transformari mobius˘ - cs.ubbcluj.rodiana.halita/files/research/dm2014-2.pdfconjugata matricii˘ 1...
TRANSCRIPT
Transformari Mobius
Diana-Florina Halita
Facultatea de Matematica si InformaticaMasterat Matematica Didactica
10 Mai 2014
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 1 / 31
Introducere
Rezumat
Transformari Geometrice
Structuri Algebrice ⇒ Grupul Izometriilor, împreuna cusubgrupurile acestuia
Grupul Transformarilor Mobius + proprietati
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 2 / 31
Sfera Riemann
Sfera Riemann
Definitie
Sfera Riemann
P ={
(z, t) ∈ C× R : |z|2 + t2 = 1}
.
Definitie
Prin proiectie stereografica se întelege o aplicatie care transformafiecare punct al planului complex în plan de pe sfera Riemann sireciproc.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 3 / 31
Proiectia Stereografica
Proiectia stereografica
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 4 / 31
Proiectia Stereografica
Proiectia stereografica
π(z) = (2z
1 + |z|2,−1 + |z|2
1 + |z|2)
Aceasta functie este bijectiva, iar inversa ei este π−1 : P → C ∪ {∞},
π−1(z, t) =z
1 − t
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 5 / 31
Proiectia Stereografica
Definitie
Prin distanta chordala între doua puncte z1, z2 ∈ C se întelege distantaeuclidiana dintre proiectiile stereografice ale celor doua puncte,π(z1), π(z2).
κ(z1, z2) =2|z1 − z2|
√
1 + z21
√
1 + z22
.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 6 / 31
Proiectia Stereografica
Proprietati
Proprietate
Proiectia stereografica este o transformare conforma, adica pastreazaunghiurile dintre doua curbe.
Proprietate
Proiectia stereografica transforma cercurile sau dreptele din planulcomplex în cercuri de pe sfera Riemann. Dreptele din planul complexvor corespunde cercurilor care trec prin polul nord al sferei Riemann.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 7 / 31
Transformari Mobius
Transformari Mobius
Definitie
O transformare Mobius este o functie
T : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}, T (z) =az + bcz + d
, a, b, c, d ∈ C, ad − bc 6= 0
Definitie
Multimea tuturor transformarilor Mobius formeaza un grup:
(Mob, ◦)
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 8 / 31
Transformari Mobius
Observatie
Se pune în evidenta omomorfismul între grupuri:
Φ : GL2(C) → Mob, Φ(
a bc d
)
=az + bcz + d
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 9 / 31
Vizualizarea transformarilor Mobius - Puncte fixe
Vizualizarea transformarilor Mobius - Puncte fixe
Teorema
O transformare Mobius diferita de transformarea identica are:
un punct fix, daca matricea M corespunzatoare transformarii este
conjugata matricii(
1 10 1
)
doua puncte fixe, daca matricea M corespunzatoare transformarii
este conjugata matricii Mk
(
λ 00 λ−1
)
Observatie
Daca c 6= 0 ambele puncte fixe sunt din C. Daca c = 0 atunci cel putinunul din punctele fixe tinde spre ∞.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 10 / 31
Clasificarea Transformarilor Mobius
Clasificarea Transformarilor Mobius
O transformare Mobius este:
identitate, daca M e conjugata ±
(
1 00 1
)
parabolica, daca M e conjugata ±
(
1 10 1
)
eliptica, daca M e conjugata(
λ 00 λ−1
)
, |λ| = 1
hiperbolica, daca M e conjugata(
λ 00 λ−1
)
, λ ∈ R{±1}
loxodromica, daca M e conjugata(
λ 00 λ−1
)
, |λ| 6= 1
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 11 / 31
Clasificarea Transformarilor Mobius
Clasificarea Transformarilor Mobius
parabolica, daca tr(M) = ±2
eliptica, daca −2 < tr(M) < 2
hiperbolica, daca tr(M) < −2 sau tr(M) > 2
loxodromica, daca tr(M) /∈ R
sau echivalent,
parabolica, daca tr(M)2 = 4
eliptica, daca tr(M)2 < 4
hiperbolica, daca tr(M)2 > 4
loxodromica, daca tr(M)2 /∈ [0,∞)
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 12 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare eliptica, z → eiθz - aceasta transformare rotestesfera Riemann fixând punctele 0 si ∞ - punctele se misca de-alungul unui cerc
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 13 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare hiperbolica, z → kz, k > 1 - punctele se misca de-alungul unui arc de cerc de la un punct fix la altul
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 14 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare loxodromica, z → kz, k /∈ R - punctele se misca de-alungul unei spirale logaritmice, de la un punct fix la altul
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 15 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sfereiRiemann
transformare parabolica, z → z + 1 - punctele se misca de-alungul unui cerc, prin unicul punct fix.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 16 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Observatie
Fie T o transformare Mobius T (z) = Az + B. În acest caz putem alegeA = ρeiα, cu scopul de a privi transformarea ca o compunere între orotatie de centru α, o dilatare de ordin ρ si o translatie de vector B.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 17 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Observatie
T (z) = Az + B, A = ρeiα.
