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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANA

VICE-RECTORADO ACADEMICO

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA

AREA DE MATEMATICAS

TRANSFORMADA FRACCIONARIA DE FOURIER

Y SU APLICACION EN WATERMARKING DIGITALTrabajo presentado como requisito parcial para optar al ingreso al Escalofon Universitario.

Lic. Silvino Jesus Rodrıguez PulidoAsesorado por el Prof. Hector Martınez

Puerto Ordaz, Diciembre de 2007.

Resumen

En este trabajo se estudian aspectos teoricos de la transformada fraccionaria de Fourier

(FrFT), por sus siglas en ingles, ası como su aplicacion en las marcas de aguas digitales

(watermarking). En el primer capıtulo se presentan la integral Gaussiana, los polinomios de

Hermite y las funciones Hermite Gaussianas, las cuales son entidades matematicas que estan

relacionadas con la FrFT, ademas se muestran la definicion y las principales propiedades de

la transformada clasica de Fourier. En el siguiente capıtulo se define la FrFT, se presenta

y demuestran las principales propiedades del nucleo de esta transformada, se calcula la

transformada de algunas funciones basicas, ademas se establecen y demuestran propiedades

y reglas operacionales de la FrFT. Finalmente se hace una introduccion al tema de las marcas

de agua digitales, se realiza en MatLab la implementacion de un algoritmo propuesto en un

artıculo el cual usa la FrFT y se muestran los primeros resultados experimentales obtenidos

de las pruebas realizadas con este algoritmo.

i

Dedicatoria y Agradecimientos

Dedicatoria:

A mi esposa e hijos.

A la memoria de mi padre y de mi abuela.

Agradecimientos:

A Dios por bendecirme para llegar hasta donde he llegado.

A mi amada esposa Lismar por su constante apoyo y su confianza.

A mis hijos Salvador Jesus y Carmen Victoria por su comprension, paciencia y motivacion.

A mi tutor, Prof. Hector Martınez, por compartir conmigo sus conocimientos y su tiempo.

Al Prof. Orlando Baisdem, mi companero de la lınea de investigacion, por su consecuente

respaldo y ayuda.

Al Area de Matematicas y en especial al Prof. Domingo Quijada por su continuo apoyo y

preocupacion.

ii

Indice general

Introduccion 1

1. Preliminares 3

1.1. La Integral Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Funciones Hermite Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2. Propiedades de los Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Funciones Hermite Gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.4. Propiedades de las Funciones Hermite Gaussianas . . . . . . . . . . . 11

1.3. Funcion Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2. Algunas Propiedades de la Funcion Delta de Dirac . . . . . . . . . . . 14

1.4. Transformada Clasica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Propiedades de la Transformada Clasica de Fourier . . . . . . . . . . 16

2. Transformada Fraccionaria de Fourier (FrFT) 18

2.1. Propiedades del Kernel de la Transformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

iii

2.2. Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas funciones bascas . . . . . . 33

2.3. Propiedades de la Transformada Fraccionaria de Fourier . . . . . . . . . . . 46

2.4. Autofunciones de la Transformada Fraccionaria de Fourier . . . . . . . . . . 50

2.5. Reglas Operacionales de la Transformada Fraccionaria de Fourier . . . . . . 54

3. Aplicacion de la Transformada Fraccionaria de Fourier en Watermarking 70

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3. Inicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5. Caracteristicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.6. Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.7. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Conclusiones 81

Anexos 82

Referencias 92

iv

Indice de cuadros

2.1. Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas funciones basicas . . . . . . 34

v

Indice de figuras

1.1. Graficas de los primeros 6 polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Interpretacion geometrica para la transformada clasica de Fourier . . . . . . 16

2.1. Graficas del Kernel de la FrFT con α = aπ2

(parte real) . . . . . . . . . . . . 20

2.2. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = δ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = eiπ(χx2+2λx) con χ = λ = 12

. . . . 37

2.5. Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = e−π(χx2+2λx) con χ = λ = 12

. . . 38

3.1. Esquema del proceso de watermarking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2. Esquema para ocultar una foto dentro de otra como una watermarking. . . . 74

3.3. Ejemplo de una marca de agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4. Coeficientes de la FrFT para una marca de agua . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5. Coeficientes de la FrFT para una marca de agua con diferentes angulos . . . 80

vi

Introduccion

Los primeros trabajos sobre la Transformada Fraccionaria de Fourier fueron realizados

por N. Wiener en 1929 [21], H. Weyl en 1930, E. U. Condon en 1937 [5] y H. Kober en 1939

[11], entre otros, pero fue el trabajo de Victor Namias en 1980 [15] que dio inicio a un gran

auge en el estudio de este tema. Luego le siguieron trabajos como el de A.C. McBride y F.H.

Kerr en 1987 [14], el de L.B. Almeida en 1994 [1]. En 2001 fue publicado el unico libro que

existe en el tema hasta ahora. Sus autores son Ozaktas, Zalevsky y Kutay [16].

En la comunidad cientıfica internacional algunos investigadores dedican esfuerzo a tra-

bajar en aspectos teoricos de la FrFT, y que han servido de base a otros que trabajan en

diferentes campos de aplicaciones tales como: mecanica cuantica, sistemas opticos, analisis

y procesamiento de senales, y mas recientemente, watermarking.

Esta transformada es un operador lineal que generaliza a la transformada clasica de

Fourier.

Como se sabe, toda transformada integral realmente es un operador lineal que asocia una

funcion f dada, con ciertas caracterısticas, a un nucleo a traves de una integral. En el caso

de la FrFT el nucleo esta definido por cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α)).

Se analizaron y demostraron las propiedades de este nucleo las cuales se omiten en la

mayorıa de los artıculos relacionados con el tema. Ademas se realizaron algunos calculos que

1

no aparecen en ninguna de las publicaciones revisadas. Por otra parte, se realizo el estudio

de las propiedades y las reglas operacionales de la FrFT.

Finalmente, en el tema de aplicaciones se hizo un esbozo sobre la aplicacion de la FrFT a

la watermarking, el cual es un problema abierto que se estudiara en futuras investigaciones.

2

Capıtulo 1

Preliminares

En este capıtulo se exhibiran diferentes formas de la integral Gaussiana ası como la

definicion y las principales propiedades de las funciones Hermite Gaussianas y de la funcion

delta de Dirac, las cuales jugaran un papel importante en varias demostraciones de este

trabajo. Tambien se incluye la definicion y las propiedades de la transformada clasica de

Fourier.

1.1. La Integral Gaussiana

La integral Gaussiana, tambien conocida como la integral de probabilidad (distribucion

Normal), es la integral sobre la recta real de la funcion de Gauss

I =

∫ ∞

−∞e−x2

dx. (1.1)

Ahora se realizara el calculo de la integral dada en (1.1).

Sea

I 2 =

(∫ ∞

−∞e−x2

dx

)2

=

∫ ∞

−∞e−x2

dx

∫ ∞

−∞e−y2

dy (1.2)

3

donde la variable auxiliar x se cambio por y en la segunda integral.

La ecuacion (1.2) se puede escribir como:

I 2 =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞e−x2−y2

dxdy (1.3)

Haciendo el siguiente cambio de variables

x = r cos θ, y = r sen θ, x2 + y2 = r2, dx dy = r dr dθ.

Se puede escribir la ecuacion (1.3) como

=

∫ 2π

0

∫ ∞

0

e−r2

r dr dθ

=

∫ 2π

0

(Limk→∞

[−1

2e−r2

]k

0

)dθ

=

∫ 2π

0

1

2dθ

I 2 = π

entonces ∫ ∞

−∞e−x2

dx =√

π.

Haciendo un procedimiento analogo se tiene que:

∫ ∞

−∞e−cx2

dx =

√π

c, con c ∈ R, c > 0. (1.4)

Se observa que con un simple cambio de variables, por ejemplo k = x±b, se puede comprobar

que cualquier traslacion en la funcion de Gauss no afecta al resultado anterior, es decir

∫ ∞

−∞e−c(x±b)2dx =

√π

c, con b, c ∈ R, c > 0.

4

De lo anterior se puede demostrar que:

∫ ∞

−∞e−ct2−btdt =

√π

ce

b2

4c , con b, c ∈ R, c > 0. (1.5)

Demostracion:

se sabe que:

−ct2 + bt = −c

((t− b

2c

)2

− b2

4c2

)

entonces

∫ ∞

−∞e−ct2+btdt =

∫ ∞

−∞e−c

((t− b

2c)2− b2

4c2

)dt

=

∫ ∞

−∞e−c(t− b

2c)2+ b2

4c dt

=

∫ ∞

−∞e−c(t− b

2c)2

eb2

4c dt

= eb2

4c

∫ ∞

−∞e−c(t− b

2c)2

dt

(i)= e

b2

4c

√π

c.

(i): usando la ecuacion (1.4).

En el Capıtulo 2 se usaran casos mas generales de la integral Gaussinana descrita en

(1.5), como lo son:

∫ ∞

−∞e−ct2±btdt =

√π

ce

b2

4c , con c, b ∈ C y Re(c) > 0. (1.6)

o ∫ ∞

−∞e±iπ(ct2±2bt)dt =

√±i

ce∓iπb2

c , con c, b ∈ R y c > 0. (1.7)

5

La diferencia entre ambas formulas es que en (1.7) los coeficientes son numeros imaginarios

puros, mientras que en (1.6) son numeros complejos en general.

Se usaran (1.6) o (1.7) dependiendo de los coeficientes involucrados en las integrales a re-

solver.

1.2. Funciones Hermite Gaussianas

En esta seccion se presentaran la definicion y las principales propiedades de las funciones

Hermite Gaussianas, tambien se probara mas adelante que estas funciones son las eingefun-

ciones (funciones propias) de la trasformada fraccionaria de Fourier.

1.2.1. Polinomios de Hermite

Los Polinomios de Hermite estan definidos de la siguiente manera

Hn(x) = (−1)nex2 dn

dxne−x2

, con n ≥ 0. (1.8)

y son conocidos como las soluciones de la ecuacion diferencial de Hermite

y′′ − 2xy′ + 2ny = 0.

Aquı se entiende qued0

dx0f(x) = f(x).

6

Los primeros Polinomios de Hermite son:

H0(x) = 1 (1.9)

H1(x) = 2x (1.10)

H2(x) = 4x2 − 2

H3(x) = 8x3 − 12x

H4(x) = 16x4 − 48x2 + 12

H5(x) = 32x5 − 160x3 + 120x

Para la grafica de estos polinomios ver Figura 1.1 en la pagina 11.

1.2.2. Propiedades de los Polinomios de Hermite

1. Derivada de los polinomios de Hermite:

d

dxHn(x) = 2nHn−1(x) (1.11)

2. Formula de Recurrencia 1:

Hn+1(x) = 2xHn(x)− 2nHn−1(x) (1.12)


Hn(x) =

(2x− d

dx

)Hn−1(x)

4. Simetrıa:

Si n es par (impar), entonces Hn(x) es una funcion par (impar)

7

A continuacion se demostraran estas propiedades

se inicia con la Propiedad N◦ 1

Demostracion:

d

dxHn(x) =

d

dx

((−1)nex2 dn

dxne−x2

)

=d

dx

((−1)nex2

) dn

dxne−x2

+ (−1)nex2 d

dx

(dn

dxne−x2

)

= (−1)n2xex2 dn

dxne−x2

+ (−1)nex2 dn

dxn

(−2xe−x2

)(1.13)

pero se tiene que

dn

dxn

(−2xe−x2

)=

n

0

d0

dx0(−2x)

dn

dxne−x2

+

n

1

d

dx(−2x)

dn−1

dxn−1e−x2

+

+

n

2

d2

dx2(−2x)

dn−2

dxn−2e−x2

+ . . . +

n

n

dn

dxn(−2x)

d0

dx0e−x2

= −2xdn

dxne−x2 − 2n

dn−1

dxn−1e−x2

(1.14)

entonces se puede expresar (1.13) como

= (−1)n2xex2 dn

dxne−x2

+ (−1)nex2

(−2xdn

dxne−x2 − 2n

dn−1

dxn−1e−x2

)

= −(−1)n2nex2 dn−1

dxn−1e−x2

= 2n(−1)n−1ex2 dn−1

dxn−1e−x2

= 2nHn−1(x).

Ası se concluye a qued

dxHn(x) = 2nHn−1(x).

8

Nota 1.1 En esta demostracion se uso la Regla de Leibniz para la derivada n-esima de un

producto de dos funciones, la cual establece que:

dn

dxn(f g) =

n∑

k=0

n

k

dk

dxkf

dn−k

dxn−kg.

y se uso el hecho que dk

dxk (−2x) = 0 para todo k ≥ 2.

Se continua con la Propiedad N◦ 2

Demostracion:

Hn+1(x) = (−1)n+1ex2 dn+1

dxn+1e−x2

= (−1)n+1ex2 dn

dxn

d

dxe−x2

= (−1)n+1ex2 dn

dxn− 2xe−x2

Usando (1.14) se puede escribir que

Hn+1(x) = (−1)n+1ex2

(−2xdn

dxne−x2 − 2n

dn−1

dxn−1e−x2

)

= −(−1)n+12xex2 dn

dxne−x2 − (−1)n+12nex2 dn−1

dxn−1e−x2

= 2x(−1)nex2 dn

dxne−x2 − 2n(−1)n−1ex2 dn−1

dxn−1e−x2

= 2xHn(x)− 2nHn−1(x).

