transferts thermiques -...

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Cohard 14 Cours Transferts Thermiques 1/30

Aucun sujet n’a des rapports plus étendus avec les progrès de l’industrie et ceux des sciences naturelles ; car l’action de la chaleur est toujours présente, elle pénètre tous les corps et les espaces, elle influe sur les procédés des arts, et concourt à tous les

phénomènes de l’univers »

Joseph Fourier, « Théorie Analytique de la Chaleur », 1822

I- INTRODUCTION ................................................................................................................. 3

1. Consommation énergétique ........................................................................................ 3

2. La RT2000 ..................................................................................................................... 4

3. Objectifs du cours........................................................................................................ 5

II- QUELQUES DEFINITIONS DE THERMIQUE .................................................................... 5

1. Les grandeurs thermiques .......................................................................................... 5 1.1. Introduction ............................................................................................................. 5 1.2. La température........................................................................................................ 6 1.3. Bases thermodynamiques....................................................................................... 6 1.4. Chaleur sensible ..................................................................................................... 7 1.5. Chaleur latente........................................................................................................ 7

2. Les modes de transmission de la chaleur ................................................................. 7 2.1. Conduction .............................................................................................................. 8 2.2. Convection .............................................................................................................. 8 2.3. Rayonnement.......................................................................................................... 8

III- CONDUCTION THERMIQUE.............................................................................................. 9

1. REGIME PERMANENT : ............................................................................................... 9 1.1. Loi de Fourier : ........................................................................................................ 9 1.2. Conductivité thermique des matériaux .................................................................... 9 1.3. Généralisation à 3D .............................................................................................. 11

2. REGIME TRANSITOIRE :............................................................................................ 13 2.1. Bilan énergétique : ................................................................................................ 13 2.2. Diffusivité thermique :............................................................................................ 14

3. ANALOGIE ELECTRIQUE : ........................................................................................ 12 3.1. Résistance thermique :.......................................................................................... 12 3.2. Capacité thermique : ............................................................................................. 13 3.3. Symboles : ............................................................................................................ 13

Transferts Thermiques

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IV- CONVECTION THERMIQUE ............................................................................................ 14

1. Introduction ................................................................................................................ 14

2. Convection naturelle.................................................................................................. 15 2.1. Analyse dimensionnelle......................................................................................... 15 2.2. Forme modifiée de la loi de Fourier - le nombre de Nusselt :................................ 18 2.3. Convection en espace limité (confiné)................................................................... 20

3. Convection forcée ...................................................................................................... 20 3.1. Analyse dimensionnelle......................................................................................... 20 3.2. Ecoulement forcé interne ...................................................................................... 21 3.3. Ecoulement forcé externe ..................................................................................... 21

V- TRANSFERT THERMIQUE PAR RAYONNEMENT......................................................... 24

1. Généralités.................................................................................................................. 24 1.1. Rayonnement électromagnétique ......................................................................... 24

2. Quelques définitions :................................................................................................ 24 2.1. Notion d'angle solide : ........................................................................................... 24 2.2. Energie rayonnante Q ........................................................................................... 25 2.3. Flux énergétique : .............................................................................................. 25 2.4. Intensité énergétique :......................................................................................... 25 2.5. Radiance E :.......................................................................................................... 25 2.6. Notion de spectre .................................................................................................. 25

3. Interaction rayonnement – matière........................................................................... 26

4. Rayonnement électromagnétique et température ................................................... 28 4.1. Corps noir :............................................................................................................ 28

5. Lois fondamentales du rayonnement....................................................................... 28 5.1. Loi de Planck :....................................................................................................... 29 5.2. Loi de Stefan-Boltzmann : ..................................................................................... 29 5.3. Loi de Wien : ......................................................................................................... 29

6. Transferts par rayonnement entre surface .............................................................. 30 6.1. Entre corps noirs : ................................................................................................. 30 6.2. Si une seule des surfaces est noire : .................................................................... 30 6.3. Entre corps gris : ................................................................................................... 30

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I- INTRODUCTION

1. Consommation énergétique

A la question « pourquoi étudier la

thermique en génie civil » vous répondrez certainement « pour savoir comment chauffer ou refroidir un bâtiment » ce qui est plutôt du ressort du génie climatique. Toutefois si on prend un peu de recul sur le problème du chauffage et que l’on regarde l’aspect consommation d’énergie au niveau national, on remarque que notre petit confort coûte, pour la France, la bagatelle de 50 Milliards d’euros courants (Valeur de 2009) pour un total consommé de 170 Millions de tonnes équivalent pétrole en 2010 (1 tep = 41,86 GJ). Plus de 40% de cette consommation est brûlée par le secteur résidentiel et tertiaire, c’est à dire pour le chauffage et la climatisation de notre habitât. Dans un contexte où l’énergie à un coût financier mais aussi environnemental important, la réduction de cette consommation est un enjeu primordial pour la France et, de manière générale, pour tous les états. Tout les secteurs sont évidemment concernés (transports, industrie, habitât, …). En particulier, pour le secteur résidentiel et tertiaire il est bon de se pencher sur tous les éléments des bâtiments qui, mieux conçus, pourraient amener des réductions de consommation.

D’autre part le prix du pétrole est très fluctuant (du simple au double sur les dix dernières années) et induit des variations du même ordre pour la facture globale. On comprend donc à la vue de ces graphiques, la tendance du remplacement des énergies fossiles (pétrole, charbon) par l’électricité dans le secteur résidentiel.

Les préoccupations énergétiques de la France ne sont pas nouvelles. Les premières

réactions ont fait suite au 1er choc pétrolier de 1972 avec les fameux slogans « chasse au Gaspi », « on a pas de pétrole mais on a des idées », … mais aussi avec la mise en place d’un programme nucléaire pour l’indépendance énergétique et la mise en place de réglementation pour faire des économies d’énergie.

Après la mise en place entre 1974 et 1988 de différents labels et méthodes de calcul, un

premier bilan est effectué et une première harmonisation de la réglementation est proposée : c’est la RT89. Cette réglementation porte directement sur la consommation par la mise en place d’un coefficient C. Pour chaque bâtiment neuf, ce coefficient doit être inférieur à un coefficient

Consommation énergétique nationale par secteur

Facture énergétique par énergie

Facture énergétique par énergie pour le secteur résidentiel/tertiaire

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de référence Cref. Cela a eu des conséquences importantes sur les matériaux d’isolation et sur les installations de chauffage. L’évolution de cette réglementation se poursuit encore aujourd’hui avec la RT2005 et la RT2012. Plus proche des processus physiques, ces réglementations visent à optimiser le comportement énergétique des bâtiments. Elles prennent en compte les apports solaires, la ventilation, le confort d’hiver et d’été .... Ces réglementations ont permis pour le secteur résidentiel et tertiaire de faire progresser de manière substantielle les économies d’énergie (voir graphe ci-contre). Depuis 2005 la consommation par habitant pour le secteur résidentiel a été réduite de ~6%.

2. La RT2000-RT2012

En 2000, une nouvelle étape a été franchie avec une refonte de la réglementation, la

RT2000. Cette réglementation continu d’évoluer (RT2012) pour répondre à de nouveaux enjeux. :

Le premier de ces enjeux est international. Les Accords de Rio et de Kyoto fixent des objectifs de limitation des émissions de gaz à effet de serre. La France a notamment décidé de réduire la consommation d’énergie des bâtiments qui contribue, pour plus du quart, à la production des gaz à effet de serre (gaz carbonique). Le programme national de lutte contre le changement climatique (arrêté par le Premier Ministre en janvier 2000) prévoit de renforcer tous les cinq ans les exigences de la réglementation thermique des bâtiments neufs à compter de juin 2001.

