transformaciones lineales (clase 01) · ejemplos de transformaciones lineales Álgebra lineal y...
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TRANSFORMACIONES
LINEALES
(Clase 01)(Clase 01)
28 de Junio de 2011
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1
(Clase 01)(Clase 01)
Departamento de Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería
Universidad Central de Venezuela
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
Sea T una aplicación de Rn en Rm ;
T: Rn Rm
Transformación lineal
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
T se llama Transformación LinealTransformación Lineal si se cumple:
2.
T ( V1 + V2 ) = T( V1 ) + T ( V2 )1.
Transformación lineal
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
T ( c V ) = c T( V ) , c: escalar2.
(x,y)(-x,y)
Ejemplos de transformaciones lineales
ReflexiónReflexión respectorespecto alalejeeje YY. En R2
consideremos laaplicación f tal que
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
aplicación f tal quef(f(x,yx,y)=()=(--x,yx,y)). Es fácilprobar que es unatransformación lineal.
z
Operadores de proyección.Operadores de proyección.La aplicación definida por: T(T(x,y,zx,y,z)=(x,y,0))=(x,y,0)proyecta un vector de R3 a un vector que está en el plano XY
Ejemplos de transformaciones lineales
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(x,y,z)
(x,y,0)x
y
Ejemplos de transformaciones lineales
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
Probar si las siguientes aplicaciones sonTransformaciones Lineales:
1. T: R2 R2 , T(x,y) = (3x ; x-y )
Ejercicios
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
2. T: R2 R2 , T(x,y) = (x+y ; y2)
Ejercicios
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 10
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
T(0 ) = 0R mR n
1)
T(a V + b V ) = a T ( V ) + b T( V )21 1 22)
T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) +21 k 1k 22 1 21
3)
Propiedades de las transformaciones lineales
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T(a V + a V +... + a V ) = a T ( V ) + a T( V ) +21 k 1k 22 1 21
k k+ ... + a T ( V )
3)
La aplicación T(x;y)=(x-y ; y+x+2)
NO es una Transformación Lineal , ya que: T(0;0)=(0;2)
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
Puntos a tratar
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 12
4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
TEOREMA:TEOREMA:
Toda T.L. de R a R se puederepresentar matricialmente como
T( X ) = A X
mn
Representación matricial de una transformación lineal
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T( X ) = A m x n X
de forma única.
T(x;y)=(2x+y ; 3x+4y) puede escribirse comoT(x;y)=(2x+y ; 3x+4y) puede escribirse como
=
++
=
y
x
yx
yx
y
xT
43
12
43
2
Representación matricial de una transformación lineal
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
+ yyxy 4343
Observar que
=
=
4
1)(
3
2)( jTiT
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
Puntos a tratar
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4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
Núcleo e imagen de una transformación lineal
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
Puntos a tratar
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4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
Nulidad y rango de una transformación lineal
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
Nulidad y rango de una transformación lineal
Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero
1. Transformación lineal
2. Propiedades
3. Representación matricial
Puntos a tratar
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4. Núcleo e imagen
5. Nulidad y rango
6. Inyectividad y sobreyectividad
Inyectividad y sobreyectividad de una transformación lineal
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Pensamiento de hoy
“La gente no se resiste al
cambio. Se resiste a ser
cambiada”.
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cambiada”.
Peter Senge