Se sigue con la Propiedad N◦ 3

Demostracion:

Hn(x) = 2xHn−1(x)− 2(n− 1)Hn−2(x)

= 2xHn−1(x)− d

dxHn−1(x)

=

(2x− d

dx

)Hn−1(x).

9

Nota 1.2 Aquı primero se uso la Propiedad 2 y luego la Propiedad 1 para Hn(x).

Finalmente se demuestra la Propiedad N◦ 4

Demostracion:

Partiendo de la definicion de los polinomios de Hermite dada en (1.8) y usando la regla de

la cadena se llega a que

Hn(−x) = (−1)n(−1)nex2 dn

dxne−x2

= ex2 dn

dxne−x2

Por otro lado, si n es par se tiene que

Hn(x) = ex2 dn

dxne−x2

con lo que se muestra que Hn(x) = Hn(−x) y ası se concluye que Hn(x) es una funcion par.

Ahora si n es impar se tiene que

Hn(x) = −ex2 dn

dxne−x2

= −Hn(−x)

con lo cual se muestra que Hn(x) es una funcion impar.

1.2.3. Funciones Hermite Gaussianas

Las Funciones Hermite Gaussianas se definen como sigue:

ψn(x) = e−x2

2 Hn(x) (1.15)

donde Hn(x) representa el polinimio de Hermite de grado n.

10

Figura 1.1: Graficas de los primeros 6 polinomios de Hermite

1.2.4. Propiedades de las Funciones Hermite Gaussianas

1. Derivada de las Funciones Hermite Gaussianas:

d

dxψn(x) = −xψn(x) + 2nψn−1(x) (1.16)


ψn+1(x) = 2xψn(x)− 2nψn−1(x) (1.17)

11


ψn(x) =

(2x− d

dx

)ψn−1(x)

4. Simetrıa:

Si n es par (impar), entonces ψn(x) es una funcion par (impar)

A continuacion se demostraran estas propiedades

Se comienza con la Propiedad N◦ 1

Demostracion:

d

dxψn(x) =

d

dx

(e−

x2

2 Hn(x))

=d

dx

(e−

x2

2

)Hn(x) + e−

x2

2d

dx(Hn(x))

= −xe−x2

2 Hn(x) + 2n e−x2

2 Hn−1(x)

= −xψn(x) + 2nψn−1(x).

Nota 1.3 En esta demostracion se uso la derivada de los polinomios de Hermite (1.11).


Demostracion:

ψn+1(x) = e−x2

2 Hn+1(x)

= e−x2

2 (2xHn(x)− 2nHn−1(x))

= 2xe−x2

2 Hn(x)− 2ne−x2

2 Hn−1(x)

= 2xψn(x)− 2nψn−1(x).

Nota 1.4 En esta demostracion se uso la Formula de Recurrencia 1 de los polinomios de

Hermite (1.12).

12

Seguidamente se demuestra la Propiedad N◦ 3

Demostracion:

ψn(x) = 2xψn−1(x)− 2(n− 1)ψn−2(x)

= 2xψn−1(x)− d

dxψn−1(x)

=

(2x− d

dx

)ψn−1(x).

Nota 1.5 Aquı primero se uso la Propiedad 2 y luego la Propiedad 1 para ψn(x)

Finalmente se demuestra la Propiedad N◦ 4

Demostracion:

Esta demostracion es directa ya que ψn(x) = e−x2

2 Hn(x), entonces la paridad de ψn(x)

depende de la paridad de Hn(x) asi que ψn(x) es una funcion par si n es par, y ψn(x) es una

funcion impar si n es impar.

1.3. Funcion Delta de Dirac

En esta seccion se exhibira la definicion y algunas de las principales propiedades bien

conocidas de la funcion Delta de Dirac, las cuales seran utilizadas en demostraciones poste-

riores.

1.3.1. Definicion

La funcion Delta de Dirac δ(x) es una funcion la cual es cero en todas partes excepto en

x = 0 tal que su integral sobre cualquier intervalo que contenga a x = 0 es igual a la unidad,

es decir

δ(x) =

0 si x 6= 0

∞ si x = 0tal que

∫ b

a

δ(x) dx =

1 si 0 ∈ (a, b)

0 si 0 /∈ (a, b)

13

Una funcion definida de esta manera no es una funcion en el estricto rigor del analisis

matematico, las cuales deben tener un valor concreto en cada punto de un cierto dominio.

Dirac la llamo una funcion impropia o funcion generalizada.

Una definicion alternativa de la funcion Delta de Dirac, que se usara mas adelante, es la

siguiente:

δ(x) =

∫ ∞

−∞e±i2πxu du (1.18)

1.3.2. Algunas Propiedades de la Funcion Delta de Dirac

1. δ(Mx) =δ(x)

|M | , con M 6= 0 constante. (1.19)

2. f(x)δ(x− ξ) = f(ξ)δ(x− ξ).

3.

∫ ∞

−∞δ(x− ξ)f(x) dx = f(ξ). (1.20)

4.

∫ ∞

−∞δ(x− ξ)δ(x− ξ′) dx = δ(ξ − ξ′). (1.21)

5.

∫ ∞

−∞e±i2π(x−ξ)u du = δ(x− ξ).

Para mas detalles sobre la funcion delta se puede consultar [18, 23, 13, 20].

1.4. Transformada Clasica de Fourier

En esta seccion se presentaran la definicion y algunas propiedades fundamentales de la

transformada clasica de Fourier, las cuales seran la base para la definicion y propiedades de

14

la transformada fraccionaria de Fourier.

Definicion 1.1 (Espacio de Frechet) El espacio de Frechet L es un espacio vectorial

formado por todas las funciones suaves f (infinitamente diferenciables) tales que:

supx∈R

|xmf (n)(x)| < ∞, ∀m,n ≥ 0

Definicion 1.2 (Transformada de Fourier) Sea f(x) una funcion en el espacio de

Frechet L. La Transformada de Fourier (FT) sobre la funcion f(x) se define como sigue:

F (ξ) =

∫ ∞

−∞e−i2πξxf(x)dx (1.22)

y la transformada inversa esta definida por:

f(x) =

∫ ∞

−∞ei2πξxF (ξ)dξ

Vista como un operador, la tranformada de Fourier es un operador lineal F que envia a

f(x) ∈ L a su transformada de Fourier F (ξ).

Si se considera un plano tiempo-frecuencia donde el eje de las abscisas representa el

tiempo (x) y el eje de las ordenadas representa la frecuencia (ξ), entonces la transformada

de Fourier puede interpretarse como un operador que envıa la representacion de una funcion

del eje tiempo (x) a su representacion en el eje frecuencia (ξ) a traves de una rotacion en un

angulo de π2. Bajo esta interpretacion, la trasformada de Fourier es un operador cıclico de

orden 4 ya que se cumple que (ver Figura 1.2):

(F2f)

= f(−x),(F3f

)= F (−ξ) y

(F4f)

= f(x).

15

Figura 1.2: Interpretacion geometrica para la transformada clasica de Fourier

1.4.1. Propiedades de la Transformada Clasica de Fourier

Ahora se demuestra algunas de las propiedades de la transformada de Fourier que luego

seran generalizadas al caso de la transformada fraccionaria de Fourier

Proposicion 1.1 Sean f(x), g(x) ∈ L y sean F (ξ) y G(ξ) sus respectivas transformadas de

Fourier entonces se tienen las siguientes propiedades:

16

1. Linealidad: Sean γ, β constantes reales o complejas

F (γf(x) + βg(x)) = γF (ξ) + βG(ξ)

2. Escalamiento: Sea γ 6= 0, una constante real

F (f(γx)) =1

|γ| F

(ξ

γ

)

3. Desplazamiento: Sea γ una constante real

F (f(x− γ)) = e−i2πγξF (ξ)

4. Convolucion:

F (f(x) ∗ g(x)) = F (ξ).G(ξ)

5. Producto:

F (f(x).g(x)) = F (ξ) ∗G(ξ)

6. Identidad de Parseval: Sea g(x) el complejo conjugado de g(x)

∫ ∞

−∞f(x)g(x) dx =

∫ ∞

−∞F (ξ)G(ξ) dξ

7. Conservacion de la Energıa (caso especial de la Identidad de Parseval, g = f):

∫ ∞

−∞| f(x)| 2 dx =

∫ ∞

−∞| F (ξ)| 2 dξ

8. Derivada:

F (f ′(x)) = i2πξF (ξ)

La demostracion de esta Proposicion se encuentra en [19, 16].

17

Capıtulo 2

Transformada Fraccionaria de Fourier(FrFT)

Definicion 2.1 (Transformada fraccionaria de Fourier) Sea f(x) una funcion aco-

tada del espacio L2. La Transformada Fraccionaria de Fourier (FrFT) sobre la funcion f(x)

se define como sigue:

fa{f(x)} = fa(ξ) =

∫ ∞

−∞Ka(ξ, x)f(x)dx, (2.1)

donde Ka(ξ, x) es conocido como el Kernel de la FrFT y esta definido por

Ka(ξ, x) =

cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α)) con a 6∈ 2Z

δ(ξ − x) con a ∈ 4Z

δ(ξ + x) con a ∈ 2 + 4Z

(2.2)

con

cα =√

1− i cot(α) , α = aπ

2y a ∈ R

18

La Transformada inversa de fa{f(x)} esta definida por f−a{fa{f(x)}}.

En fa{f(x)}, de la definicion 2.1, se entiende a la FrFT como el operador que actua sobre

la funcion f(x) y fa(ξ) se entiende como la funcion que resulta al aplicar la FrFT a la funcion

f(x).

2.1. Propiedades del Kernel de la Transformada

En esta seccion se mostraran las principales propiedades del Kernel de la FrFT.

1. Simetrıa Diagonal

Ka(ξ, x) = Ka(x, ξ) (2.3)

2. Conjugado Complejo

K−a(ξ, x) = Ka(x, ξ) (2.4)

3. Simetrıa Puntual

Ka(−ξ, x) = Ka(ξ,−x) (2.5)

4. Aditividad ∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = Ka+b(ξ, x) (2.6)

5. Ortogonalidad ∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)Ka(t, x)dt = δ(ξ − x) (2.7)

19

A continuacion, en la Figura 2.1, se presenta la grafica (parte real) del Kernel de la FrFT

para distintos angulos.

Figura 2.1: Graficas del Kernel de la FrFT con α = aπ2

(parte real)

20

Para la demostracion de cada propiedad se tomaran en cuenta los diferentes casos que se

generen a partir de la definicion del Kernel.


Demostracion:

• Caso: a 6∈ 2Z

En este caso, de la definicion (2.2) se tiene que el Kernel esta dado por

Ka(ξ, x) = cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))

por lo que la propiedad es directa al aplicar la conmutatividad del producto y de la

suma.

• Caso: a ∈ 4Z

En este caso, usando (2.2), se tiene que

Ka(ξ, x) = δ(ξ − x)

Usando (1.18) se escribe que

Ka(ξ, x) =

∫ ∞

−∞e±i2π(ξ−x)u du

=

∫ ∞

−∞e∓i2π(x−ξ)u du

= δ(x− ξ)

= Ka(x, ξ).

• Caso: a ∈ 2 + 4Z

De (2.2), se tiene que

Ka(ξ, x) = δ(ξ + x)

21


Ka(ξ, x) =

∫ ∞

−∞e±2πi(ξ+x)u du

(i)=

∫ ∞

−∞e±2πi(x+ξ)u du

= δ(x + ξ)

= Ka(x, ξ).

(i) : usando la conmutatividad de la suma

Ahora se demuestra la Propiedad N◦ 2

Demostracion:

• Caso: a 6∈ 2Z

Por la definicion (2.2) se tiene que el Kernel viene dado por


ası

Ka(x, ξ) =√

1− i cot(α) e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))

=√

1 + i cot(α) eiπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))

Ahora, usando que tanto la funcion cot(α) y csc(α) son funciones impares se puede

escribir:

Ka(x, ξ) =√

1− i cot(−α) e−iπ(2xξ csc(−α)−(x2+ξ2) cot(−α))

= K−a(x, ξ)

(i)= K−a(ξ, x).

(i) : usando la Simetrıa Diagonal (2.3)

22

• Caso: a ∈ 4Z

Aquı se tiene que

Ka(ξ, x) = δ(ξ − x)

Primero se observa que si a ∈ 4Z entonces −a ∈ 4Z, ası que

Ka(ξ, x) = K−a(ξ, x) = δ(ξ − x)

por lo tanto se tiene que demostrar que

Ka(ξ, x) = Ka(x, ξ)

Entonces, usando (1.18) se escribe que

Ka(x, ξ) =

∫ ∞

−∞e±i2π(x−ξ)u du

=

∫ ∞

−∞e±i2π(x−ξ)u du

=

∫ ∞

−∞e∓i2π(x−ξ)u du

= δ(x− ξ)

= Ka(x, ξ)

(i)= Ka(ξ, x).


• Caso: a ∈ 2 + 4Z

En este caso se tiene que

Ka(ξ, x) = δ(ξ + x)

igual que antes, si a ∈ 2 + 4Z entonces −a ∈ 2 + 4Z, ası que

Ka(ξ, x) = K−a(ξ, x) = δ(ξ + x)

23

entonces se tiene que mostrar que

Ka(ξ, x) = Ka(x, ξ)


Ka(x, ξ) =

∫ ∞

−∞e±i2π(x+ξ)u du

=

∫ ∞

−∞e±i2π(x+ξ)u du

=

∫ ∞

−∞e∓i2π(x+ξ)u du

= δ(x + ξ)

= Ka(x, ξ)

(i)= Ka(ξ, x).