Le deuxième enjeu est social. Toutes les solutions proposées dans le cadre de la

RT2000 doivent satisfaire des exigences minimales de manière à ce que chacun puisse trouver un logement correspondant à ses capacités financières. le ministère de l’Equipement, des Transports et du Logement reste attentif à la maîtrise du coût global des logements, charges financières et d’exploitations comprises. Les préoccupations actuelles d’économie d’énergie intègrent elles aussi cet aspectLe troisième enjeu est la compétitivité des entreprises Françaises sur le marché européen. Depuis la réglementation thermique de 1988, les travaux de normalisation européenne ont profondément modifié les méthodes de caractérisation des produits et de leurs performances. La nouvelle réglementation anticipe les normes en préparation. De plus, avec l’ouverture des frontières à la libre circulation des produits et des services, il devient impératif de se préoccuper de la compétitivité de l’ingénierie, des techniques et des produits français sur les marchés à l’exportation. Enfin la RT2012 qui propose des solutions clef en main permet parallèlement et encourage le développement de nouvelle technologie.

Le quatrième enjeu est la simplification pour favoriser l’application de la

réglementation et l’innovation. La simplification de la réglementation concourt à sa bonne

Economie d’énergie pour le secteur résidentiel/tertiaire

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application par les professionnels. La mise en place de solutions techniques simples à mettre en oeuvre par les constructeurs et plus souples à utiliser par les industriels illustre cette volonté.

3. Objectifs du cours

Si les réglementations permettent de mettre en place des solutions technologiques sans

connaître ni les calculs imposés par la réglementation, ni les processus physiques sous jacents à ces méthodes de calcul, l’ingénieur Génie Civil se doit d’en connaître un peu plus qu’un simple installateur. D’autre part la réglementation impose des objectifs de consommation, ce qui implique de travailler à tous les niveaux du bâtiment, depuis sa structure, en passant par tous les éléments du second œuvre (habillage des parois, ouvertures, isolation, …) jusque, évidemment, aux installations thermiques dimensionnées par les bureaux d’étude fluides..

Ce cours propose de présenter les différents processus d’échange thermique entre un

bâtiment et son extérieur. Il permettra d’appréhender en 3ème année le calcul des coefficients de la RT2012 avec un regard critique.

Après quelques définitions et rappels sur les grandeurs physiques caractéristiques des

échanges thermiques, les trois processus d’échange seront abordés. Le premier de ces processus est la conduction thermique, le deuxième la convection et enfin le rayonnement. Chacun de ces processus sera illustré par des exemples concrets liés aux métiers du Génie Civil.

II- Quelques définitions de thermique

1. Les grandeurs thermiques

1.1. Introduction

Il fallut un temps incroyablement long dans l’histoire de la science pour établir une distinction entre les concepts de chaleur et de température, mais une fois cette distinction faite, des progrès rapides ont été réalisés.

Les premières théories de la chaleur la décrivent comme une substance, de même nature

que la matière par exemple. « La théorie calorique: un fluide invisible, indestructible et sans masse qui migre d’un

corps chaud vers un corps plus froid. » Joseph Black 1728-1799 •«un fluide très subtil, très élastique, qui environne de toutes parts la planète que nous

habitons, qui pénètre avec plus ou moins de facilité les corps qui la composent, et qui tend lorsqu'il est libre, à se mettre en équilibre dans tous » Antoine Lavoisier 1743-1794

Cette conception a permis d’expliquer avec succès les phénomènes de transfert de

chaleur d’un corps à un autre, et plus généralement de conservation de la chaleur dans des systèmes isolés. En effet, de même que la masse d’un système isolé reste invariable, même si une transformation chimique s’y produit, la chaleur se conserve, même si elle « s’écoule » d’un corps à l’autre.

Cependant, ce concept n’explique pas la création spontanée de chaleur par frottement. Il a

fallu attendre Joule, dans les années 1850, pour que la chaleur soit considérée à juste titre,

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comme une forme particulière d’énergie. Son unité internationale est le Joule (J). L'ancienne unité, la calorie (1 cal = 4.1855 J = quantité de chaleur nécessaire pour élever 1 g d'eau de 1°C) est cependant une unité encore très utilisée pour exprimer une quantité de chaleur.

Pour une quantité de matière donnée, l’apport d’une quantité de chaleur (énergie) induit

un changement de sa température ou un changement d’état de la matière. La distinction entre ces deux phénomènes permet de distinguer deux formes de chaleur, la chaleur sensible et la chaleur latente. La température quant à elle est une grandeur physique qui caractérise un niveau d’énergie de la matière. Ces différentes notions sont explicitées ci-après.

1.2. La température

La température est la traduction à l’échelle macroscopique d’un état énergétique de la

matière à l’échelle microscopique, à savoir : pour les solides : c’est l’état de vibration des atomes à l’intérieur d’un réseau cristallin

ou de mouvement d’électrons pour les matériaux qui ont la faculté d’échanger des électrons (les métaux par exemple) ;

pour les fluides : c’est l’état d’agitation des molécules. La température s’exprime en degrés Kelvin (K) ou Celsius (°C). Ne pouvant accéder directement aux phénomènes qui sont à l’origine de la chaleur, on

décrit donc l’état thermique d’un corps, sa température, à l’aide de manifestations extérieures que l’on peut constater et mesurer. Le plus souvent il s’agit de la dilatation d’un élément mis en équilibre thermique avec le milieu à étudier (thermomètre).

1.3. Bases thermodynamiques

La thermique est une branche de la thermodynamique, science qui décrit les échanges

d'énergie entre différents constituants d'un système. La thermodynamique repose sur deux propositions fondamentales. L’une, appelée premier principe, exprime une propriété de conservation de l’énergie, considérée sous toute ses formes, au cours de la transformation d’un système isolé.

Le premier principe s’énonce de la manière suivante pour un système donné: U = Q + W où U, variation de l’énergie totale du système, est la somme de l’énergie calorifique Q

apportée au système et du travail fourni au milieu extérieur W. Ces trois grandeurs étant des énergies, elles s'expriment en Joule (J). W et Q sont positives lorsque le système reçoit de l'énergie du milieu extérieur (et inversement).

Le premier principe peut être formulé de la façon suivante : lors d'une transformation, la somme des énergies mécaniques et calorifiques est égale à la variation d'énergie interne du système. Pour un cycle fermé, W + Q = 0. Cela correspond à la notion naturellement admise que la quantité globale d'énergie est toujours conservée.

Figure 1. Expérience

de Joule (équivalence énergie mécanique-énergie

calorifique)

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Le premier principe de la thermodynamique a été magnifiquement illustré par Joule avec

son expérience originale de détermination de l’équivalence énergie mécanique-énergie calorifique.

Dans cet appareil, les poids qui descendent le long des règles divisées font tourner des

palettes immergées dans de l’eau. L’énergie potentielle des poids est ainsi transformée en énergie cinétique des parties mobiles qui dissipe essentiellement au niveau des palettes en élevant la température de l’eau. Si l’on néglige la dissipation dans l’air (frottement des poids dans l’atmosphère), cette expérience permet une détermination de la chaleur spécifique de l’eau, ou plus généralement des liquides. En effet, U est alors ici égale à zéro, et le calcul du travail mécanique W permet de déterminer Q. Il est alors possible d’obtenir le coefficient de proportionnalité entre l’élévation T de la température du liquide (pour une masse donnée) et l’énergie calorifique Q apportée au système. Ce coefficient de proportionnalité est la chaleur spécifique (ou capacité calorifique) cp.

