transformatori1

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE I RAČUNARSTVA

ZAVOD ZA ELEKTROSTROJARSTVOI AUTOMATIZACIJU

OSNOVNA TEORIJA TRANSFORMATORA

Prof. dr. sc. Zlatko Maljković

Izv. prof. dr. sc. Damir Žarko

TEORIJA ELEKTRIČNIH STROJEVA I TRANSFORMATORA

Maxwellove jednadžbe, Ampereov zakon, Faradayev zakon

Magnetski krug transformatora

Nadomjesna shema, fazorski dijagram

Prazni hod, kratki spoj

Pad napona u transformatoru, vanjske karakteristike

Rasipni induktivitet

Ak. god. 2014/2015 Zagreb, 29.9.2014.

229.9.2014. TESiT - Transformatori 1 2

Definicija transformatora

Transformatori su uređaji koji na principu elektromagnetske indukcije pretvaraju električnu energiju iz jednog izmjeničnog sustava u drugi iste frekvencije, ali promijenjene vrijednosti napona i struja. U pravilu se sastoje od željezne magnetske jezgre, dva ili više namota koji mogu biti spregnuti samo zajedničkim elektromagnetskim poljem, a u slučaju autotransformatora i električki, te od raznih konstrukcijskih dijelova kao što su stezni sustav jezgre i namota, kotao, konzervator, hladnjaci, itd.

Presjek distribucijskog transformatora (50 kVA do 2500 kVA)

329.9.2014. TESiT - Transformatori 1

Presjek energetskog transformatora (>100 MVA)


Osnovne jednadžbe magnetskog polja

Temeljni fizikalni zakoni pomoću kojih se objašnjava princip rada transformatora su Faradayev zakon magnetske indukcije i Ampèreov kružni zakon ili zakon protjecanja.

Faradayev zakon u integralnom obliku glasi

d d

sC S

dS

dt⋅ = − ⋅∫ ∫E l B n

gdje je E vektor jakosti električnog polja, B je vektor magnetske indukcije, Cs je rubna krivulja koja zatvara plohu S prema slici, a n je jedinični vektor okomit na infinitenzimalni dio površine dS

Integral jakosti električnog polja po rubnoj krivulji u stvari predstavlja napon e koji bi se inducirao na krajevima svitka oblika identičnog obliku rubne krivulje. Uzevši u obzir da je integral vektora magnetske indukcije B po površini S jednak magnetskom toku Φ, Faradayev zakon se može pisati u uobičajenom obliku

( )( )Φ

= −d t

e tdt


Inducirani napon

U elektrotehničkim uređajima se od vodiča najčešće formiraju svici koji mogu imati više od jednog zavoja kao što je prikazano na slici. U tom slučaju isti magnetski tok Φ prolazi kroz w

zavoja. Ako je tok vremenski promjenjiv, inducirat će u svakom zavoju napon ez(t). Spajanjem svih zavoja u seriju se formira svitak, a na njegovim krajevima će se inducirati napon

( ) ( )( ) ( )

ulančeni tok svitka

z

d t d te t we t w

dt dt

w

Φ Ψ= − = − = −

Ψ = Φ −

Ako svi zavoji svitka ne ulančuju isti tok Φ, onda je ulančeni tok jednak sumi tokova pojedinih zavoja

pri čemu je Φe = Ψ/w ekvivalentni magnetski tok koji ulančen s w zavoja daje ulančeni tok Ψ.

1=

Ψ = Φ = Φ∑w

k e

k

w

Φ(t)

S

w


Zakon protjecanja

Vezu između struje i magnetskog polja u magnetskom materijalu opisuje zakon protjecanja koji glasi

d d⋅ = ⋅∫ ∫sC S

SH l J n

0µ µ µ=r

B H = H

gdje je H vektor jakosti magnetskog polja, J je gustoća provodnih struja u vodičima, S je ploha kroz koju prolaze vodiči, a Cs je rubna linije plohe. Odnos između gustoće magnetskog polja B koju nazivamo magnetskom indukcijom i jakosti magnetskog polja definiran je izrazom

gdje je µ permeabilnost materijala, µ0 je permeabilnosti vakuuma, a µr je relativna permeabilnost kojom se uzima u obzir magnetiziranje materijala pod utjecajem narinutogmagnetskog polja.

Za zrak se obično uzima da je ukupna permeabilnost jednaka permeabilnosti vakuuma koja iznosi µ0 = 4π⋅10-7 Vs/Am. Odatle slijedi da je za zrak µr =1. Relativna permeabilnost feromagnetskih materijala od kojih se izrađuju jezgre transformatora je ovisna o indukciji, tj. µr=µr(B). Odnosi između magnetske indukcije B i jakosti magnetskog polja H

feromagnetskih materijala daju se B-H krivuljom prvog magnetiziranja i B-H krivuljom (petljom) histereze .


Krivulja magnetiziranja feromagnetskog materijala

Petlja histereze

Br − remanentna indukcijaHc − koercitivna sila

Budući da je površina petlje histereze proporcionalna gubicima u materijalu pri izmjeničnom magnetiziranju, petlja histereze feromagnetskog lima je uska s malim iznosom koercitivne sile.

Krivulja prvog magnetiziranja

Ovisnost relativne permebilnosti o magnetskoj

indukciji za transformatorske limove


Magnetski krug s feromagnetskom jezgrom

Za jednu silnicu magnetskog polja se primjenom zakona protjecanja može pisati

d d d dδ

δ

δ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫Fe

Fe Fe

l S

H l H S wiH l H l H l J n

Isti magnetski tok prolazi kroz jezgru i zračni raspor pa vrijedi

Za poznatu indukciju u željezu BFe jakost polja se određuje iz krivulje magnetiziranja

lFe

w

SFe

i

Su

+

-

1 1,1

δ δ

δ

Φ = =

= −

Fe Fe

Fe

B S B S

S S

( )( ) 0µ µ

= = FeFe Fe

r Fe

BH f B

B

Jakost polja u zraku se dobiva iz izraza

0

δδ

µ=

BH


Magnetski krug s feromagnetskom jezgrom

Primjenom Ampéreovog zakona dobiva se

( ) 0 0

δ δµ µ µ

+ =FeFe

r Fe

B Bl wi

B

Izraženo preko magnetskog toka slijedi

Taj izraz se još može pisati u obliku

( ) 0 0 δ

δ

µ µ µ

Φ Φ+ =Fe

r Fe Fe

lwi

B S S

( )

( )( ) 0

0

1

1

Fe Fe m

FeFe Fe

r Fe Fe

wi

R B R R

lR B

B S

lR

S

δ

δδ

δ

µ µ

µ

ΘΦ = =

+

=

=

Θ - protjecanje uzbudne strujeRm – magnetski otpor kruga

- magnetski otpor zračnog raspora

- magnetski otpor željezne jezgre


Magnetski krug s istosmjernim magnetiziranjem

Za namot omskog otpora R vrijedi jednadžba

Magnetski tok u jezgri će biti

= ⇒ =U

U IR IR

lFe

w

SFe

i

SU+

( ) δ

Φ =+

Fe Fe

wI

R B R

Magnetska indukcija u jezgri i zračnom rasporu je onda

( ) ( )1 1

, δ

δ δ δ δ

Φ Φ= = = =

+ +Fe

Fe Fe Fe Fe Fe Fe

wI wIB B

S S R B R S S R B R

Magnetsku indukciju treba odrediti iterativnim postupkom zbog ovisnosti magnetskog otpora o indukciji. Ako magnetski krug nije zasićen (BFe<1,5 T), može se pretpostaviti konstantan iznos permeabilnosti jezgre i time pojednostaviti proračun.Pri istosmjernom magnetiziranju struja ovisi jedino o naponu izvora i omskom otporu

namota. Magnetska indukcija u jezgri ovisi o struji namota, geometriji magnetskog kruga i

magnetskim svojstvima jezgre.