Demostracion:

• Caso: a 6∈ 2Z

Se sabe que, para este caso,


entonces

Ka(−ξ, x) = cα e−iπ(2(−ξ)x csc(α)−((−ξ)2+x2) cot(α))

= cα e−iπ(2ξ(−x) csc(α)−(ξ2+(−x)2) cot(α))

= Ka(ξ,−x).

24

• Caso: a ∈ 4Z

En este caso, se tiene que,

Ka(ξ, x) = δ(ξ − x)

ası que, usando (1.18), se escribe que

Ka(−ξ, x) =

∫ ∞

−∞e±i2π(−ξ−x)u du

=

∫ ∞

−∞e∓i2π(ξ+x)u du

=

∫ ∞

−∞e∓i2π(ξ−(−x))u du

= δ(ξ − (−x))

= Ka(ξ,−x).

• Caso: a ∈ 2 + 4Z

Aquı se tiene que

Ka(ξ, x) = δ(ξ + x)

por lo tanto, usando (1.18), se escribe

Ka(−ξ, x) =

∫ ∞

−∞e±i2π(−ξ+x)u du

=

∫ ∞

−∞e∓i2π(ξ+(−x))u du

= δ(ξ + (−x))

= Ka(ξ,−x).

Seguidamente se demuestra la Propiedad N◦ 4

Demostracion:

25

• Caso: a 6∈ 2Z, b 6∈ 2Z∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt =

=

∫ ∞

−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α)) cβ e−iπ(2tx csc(β)−(t2+x2) cot(β))dt

= cα cβeiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))

∫ ∞

−∞e−it2π(ξ csc(α)+x csc(β))+it2π(cot(α)+cot(β))dt (2.8)

En (2.8) se tiene presente una Integral Gaussiana, donde los coeficientes son numeros

imaginarios puros por lo tanto se usara (1.7), ası que se debe escribir (2.8) segun esta

formula, con lo que se llega a que∫ ∞


= cα cβ eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))

∫ ∞

−∞eiπ((cot(α)+cot(β)t2)−2(ξ csc(α)+x csc(β))tdt (2.9)

Tomando como c = (cot(α) + cot(β)) y como b = (ξ csc(α) + x csc(β)) se tiene que∫ ∞


= cα cβ eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))

√i

cot(α) + cot(β)e−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2

cot(α)+cot(β)

= cα cβ

√i

cot(α) + cot(β)eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))+

−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2

cot(α)+cot(β) (2.10)

La Integral Gaussiana (1.7) requiere que el coeficiente c ser mayor que cero, por lo

tanto, se debe exigir que cot(α) + cot(β) > 0.

26

Ahora se tiene que cα cβ

√i

cot(α)+cot(β)

=√

1− i cot(α)√

1− i cot(β)

√i

cot(α) + cot(β)

=

√(1− i cot(α))(1− i cot(β))i

cot(α) + cot(β)

=

√i(1− i cot(α)− i cot(β) + i2 cot(α) cot(β))

cot(α) + cot(β)

=

√i

((1− cot(α) cot(β))

cot(α) + cot(β)+

(−i(cot(α) + cot(β)))

cot(α) + cot(β)

)

=

√i

((1− cot(α) cot(β))

cot(α) + cot(β)− i

)

y como

1− cot(α) cot(β)

cot(α) + cot(β)=

1− cos(α)sen(α)

cos(β)sen(β)

cos(α)sen(α)

+ cos(β)sen(β)

=

sen(α) sen(β)−cos(α) cos(β)sen(α) sen(β)

cos(α) sen(β)+sen(α) cos(β)sen(α) sen(β)

=

=−(− sen(α) sen(β) + cos(α) cos(β))

cos(α) sen(β) + sen(α) cos(β)=− cos(α + β)

sen(α + β)

1− cot(α) cot(β)

cot(α) + cot(β)= − cot(α + β) (2.11)

ası se llega a que

cα cβ

√i

cot(α) + cot(β)=

√i(− cot(α + β)− i) =

√1− i cot(α + β) = cα+β (2.12)

27

Por otro lado se tiene que

eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))+−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2

cot(α)+cot(β) =

= eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))(cot(α)+cot(β))−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2

cot(α)+cot(β)

= e−iπ(−ξ2 cot2(α)−ξ2 cot(α) cot(β)−x2 cot(β) cot(α)−x2 cot2 β+ξ2 csc2(α)+x2 csc2 β+2ξx csc(α) csc(β))

cot(α)+cot(β)

= e−iπ(ξ2(csc2(α)−cot2(α))+x2(csc2 β−cot2 β)−(ξ2+x2) cot(α) cot(β)+2ξx csc(α) csc(β))

cot(α)+cot(β)

(i)= e

−iπ(ξ2+x2−(ξ2+x2) cot(α) cot(β)+2ξx csc(α) csc(β))cot(α)+cot(β)

= e−iπ((ξ2+x2)(1−cot(α) cot(β))

cot(α)+cot(β)+

2ξx csc(α) csc(β)cot(α)+cot(β)

) (2.13)

para (i) se uso la identidad trigonometrica 1 = csc2(α)− cot2(α).

y como

csc(α) csc(β)

cot(α) + cot(β)=

1sen(α)

1sen(β)

cos(α)sen(α)

+ cos(β)sen(β)

=

1sen(α) sen(β)

cos(α) sen(β)+sen(α) cos(β)sen(α) sen(β)

=

=1

cos(α) sen(β) + sen(α) cos(β)=

1

sen(α + β)

= csc(α + β) (2.14)

usando (2.11) y (2.14) en (2.13) se llega a que

eiπ(ξ2 cot(α)+x2 cot(β))+−iπ(ξ csc(α)+x csc(β))2

cot(α)+cot(β) = e−iπ(−(ξ2+x2) cot(α+β)+2ξx csc(α+β))

= e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β)) (2.15)

finalmente, partiendo de (2.10) y usando (2.12),(2.15) se escribe

∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = cα+β e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β))

= Ka+b(ξ, x)

28

• Caso: a ∈ 4Z, b ∈ 4Z

Primero se observa que si a ∈ 4Z y b ∈ 4Z entonces a + b ∈ 4Z, por lo tanto, usando

(2.2) se tiene que

Ka(ξ, t) = δ(ξ − t), Kb(t, x) = δ(t− x) y Ka+b(ξ, x) = δ(ξ − x)

ası que, en este caso, se debe demostrar lo siguiente

∫ ∞

−∞δ(ξ − t)δ(t− x)dt = δ(ξ − x)

entonces

∫ ∞


∫ ∞

−∞δ(ξ − t)δ(t− x)dt

(i)=

∫ ∞

−∞δ(t− ξ)δ(t− x)dt

(ii)= δ(ξ − x).


(ii) : propiedad de la funcion Delta (1.21)

• Caso: a ∈ 2 + 4Z, b ∈ 2 + 4Z

Aquı se tiene que si a ∈ 2 + 4Z y b ∈ 2 + 4Z entonces a + b ∈ 4Z, por lo tanto, usando

(2.2) se escribe que

Ka(ξ, t) = δ(ξ + t), Kb(t, x) = δ(t + x) y Ka+b(ξ, x) = δ(ξ − x)

entonces se debe mostrar que

∫ ∞

−∞δ(ξ + t)δ(t + x)dt = δ(ξ − x)

29

Ası

∫ ∞


∫ ∞

−∞δ(ξ + t)δ(t + x)dt

(i)=

∫ ∞

−∞δ(t + ξ)δ(t + x)dt

=

∫ ∞

−∞δ(t− (−ξ))δ(t− (−x))dt

(ii)= δ(−ξ − (−x))

= δ((−1)(ξ − x))

(iii)= δ(ξ − x).



(iii) : propiedad de la funcion Delta (1.19)

• Caso: a /∈ 2Z, b ∈ 4Z

Para este caso se tiene que

∫ ∞


∫ ∞

−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α))δ(t− x)dt

(i)= cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))

(i) : propiedad de la funcion Delta (1.20)

Ahora, como b ∈ 4Z y β = bπ2

entonces β = 2nπ para algun n ∈ Z.

Por otro lado

sen(α + β) = sen(α + 2nπ) = sen(α) y cos(α + β) = cos(α + 2nπ) = cos(α)

entonces se puede escribir que

csc(α) = csc(α + β), cot(α) = cot(α + β)

30

y de (2.2),

cα =√

1− i cot(α) =√

1− i cot(α + β) = cα+β

Por lo tanto

∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = cα e−iπ(2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))

= cα+β e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β))

= Ka+b(ξ, x).

• Caso: a /∈ 2Z, b ∈ 2 + 4Z

Bajo estas condiciones se tiene que

∫ ∞


∫ ∞

−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α))δ(t + x)dt

=

∫ ∞

−∞cα e−iπ(2ξt csc(α)−(ξ2+t2) cot(α))δ(t− (−x))dt

(i)= cα e−iπ(2ξ(−x) csc(α)−(ξ2+(−x)2) cot(α))

= cα e−iπ(−2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))

(i) : propiedad de la funcion Delta(1.20)

Ahora, como b ∈ 2 + 4Z y β = bπ2

entonces β = 2nπ + π para algun n ∈ Z. Ademas se

sabe que,

sen(α + β) = sen(α + 2nπ + π) = sen(α + π) = − sen(α)

y

cos(α + β) = cos(α + 2nπ + π) = cos(α + π) = − cos(α)

por lo tanto

csc(α + β) = − csc(α) y cot(α + β) = cot(α)

31

Por ultimo, de (2.2) se tiene que,

cα =√

1− i cot(α) =√

1− i cot(α + β) = cα+β

ası se llega a que

∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)Kb(t, x)dt = cα e−iπ(−2ξx csc(α)−(ξ2+x2) cot(α))

= cα+β e−iπ(2ξx csc(α+β)−(ξ2+x2) cot(α+β))

= Ka+b(ξ, x).

• Caso: a ∈ 4Z, b ∈ 2 + 4Z

Para este caso se ve que si a ∈ 4Z y b ∈ 2 + 4Z entonces a + b ∈ 2 + 4Z, por lo tanto,

usando (2.2) se tiene que

Ka(ξ, t) = δ(ξ − t), Kb(t, x) = δ(t + x) y Ka+b(ξ, x) = δ(ξ + x)

ası que se debe demostrar que

∫ ∞

−∞δ(ξ − t)δ(t + x)dt = δ(ξ + x)

entonces

∫ ∞


∫ ∞

−∞δ(ξ − t)δ(t + x)dt

(i)=

∫ ∞

−∞δ(t− ξ)δ(t− (−x))dt

(ii)= δ(ξ − (−x))

= δ(ξ + x).



32

Finalmente se demuestra la propiedad N◦ 5

Demostracion:

∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)Ka(t, x)dt

(i)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)K−a(x, t)dt

(ii)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ, t)K−a(t, x)dt

(iii)= Ka+(−a)(ξ, x)

(iv)= δ(ξ − x).

(i) : por la propiedad del Conjugado Complejo (2.4).

(ii) : usando la propiedad de la Simetrıa Diagonal (2.3).

(iii): usando la propiedad de la Aditividad (2.6).

(iv) : por la definicion del Kernel (2.2).

2.2. Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas

funciones bascas

En esta seccion se realizan los calculos de la transformada fraccionaria de Fourier para

algunas funciones basicas. Se presentan estos resultados en la Tabla 2.1, la cual se encuentra

en la siguiente pagina, ademas se presenta la grafica de la FrFT (parte real e imaginaria)

con diferentes angulos para las siguientes funciones: la funcion f(x) = 1 en la Figura 2.2

(pag:35), la funcion f(x) = δ(x) en la Figura 2.3 (pag:36), la funcion f(x) = eiπ(χx2+2λx) con

χ = λ = 12

en la Figura 2.4 (pag:37), y la funcion f(x) = e−π(χx2+2λx) con χ = λ = 12

en la

Figura 2.5 (pag:38).

A continuacion se presentara el calculo de las transformada de las funciones mostradas

en la tabla 2.1, estos calculos se haran solo para los casos mas generales de las funciones,

exhibiendo luego los casos particulares.