Observatie
Pentru α > 0, ρ = 1 si B = 0, T (z) este o rotatie a planului complex,care se mapeaza într-o rotatie a sferei ((a)). Punctele fixe ale acesteitransformari sunt cei doi poli ai sferei, care corespund în planulcomplex originii si ∞-ului. Aceasta este o transformare Mobiuseliptic a.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 18 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Observatie
T (z) = Az + B, A = ρeiα.
Observatie
Pentru α = 0, ρ > 1 si B = 0, T (z) este o dilatare a planului complexcentrata în origine ((b)). Punctele fixe ale acestei transformari sunt ceidoi poli ai sferei, care corespund în planul complex originii si ∞-ului.Pentru α = 0, ρ < 1 si B = 0, T (z) este o contractie a planului complexcentrata în origine.Aceste transformari sunt transform ari Mobius hiperbolice .
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 19 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Observatie
T (z) = Az + B, A = ρeiα.
Observatie
Pentru α 6= 0, ρ 6= 1 si B = 0, T (z) este combinatie dintre cele douacazuri anterioare ((c)). Punctele fixe ale acestei transformari sunt ceidoi poli ai sferei, care corespund în planul complex originii si ∞-ului.Aceasta este o transformare Mobius loxodromic a.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 20 / 31
Actiunea Transformarilor Mobius asupra sferei Riemann
Observatie
Pentru restul cazurilor posibile (adica A = 0 si B 6= 0), T (z) este otranslatie a planului complex ((d)). Singurul punct fix al acesteitransformari este ∞, acesta corespunzând polului nord de pe sferaRiemann. Aceasta este o transformare Mobius parabolic a.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 21 / 31
Exemplu
Un scurt exemplu
parabolica - z →z
2iz + 1- punct fix 0
loxodromica - z → 2iz -puncte fixe 0 si ∞
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 22 / 31
Exemplu
Un scurt exemplu
eliptica - z → iz - puncte fixe 0 si ∞
Observatie
În cazul transformarii eliptice, se observa faptul ca prin aplicareaacesteia de 4 ori se ajunge la transformarea identica. Astfel, seobserva faptul ca prin transformarea aleasa fiecare cerc se transformaîn el însusi dupa 4 iteratii.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 23 / 31
Exemplu
Tranformare eliptica
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 24 / 31
Exemplu
Transformare parabolica
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 25 / 31
Exemplu
Transformare loxodromica
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 26 / 31
Exemplu
Astfel, se observa principalele caracteristici ale transformarilor Mobius:
parabolice: punctele de pe cercuri se misca spre punctele fixe
eliptice: cercurile se misca în jurul punctului fix
loxodromic: cercurile se misca în spirale cu extremitatile în celedoua puncte fixe.
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 27 / 31
Bibliografie
Rich Schwartz: Mobius Transformations and Circles,http : //www .math.brown.edu/ res/MFS/handout5.pdf , 8octombrie 2007
-: Classifying Mobius transformations: conjugacy, trace andapplications to parabolic transformations,http://www.maths.manchester.ac.uk/∼cwalkden/hyperbolic-geometry/lecture10.pdf
-: Classifying Mobius transformations: conjugacy, trace andapplications to parabolic transformations,http://www.maths.manchester.ac.uk/∼cwalkden/hyperbolic-geometry/lecture11.pdf
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 28 / 31
Bibliografie
Stephan Tillmann: Geometry and Groups,http ://www .maths.usyd .edu.au/u/tillmann/2012−amsi/g&g_02.pdf ,12 ianuarie 2012
Stephan Tillmann: Geometry and Groups,http ://www .maths.usyd .edu.au/u/tillmann/2012−amsi/g&g_04.pdf ,12 ianuarie 2012
http : //www .math.tifr .res.in/ ∼pablo/download/teichmuller/node4.html
T.K. Carne: Geometry and Groups,https ://www .dpmms.cam.ac.uk/ tkc/GeometryandGroups/GeometryandGroupshttps ://www .dpmms.cam.ac.uk/ tkc/GeometryandGroups/Corrections.pdf2012
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 29 / 31
Bibliografie
http : //en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation
Takis Konstantopoulos: Complex Analysis,http ://www2.math.uu.se/ takis/L/ComplexAnalysis/complexnotes.pdf
L. Penaranda, L. Sacht, L. Velho : Improving Projections ofPanoramic Images with Mobius Transformationshttp : //dcc.ufrj .br/ luisp/publi/psv .pdf
Thomas Au :Visualizing Complex Functionshttp : //www .math.cuhk .edu.hk/course/math3253/Notes02.pdf
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 30 / 31
Bibliografie
Multumesc!
Q & A
Diana-Florina Halita (Universitatea Babes-Bolyai) Transformari Mobius 10 Mai 2014 31 / 31