Magnetski krug s izmjeničnim magnetiziranjem

Napon je zadan izrazom

Za namot vrijedi naponska jednadžba

( ) ( ) ( )2 cos 2 cos 2ω π= =u t U t U ft

lFe

w

SFe

i

Su+∼

( )Ψ Φ

= + = + = −d d

u t iR iR w iR edt dt

Ako se zbog jednostavnosti pretpostavi da je permeabilnost jezgre konstantna, onda će struja i magnetski tok biti sinusno promjenjive veličine. U tom slučaju se naponska jednadžba može pisati u fazorskoj domeni uzimajući u obzir da je za magnetske veličine (tok i indukcija) uobičajeno koristiti maksimalne vrijednosti, a za napone i struje efektivne vrijednosti

( )1

2 j2 j4,44 22 2

π π π

−

Ψ= + = + Φ = + Φ = +

E

U IR j f IR f w IR fw I R j fL

Između magnetskog toka i struje vrijedi odnos

( )

2

δ

Ψ ΦΨ = ⇒ = = =

+Fe Fe

w wLi L

i i R B R


Magnetski krug s izmjeničnim magnetiziranjem

4,44 4,44

Φ= = ≈

Fe

Fe Fe Fe

E UB

S fwS fwS

Magnetska indukcija u željezu je onda

Odnos između induciranog napona E i pada napona na omskom otporu IR ovisi o omjeru reaktivne i radne komponente impedancije. U magnetskim krugovima sa željeznom jezgrom koji nisu jako zasićeni obično vrijedi E>>IR.

Magnetska indukcija u jezgri će prvenstveno ovisiti o iznosu narinutog napona.

Struja u namotu

( )22 2π

=+

UI

R fL

Iznos struje će ovisiti o impedanciji namota, tj. u najvećoj mjeri o iznosu induktiviteta

namota.

Induktivitet je parametar koji ovisi o geometriji magnetskog kruga i svojstvima materijala

kroz koji se zatvara magnetsko polje. Permeabilnost materijala varira u ovisnosti o magnetskoj indukciji. S porastom indukcije smanjuje se permeabilnost, a time se smanjuje i induktivitet namota.


Struja magnetiziranja

Magnetski indukcija u jezgri

Prema Amperéovom zakonu uz pretpostavku jednolike raspodjele polja u jezgri i zanemarenje rasipnog toka u prozoru jezgre vrijedi

Na namot je narinut sinusni napon ( ) ( ) ( )2 cos 2 cos 2ω π= =u t U t U ft

Uz zanemarenje omskog otpora vrijedi ( ) ( )2 2

sin 22 2 4,44

Φ ππ π

= ⇒ Φ = =U U U

t ftw f w f fw

Φ=Fe

Fe

BS

δδ+ =Fe FeH l H wi

Realni transformatori nemaju zračni raspor, no mala zračnost postoji u limovima na mjestima spoja stupa i jarma. Stoga vrijedi Hδδ <HFelFe .Krivulja magnetiziranja željeza jezgre zadana je petljom histereze B(H). Zbog proporcionalnosti magnetske indukcije s magnetskim tokom i struje s jakošću polja, može se iz petlje histereze formirati krivulja Φ(i).


Struja magnetiziranja u slučaju statičke petlje histereze

Za svaku vrijednost toka se iz krivulje Φ(i) očitava pripadna vrijednost struje. Iz statičke petlje histereze dobivene pri polaganom magnetiziranju može se konstruirati valni oblik struje magnetiziranja.

Statička petlja histereze i valni oblik struje magnetiziranja


Komponente struje magnetiziranja

U materijalu izloženom izmjeničnom magnetskom polju u jednom ciklusu magnetiziranja dio energije se predaje materijalu, a dio energije se vraća iz materijala u polje. Odatle slijedi da je površina zatvorena petljom histereze jednaka energiji po jedinici volumena izgubljenoj za svaki ciklus magnetiziranja, što predstavlja tzv. gubitke zbog histereze. Za pokrivanje tih gubitaka potrebna je komponenta struje magnetiziranja u fazi s naponom.

Predaja i povrat magnetske energije za vrijeme jednog ciklusa magnetiziranja feromagnetskog materijala

Rastavljanje struje magnetiziranja na radnu i jalovu komponentu

irh − radna komponenta struje za pokrivanje gubitaka zbog histereze (sinusna)

iμ − jalova komponenta struje za magnetiziranje željeza i ekvivalentnog zračnog raspora u jezgri (nesinusna)


Utjecaj vrtložnih struja

Budući da feromagnetski materijal ima i električnu vodljivost, izmjenično (dinamičko) magnetsko polje će u materijalu inducirati vrtložne struje koje stvaraju dodatne gubitke i svojim vlastitim poljem se suprotstavljaju polju koje ih je izazvalo.Ako se u jednom ciklusu magnetiziranja uzmu u obzir obje vrste gubitaka, onda se statička petlja histereze zamjenjuje dinamičkom petljom koja je nešto šira, a u valnom obliku struje se pojavljuje dodatna radna komponenta struje irv koja pokriva gubitke zbog vrtložnih

struja.

Grafička konstrukcija za određivanje struje magnetiziranja iz dinamičke petlje histereze


Ukupna struja magnetiziranja

Ako je napon sinusan zadan izrazom

u tom slučaju je jedino komponenta struje

iste frekvencije kao i napon te iz izvora donosi radnu komponentu snage. Odatle vrijedi da je

Komponenta je iste frekvencije kao i napon, no fazno je pomaknuta u odnosu na napon za 90 električnih stupnjeva pa doprinosi samo jalovoj snazi. Sve ostale komponente struje magnetiziranja također predstavljaju jalovu struju jer se po frekvenciji razlikuju od frekvencije napona pa prema tome ne mogu doprinositi radnoj komponenti snage. Ukupna efektivna vrijednost struje magnetiziranja se onda računa prema izrazu

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )0 0 0

1,3,5,...

2 cos sinµ ω ω∞

=

′ ′′= + + = +∑

r

rh rv n n

ni t

i t i t i t i t I n t I n t

Ukupna struja magnetiziranja se može napisati u obliku Fourierovog reda

( ) ( )2 cos ω=u t U t

( )01 2 cos ω′I t

( ) ( )01 2 cos ω′=r

i t I t

( )01 2 sin ω′′I t

( ) ( )2 2

0 0 0

1,3,5,...