33

N f(x) fa(ξ)

1 1√

1 + i tan(α) e−iπξ2 tan(α)

2 δ(x)√

1− i cot(α) eiπξ2 cot(α)

3 δ(x− γ)√

1− i cot(α) e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α))

4 ei2πλx√

1 + i tan(α) e−iπ(ξ2 tan(α)−2λξ sec(α)+λ2 tan(α))

5 eiπχx2√

1+i tan(α)1+χ tan(α)

eiπξ2 χ−tan(α)1+χ tan(α)

6 e−πx2e−πξ2

7 eiπ(χx2+2λx)√

1+i tan(α)1+χ tan(α)

eiπξ2(χ−tan(α))+2λξ sec(α)−λ2 tan(α)

1+χ tan(α)

8 e−2πλx√

1 + i tan(α) eπ(i(λ2−ξ2) tan(α)−2ξλ sec(α))

9 e−π(x2+2λx) e−πξ2+πλ2 tan(α)+i2πξλ sec(α)

tan(α)−i

10 e−πχx2√

1−i cot(α)χ−i cot(α)

eπξ2(iχ−tan(α))

χ tan(α)−i

11 e−π(χx2+2λx)√


eπξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+i2πξλ csc(α)

χ−i cot(α)

Tabla 2.1: Transformada Fraccionaria de Fourier de algunas funciones basicas

34

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1

2a=0 (parte real)

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1

2a=0 (parte imaginaria)

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1

2a=0.25 (parte real)

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1

2a=0.25 (parte imaginaria)

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1

2a=0.5 (parte real)

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


Figura 2.2: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = 1

35

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1

2a=0.5 (parte real)

−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


Figura 2.3: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = δ(x)

36

−4 −2 0 2 4−1

−0.5

0

0.5


−4 −2 0 2 4−1

−0.5

0

0.5


−4 −2 0 2 4−1

−0.5

0

0.5

1a=0.5 (parte real)

−4 −2 0 2 4−1

−0.5

0

0.5


−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


−4 −2 0 2 4−2

−1

0

1


Figura 2.4: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = eiπ(χx2+2λx) con χ = λ = 12

37

−4 −2 0 2 4−5

0


−4 −2 0 2 4−2

0

2

4


−4 −2 0 2 4−5

0

5


−4 −2 0 2 4−3

−2

−1

0


−4 −2 0 2 4−5

0


−4 −2 0 2 4−10

−5

0


Figura 2.5: Graficas de la FrFT para la funcion f(x) = e−π(χx2+2λx) con χ = λ = 12

38

Se comenzara por la funcion N◦ 1, es decir, se calcula la FrFT de f(x) = 1

fa(ξ) =

∫ ∞

−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))dx

= cα eiπξ2 cot(α)

∫ ∞

−∞e−iπ2xξ csc(α)+iπx2 cot(α)dx (2.16)

Aquı se tiene presente una Integral Gaussiana, donde los coeficientes son numeros imagina-

rios puros, por lo tanto, se usara (1.7), para ello se escribe (2.16) de la siguiente manera

fa(ξ) = cα eiπξ2 cot(α)

∫ ∞

−∞eiπ(x2 cot(α)−2xξ csc(α))dx (2.17)

Tomando c = cot(α) y b = ξ csc(α) se tiene que


√i

cot(α)e−iπ(ξ csc(α))2

cot(α)

= cα

√i

cot(α)eiπξ2 cot(α)+

−iπ(ξ csc(α))2

cot(α) (2.18)

Para aplicar la Integral Gaussiana (1.7) se debe cumplir que c > 0, ası que se tiene la

restriccion cot(α) > 0

Ahora se tiene que

cα

√i

cot(α)=

√1− i cot(α)

√i

cot(α)=

√(1− i cot(α))i

cot(α)

=


cot(α)=

√i + cot(α)

cot(α)

=

√i

cot(α)+ 1 =

√1 + i tan(α) (2.19)

39

Ademas se tiene que

eiπ(ξ2 cot(α))+−iπ(ξ csc(α))2

cot(α) = eiπξ2 cot2(α)−iπξ2 csc2(α)

cot(α)

= eiπξ2(cot2(α)−csc2(α))

cot(α)

(i)= e

iπξ2(−1)cot(α)

= e−iπξ2 tan(α) (2.20)

para (i) se uso la identidad trigonometrica 1 = csc2(α)− cot2(α).

Por lo tanto se puede reescribir (2.18) como√

1 + i tan(α) e−iπξ2 tan(α). Ası se muestra que

la FrFT de f(x) = 1 es

fa(ξ) =√

1 + i tan(α) e−iπξ2 tan(α).

Se continua con la funcion N◦ 3 de la Tabla 2.1

fa(ξ) =

∫ ∞

−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))δ(x− γ)dx

(i)= cα e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α))

=√

1− i cot(α) e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α))

(i) : propiedad de la funcion Delta (1.20)

Por lo tanto, la FrFT de f(x) = δ(x− γ) es

fa(ξ) =√

1− i cot(α) e−iπ(2γξ csc(α)−(γ2+ξ2) cot(α)).

Y para obtener la funcion N◦ 2 se hace γ = 0 de la formula anterior con lo que se obtiene

que la FrFT de f(x) = δ(x) es

fa(ξ) =√

1− i cot(α) eiπξ2 cot(α).

40

Ahora se realizara el calculo para la funcion N◦ 7 de la Tabla 2.1

fa(ξ) =

∫ ∞

−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))eiπ(χx2+2λx)dx


∫ ∞

−∞e−iπ2xξ csc(α)+iπx2 cot(α)+iπχx2+iπ2λxdx


∫ ∞

−∞eiπ(x2(cot(α)+χ)+2x(λ−ξ csc(α)))dx

Nuevamente se tiene presente la formula general de la Integral Gaussiana con coeficientes

imaginarios puros descrita en (1.7), ası que tomando c = (cot(α) + χ) y b = (λ− ξ csc(α)),

se llega a que


√i

cot(α) + χe−iπ(λ−ξ csc(α))2

cot(α)+χ

=√

1− i cot(α)

√i

cot(α) + χeiπξ2 cot(α)+

−iπ(λ2+ξ2 csc2(α)−2λξ csc(α))cot(α)+χ

=


cot(α) + χe

iπξ2 cot2(α)+iπχξ2 cot(α)−iπλ2−iπξ2 csc2(α)+2iπλξ csc(α)cot(α)+χ

=

√i + cot(α)

cot(α) + χe

iπξ2(cot2(α)−csc2(α)+χ cot(α))−iπλ2+i2πξλ csc(α)cot(α)+χ

(i)=

√√√√ i + 1tan(α)

1tan(α)

+ χe

iπξ2(−1+χ

tan(α))−iπλ2+i2πξλ csc(α)

1tan(α)

+χ

=

√√√√i tan(α)+1

tan(α)

1+χ tan(α)tan(α)

e

iπξ2(− tan(α)+χ)−iπλ2 tan(α)+i2πξλ csc(α) tan(α)tan(α)

1+χ tan(α)tan(α)

41

(ii)=

√i tan(α) + 1

1 + χ tan(α)e

iπξ2(χ−tan(α))−iπλ2 tan(α)+i2πξλ sec(α)1+χ tan(α)

=

√1 + i tan(α)

1 + χ tan(α)eiπ

ξ2(χ−tan(α))+2λξ sec(α)−λ2 tan(α)1+χ tan(α)

(i): por la identidad trigonometrica 1 + cot2(α) = csc2(α).

(ii): usando que csc(α) tan(α) = sec(α).

Ası se tiene que la FrFT de f(x) = eiπ(χx2+2λx) es

fa(ξ) =

√1 + i tan(α)

1 + χ tan(α)eiπ

ξ2(χ−tan(α))+2λξ sec(α)−λ2 tan(α)1+χ tan(α) .

Se debe cumplir que cot(α) + χ > 0 para poder usar la Integral Gaussiana (1.7).

Se pueden calcular las siguientes FrFT como casos particulares del resultado obtenido

Caso 1: χ = 0

La FrFT de f(x) = e2πiλx es

fa(ξ) =√

1 + i tan(α) e−iπ(ξ2 tan(α)−2λξ sec(α)+λ2 tan(α))

Ası obtenemos la funcion N◦ 4 de la Tabla 2.1.

Caso 2: λ = 0

La FrFT de f(x) = eiπχx2es

fa(ξ) =

√1 + i tan(α)

1 + χ tan(α)eπiξ2 χ−tan(α)

1+χ tan(α)

De esta manera, se genera la FrFT para la funcion N◦ 5.

Caso 3: λ = 0, χ = i

La FrFT de f(x) = e−πx2es

fa(ξ) = e−πξ2

En este caso, se calcula la FrFT para la funcion N◦ 6.

42

Se continua efectuando el calculo para la funcion N◦ 11 de la Tabla 2.1

fa(ξ) =

∫ ∞

−∞cα e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) e−π(χx2+2λx)dx


∫ ∞

−∞e−iπ2xξ csc(α)+iπx2 cot(α)−πχx2−π2λxdx


∫ ∞

−∞ex2π(i cot(α)−χ)−x2π(iξ csc(α)+λ)dx


∫ ∞

−∞e−x2π(χ−i cot(α))−x2π(iξ csc(α)+λ)dx

Aquı se tiene presente una formula general de la Integral Gaussiana donde los coeficientes no

son numeros imaginarios puros, por lo que se debe usar la formula (1.6), entonces al tomar

c = π(χ− i cot(α)) y b = 2π(iξ csc(α) + λ) se llega a que


√π

π(χ− i cot(α))e

(2π(iξ csc(α)+λ))2

4π(χ−i cot(α))

=√

1− i cot(α) eiπξ2 cot(α)

√1

χ− i cot(α)e

π(i2ξ2 csc2(α)+λ2+i2ξλ csc(α))χ−i cot(α)

=

√1− i cot(α)

χ− i cot(α)eiπξ2 cot(α)+

−πξ2 csc2 α+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)

=

√1− i cot(α)

χ− i cot(α)e

iπξ2χ cot(α)+πξ2 cot2(α)−πξ2 csc2 α+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)

=

√1− i cot(α)

χ− i cot(α)e

πξ2(iχ cot(α)+cot2(α)−csc2 α)+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)

(i)=

√1− i cot(α)

χ− i cot(α)e

πξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+i2πξλ csc(α)χ−i cot(α)

(i): por la identidad trigonometrica 1 + cot2(α) = csc2(α).

43

Ası se muestra que la FrFT de f(x) = e−π(χx2+2λx) es

fa(ξ) =

√1− i cot(α)

χ− i cot(α)e

πξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+2iπξλ csc(α)χ−i cot(α) . (2.21)

La Integral Gaussiana (1.6) tiene como condicion que Re(c) > 0 y en este caso Re(c) = πχ

ası que se debe exigir que χ > 0.

Se pueden calcular algunas FrFT como casos particulares del resultado anterior

Caso 1: χ = 0

La FrFT de f(x) = e−2πλx es

fa(ξ) =√

1 + i tan eπ((λ2−ξ2)i tan(α)−2ξλ sec(α))

Ası se produce la FrFT de la funcion N◦ 8 de la Tabla 2.1

Caso 2: χ = 1

La FrFT de f(x) = e−π(x2+2λx) es

fa(ξ) = e−πξ2+πλ2 tan(α)+2iπξλ sec(α)

tan(α)−i

En este caso se origina la FrFT de la funcion N◦ 9.

Caso 3: λ = 0

La FrFT de f(x) = e−πχx2es

fa(ξ) =

√1− i cot(α)

χ− i cot(α)e

πξ2(iχ−tan(α))χ tan(α)−i

Aquı se muestra la FrFT para la funcion N◦ 10 de la Tabla 2.1

Caso 4: χ = 1, λ = 0

La FrFT de f(x) = e−πx2es

fa(ξ) = e−πξ2

De esta manera se genera, por otra vıa, la FrFT de la formula N◦ 6.

44

Segun Ozaktas, Zalevsky y Kutay [16], la FrFT de la funcion 9 de la Tabla 2.1 es

fa(ξ) =

√1− i cot(α)

χ− i cot(α)e

iπ cot(α)ξ2(χ2−1)+2ξχλ sec(α)+λ2

χ2+cot2(α) e−π csc2(α)

ξ2χ+2ξλ cos(α)−χλ2 sen2(α)

χ2+cot2(α) (2.22)

Ası que se debe mostrar la equivalencia entre (2.21) y (2.22). Comparandolas se ve que el

termino√


esta presente en ambas por lo tanto solo se debe mostrar que

eπξ2(iχ cot(α)−1)+πλ2+i2πξλ csc(α)

χ−i cot(α)︸︷︷︸(A)

= eiπ cot(α)

ξ2(χ2−1)+2ξχλ sec(α)+λ2

χ2+cot2(α) e−π csc2(α)

ξ2χ+2ξλ cos(α)−χλ2 sen2(α)

χ2+cot2(α)︸︷︷︸(B)

Trabajando con (B) se tiene que

(B) = eiπ cot(α)(ξ2(χ2−1)+2ξχλ sec(α)+λ2)−π csc2(α)(ξ2χ+2ξλ cos(α)−χλ2 sen2(α))

χ2+cot2(α)

= eπξ2

(C)︷︸︸︷(i cot(α)(χ2 − 1)− χ csc2(α))+2πξλ

(D)︷︸︸︷(iχ cot(α) sec(α)− csc2(α) cos(α))

χ2+cot2(α) ×

×eπλ2

(E)︷︸︸︷(i cot(α) + χ csc2(α) sen2(α))

χ2+cot2(α) (2.23)

En (C) se tiene que

i cot(α)(χ2 − 1)− χ csc2(α) = i cot(α)(χ2 − 1)− χ(cot2(α) + 1)

= iχ2 cot(α)− i cot(α)− χ cot2(α)− χ

= iχ2 cot(α)− i cot(α) + i2χ cot2(α)− χ

= (iχ cot(α)− 1)(χ + i cot(α)).

En (D) se tiene que

iχ cot(α) sec(α)− csc2(α) cos(α) = iχcos(α)

sen(α)

1

cos(α)− 1

sen2(α)cos(α)

= iχ csc(α)− cot(α) csc(α)

= i csc(α)(χ− cot(α)

i)

= i csc(α)(χ + i cot(α)).

