Álgebra LinealTransformaciones Lineales

Francisco Niño Rojas

Transformaciones Lineales

Definición: Sean y espacios vectoriales. Una transformación lineal T de en es una función que asigna a cada vector de un único vector en .

𝒗 𝑇 (𝑢)Francisco Niño R. UNISALLE

Transformaciones Lineales

Tal que:

, para todo par de vectores en

, para todo en y todo

Francisco Niño R. UNISALLE

Nota

Las dos condiciones las podemos resumir en:

Si , la transformación lineal: se denomina operador lineal

Francisco Niño R. UNISALLE

Ejemplos:

Consideremos T: definida por

Por ejemplo, =

Francisco Niño R. UNISALLE

Estamos transformando el vector en el vector bajo la transformación de .

Decimos que el vector esta en la imagen de . ().

Ejercicio: Transforme los vectores (1, -2) y

teniendo en cuenta la transformación anterior.

Encuentre otros elementos de la

Suponga que esta dada por

Represente geométricamente la

En general para y se puede verificar que es una . Así:

ya que son componentes reales conmutamos y Asociamos.

Entonces tenemos :

Por lo tanto + .

Se cumple la primera propiedad.

Similarmente,

También cumple la segunda propiedad y en consecuencia es una transformación lineal.

Ejemplos especiales

La transformación cero. Consideremos y espacios vectoriales y la transformación definida por para todo de Entonces

Nota: Recordemos que es el vector cero o elemento neutro del espacio vectorial .

Consulta: Consulte sobre la transformación

Identidad, la transformación de reflexión, y transformación de proyección ortogonal.

Puedes ayudarte del texto guía. (Algebra lineal S. Grossman)

Otro ejemplo especial: Sea representada por una matriz de .

Entonces definimos

Donde es una matriz de y es un vector en. Es fácil ver que es una

Por lo tanto, toda matriz de da origen a una transformación lineal de en

Ejercicio: Si es una transformación lineal de tal que:

Halle:

y .

TAREA: Consulte sobre la transformación de rotación.

Ejemplo: Sea una transformación definida Donde donde es una matriz fija de .Para la primera propiedad consideremos dos matrices y en . Entonces

Para la segunda propiedad consideremos una matriz y valor real. Entonces:

Consideramos propiedades con operaciones usuales entre matrices como el producto de matrices y el producto de un escalar por una matriz.

Luego es un

EjerciciosDeterminar cuales de las siguientes transformaciones son lineales:

1. , definida por

2. T: definida por

Francisco Niño R. UNISALLE

PropiedadesSi es una transformación lineal, entonces:

Francisco Niño R. UNISALLE

Ejercicios:Usando el mismo razonamiento hecho en clase, resolver:Sea lineal tal que:

Encontrar:

Francisco Niño R. UNISALLE

Gracias y Ánimo con las tareas