∞

=

′ ′′= +∑ n n

n

I I I


Utjecaj 3. harmonika u struji magnetiziranja na inducirani napon

U struji magnetiziranja je osim osnovnog harmonika izražen i treći harmonik. Ako je f

frekvencija osnovnog harmonika, onda njegov period iznosi T = 1/f. Frekvencija trećeg harmonika je 3f, a njegov period je T/3. U simetričnom trofaznom sustavu struje su fazno pomaknute za 120 električnih stupnjeva. To znači da će struje trećeg harmonika biti istofazneu sve tri faze jer su fazno pomaknute za kut koji je jednak njihovom periodu.Posebnost trećeg harmonika struje je u tome što je u trofaznom namotu za njegov tijek nužan povratni vod jer u svakom vremenskom trenutku suma trećih harmonika struje u sve tri faze iznosi iμ3U+i μ 3V+i μ 3W.Ako se pojednostavljeno struju magnetiziranja prikaže kao sumu osnovnog i trećeg harmonika, onda vrijedi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 3 1 3

1 3 1 3

1 3 1 3

sin sin 3

2sin sin 3

3

4sin sin 3

3

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ µ

µ µ µ µ µ

ω ω

πω ω

πω ω

= + = +

= + = − +

= + = − +

U U U U U

V V V V V

W W W W W

i t i t i t I t I t

i t i t i t I t I t

i t i t i t I t I t

Uz pretpostavku da vrijedi iμ3U = i μ 3V = i μ 3W = iμ3

( ) ( ) ( ) ( )33 sin 3µ µ µ µ ω+ + =U V Wi t i t i t I t


Struja magnetiziranja trofaznog transformatora s izvedenim nul-vodom

Magnetski tok je sinusnog valnog oblika jer se može nul-vodom zatvoriti treći harmonik struje potreban za stvaranje sinusnog toka zbog nelinearne krivulje magnetiziranja.

i

t

i

i 1

i 3


Struja magnetiziranja trofaznog transformatora bez nul-voda

Zbog nemogućnosti protoka trećeg harmonika struje magnetiziranja javlja se treći harmonik magnetskog toka u jezgri zbog kojeg se deformira krivulja magnetskog toka i valni oblik induciranog napona.Iznos toka φ3 ovisi o tipu jezgre transformatora.

tΦ3

Φ

Φ1Φu

ui

t

i


Magnetski tok i inducirani napon trostupnog transformatora (namoti spojeni u zvijezdu bez nul-voda)

U transformatoru s trostupnom jezgrom i namotom spojenim u zvijezdu bez nulvoda treći harmonik magnetskog toka je istofazan u sva tri stupa. Budući da za treći harmonik toka ne postoji povratni put kroz jezgru, on se može zatvarati samo rasipnim putevima, tj. kroz okolni zrak koji ima vrlo veliki magnetski otpor Rm. Budući da vrijedi Φ3 = (wiµ3)/Rm, gdje je w broj zavoja, u tom slučaju će treći harmonik toka, a time i treći harmonik napona, biti relativno mali.


Magnetski tok i inducirani napon peterostupnog transformatora ili tri jednofazna transformatora (namoti spojeni u zvijezdu bez nul-voda)

U slučaju peterostupne jezgre ili trofazne grupe tri jednofazna transformatora za treći harmonik toka postoji povratni put kroz jezgru. Budući da je magnetski otpor jezgre znatno manji od magnetskog otpora rasipnih puteva, u tom slučaju će udio trećeg harmonika toka, a time i trećeg harmonika induciranog faznog napona, biti znatno veći.


Transformator s namotima spojenima u zvijezdu bez nul-voda i tercijarnim namotom spojenim u trokut

Tercijar je kratkospojeni namot malog otpora, jednoliko razdijeljen na sva tri stupa tako da su svi svici spojeni u seriju – spoj trokut. Redovito je smješten prvi do jezgre.

Treći harmonik toka u jezgri će u tercijaru inducirati istofazne napone koji će kroz taj namot potjerati struju trećeg harmonika. Ta struja će svojim amperzavojima slabiti djelovanje toka Φ3 koji ju je inducirao na način da će u jezgri preostati samo mala komponenta trećeg harmonika toka jednaka razlici tokova Φ3 i Φ3terc potrebna za tok struje trećeg harmonika iμ3terc u namotu spojenom u trokut. Na taj način namot spojen u trokut osigurava amperzavoje struje trećeg harmonika koji nedostaju u namotu u kojemu ta komponenta struje ne može teći (npr. spoj zvijezda bez nulvoda). Svi drugi namoti namotani oko istih stupova više neće ulančiti treći harmonik toka, tj. neće doći do deformacije napona u njima.

terc terc terc

i 3terc


Gubici zbog histereze

, W/kgx

h hP k f B=

Petlja histereze ovisi o kemijskom sastavu i kristalnoj strukturi materijala.Zbog obrade transformatorskog lima (štancanje ili lasersko rezanje) te slaganja u jezgru, pri čemu se na spojevima limova javljaju zračnosti, petlja histereze transformatorske jezgre se razlikuje od petlje histereze limova od kojih je načinjena.U praksi se gubici zbog histereze računaju približnom formulom koja uzima u obzir da su gubici proporcionalni broju ciklusa magnetiziranja u jedinici vremena, tj. frekvenciji magnetskog polja f i nekoj potenciji maksimalne vrijednosti indukcije. Pojednostavljeni izraz za gubitke zbog histereze po jedinici mase glasi

gdje je kh eksperimentalno utvrđeni koeficijent za određeni materijal, a x je eksponent magnetske indukcije koja se obično kreće u rasponu od 1,6 do 2,2. Vrijednost eksponenta xovisi o magnetskoj indukciji i u pravilu većim vrijednostima indukcije odgovara veći x.Ukupni gubici zbog histereze

, Wx

huk Fe hP m k f B=

gdje je mFe ukupna masa željeza.


Gubici zbog vrtložnih struja

2 2 2 , W/kgv v mP k d f B=

Vremenski promjenjivi magnetski tok u jezgri će inducirati napon zbog kojeg će jezgrom poteći vrtložne struje te stvarati gubitke.

Prikaz presjeka željezne jezgre s induciranom vrtložnom strujom

l

Gubici u jednom limu jezgre po jediničnoj masi

gdje je kv koeficijent gubitaka vrtložnih struja koji ovisi o električnoj vodljivosti i gustoći lima, d je debljina lima, f je frekvencija polja, a Bm je vršna vrijednost magnetske indukcije.Iz tog izraza slijedi da je smanjenje debljine lima najučinkovitiji način za smanjenje vrtložnih struja i gubitaka koje one izazivaju. Primjerice, ako debljinu lima smanjimo na 1/2, obuhvaćeni magnetski tok Φ smanjit će se na 1/2, a otpor strujnice Rs će se povećati 2 puta, čime se gubici smanjuju 4 puta. Zbog toga za potrebe energetskih transformatora najčešće koristimo limove debljine od 0,23 mm do 0,35 mm.