45

En (E) se tiene que i cot(α) + χ csc2(α) sen2(α) = i cot(α) + χ.

Incorporando estas equivalencias en (2.23) se puede escribir que

(B) = eπξ2(iχ cot(α)−1)(χ+i cot(α))+i2πξλ csc(α)(χ+i cot(α))+πλ2(χ+i cot(α))

χ2−i2 cot2(α)

= e(πξ2(iχ cot(α)−1)+i2πξλ csc(α)+πλ2)(χ+i cot(α))

χ2−(i cot(α))2

= e(πξ2(iχ cot(α)−1)+i2πξλ csc(α)+πλ2)(χ+i cot(α))

(χ−i cot(α))(χ+i cot(α))

= eπξ2(iχ cot(α)−1)+i2πξλ csc(α)+πλ2

χ−i cot(α)

= (A).

Ası se llega a que (2.21) y (2.22) son equivalentes.

2.3. Propiedades de la Transformada Fraccionaria de

Fourier

Sea fa(ξ) la Transformada Fraccionaria de Fourier de la funcion f(x) entonces se tienen

las siguientes propiedades

1. Conservacion de la simetrıa

a) Si f(x) es una funcion par entonces fa(ξ) es una funcion par.

b) Si f(x) es una funcion impar entonces fa(ξ) es una funcion impar.

2. Linealidad

fa

{∑

k

αkfk(x)

}=

∑

k

αkfa {fk(x)} (2.24)

3. Elemento Unitario: Sea f(x) una funcion real, entonces

(fa(ξ)

)−1

= fa(ξ)

46

4. Propiedad de Indice Aditividad

fa1

{fa2 {f(x)}

}= fa1+a2 {f(x)} (2.25)

5. Propiedad Conmutativa

fa1

{fa2 {f(x)}

}= fa2

{fa1 {f(x)}

}

Seguidamente se presenta la demostracion de estas propiedades:


• Si f(x) es una funcion par entonces fa(ξ) es una funcion par

Demostracion:

Se debe mostrar que fa(ξ) = fa(−ξ), sabiendo que f(x) es par

fa(−ξ) =

∫ ∞

−∞Ka(−ξ, x)f(x) dx

(i)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ,−x)f(x) dx

(ii)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx

Ahora tomando el cambio de variables y = −x se tiene que dy = −dx y como x va de

−∞ a ∞ entonces y va de ∞ a −∞. Ası se obtiene que

∫ ∞

−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx = −

∫ −∞

∞Ka(ξ, y)f(y) dy

(iii)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ, y)f(y) dy

= fa(ξ).

(i): Usando la propiedad de Simetrıa Puntual del Kernel (2.5).

(ii): Usando que f(x) es una funcion par.

(iii): Por el cambio del orden en los lımites de integracion.

47

• Si f(x) es una funcion impar entonces fa(ξ) es una funcion impar.

Demostracion:

Se tiene que ver que fa(ξ) = −fa(−ξ), usando que f(−x) = −f(x)

−fa(−ξ) = −∫ ∞

−∞Ka(−ξ, x)f(x) dx

(i)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ,−x)(−f(x)) dx

(ii)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx

Ahora por el cambio de variables y = −x se tiene que dy = −dx y como x va de −∞a ∞ entonces y va de ∞ a −∞. Ası se obtiene que

∫ ∞

−∞Ka(ξ,−x)f(−x) dx = −

∫ −∞

∞Ka(ξ, y)f(y) dy

(iii)=

∫ ∞

−∞Ka(ξ, y)f(y) dy

= fa(ξ).

(i): Usando la propiedad de Simetrıa Puntual del Kernel (2.5).

(ii): Usando que f(x) es una funcion impar.

(iii): Por el cambio del orden en los lımites de integracion.

Se continua mostrando la Propiedad N◦ 3

Demostracion:

(fa(ξ)

)−1

= f−a(ξ)

=

∫ ∞

−∞K−a(ξ, x)f(x)dx

=

∫ ∞

−∞Ka(x, ξ)f(x)dx

48

=

∫ ∞


=

∫ ∞


= fa(ξ).

Nota 2.1 En esta demostracion se uso la definicion de la inversa de la transformada frac-

cionaria de Fourier, la propiedad del Conjugado Complejo del Kernel (2.4) y se uso que

f(x) = f(x) en el caso que f(x) sea una funcion real.

Seguidamente se trabaja con la Propiedad N◦ 4

Demostracion:

fa1

{fa2(t)

}=

∫ ∞

−∞Ka1(ξ, t)fa2(t) dt

=

∫ ∞

−∞Ka1(ξ, t)

[∫ ∞

−∞Ka2(t, x)f(x) dx

]dt

=

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞Ka1(ξ, t)Ka2(t, x)f(x) dx dt

(i)=

∫ ∞

−∞

[∫ ∞

−∞Ka1(ξ, t)Ka2(t, x) dt

]f(x) dx

(ii)=

∫ ∞

−∞Ka1+a2(ξ, x)f(x) dx

= fa1+a2 .

(i): aplicando el Teorema de Fubbini.

(ii): por la propiedad de aditividad del Kernel (2.6)

Ahora se continua con la propiedad N◦ 5

Demostracion:

Directo, usando la Propiedad de Indice Aditividad (2.25) y la propiedad de conmutativa de

la suma en R.

49

2.4. Autofunciones de la Transformada Fraccionaria de

Fourier

En esta seccion se mostrara que las funciones Hermite Gaussianas son las Autofunciones

de la FrFT.

Definicion 2.2 Sea A un operador lineal, se dice que f es una autofuncion o funcion propia

de A si se cumple que Af = λf donde λ se conoce como el correspondiente autovalor de f .

Entonces en nuestro caso se vera que

fa {ψn(x)} = eiαnψn(ξ) (2.26)

donde eian son los correspondientes autovalores.

Demostracion:

Siguiendo el Proceso Inductivo, primero se mostrara que la relacion es cierta para n = 0 y

para n = 1, luego se supondra que es cierta para n = k y finalmente se mostrara que se

cumple para n = k + 1.

Para n = 0 se tiene que probar que

fa {ψ0(x)} = eiα(0)ψ0(ξ),

Se sabe que

ψ0(x) = e−x2

2 H0(x)

y como H0(x) = 1 (1.9), entonces se llega a que

ψ0(x) = e−x2

2

50

ası que se debe mostrar que

fa

{e−

x2

2

}= e−

ξ2

2

Para n = 1 se tiene que probar que

fa {ψ1(x)} = eiαψ1(ξ),

Se sabe que

ψ1(x) = e−x2

2 H1(x)

y usando que H1(x) = 2x (1.10) se llega a que

ψ1(x) = 2xe−x2

2

ası que se debe mostrar que

fa

{2xe−

x2

2

}= eiα2ξe−

ξ2

2

En este caso se usara la regla de la multiplicacion, la cual establece que:

fa {xf(x)} =

(ξcos(α)− i sen(α)

d

dξ

)fa {f(x)}

51

Entonces se tiene que

fa

{2xe−

x2

2

}(i)= 2fa

{xe−

x2

2

}

(ii)= 2

(ξ cos(α)− i sen(α)

d

dξ

)fa

{e−

x2

2

}

(iii)= 2


d

dξ

)e−

ξ2

2

= 2

(ξ cos(α)e−

ξ2

2 − i sen(α)d

dξe−

ξ2

2

)

= 2

(ξ cos(α)e−

x2

2 + i sen(α)ξe−ξ2

2

)

= 2ξe−x2

2 (cos(α) + i sen(α))

(iv)= eiα2ξe−

ξ2

2

(i): por la linealidad de la FrFT (2.24).

(ii): por la regla operacional de la Multiplicacion.

(iii): por el caso n = 0.

(iv): por la formula de Euler.

Ahora se supondra que la proposicion es cierta hasta n = k, por lo tanto, se tiene que

fa {ψk(x)} = eiαkψk(ξ) (2.27)

y se tiene que mostrar que la proposicion es cierta para n = k + 1, es decir, se tiene que ver

que

fa {ψk+1(x)} = eiα(k+1)ψk+1(ξ)

52

Entonces

fa {ψk+1(x)} (i)= fa {2xψk(x)− 2kψk−1(x)}(ii)= 2fa {xψk(x)} − 2kfa {ψk−1(x)}(iii)= 2


d

dξ

)fa {ψk(x)} − 2kfa {ψk−1(x)}

(iv)= 2


d

dξ

)eiαkψk(ξ)− 2keiα(k−1)ψk−1(ξ)

= 2eiαk

(ξ cos(α)ψk(ξ)− i sen(α)

d

dξψk(ξ)

)− 2keiα(k−1)ψk−1(ξ)

(v)= 2eiαk(ξ cos(α)ψk(ξ)− i sen(α)(−ξψk(ξ) + 2kψk−1(ξ)))− 2keiα(k−1)ψk−1(ξ)

= 2eiαk(ξ cos(α)ψk(ξ) + iξ sen(α)ψk(ξ)− i2k sen(α)ψk−1(ξ))− 2keiαke−iαψk−1(ξ)

= 2ξeiαkψk(ξ)(cos(α) + i sen(α))− 2keiαkψk−1(ξ)(2i sen(α) + e−iα)

(vi)= 2ξeiαkψk(ξ)e

iα − 2neiαkψk−1(ξ)(2i sen(α) + cos(α)− i sen(α))

= 2ξeiαkψk(ξ)eiα − 2keiαkψk−1(ξ)(cos(α) + i sen(α))

= 2ξeiαkψk(ξ)eiα − 2keiαkψk−1(ξ)e

iα)

= 2ξeiα(k+1)ψk(ξ)− 2keiα(k+1)ψk−1(ξ))

= eiα(k+1)(2ξψk(ξ)− 2kψk−1(ξ))

(i)= eiα(k+1)ψk+1(ξ).

(i): usando la formula de recurrencia para los polinomios de Hermite (1.17)

(ii): por la linealidad de la FrFT (2.24).

(iii): por la regla operacional de la Multiplicacion.

(iv): por la hipotesis inductiva (2.27)

(v): usando la formula de la derivada para los polinomios de Hermite (1.16)

(vi): por la formula de Euler.

53

2.5. Reglas Operacionales de la Transformada Frac-

cionaria de Fourier

1. Regla de la Multiplicacion

fa {xmf(x)} =


d

dξ

)m

fa {f(x)} (2.28)

2. Regla de la Diferenciacion

fa

{d m

dxmf(x)

}=

(−iξ sen(α) + cos(α)

d

dξ

)m

fa {f(x)}

3. Regla del Producto Mixto

fa

{x d

dxf(x)

}=

= −(sen2(α)+iξ2 sen(α) cos(α))fa {f(x)}+ξ cos(2α)d

dξfa {f(x)}− i

2sen(2α)

d 2

dξ2fa {f(x)}

4. Regla de la Multiplicacion Chirp

Si g(x) = f(x)ei2πxv entonces

ga(ξ) = e−iπ(v2 sen(α)−2ξv sen(α)) cot(α)fa(ξ − v sen(α))

5. Regla del Factor Escalante

Si g(x) = f(cx) entonces

ga(ξ) =

(1− i cot(α)

c

)e−iπξ2 cot(α)

(1− cos2(α)

cos2(β)

)

fb

(ξ csc(α)

c csc(β)

)

con β = bπ2.

6. Regla de la Traslacion

Si g(x) = f(x + b) con b constante entonces

ga(ξ) = eiπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))fa(ξ + b cos(α))

54

7. Regla de la Exponencial

Si g(x) = e−i2π bxf(x) con b constante entonces

ga(ξ) = e−i2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))fa(ξ + b sen(α))

Ahora se demostraran cada una de estas reglas operacionales.

Regla operacional N◦ 1

Primero se demostrara la regla para las funciones Hermite Gaussianas y para m = 1, por lo

tanto, la regla establece lo siguiente:

fa {xψn(x)} =


d

dξ

)fa {ψn(x)}

Demostracion:

Partiendo de la formula de recurrencia de las funciones Hermite Gaussiana (1.17), se puede

escribir que

xψn(x) = 2−1ψn+1(x) + nψn−1(x)


fa {xψn(x)} = fa

{2−1ψn+1(x) + nψn−1(x)

}

(i)= 2−1fa {ψn+1(x)}+ nfa {ψn−1(x)}(ii)= 2−1eiα(n+1)ψn+1(ξ) + neiα(n−1)ψn−1(ξ)

(iii)= 2−1eiα(n+1)(2ξψn(ξ)− 2nψn−1(ξ)) + neiα(n−1)ψn−1(ξ)

= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− neiα(n+1)ψn−1(ξ) + neiα(n−1)ψn−1(ξ)

= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− nψn−1(ξ)(eiα(n+1) − eiα(n−1))

= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− nψn−1(ξ)eiαn(eiα − e−iα)

(iv)= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− nψn−1(ξ)e

iαn(cos(α) + i sen(α)− (cos(α)− i sen(α)))

= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− i2n sen(α) ψn−1(ξ)eiαn (2.29)

55

(i): por la propiedad de la Linealidad de la FrFT (2.24)

(ii): usando (2.26)

(iii): por la formla de recurrencia de las funciones Hermite Gaussiana (1.17)

(iv): por la formula de Euler.

