Transformada de

Laplace

El par de funciones transformada y antitransformada de Fourier son, según vimos:

La condición de existencia de la transformada es:

Como en general F() es una función compleja, tenemos que:

Como vimos, si f(t) es una función real, resulta R() una función par y X() una

función impar.

Al tratar de encontrar la transformada de Fourier de un pulso de duración infinita, es

decir, de la función escalón u(t), se encuentra con la siguiente dificultad.

Si se tiene en cuenta que e-jt = cos(t) - j sen(t)

Se observa que hay problema en la evaluación del límite superior de la integral, pues no

se aproxima a valor alguno.

Para evitar este inconveniente, se recurre a otro factor de convergencia:

con = real positivo

Usando e-.t como factor de convergencia se puede deducir que:

Sí F(ω) = F[f(t)] y f1(t) = f(t) . e-σt, con = real positivo, entonces:

Aplicando el límite de σ:

La introducción del factor de convergencia, permite trabajar con la variable compleja

s = + j, siendo un número real positivo (constante); su diferencial es ds = j d.

La variable de Laplace s = + j, tiene dimensión de frecuencia [1/s].

Si se utiliza “s” en la definición anterior, se llega a la expresión:

Esta ecuación define la transformada bilateral de Laplace de f(t). Incluye tanto valores

positivos como negativos de t.

En forma similar a lo visto en transformadas de Fourier, se puede escribir la expresión

de la transformada inversa de Laplace.

Es decir que f(t) está representada como la sumatoria (integral) de términos de la

forma:

Debe tenerse en cuenta que la expresión ǀF0 . ejθǀ . e-st, representa un fasor senoidal

con variación de amplitud exponencial.

La función f(t).e-t es absolutamente integrable para casi cualquier función f(t).

La transformada bilateral de Laplace se puede calcular para una clase más amplia de

funciones f(t), que la transformada de Fourier.

Transformada unilateral de Laplace

Gran parte de las funciones de excitación y respuesta, en circuitos eléctricos, sólo

existen a partir de un instante inicial que se puede considerar como t=0.

Cuando f(t) no interesa para t < 0 se puede escribir “f(t) . u(t)” . Para esta función, la

integral de definición de la transformada de Laplace es:

Esta expresión es la transformada unilateral de Laplace.

La expresión de la transformada inversa no cambia pero debe recordarse que es sólo

válida para t > 0.

Resumiendo:

Las notaciones para las variables que más se utilizan, en la resolución de circuitos

eléctricos, son:

Las condiciones que garantizan la convergencia absoluta de la integral de Laplace

para R(s) = > 0 son:

f(t) es integrable en todo el intervalo finito t1 < t < t2 donde 0 ≤ t1 < t2 <∞.

El límite existe para algún valor de (real positivo)

Propiedades de la transformada de laplace

Linealidad:

Transformada de la primera derivada:

Se pueden deducir las siguientes relaciones para derivadas de orden superior:

Y así sucesivamente

Cuando todas las condiciones iniciales son iguales a cero, derivar una vez en el

dominio del tiempo equivale a multiplicar por “s” en el dominio de la frecuencia.

Transformada de una integral:

La integración en el dominio del tiempo corresponde a una división por “s” en el

dominio de la frecuencia.

Transformada de una convolución de funciones:

Desplazamiento en el tiempo:

La traslación en el dominio del tiempo se corresponde con la multiplicación por

e-as en el dominio de la frecuencia (o de la variable “s” de Laplace)

El teorema de la traslación en el tiempo sirve para evaluar la transformada de

funciones periódicas. Sea f(t)= f(t - nT); n = 0, 1, 2, ...

Se busca una función auxiliar que sea diferente de cero en el primer período.

Por lo tanto f(t) se puede expresar como la suma de un número infinito de estas

funciones.

En la última ecuación, el término entre corchetes es el desarrollo en serie del binomio:

Por lo tanto:

En consecuencia, la función periódica f(t) con período “T” tiene una transformada de

Laplace expresada en función de la transformada del primer período de la función del

tiempo.

Teorema de desplazamiento o traslación en frecuencia:

Derivada de la función F(s):

Teorema del cambio de escala en el tiempo:

Teorema del valor inicial:

Teorema del valor final:

Resolución de fenómenos transitorios en circuitos con la transformada de

Laplace

La transformada de Laplace tiene dos características que la convierten en una

herramienta atractiva en el análisis de circuitos.

Transforma un conjunto de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes en

un conjunto de ecuaciones polinómicas lineales, que son más fáciles de manipular.

Introduce automáticamente en las ecuaciones polinómicas, los valores iniciales de

las variables de corriente y tensión. Con esto las condiciones iniciales son una parte

inherente del proceso de transformación.

Elementos de circuitos en el dominio “S”

Al efectuar la transformada de una ecuación en el dominio del tiempo, se obtiene una

ecuación en el dominio de “s”.

Se debe destacar que:

La dimensión de una tensión transformada es [V . s] (se lee Volt – segundo)

La dimensión de una corriente transformada es [A . s] (se lee Ampere – segundo).

Resulta así que una impedancia en el dominio de “s” se mide en

Y la admitancia:

Si la condición inicial es nula, es decir i(0-) = 0, el modelo de un inductor en el dominio

de “s” es una reactancia de valor sL [].

Si la condición inicial es nula, v(0-) = 0, el modelo en el dominio de “s” de un

capacitor, es una reactancia de valor 1/sC [].

EjemplosRespuesta al escalón de tensión de un circuito R – L – C serie

Sí las condiciones iniciales son nulas, i(0-) = 0 y q(0-) = 0. Se puede escribir

Despejando la variable incógnita

El denominador se puede factorizar calculando las raíces de la ecuación:

Sus raíces son s1 y s2:

CASO 1: s1 y s2 son reales y distintas (Amortiguamiento supercrítico). Para que esto

ocurra debe ser:

De la Tabla se obtiene la antitransformada:

Se verifica que para t→ 0 i(0) = 0 ; para t→ ∞ i(∞) = 0

Si tomamos para los componentes los valores

E=12[V]

R=200[]

L=10m[H]

C=1,5625[F]

CASO 2: s1 y s2 son reales e iguales (Amortiguamiento crítico). Para que esto ocurra

debe ser:

De la Tabla se obtiene la antitransformada:

Si tomamos para los componentes los valores

E=12[V]

R=160[]

L=10m[H]

C=1,5625[F]

CASO 3: s1 y s2 son complejas conjugadas (Amortiguamiento subcrítico u

oscilatorio). Para que esto ocurra debe ser:

De la Tabla se obtiene la antitransformada:

Siendo:

Si tomamos para los componentes los valores

E=12[V]

R=6[]

L=10m[H]

C=1,5625[F]

CASO 4: s1 y s2 son números imaginarios puros (Sin amortiguamiento u oscilatorio

sostenido).

Este caso sólo tiene lugar si R= 0[], por lo tanto = 0, y; s1 = j y s2 = -j.

Puede interpretarse como una condición particular del caso 3.

Si tomamos para los componentes los valores

E=12[V]

R=6[]

L=10m[H]

C=1,5625[F]