Transformada de Laplace de funciones básicas.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la

versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se

define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números

reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de

crecimiento de f(t).

Propiedades

Potencia n-ésima

Nota: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto

Seno

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera clase

Función modificada de Bessel de primera clase

Función de error

Derivación

NT: en la demostración recordar que e − st debe crecer más rápidamente que la

función, y así calcular su límite lim(f(t) / e − st,t = 0..infinto) (el cual seria cero,

sino no habría como calcular) es por esto que funciones del tipo

(que crece más rápido que e − st) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que

, no es una función de orden exponencial.

Integración

F(w)=(cosw)

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

Nota: u(t) es la función escalón unitario

Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Otras transformadas comunes

Transformada de Laplace Función en el tiempo

1 δ(t)

u(t) (función escalón unitario)

Tabla de las transformadas de Laplace selectas

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para

funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:

La transformada de Laplace es la de la suma de la transformada de Laplace de

cada término.

La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a 0 − , lo

que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t). Aquí está una

lista de las transformadas más comunes:

ID Función Dominio en el tiempo

Dominio en la frecuencia

Región de la

convergencia

para

sistemas

causales

1 retraso ideal

1a impulso unitario

2

enésima

potencia

retrasada y con

desplazamiento

en la frecuencia

2a enésima

potencia

2a.1 qth power

2a.2 escalón unitario

2b escalón unitario

con retraso

2c Rampa

2d nth power with

frequency shift

2d.1 amortiguación

exponencial

3 convergencia

exponencial

4 seno

5 coseno

6 seno hiperbólico

7 coseno

hiperbólico

8

onda senoidal

con

amortiguamiento

exponencial

9

onda cosenoidal

con

amortiguamiento

exponencial

10 raíz n-ésima

11 logaritmo natural

12

Función de

Bessel

de primer tipo,

de orden n

13

Función de

Bessel

modificada

de primer tipo,

de orden n

14

Función de

Bessel

de segundo tipo,

de orden 0

15

Función de

Bessel

modificada

de segundo tipo,

de orden 0

16 Función de error

Notas explicativas:

representa la función escalón

unitario.

representa la Delta de Dirac.

representa la función gamma.

es la constante de Euler-

Mascheroni.

, un número real, típicamente representa

tiempo,

, aunque puede representar cualquier

dimensión independiente.

es la frecuencia angular compleja.

, , , y son números reales.

es un número entero.

Un sistema causal es un sistema donde la respuesta al impulso h(t) es cero para todo

tiempo t anterior a t = 0. En general, el ROC para sistemas causales no es el mismo

que el ROC para anticausal systems. See also causality.

FÓRMULAS

_____________________|___________________________

; s>a

; s>0

; s>0

; s>0

; s>0

; s>a

; s>a

;

Fuentes Bibliográficas

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

http://www.monografias.com/trabajos17/transformada-laplace/transformada-

laplace.shtml

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-

cap5-geo/laplace/node2.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-

cap5-geo/laplace/node3.html