Por otro lado, se tiene que

d

dξ

(fa {ψn(x)}

)(i)=

d

dξ

(eiαnψn(ξ)

)

(ii)= eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))

(i): usando (2.26)

(ii): usando (1.16)

Multiplicando la ecuacion anterior por i sen(α) se tiene que

i sen(α)d

dξ

(fa {ψn(x)}

)= i sen(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ)) (2.30)

Ahora sumando (2.29) y (2.30), se obtiene que:

fa {xψn(x)}+ i sen(α)d

dξ

(fa {ψn(x)}

)=

= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− i2n sen(α) ψn−1(ξ)eiαn + i sen(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))

= ξeiα(n+1)ψn(ξ)− iξ sen(α) eiαnψn(ξ)

Entonces

fa {xψn(x)} = ξeiα(n+1)ψn(ξ)− iξ sen(α) eiαnψn(ξ)− i sen(α)d

dξ

(fa {ψn(x)}

)

= ξeiαnψn(ξ)(eiα − i sen(α))− i sen(α)d

dξ

(fa {ψn(x)}

)

= ξeiαnψn(ξ)(cos(α) + i sen(α)− i sen(α))− i sen(α)d

dξ

(fa {ψn(x)}

)

(i)= ξ cos(α)fa {ψn(x)} − i sen(α)

d

dξ

(fa {ψn(x)}

)

=


d

dξ

)fa {ψn(x)} . (2.31)

56

(i): usando (2.26)

Ahora, sea f(x) una funcion de L2, se debe mostrar que

fa {xf(x)} =


d

dξ

)fa {f(x)}

Demostracion:

Como las funciones Hermite Gaussianas ψn(x) forman una base ortogonal para L2 entonces

se puede expresar a f(x) como sigue:

f(x) =∞∑

n=0

anψn(x)

Entonces

fa {xf(x)} = fa

{x

∞∑n=0

anψn(x)

}

(i)=

∞∑n=0

anfa {xψn(x)}

(ii)=

∞∑n=0

an

((ξ cos(α)− isen(α)

d

dξ

)fa {ψn(x)}

)

(i)=


d

dξ

)fa

{ ∞∑n=0

anψn(x)

}

=


d

dξ

)fa {f(x)} .

(i): por la Linealidad de la FrFT (2.24)

(ii): usando la regla de multiplicacion para las funciones Hermite Gaussianas (2.31)

Finalmente se demostrara la formula general de la Regla de la Multiplicacion, es decir:

fa {xmf(x)} =


d

dξ

)m

fa {f(x)}

Demostracion:

Siguiendo el proceso inductivo, primero se demostrara que la regla es cierta para m = 2,

57

luego se supondra que es cierta para m = k, y finalmente se demostrara que se cumple para

m = k + 1.

Para m = 2 se debe probar que

fa

{x2f(x)

}=


d

dξ

)2

fa {f(x)} (2.32)


fa

{x2f(x)

}= fa {x(xf(x))}=


d

dξ

)fa {xf(x)}

=


d

dξ

)(ξ cos(α)− i sen(α)

d

dξ

)fa {f(x)}

=


d

dξ

)2

fa {f(x)}

Se supone que la proposicion es cierta para m = k, con lo que se tiene

fa

{xkf(x)

}=


d

dξ

)k

fa {f(x)}

Por ultimo, se debe mostrar que la proposicion se cumple para m = k + 1, es decir, se tiene

que mostrar que

fa

{xk+1f(x)

}=


d

dξ

)k+1

fa {f(x)}

fa

{xk+1f(x)

}= fa

{xk(xf(x))

}

(i)=


d

dξ

)k

fa {xf(x)}

=


d

dξ

)k (ξ cos(α)− i sen(α)

d

dξ

)fa {f(x)}

=


d

dξ

)k+1

fa {f(x)} .

58

(i): usando la hipotesis inductiva

Por otra parte, se puede mostrar que la ecuacion (2.32) se puede expresar como:

sen 2α

2(−i + ξ2 cot(α))fa {f(x)} − iξ sen(2α)

d

dξfa {f(x)} − sen2(α)

d 2

dξ2fa {f(x)}

como lo expresa Victor Namias en [15].

Ahora se realizara la demostracion de esta ultima afirmacion.

Demostracion:

fa

{x2f(x)

}= fa {x(xf(x))}=


d

dξ

)fa {xf(x)}

=


d

dξ

)(ξ cos(α)− i sen(α)

d

dξ

)fa {f(x)}

=

(ξ2 cos2(α)− iξ cos(α) sen(α)

d

dξ− i sen(α)

d

dξξ cos(α) + i2 sen2(α)

d 2

dξ2

)fa {f(x)}

= ξ2 cos2(α)fa {f(x)} − iξ cos(α) sen(α)d

dξfa {f(x)} − i sen(α) cos(α)

d

dξxfa {f(x)}

− sen2(α)d 2

dξ2fa {f(x)}

Comod

dξξfa {f(x)} = fa {f(x)}+ ξ

d

dξfa {f(x)}

59

entonces

fa

{x2f(x)

}= ξ2 cos2(α)fa {f(x)} − iξ cos(α) sen(α)

d

dξfa {f(x)} − i sen(α) cos(α)fa {f(x)}

−iξ sen(α) cos(α)d


d 2

dξ2fa {f(x)}

= (ξ2 cos2(α)− i sen(α) cos(α))fa {f(x)} − i2ξ cos(α) sen(α)d

dξfa {f(x)}

− sen2(α)d 2

dξ2fa {f(x)}

= sen(α) cos(α)

(ξ2 cos(α)

sen(α)− i

)fa {f(x)} − iξ sen(2α)

d

dξfa {f(x)}

− sen2(α)d 2

dξ2fa {f(x)}

=sen 2α

2(−i + ξ2 cot(α))fa {f(x)} − iξ sen(2α)

d


d 2

dξ2fa {f(x)} .


Primero se mostrara la regla para las funciones Hermite Gaussianas y para m = 1, ası, la

regla establece lo siguiente:

fa

{d

dxψn(x)

}=


d

dξ

)fa {ψn(x)}

Demostracion:

De la ecuacion (1.16) se sabe que

ψ′n(x) = −xψn(x) + 2nψn−1(x)

60


fa

{d

dxψn(x)

}= fa {−xψn(x) + 2nψn−1(x)}(i)= −fa {xψn(x)}+ 2nfa {ψn−1(x)}(ii)= −


d

dξ

)fa {ψn(x)}+ 2nfa {ψn−1(x)}

(iii)= −


d

dξ

)eiαnψn(ξ) + 2neiα(n−1)ψn−1(ξ)

= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ) + i sen(α)eiαn d

dξ(ψn(ξ)) + 2neiα(n−1)ψn−1(ξ)

(iv)= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ) + i sen(α)eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ) +

+2neiα(n−1)ψn−1(ξ)

= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ)− iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + i2n sen(α)eiαnψn−1(ξ)) +

+2neiαne−iαψn−1(ξ) (2.33)

(i): por la propiedad de la Linealidad de la FrFT (2.24)

(ii): usando la regla de la multipicacion (2.28)

(iii): usando (2.26)

(iv): por la formla de la derivada de las funciones Hermite Gaussianas (1.16)

Por otro lado, se tiene que

d

dξ

(fa {ψn(x)}

)(i)=

d

dξ

(eiαnψn(ξ)

)

(ii)= eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))

(i): usando (2.26)

(ii): por la formla de la derivada de las funciones Hermite Gaussianas (1.16)

Ahora, multiplicando la ecuacion anterior por cos(α) se tiene que

cos(α)d

dξ

(fa {ψn(x)}

)= cos(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ)) (2.34)

61

Restando (2.33) y (2.34), se obtiene que

fa

{d

dxψn(x)

}− cos(α)

d

dξ

(fa {ψn(x)}

)=

= −ξ cos(α)eiαnψn(ξ)− iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + i2n sen(α)eiαnψn−1(ξ) +

+2neiαne−iαψn−1(ξ)− cos(α) eiαn(−ξψn(ξ) + 2nψn−1(ξ))

= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + i2n sen(α)eiαnψn−1(ξ) + 2neiαne−iαψn−1(ξ)−−2n cos(α) eiαnψn−1(ξ)

= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + (i sen(α) + e−iα − cos(α)) 2neiαnψn−1(ξ)

(i)= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + (i sen(α) + cos(α)− i sen(α)− cos(α)) 2neiαnψn−1(ξ)

= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ)

Entonces

fa

{d

dxψn(x)

}= −iξ sen(α)eiαnψn(ξ) + cos(α)

d

dξ

(fa {ψn(x)}

)

(ii)= −iξ sen(α)fa {ψn(x)}+ cos(α)

d

dξ

(fa {ψn(x)}

)

=


d

dξ

)fa {ψn(x)} . (2.35)

(i): por la formula de Euler.

(ii): usando (2.26)

Ahora, sea f(x) una funcion de L2, se debe mostrar que

fa

{d

dxf(x)

}=


d

dξ

)fa {f(x)}

Demostracion:

Como las funciones Hermite Gaussianas ψn(x) forman una base ortogonal para L2, entonces

se sabe que se puede expresar a f(x) como sigue:

f(x) =∞∑

n=0

anψn(x)

62

Entonces

fa

{d

dxf(x)

}= fa

{d

dx

∞∑n=0

anψn(x)

}

(i)=

∞∑n=0

anfa

{d

dxψn(x)

}

(ii)=

∞∑n=0

an

((−iξ sen(α) + cos(α)

d

dξ

)fa {ψn(x)}

)

(i)=


d

dξ

)fa

{ ∞∑n=0

anψn(x)

}

=


d

dξ

)fa {f(x)} .

(i): por la Linealidad de la FrFT (2.24)

(ii): usando la regla de diferenciacion para las funciones Hermite Gaussianas (2.35)

Finalmente se demostrara la forma general de la Regla de la Diferenciacion:

fa

{d m

dxmf(x)

}=


d

dξ

)m

fa {f(x)}

Demostracion:

Siguiendo el proceso inductivo, primero se demostrara que la regla es cierta para m = 2,

luego se supondra que la proposicion es cierta hasta m = k, para finalmente mostrar que la

proposicion se cumple para m = k + 1.

Para m = 2 se debe probar que

fa

{d 2

dx2f(x)

}=


d

dξ

)2

fa {f(x)}

63

entonces

fa

{d 2

dx2f(x)

}= fa

{d

dx

(d

dxf(x)

)}

=


d

dξ

)fa

{d

dxf(x)

}

=


d

dξ

)(−iξ sen(α) + cos(α)

d

dξ

)fa {f(x)}

=


d

dξ

)2

fa {f(x)}

Se supone que la proposicion es cierta hasta m = k, esto es

fa

{d k

dxkf(x)

}=


d

dξ

)k

fa {f(x)}

Por ultimo se debe mostrar que la proposicion se cumple para m = k + 1, es decir, se tiene

que mostrar que

fa

{d k+1

dxk+1f(x)

}=


d

dξ

)k+1

fa {f(x)}

fa

{d k+1

dxk+1f(x)

}= fa

{d k

dxk

(d

dξf(x)

)}

(i)=


d

dξ

)k

fa

{d

dxf(x)

}

=


d

dξ

)k (−iξ sen(α) + cos(α)

d

dξ

)fa {f(x)}

=


d

dξ

)k+1

fa {f(x)} .

(i): usando la hipotesis inductiva


64

Demostracion:

fa

{x

d

dxf(x)

}=


d

dξ

)fa

{d

dxf(x)

}

=


d

dξ

)(−iξ sen(α) + cos(α)

d

dξ

)fa {f(x)}

=

(−iξ2 cos(α) sen(α) + ξ cos2(α)

d

dξ+ i2 sen2(α)

d

dξξ − i sen(α) cos(α)

d 2

dξ2

)fa {f(x)}

= −iξ2 cos(α) sen(α)fa {f(x)}+ ξ cos2(α)d


d

dξξfa {f(x)}

−i sen(α) cos(α)d 2

dξ2fa {f(x)}

Por otra parte se sabe que

d

dξξfa {f(x)} = fa {f(x)}+ ξ

d

dξfa {f(x)}

Entonces

fa

{x

d

dxf(x)

}= −iξ2 cos(α) sen(α)fa {f(x)}+ ξ cos2(α)

d

dξfa {f(x)} − sen2(α)fa {f(x)}

−ξ sen2(α)d

dξfa {f(x)} − i sen(α) cos(α)

d 2

dξ2fa {f(x)}

= (−iξ2 cos(α) sen(α)− sen2(α))fa {f(x)}+ (ξ cos2(α)− ξ sen2(α))d

dξfa {f(x)}

− i

2sen(2α)

d 2

dξ2fa {f(x)}

= −(sen2(α) + iξ2 sen(α) cos(α))fa {f(x)}+ ξ cos(2α)d

dξfa {f(x)}

− i

2sen(2α)

d 2

dξ2fa {f(x)} .


Demostracion:

65

Se parte escribiendo el significado de fa(ξ − v sen(α))

fa(ξ − v sen(α)) = cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2x(ξ−v sen(α)) csc(α)−(x2+(ξ−v sen(α))2) cot(α))f(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−2xv sen(α) csc(α)−(x2+ξ2−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α))f(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)−2xv−(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α))f(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) e2iπxv eiπ(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α)f(x) dx

= eiπ(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α) cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) ei2πxv f(x) dx

(i)= eiπ(−2ξv sen(α)+v2 sen2(α)) cot(α) ga(ξ)

Luego

e−iπ(v2 sen(α)−2ξv sen(α)) cot(α)fa(ξ − v sen(α)) = ga(ξ).