Vrtložne struje u slučaju dvostrukog smanjenja debljine lima

Ukupni gubici zbog vrtložnih struja u željezu mase mFe su onda2 2 2 , Wvuk Fe v mP m k d f B=


Vlastiti induktivitet

Ψ=L

i

Omjer ulančenog toka i struje svitka se naziva vlastitim induktivitetom i definira izrazom

Na primjeru svitka sa željeznom jezgrom i zračnim rasporom je pokazano da vrijedi

( )dd d d

d d d d

Ψ= − = − = − −

Li i Le L i

t t t t

21

δ δ

ΦΨ= = = =

+ +e

Fe Fe

wi wL w w

i i R R i R R

Na iznos induktiviteta u najvećoj mjeri utječe broj zavoja i magnetska svojstva (permeabilnost) materijala kroz koji prolazi magnetsko polje. Što je induktivitet veći, to će biti veći i ulančeni magnetski tok za istu vrijednost struje.U linearnim magnetskim krugovima u kojima permeabilnosti dijelova kruga nisu ovisne o magnetskoj indukciji za inducirani napon se može pisati

Ako se razmatra statički magnetski krug u kojemu se induktivitet ne mijenja s vremenom, onda vrijedi

d

d= −

ie L

t


Vlastiti induktivitet

d d d

d d d

Ψ Ψ= − = −

ie

t i t

U nelinearnim magnetskim krugovima potreban je oprez kada se koristi induktivitet za proračun induciranog napona. Ispravno je pisati

Član (dΨ)/(di) predstavlja tzv. diferencijalni induktivitet koji se označava s Ld, za razliku od ranije definiranog induktiviteta L koji je jednak omjeru (Ψ)/(i). Induktivitet L se koristi za izračun ulančenog toka, dok Ld služi za izračun induciranog napona. U linearnom magnetskom krugu ta dva parametra su jednaka

d0

lim∆ →

∆Ψ=

∆i

Li1

1

Ψ=L

i


Međuinduktivitet

21 121 1 1 1 221 2 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 1

Φ ΦΨ= = = = =e e

m m

w i w wL w w k w k k

i i i i R R

Vezu između struje jednog svitka i toka koji ulančuje drugi svitak u istom magnetskom polju definiramo pojmom međuinduktiviteta između dvaju svitaka za koji vrijedi izraz

gdje je Φ21e ekvivalentni magnetski tok koji stvara struja svitka 1, a ulančuju jednako svi zavoji (w2) svitka 2, k1<1 je koeficijent ulančenja toka svitka 1, a Rm1 je ukupni magnetski otpor polja svitka 1 koje obuhvaća tokove Φ1σe (rasipni tok) i Φ21e

.

Primjer ulančenja magnetskog toka dva svitka (struja teče svitkom 1)

Ukupni tok svitka 1 jednak je

1 1 21σΦ = Φ + Φe e e

Odatle slijedi da je1

1 21

1

1σ

−Φ = Φe e

k

k

U slučaju teoretski savršenog ulančenja svitak 2 bi ulančio sav tok svitka 1 pa bi tada vrijedilo k1 = 1, a Φ1σe = 0.


Međuinduktivitet

12 212 2 2 1 212 1 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

Φ ΦΨ= = = = =e e

m m

w i w wL w w k w k k

i i i i R R

Slično razmatranje vrijedi u slučaju kada je svitak 2 napajan strujom i2, a promatra se ulančeni tok svitka 1. Tada se može definirati međuinduktivitet

gdje je Φ12e ekvivalentni magnetski tok koji stvara struja svitka 2, a ulančuju jednako svi zavoji (N1) svitka 1, k2<1 je koeficijent ulančenja svitka 2, Rm2 je ukupni magnetski otpor polja svitka 2 koje obuhvaća tokove Φ2σe i Φ12e

.

Primjer ulančenja magnetskog toka dva svitka (struja teče svitkom 2)

U ovom slučaju također vrijedi

22 12

2

1σ

−Φ = Φe e

k

k

Za međuinduktivitete vrijedi L12 = L21 jer oni ovise o zajedničkom toku koji ulančuju oba svitka pri čemu je svejedno koji svitak uzbuđuje, a koji ulančuje tok. U slučaju nelinearnog magnetskog kruga jednakost međuinduktiviteta vrijedi samo ako su oni određeni u uvjetima jednakog zasićenja magnetskog kruga.


Međuinduktivitet

2

11 1 1 11 1 1

1 1 1 1 1

2

22 2 2 22 2 2

2 2 2 2 2

ΦΨ= = = =

ΦΨ= = = =

e

m m

e

m m

w i wL w w

i i i R R

w i wL w w

i i i R R

Od ranije je već poznato da se vlastiti induktiviteti svitaka 1 i 2 mogu definirati na sljedeći način

Kombinirajući prethodno napisane jednadžbe može se izvesti veza između međuinduktiviteta i vlastitih induktiviteta svitaka

2 22 1 2 1 2 1 2

12 21 12 2 1 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2

12 1 2 1 2 1 2

= = = =

= =

m m m m

w w w w w wL L L k k k k k k L L

R R R R

L k k L L k L L

U slučaju kada struja teče kroz oba svitka ulančeni tokovi će ovisiti o vlastitim induktivitetima, međuinduktivitetu i obje struje. Tada vrijedi

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

L i L i

L i L i

Ψ = ±

Ψ = ±

Ulančeni tok zbog međuinduktivne veze može biti istog ili suprotnog smjera od smjera toka zbog djelovanja vlastitog induktiviteta. Dakle, međuinduktivitet L12 može biti veći ili manji od nule. Predznak međuinduktiviteta ovisi o smjeru struje, ali i o smjeru namatanja svitaka.


Primjeri označavanja smjera namatanja svitaka i određivanja predznaka međuinduktiviteta

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

Ψ = +

Ψ = +

L i L i

L i L i

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

Ψ = −

Ψ = −

L i L i

L i L i

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

Ψ = +

Ψ = +

L i L i

L i L i

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

Ψ = −

Ψ = −

L i L i

L i L i


Matematički model transformatora

1 21 2

1 2

,Cu Cu

Cu Cu

l lR R

S Sρ ρ= =

Magnetski krug u kojemu postoji magnetska sprega između dva namota koji nisu galvanski vezani je osnovni primjer načela rada transformatora.Budući da se namoti izrađuju od bakrene žice, moraju se uzeti u obzir i njihovi omski otpori R1 i R2

za koje vrijedi

Primijeni li se II Kirchhoffov na električne krugove namota 1 i 2, tada vrijedi

1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1

1 2

2 2 1 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2

1 1 1 12 2

2 2 2 12 1

d d d d d

d d d d d

d d d d d0

d d d d d

ψ

Ψ Ψ Ψ= − = + = + +

Ψ Ψ= + − = + + = + + +

Ψ = −

Ψ = −

i iu i R e i R i R

t i t i t

i iu i R e u i R u i R

t i t i t

L i L i

L i L i

21e

R1

i1

R2e

i2

12e

eu1

L1 L2u2

+

+

Pojednostavljeni prikaz opterećenog dvonamotnog transformatora

gdje je ρ specifični otpor bakra izražen u Ωm, lCu1 i lCu2 su ukupne duljine vodiča, a SCu1 i SCu2 su površine poprečnog presjeka vodiča namota 1 i 2.