1.4. Chaleur sensible

Lorsqu’un corps reçoit ou cède de la chaleur, s'échauffe ou se refroidit sans changer

d'état, on parle alors de chaleur sensible. La variation de température T que va subir un corps de masse m est reliée à la quantité de chaleur Q par le coefficient de proportionnalité cp (chaleur spécifique, ou capacité calorifique).

Par définition, la chaleur spécifique cp correspond à la quantité de chaleur qu'il faut fournir

à un matériau de masse m pour que sa température s'élève de un degré. C'est-à-dire : cp = - 1/m . dQ/dT La quantité de chaleur reçue par un corps de masse m de capacité calorifique cp lorsqu’il

passe d’un état initial à la température T1 à un état final à la température T2 s’exprime par : Q12 = m.cp.(T2 – T1)

1.5. Chaleur latente

On parle de chaleur latente lorsque le corps qui reçoit ou cède de la chaleur l'utilise pour

changer d'état, sans que sa température ne varie. La quantité de chaleur qu'il faut fournir à un matériau de masse m pour que, à température constante, celui-ci change d'état (solide -> liquide; liquide -> gaz) est donnée par :

Q = m.L où L est le coefficient de chaleur Latente On parle alors de "transformation isotherme" car la température du système reste

constante pendant tout le processus d'échange de chaleur.

2. Les modes de transmission de la chaleur

Ces différents modes ne sont en général pas dissociés et peuvent intervenir ensemble dans un processus de transfert thermique.

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2.1. Conduction

La conduction: échange de chaleur entre deux points d'un

solide ou encore d'un liquide (ou d'un gaz) immobile et opaque. L’énergie de vibration (ou d’agitation) se transmet d’atome à atome (de molécule à molécule). C’est un transfert lent.

Exemple : propagation de la chaleur dans une paroi entre un intérieur de bâtiment

chauffé et l’extérieur.

2.2. Convection

La convection est un transfert de chaleur dans la

matière avec mouvement macroscopique de la matière. Ce type de transfert n’intervient que pour les liquides et les gaz (C’est le fluide en mouvement qui transporte de la chaleur). On distingue deux types de convection :

la convection forcée : le mouvement du milieu est engendré par un dispositif externe (le vent, un ventilateur, …)

Exemple : refroidissement d’un bâtiment sous l’effet du vent.

la convection naturelle : le mouvement du fluide est engendré par les variations de

densité causées par les variations de température au sein du fluide. C’est un mode de transfert rapide en général.

Exemple : mouvement de la vapeur au-dessus d’une tasse de café, principe du convecteur.

2.3. Rayonnement

Le rayonnement: échange de

chaleur entre deux parois séparées par un milieu transparent ou semi-transparent. Les matériaux ont la propriété d’absorber ou d’émettre des photons (ou des quantités d’énergie). L’énergie emportée par le photon est prélevée sur l’état d’énergie du corps et réciproquement l’énergie d’un photon absorbé est souvent transformée en chaleur. Cette propriété d’émission dépend donc de la température du milieu. Il s’agit d’un transfert à distance quasi-instantané sans nécessité de support matériel.

Exemple : réchauffement d’un mur par le rayonnement solaire le jour, et chaleur émise par

le mur la nuit.

Q

T1 T2

T1> T2

TS

T < TS

Mouvement de fluide forcé ou induit par T Q

T1 T2

Q

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III- Conduction thermique

La conduction est une transmission de la chaleur dans la matière par vibration moléculaire. Elle concerne surtout les solides, mais aussi les liquides et les gaz pour lesquels elle est souvent négligeable par rapport à la convection ou au rayonnement.

Notre appréciation de l’importance de la conduction thermique commence avec la

sensation bien connue que des matériaux différents, un morceau de métal par exemple, nous parait froid au toucher alors que d’autres, comme le bois ou le plastique, nous apparaissent tièdes. La raison de cela est qu’un métal conduit (et emporte) la chaleur du corps plus rapidement que le bois.

Deux lois régissent les transferts thermiques selon que l’on se place en régime

permanent (Loi de Fourier) avec la notion de conductivité thermique, ou en régime transitoire, ce dernier mettant en oeuvre le concept de diffusivité thermique.

1. REGIME PERMANENT :

Dans ce régime, la température est constante en fonction du temps en tout point de

l'espace considéré.

1.1. Loi de Fourier :

La loi de Fourier a été établie expérimentalement par Joseph Fourier en 1822. Elle

exprime la proportionnalité entre le flux de chaleur à travers une surface par unité de temps et l’élévation de la température de part et d’autre de cette surface.

On vérifie expérimentalement que pour maintenir une différence de température T2 - T1 au deux extrémités d’un volume, de section S et de longueur L, dans une direction Ox donnée, il faut fournir la puissance calorifique P12 (ou "flux de chaleur"). Elle s’exprime par :

P12 = dQ12 /dt = - .S/L . (T2 - T1) Le coefficient de proportionnalité , exprimé en

W.m-1.K-1 est appelé conductivité thermique,. Il s'agit ici en toute rigueur de la conductivité thermique x dans la direction Ox.

Si le milieu est isotrope, x = y = z = . La valeur

de est fonction du milieu et dépend généralement de la température.

En notation différentielle et en considérant que les axes sont orientés du chaud vers le

froid, cette expression devient : dP/dS = - dT/dx, en 1D

1.2. Conductivité thermique des matériaux

Les coefficients de conductivité sont des propriétés physiques intrinsèques des matériaux. Pour les matériaux du bâtiment, la détermination de est complexe car elle dépend :

T1 T2

P12

S

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du matériau : exemple ordres de

grandeur de conductivités thermiques pour divers types de milieux (ci-contre).

de son passé : exemple conductivité

du PVC est liée à son passé. de la température : exemples

mousse de polyuréthane et béton (ci-dessous).

de sa densité : exemples liège et polystyrène. de l’humidité : exemple influence de l’humidité

sur les matériaux minéraux (brique, béton). Cependant pour simplifier les calculs (voir plus loin équation de la chaleur), la

réglementation impose de prendre des valeurs normalisées de , correspondant à la moyenne de dans l’intervalle de température correspondant au problème étudié.

L’air (20°C) : = 0,026 W/m°C Le cuivre : = 370 W/m°C

10-3 10-2 10-1 1 101 102 103

gazmatériaux amorphes isolants

liquides solutions poudre

mat. réfractairescristal

métaux métau

(W.m-1.K -1)

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L’eau (20°C) : = 0,59 W/m°C Huile moteur : = 0,145 W/m°C

1.3. Généralisation à 3D

Pour un matériau isotrope, la loi de Fourier s’exprime comme suit :

dP/dS = - .

grad(T) = - .

