de la función compuerta:
• En general
∏
=
2/1||.....02/1||.....1
)(
tt
t
dtet tj∫∏
−
−=ℑ2/
2/
)]([τ
τ
ω
τ
)2/(sin2/
)2/()( ωττ
ωτωττ
τc
sent =↔∏
t
τ/2-τ/2
1 |Π(t)|
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Si τ=1
• Ejemplos:
Cont....T.F.
)2/(sin)( ωτττ ct =∏
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4τ=2
τ=4
Cont...Ejemplos
• Hallar la TF de la función signum [sgn(t)]:
<−>=
0...10.....1
)sgn(tt
t )]()(.[lim)sgn( 0 tetet atata −−= −
→ µµ
−↔ −
∞−
−∞
−→ ∫∫ dteedteet tjattjata
ωω0
0
0lim)sgn(
ωωω jjajaat
2110
lim)sgn( =
−−
+→↔
Función Impulso
• El impulso se define 1)( =∫∞
∞−
dttδ 0)( =tδ 0≠∀t
)0(|)()()( 0 ϕϕδϕ == =
∞
∞−∫ ttdttt
)()()( 1221 ttdttttt −=−−∫∞
∞−
ϕδϕ
∫∞
∞−
=− )()()( 00 tdtttt ϕδϕ
1|)()( 0 ==↔ =∞−
−−∫ ttjtj edtett ωωδδ
Cont....función impulso
• si ωπ
δ ω det tj∫∞
∞−
= 12
1)( x=ω
dxetdxet jtxjtx ∫∫∞
∞−
−∞
∞−
− =⇒= )(221
)( πδπ
δ
)(2.11 ωπδω =↔ ∫∞
∞−
− dte tj
∫∞
∞−
−= dte tjωωπδ )(2
Función escalón
• Sabemos: ωjt
2)sgn( ↔
)(2)sgn(1 tt µ=+
ωωπδµ
jt
1)()( +↔
)(tµ
Propiedades de la transformada de fourier
• SIMETRÍA )()( ωGtg ↔
)(2)( ωπ −↔ gtG
Cont...Propiedades TF
• ESCALAR )()( ωGtg ↔
)(||
1)(
aG
aatg
ω↔
expansion compresion
EJERCICIOS
• Demostrar que
• CORRIMIENTO EN EL TIEMPO
)()( ω−↔− Gtg
)()( ωGtg ↔
0)()( 0tjeGttg ωω −↔−
0)()( 0tjeGttg ωω↔+
Cont...Propiedades TF
• Corrimiento en frecuencia
• Demostrar
)()( ωGtg ↔
)()( 00 ωωω −↔ Getg tj
[ ]000 ()(21
cos)( ωωωωω −++↔ GGttg
[ ]000 ()(2
)( ωωωωω −−+↔ GGj
tsentg
ωω 000 cos)(2)()( tGttgttg ↔++−
TEOREMA DE LA MODULACIÓN
Ejemplo de corrimiento en frecuencia
• APLICANDO EL TEOREMA DE LA MODULACIÓN
TF de la función coseno y seno
cos ω0t
senω0t
[ ])()( 00 ωωδωωδπ ++−↔
[ ])()( 00 ωωδωωδπ −−+↔ j
TRANSFORMADA DE FOURIER DE UNA SEÑAL PERIÓDICA
• Toda señal periódica:• Entonces
• Hallar la TF de una secuencia de tren de impulsos unitarios
tjn
nneGtg 0)( ω∑
∞
−∞=
=
)(2)( 0ωωδπ nGtg n −↔ ∑∞
∞−
La TF es una secuencia de impulsos en ±nw0.
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−=n
tjn
n
eT
nTttg 01
)()( 0ωδ
∑ ∑∑∞
− ∞=
∞
− ∞=
∞
− ∞=
−=−↔−n nn
nnT
nTt )()(2
)( 0000
0 ωωδωωωδπδ
Cont......Propiedades de la TF
• DERIVACIÓN
)()( ωGtg ↔
)()( ωωGj
dttdg ↔
)()( ωω Gjdtgd nn
n
↔
)]()()()([)(2
2
btatatbtabA
dtgd −+−−+−+
−= δδδδ
−
−= 2
coscos)(
2)(
ωωωω ba
abA
G
A/(b-a)
Cont......TF
• DERIVACIÓN CON RESPECTO A LA FRECUENCIA
• CONVOLUCIÓN.- La integral de convolución de 2 señales se representa por
)()()()( ωω
ω Gdd
tjtgGtg ↔−⇒↔
)(),( 21 tgtg
∫∞
∞−−= dxxtgxgtgtg )()()(*)( 2121
)(*)()(*)( 1221 tgtgtgtg =
Cont.....convolución
• La propiedad de convolución establece:
• Si y
• Convolución en el tiempo
• Convolución en frecuencia
)()( 11 ωGtg ↔ )()( 22 ωGtg ↔
)()()(*)( 2121 ωω GGtgtg ↔
)(*)(21
)()( 2121 ωωπ
GGtgtg ↔
CONVOLUCIÓN GRAFICA
−−
),0.....(...0
),0........(.1)()( 21 tfuera
taextgxg
at
∫∫ >−==−= −−∞
∞−
t atat tedxeadxxtgxgtgtg02121 0...1)()()(*)(
CONVOLUCIÓN CON LA FUNCIÓN IMPULSO
• Determine
)()()()(*)( tgdxxtxgttg =−= ∫∞
∞−δδ
)(*)( ttg δ
)()(*)( ωδ Gttg ↔
)()(*)( TtgTttg −=−δ
)()(*)( 2121 tttgttttg −−=−− δ
Cont.....Propiedades TF
• Convolucionar )(*)( 21 ωω GG
)]()([*)]2
()2
([)(*)( 0000
21 ωωδωωδωωωωωω −++−∆++∆= Kaa
AGG
)]2/
2([)]
2/([2)]
2/
2([ 00
aAK
aAK
aAK
ωωωωω −∆+∆++∆=
Trasmisión de una señal atraves de un canal
• Un SLIT tiene una respuesta de impulso unitario h(t).
• )(*)()( thtgty =
)()()( ωωω HGY =[ ])()()( 1 ωω HGty −ℑ=
Un SLIT actúa como un filtro que cambia el espectro de G(w) a
G(w)H(w).
Correlación en tiempo y energía
• La correlación de dos señales y
• La función de auto correlación se define:
• Teor. Parseval
)(1 tg )(2 tg
dxxgxgdttgtggg )()()()()( 212121−−=+= ∫∫
∞
∞−
∞
∞−τττψ
)(*)()( 2121τττψ gggg −=
dttgtgg )()()( ττψ +=∫∞
∞−
)(*)()( τττψ ggg −=
)()()( 2121ωωτψ GGgg ↔
2)()()()( ωωωτψ GGGg =−↔
ωωπ
dGdttg2
2 )(2
1)( ∫∫
∞
∞−
∞
∞−=
Pares Básicos de Transformadas de Fourier
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Pares Básicos de Transformadas de Fourier
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