Matematički model transformatora

Ako se pretpostavi da je magnetski krug linearan, iz toga slijedi da su induktiviteti L1, L2 i L12

konstantni, pa se može pisati

U transformatoru se namot 1 obično naziva primarnim, a namot 2 sekundarnim. Ti nazivi su definirani smjerom toka energije kroz transformator. Smjer energije je uvijek od primarnog ka sekundarnom namotu. Primarni namot može biti višeg ili nižeg napona od sekundarnog namota. Umjesto termina primarni i sekundarni namot mogu se koristiti i termini višenaponski (VN) i niženaponski (NN) namot samo tada nije jasno koji je smjer energije.

1 21 1 1 1 12

2 12 2 2 2 12

d d

d d

d d

d d

= + −

− = + −

i iu i R L L

t t

i iu i R L L

t t

Druga jednadžba se može pisati i u obliku

1 212 2 2 2 2

d d

d d= + +

i iL i R L u

t t

Taj oblik jednadžbe uzima u obzir činjenicu da je napon induciran u namotu 2 posredstvom među-induktivne veze u stvari naponski izvor iz čije pozitivne stezaljke izlazi struja pa se nalazi na lijevoj strani jednadžbe, a na desnoj strani su padovi napona na otporu, vlastitom induktivitetu i pasivnom trošilu.


Naponske jednadžbe transformatora u fazorskojdomeniU stacionarnom stanju naponi i struje transformatora su sinusne veličine pa se naponske jednadžbe primarnog i sekundarnog namota koje vrijede za trenutne vrijednosti mogu pisati u fazorskoj domeni

Pri tome koeficijent a mora biti različit od nule i različit od beskonačnosti. Odatle slijedi da postoji beskonačan broj ekvivalentnih jednadžbi kojima se može prikazati transformator. Poželjno je koristiti one vrijednosti koeficijenta a koje imaju fizikalnog smisla. Uzimajući u obzir koeficijente ulančenja oba namota može se pisati

1 1 1 1 1 12 2

2 2 2 2 2 12 1

j j

j j

U I R L I L I

U I R L I L I

ω ω

ω ω

= + −

− = + −

Iste jednadžbe se mogu napisati i na sljedeći način

21 1 1 1 1 12

2 22 2 2 1 1

2

2

2

j j

j j

IU I R L I L

I IU R L L

aa

a a a a Ia a

ω ω

ω ω

= + −

− = + −

1 2 1 21 2

1 212 2 12 11 22 2

1 21 1 2 2

1 2

= = = =m m

m m

w w w wk k

R RL w L wk k

w wL w L w

R R


Naponske jednadžbe transformatora u fazorskojdomeniBudući da su zbog prisutnosti rasipnog toka u transformatoru koeficijenti ulančenja k1 i k2

manji od 1, fizikalno su ispravni odnosi

( )

( )

11 12 1 1

2

22 12 2 2

1

1 0

1 0

− = − >

− = − >

wL L L k

w

wL L L k

w

Za dobivanje fizikalno prihvatljivih parametara transformatora poželjno odabrati koeficijent a u intervalu

1 12 1 12

2 2 12 1 2

1= ≤ ≤ =

w L L wk a

w L L k w


Opća nadomjesna shema transformatora

Dodavanjem dvaju suprotnih članova i u naponsku jednadžbu

primara te i u jednadžbu sekundara dobije se

Na temelju ovih jednadžbi crta se opća nadomjesna shema transformatora.

( )

( )

21 1 1 1 12 1 12 1

2 22 2 22 2 2 12 12 1

j j

j j

IU I R L aL I aL I

a

I I IaU a R a L aL aL I

a a a

ω ω

ω ω

= + − + −

− = + − − −

12 1j aL Iω 12 1j aL Iω−

212j

IaL

aω

2

12jI

aLa

ω−


T/2 nadomjesna shema transformatora

Odabirom a = L12/L2 naponske jednadžbe prelaze u oblik

Koeficijent rasipanja magnetskog toka

2 2

12 12 21 1 1 1 1 1 2

1 2 2 12

22

12 2 12 12 22 2 2 1 2

2 12 2 2 12

j 1 j

j

L L LU I R L I I I

L L L L

L L L L LU I R I I

L L L L L

ω ω

ω

= + − + −

− = − −

2212

1 2

1 1σ = − = −L

kL L

Umnožak L1⋅σ se često označava s Lσ i predstavlja rasipni induktivitet transformatora.Struja koja teče poprečnom granom se definira kao struja magnetiziranja

21 2

12

µ = − LI I I

L

To je ona komponenta struje primara koja je potrebna da se uspostavi preostali magnetski tok u jezgri dovoljan za induciranje napona e1 i e2.



Jednadžbe transformatora sada glase

Izraz L12/L2 je u stvari omjer transformacije napona jer u praznom hodu kada je transformator napajan sa sekundarne strane, a stezaljke primara su otvorene vrijedi

2 21 1 1 1 1 1 1 2

12

2

212 2 12 22 2 2 1 1 2

2 12 2 12

j j

j

LU I R L I k L I I

L

L L L LU I R k L I I

L L L L

ωσ ω

ω

= + + −

− = − −

1 1 12 2 12

2 2 2 2 2

j j

j ju

e L i LK

e L i L

ωψ ω

ωψ ω= = = =



Recipročna vrijednost omjera transformacije napona (Ku) je omjer transformacije struje (Ki)

Kada je koeficijent ulančenja k2 blizak jedinici, što je slučaj kod transformatora sa željeznom jezgrom, tada je omjer transformacije napona blizak omjeru broja zavoja w1/w2, a omjer transformacije struje je blizak omjeru w2/w1. Tada približno vrijedi

1 2

12 2 1

1 1= = =

i

u

L wK

K L k w

2= =uz u

i

KK K

K

1 2

2 1

,≈ ≈u i

w wK K

w w

Faktor redukcije impedancije sa sekundarne na primarnu stranu

Reducirane vrijednosti sa sekundarne na primarnu stranu se označavaju crticom pa se obično piše

2 2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1 1

2

2 2 2 1

, ,

µ

µ

ωσ ω

ω

′ ′ ′= = =

= + +

′ ′ ′− = −

u i zK U U K I I K Z Z

U I R j L I j k L I

U I R j k L I


T nadomjesna shema transformatora

Odabirom naponske jednadžbe prelaze u oblik

Ako se uzme u obzir da vrijedi

1 1 21 1 1 1 12 1 12 1 2

2 2 1

1 2 1 1 1 2 1 22 2 2 2 12 2 12 1 2

2 1 2 2 2 1 2 1

j j

j j

L L LU I R L L I L I I

L L L

L L L L L L L LU I R L L I L I I

L L L L L L L L

ω ω

ω ω

= + − + −

− = + − − −

( )

( )

21 1 1 1 1 1 1 2

1

1 2 1 2 22 2 2 1 2 1 1 2

2 1 2 1 1

j 1 j

j 1 j

I

I

LU I R L k I kL I I

L

L L L L LU I R L k I kL I I

L L L L L

µ

µ

ω ω

ω ω

= + − + −

− = + − − −

Odatle slijedi T nadomjesna shema transformatora.

1 2=a L L

12 1 2=L k L L



2

1

1 21 1

2

12 2 1

2

= = =m m

m

m

w

R RL wa

wL w R

R

Također vrijedi

U literaturi je uobičajen odabir koeficijenta a = w1/w2 jer su u transformatoru sa željeznom jezgrom Rm1 i Rm2 praktički jednaki.