(T)

Pour un matériau anisotrope, la conductivité thermique n’est plus un scalaire mais un

tenseur et la relation précédente se généralise comme suit :

dP/dS = - .

grad(T)

On peut montrer que , tenseur d’ordre deux (matrice 3x3), est symétrique et que ses composantes sont positives. Il existe donc des directions principales et un repère principal dans

lequel n’a que trois composantes positives : trois conductibilités principales. Exemple : matériau composite feuilleté. En exprimant le bilan des flux entrant dP dans un volume élémentaire dV, on obtient

l'équation dite "de Poisson" :

dP/dV = 2(T)

Matériaux (W.m-1.K -1)

Isolant plastique Polystyrène expansé - Moulé Qualité Q1 Qualité Q2 Qualité Q3 Qualité Q4 et Q5 - Autre fabrication

0.046 0.043 0.040 0.038

0.037 à 0.043 Polystyrène extrudé 0.031 à 0.036

Mousse rigide de PVC Qualité Q2 Qualité Q3

0.031 0.034

Mousse rigide polyuréthanne Qualité Q1 et Q2 Qualité Q3 et Q4

0.031 0.034

Mousse rigide formo-phénolique 0.050

Isolant fabriqué à partir d’autres matières plastiques alvéolaires

0.065

Isolant en laine minérale manufacturée laine de verre classe VA classe VB classe VC classe VD classe VE

0.034 à 0.0470.035 à 0.0510.036 à 0.0560.043 à 0.0540.037 à 0.039

laine de roche classe RA classe RB

0.038 à 0.0470.039 à 0.041

autre laines minérales 0.065

Matériaux (W.m-1.K -1)

Isolant divers verre cellulaire panneau de fibre de bois panneau de perlite expansé + cellulose

0.050 0.060 à 0.067

0.060

Les matériaux de structure Granit et pierre lourde 3.00 Pierre calcaire 1.40 Béton plein - caverneux - léger pouzzolane - léger d’argile expansé - léger de perlite

1.75 1.40 0.52 1.05 0.31

verre 1.10 acier 52 Aluminium 230 zinc 110 plomb 36 bois feuillu mi-lourd 0.23 bois feuillu léger 0.12 bois résineux 0.15

Les matériaux de parement Enduit ciment - plâtre

1.15 0.35

Plâtre 0.50 Panneau de particules de bois 0.14 Panneau de contreplaqué ou latté 0.12 Liège comprimé 0.10 Amiante ciment 0.95

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En régime permanent, dP/dV = 0, et 2(T) = 0. C'est l'équation de Laplace. Si le volume

possède une source de chaleur interne q alors 2(T) + q = 0

2. ANALOGIE ELECTRIQUE :

2.1. Résistance thermique :

La loi de Fourier peut être considérée comme complètement analogue à la loi d'Ohm :

Thermique électricité

Loi de Fourier T = - (L/S).P V = R.I Loi d’Ohm

conductivité thermique (T) (T) conductivité électrique

température T V potentiel électrique

puissance thermique P I intensité de courant

Résistance thermique L/S R Résistance électrique

Ceci permet de schématiser le problème d’échange thermique par le circuit électrique ci-

dessous :

Pour déterminer une résistance thermique totale, comme en électricité, on sait que : en série, deux résistances thermiques

s'ajoutent, en parallèle, les inverses des

résistances thermiques s'ajoutent. Exemples : conductivité des matériaux

hétérogènes granulaires composés d’une matrice. Echauffement différentiel d’un treillis métallique quand on suppose que les tiges ne

sont pas refroidies latéralement. Ces lois d'association permettent

de traiter les cas où l'on a affaire à une conduction thermique dans des matériaux composites ou pour des successions de différents matériaux (mur béton + crépis + enduit intérieur).

Résistance de contact : le contact entre deux

solides n’est uniforme qu’à une échelle macroscopique. A un niveau plus local, par exemple à l’échelle des rugosités le contact est discontinu. Cette discontinuité de conductivité thermique au niveau de la section 2 engendre une discontinuité dans le profil de température : T2A – T2B. On peut modéliser le phénomène ci-dessous en introduisant une résistance

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de contact RC . Le flux de chaleur est transmis par conduction dans l’air piégé dans les interstices de la section 2 et par rayonnement.

De même entre un solide et un fluide on peut modéliser les échanges entre ces 2 milieux en introduisant une résistance de contact solide/fluide :

Rthc = 1/ hC

hC est le coefficient d’échange thermique entre les milieux A et B. hC est une donnée

issue d’expérience.

2.2. Capacité thermique :

On considère un petit morceau d'un matériau très bon conducteur thermique, de masse m

et de chaleur spécifique cp, initialement à température ambiante Tamb. On place ce morceau en contact avec une source chaude à température T supérieure à Tamb. A l'équilibre, lorsque la température du matériau a atteint T, il a alors emmagasiné une quantité de chaleur :

Q = m. cp.(T- Tamb). On peut alors définir, par analogie avec l'électricité, une capacité thermique C = m. cp qui

correspond à la quantité de chaleur emmagasinée "sous une certaine différence de température" (ddt).

2.3. Symboles :

On utilise les mêmes symboles qu'en électricité, à savoir :

3. REGIME TRANSITOIRE :

Dans ce régime, soit la température n'a pas atteint une valeur d'équilibre, soit elle varie

périodiquement dans le temps.

3.1. Bilan énergétique :

Pour plus de clarté, nous supposerons ici qu'il n'y a pas de source de chaleur à l'intérieur

du volume considéré (sinon, il faut en tenir compte dans le bilan). La chaleur spécifique nous permet d'écrire que la quantité de chaleur qui traverse un

volume dV dans une direction Ox donnée pendant un temps dt est égale à m.cp.dT/dt. On sait que m=v.dV où v est la masse volumique.

Par conséquent, à partir de l'équation de Poisson, on obtient l’équation de la chaleur:

Résistance thermique

Capacité thermique

Masse thermique (Tamb)

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2(T) = v. cp.dT/dt

3.2. Diffusivité thermique :

On a donc : v. cp).2(T) = dT/dt

On pose = /(v.cp), diffusivité thermique du matériau, exprimée en m2s-1. Plus le

matériau est ordonné, plus est grande. L'ordre de grandeur de est de 1 à 0,1 cm2s-1 pour des cristaux et de 10-2.à 10-4 cm2s-1 pour des liquides, des alliages ou des solides amorphes.

Lors d'une réponse impulsionnelle, le temps mis par le matériau pour atteindre l'équilibre

thermique dépend de la valeur de . Ainsi, pour un objet d'épaisseur e, l'équilibre est atteint à 10 % près en un temps = e2/.

La conduction thermique en régime variable n'est pas toujours abordable avec des outils

analytiques classiques : il existe pour cela des abaques et des logiciels appropriés. Toutefois pour résoudre ce type de problème des méthodes analytiques basées sur les

transformations intégrales peuvent être utilisées ; à savoir : la transformation de Laplace pour les problèmes de valeurs initiales (réponse

impulsionnelle) la transformation de Fourier utilisée de préférence soit pour les problèmes de valeurs

aux limites, soit pour des problèmes ayant une évolution temporelle périodiques, dans le cas où l’on a affaire à un problème 1D sans source interne, on peut résoudre

l’équation de la chaleur par la méthode de séparation des variables, on peut aussi rechercher des solutions auto-similaires.

IV- Convection thermique

1. Introduction

On envisage uniquement des transferts entre solides et fluides (et non des transferts entre fluides). On dit qu'il y a convection lorsqu’il y a déplacement de la matière. Ce phénomène est très complexe car il concerne aussi bien les gaz que les liquides dans des situations qui peuvent être très différentes. Dans un écoulement de fluide en contact avec une paroi solide, il existe le long de la paroi, une mince couche de fluide qui s'écoule lentement et parallèlement à la paroi, car le fluide est comme accroché aux aspérités de la paroi; on admet qu'il n'y a pas d'échange de matière et que dans cette région la chaleur ne peut se transmettre que par conduction. Au sein du fluide, en s’éloignant de la paroi la chaleur se transmet par mélange des particules de fluide, provoquant ainsi une mise à l’équilibre rapide de la température; on parle ainsi de température de mélange du fluide Tf.

Si le mouvement des molécules provient de la différence de masse volumique du fluide en différents points à cause des différences de température: c'est la convection naturelle (la distribution de température engendre son propre mouvement en créant des forces d’Archimède). Ce mouvement peut être accentué par un mécanisme (pompe, ventilateur, vent…): c'est la convection forcée.

La convection entre une surface et un fluide est en fait un problème de conduction dans

un milieu en mouvement. Les équations à mettre en œuvre sont celles de la mécanique des fluides et celles de la conduction.

