transformasi z - wireless academytoha.staff.umy.ac.id/files/2016/08/signal-sistem-lec-4a.pdf · x n...
TRANSCRIPT
Transformasi Z
TRANSFORMASI-Z
• Transformsi-Z Langsung
• Sifat-sifat Transformasi-Z
• Transformasi -Z Rasional
• Transformasi-Z Balik
• Transformasi-Z Satu Sisi
TRANSFORMASI-Z LANGSUNG
Definisi :
Contoh 1
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal diskrit di bawah ini
n
nz)n(x)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
1,0,7,5,2,1)n(x).b
1,0,7,5,2,1)n(x).a
4
3
2
1
Jawab:
5321
1
1
zz7z5z21)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).a
3112
2
2
zz75z2z)z(X
1,0,7,5,2,1)n(x).b
74321
3
3
zz7z5z2z)z(X
1,0,7,5,2,1,0)n(x).c
311
4
4
zz75z2)z(X
1,0,7,5,2)n(x).d
Contoh 2:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari beberapa sinyal di bawah ini:
0),()(c.
0),()(b.
)()(a.
3
2
1
kknnx
kknnx
nnx
1.1)()(a. 01
zznzXn
n
k
n
n zzknzX
)()(.b 2
k
n
n zzknzX
)()(c. 3
Contoh 3:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx
1:1dimana,1
1
...1)()(
1
1
21
0
zROCzz
zzznuzXn
n
1:,1
1)()()(
1
zROC
zzXnunx
Contoh 4:
Jawab:
Tentukan transformasi Z dari sinyal )()( nunx n
zROCzz
AAAAA
zznuzX
n
n
n
n
n
nn
:1dimana,1
1
1
1...1
)(
1
1
32
0
0
1
0
zROCz
zXnunx n :,1
1)()()(
1
Contoh Soal
Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u2
1)n(x
n
Jawab:
11
11
2
1
2
1)(
32
00
1
0
AA
AAA
AzzzXn
n
n
n
n
n
n
1
1
z2
11
1)z(X
2
1z1z
2
1
1
n
z1
1)z(X)n(u)n(x
1z1
1)z(X)n(u)n(x
“Domains of representation ” “Domains of representation ”
Domain-n (discrete time) :
Sequence, impulse response, persamaan beda
Domain- :
Freq. response, spectral representation
Domain-z :
Operator, dan pole-zero
Apabila suatu kasus sulit dipecahkan pada suatu domain
tertentu, maka transformasi ke domain yang lain akan mudah
menyelesaikannya.
TABEL FUNGSI DASAR TZ
SIFAT-SIFAT (PROPERTY) TZ
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z Linieritas
3:,31
1)(3)(
2:,21
1)(2)(
122
111
zROCz
zXnunx
zROCz
zXnunx
n
n
Tentukan transformasi Z dari sinyal
3:32:
651
1
31
4
21
3)()3(4)2(3
21
1
11
zROCzzROC
zz
z
zzZXnunx nn
)()()()()()( 2121 zXbzXazXnxbnxanx
Contoh 5:
)()3(4)2(3 nunx nn
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z Pergeseran
1:,1
1111
zRROC
zZXnunx x
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
ZXznnxn0)( 0
Contoh 5:
)3( nunx
1:,1
31
3
13
zRROC
z
zZXzZXnunx x
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Time Reversal
1:,1
1111
zRROC
zZXnunx x
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Jawab:
Contoh 6:
)( nunx
11:,1
1
1
111
zR
ROCzz
zXnunxx
)()( 1 zXnx
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Diferensiasi dalam domain z
Tentukan transformasi Z dari sinyal
Contoh 7: dz
zdXznnx
)()(
)()( nuannx n
azRROCaz
zXnuanx xn
:,
1
1)()()(
111
21
1
21
2
11
11
)(
1
1)()()()(
az
az
az
azz
azdz
dz
dz
zdXzzXnuannx n
21
1
1
)(
az
aznuan n
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI-Z
Konvolusi antara dua sinyal
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
Contoh 8:
)()()()(*)()( 2121 zXzXzXnxnxnx
lainnya
nnxnx
,0
50,1)(1,2,1)( 21
543212
211 1)(21)( zzzzzzXzzzX
)1)(21()()()( 543212121
zzzzzzzzXzXzX
76121 1)()()( zzzzXzXzX
1,1,0,0,0,0,1,1)(*)()( 21 nxnxnx
Contoh Soal 8.5
Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :
)n(u)nsin()n(x).b
)n(u)ncos()n(x).a
o
o
Jawab:
)n(ue2
1)n(ue
2
1)n(u)ncos()n(x).a
njnj
ooo
1j1jze1
1
2
1
ze1
1
2
1)z(X
oo
)zeze1(
)1zeze1(
2
1
)ze1)(ze1(
)e1()e1(
2
1)z(X
2j1j
1j1j
1j1j
jj
oo
oo
oo
oo
2
o
1
o
1
ozcosz21
cosz1)z(Xncos)n(x
)n(uej2
1)n(ue
j2
1)n(u)nsin()n(x).b
njnj
ooo
1j1jze1
1
j2
1
ze1
1
j2
1)z(X
oo
)zeze1(
)zeze(
j2
1
)ze1)(ze1(
)e1()e1(
j2
1)z(X
2j1j
1j1j
1j1j
jj
oo
oo
oo
oo
2
o
1
o
1
ozcosz21
sinz)z(Xnsin)n(x
Scaling in the Z-domain
a
zX)za(X)n(xa)z(X)n(x 1
1
n
Contoh Soal 8.6
Tentukan transformasi Z dari sinyal-sinyal di bawah ini :
)n(u)nsin(a)n(x).b)n(u)ncos(a)n(x).a o
n
2o
n
1
Jawab:
22
o
1
o
1
1zacosaz21
cosaz1)z(X
2
o
1
o
1
ozcosz21
cosz1)z(Xncos)n(x
21
o
11
o
11
1o
n
1)za(cos)za(21
cos)za(1)z(Xncosa)n(x
22
o
1
o
1
2zacosaz21
sinaz)z(X
Time Reversal
)z(X)n(x)z(X)n(x 1
Contoh Soal 8.7
Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(u)n(x
Jawab:
1z1
1)z(X)n(u)n(x
z1
1)z(X)n(u)n(x
z1
1
)z(1
1)z(X)n(u)n(x
11
Diferensiasi dalam domain z
dz
)z(dXz)n(nx)z(X)n(x
Contoh Soal 8.8
Tentukan transformasi Z dari sinyal )n(una)n(x n
Jawab:
11
n
1az1
1)z(X)n(ua)n(x
dz
)z(dXz)z(X)n(una)n(x 1n
21
2
1
1
az1
az)z(
az1
1
dz
dz
dz
)z(dXz)z(X
21
1n
az1
az)n(una
21
1
z1
z)n(nu
Konvolusi antara dua sinyal
)z(X)z(X)z(X)n(x*)n(x)n(x
)z(X)n(x)z(X)n(x
2121
2211
Contoh Soal 8.9
Tentukan konvolusi antara x1(n) dan x2(n) dengan :
Jawab:
lainnya,0
5n0,1)n(x1,2,1)n(x 21
54321
2
21
1 zzzzz1)z(Xzz21)z(X
)zzzzz1)(zz21()z(X)z(X)z(X 5432121
21
761
21 zzz1)z(X)z(X)z(X
1,1,0,0,0,0,1,1)n(x*)n(x)n(x 21
TRANSFORMASI Z RASIONAL
Pole dan Zero
Pole : harga-harga z = pi yang menyebabkan X(z) =
Zero : harga-harga z = zi yang menyebabkan X(z) = 0
N
0k
k
k
M
0k
k
k
N
N
1
1o
M
M
1
1o
za
zb
zazaa
zbzbb
)z(D
)z(N)z(X
Fungsi Rasional