1

2 2 22 2

1 1 21 1 1 1 12 1 12 1 2

2 2 1

2 2

1 2 1 1 1 2 1 22 2 2 2 12 2 12 1 2

2 1 2 2 2 1 2 1

j ( ) j ( )

j [ ] j ( )

L L I

U I I L IR L

w w wU I R L L I L I I

w w w

w w w w w w w wU I R L L I L I I

w w w w w w w w

σ µ µ

µ µσ

ω ω

ω ω

′ ′ ′′ ′

= + − + −

− = + − − −



Transformator obično radi na krutoj mreži konstantne frekvencije pa se u nadosmjesnojshemi umjesto induktiviteta koriste reaktancije.

1 1 2 2j , j , jL X L X L Xσ σ σ σ µ µω ω ω′ ′→ → →

Konačni oblik naponskih jednadžbi transformatora je tada

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

j j

j j

U I R L I L I

U I R L I L I

σ µ µ

σ µ µ

ω ω

ω ω

= + +

′ ′ ′ ′ ′− = + −

Ove jednadžbe ne mogu u potpunosti nadomjestiti realni transformator jer njima nisu obuhvaćeni gubici u jezgri transformatora (histereza, vrtložne struje). Budući da je inducirani napon proporcionalan glavnom toku, tj. indukciji u jezgri, gubici u jezgri se mogu uzeti u obzir tako da se paralelno reaktanciji glavnog induktiviteta doda radni otpor R0 tako velik da kroz njega teče struja I0r potrebna za pokrivanje gubitaka u jezgri PFe. 2 2

1 12

0 0 0

0 0

2 2

1 12

0 0 0

0 0

3 3 3

= = =

= = =

Fe r

Fe r

E EP I R R

R R

E EP I R R

R R

- jednofazni transformator

- trofazni transformator



Konačni oblik T sheme transformatora

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

j j

j j

U I R X I X I

U I R X I X I

σ µ µ

σ µ µ

= + +

′ ′ ′ ′ ′− = + −



Konačni oblik T/2 sheme transformatora

2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

22 2 22 2 2 1

j j

j j

jj

L L

L

U I R L I k L I

U I R X I X I

U I R X IU I R k L I

σ µ

µ

µ

σ µ µ

µ µµ

ωσ ω

ω

= + + = + +⇒

′ ′ ′− = −′ ′ ′− = −


Fazorski dijagram transformatora

Naponske jednadžbe transformatora iz kojih su izvedene T/2 i T sheme transformatora se mogu prikazati i grafički fazorskim dijagramom. Pri crtanju fazorskog dijagrama polazi se od fazora napona koji se crta pod proizvoljnim faznim kutom. Najčešće se odabire 900. Uz pretpostavku poznate impedancije tereta fazor struje se određuje prema

22 ϕ

′′ = − U

IZ

i crta se u fazorskom dijagramu s faznim zaostajanjem za naponom za kut ϕ u slučaju induktivnog tereta. U slučaju kapacitivnog tereta kut ϕ će biti negativan pa će u tom slučaju struja prethoditi naponu.


Fazorski dijagrami transformatora prema T/2 nadomjesnoj shemi

Induktivno opterećenje Kapacitivno opterećenje

Radi preglednosti u fazorskim dijagramima su djelatni otpori i struja praznog hoda puno veći od realnih iznosa


Fazorski dijagrami transformatora prema T nadomjesnojshemi

Induktivno opterećenje Kapacitivno opterećenje

U'2

I'2R'2

E'2

I

I1

U1

2

I1R1

jI'2X'2

I0I0r

I0

I'2

jI1X1


Određivanje parametara nadomjesne sheme transformatoraPOKUS PRAZNOG HODA

Transformator se priključi na napon sa strane VN ili NN namota, a s druge strane se stezaljke ostave otvorene. Iz mreže će u tom slučaju poteći samo struja praznog hoda koja se sastoji od jalove komponente za magnetiziranje jezgre i radne komponente u fazi s naponom koja služi za pokrivanje gubitaka (namot i jezgra).

Snaga, struja i faktor snage transformatora u ovisnosti o naponu praznog hoda

Gubici na omskom otporu namota se često zanemaruju u pokusu praznog hoda jer je struja praznog hoda kod suvremenih transformatora redovito manja od 1 % nazivne struje, a otpor je manji od 1 % bazne vrijednosti impedancije transformatora Zb koja je jednaka omjeru nazivnog faznog napona i nazivne fazne struje (Zb=Ufn/Ifn). Zanemariti se može i rasipna reaktancija jer iako ona može iznositi i do 20 % impedancije Zb, zbog male struje praznog hoda pad napona na njoj ne prelazi 0,2% nazivnog napona.


Nadomjesna shema transformatora u pokusu praznog hoda

0 0f 00 0

00 0 0

0 0µ 0

0 0

, cos3 3

X ,sin cos

U U PZ

II U I

Z ZR

ϕ

ϕ ϕ

= = =⋅ ⋅ ⋅

= =

Fazorski dijagram transformatora u praznom hodu

T/2 T

Radi preglednosti u fazorskim dijagramima je struja praznog hoda puno veća od realnih iznosa


Određivanje parametara nadomjesne sheme transformatoraPOKUS KRATKOG SPOJA

Pri pokusu kratkog spoja transformatora stezaljke NN namota se kratko spoje, a VN namot se napaja sniženim naponom tolikog iznosa da namotom poteče nazivna struja. Otpor kratkospojnika kod velikih transformatora nije zanemariv jer je usporediv s otporom NN namota, te je nužno obaviti korekciju njegovih gubitaka (otpora).Napon kratkog spoja je znatno manji od nazivnog napona (3-10 % kod malih i 10-20 % kod velikih transformatora) pa je struja magnetiziranja za taj mali napon zanemariva.

Snaga, struja i faktor snage transformatora u ovisnosti o naponu kratkog spoja

Gubici izmjereni u pokusu kratkog spoju Pk se sastoje od:

• gubitaka u omskim otporima namota,

• tzv."dodatnih gubitaka" zbog vrtložnih struja induciranih u konstrukcijskim dijelovima (steznici, kotao, vlačne motke) te efekta potiskivanja struje koji dovodi do neravnomjerne raspodjele struje po presjeku vodiča čime se povećava otpor namota i radni gubici.


Dodatni gubici u pokusu kratkog spoja

Gubici u konstrukcijskim dijelovima najčešće izrađenima od čelika nastaju zbog djelovanja rasipnog polja namota koje u njima inducira vrtložne struje. Radi smanjenja tih gubitaka u većim transformatorima se ugrađuju zasloni s unutarnje strane kotla transformatora koji su načinjeni od magnetskih limova s ciljem da na sebe privuku rasipno polje namota i time smanje pojavu vrtložnih struja u kotlu.