Ası se llega finalmente a lo que se querıa mostar.

(i): usando que g(x) = f(x)e2iπxv


Demostracion:

ga(ξ) = cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α))f(x + b) dx

aplicando el cambio de variables y = x + b se tiene que x = y − b y dy = dx. Ası se obtiene

que

ga(ξ) = cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2(y−b)ξ csc(α)−((y−b)2+ξ2) cot(α))f(y) dy

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2yξ csc(α)− 2bξ csc(α)− y2 cot(α)+ 2yb cot(α)− b2 cot(α)− ξ2 cot(α))f(y) dy

66

Ahora se multiplica a cada lado de la ecuacion anterior por el termino e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α)).

Ası se obtiene que:

e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))ga(ξ) =

= e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2yξ csc(α)− 2bξ csc(α)− y2 cot(α)+ 2yb cot(α)− b2 cot(α)− ξ2 cot(α))f(y) dy

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2yξ csc(α)− 2bξ csc(α)− y2 cot(α)+ 2yb cot(α)− b2 cot(α)− ξ2 cot(α)+ 2b ξ sen(α)+b2 sen(α) cos(α))f(y) dy

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2yξ csc(α)+ 2yb cot(α)− y2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ csc(α)+ 2b ξ sen(α)− b2 cot(α)+ b2 sen(α) cos(α))f(y) dy

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2y(ξ csc(α)+ b cot(α))− y2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ(csc(α)− sen(α))− b2(cot(α)− sen(α) cos(α)))f(y) dy

(2.36)

Ahora se usaran las siguientes identidades trigonometricas:

cot(α) =cos(α)

sen(α)= cos(α)

1

sen(α)= cos(α) csc(α). (2.37)

csc(α)− sen(α) =1

sen(α)− sen(α) =

1− sen2(α)

sen(α)=

cos2(α)

sen(α)= cot(α) cos(α). (2.38)

cot(α)− sen(α) cos(α) =cos(α)

sen(α)− sen(α) cos(α) =

cos(α) − sen2(α) cos(α)

sen(α)

=cos(α)(1 − sen2(α))

sen(α)=

cos(α) cos2(α)

sen(α)= cos2(α) cot(α).

(2.39)

67

Entonces utilizando (2.37), (2.38), (2.39) en (2.36) se llega a que

e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))ga(ξ) =

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2y(ξ csc(α)+ b cos(α) csc(α))− y2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ cot(α) cos(α)− b2 cos2(α) cot(α))f(y) dy

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2y(ξ + b cos(α)) csc(α)− y2 cot(α)− (ξ2 +2ξb cos(α)+ b2 cos2(α)) cot(α))f(y) dy

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2y(ξ + b cos(α)) csc(α)− y2 cot(α)− (ξ+ b cos(α))2 cot(α))f(y) dy

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2y(ξ + b cos(α)) csc(α)− (y2 +(ξ+ b cos(α))2) cot(α))f(y) dy

= fa(ξ + b cos(α))

Ası se obtiene que

e−iπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))ga(ξ) = fa(ξ + b cos(α))

y se demostro lo que se querıa

ga(ξ) = eiπ b sen(α) (2ξ+b cos(α))fa(ξ + b cos(α)).


Demostracion:

ga(ξ) = cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)) e−i2π bxf(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)+2bx)f(x) dx

Ahora se multiplica a cada lado de la ecuacion anterior por el termino ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))

y se obtiene que:

68

ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))ga(ξ) =

= ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−(x2+ξ2) cot(α)+2bx)f(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2xξ csc(α)−x2 cot(α)− ξ2 cot(α) + 2bx− 2bξ cos(α)− b2 cos(α) sen(α))f(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2x(ξ csc(α)+ b)−x2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ cos(α)− b2 cos(α) sen(α))f(x) dx (2.40)

Ahora se escribiran las siguientes identidades trigonometricas:

1 = sen(α)1

sen(α)= sen(α) csc(α). (2.41)

cos(α) = sen(α)cos(α)

sen(α)= sen(α) cot(α). (2.42)

sen(α) cos(α) = sen2 αcos(α)

sen(α)= sen2 α cot(α). (2.43)

y aplicando (2.41), (2.42), (2.43) en (2.40) se llega a que

ei2π cos(α) (ξ+ 12b sen(α))ga(ξ) =

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2x(ξ csc(α)+ b sen α csc α)−x2 cot(α)− ξ2 cot(α)− 2bξ sen(α) cot(α)− b2 sen2 α cot(α))f(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2x(ξ + b sen(α)) csc(α)− (x2 + ξ2 + 2bξ sen(α)+ b2 sen2 α) cot(α))f(x) dx

= cα

∫ ∞

−∞e−iπ(2x(ξ + b sen(α)) csc(α)− (x2 +(ξ + b sen(α))2) cot(α))f(x) dx

= fa(ξ + b sen(α))

Por lo tanto

ei2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))ga(ξ) = fa(ξ + b sen(α))

es decir

ga(ξ) = e−i2πb cos(α) (ξ+ 12b sen(α))fa(ξ + b sen(α)).

69

Capıtulo 3

Aplicacion de la TransformadaFraccionaria de Fourier en

Watermarking

En este capıtulo se abordara uno de los campos donde la transformada fraccionaria

de Fourier tiene aplicacion, se trata de watermarking. Primero se explicara lo que son las

marcas de agua digitales o watermarking. Para esto, se dara una pequena introduccion,

definicion, inicios, aplicaciones, caracterısticas, y clasificacion de las watermarking. Luego se

estudiara una tecnica de watermarking usando transformada fraccionaria de Fourier, con el

fin de crear un programa donde se implemente esta tecnica.

3.1. Introduccion

Desde la antiguedad, cualquiera que tuviera o produjera un documento u obra de arte de

algun valor estaba interesado en marcarlo con un sello o codigo con el objetivo de establecer

su propiedad y su autenticidad en caso de copia o robo. Con la evolucion tecnologica, el

70

rapido crecimiento del Internet junto con la posibilidad de digitalizacion de cualquier tipo

de informacion, ademas de poder realizar modificaciones o copias con una calidad identica a

la del original, se hace necesaria la creacion de mecanismos de proteccion de los derechos de

la propiedad intelectual.

3.2. Definicion

Watermarking digital (o marcas de agua) es un codigo de informacion que es incluido

en un archivo multimedia de manera que sea preferiblemente no perceptible para el humano

pero sı facilmente detectable por un computador. El tipo de informacion incrustada en el

archivo dependera de la aplicacion que se le dara a la marca de agua.

Todas las tecnicas de Watermarking estan formadas por dos procesos: El proceso de insercion

o codificacion y el proceso de extraccion o identificacion. El proceso de insercion realiza la

inclusion de la marca de agua X en el archivo original A para producir el archivo marcado

A∗. Por lo general, es asociada a este proceso una clave con el objeto de aumentar la seguri-

dad. Ver Figura 3.1.

El proceso de identificacion, dependiendo del proceso de codificacion y del uso de la Water-

marking, extrae la marca X o calcula un parametro que dira si la marca esta presente en el

archivo estudiado.

3.3. Inicios

Se puede atribuir la creacion del Watermarking digital a Emil Hembrooke de Muzac

Corporation, quien en 1954 presento una patente titulada “Identification of sound and like

signals”[10], en la cual se describe un metodo para incluir dentro de un dispositivo que con-

71

Figura 3.1: Esquema del proceso de watermarking.

tenıa musica, un codigo imperceptible con el objeto de probar la autorıa de la pieza.

Sin embargo, no fue hasta 1990 cuando el interes por Watermarking digital tuvo un gran

auge convirtiendose en un topico importante de investigacion. Este auge fue motivado por

grupos como Copy Protection Technical Working Group (CPTWG), Strategic Digital Music

Initiative (SDMI) y Recording Industry Association of America (RIAA) entre otros, quienes

estaban preocupados por el incremento en la violacion de los derechos de autor.

72

3.4. Aplicaciones

Entre las principales aplicaciones de la Watermarking se encuentran las siguientes:

Verificacion de propiedad

La marca de agua se usa como una firma que demuestra quien es el propietario de la

informacion. En este caso la marca podrıa ser visible o invisible.

Identificacion de originales, deteccion de alteraciones

La marca de agua actua de forma que se pueda asegurar la autenticidad de la infor-

macion, por ejemplo en pruebas judiciales, reclamos a seguros, fotografıa periodıstica.

Deteccion de copia y distribucion no autorizada

La marca de agua se usa como una firma distintiva de cada copia, lo que permite saber

quien es el propietario original de una copia pirata.

Etiquetado de contenido

La marca de agua incluye datos adicionales del archivo donde esta guardada, por

ejemplo en un archivo MP3 puede estar guardado el tıtulo de la cancion, el autor y

hasta una foto de la portada del disco a la que pertenece la pieza.

Ocultar informacion

Este tipo de marcas se usan para transmitir mensajes ocultos. Para un ejemplo, ver

Figura 3.2

3.5. Caracteristicas

Existen varias caracterısticas importantes que deben estar presentes en una Watermark-

ing para garantizar su efectividad. Para este trabajo se destacan las siguientes:

73

Figura 3.2: Esquema para ocultar una foto dentro de otra como una watermarking.

Grado de Robustez

Se refiere a que debe ser difıcil distorsionar la marca hasta el punto de hacerla inde-

tectable o eliminarla totalmente.

Costo computacional

Es importante que el tiempo empleado en el proceso de insercion de la marca, y espe-

cialmente en el proceso de deteccion, sea el menor posible.

Ambiguedad

La probabilidad de fallar detectando la marca, es decir un falso negativo, y de detectarla

cuando realmente no existe, es decir, un falso positivo, deben ser muy bajas.

Invisible a nivel estadıstico

Si todos los productos marcados con una clave presentan una misma caracterıstica

comun, resultara sencillo detectar la proteccion si se dispone de un numero considerable

de productos marcados. Para evitarlo, puede usarse una marca de agua que dependa

del contenido de la informacion. De esta forma, si se dispone por ejemplo de N imagenes

74

diferentes, no podra extraerse la marca como aquella parte comun a todas ellas, ya que

cada marca depende del contenido de su propia imagen.

3.6. Clasificacion

Estas tecnicas de Watermarking Digital pueden ser aplicadas a diferentes tipos de archivos:

textos, sonidos, imagenes y videos.

Segun el proceso de Insercion, las Watermarking pueden ser clasificadas en dos categorıas:

Tecnicas en el Dominio del Espacio

Son las mas sencillas, la marca modifica directamente el valor de crominancia de los

pıxeles.

Tecnicas en el Dominio de la Frecuencia:

Emplean una transformacion lineal e invertible para convertir los valores de la imagen

(pıxeles) del dominio tiempo al dominio frecuencia. La marca modifica directamente

el valor de los coeficientes espectrales de la imagen. La mayor parte de las tecnicas

desarrolladas en este dominio estan inspiradas en metodos de codificacion y compresion.

Aquı se puede destacar la siguiente subclasificacion:

• Transformada Discreta del Coseno

• Transformada Discreta de Wavelet

• Transformada Discreta de Fourier

• Transformada Discreta Fracionaria de Fourier

Para mayor informacion sobre las aplicaciones y la clasificacion de las watermarking se puede

consultar [8, 4, 2, 3, 9, 6, 22, 12]

75

3.7. Algoritmo

El metodo descrito por Djurovic, Stankovic, y Pitas [8] esta enmarcado en watermarking

para imagenes, en particular para imagenes en blanco y negro y utiliza el dominio fraccionario

de Fourier. Al estar trabajando sobre imagenes es necesario utilizar la FrFT bidimensional por

lo que se emplearan dos angulos (α y β) para hacer los calculos. Este metodo esta basado en

una tecnica de correlacion donde se marca la imagen con un patron de ruido pseudoaleatorio.

Un patron pseudoaleatorio es aquel que, partiendo de un valor inicial llamado semilla, va

generando una sucesion de numeros. Siempre que se parta de la misma semilla, se obtendra la

misma secuencia de numeros. Para crear la imagen marcada I*, el ruido pseudoaleatorio

M es multiplicado por una constante k y luego sumado a la imagen a marcar I, es decir,

I*=I+kM. Para detectar la imagen marcada se utiliza la correlacion entre ella y el ruido

pseudoaleatorio. Durante el proceso de deteccion, el valor de la correlacion va a ser alto para

el ruido pseudoaleatorio generado con la semilla correcta y bajo para el caso contrario.

A continuacion se deescriben los dos procesos involucrados en esta tecnica de watermark-

ing, a saber, el proceso de insercion o codificacion y el proceso de extraccion o identificacion.

Proceso de Insercion:

1. Leer la imagen a marcar “ Im ”

2. Crear la marca “ M ”

3. Calcular “ ImT ”que es la transformada fraccionaria de Fourier de “ Im ”

4. Insertar la marca “ M ” dentro de “ ImT ” para producir “ ImT* ”

76

5. Calcula la transformada fraccionaria de Fourier inversa de “ ImT* ” para generar

“ Im* ”

6. Mostrar la imagen marcada “ Im* ”

Proceso de Extraccion:

1. Leer la imagen a estudiar “ Im** ”

2. Leer la marca “ M ” que debe ser reconocida en la supuesta imagen marcada

“ Im** ”

3. Calcular el ındice de correlacion “ d ” entre la marca “ M ” y la imagen a estudiar

“ Im** ”

4. Dar la respuesta del analisis, que sera “ SI ” en caso que el valor de “ d ” sea alto

y “ NO ” en caso contrario

Este algoritmo fue programado en MatLab y el codigo se encuentra en la seccion de anexos.