I


Toutefois, les problèmes de convection thermique sont trop difficiles pour admettre des

solutions mathématiques rigoureuses. En convection naturelle ou en convection forcée, on utilise une forme modifiée et empirique de la loi de Fourier.

P = h.(Tp – Tf) [W/m²] où h représente le coefficient d’échange

thermique par convection ou simplement le « coefficient de convection » [W /m².K]

En fait, le problème est repoussé car il

s’avère que h n’est pas constant et que sa détermination n’est pas aisée. On a exprimé le coefficient h globalement pour l’ensemble de la surface, il s’agit donc d’une valeur moyenne pour le système. En fait h varie localement. D’autre part on montre que h varie en fonction :

de la nature du fluide, des températures en présence (h croît avec T), de la vitesse de circulation du fluide au voisinage de la plaque (h croît avec la vitesse), de l’orientation de la surface (verticale, horizontale, etc.), des dimensions de la surface. L’étude expérimentale de toutes ces possibilités n’est pas envisageable. On peut donc

procéder au cas par cas et essayer un échangeur, un corps de chauffe, etc., pour obtenir de cet appareil un coefficient d’échange valable mais uniquement pour un cas. Heureusement, il existe un outil en physique, l’analyse dimensionnelle, qui permet de mettre en évidence que l’on peut regrouper les paramètres qui influent sur un phénomène. Les groupes ainsi formés constituent un nombre de variable beaucoup plus réduit. Pour la convection, nous allons étudier la composition de ces groupes, qui ont toujours la particularité d’être adimensionnels.

Les coefficients de convection de l'air varient largement selon les conditions, en particulier

selon son humidité et sa vitesse d'écoulement. Alors que le coefficient de convection naturelle peut varier de 5 à 25 W/(m²°C), le coefficient de convection forcée peut varier entre 10 et 200 W/(m²°C).

Dans l'eau, le coefficient de convection naturelle est de l'ordre de 20 à 100 W/(m² °C). En eau agitée, h sera compris entre 50 et 10 000 W/(m²°C), entre 3 000 et 100 000 W/(m²°C) dans de l'eau en ébullition.

Le coefficient de convection relatif à la vapeur d'eau en condensation est de l'ordre de 5 000 à 100 000 W/(m²°C). Toutefois la présence d'air mélangé à la vapeur peut réduire sensiblement la valeur de h (de 10 000 W/(m²°C) lors d'une stérilisation en vapeur pure, à 1300 W/(m²°C) en mélange air 50% / vapeur 50%).

2. Convection naturelle

2.1. Analyse dimensionnelle : Théorème de Vaschy-Buckingham

Le principe de cette méthode consiste à décrire un phénomène en fonction d’un certain nombre de grandeurs (n). On identifie alors le nombre (k) de variables indépendantes ou fondamentales (kg, s, m, °K), les autres ayant leurs variations liées aux variations des premières.

Paroi solide Tp

Couche fluide mince

Fluide Tf

mvt du fluide

P

I


Soit un problème comportant n variables p,q,r,… régi par une fonction du type : f (p,q,r,…) = 0 Les variables p,q,r,… font intervenir k variables indépendantes ou fondamentales (kg, s,

m, °K). l’analyse dimensionnelle démontre qu’il existe n - k variables sans dimension P,Q,R,… de la forme P = p.q.r …. telle que le problème puisse s’exprimer sous la forme :

F (P,Q,R,…) = 0 Les groupements P,Q,R,… doivent être adimensionnels, c’est à dire sans unité. Cela

induit des relations entre les coefficients …

Dans le cas de la convection naturelle, Si une molécule du fluide

est en contact avec la paroi, elle se réchauffe (ou se refroidit). Il y a donc une dilatation locale du fluide et ainsi, la densité locale du fluide diminuant, la molécule s'élève (poussée d'Archimède) et est remplacée aussitôt par une autre molécule voisine : c'est un mouvement naturel. Il s'effectue à l'intérieur d'une couche d'épaisseur donnée parallèle à la paroi, dite "couche limite". Les variables définissant le mouvement naturel sont (n = 9):

: masse volumique [kg/m3], Cp : chaleur spécifique du fluide [J/kg.K], : viscosité dynamique du fluide [kg/m.s], : conductivité thermique du fluide [W/m.K], g.: accélération de la pesanteur [m/s2] x coefficient de dilatation du fluide [K-1], D: dimension caractéristique de la surface d'échange [m], T: différence de température entre le mur et le fluide [K], h : coefficient d’échange [W/m².K], U0 : Vitesse caractéristique du fluide [m/s]. Les grandeurs fondamentales utilisées sont : la masse [kg], la longueur [m], le temps [s] et

la température [K], soit (k = 4). D’après le théorème de vaschy-Buckingham, le problème dépend donc de 5 (= n – k) groupes i sans dimension du type :

0. . . . . . . .ea b c d f j k l

iCp g D T h U

L’équation aux dimensions d’un groupement s’écrit alors :

3 3 3

². . . . . . . 0

² ²

a b c d e k lf jkg m kg kg m m kg m

m Km s K m s s K Ks s K s

Ces groupements étant sans dimension, on peut écrire 4 équations reliant les exposants

a,b ,c, …qui traduisent l’indépendance en [m], [s], [kg], [k] de ces groupements. On peut fixer judicieusement 5 de ces valeurs, les quatre autres sont déduites des équations précédentes. On retrouve alors le nombre de Reynolds Re, le nombre de Nusselt Nu, le nombre de Prandtl Pr et le nombre de Rayleight Ra et le nombre de Richardson Ri. Toutefois, d’autres arrangements de variables sont possibles et permettent de définir d’autre nombre sans dimensions comme le nombre de Grashof Gr, le nombre de Stanton St, le Peclet Pe, …. Ces derniers peuvent s’écrire comme le produit des 5 premiers nombres (Re, Nu, Pr, Ra, Ri).

Le problème de la convection dépend donc de ces 5 nombres adimensionnels.

z

m m

T

Tp > T

I


Nombres adimensionnels : Nombre de REYNOLDS : Rapport des forces d'inertie aux forces de viscosité,

caractérise l'écoulement dans une canalisation. 0 D Re

U

: masse volumique du fluide [kg/m3], U0 : vitesse moyenne du fluide [m/s], D : plus petite dimension géométrique du problème, diamètre Dh pour une

canalisation en [m], largeur L pour une plaque, : viscosité dynamique du fluide [Pa.s].

Dh : diamètre hydraulique, Dh = 4.S / P (Surface, Périmètre) Tube rectangulaire Dh = 4.a.b / 2.( a + b ) = 2.a.b / ( a + b ) Espace annulaire Dh = 4 [ . ( D2² - D1² ) / 4 ] / ( . D1 + . D2 ) = D2 - D1 Espace entre deux plans Dh = 2.b Nombre de NUSSELT : Rapport de la quantité de chaleur échangée par convection à la

quantité de chaleur échangée par conduction. D h Nu

h : coefficient d'échange convectif en [W/m².K], : conductivité thermique du fluide en [W/m.K]. Nombre de PRANDTL : Caractérise la distribution des vitesses par rapport à la

distribution des températures, c’est une caractéristique du fluide. Cp

Pr

Cp : capacité thermique massique du fluide en [J/kg.K]. Nombre de Rayleigh : Caractérise l'écoulement en convection naturelle.

2 3Cp g T

a Pr.GrD

R

= / ( x Cp) : diffusivité thermique [m²/s] , = / : viscosité cinématique du fluide [m²/s].

: dilatabilité du fluide en [K-1] , T : différence de température entre fluide et paroi : T = Tparoi – Tfluide.

