transformaciones lineales
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Γlgebra
Lineal
Transformaciones Lineales
Francisco NiΓ±o Rojas
Transformaciones Lineales
DefiniciΓ³n:
Sean π y π espacios vectoriales. Una
transformaciΓ³n lineal T de π en π es una
funciΓ³n que asigna a cada vector π’ de π
un ΓΊnico vector π(π’) en π.
π π π
π π(π’)
Francisco NiΓ±o R. UNISALLE
Transformaciones Lineales
Tal que:
π(π’ + π£) = π(π’) + π(π£), para todo par de
vectores π’, π£ en π
π(πΌπ’) = πΌπ(π’), para todo π’ en π y todo
πΌ β β
Francisco NiΓ±o R. UNISALLE
Nota
Las dos condiciones las podemos resumir
en:
π(πΌπ’ + π£) = πΌπ(π’) + π(π£)
Si π = π, la transformaciΓ³n lineal: π: π β π
se denomina operador lineal
Francisco NiΓ±o R. UNISALLE
Ejemplos:
Consideremos T: β2 β β3 definida por
ππ₯π¦ =
π₯ + π¦π₯ β π¦
4π¦
Por ejemplo, π3
β5=
3 +(β5)
3 β(β5)
4(β5)
= β28
β20
Francisco NiΓ±o R. UNISALLE
Estamos transformando el vector 3
β5 en el
vector β28
β20 bajo la transformaciΓ³n de π.
Decimos que el vector β28
β20
esta en la
imagen de π. ( πΌπ π ).
Ejercicio:
Transforme los vectores (1, -2) y 1
2, β
3
4
teniendo en cuenta la transformaciΓ³n
anterior.
Encuentre otros 5 elementos de la πΌπ π .
Suponga que π: β2 β β2 esta dada por
π π₯, π¦ = βπ₯, βπ¦
Represente geomΓ©tricamente la π. πΏ.
En general para π₯ = π₯1 , y π¦ = π¦1 se puede verificar
que π es una π . πΏ. AsΓ:
ππ₯1
π¦1+
π₯2
π¦2= π
π₯1 + π₯2
π¦1 + π¦2=
π₯1 + π₯2 + π¦1 + π¦2
π₯1 + π₯2 β π¦1 β π¦2
4π¦1 + 4π¦2
ya que π₯1 , π₯2, π¦1, π¦2 son
componentes reales =
π₯1 + π¦1
π₯1 β π¦1
4π¦1
+
π₯2 + π¦2
π₯2 β π¦2
4π¦2
conmutamos y Asociamos.
Entonces tenemos :
π₯1 + π¦1
π₯1 β π¦1
4π¦1
= ππ₯1
π¦1 π¦
π₯2 + π¦2
π₯2 β π¦2
4π¦2
= ππ₯2
π¦2
Por lo tanto ππ₯1
π¦1+
π₯2
π¦2= π
π₯1
π¦1 + π
π₯2
π¦2 .
Se cumple la primera propiedad.
Similarmente,
π πΌπ₯π¦ = π
πΌπ₯πΌπ¦ =
πΌπ₯ + πΌπ¦πΌπ₯ β πΌπ¦
4πΌπ¦= πΌ
π₯ + π¦π₯ β π¦
4π¦= πΌπ
π₯π¦
TambiΓ©n cumple la segunda propiedad y en
consecuencia π es una transformaciΓ³n lineal.
Ejemplos especiales
La transformaciΓ³n cero. Consideremos π y π espacios vectoriales y π: π β π la transformaciΓ³n definida por π π£ = π para todo π£ de π. Entonces
π π£1 + π£2 = π + π = π π£1 + π π£2
π πΌπ£ = π = πΌπ = πΌπ π£ .
Nota: Recordemos que π es el vector cero o elemento neutro del espacio vectorial π.
Consulta:
Consulte sobre la transformaciΓ³n
Identidad, la transformaciΓ³n de reflexiΓ³n,
y transformaciΓ³n de proyecciΓ³n
ortogonal.
Puedes ayudarte del texto guΓa. (Algebra
lineal S. Grossman)
Otro ejemplo especial:
Sea π: βπ β βπ representada por una
matriz de π Γ π. Entonces definimos
π x = π΄x
Donde π΄ es una matriz de π Γ π y x es un
vector en βπ. Es fΓ‘cil ver que π es una π. πΏ.
Por lo tanto, toda matriz π΄ de π Γ π da origen a
una transformaciΓ³n lineal de βπ en βπ.
Ejercicio: Si π es una transformaciΓ³n lineal de
β2 β β3 tal que:
π10
=123
π¦ π01
=β405
Halle:
π24
y πβ37
.
TAREA: Consulte sobre la transformaciΓ³n de
rotaciΓ³n.
Ejemplo:
Sea π una transformaciΓ³n definida
π: πππ β πππ
Donde π π΄ = π΄π΅ donde π΅ es una matriz fija de π Γ π.
Para la primera propiedad consideremos dos matrices
π΄1 y π΄2 en πππ. Entonces
π π΄1 + π΄2 = π΄1 + π΄2 π΅πΈπ π‘π πππππ’ππ‘ππ π ππ’πππ βππππ
ππ’ππ πππ πππ‘πππππ π ππ ππ πΓπ.
= π΄1π΅ + π΄2π΅ = π π΄1) + ππ΄2
Para la segunda propiedad consideremos una
matriz π΄πΓπ y πΌ valor real. Entonces:
π πΌπ΄ = πΌπ΄ π΅ = πΌ π΄π΅ = πΌπ π΄ .
Consideramos propiedades con operaciones
usuales entre matrices como el producto de
matrices y el producto de un escalar por una
matriz.
Luego π es un π. πΏ.
Ejercicios
Determinar cuales de las siguientes
transformaciones son lineales:
1. π: π2Γ2 β β, definida por π(π΄) = det (π΄)
2. T: β3 β β2 definida por π(π₯, π¦, π§) = (π₯ + π¦, π¦ + π§)
Francisco NiΓ±o R. UNISALLE
Propiedades
Si π: π β π es una transformaciΓ³n lineal,
entonces:
π(0π£) = 0π’
π(βπ£) = βπ(π£)
π(π£ β π’) = π(π£) β π(π’)
Francisco NiΓ±o R. UNISALLE
Ejercicios:
Usando el mismo razonamiento hecho en
clase, resolver:
Sea π: π β β3 lineal tal que:
π π£1 = 1, β1,2 , π π£2 = 0,3,2 π¦
π(π£3) = (β3,1,2)
Encontrar: π(2π£1 β 3π£2 + 4π£3)
Francisco NiΓ±o R. UNISALLE
Gracias y Γnimo
con las tareas