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
N
o
M
ooo
a
az
a
aZ
b
bz
b
bz
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
N(z) dan D(z) polinom
o
N1N
o
1N
o
M1M
o
1M
N
o
M
ooo
a
az
a
aZ
b
bz
b
bz
za
zb
)z(D
)z(N)z(X0b0a
)pz()pz)(pz(
)zz()zz)(zz(z
a
b
)z(D
)z(N)z(X
M21
M21MN
o
o
N
1k
k
M
1k
kMN
)pz(
)zz(
zG)z(X
Contoh Soal 8.10
Tentukan pole dan zero dari 21
1
z5,0z5,11
z5,12)z(X
Jawab:
)5,0z)(1z(
)75,0z(z2
)5,0z)(1z(
75,0zz2
5,0z5,1z
75,0z
z
z
1
2)z(X
12
22
1
75,0z0z:Zero 21
5,0p1p:Pole 21
Contoh Soal 8.11
Tentukan pole dan zero dari 21
1
z5,0z1
z1)z(X
Jawab:
5,0zz
)1z(z)z(X
2
1z0z:Zero 21
5,0j5,0p5,0j5,0p:Pole 21 *
21 pp
)]5,0j5,0(z)][5,0j5,0(z[
)1z(z
Fungsi Sistem dari Sistem LTI
)z(X
)z(Y)z(H)z(X)z(H)z(Y)n(x*)n(h)n(y
)z(H)n(h Respon impuls Fungsi sistem
Persamaan beda dari sistem LTI :
)kn(xb)kn(ya)n(yM
0k
k
N
1k
k
kM
0k
k
kN
1k
k z)z(Xbz)z(Ya)z(Y
kM
0k
k
kN
1k
k z)z(Xbz)z(Ya)z(Y
kM
0k
k
kN
1k
k zb)z(X]za1)[z(Y
)z(H
za1
zb
)z(X
)z(Y
kN
1k
k
kM
0k
k
Fungsi sistem rasional
)z(H
za1
zb
)z(X
)z(Y
kN
1k
k
kM
0k
k
Hal khusus I : ak = 0, 1 k N
kMM
0k
kM
kM
0k
k zbz
1zb)z(H
All-zero system
Hal khusus II : bk = 0, 1 k M
1a
za
b
za1
b)z(H o
kN
0k
k
o
kN
1k
k
o
All-pole system
pole-zero system
Contoh Soal 8.12
Tentukan fungsi sistem dan respon impuls sistem LTI :
Jawab:
)z(X2)z(Yz2
1)z(Y 1
)n(x2)1n(y2
1)n(y
)z(X2)z2
11)(z(Y 1
1z2
11
2)z(H
)n(u2
12)n(h
n
TRANSFORMASI -Z BALIK
Definisi transformasi balik
n
nz)n(x)z(X dzz)z(Xj2
1)n(x 1n
Cluardizbila,0
Cdalamdizbila,dz
)z(fd
)!1k(
1
dz)zz(
)z(f
j2
1
o
o
zz
1k
1k
C k
oo
Teorema residu Cauchy :
Ekspansi fraksi-parsial dan tabel transformasi-z
)z(X)z(X)z(X)z(X KK2211
Contoh Soal 8.14
Tentukan transformasi-z balik dari
Jawab:
)n(x)n(x)n(x)n(x KK2211
21 z5,0z5,11
1)z(X
)5,0z)(1z(
z
5,0z5,1z
z)z(X
2
2
2
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z
z
)z(X 21
2
5,05,1
)(2
zz
z
z
zX
)z5,01(
1
)z1(
2)z(X
11
)(])5,0(2[)( nunx n
)5,0z)(1z(
)1z(A)5,0z(A
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z 2121
2
5,0z5,1z
)AA5,0(z)AA(
)5,0z(
A
)1z(
A
5,0z5,1z
z2
212121
2
1A2A1A5,0A5,0A 21111
122121 A5,0A0AA5,01AA
Contoh Soal 8.15
Tentukan respon impuls dari suatu sistem LTI (Linear Time
Invariant) yang dinyatakan oleh persamaan beda :
Jawab:
)(5,9)(5,4)(2)(3)( 121 zXzzXzYzzYzzY
)5,95,4)(()231)(( 121 zzXzzzY
21
1
231
5,95,4
)(
)()(
zz
z
zX
zYzH
)1(5,9)(5,4)2(2)1(3)( nxnxnynyny
21
1
z2z31
z5,95,4)z(H
2z3z
5,9z5,4
z
)z(H2
2
5,0
1
5
21
)( 21
zzz
A
z
A
z
zH
11 z)2(1
5,0
z)1(1
5)z(H
)n(u])2(5,0)1(5[)n(h nn