Nombre de Richardson : Caractérise le rapport entre la flottabilité (poussé d’Archimède)

et l’inertie.

20

g T

DRi

U

Il existe d’autres arrangement possibles qui remplaceront chacun l’un des nombres

précédents ; Nombre de STANTON ou de MARGOULIS : Rapport du flux de chaleur à un flux de

chaleur de référence par convection. PrRe

Nu Cp V

h Ma St

Nombre de GRASHOF : Caractérise l'écoulement en convection naturelle (remplace Ra)

²

T ² g

3

D

Gr

I


2.2. Forme modifiée de la loi de Fourier - le nombre de Nusselt :

L’analyse dimensionnelle a permis de définir 5 nombre sans dimension pour caractériser le phénomène de la convection. L’analyse expérimentale permet d’établir en fonction de ces nombres l’expression des différentes grandeurs physiques et des flux. Aussi, la loi de Fourier modifiée qui exprime le flux de chaleur s’écrit maintenant :

P = .Nu.S/D .dT/dx où S est une surface traversée par le fluide, D une dimension "caractéristique" de l'objet

(la hauteur h d'un radiateur par exemple), la conductibilité thermique du fluide et Nu le nombre de Nusselt.. Physiquement, ce nombre représente le rapport entre le transport de chaleur en régime convectif et le transport de chaleur en l’absence de mouvement du fluide (régime conducteur pur).

L'expression générale du « Nusselt » est : 4/1

xNu xRaA

où Ra est le nombre de Rayleigh, avec :

T g a

3

x

xR

. Dans le nombre de Rayleigh interviennent 6 termes : la constante de gravitation g, la

dimension caractéristique x du système, l'écart de température ∆T et le coefficient de dilatation thermique à pression constante d'une part, la diffusivité thermique cp et la viscosité cinématique = / d’autre part. Ce nombre exprime la compétition entre les effets de la poussée d’Archimède (termes , g, T et ), qui est « le moteur » de la convection, et de la dissipation (terme et ) qui est le « frein » des mouvements convectifs. La dissipation au sein du liquide (transformation de l’énergie convective en chaleur) augmente avec la viscosité et la diffusivité thermique et tend en effet à aplanir les gradients thermiques responsables de la poussée d’Archimède.

Cas d’une paroi solide verticale : Pour une plaque verticale à la

température constante Tp supérieure à la température ambiante Tair du fluide environnant. La couche limite comporte une zone laminaire puis une zone turbulente, la transition entre les deux zones est quantifiée par la valeur du nombre de Rayleigh local Rax fonction de la coordonnée longitudinale x :

Dans la partie laminaire (Rax < 109), le

nombre de Nusselt xNu intégré entre 0 et x vaut :

4/1xNu xRaA

avec A fonction du nombre de Prandtl :

Pr 0,01 0,1 1 10 100

A 0,24 0,37 0,53 0,62 0,65

Zone laminaire

Zone de transition

Zone turbulente

Couche limite

x

xc Raxc = 109

Tp > Tair

Tair

I


Dans la zone turbulente (Rax > 109), le nombre de Nusselt xNu est donné par :

5/23/2

15/15/2

x

)(

)()(

Pr494,01

Pr0248,0Nu

xRa

Exemples : Evaluation du flux de chaleur transféré dans l’air par un radiateur constitué par une plaque plane verticale, déperdition de chaleur par un mur, une vitre, ….

Cas d’une plaque horizontale chaude : Pour le cas de la plaque horizontale plusieurs cas doivent être envisagé selon l’origine de

la source de chaleur (plaque chaude, froide, en haut, en bas)

Nu = 0,54 Ra1/4 Nu = 0,15 Ra1/3

Nu = 0,27 Ra1/4 si Ra est tel que 3.105 < Ra < 3.1010

Nu = 0,07 Ra1/4 si Ra est tel que 3.1010 < Ra < 1.1013

Cas des plaque inclinée : On peut étendre le cas de la paroi verticale aux plaques inclinées en

remplaçant g par g.cos dans l’expression du nombre de Rayleigh. Cas du cylindre horizontal : Si le cylindre est isotherme, alors le nombre de Nusselt moyen est

estimé par la relation :

Convection en dessous d’une plaque chaude

T < TS

TS

Convection au dessus d’une plaque froide

T > TS

TS

TS

Convection au dessus d’une plaque chaude

Ex : plancher

T < TS

Convection en dessous d’une plaque froide

Ex : sous le toit.

T > TS

TS

I


2

27/816/9

6/1

x

Pr/559,01

387,060,0Nu

xRa

Comme on vient de le voir, la

dépendance du Nusselt en fonction du Rayleigh est complexe, en dernier lieu la courbe ci-contre résume pour de nombreuses situations cette dépendance. Elle permet d’obtenir le nombre de Nusselt après calcul du nombre de Rayleigh pour des géométrie de type boite.

2.3. Convection en espace limité (confiné)

L’effet des parois voisines peut

souvent être négligé, c’est l’hypothèse réalisée dans les exemples précédents. Cependant, les conditions de convection en espace libre ne sont pas toujours réalisées. Si deux surfaces sont assez proches, la température du fluide varie de façon continue d’une surface à l’autre. Si Ra < 2.103 alors :

P = .S.T/D, on est en conduction pure, on peut négliger la

convection. Si Ra > 2.103 alors P = ’.S.T/D, avec ' = .Nu coefficient équivalent que l'on

calcule par: Nu = 0,18 * (Ra)1/4 avec les caractéristiques de l'interstice

calculées à (T1 + T2)/2.

3. Convection forcée

3.1. Analyse dimensionnelle

Dans le cas de la convection forcée, le mouvement du fluide est imposé par une force

extérieure, l’étude hydraulique est alors dissociée du problème thermique. On montre l’existence d’une couche limite laminaire dans laquelle la température varie linéairement, et où les transferts de chaleur se font essentiellement par conduction. Hors de la couche limite c’est par mélange que se répartit la chaleur dans l’ensemble du fluide, et est donc lié à la masse volumique et à la chaleur massique. Les variables mises en jeux sont donc (n = 7):

1

10

100

1000

10000

103

105

107

109

1011

1013

1015

cond

uct

ion

pure

conv

ecti

onst

atio

nnai

re

turb

ulen

ce d

ouce

turb

ule

nce

du

re

seuil deconvectionRa - 40000

seuil d'instationnarité

Ra - 10 6

Ra

T1

T2

T1

T2

Convection libre

Convection en espace limité

Nu

I


: masse volumique [kg/m3], Cp: chaleur spécifique du fluide [J/kg.K], : viscosité dynamique du fluide [kg/m.s], : conductivité thermique du fluide [W/m.K], D : dimension permettant de calculer la surface d'échange [m], h : coefficient d’échange [W/m².K], U0 : vitesse moyenne du fluide [m /s]. Le théorème de Vaschy Buckingam nous permet de mettre en évidence 3 (= n – k)

nombres sans dimension. On peut retrouver le nombre de Nusselt Nu, de Prandtl Pr et le nombre de Reynolds Re.