Jezgra

Steznik

Kotao

Rasipne

silnice

Jezgra

Steznik

Kotao

Rasipne

silnice

Zaslon


Nadomjesna shema transformatora u pokusu kratkog spoja

kk k

k

k k k k k

k

kk

k k

k 1σ 2σ σ

= , cos , sin3

co

T/2 : T:

3

s

, X

UZ R Z X Z

I

P

U

X

I

X X X

ϕ ϕ

ϕ

= =

=

′= +=

⋅ ⋅

Fazorski dijagram transformatora u kratkom spoju

T/2 shema

I'2R'2

I1=I'2

I1R1

jI'2X'2

jI1X

Uk

T shema


Gubici zbog tereta

2 2

k k 1 k 2 dod

2

dod k dod

3 3

3

tP P I R I R P

P I R

′= = + +

=

Gubici zbog tereta predstavljaju gubitke u namotima i konstrukcijskim dijelovima zbog protoka struje. Oni su jednaki gubicima izmjerenima u pokusu kratkog spoja.Otpor Rk je nešto veći od omskih otpora namota R1 i R'2 izmjerenih U-I metodom zato što su u Pk sadržani i dodatni gubici u transformatoru. Odatle za trofazni transformator vrijedi

gdje je Rdod ekvivalentni otpor kojim se uzimaju u obzir dodatni gubici. Otpori namota se obično preračunavaju na pogonski toplo stanje. Za promjenu otpora s temperaturom za bakrene namote vrijedi

0

0

235

235R Rϑ ϑ

ϑ

ϑ

+= ⋅

+

gdje je Rϑ otpor kod temperature ϑ (topli otpor), Rϑ0 je otpor kod temperature ϑ0 (hladni otpor), a 235 je konstanta za bakar kod 20 °C. Konstanta za aluminij iznosi 225.Dodatni otpor se smanjuje s povećanjem temperature zbog toga što su amplitude vrtložnih struja koje inducira rasipno polje proporcionalne ekvivalentnom induciranom naponu, tj. promjeni ulančanog rasipnog toka i obrnuto proporcionalne ekvivalentnom otporu željeza kroz koje teku. S povećanjem temperature povećava se i otpor pa se stoga dodatni gubici smanjuju (Pdod= E2

ekv/Rekv). Budući da se dodatni gubici računaju kao gubici na nadomjesnomotporu Rdod spojenom u seriju s otporom namota, s povećanjem temperature se mora Rdod

smanjivati da bi se ispravno uzelo u obzir ono što se fizikalno događa u transformatoru.


Napon kratkog spoja

k fn k n kk% 2

n nfn

n n n fn fn

n fn

3100% 100% 100%

3

3 3

U I Z S Zu

U UU

S U I U I

I I

= = =

= =

=

Napon kratkog spoja se najčešće izražava u postocima nazivnog napona i određuje se prema izrazima

gdje Un i Ufn predstavljaju nazivni linijski i fazni napon za spoj nadomjesne zvijezde, Uk je linijski napon kratkog spoja, In i Ifn su linijska i fazna struja, a Sn je ukupna prividna snaga transformatora. Za radnu ur i jalovu komponentu ux = uσ napona kratkog spoja vrijedi

fn k k n kr% 2

fn n n

fn k n k% 2

fn n

100% 100% 100%,

100% 100%.

I R P S Ru

U S U

I X S Xu

U Uσ

= = =

= =

Postotne vrijednosti svih komponenata napona kratkog spoja su neovisne o tome koji namot se kratko spaja, a na kojem se mjeri napon kratkog spoja.


Pad napona u transformatoru

Primarni i sekundarni napon reduciran na primarnu stranu po svom iznosu se razlikuju, tj. postoji određeni pad napona u transformatoru. Ta razlika ovisi o iznosu impedancije kratkog spoja transformatora, opterećenju transformatora i faznom kutu između sekundarnog napon i struje. Po definiciji pad napon u transformatoru je razlika efektivnih vrijednosti primarnog i reduciranog sekundarnog napona izražena u postocima primarnog napona. Utjecaj struje magnetiziranja na pad napona u realnom transformatoru se redovito može zanemariti pa se za izračun pada napona koristi pojednostavljeni fazorski dijagram.

1fn 1 2fn 2 tn n krn 2

1fn n n

1fn σ n σσn 2

1fn n

2 2 nkn rn σn 2

n

%

%

1 2

%

100

100

100

k

I R I R P S Ru

U S U

I X S Xu

U U

S Zu u u

U

u u

i i

u u u

u u

′ ′+= = =

= =

= + =

=

=

′∆ = −

∆ = ∆

1 1fn

1

1

1fn

2

2

1fn

1 2

1

n 1fn

2 2

1

n

U U

Uu

U

Uu

U

I I

IS

S I

i I

α

α

=

= =

′′ =

′=

= =

′ ′=


Pad napona u transformatoru

%

rn% 2

n% 2

22

1% 1%

n% 2 rn% 2

AG AE EF FG

cos

sin

cos sin

u

AE u

EF u

FG OG OF u u CF

CF u u

σ

σ

α ϕ

α ϕ

α ϕ α ϕ

∆ = = + +

=

=

= − = − −

= −

Izraz pod korijenom u gornjoj jednadžbi se može napisati u obliku koji se može prikazati Taylorovim redom razvijenim oko nule

2 2 41 11 1 ...

2 8x x x− = − −

Za transformatore za koje vrijedi uσn% ≤ 20 % dovoljno je uzeti samo prva dva člana Taylorovog reda čime se uz u1% = 100 % dobiva

( )

( )

22n% 2 rn% 2

n% 2 rn% 2

2

% rn% 2 n% 2 n% 2 rn% 2

cos sin100 100 1 0,005 cos sin

100

cos sin 0,005 cos sin

u uFG u u

u u u u u

σσ

σ σ

α ϕ α ϕα ϕ α ϕ

α ϕ ϕ α ϕ ϕ

− = − − ≈ −

∆ = + + −


Pad napona u transformatoru (posebni slučajevi)

Ako transformator ima uσσσσn% <4%, drugi član se može zanemariti čime se dobije pojednostavljeni izraz

( )% rn% 2 n% 2cos sinu u uσα ϕ ϕ∆ = +

Ako transformator ima uσσσσn% > 20 %, tada je ponekad potrebno uzeti u obzir i treći član Taylorovog reda pa se onda dobije

( ) ( )

( )

22

% rn% 2 n% 2 n% 2 rn% 2

47 4

n% 2 rn% 2

cos sin 0,005 cos sin

1,25 10 cos sin

u u u u u

u u

σ σ

σ

α ϕ ϕ α ϕ ϕ

α ϕ ϕ−

∆ = + + −

+ ⋅ −

Kako bi se ograničila promjena napona sekundara u transformatore se ugrađuju regulacijski namoti i regulacijske sklopke. Oni se najčešće ugrađuju na visokonaponskoj strani zbog manje struje namota, što olakšava preklapanje pod teretom.


Kappov trokut

Primjenom Kappovog trokuta (ur, ux i uk) zorno se vidi kako sekundarni napon ovisi o faktoru snage tereta.

R teret RL teret RC teret


Ovisnost pada napona o faktoru snage pri nazivnom teretu

Mali (distributivni) transformator Veliki (energetski) transformator

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

cos φ

∆u

%

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

cos φ∆

u%

ur% = 1 %, uσ% = 4 % ur% = 0,5 %, uσ% = 15 %

kap. ind. kap. ind.


Ovisnost pada napona o opterećenju pri različitim konstantnim faktorima snage


ur% = 1 %, uσ% = 4 % ur% = 0,5 %, uσ% = 15 %

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2-20

-18-16-14-12-10

-8-6-4-202468

101214161820

S/Sn

∆u

%

0,2 ind.