3.8. Resultados

En esta seccion se presentan los resultados obtenidos con la implementacion de este algo-

ritmo. Es importante senalar que estos son resultados preliminares. La finalidad del estudio

en este campo de aplicacion es proponer un nuevo algoritmo que mejore el desempeno de los

que existen actualmente, pero esto quedara para futuras investigaciones.

A continuacion se tomara una foto y se le insertara una marca usando los angulos α = 0.3π2

y β = 0.6π2. Por razones evidentes se empleara una marca que resultara visible en la foto.

En la Figura 3.3 (a) esta la foto original y en la Figura 3.3 (b) se muestra la foto marcada.

77

Por otro lado, en la Figura 3.4 (a) se presenta la grafica de los coeficientes de la transformada

fraccionaria de Fourier para la foto original y en la Figura 3.4 (b) se muestra la grafica de

los coeficientes de la transformada de Fourier de la imagen marcada. Al comparar ambas

graficas resulta evidente reconocer que parte corresponde a la marca (pico), ademas, como se

puede ver en la Figura 3.4 (a), los valores observados tienen un maximo de aproximadamente

220 mientras que en la Figura 3.4 (b) se ve que el pico tienen un valor aproximado de 1500,

con lo que se esta en presencia de un valor significativamente distinto al resto.

Ahora, en la Figura 3.5 se presentan diferentes graficas para los coeficientes de la transfor-

mada fraccionaria de Fourier de la foto marcada, pero usando angulos distintos a los usados

para la insercion de la marca, como resulta evidente, solo cuando son usados los angulos

correctos se puede identificar la marca sin posibilidad de error, en los otros casos no hay una

diferencia tan significativa entre algun pico y el resto de los valores.

(a) (b)

Figura 3.3: (a) Foto original. (b) Foto marcada

78

Figura 3.4: (a) FrFt de la Foto original. (b) FrFt de la Foto marcada

79

Figura 3.5: FrFT de la imagen marcada con diferentes angulos.

80

Conclusiones

En este trabajo, se estudiaron aspectos teoricos de la transformada fraccionaria de Fouri-

er, ası como tambien, se inicio el estudio en uno de los campos de su aplicacion. Debido

a que la gran mayorıa de los resultados exhibidos en los artıculos que abordan a la FrFT

estan enunciados sin demostracion y para el resto de ellos solo se ofrece un boceto de su

demostracion, el centro de este trabajo fue la formalizacion de las demostraciones de estos

resultados teoricos. Ası, se demostraron todas las propiedades del Kernel de la FrFT tomando

en cuenta la totalidad de los casos que se generan de su definicion. Estas propiedades fueron

la base para la demostracion de las propiedades de la FrFT. Tambien fueron demostradas

las reglas operacionales de la FrFT, y de igual manera, se calculo en detalle la FrFT para un

grupo de funciones basicas.

El estudio de la aplicacion de la FrFT se centro en el tema de marcas de agua digitales (wa-

termarking). Se realizo una investigacion exploratoria para conocer este tema, entendiendo la

evolucion que ha tenido hasta el momento y los problemas abiertos que existen actualmente.

Luego de este primer acercamiento, el trabajo se enfoco en el de I. Djurovic, S. Stankovic, y I.

Pitas [8], obteniendo como resultado la implementacion en MatLab del algoritmo propuesto

por ellos y realizando varias problemas test para efectuar pruebas iniciales.

81

Anexos

1. Codigo en Matlab para las graficas de los primeros 6 polinomios de Hermite

x=-10:0.01:10;

H0=1;

H1=2*x;

H2=4*x.^2-2;

H3=8*x.^3-12.*x;

H4=16*x.^4-48*x.^2+12;

H5=32*x.^5-160*x.^3+120*x;

figure;

subplot(3,2,1);plot(x,H0);title(’H0(x)’);

subplot(3,2,2);plot(x,H1);title(’H1(x)’);

subplot(3,2,3);plot(x,H2);title(’H2(x)’);AXIS([-4 4 -10 60]);

subplot(3,2,4);plot(x,H3);title(’H3(x)’);AXIS([-2 2 -60 60]);

subplot(3,2,5);plot(x,H4);title(’H4(x)’);AXIS([-2.3 2.3 -40 80]);

subplot(3,2,6);plot(x,H5);title(’H5(x)’);AXIS([-2.3 2.3 -150 150])

82

2. Codigo en Matlab para generar las graficas del Kernel de la FrFT con α = aπ2

[u,v]=meshgrid(-1:0.01:1);

a=[0.05 0.1 0.5 0.9 1.3 1.7 1.9 1.95];

figure;

for t=1:8

alfa=a(t)*pi/2;

k=sqrt(1-i*cot(alfa))*exp(-i*pi*(2*csc(alfa)*

u.*v-(u.^2 + v.^2)*cot(alfa)));

subplot(4,2,t);mesh(real(k));

AXIS([0 220 0 300]);

VIEW(-10,60)

ylabel([’a = ’,num2str(a(t))])

end

figure;

for t=1:8

alfa=a(t)*pi/2;

k=sqrt(1-i*cot(alfa))*exp(-i*pi*(2*csc(alfa)*

u.*v-(u.^2 + v.^2)*cot(alfa)));

subplot(4,2,t);mesh(imag(k));

AXIS([0 220 0 300]);

VIEW(-10,60)

ylabel([’a = ’,num2str(a(t))])

end

83

3. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(u) = 1

u=-4:0.01:4; filas=3;

for t=1:3

alfa=0.25*t*pi/2;

z=sqrt(1+i*tan(alfa)).*exp(-i*pi*u.^2*tan(alfa));

subplot(filas,2,2*t-1);plot(u,real(z));

title([’a=’,num2str(0.25*(t-1)),’ (parte real)’]);

subplot(filas,2,2*t);plot(u,imag(z));

title([’a=’,num2str(0.25*(t-1)),’ (parte imaginaria)’]);

end

4. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(u) = δ(u)

figure; u=-4:0.01:4; c=0.9; b=0.1;

for t=1:3

alfa=0.25*t*pi/2;

z = sqrt(1-i*cot(alfa)).*exp(i*pi*u.^2.*cot(alfa));


title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte real)’]);


title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte imaginaria)’]);

end

84

5. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(x) = eiπ(χx2+2λx) con

χ = λ = 12

figure; u=-4:0.01:4; c=0.5; b=0.5;

for t=1:3

alfa=0.25*t*pi/2;

z=sqrt((1+i*tan(alfa))./(1+c.*tan(alfa))).*exp(i*pi*(u.^2.*(c-tan(alfa))

+2*u*b.*sec(alfa)-b.^2.*tan(alfa))./(1+c.*tan(alfa)));




title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte imaginaria)’]);end

6. Codigo en Matlab para generar las graficas de la FrFT para f(x) = e−π(χx2+2λx) con

χ = λ = 12

figure; u=-4:0.01:4; c=0.5; b=0.5;

for t=1:3

alfa=0.25*t*pi/2;

z=sqrt((1-i*cot(alfa))./(c-i.*cot(alfa))).*exp(pi*u.^2*(i*c*cot(alfa)-1)

+pi*b.^2+2*i*pi*u*b.*csc(alfa)./(c-i.*cot(alfa)));




title([’a=’,num2str(0.25*t),’ (parte imaginaria)’]);end

85

7. Codigo en Matlab del algoritmo descrito en el artıculo de Djurovic, Stankovic, y Pitas

function WM4(ang1,ang2);

x=imread(’lena.tiff’);

ximg=double(x)/255;

M=8000;L=M;

%marca= WGN(1, M, 0.04,’complex’);

marca = sqrt(0.04)*randn(1,M)+i*sqrt(0.04)*randn(1,M);

% Dimensiones

dimximg=size(ximg);

% Transformada

tx_a=fracF2D(ximg,ang1,ang2);

tx_b=uDFRFT2D(ximg,ang1,ang2);

% Pasar a vector columna

vtx_a=tx_a(:);

vtx_b=tx_b(:);

% Ordenar el vector de manera ascendente

[svtx_a,inx_a]=sort(vtx_a);

[svtx_b,inx_b]=sort(vtx_b);

% Colocar el vector en orden descendente

svtx_a=flipud(svtx_a);

86

svtx_b=flipud(svtx_b);

copia_svtx_a=svtx_a;

copia_svtx_b=svtx_b;

% Incluir la marca en el vector

svtx_a(L+1:L+M)=svtx_a(L+1:L+M)+real(marca).’.*abs(real(svtx_a(L+1:L+M)))

+i*imag(marca).’.*abs(imag(svtx_a(L+1:L+M)));

svtx_b(L+1:L+M)=svtx_b(L+1:L+M)+real(marca).’.*abs(real(svtx_b(L+1:L+M)))

+i*imag(marca).’.*abs(imag(svtx_b(L+1:L+M)));

%calculo de los valores de "d" y "ed" usando fracF2D

disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando fracF2D’);

d=sum(conj(marca).*svtx_a(L+1:L+M)’)

ed=sum(abs(real(svtx_a(L+1:L+M))))+sum(abs(imag(svtx_a(L+1:L+M))))

disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando uDFRFT2D’);

d=sum(conj(marca).*svtx_b(L+1:L+M)’)

ed=sum(abs(real(svtx_b(L+1:L+M))))+sum(abs(imag(svtx_b(L+1:L+M))))

% Volver al orden inicial del vector

vtx2_a(inx_a)=flipud(svtx_a);

vtx2_b(inx_b)=flipud(svtx_b);

% Volver a la matriz

ximg2_a=reshape(vtx2_a,dimximg(1),dimximg(2));

87

ximg2_b=reshape(vtx2_b,dimximg(1),dimximg(2));

% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados, sin marca

figure;subplot(2,2,1);plot(real(copia_svtx_a));

title(’Coeficientes de la Transformada ordenada, sin marca

(vector) usando fracF2D’);

% Grafica de los coeficientesde la transformada ordenados y marcados

subplot(2,2,2);plot(real(svtx_a));

title(’Coeficientes de la Transformada ordenada y marcada

(vector) usando fracF2D’);


subplot(2,2,3);plot(real(copia_svtx_b));

title(’Coeficientes de la Transformada ordenada, sin marca

(vector) usando uDFRFT2D’);


subplot(2,2,4);plot(real(svtx_b));

title(’Coeficientes de la Transformada ordenada y marcada

(vector) usando uDFRFT2D’);

% Inversa de la Transformada

%iximg=ifft2(ximg2);

iximg_a=fracF2D(ximg2_a,-ang1,-ang2);

iximg_b=uDFRFT2D(ximg2_b,-ang1,-ang2);

% Imprimir imagen marcada

88

figure;subplot(2,2,1);imshow(ximg);title(’Imagen Original’);

subplot(2,2,3);imshow(iximg_a);title(’Imagen Marcada usando fracF2D’);

subplot(2,2,4);imshow(iximg_b);title(’Imagen Marcada usando uDFRFT2D’);


figure;subplot(2,2,1);mesh(abs(tx_a));

title(’Coeficientes de la Transformada sin marca

(matriz) usando fracF2D’);


subplot(2,2,2);mesh(abs(ximg2_a));

title(’Coeficientes de la Transformada marcada

(matriz) usando fracF2D’);


subplot(2,2,3);mesh(abs(tx_b));

title(’Coeficientes de la Transformada sin marca

(matriz) usando uDFRFT2D’);


subplot(2,2,4);mesh(abs(ximg2_b));

title(’Coeficientes de la Transformada marcada

(matriz) usando uDFRFT2D’);

% Grafica de la imagen original (matriz)

figure;subplot(2,2,1);mesh(abs(ximg));

title(’Imagen Original (matriz)’);

% Grafica de la imagen marcada (matriz)

89

subplot(2,2,3);mesh(abs(iximg_a));

title(’Imagen Marcada (matriz) usando fracF2D’);

% Grafica de la imagen marcada (matriz)

subplot(2,2,4);mesh(abs(iximg_b));

title(’Imagen Marcada (matriz) usando uDFRFT2D’);

disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando fracF2D’);

Calcular_d(L,M,ximg,marca,ang1,ang2,1);

disp(’Calculo d y ed para la imagen marcada usando fracF2D’);

Calcular_d(L,M,iximg_a,marca,ang1,ang2,1);

disp(’Calculo d y ed para la imagen original usando uDFRFT2D’);

Calcular_d(L,M,ximg,marca,ang1,ang2,2);

disp(’Calculo d y ed para la imagen marcada usando uDFRFT2D’);

Calcular_d(L,M,iximg_b,marca,ang1,ang2,2);

function Calcular_d(L,M,img,marca,ang1,ang2,tipo)

% para hacer los calculos sobre los valores de la imagen transformadas

if tipo==1

t=fracF2D(img,ang1,ang2);

else

t=uDFRFT2D(img,ang1,ang2);

end

vt=t(:);

svt=sort(vt);

svt=flipud(svt)’;

90

d=sum(conj(marca).*svt(L+1:L+M))

ed=sum(abs(real(svt(L+1:L+M))))+sum(abs(imag(svt(L+1:L+M))))

return

91

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