3.2. Ecoulement forcé interne (dans un tube)

Régime laminaire ( Re < 2000 )

Pour x / Dh grand ou A > 0,05 alors : 65,3Nu

Pour x / Dh petit ou A < 0,05 alors : 3/1077,1Nu Ax avec PrRe

1

hDhDxA

Valeur moyenne pour toute la longueur L de la canalisation : 3/134,2Nu A

Régime turbulent ( Re > 2000 )

gaz Pour L / D > 60 et 10 000 < Re < 120 000 4,08,0 PrRe023,0Nu pour Ts>Tf 0.3 sinon

liquide 104 < Re < 5.106 et 0,6 < Pr < 2500 43.0

paroi

fluide0.430.8

Pr Pr Pr Re 0.021 Nu

Pour L / D < 60 ( tube court )

7,043.0

paroi

fluide0.430.8 1Pr Pr Pr Re 0.021 Nu L

D

Pour un tube en serpentin ( : pas du serpentin)

D5,31

Pr Pr Pr Re 0.021 Nu

43.0

paroi

fluide0.430.8

3.3. Ecoulement forcé externe

Ecoulement autour d’un tube Faible Reynolds dans l’air ( 0,02 < Re < 140 ) Nu = (A + B.Ren).(Tf/Ttube)

a

0,02 < Re < 44 44 < Re < 140

n 0,45 0,51 A 0,24 0 B 0,56 0,48 a -0,17 -0,17

I


Régime laminaire ( 1 < Re < 1 000 )

25,0

38,05,0

Pr

PrPrRe5,043,0Nu

paroi

fluide

Régime turbulent ( 1 000 < Re < 2.105 )

25,0

38,06,0

Pr

PrPrRe25,0Nu

paroi

fluide

Pour les liquides, Nu , Re, Pr sont calculés avec les constantes physiques à la

température du fluide, Prfluide et Prparoi respectivement aux températures du fluide et de la paroi.

Pour les gaz, on omet les rapports paroi

fluide

PrPr et on calcule Nu , Re, Pr avec la température (Tp +

Tf)/2. Ecoulement autour des surfaces cylindriques de section non circulaire Nu = B.Ren

Re n B

5. 103 - 105 0,588 0,222

5. 103 - 105 0,675 0,092

4. 103 – 1,5 104 0,731 0,205

Ecoulement autour d’un faisceau de tubes Pour le 1er rang 33,065,0 PrRe23,06,0Nu si faisceau aligné,

33,06,0 PrRe41,06,0Nu si faisceau quinconcé,

Pour le 2ème rang 33,065,0 PrRe23,09,0Nu si faisceau aligné,

33,06,0 PrRe41,07,0Nu si faisceau quinconcé,

Au-delà du 3ème rang 33,065,0 PrRe23,0Nu si faisceau aligné,

33,06,0 PrRe41,0Nu si faisceau quinconcé.

d

U

d

U

d

U

aligné quinconcé

I


Ecoulement sur une surface plane Régime laminaire

Pour les gaz ( Re 3.105 ) 5,0Re288,0Nu x

Pour les liquides ( Re 5.106 ) 33,05,0 PrRe330,0Nu x

Régime turbulent ( 1 000 < Re < 100 000 )

Pour les gaz ( Re > 3.105 ) 5/4Re0259,0Nu x

Pour les liquides ( Re > 5.106 ) 33,05/4 PrRe0290,0Nu x

4. Les ailettes

Afin d’augmenter les échanges entre un solide et un fluide on peut augmenter la surface d’échange en ajoutant des ailettes. Les illustrations ci-dessous montrent des exemples de produits proposés pour des écoulements internes ou externes.

Les échanges de chaleur entre une ailette et le milieu dans lequel elles sont plongées peuvent être schématisés comme sur la figure ci-contre. Pour une section d’ailette de surface Ac(x) et de surface périphérique As, alors :

qx = qx+dx +dqconv= - .Ac(x).dT/dx soit : d2T/dx2 + (1/Ac.dAc/dx). dT/dx -

(1/Ac.h/dAS/dx).(T - T) = 0 Pour des ailettes à section constante on a

alors :

d2T/dx2 - (1/Ac.h/dAS/dx).(T - T) = 0

I


On sait alors décrire le champ de température au sein de l’ailette. La solution de l’équation différentielle ci-dessus est du type :

(T - T) = A exp(mx) + B exp(-mx); avec m2 = hP/Ac où P est le périmètre. Les coefficients A et B sont à déterminer en fonction des conditions aux limites. Celles ci

au bout de l’ailette peuvent être de type : convection, flux négligeable, T° imposée, ou ailette infiniment longue.

On défini alors l’efficacité de l’ailette qui est le rapport entre le flux échangé avec l’ailette et

le flux échangé sans l’ailette : ail = qail/qsans ail

On défini également le rendement de l'ailette comme le rapport entre le flux échangé avec l’ailette et le flux que l’on échangerait avec une ailette à la température Ts

ail = qail/qail à Ts

V- Transfert thermique par rayonnement

1. Généralités

1.1. Rayonnement électromagnétique

Contrairement aux deux autres modes d’échanges d’énergies que sont la conduction ou la convection, le rayonnement ne nécessite pas l’existence d’un support matériel. Il se propage dans le vide, comme dans tout type de milieu. Si ce milieu est homogène, il se propage en ligne droite.

2. Quelques définitions :

2.1. Notion d'angle solide :

De la même façon que l'on définit un angle élémentaire d tel que ∫d = 2 pour un cercle,

on définit l'angle solide élémentaire d tel que ∫d = 4 pour une sphère. Il est exprimé en stéradian (sr). Par analogie avec l'angle , l'angle solide représente donc l'étendue spatiale d'un objet vu d'un point donné distant de r (figure 4.2). On a d = dS/r2.

Figure 4.2 - analogie angle / angle solide De manière générale les grandeurs caractérisant le rayonnement pourront être :

y

x0

dq

2

yx 0

dW

3 z

dS “calotte”

dL “ar

r r

I


des grandeurs hémisphériques : grandeurs relatives à un rayonnement dans toutes les directions de l’espace dans lequel un élément de surface peut recevoir ou émettre un rayonnement ;

des grandeurs directionnelles : grandeurs relatives à un rayonnement dans une direction donnée.

Un corps sera dit isotrope si l’énergie qu’il rayonne est la même dans toutes les directions de l’espace (rayonnement parfaitement diffus).

2.2. Energie rayonnante Q

L’énergie totale Q, exprimée en [J], émise par rayonnement par un corps est la somme de

l’énergie émise dans chaque longueur d’onde i. On peut alors écrire la relation suivante : Q = i ni.Q(i) où ni est le nombre total de photons émis pour cette longueur d’onde i.

2.3. Flux énergétique : Le flux énergétique est la puissance rayonnée par le corps dans tout l'espace, exprimé

en W : = dQ/dt.

2.4. Intensité énergétique : C'est le flux énergétique émis dans une direction (portion) donnée de l’espace : = dd[W.sr-1]

2.5. Radiance E :

C'est le flux émis dans un demi-espace par unité de surface de la source. On parle aussi

de "luminance", "émittance énergétique" ou "pouvoir émissif total". E = 1/S . ∫.d = 1/S . ∫d [Wm-2]

Lorsque l'on parle de radiance monochromatique, on considère E pour une longueur

d’onde donnée (notée dans ce cas E).

2.6. Notion de spectre

De manière générale, un corps émet sur toute une

gamme de longueur d’onde. On parle alors de spectre électromagnétique dont la courbe représente l’énergie émise par un corps Een fonction de la longueur d’onde . La courbe ci-contre représente l’émission électromagnétique typique d’un corps noir (voir définition ci-dessous). Le tableau ci-dessous défini les différentes gammes de longueur d’onde. Les longueurs d’onde « visibles » sont comprises entre 0.4 et 0.7 m. Les longueurs d’onde pour l’Infrarouge thermique sont comprises entre 3 et 100 m.

0

2 1013

0

E

5.0 10-7 longueur d'onde (m)

4 1013

6 1013

8 1013

1 1014

1.0 10-6 1.5 10-6 2.0 10-6 2.5 10-6 3.0 10-6

I


Définition des gammes de longueur d’ondes électromagnétiques

3. Interaction rayonnement – matière

Le comportement de la matière vis à vis du rayonnement est fonction de la longueur d'onde.