0,7 ind.

0,9 ind.

1,0

0,9 kap.

0,7 kap.

0 kap.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2-20

-18-16-14-12-10

-8-6-4-202468

101214161820

S/Sn

∆u

%

0,2 ind.

0,7 ind.

0,9 ind.

1,0

0,9 kap.

0,7 kap.

0 kap.


Vanjske karakteristike transformatora


Vanjske karakteristike definiraju ovisnost napona sekundara nereguliranog transformatora o opterećenju pri različitim konstantnim faktorima snage.

ur% = 1 %, uσ% = 4 % ur% = 0,5 %, uσ% = 15 %

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.280

828486889092949698

100102104106108110112114116118120

S/Sn

u' 2

%

0,2 ind.

0,7 ind.

0,9 ind.

1,0

0,9 kap.

0,7 kap.

0 kap.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.280

828486889092949698

100102104106108110112114116118120

S/Sn

u' 2

%

0,2 ind.

0,7 ind.

0,9 ind.

1,0

0,9 kap.

0,7 kap.

0 kap.


Rasipno polje

Rasipno polje u transformatoru je rezultat djelovanja oba protjecanja, primarnog i sekundarnog. U pokusu kratkog spoja su ta dva protjecanja praktički jednaka, ali su suprotnog predznaka. Isto vrijedi i u normalnom pogonu zbog malog udjela struje magnetiziranja u odnosu na struje primara i sekundara. Sumiranje doprinosa oba namota rezultira poništavanjem njihovih protjecanja u zoni jezgre, unutar namota rezultantno protjecanje linearno raste i opada, dok je u rasporu između namota konstantno maksimalnog iznosa.

Rasipno polje u prozoru trofaznog transformatoraRaspodjela protjecanja i magnetske indukcije u prozoru jednofaznog transformatora

Silnice rasipnog polja u stvarnosti neće biti aksijalno usmjerene paralelne linije kao što je pretpostavljeno ovim jednostavnim analitičkim modelom, nego će postojati i radijalna komponenta polja.


Magnetska energija akumulirana u prostoru rasipnog toka

Veza između rasipnog induktiviteta Lσ, energije rasipnog magnetskog polja Aσ i struje primara i1 je dana izrazom

2

σ σ 1

1

2A L i=

Magnetska energija rasipnog polja pohranjena u volumenu V jednaka je 2

σ

1d

2V

BA V

µ= ∫

Zbog znatno većeg iznosa relativne permeabilnosti jezgre u odnosu na permeabilnost vakuuma, udio energije rasipnog magnetskog polja u volumenu jezgre je zanemariv u odnosu na energiju u volumenu prozora pa odatle slijedi

2

σ σ1 σ2

0

1d

2V

A B V A A Aδµ

= = + +∫

gdje je Aσ1 energija akumulirana u prostoru primara, Aσ2 je energija u prostoru sekundara, a Aδ je energija u prostoru između namota.


Magnetska energija u prostoru primarnog namota Aσ1, između namota Aδ i u prostoru sekundarnog namota Aσ2

Indukcija u prozoru kao funkcija položaja

1 2

21

1 2

, 1x x

B xB x B B

a a

δδ

= = −

Infinitenzimalni dijelovi volumena po kojima se vrši integracija

gdje je lσ srednja duljina magnetskih silnica koja se računa prema Rogowskom

( ) ( )1 2σ 1u 1 1 σ 2u 2 2d 2 d , d 2 d

x xV l D x x V l D x xπ π= + = +

R

σ

R

1

1 2R R R R1 1 1 ,

ll

K

a aK e

l

σ δσ σ σ

π

−

=

+ += − − ≈ − =


Magnetska energija u prostoru primarnog namota Aσ1, između namota Aδ i u prostoru sekundarnog namota Aσ2

Odatle slijedi

( )

( ) ( )

( )

( )

1

1 1

2

2 2

2

2

σ1 1 1u 1 1

0 0 10

2

σ 1 11u

0

22

2 2

0 0

2

1 1

0

2

2 2σ2 2u 2 2

0 0 20

2

σ 21u

0

1 1d 2 d

2 2

3

2 3 2

1

2 2

22

1 1d 1 2 d

2 2

22 3

a

x x

u u

u

a

x x

BA B V x l D x x

a

B l a aD

B lA B D l D

B lD a

xA B V D x x

a

B l aD

δσ

δ

δ σδ δ σ

δ σ

δ

πµ µ

π

µ

πδ π δ δ δ

µ µ

πδ

µ

πµ µ

π

µ

= = +

= +

= − = −

= +

= = − +

= +

∫ ∫

∫ ∫

21 2 .

2

aa δ

+ +


Rasipni induktivitet

Ukupna magnetska energija rasipnog polja je

2

σ 1 1 2 2σ s

0 s s s s

1 12 3 2 3 2

B l a a a aA D

D D D D

δ π δ δδ

µ

= − − + + + +

gdje je Ds srednji promjer određen izrazom s 1u 12 .D D a δ= + +

Prema zakonu protjecanja uz zanemarenje pada magnetskog napona u željezu jezgre vrijedi 1 1

0

σ

w iB

lδ µ=

Konačni izraz za rasipni induktivitet

2 s 1 1 2 2σ 1 0

σ s s s s

1 13 2 3 2

D a a a aL w

l D D D D

π δ δµ δ

= − − + + + +

Ako su širine primarnog i sekundarnog namota približno jednake a1 ≈ a2, tada vrijedi

2 s 1 2σ 1 0

σ 3

D a aL w

l

πµ δ

+ = +

Ovi izrazi za rasipni induktivitet odgovaraju parametru Lσσσσ u T/2 nadomjesnoj shemi transformatora.

2

1

2AL

i

σσ =


Rasipni induktivitet (zbroj odgovarajućih rasipnih induktiviteta te dvije polovice):

gdje su nadomjesne srednje duljine magnetskih silnica:

Transformator s bikoncentričnim namotima

+−+−+

+

++=

3

)1()1(

3)(

322

2

20

22

211

1

10

2

aa

l

Dw

aa

l

DwL

s

s

αδ

πµα

αδ

πµα

σ

σ

σ

l

aa

ll

π

δασ121

1

1++

−

=

l

aa

ll

π

δασ232

2 )1(1

++−−

=

Niženaponski namot razdijeljen je u dva dijela prvi sa αN zavoja i drugi sa (1- αN) zavoja

Rasipne silnice kad se napaja niženaponski namot


Rasipni induktivitet, ako ima n svitaka namota:

Srednja duljina rasipnih silnica:

Koeficijent Rogowskog:

Pločastim namotima postižu se manji iznosi rasipne reaktancije

Transformator s pločastim namotima

+

+= δ

πµ

σ

σ62

210

2aa

b

D

n

wL s

−⋅−⋅

−−=

−−−

)1(12

111

121 0

RRR eeeKb

R

σσ

δ

σ

RK

bb =σ

LV

HV

LV

HV

LVDs

bδo

a1

a2

a1

2

Transformatori za ispitivanje s velikim strujama, za elektrolučne peći, ...

transformatori1

Documents