Supposons un corps quelconque soumis à un rayonnement incident monochromatique d'intensité . Une partie de ce rayonnement est réfléchie, une autre transmise et une dernière absorbée (figure ci-contre). On définit ainsi :

le coefficient de réflexion = r / , le coefficient de transmission = t / , le coefficient d'absorption = a / .

Téléphones portables

Therm

ique

i

r

t

n

i

Ia

Ei

r

I


(on a évidemment: + + = 1) Il est également noté sur le graphe ci dessus que le matériau émet un rayonnement

(flèche blanche) indépendamment du rayonnement reçu. Ce rayonnement dépend de la température (voir corps noir ci-dessous).

Exemple : caractéristique optique du verre

Caractéristique en incidence normale vis-à vis du

rayonnement solaire (0,4 < <0,8 m) Nature du verre épaisseur

Verre blanc «planilux» 3 mm 6 mm 10 mm

0,08 0,08 0,08

0,91 0,89 0,88

0,01 0,03 0,04

Verre teinté «parasol» Bronze Corail Gris Vert

6 mm 6 mm 6 mm 6 mm

0,05 0,07 0,05 0,07

0,50 0,71 0,44 0,74

0,45 0,22 0,51 0,19

Verre traité en surface Antélio Parélio clair Parélio gris

6 mm 6 mm 6 mm

0,34 0,34 0,32

0,44 0,47 0,28

0,22 0,19 0,40

Enfin, les rayonnements réfléchis et transmis

peuvent varier en fonction de la direction. La direction r = i est appelé direction spéculaire.

Verre ordinaire e=3 mm

1 2 3 4 5

Verre spécial catathermique

() = incidence normale

0,25

0,5

0,75

m

I


4. Rayonnement électromagnétique et température

Tout corps porté à une température T (° K) non nulle émet de l'énergie sous forme de rayonnement photonique. Réciproquement, un corps soumis à un rayonnement extérieur peut en absorber une partie qui se transforme en chaleur et élève sa température.

4.1. Corps noir :

Un corps noir est un corps qui absorbe tout le rayonnement qui lui parvient, quelque soit

la longueur d'onde . Ceci signifie donc que pour un corps noir, = 1 et = = 0. Par opposition au corps noir, les corps dont est différent de 1 sont dits "gris". 3.2. Emissivité : Un corps est caractérisé par une émissivité définie par le rapport du rayonnement émis

par le corps sur celui émis par le corps noir à la même température.

= E / Ebb

Par conséquent, pour un corps noir, = 1. Un corps en équilibre thermique absorbe, pour chaque longueur d'onde , autant d'énergie

rayonnante qu'il peut en émettre ( = ) : c’est la loi de Kirchoff qui sert en pratique à la mesure de .

= a / Ebb

Les tableaux page 30 donnent des valeurs depour certains matériaux.

5. Lois fondamentales du rayonnement

La recherche d’une loi caractérisant le rayonnement émis par un corps noir porté à une

température T est à l’origine historique du développement de la théorie quantique et de l’interprétation du rayonnement en terme de photons.

La formule correcte fut trouvée dans les dernières semaines du XIXème siècle par Max

Planck. Elle repose sur le caractère discret (niveaux d’énergie) de la répartition de l’énergie dans la matière. Le rayonnement d’un corps étant lié à l’énergie des particules (électrons) qui le constituent, tout passage d'une particule d'un niveau à un autre se traduit par l'émission d'un photon de fréquence fi et d'énergie élémentaire données par la relation d'équivalence :

Q(i) = h.fi [J] avec h = 6,6263.10-34 [J.s] (Constante de PLANCK) où l'indice (i) signifie que l'énergie élémentaire Q est celle d'un seul photon émis à la

fréquence fi = c/i. : longueur d’onde : distance parcourue par l’onde pendant une pulsation, c : vitesse de propagation de l’onde. Elle est maximale dans le vide : c = c0 =

2,9979.108 [m/s]. Elle dépend du milieu traversé et de son indice de réfraction n : c = c0/n, et = 0/n Ces sauts d’énergie sont liés à l'agitation thermique des particules constituant le corps, et

donc à sa température.

I


5.1. Loi de Planck :

Elle s’écrit :

110.4387,1

exp

.10.746,3

1..

.exp

....22

51652

TTk

ch

chE

Cette loi peut être traduite qualitativement de la façon suivante : l’énergie émise par un

corps noir dans un intervalle centré autour d’une longueur d’onde augmente très rapidement avec la longueur d’onde, atteint un maximum puis retombe très vite encore. Cette distribution de l’énergie en fonction de ne dépend pas de la nature de la matière avec laquelle interagit le rayonnement mais uniquement de sa température.

Un exemple de courbe de E en fonction de à T fixée

est donné ci-contre. Il correspond au rayonnement solaire. La courbe en pointillé correspond à l’émission d’un corps noir à 5800°K. Les deux autres courbes sont les observations réalisées à la surface du sol et à partir d’un satellite. Les traits en pointillés délimitent le domaine du visible : belle illustration de l'adaptation naturelle de l'oeil humain!

5.2. Loi de Stefan-Boltzmann :

La radiance E correspond à l’aire de la courbe E()

donnée par la loi de Planck. La radiance est ainsi l’énergie totale émise par un corps à une température T sur tout le spectre de longueur d’onde. Elle s’écrit :

E = .T4 Où = 5,675.10-8 W.m-2.°K-4 est une constante déterminée grâce à la thermodynamique

statistique. On remarquera sur la figure précédente, que le corps noir est le corps qui, porté à une

température T donnée, émet le rayonnement maximal.

5.3. Loi de Wien :

L'abscisse du maximum de la courbe de E en fonction de est

donnée par : max . T = 2.89. 10-3 On voit quemax est inversement proportionnelle à la température

absolue. Le tableau ci-contre donne les valeurs de max pour quelques températures.

T (K) max (m)

300 9,66

500 5,80

750 3,86

1000 2,90

2000 0,97

5780 0,50

I


6. Transferts par rayonnement entre surface

Le rôle du rayonnement dans les transferts de chaleur entre surfaces est d'autant plus

important que l'écart de température entre elles est grand. Nous nous plaçons, dans cette partie, à l'équilibre thermique.

6.1. Entre corps noirs :

Soient deux surfaces planes de corps noirs en regard, de

températures respectives T1 et T2. La surface (1) émet 1 = .S.T1

4 et absorbe 2 = .S.T24. La

puissance cédée par (1) à (2) est donc : 12 = .S.(T1

4 - T24).

La réciproque s'applique à la surface (2).

6.2. Si une seule des surfaces est noire :

La surface (1) émet toujours 1 = .S.T1

4. La surface (2) absorbe 1 et réfléchit (1 - )1. Elle émet en plus 2 = S.T2

4. La puissance cédée par (1) à (2) est donc : 12 = 1 - 2 = .S.(T1

4 - T24).

6.3. Entre corps gris :

C'est un processus cumulatif. La surface (1)

émet = .S.T14. La surface (2) absorbe 21

et réfléchit (1 - 2)1. Par conséquent, la surface (1) absorbe alors 1(1 - 2)1 et elle réfléchit :

(1-1)(1-2)1, etc. La réciproque s'applique à la surface (2).

On obtient des séries en 1et 2 (identités

remarquables) et on aboutit ainsi à la puissance cédée par (1) à (2):

12 )/(2 + 2 - 12) . .S.(T14 - T2

4).

T1 > T2 T2

transferts thermiques -...

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